UMA HIST ORIA DAS EQUAC» ~OES POLINOMIAIS 1 EQUAC» ~OES DO PRIMEIRO GRAU

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1 1 UMA HIST ORIA DAS EQUAC» ~OES POLINOMIAIS 1 EQUAC» ~OES DO PRIMEIRO GRAU ² N~ao tem uma hist oria propriamente dita. ² A simbologia moderna s o come»cou a surgir no s eculo 18. Do ponto de vista elementar,equa»c~oes s~ao problemas do seguinte tipo: Determine certos valores desconhecidos, sabendo que quando esses valores s~ao manipulados algebricamente, de uma certa maneira, s~ao obtidos certos valores dados. Primeiras equa»c~oes na forma escrita: 3000 anos a.c. EQUAC» ~OES DO 1 o GRAU NO EGITO ANTIGO A maior parte da matem atica eg ³pcia antiga, ou seja, do 3 o mil^enio a.c., encontrada em alguns poucos papiros famosos, e um comp^endio de t abelas e algoritmos aritm eticos, visando a resolu»c~ao de problemas uteis, tais como problemas de medi»c~ao de guras geom etricas. No Papiro Rhind, encontramos as primeiras equa»c~oes do primeiro grau, na forma de problemas \aha". Aha signi cava quantidade.

2 2 PROBLEMAS aha DO PAPIRO RHIND ² (Problema 24) Uma quantidade e seu s etimo, somadas juntas, d~ao 19. Qual e aquantidade? ² (Problema 25) Uma quantidade e sua metade, somadas juntas, resultam 16. Qual e a quantidade? ² (Problema 26) Uma quantidade e 2=3 dela s~ao somadas. Subtraindo-se, desta soma, 1=3 dela, restam 10. Qual e a quantidade? Em linguagem moderna, temos ² x + x 7 =19 ² x + x 2 =16 ² (x x) 1 3 (x x) =10 O m etodo da falsa posi»c~ao Para problemas desse tipo, os eg ³pcios empregavam o m etodo da falsa posi»c~ao, exempli cado na resolu»c~ao do problema 1. Resolu»c~ao do problema 1 Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divis ³vel por 7, digamos 7. Um s etimode7 e1. Somando7a 1 de 7 obtemos 8. Agora 7 empregamos uma regra de tr^es simples:

3 3 x + x 7 =19 Portanto, quantidade resultado 7 8 x 19 7 x = 8 ) 8x = ) 8x = 133 ) x = ) x = EQUAC» ~OES DO SEGUNDO GRAU DA ANTIGA BABIL ^ONIA AT E DIOFANTO Os antigos babil^onios (ou babil^onicos) (c a.c.), habitantes do sul da antiga Mesopot^amia (parte do atual Iraque), j a resolviam o problema de encontrar dois n umeros x e y cuja soma e p ecujoproduto e q. O m etodo empregado pelos babil^onios, traduzido para nossas nota»c~oes modernas, e basicamente o seguinte: Apriori,x e y s~ao representados na forma x = p 2 + a e y = p 2 a

4 4 dado que x + y = p. Tem-se ent~ao xy =( p 2 + a)(p 2 do que se deduz a) =p2 4 a2 = q a 2 = p2 4 q = p2 4q 4 Daqui, se deduz s p 2 4q a = 4 (os n umeros negativos n~ao haviam sido inventados). Assim, x e y acabam sendo expressos como s s x = p 2 + p 2 4q e y = p 4 2 p 2 4q 4 Cerca de dois mil^enios depois (em torno do ano 250 da era crist~a), este mesmo m etodo aparece no tratado Arithmetica do grego Diofanto, um conjunto de 13 livros sobre solu»c~oes racionais de equa»c~oes alg ebricas.

5 Diofanto e considerado o pai da algebra no sentido de ter sido o primeiro a empregar nota»c~oes simb olicas para express~oes alg ebricas. Suas nota»c~oes eram bem diferentes das empregadas hoje. Os tratados de matem atica dos precursores de Diofanto eram escritos no estilo ret orico, isto e, sem nenhum emprego de s ³mbolos. EQUAC» ~OES DO SEGUNDO GRAU, DOS BABIL ^ONIOS A DIOFANTO Como exemplos dos primeiros problemas de equa»c~oes do segundo grau, encontrados nas t abuas de argila dos antigos babil^onios, bem como no livro Arithmetica de Diofanto, resolvidos pelo m etodo acima descrito, temos os seguintes: 1. (Babil^onios, 1800 a.c.) Encontre dois n umeros cuja soma e 14ecujoproduto e (Diofanto, em Arithmetica) Encontre dois n umeros cuja soma e 20ecujasomadeseusquadrados e 208. Resolu»c~ao do problema 1 S~ao procurados dois n umeros x e y satisfazendo x + y =14 e x y =45 Segundo o m etodo acima descrito, fazemos x =7 a e y =7+a 5

6 Teremos ent~ao que a equa»c~ao xy = 45 torna-se (7 a)(7 + a) =45,ouseja,7 2 a 2 =45,do que a 2 =4,eportantoa = 2. Os babil^onios, bem como Diofanto, consideravam apenas a solu»c~ao positiva a =2. Os n umeros negativos parecem ter surgido no s eculo 7, com o astr^onomo hindu Bramagupta. Assim sendo, tomando a =2, teremos x =5e y =9. Se tomarmos a = 2, teremos x =9e y =5.Portanto os n umeros procurados s~ao 5 e 9. Resolu»c~ao do problema 2 S~ao procurados dois n umeros satisfazendo x + y =20 e x 2 + y 2 =208 Novamente, assumimos, com base na soma dada dos n umeros procurados, x =10 a e y =10+a Aequa»c~ao x 2 + y 2 torna-se ent~ao (10 a) 2 +(10+a) 2 =208 ou seja (100 20a + a 2 ) + ( a + a 2 ) = 208 eportanto a 2 =208) 2a 2 =8) a 2 =4 ) a = 2 Somente a solu»c~ao positiva a =2era admitida. Assim sendo, os n umeros procurados s~ao 10 2=8e = 12.

7 AL-KHWARIZMI O primeiro tratado a abordar equa»c~oes do 2 o grau e suas solu»c~oes foi Os Elementos de Euclides (s ec. 3 a.c.). Em Os Elementos, Euclides d a solu»c~oes geom etricas da equa»c~ao do segundo grau. Os m etodos n~ao s~ao pr aticos. No in ³cio do s eculo 9, o Califa Al Mamum, recebeu atrav es de um sonho, no qual teria sido visitado por Arist oteles, a instru»c~ao de fundar um centro de pesquisa e divulga»c~ao cient ³ ca. Assim foi fundada a Casa de Sabedoria, em Bagd a, hoje capital do Iraque, µas margens do Rio Tigre. A convite do Califa, nela estabeleceu-se Al-Khwarizmi, juntamente com outros l osofos e matem aticos do mundo arabe. Al-Khwarizmi escreveu um tratado popular sobre a ci^encia das equa»c~oes, chamado Hisab al-jabr wa'l muqabalah, ou seja, o Livro da Restaura»c~ao e Balanceamento. Al-Khwarizmi introduziu simpli ca»c~oes que simpli- caram a algebra das equa»c~oes do 2 o grau. Seu m etodo de resolu»c~ao da equa»c~ao do 2 o grau e inspirado na interpreta»c~ao de n umeros por segmentos, introduzida por Euclides. 7

8 Al-Khwarizmi tamb em popularizou o sistema de representa»c~ao decimal posicional dos n umeros inteiros, criado pelos hindus, hoje de uso corrente. De Al-Khwarizmi derivam-se as palavras algarismo e algoritmo, ambas latiniza»c~oes de Al-Khwarizmi. Do termo al-jabr, que signi ca restaura»c~ao, deriva-se a palavra algebra! O termo al-muqabalah, que signi ca oposi»c~ao ou balanceamento, e o que hoje entendemos como cancelamento. Por exemplo, dada a equa»c~ao a al-jabr nos d a x 2 +3x 2=3x +4 x 2 +3x =3x +4+2 enquanto que a muqabalah cancela o termo 3x, nos dando x 2 =6 Al-Khwarizmi apresenta dois m etodos geom etricos de solu»c~ao da equa»c~ao do 2 o grau. Al-Khwarizmi n~ao fazia uso de nota»c~oes simb olicas em seu tratado. Suas equa»c~oes s~ao escritas no estilo ret orico, isto e, sem o emprego de s ³mbolos. 8

9 9 Al-Khwarizmi e equa»c~oes do 2 o grau 1 o m etodo de Al-Khwarizmi x 2 +10x =39 Primeiramente, a equa»c~ao e escrita na forma x x =39 O completamento do quadrado e realizado, resultando na equa»c~ao equivalente x x +4 µ =39+4 µ 5 2 2

10 10 Algebricamente, µ µ x 2 +4 x +4 = por em geometricamente, (x +5) 2 =39+25=64 da ³, Al-Khwarizmi deduz que x +5= p 64 = 8 µ Chega-se ent~ao µa solu»c~ao x =8 5 =3.ParaAl- Khwarizmi, quantidades negativas careciam de sentido. No seu m etodo, a solu»c~ao x = 8 5= 13 n~ao vem µa tona. Podemos, no entanto, usar o m etodo geom etrico de Al-Khwarizmi como um guia no completamento de quadrados e, ao nal, \esquec^e-lo", deduzindo tamb em eventuais solu»c~oes negativas da equa»c~ao.

11 2 o m etodo de Al-Khwarizmi Neste m etodo mais simples, a equa»c~ao e escrita na forma x 2 +5x +5x =39 11 Completando ent~ao essa soma de areas com a area de um quadrado de lado 5, portanto de area 25, obt em-se x 2 +5x +5x +5 2 = logo (x +5) 2 =39+25=64 Daqui ent~ao x +5=8,ouseja,x =3.

12 12 3 EQUAC» ~OESDOTERCEIROGRAU ARQUIMEDES, NOVAMENTE Num tratado sobre esferas e cilindros, Arquimedes estudou o seguinte problema, que deu origem a uma das primeiras equa»c~oes do 3 o grau da hist oria: Cortar uma esfera por um plano de modo que uma das partes resultantes tenha o dobro do volume da outra parte. Ovolumedosegmento esf erico de altura h e dado por V = 1 3 ¼h2 (3r h). Sendo h=r = y, se o segmento inferior da esfera temodobrodovolumedosuperior,ent~ao y 3 3y 2 = 4=3, ou x 3 3x 2=3 =0 (y = x +1)

13 13 A BUSCA PELA F ORMULA GERAL DA C UBICA Por muitos s eculos, desde o per ³odo aureo da Gr ecia antiga, matem aticos tentaram em v~ao deduzir um m etodo geral de solu»c~ao da equa»c~ao do 3 o grau ou equa»c~ao c ubica ax 3 + bx 2 + cx + d =0 Procurava-se uma f ormula geral da solu»c~ao da c ubica, isto e, uma f ormula que desse suas solu»c~oes em termos de express~oes alg ebricas envolvendo os coe cientes a; b; c e d. A conhecida f ormula de Bhaskara, creditada assim ao matem atico hindu Bhaskara, do s eculo 12, nos d a as soluc~oes da equa»c~ao quadr atica ax 2 +bx+c =0, como express~oes alg ebricas dos coe cientes a; b e c, a saber x = b p b 2 4ac 2a

14 14 DEL FERRO, TARTAGLIA E CARDANO. UMA TRAGICOM EDIA DE DISPUTAS, CONQUISTAS E DECEPC» ~OES O primeiro matem atico a desenvolver um m etodo para resolver equa»c~oes c ubicas da forma x 3 + ax + b =0 foi Scipione del Ferro, professor da Universidade de Bolonha, It alia, na passagem do s eculo 15 ao s eculo 16. Antes de morrer, revelou seu m etodo, que mantivera em segredo, a Antonio Fiore. Nicollo Tartaglia nasceu em Brescia, It alia, em Conta-se que era t~ao pobre quando crian»ca que estudava matem atica escrevendo nas l apides de um cemit erio. Em 1535 foi desa ado por Antonio Fiore a uma competi»c~ao matem atica. Na epoca, disputas acad^emicas eram comuns, muitas vezes premiando o ganhador com o emprego do perdedor. Tartaglia sabia resolver as equa»c~oes c ubicas de del Ferro, mas tinha descoberto tamb em um m etodo para resolver c ubicas da forma x 3 + ax 2 + b =0 De posse deste conhecimento, foi o vencedor na competi»c~ao.

15 Os ultimos anos de Tartaglia foram amargurados por uma briga com Girolamo Cardano (1501{1576), um matem atico italiano que, al em de m edico famoso em Mil~ao, foi tamb em astr^onomo. Cardano e tido como o fundador da teoria das probabilidades, a qual estudou por interesses pessoais (jogatina). Em 1570, Cardano foi preso por heresia, por ter escrito um hor oscopo de Jesus Cristo. Em 1539, em sua casa em Mil~ao, Cardano persuadiu Tartaglia a contar-lhe seu m etodo secreto de solu»c~ao das c ubicas, sob o juramento de jamais divulg a-lo. Anos mais tarde, por em, Cardano soube que parte do m etodo constava de uma publica»c~ao p ostuma de del Ferro. Resolveu ent~ao publicar um estudo completo das equa»c~oes c ubicas em seu tratado Ars Magna (1545), um trabalho que superou todos os livros de algebra publicados at e ent~ao. Em Ars Magna, Cardano exp~oe um m etodo para resolver a equa»c~ao c ubica baseado em argumentos geom etricos. 15

16 Em Ars Magna, Cardano tamb em exp~oe a solu»c~ao geral da equa»c~ao qu artica ou equa»c~ao do quarto grau ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e =0 descoberta por Ludovico Ferrari (1522{1565), discipulo de Cardano, que parece ter superado o mestre na algebra das equa»c~oes polinomiais. Em 1548, Tartaglia desa ou Cardano para uma competi»c~ao matem atica, a ser realizada em Mil~ao. Cardano n~ao compareceu, tendo enviado Ferrari para represent a-lo. Parece que Ferrari venceu a disputa, o que causou a Tartaglia desemprego e morte na pobreza nove anos mais tarde. A F ORMULA DE CARDANO PARA A EQUAC» ~AO C UBICA O m etodo de Cardano para resolver equa»c~oes c ubicas, e essencialmenteoseguinte: Consideremos a equa»c~ao c ubica z 3 + az 2 + bz + c =0 A substitui»c~ao z = x a 3 transforma a equa»c~ao dada em uma equa»c~ao c ubica na forma reduzida: x 3 + px + q =0 16

17 Cardano ent~ao \tenta" obter uma soluc~ao na forma Ele nota que ou seja, x = u + v (u + v) 3 = u 3 +3u 2 v +3uv 2 + v 3 (u + v) 3 3uv(u + v) (u 3 + v 3 )=0 Cardano observa que para que x = u + v seja solu»c~ao da c ubica x 3 + px + q =0 e su ciente encontrar u e v satisfazendo ou seja, 3uv = p e u 3 + v 3 = q u 3 v 3 = p3 27 e u3 + v 3 = q Ao estilo de Diofanto, fazendo ent~ao u 3 = q 2 + e v3 = q 2 17 teremos u 3 v 3 = Logo, µ q = q2 4 2 = p = q2 4 + p3 27

18 18 Se q2 4 + p3 27 0, deduzimos ent~ao s = q p3 27 = p D em que D = q2 4 + p3 e o assim chamado discriminante 27 da c ubica reduzida x 3 + px + q =0. Finalmente, assumindo que D 0, teremos, para = p D, eentao u 3 = q 2 + p D e v 3 = q 2 p D r x = u + v = 3 q 2 + p D + r q 3 2 p D ou seja v u t x = 3 q 2 + s v q 2 u 4 + p t 3 q 2 s q p3 27 Omesmoresultado eobtidoquandoconsideramos = p D (veri que), assumindo que a ra ³zes c ubicas calculadas s~ao as ra ³zes c ubicas reais de n umeros reais.

19 19 BOMBELLI, CRIADOR DOS N UMEROS COMPLEXOS O primeiro algebrista a formular regras elementares das opera»c~oes dos n umeros complexos foi o engenheiro hidr aulico italiano Rafael Bombelli, em seu tratado L'Algebra (1572), quase trinta anos depois da publica»c~ao de Ars Magna por Cardano. Bombelli notou que a equa»c~ao x 3 15x 4=0 tem uma solu»c~ao real positiva, a saber x =4. Notou tamb em que as demais solu»c~oes dessa equa»c~ao, 2 p 3,s~ao tamb em reais, sendo elas as ra ³zes do polin^omio do 2 o grau x 2 +4x +1,obtido como quociente da divis~ao de x 3 15x 4 por x 4. No entanto, notou Bombelli, a f ormula de Cardano n~ao se aplica µa c ubica em quest~ao, pois nesse caso D = q2 4 + p3 = 121 < 0. Um not avel paradoxo surgiu ent~ao: a c ubica x 3 15x 4=0tem 27 suas tr^es ra ³zes reaise,noentanto,aformuladecar- dano, quando a ela aplicada, produzia uma express~ao num erica que carecia de sentido: q x = 3 2+ p q2 3 p 121 Por conta disso, Bombelli p^os-se a estudar essa nova esp ecie de n umeros, mais tarde denominados n umeros complexos.

20 Com a f ormula de Cardano, todo cuidado e pouco! Mesmo quando D > 0, a f ormula de Cardano mostra-se pouco pr atica, pois pode ocultar solu»c~oes racionais de uma c ubica sob a apar^encia de express~oes que parecem irracionais. Por exemplo, a c ubica x 3 +3x 4 =0tem x =1 como solu»c~ao. Dividindo-se x 3 +3x 4 por x 1, obtemos x 2 + x +4, que tem como ra ³zes os n umeros complexos ( 1 p 15i)=2, asoutrasduassoluc~oes da c ubica dada. No entanto, a aplica»c~ao da f ormula de Cardano a essa c ubica nos d a asolu»c~ao real q x = 3 2+ p 5+ q2 3 p 5 que e, na verdade x =1. FRANC»OIS VIµETE: UM M ETODO PARA O CASO INDESEJ AVEL DA F ORMULA DE CARDANO Fran»cois Viµete (1540{1603) foi um advogado franc^es, membro do parlamento, com grande voca»c~ao matem atica. Em seu tratado In artem analyticem Isagoge, Viµete aplica algebra ao estudo de geometria, quando at e ent~ao, a pr atica tinha sido sempre a de aplicar geometria µa algebra. 20

21 Durante uma guerra contra a Espanha, Viµete serviu ao rei franc^es Henri IV, decifrando o c odigo usado pelos espanh ois em suas correspond^encias militares. Usando trigonometria, area da matem atica elementar onde descobriu muitas de suas conhecidas rela»c~oes, Viµete desenvolveu um m etodo para calcular as tr^es ra ³zes reais da c ubica x 3 + px + q = 0 no caso em que a f ormula de Cardano \falha," isto e, no caso em que o discriminante D = q2 4 + p3 e negativo. 27 O m etodo de Viµete Consideremos a equa»c~ao c ubica x 3 + px + q =0 onde suporemos que os coe cientes p e q s~ao n umeros reais n~ao nulos. No seu m etodo, Viµete tenta buscar uma solu»c~ao real para essa c ubica, escrevendo-a na forma x = k cos µ; com k>0 Notequeocasok =0ocorre quando x =0 e uma solu»c~ao da c ubica. Nesse caso, q =0easoutrasduas ra ³zes s~ao as solu»c~oes complexas da equa»c~ao x 2 = p. Usando a rela»c~ao trigonom etrica cos 3µ =4cos 3 µ 3cosµ 21

22 22 temos entao 4cos 3 µ 3cosµ cos 3µ =0 A substitui»c~ao de x = k cos µ na c ubica x 3 + px + q =0 nos d a k 3 cos 3 µ + pk cos µ + q =0 express~ao que, multiplicada por 4=k 3 em ambos os lados, passa a ser 4cos 3 µ + 4p 4q cos µ + k2 k =0 3 Comparando esta ultima equa»c~ao com a identidade trigonom etrica 4cos 3 µ 3cosµ cos 3µ =0 Viµete ent~ao observa que x = k cos µ ser a solu»c~ao da c ubica dada desde que se tenha 4p k = 3 e 4q cos 3µ = 2 k 3 ou, equivalentemente, k 2 = 4p 3 e cos 3µ = 4q k 3 Estas duas ultimas equa»c~oes (em k e µ) ter~ao solu»c~ao se, e somente se, tivermos p<0 e 4q 1 k 3

23 23 ou, equivalentemente p<0 e 16q2 k 6 1 Como k 2 = 4p 3,esta ultima condi»c~ao equivale a D = q2 4 + p (note que, sendo q 6= 0,ent~ao D 0 ) p<0) Sendo ent~ao D 0, om etodo de Viµete nos d a tr^es solu»c~oes reais da c ubica: q Primeiramente calculamos k = 4p e ent~ao 3 procuramos os tr^es valores de µ, compreendidos entre 0 e 360 ± satisfazendo cos 3µ = 4q. Sendo ^eles k 3 µ 1 ;µ 2 e µ 3, teremos as tr^es solu»c~oes da c ubicas dadas por x 1 = k cos µ 1 ; x 2 = k cos µ 2 ; x 3 = k cos µ 3 No c alculo dos tr^es valores de µ, podemos tomar µ 1 = 1 µ 3 arc cos 4q k 3 eent~ao µ 2 = µ ± e µ 3 = µ ±

24 LUDOVICO FERRARI EASEQUAC» ~OES DO 4 o GRAU. A equa»c~ao qu artica geral tem a forma x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d =0 Ludovico Ferrari, disc ³pulo de Cardano, criou o seguinte m etodo para resolver a qu artica geral. Primeiramente, escrevemos x 4 + ax 3 = bx 2 cx d: Em seguida, completamos o quadrado do primeiro membro: µ x ax 2 = x 4 + ax a2 x 2 : Teremos ent~ao a equa»c~ao equivalente µa qu artica dada: µ x ax = bx 2 cx d a2 x 2 = µ b + 14 a2 x 2 cx d Na tentativa de obter quadrados perfeitos em ambos os membros, somamos um par^ametro t µa express~ao dentro dos par^enteses do primeiro membro: 24

25 25 µx ax + t 2 = = = µ x ax +2 µx ax t + t 2 µ b + 14 a2 x 2 cx d +2 µx ax t + t 2 µ b a2 +2t x 2 +( c + at)x +( d + t 2 ) Aexpress~ao nal, do segundo membro, ser a um quadrado perfeito desde que tenhamos seu discriminante igual a zero. Esta condi»c~ao ( =0) nos leva a uma equa»c~ao do 3 ± grau em t. Uma solu»c~ao real t 0, dessa equa»c~ao, nos levar a a uma igualdade de quadrados de polin^omios do segundo grau, como uma equa»c~ao equivalente µa qu artica original dada. Para ilustrar o m etodo, tomaremos o seguinte exemplo.

26 A qu artica dada e x 4 +2x 3 13x 2 +2x +1=0 Usando o truque de Ferrari, podemos mostrar que ela e equivalente µa equa»c~ao x 2 + x +1 2 =16x 2 ou seja, x 2 + x +1= 4x Cada uma das duas equa»c~oes do segundo grau nos prov^e duasra ³zes. As quatro ra ³zes ser~ao ent~ao (3 p 5)=2 e ( 5 p 21)=2 EQUAC» ~OES DO 4 o GRAU E AL EM. ALGUMAS POUCAS PALAVRAS. Af ormula de Ludovico Ferrari, publicada por Cardano em Ars Magna, exprime algebricamente as solu»c~oes da equa»c~ao qu artica x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d =0 em termos dos coe cientes a; b; c e d, utilizandosomente as quatro opera»c~oes aritm eticas elementares e extra»c~ao de ra ³zes. Uma solu»c~ao desse tipo e chamada solu»c~ao por radicais. Nos 250 anos que se seguiram, todos os esfor»cos para resolver a equa»c~ao geral de 5 o grau falharam. 26

27 Em 1786, E.S. Bring mostrou que a equa»c~ao geral do 5 o grau pode ser reduzida, por transforma»c~oes alg ebricas, µa equa»c~ao x 5 x A =0. Embora uma tal redu»c~ao parecesse um grande passo em dire»c~ao µa solu»c~ao geral da equa»c~ao qu ³ntica por radicais, Paolo Ru±ni mostrou, em 1799, que uma solu»c~ao geral da equa»c~ao qu ³ntica por radicais era imposs ³vel. Ademonstra»c~ao desse fato, feita por Ru±ni, foi considerada insatisfat oria µa epoca. Entretanto, em 1826, Niels Abel publicou uma prova satisfat oria desse fato, fato repetido com a teoria mais geral ulteriormente desenvolvida por Evariste Galois, em O Teorema Fundamental da Algebra Os n umeros complexos foram criados para suprir solu»c~oes de equa»c~oes polinomiais. Mas h a alguma equa»c~ao polinomial de coe cientes reais ou complexos que n~ao possui nenhuma solu»c~ao complexa? A resposta nos e dada pelo Teorema Fundamental da Algebra: Toda equa»c~ao polinomial de grau 1, com coe cientes reais ou complexos, possui uma solu»c~ao complexa. Esse teorema foi enunciado, sem demonstra»c~ao, por Albert Girard em Os matem aticos Jean D'Alembert, em 1746, e Carl Friedrich Gauss, em 1799, publicaram demonstra»c~oes desse teorema. 27

28 1. Anglin, W.S. Mathematics: A Concise History and Philosophy Springer, New York, Boyer, C.B. Hist oria da Matem atica Editora Edgard BlÄucher, S~ao Paulo, Bunt, L.N.H. et alii The Historical Roots of Elementary Mathematics Dover, New York, Kleiner, I. Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral) Mathematics Teacher 81, Oct., 1988, Smith, D.E. History of Mathematics, vol. II Dover, New York, Stillwell, J. MathematicsandItsHistory Springer-Verlag, New York, van der Waerden, B.L. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations Springer-Verlag, New York, van der Waerden, B.L. A History of Algebra Springer-Verlag, New York,