Bruno Fraga, Lafayette e Vitim Braga

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Rafael Caldas Caldeira
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1 Bruno Fraga, Lafayette e Vitim Braga

2 Detalhes que fazem a diferença PROF. BRUNO FRAGA

3 1. Cuidados com Escalas Ao navegar, um petroleiro choca-se com um arrecife, abrindo um buraco nos tanques de armazenamento de óleo. Alguns dias mais tarde, o óleo se espalhou como mostra o mapa ao lado. Se a escala do mapa é 1: e a área do mancha, no mapa, é 6,5 cm 2, qual a área real da região coberta pela mancha de óleo, medida em m 2?

1. Cuidados com Escalas Se a escala do mapa é 1:100.

4 1. Cuidados com Escalas Se a escala do mapa é 1: e a área do mancha, no mapa, é 6,5 cm 2, qual a área real da região coberta pela mancha de óleo, medida em m 2? Jeito errado de fazer A mapa A real Jeito certo de fazer A mapa A real A real A real 6,5 10 cm ,5 10 m 6 2

5 2. Problemas Geométricos Roberto pegou uma folha de papel retangular e dobrou-a em três partes congruentes, conforme a sequência representada na figura 1: Após desdobrar a folha com os cortes realizados, ela obteve a configuração Do retângulo obtido, foram recortados um semicírculo e um triângulo retângulo isósceles, conforme a figura 2

2. Problemas Geométricos Um artesão deseja fazer um enfeite de natal que simula uma vela com faixas laterais, como apresentado na figura abaixo: A linha que circunda a superfície cilíndrica começa no

6 2. Problemas Geométricos Um artesão deseja fazer um enfeite de natal que simula uma vela com faixas laterais, como apresentado na figura abaixo: A linha que circunda a superfície cilíndrica começa no ponto A e termina no ponto B de modo que a largura das faixas seja sempre a mesma. Para produzir esses cilindros, ele usa pedaços retangulares de cartolina e desenha as linhas laterais. A alternativa que melhor representa a forma correta dessas linhas é

7 3. Probabilidade Condicional A proporção de pessoas infectadas por um certo vírus em uma determinada população é de 2%. O teste para verificar a ocorrência da infecção tem 99% de precisão, ou seja, se a pessoa estiver infectada, o teste indica positivo em 99% das vezes e negativo em 1%. Da mesma forma se a pessoa não estiver infectada o teste indica negativo em 99% das vezes e positivo em 1%. Um indivíduo foi escolhido aleatoriamente na população e verificou-se que seu teste deu positivo. Qual a probabilidade : de que a pessoa realmente esteja infectada pelo vírus?

8 3. Probabilidade Condicional A proporção de pessoas infectadas por um certo vírus em uma determinada população é de 2%. O teste para verificar a ocorrência da infecção tem 99% de precisão, ou seja, se a pessoa estiver infectada, o teste indica positivo em 99% das vezes e negativo em 1%. Da mesma forma se a pessoa não estiver infectada o teste indica negativo em 99% das vezes e positivo em 1%. Um indivíduo foi escolhido aleatoriamente na população e verificou-se que seu teste deu positivo. Qual a probabilidade : de que a pessoa realmente esteja infectada pelo vírus? Invente o tamanho da população: pessoas Diagrama de árvore: Favoráveis P(infectado positivo) Possíveis %

9 Vamos ganhar algumas questões! PROF. LAFAYETTE JOTA

10 1. Tentativa e Eliminação

11 Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira: A nota zero permanece zero. A nota 10 permanece 10. A nota 5 passa a ser 6.

12 #comofaz Identificar o significado de cada letra! x: y: TESTANDO LETRA D: Regras: A nota zero permanece zero. A nota 10 permanece 10. A nota 5 passa a ser 6.

13 #comofaz Identificar o significado de cada letra! x: nota antiga y: nota nova TESTANDO LETRA C: Regras: A nota zero permanece zero. A nota 10 permanece 10. A nota 5 passa a ser 6.

14 E aí, tá certo? Ainda testando letra C: Atualizando:

15 #comofaz Testando Letra B:

16 Resolução do Anexo 01

17 Resolução do Anexo 01

18 Padrões 2-D

19 2. Reconhecimento de Padrões Visuais

20 2. Reconhecimento de Padrões Visuais

21 Pavimentações

24 3. Existem Variações e Variações

25 Um tipo de aumento...

26 E outro tipo de redução.

27 Resolução #1

28 Resolução #2 Primeiro Passo: Segundo Passo:

29 4. Orientações Importantes! Leia até entender bem o que está acontecendo! Nenhuma questão é questão de honra. Se estiver demorando demais, PULE. Isso inclui: ler as alternativas e voltar para o enunciado! Gráficos: o que significa cada eixo? Siga o sentido >>>>>> Se houver letras, você tem que saber o que cada uma significa. Aumento, diminuição, novo, antigo: ENEM ama duas situações

30 Distâncias Inacessíveis QUAL A DISTÂNCIA DA TERRA À LUA? QUAL É A MEDIDA DO RAIO DA TERRA? COMO É POSSÍVEL FAZER ESSAS MEDIÇÕES?

31 O raio da Terra. Eratóstenes e a circunferência da Terra ERATÓSTENES VIVEU NO EGITO ENTRE OS ANOS 276 E 194 ANTES DE CRISTO. Ele era bibliotecário-chefe da famosa Biblioteca de Alexandria, e foi lá que encontrou, num velho papiro, indicações de que ao meio-dia de cada 21 de junho na cidade de Syenne, 800 km ao sul de Alexandria, uma vareta fincada verticalmente no solo não produzia sombra.

Quanto mais curva fosse a superfície da Terra, maior seria a diferença no

32 Primeira indagação Se o mundo é plano como uma mesa, então as sombras das varetas têm de ser iguais. Se isto não acontece é porque a Terra deve ser curva! Quanto mais curva fosse a superfície da Terra, maior seria a diferença no comprimento das sombras. O Sol deveria estar tão longe que seus raios de luz chegam à Terra paralelos.

33 E o raio da Terra? As retas paralelas são os raios de luz do Sol e a reta transversal é a que passa pelo centro da Terra e pela vareta em Alexandria. O ângulo B (também igual a 7 ), é a uma fração conhecida da circunferência da Terra e corresponde à distância entre Siena e Alexandria! Eratóstenes mediu A = 7 (aproximadamente).

35 Conclusão Eratóstenes sabia que essa distância valia cerca de 800 km e então pensou: 7 = 1/50 da circunferência (360 ) e isso corresponde a cerca de 800 km. Oitocentos quilômetros vezes cinqüenta são quarenta mil quilômetros, de modo que deve ser este o valor da circunferência da Terra. O mundo não é chato VALOR ENCONTRADO ATUALMENTE: cerca de km ao longo da linha do equador. Um erro muito pequeno para uma medida tão simples, e feita há tanto tempo! Com a circunferência, podemos calcular o diâmetro e o raio ou ainda o volume e a área da superfície, através de fórmulas simples.

O método da paralaxe EXISTEM DIVERSAS MANEIRAS DE SE OBTER UMA MESMA MEDIDA. No caso da distância da Terra à Lua, por exemplo, podemos usar o método da paralaxe.

36 O método da paralaxe EXISTEM DIVERSAS MANEIRAS DE SE OBTER UMA MESMA MEDIDA. No caso da distância da Terra à Lua, por exemplo, podemos usar o método da paralaxe. O termo paralaxe designa um ângulo entre dois segmentos de reta que partem de um determinado astro e se dirigem um para o centro da Terra e o outro para o observador.

37 Qual o tamanho da lua? TODAS AS VEZES QUE VEMOS um objeto sob um ângulo de 1 grau é porque ele está, necessariamente, afastado de nós 57 vezes o seu tamanho. Como sabemos disso? É fácil. Basta recordar o conceito de tangente e verificar que a tangente de 1 (um grau) vale aproximadamente 0,01745.

38 CONCLUSÕES DEFINITIVAS Acontece que vemos a Lua Cheia sob um ângulo médio de 31 minutos de arco, o que nos diz que ela está distante de nós cerca de 115 vezes o seu diâmetro. Se você já conhece a distância da Terra à Lua, agora também já pode saber o seu diâmetro. Daí também não será difícil calcular o volume, a área da superfície... PODEMOS LAMENTAR QUE AS AULAS de geometria da maioria de nós nunca tenham ido tão longe. Podemos imaginar o estado de êxtase ao qual Eratóstenes, Hiparco, Aristarco e tantos outros se depararam ao vislumbrar métodos tão simples, descobertas tão soberbas.

39 Não tem a menor importância se os resultados divergiram dos que hoje obtemos quando disparamos um raio laser contra a Lua, e o fazemos refletir de volta, com intuitos semelhantes. Não importa que agora já dispomos de algoritmos que permitem medidas muito mais ousadas. O importante é ressaltar o quanto a imaginação vale mais que o conhecimento.

40 Exercícios Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 275 a.c. e 195 a.c. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, proximadamente, 7500 km. O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são: a) junho; 7º. b) dezembro; 7º. c) junho; 23º. d) dezembro; 23º. e) junho; 0,3º.

41 Exercício Por volta de 250 a.c., o matemático grego Eratóstenes, reconhecendo que a Terra era esférica, calculou a sua circunferência. Considerando que as cidades egípcias de Alexandria e Syena localizavam-se em um mesmo meridiano, Eratóstenes mostrou que a circunferência da Terra media 50 vezes o arco de circunferência do meridiano ligando essas duas cidades. Sabendo que esse arco entre as cidades media estádios (unidade de medida utilizada na época), Eratóstenes obteve o comprimento da circunferência da Terra em estádios, o que corresponde a km no sistema métrico atual. De acordo com estas informações, a medida, em metros, de um estádio era (A) 15,75 (B) 50,00 (C) 157,50 (D) 393,75 (E) 500,00

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