SEQ ÄU^ENCIAS E PROGRESS ~OES.

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1 SeqÄu^encias e progress~oes 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ~AO CARLOS CENTRO DE CI^ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA OENSINODA ALGEBRA ELEMENTAR ATRAV ES DE SUA HIST ORIA Prof. Jo~ao C.V. Sampaio. sampaio@dm.ufscar.br SEQ ÄU^ENCIAS E PROGRESS ~OES. PIT AGORAS E A ESCOLA PITAG ORICA Pit agoras ( a.c.) foi um matem atico grego (l ³der religioso, m ³stico, s abio, prot otipo de cientista, l osofo e pol ³tico), fundador da Irmandade ou Ordem Pitag orica, umaacademia etico-pol ³tico- los- o ca. A palavra Matem atica (\aquilo que e aprendido") e cria»c~ao da Ordem Pitag orica. Pit agoras nasceu em Samos, uma ilha grega na costa mar ³tima da atual Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quil^ometros a sudeste de Samos, aprendeu Matem atica com Tales ( a.c.), considerado o fundador da Matem atica grega. Segundo antigos historiadores, Pit agoras estudou na Babil^onia, onde e prov avel que tenha se encontrado com o profeta Daniel. Em torno de 525 a.c., Pit agoras mudou-se para Crotona, uma cidade ao sul da It alia, onde fundou a irmandade dos Pitag oricos. L a casou-se com Teano, provavelmente a primeira mulher matem atica da hist oria. Segundo lendas, os membros da Ordem Pitag orica tinham uma dieta vegetariana, n~aovestiamroupasdel~a, usavam uma roupa que os identi cava, andavam descal»cos, viviam uma vida simples e acreditavam na reencarna»c~ao. Os Pitag oricos atribu ³am todas as suas descobertas matem aticas a Pit agoras. Assim, a demonstra»c~ao do assim chamado Teorema de Pit agoras (\Num tri^angulo ret^angulo, a soma dos quadrados dos catetos e igual ao quadrado da hipotenusa"), pode ter sido descoberta por algum disc ³pulo de Pit agoras e n~ao pelo mestre. Sabe-se o Teorema de Pit agoras j a era conhecido antes do seu tempo. O m erito da Escola Pitag orica e o de ter descoberto sua dedu»c~ao.

2 2 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar E prov avel tamb em que Pit agoras tenha estudado na India. Sua cren»ca na reencarna»c~ao talvez tenha origem indiana. Um de seus contempor^aneos e Buda, e e prov avel que Pit agoras e Buda tenham se encontrado. \TUDO E N UMERO" Os Pitag oricos chegaram µa razo avel conclus~ao, em seus estudos, de \tudo s~ao n umeros." Essa a rma»c~ao parece ter sido fortemente in uenciada por uma descoberta importante da Escola Pitag orica, a explica»c~ao da harmonia musical atrav es de fra»c~oes de inteiros. Os Pitag oricos notaram haver uma rela»c~ao matem atica entre as notas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de viol~ao distendida, de determinado comprimento, daria uma nota. Reduzida a 2/3 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida µa metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os n umeros 12, 8 (2/3 de 12) e 6 (metade de 12), segundo Pit agoras, estariam em \progress~ao harm^onica," sendo 8 a m edia harm^onica de 12 e 6. A m edia harm^onica de dois n umeros a e b e o n umero h dado pela f ormula 1=h =(1=a +1=b)=2. Pit agoras dava especial aten»c~ao ao n umero 10, ao qual ele chamava de n umero divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez s~ao os v ertices da estrela de Pit agoras. A estrela de Pit agoras e a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pent agono regular. O pent agono regular era de grande signi ca»c~ao m ³stica para os Pitag oricos e j a era conhecido na antiga Babil^onia. As diagonais do pent agono regular cortam-se em pontos de divis~ao aurea. O ponto de divis~ao aurea deumsegmentoab e opontoc desse segmento que o divide de modo que a raz~ao entre a parte menor

3 SeqÄu^encias e progress~oes 3 e a parte maior e igualµaraz~ao entre a parte maior e o todo, ou seja, AC=CB = CB=AB. Para os antigos gregos, o ret^angulo aureo, isto e, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, e oret^angulo de maior beleza. A CRISE NA ESCOLA PITAG ORICA Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitag orica foi a de que dois segmentos nem sempre s~ao comensur aveis, ou seja, nem sempre a raz~ao entre os comprimentos de dois segmentos e uma fra»c~ao de n umeros inteiros (n umero racional). Essa descoberta foi uma conseqäu^encia direta do teorema de Pit agoras: se um tri^angulo ret^angulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa ter a umcomprimentox satisfazendo x 2 = 2, e portanto a raz~ao entre a hipotenusa e um cateto n~ao ser a umafra»c~ao de dois inteiros, j a que p 2 e um n umero irracional. Isso desgostou profundamente os Pitag oricos pois era um assunto inconcili avel com a teoria pitag orica dos n umeros. Somente no s eculo IV a.c., Eudoxo, com sua teoria das propor»c~oes, rede niu um conceito mais geral de raz~ao entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria, de nir-se a raz~ao entre dois segmentos comensur aveis ou n~ao. SEQ ÄU^ENCIAS DE N UMEROS FIGURATIVOS NA ESCO- LA PITAG ORICA. A primeira seqäu^encia num erica descoberta pelo homem e provavelmente a seqäu^encia de n umeros naturais 1; 2; 3; 4;::: Os Pitag oricos tinham por h abito atribuir propriedades geom etricas aos n umeros naturais. Isto deu origem ao conceito de seqäu^encias de n umeros gurativos, ques~ao n umeros naturais provenientes da contagem de pontos em certos arranjos geom etricos. N umeros triangulares s~ao n umeros naturais provenientes da contagem de pontos em arranjos triangulares, como na gura abaixo.

4 4 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Assim, os n umeros triangulares formam uma seqäu^encia T 1 ;T 2 ;T 3 ;:::;T n ;::: onde T 1 =1;T 2 =3;T 3 =6;T 4 =10;T 5 =15;::: Para visualizarmos como esta seqäu^encia se relaciona com progress~oes aritm eticas, consideraremos a seqäu^encia de arranjos verticais de n umeros naturais: Problemas para aquecimento I 1. Como s~ao obtidos os arranjos de n umeros triangulares a partir dos arranjos acima de n umeros naturais? 2. A partir da observa»c~ao feita no exerc ³cio anterior, veri que que: (a) O termo geral T n da seqäu^encia de n umeros triangulares (ou seja, o \n- esimo" n umero triangular) e somadosn primeiros n umeros inteiros positivos. (b) Veri que que sendo T 1 ;T 2 ;T 3 ;:::aseqäu^encia de n umeros triangulares, tem-se T n = Fa»ca isso de duas maneiras: n(n +1) 2 i. usando de uma esperteza geom etrica, justapondo dois n umeros triangulares, como na gura: Resposta: Na gura vemos que 2 T 4 =4 5. Ef acil intuir geometricamente que 2 T n = n(n +1).

5 SeqÄu^encias e progress~oes 5 A seqäu^encia ii. usando a f ormula da soma dos n primeiros termos de uma progress~ao aritm etica, S n = (a 1 + a n ) n 2 O 1 =1 2; O 2 =2 3; O 3 =3 4; O 4 =4 5;::: e a seqäu^encia de n umeros oblongos. Ela tem termo geral O n = n(n + 1). Ef acil ver que O n =2 T n. Uma outra seqäu^encia interessante de n umeros gurativos catalogada por Pit agoras e seus disc ³pulos e a seqäu^encia Q 1 ;Q 2 ;Q 3 ;::: de n umeros quadrados Problemas para aquecimento II 1. Escreva os os primeiros termos da seqäu^encia de n umeros quadrados correspondentes µas guras acima. 2. Veri que atrav es de exemplos, bem como tambem geometricamente, que cada n umero quadrado e a soma de dois n umeros triangulares consecutivos. 3. Mostre algebricamente que se T n eon- esimo n umero triangular, ent~ao T n + T n 1 = n 2 4. Observe as igualdades 1 2 = = = =

6 6 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar e deduza a f ormula (n 1) + n +(n 1) =n 2 de duas maneiras (a) Atrav es do uso da f ormula da soma de uma progress~ao geom etrica (b) Geometricamente, justapondo convenientemente os arranjos geom etricos den umeros naturais vistos acima. Os gnomons (nada a ver com gnomos) eram n umeros catalogados pelos Pitag oricos, com con gura»c~oes geom etricas como na gura abaixo. Eram representados geometricamente como o ponteiro e a sombra de um antigo rel ogio de sol (da ³ o nome dado a esses n umeros): Mais problemas para aquecimento III 1. Fa»ca desenhos mostrando como a soma dos primeiros gnomons e sempre um quadrado. 2. Veri que que os gnomons G 1 ;G 2 ;G 3 ;::: formam uma progress~ao aritm etica. Por que nome s~ao conhecidos os n umeros dessa progress~ao? Resposta: S~ao conhecidos como inteiros ³mpares positivos. 3. Qual e a express~ao do termo geral G n dessa progress~ao? Resposta: G n =2n Jo~aozinho adora somar progress~oes aritm eticas (acho que ele est a biruta). Atrav es desse seu estranho passatempo, Jo~aozinho veri cou que 1 = = = 3 2

7 SeqÄu^encias e progress~oes = = 5 2 Jo~aozinho cou descon ado de que a soma dos n primeiros n umeros ³mpares e sempre n 2. Usando a f ormula da soma dos n primeiros termos de uma progress~ao aritm etica, veri que que Jo~aozinho est a certo. Os n umeros pentagonais tamb em eram catalogados pelos Pitag oricos, com con gura»c~oes geom etricas como na gura abaixo. Alternativamente, eles podem ser mais facilmente desenhados pelas con gura»c~oes apresentadas abaixo. Mais problemas para aquecimento IV 1. De acordo com a segunda representa»c~ao geom etrica dada aos n umeros pentagonais, cada n umero pentagonal e a soma de um n umero quadradocomumn umero triangular. Com essa interpreta»c~ao, determine a f ormula de P n, o n- esimo n umero pentagonal. Teste sua f ormula para n = 1, 2, 3 e 4, para ver se est a ok. Resposta: P n = 3n2 n 2

8 8 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar PROGRESS ~OES NO EGITO ANTIGO. Os gregos acreditavam que a Matem atica havia se originado no antigo Egito. J a os eg ³pcios acreditavam que a Matem atica foi dada a eles pelo deus Thoth. Dois papiros famosos s~ao as principais fontes de informa»c~ao sobre a Matem atica do Egito antigo. S~ao eles o Papiro Rhind eopapiro de Moscou. O Papiro de Moscou e do ano 1850 a.c.. Em 1893 foi comprado pelo russo V.S. Golenishev e levado para Moscou. O Papiro Rhind foi escrito em torno de 1650 a.c. por Ahmes, um escriba (escritor de papiros) eg ³pcio. Nessa epoca, Jos e governava o Egito. Este papiro foi adquirido em 1858, em Luxor, Egito, por Alexandre H. Rhind e posteriormente, em 1865, comprado pelo Museu Brit^anico. Parece que o Papiro Rhind e baseado num papiro ainda mais antigo. E uma colet^anea de problemas resolvidos de matem atica elementar, muitos deles uteis ao cotidiano do antigo Egito. E curioso notar, no entanto, que muitos dos problemas do Papiro Rhind constituem puro entretenimento matem atico. Progress~oes aritm eticas e geom etricas no Papiro Rhind Dentre os problemas resolvidos no Papiro Rhind encontram-se os seguintes problemas de progress~oes aritm eticas. Discuta a utilidade desses problemas no dia a dia dos eg ³pcios. 1. (Problema 40 do Papiro Rhind) Divida 100 p~aes dentre 5 pessoas de modo que as partes recebidas estejam em progress~ao aritm etica eque 1 7 da soma das tr^es maiores partes seja igual µa somadasduas menores partes. [Sugest~ao facilitadora: Represente as 5 partes por x 2r; x r; x; x+r; x+2r, onde x e o termo central da progress~ao e r araz~ao dela.] Resposta: As partes recebidas formam uma progress~ao aritm etica de primeiro termo a 1 =5=3 eraz~ao 55=6, sendo iguais portanto a 5=3; 65=6; 20; 175=6; 115=3. 2. (Problema 64, adaptado) 10 medidas de milho s~ao distribu ³das a 10 pessoas, formando uma seqäu^encia de medidas de tal modo que cada pessoa, a partir da segunda, recebe 1=8 a menos que a pessoa precedente. Determine essas medidas. Resposta: Essas medidas formam uma progress~ao aritm etica de 10

9 SeqÄu^encias e progress~oes 9 termos, de raz~ao 1=8, cuja soma dos termos e iguala10(medidas), sendo portanto uma progress~ao de primeiro termo 7/16 e raz~ao (dada) 1/8. O problema que segue e provavelmente a mais antiga refer^encia a uma progress~ao geom etrica de que se tem not ³cia na Hist oria da Matem atica. 3.(Problema 79 do Papiro Rhind,adaptado)Numa aldeia eg ³pcia h a sete casas. Em cada casa, h a sete gatos. Para cada gato, h a sete ratos. Para cada rato, h a sete espigas de trigo. Em cada espiga, h a sete gr~aos. (a) Quantos gr~aos h a aotodo,nassetecasas? (b) Casas, gatos, ratos, espigas e gr~aos, quantos objetos s~ao ao todo? AQUILESEATARTARUGA No s eculo 5 a.c., no sul da It alia viveu o grego Zen~ao de El eia. Zen~ao era um l osofo que rejeitava a id eia de que existem in nitos n umeros naturais, de que numa linha reta h a in nitos pontos, e assim por diante. Naquela epoca, para mostrar que o conceito de in nito n~ao e um conceito v alido, Zen~ao criou alguns argumentos, conhecidos hoje como \paradoxos de Zen~ao". Alguns desses argumentos trazem µa tona o conceito de soma de uma progress~ao geom etrica. Estas s~ao talvez as primeiras progress~oes geom etricas que aparecem na Hist oria da Matem atica ap os a progress~ao geom etrica do Problema 79 do Papiro Rhind. Os argumentos de Zen~ao Zen~ao produziu alguns argumentos para mostrar que, se h a in nitos pontos numa linha, ent~ao qualquer movimento e imposs ³vel! Um dos seus argumentos e explorado nos problemas abaixo. 1. Um ponto m ovel se move em linha reta, com a nalidade de percorrer 2 unidades de comprimento. Num primeiro est agio de seu movimento, o ponto percorre uma dist^ancia igual a 1 unidade de comprimento. No segundo est agio, percorre uma dist^ancia igual a

10 10 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar 1=2, totalizando 1 + 1=2. No terceiro est agio percorre mais 1=4, depois mais 1=8, e assim por diante. (a) Que dist^ancia ter a percorrido o ponto ap os 10 est agios do seu movimento? Resposta: Ter a percorrido uma dist^ancia de :::+ 1 2 = 1 (1=2) (1=2) =2 (1=2) 11 unidades. (b) Que dist^ancia ter a percorrido o ponto ap os n est agios do seu movimento? Resposta: 2 (1=2) n+1 unidades. Recordemo-nos de que a soma dos n primeiros termos de uma progress~ao geom etrica de raz~ao q e dada por S n = a 1(1 q (n umero de termos) ) 1 q onde a 1 e o primeiro termo. = a 1(1 q n ) 1 q Zen~ao argumentava que e imposs ³vel ao ponto m ovel atravessar um n umero in nito de intervalos e, sendo assim, o ponto poder a percorrer somente uma dist^ancia de comprimento 2 (1=2) n+1, que e menor que 2. Assim sendo, o ponto nunca percorrer a as duas unidades de comprimento. No entanto, ao argumento de Zen~ao podemos contrapor que, emboraon umero de intervalos percorridos pelo ponto seja in- nito, a soma das dist^ancias percorridas e nita. (c) Qual e a soma total das dist^ancias percorridas pelo ponto? Resposta: 2 2. Aquiles e uma tartaruga est~ao disputando uma corrida ao longo de uma linha graduada. Aquiles come»ca em 0 e a tartaruga come»ca em 1. Aquiles desloca-se a uma velocidade constante, duas vezes mais r apido queatartaruga. Istosigni caque,emcadaintervalo de tempo, a tartaruga percorre metade da dist^ancia percorrida por Aquiles naquele intervalo. Quando Aquiles chega ao ponto 1, a tartaruga encontra-se em Quando Aquiles chega ao ponto

11 SeqÄu^encias e progress~oes , a tartaruga encontra-se no ponto , e assim por diante. A partir da observa»c~ao acima, Zen~ao argumenta que Aquiles nunca alcan»car a a tartaruga, pois Aquiles ter a sempre in nitos pontos a percorrer para alcan»car a tartaruga. A nal, Aquiles alcan»car a oun~ao a tartaruga? Se voc^e achaquesim, a que dist^ancia do seu ponto de partida? Resposta: Asolu»c~ao e dada usando conceitos de cinem atica elementar. Como a velocidade v de Aquiles e constante, o deslocamento de Aquiles, medido a partir do ponto 0, e dadopord 1 = v t, onde t e o tempo decorrido desde o in ³cio da corrida, enquanto que odatartaruga,tamb em medido a partir do marco 0, e dado por d 2 =1+( v 2 ) t. No instante em que Aquiles encontra a tartaruga, temos d 1 = d 2,eent~ao t = 2 v. Nesse instante, d 1 = d 2 =2.Portanto, Aquiles encontra a tartaruga a 2 unidades de onde partiu. PROGRESS ~OES NO FOLCLORE DA MATEM ATICA ² Carl Friedrich Gauss, alem~ao, e universalmente considerado como o maior matem atico do s eculo 19. Conta uma lenda que o professor de Gauss, na escola elementar, teria passado µa classe, para mant^e-la ocupada, a tarefa de somar todos os n umeros inteiros de 1 a 100. Gauss, ent~ao com 10 anos de idade, colocou quase que imediatamente sua lousa sobre a escrivaninha do irritado professor. Este surpreendeu-se ao ver que a resposta estava correta: Carl havia calculado mentalmente a soma da progress~ao aritm etica observando que = = = 101 e assim por diante. Como ao todo ser~ao somados 50 pares de n umeros, a soma pedida e iguala = 5 050

12 12 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar ² Conta uma lenda que o jogo de xadrez foi inventado para divertir um imperador, o qual cou t~ao encantado com o jogo que pediu ao inventor que escolhesse sua recompensa. Este pediu ao rei que lhe pagasse 1 gr~aodetrigonaprimeiracasadotabuleiro, 2 gr~aos na segunda casa, 4 na terceira, 8 na quarta e assim por diante, dobrando o n umero de gr~aos para cada casa sucessiva do tabuleiro. O rei sorriu ao ouvir o pedido modesto. Mas seu sorriso desapareceu na manh~a seguinte quando ouviu, do seu secret ario de nan»cas, que ele, o rei, teria que pagar = gr~aos, ou seja, gr~aosdetrigo. Havendo aproximadamente 100 gr~aos num cent ³metro c ubico, e portanto gr~aos por metro c ubico, seriam necess arios ; 1metrosc ubicos para comportar todo o trigo. Talvez de vag~oes de trem pudessem transportar o carregamento, constituindo um trem dando mil voltas em torno da Terra. ² Assumindo que cada gera»c~ao corresponde a 25 anos, isto e, que pais geram seu primeiro lho aos 25 anos, quantos ascendentes, pais, av os, bisav os, triav os, etc., estar~ao na arvore geneal ogica de um brasileiro, no anivers ario de 500 anos do descobrimento do Brasil? E num per ³odo de 650 anos? Resposta: 500=25 = 20 gera»c~oes. 2pais+4av os + 8 bisav os + 16 triav os + :::+2 20 \cabralav os"perfazem = 2(1 220 ) 1 2 =2(2 20 1) = ascendentes. J a numper ³odo de 650 anos, ou seja de 26 gera»c~oes, o n umero de ascendentes de uma pessoa totaliza Refer^encias utilizadas para a confec»c~ao do presente texto: 1. Anglin, W.S. Mathematics: A Concise History and Philosophy Springer, New York, 1994.

13 SeqÄu^encias e progress~oes Boyer, C.B. Hist oria da Matem atica Editora Edgard BlÄucher, S~ao Paulo, Bunt, L.N.H. et alii The Historical Roots of Elementary Mathematics Dover, New York, Gullberg, J. Mathematics From The Birth of Numbers W.W. Norton and Co., New York, Ronan, C.A. Hist oria Ilustrada da Ci^encia da Universidade de Cambridge, vol. 1 C ³rculo do Livro, S~ao Paulo, Smith, D.E. History of Mathematics, vol. II Dover, New York, Stillwell, J. Mathematics and Its History Springer-Verlag, New York, 1989.