Inteiros e Indu»c~ao Finita

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1 1 Inteiros e Indu»c~ao Finita Neste cap ³tulo estudaremos uma estrutura alg ebrica que j a nos e familiar: a estrutura alg ebrica do conjunto Z dos n umeros inteiros. Por estrutura alg ebrica do conjunto Z entende-se o conjunto de propriedades dos n umeros inteiros que dizem respeito µas suas duas opera»c~oes habituais, a adi»c~ao e a multiplica»c~ao, bem como µa ordem de nida no conjunto Z pela rela»c~ao <, a chamada rela»c~ao de ordem \menor". Na parte nal do cap ³tulo, estabeleceremos os assim chamados princ ³pios de indu»c~ao nita e mostraremos algumas de suas aplica»c~oes. 1.1 Axiom aticadaestruturadez Introduziremos as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z de forma axiom atica, isto e, a partir de um conjunto de axiomas ou postulados propriedades b asicas, admitidas a priori que caracterizam essas opera»c~oes em Z. A partir desse conjunto de propriedades axiom aticas, deduziremos algumas outras propriedades, tamb em elementares e conhecidas por todos n os, por em \demonstr aveis", isto e, dedut ³veis a partir dos axiomas b asicos. Admitiremos axiomaticamente que existe um conjunto Z, cujos elementos s~ao chamados n umeros inteiros, havendo em Z dois elementos destacados e distintos que s~ao, a saber, 0 (zero) e1(um). Admitiremos tamb em que em Z, s~ao de nidas duas opera»c~oes, a adi»c~ao (denotada por +) e a multiplica»c~ao (denotada por ). Dizendo que + e s~ao duas opera»c~oes em Z, queremos dizer que + e s~ao duas fun»c~oes +:Z Z! Z e : Z Z! Z; sendo que a primeira (+) associa cada par ordenado de inteiros (x; y) aum unico inteiro x + y, chamado soma de x e y, e a segunda ( ) associa cada par de inteiros (x; y) aum unico inteiro x y (denotado tamb em por xy, quando isto n~ao gerar ambigäuidade), chamado produto de x e y. 1

2 Inteiros e Induc»~ao Finita 2 Assumiremos que as opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z tem as seguintes propriedades: Para cada x, cada y, e cada z, todos em Z, tem-se: (A1) x +(y + z) =(x + y)+x (isto e, a adi»c~ao em Z e associativa); (A2) x + y = y + x (a adi»c~ao em Z e comutativa); (A3) x +0=0+x = x (isto e, 0 e elemento neutro da adi»c~ao em Z); (A4) Existe um elemento x em Z, chamado oposto de x ou inverso aditivo de x, ou ainda sim etrico de x relativamente µa opera»c~ao adi»c~ao, satisfazendo x +( x) =( x)+x =0. (M1) x(yz) =(xy)z (a multiplica»c~ao em Z e tamb em associativa); (M2) xy = yx (a multiplica»c~ao em Z e tamb em comutativa); (M3) x 1=1 x = x (1 e elemento neutro da multiplica»c~ao em Z); (D) x(y + z) = xy + xz (a multiplica»c~ao e distributiva em rela»c~ao µa adi»c~ao). De ni»c~ao 1.1 (Subtra»c~ao em Z) Chama-se diferen»ca de dois inteiros x e y µa soma x +( y). Asubtra»c~ao em Z e aopera»c~ao : Z Z! Z, que associa cada par ordenado (x; y) µa diferen»ca x y. Teorema 1.1 Para cada x, cada y, e cada z, todos em Z, valem as propriedades: 1. x + y = x ) y =0(ou seja, 0 e o unico elemento neutro da adi»c~ao em Z) 2. x + y =0) y = x (ou seja, o oposto de um inteiro x e unico); 3. x + y = x + z ) y = z ( lei do cancelamento da adi»c~ao); 4. ( x) =x; 5. (x + y) = x y (aten»c~ao!: x y signi ca ( x) y, ouseja,( x)+ ( y)); 6. x 0=0; 7. ( x)y = xy; 8. ( x)( y) =xy; 9. (x y)z = xz yz.

3 Inteiros e Induc»~ao Finita 3 Demonstra»c~ao. 1. x + y = x ) ( x)+(x + y) =( x)+x. Pelos axiomas (A1), (A3) e (A4), temos conseqäuentemente que (( x)+x)+y =0) 0+y =0) y =0 2. Se x + y =0ent~ao ( x)+(x + y) =( x)+0. Pelos axiomas (A1), (A3) e (A4), temos conseqäuentemente que (( x)+x)+y = x ) 0+y = x ) y = x 3. Se x + y = x + z, ent~ao ( x)+(x + y) =( x)+(x + z). Pelo axioma (A1), (( x)+x)+y =(( x) +x) +z ) 0+y =0+z, eent~ao, pelo axioma (A3), y = z. 4. Pelo axioma (A4) ( x)+( x) =0. Logo, [ ( x)+( x)]+x =0+x. Aplicando ent~ao osaxiomas (A1) e (A3), deduzimos: ( x)+[( x)+x] =x ) ( x)+0=x ) ( x) =x. 5. (Exerc ³cio para o leitor. Sugest~ao: Calcule inicialmente a soma (x + y) + [( x)+( y)], aplicando os axiomas da adi»c~ao.) 6. Seja x 0=a. Ent~ao, pelos axiomas (A3) e (D), a = x 0=x (0 + 0) = x 0+x 0=a + a. Logo, a + a = a +0,eent~ao, pelo item 3 provado acima, a =0, ou seja x 0=0. 7. Por um lado, temos que [( x)+x]y =( x)y + xy. Por outro, temos que [( x)+x]y =0 y =0. Logo, aplicando o resultado do item 2 demonstrado acima, ( x)y + xy = 0) (xy) =( x)y. 8. (Exerc ³cio para o leitor. Sugest~ao: Aplique o resultado do item anterior) 9. (Exerc ³cio para o leitor.) Observa»c~ao 1.1 Os axiomas listados ainda n~ao s~ao su cientes para caracterizar o conjunto Z de maneira unica. Em outras palavras, existem outras estruturas alg ebricas familiares que tamb em satisfazem µas propriedades acima. O leitor certamente j a est a familiarizado com os conjuntos num ericos Q, dos n umeros racionais, e R, dos n umeros reais. Sabe portanto, que em Q, bem como em R, tamb em s~ao de nidas uma adi»c~ao e uma multiplica»c~ao,as quais,embora tendo propriedades adicionais, satisfazem a todos os axiomas listados acima. Isto indica claramente que esses axiomas s~ao satisfeitos por outras estruturas alg ebricas familiares, tais como as de Q e R. Existem tamb em estruturas alg ebricas \abstratas" satisfazendo os axiomas (A1), (A2), (A3), (A4), (M1), (M2), (M3) e (D).

4 Inteiros e Induc»~ao Finita 4 Consideremos, por exemplo, o conjunto Z = f0; 1g, no qual de niremos uma adi»c~ao e uma multiplica»c~ao conforme as tabelas abaixo (aten»c~ao! Aqui, os n umeros 0 e 1 n~ao s~ao aqueles do conjunto Z dos n umeros inteiros.) Assim, as opera»c~oes + e, de nidas em Z conforme suas t abuas dadas acima, satisfazem os axiomas (A1), (A2), (A3), (A4), (M1), (M2), (M3) e (D). Veri que. Note que este \Z" tem apenas dois elementos Problemas complementares 1. ^.. Usando somente os axiomas (A1) a (D) das opera»c~oes em Z, deduza que ( 1)( 1) = 1. (N~ao utilize o resultado do item 8 do teorema 1.1) Use o menor n umero de axiomas poss ³vel para essa dedu»c~ao. Quais axiomas s~ao utilizados nela? 2. ^.. Existe um elemento neutro para a opera»c~ao de subtra»c~ao em Z? Explique. 1.2 Ordem em Z J a temos um conhecimento intuitivo de que os inteiros s~ao ordenados, no sentido de que 1 e menor que 0, que por sua vez e menor que 1, que e menor que 2, e assim por diante. Nesta se»c~ao trataremos de caracterizar a rela»c~ao de ordem \menor" (<) no conjunto Z de maneira formal. De ni»c~ao 1.2 (Rela»c~ao num conjunto) Sendo A um conjunto n~ao vazio, dizemos que R e uma rela»c~ao em A, ser e um subconjunto do produto cartesiano A A. (O produto cartesiano A B de dois conjuntos A e B e o conjunto cujos elementos s~ao todos os pares ordenados (a; b), coma 2 A e b 2 B.) Por exemplo, R = f(1; 2); (1; 4); (2; 3)g e uma rela»c~ao em A = f1; 2; 3; 4g. Tamb em s~ao rela»c~oes em A os conjuntos S = e T = A A. Se S e uma rela»c~aoem A, e se opar(a; b) faz parte dessa rela»c~ao, escrevemos (a; b) 2Sou asb, e dizemos que a est a relacionado com b pela rela»c~ao S. Se (x; y) 62 S,tamb em escrevemos x6sy. No exemplo acima, temos 1S2, 1S4 e 2S3 mas, por exemplo, 16S3.

5 Inteiros e Induc»~ao Finita Axiomas para a rela»c~ao \menor" (<) em Z Admitiremos que em Z est a de nida uma rela»c~ao <, chamada rela»c~ao menor. Se (x; y) 2 <, escrevemosx<y(ou y>x) e dizemos que x e menor que y (ou, respectivamente, que y e maior que x), Admitiremos que a rela»c~ao < em Z satisfaz os seguintes axiomas: Para cada x, caday, ecadaz, todosemz, (O1) Lei da tricotomia. Vale uma e somente uma das a rma»c~oes: x<y; x = y; y<x (O2) Se x<ye y<zent~ao x<z(a rela»c~ao < em Z e transitiva); (O3) Se x<yent~ao x + z<y+ z (a rela»c~ao < em Z e compat ³vel com a adi»c~ao); (O4) Se x>0 e y>0 ent~ao xy > 0 (a rela»c~ao < em Z e compat ³vel com a multiplica»c~ao). Observa»c~ao 1.2 Escrevemos a b quando a < b ou a = b. Analogamente, escrevemos a b se a>bou a = b. Assim, por exemplo, 2 4, bemcomo 3 3. Teorema 1.2 (Propriedades adicionais da rela»c~ao <) Para cada x, cada y, cada z e cada w, todos em Z, valem as seguintes propriedades: 1. x<yseesomentesex y<0; 2. x<0 seesomentese x >0; 3. (Lei do Cancelamento para a adi»c~ao) Se x + z<y+ z ent~ao x<y; 4. Se x<ye z<went~ao x + z<y+ w; 5. (RegrasdeSinais) (a) Se x<0 e y>0 ent~ao xy < 0; (b) Se x<0 e y<0 ent~ao xy > 0; 6. Se x 6= 0ent~ao x 2 > 0; 7. 1 > 0; 8. (a) Se x<ye z>0 ent~ao xz < yz; (b) Se x<ye z<0 ent~ao xz > yz; 9. Se x>y>0 e z>w>0 ent~ao xz > yw > 0;

6 Inteiros e Induc»~ao Finita (Leis do Cancelamento para a multiplica»c~ao) (a) Se xz < yz e z>0 ent~ao x<y; (b) Se xz < yz e z<0 ent~ao x>y. Demonstra»c~ao. 1. Se x<yent~ao, pelo axioma (O3), x +( y) <y+( y), eportanto x y<0. 2. (Exerc ³cio para o leitor). 3. (Exerc ³cio para o leitor). 4. Se x<yent~ao, pelo item 1, x + z<y+ z. Analogamente, z<w) y + z<y+ w. Logo, x + z<y+ z e y + z<y+ w eent~ao, pelo axioma (O2), x + z<y+ w. 5. Provaremos a primeira das a rma»c~oes e deixaremos a segunda como exerc ³cio. Se x<0 e y>0 ent~ao x >0 e y>0. Pelo axioma (O4), temos (xy) =( x)y >0, e ent~ao, pelo item 2, xy < 0, 6. (Exerc ³cio para o leitor). 7. Temos que 1 6= 0e que 1 2 =1 1=1.Da ³, pelo item 6, 1 > Provaremos a primeira das a rma»c~oes e deixaremos a segunda como exerc ³cio. Se x<ye z > 0, ent~ao x y < 0, pelo item 1. Aplicando a propriedade (a) do item 5, x y<0 e z>0 ) (x y)z <0, de onde xz yz < 0, eent~ao xz < yz. 9. (Exerc ³cio para o leitor). 10. Provaremos o item (a) e deixaremos o item (b) como exerc ³cio. Ambos os itens s~ao conseqäu^encia direta do item 8. Se xz < yz e z>0 ent~ao necessariamente x < y pois, caso contr ario, teremos x > y ou x = y. Pelo item 8, sub-item (a), como z>0, temos que xz > yz ou xz = yz, contrariando nosso dado inicial de que xz < yz. Portantoxz < yz e z>0 ) x<y. Proposi»c~ao 1.1 Se x e y s~ao inteiros, com x 6= 0e y 6= 0,ent~ao xy 6= 0. Equivalentemente, xy =0) x =0ou y =0. Demonstra»c~ao. Se x 6= 0e y 6= 0ent~ao, pela lei da tricotomia (axioma (O1)), temos x<0 ou x>0, bem como tamb em y<0 ou y>0. Da ³, aplicando o axioma (O4) ou o teorema 1.2, item 5, teremos xy > 0 ou xy < 0, portanto xy 6= 0.

7 Inteiros e Induc»~ao Finita O conjunto N dos n umeros naturais e o Princ ³pio da Boa Ordem Alguns textos introdut orios de estruturas alg ebricas, bem como outros tantos de introdu»c~ao µa teoria dos n umeros apresentam uma teoria axiom atica dos n umeros naturais e ent~ao, a partir dos n umeros naturais e suas propriedades, uma constru»c~ao dos n umeros inteiros. Um desses conjuntos de axiomas e conhecido como Axiomas de Peano, levando o sobrenome de Giuseppe Peano, que em 1889 formulou uma abordagem axiom atica dos n umeros naturais. Em nossa introdu»c~ao µas estruturas alg ebricas, optamos por partir axiomaticamente dos n umeros inteiros e ent~ao, a partir deles, de nir os n umeros naturais. Uma das vantagens dessa estrat egia e a economia de tempo na elabora»c~ao de conceitos e resultados fundamentais, bem como o r apido atalho tomado em dire»c~ao a resultados, sobre os inteiros, j a n~ao t~ao intuitivos, conforme veremos adiante. De ni»c~ao 1.3 (O conjunto N dos n umeros naturais) Chamaremos de n ume rosnaturaisaoselementosdoconjunto N = fx 2 Z j x 0g Se x e y s~ao n umeros naturais ent~ao, por resultados acima estabelecidos (quais?), x + y e xy tamb em s~ao n umeros naturais. Na linguagem dos algebristas, o conjunto N e fechado nas opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao de nidas em Z, isto e, somando-se ou multiplicando-se elementos de N, tem-se o resultado (soma ou produto) sempre em N. Tamb em s~ao utilizadas as nota»c~oes Z + =N e Z + =N =fx 2 Z j x>0g. Os elementos de N s~ao chamados inteiros positivos. Se n e uminteiroe n < 0, ent~ao n e chamado um inteiro negativo. O conjunto dos inteiros negativos ser a denotadoporz. Pela lei da tricotomia, temos que Z decomp~oe-se como reuni~ao de tr^es partes disjuntas, a saber Z = Z [f0g[z + Enunciaremos agora o Axioma da Boa Ordem em N, ou Princ ³pio do Menor N umero Natural. Cada subconjunto n~ao vazio do conjunto N possui um menor (ou primeiro) elemento. O axioma da boa ordem em N a rma que se A e um subconjunto do conjunto N e A 6= ent~ao existe um elemento n 0 em A satisfazendo n 0 a para cada inteiro a do conjunto A. Observa»c~ao 1.3 Observe que as propriedades elementares das opera»c~oes em Z, bem como as propriedades da rela»c~ao <, axiomatizadas ou deduzidas at e o presente

8 Inteiros e Induc»~ao Finita 8 momento, excetuando-se o Axioma da Boa Ordem em Z +,s~ao igualmente v alidas para os n umeros racionais e para os n umeros reais. Do ponto de vista axiom atico, o axioma da boa ordem e o primeiro dos axiomas que e satisfeito pelos inteiros n~ao negativos mas n~ao e satisfeito pelos racionais n~ao negativos, visto que nem todo conjunto de n umeros racionais n~ao negativos possui um primeiro elemento. Admitamos, por um momento, familiaridade com o conjunto Q dos n umeros racionais. O conjunto dos n umeros racionais positivos da forma 1=n, comn inteiro positivo, n~ao possui um menor elemento. Se n > 0 ent~ao n + 1 > n(visto que 1 > 0). No ^ambito dos n umeros racionais, e sabido que ent~ao 0 < 1 < 1,o n+1 n que demonstra ser imposs ³vel encontrar um primeiro (o menor) racional da forma 1=n, comn inteiro positivo. Observa»c~ao 1.4 (Diferentes leituras de uma mesma nota»c~ao) Quando escrevemos \se x 2 A ent~ao..." queremos dizer \se x e elementodea, ent~ao...", mas na frase \para cada x 2 A, tem-se...", seremosfor»cados a ler \para cada x pertencente a A, tem-se...". De modo an alogo, as senten»cas \se x>2 ent~ao..." e \para cada x>2, tem-se..." s~ao lidas de modos diferentes. Nas senten»cas do primeiro tipo, os s ³mbolos empregados ( 2, > etc.) tem um papel verbal ( \ e elemento de", \ e maior que"), enquanto que no segundo caso, o s ³mbolo empregado quali ca o objeto que o precede ( \x pertencente a", \x maior que"). Estabeleceremos agora as primeiras conseqäu^encias do Princ ³pio do Menor N umero Natural. Teorema N~ao existe um inteiro n tal que 0 <n<1; 2. Para cada inteiro m, n~ao existe um inteiro n tal que m<n<m+1; 3. Se m e n s~ao inteiros com m<nent~ao m +1 n. Reciprocamente, se m +1 n ent~ao m<n. Demonstra»c~ao. 1. Suponhamos que existe um inteiro n tal que 0 <n<1. Tal n e umn umero natural, e portanto o conjunto A de n umeros naturais caracterizado por A = fx 2 N j 0 <x<1g e um conjunto n~ao vazio (visto que n 2 A). Pelo axioma da boa ordem, A tem um menor elemento n 0.Por em 0 <n 0 < 1 ) 0 n 0 <n 0 n 0 < 1 n 0 ; ou seja, 0 <n 2 0 <n 0. Temos a ³ uma contradi»c~ao, pois 0 <n 2 0 < 1 ) n A, por em n 0 e o menor elemento de A e n 2 0 <n 0.

9 Inteiros e Induc»~ao Finita 9 2. Sejam m e n dois inteiros e suponhamos que m < n < m +1. Ent~ao m m<n m<(m +1) m, ouseja,0 <n m<1, o que e imposs ³vel, segundo o item 1 acima. 3. (Exerc ³cio para o leitor). De ni»c~ao 1.4 Seja A um subconjunto n~ao vazio de Z. 1. Dizemos que A e limitado inferiormente por um inteiro m se a m, para cada a em A; 2. Dizemos que A e limitado superiormente por um inteiro M se a M, para cada a em A. Uma conseqäu^encia imediata do princ ³pio do menor n umero natural e a seguinte proposi»c~ao: Proposi»c~ao 1.2 Seja A um subconjunto n~ao vazio de Z. 1. Se A e limitado inferiormente por m 2 Z, ent~ao A possui um primeiro (menor) elemento, isto e, existe a 0 em A tal que a a 0 para cada a em A. (Tal a 0 e chamado m ³nimo de A). 2. Se A e limitado superiormente por M 2 Z, ent~ao A possui um ultimo (maior) elemento, isto e, existe b 0 em A tal que a b 0 para cada a em A. (Tal b 0 e chamado m aximo de A). Demonstra»c~ao. 1. Considere o conjunto A 0 = fx 2 Z j x = a m; com a 2 Ag Para cada a 2 A, temosa m, logo a m 0, o que implica que cada elemento x de A 0 eumn umero natural. Como A 0 ½ N e A 0 6= (pois A 6= ), pelo Axioma da Boa Ordem, existe n 0 2 A 0 tal que x n 0 para cada x 2 A 0. Sendo n 0 um elemento de A 0, temos que n 0 = a 0 m para algum inteiro a 0 2 A. Logo, para cada x 2 A 0, x a 0 m. Isto signi ca que para cada a 2 A, a m a 0 m, ouseja,a a Considere o conjunto A 00 = fx 2 Z j x = a; com a 2 Ag Para cada a 2 A, temosa M ou, equivalentemente, a M. Logo, para cada x 2 A 00,temosx M. Pelo item 1 provado acima, A 00 tem um primeiro elemento, ou seja, existe c 0 2 A 00 tal que x c 0 para cada x 2 A 00.Pela caracteriza»c~ao dos elementos de A 00, c 0 = b 0 para algum b 0 2 A. Da ³, a b 0 para cada a 2 A, ouseja,a b 0 para cada a 2 A.

10 Inteiros e Induc»~ao Finita Problemas complementares 1... Para cada inteiro m, de ne-seom odulo ou valor absoluto de m, como sendo o inteiro ½ m se m 0 jmj = m se m<0 Mostre (prove) que se a e b s~ao inteiros, ent~ao (a) ^.. j mj = jmj; (b) ^.. jmj 0; jmj =0, m =0; (c) ^.. jmj jnj = jmnj; (d).. jm+nj jmj+jnj [Sugest~ao:mostrequejm+nj 2 (jmj+jnj) 2 ]; (e).. jmj n, n m n Demonstre que a e b s~ao inteiros com ab =1ent~ao a = b = 1. [Sugest~ao: Pelas regras de sinais, temos que a e b s~ao simultaneamente positivos ou negativos. Suponha primeiramente a>0 e b>0. Mostre que ent~ao a (b 1) 0, de onde b 1. Sendo 0 <b 1, tem-seent~ao b =1 eent~ao a = b =1. Trabalhe ent~ao no caso a<0 e b<0.] 3. ^.. Prove que se a e b s~ao inteiros com a>b>0 ent~ao a 2 >b Agora prove que se a e b s~ao inteiros positivos com a 2 >b 2 ent~ao a>b. Prove tamb em que se n 3 e um inteiro positivo e a n >b n ent~ao a>b. [Sugest~ao: use os \produtos not aveis" a 2 b 2 =(a b)(a + b) e a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + :::+ ab n 2 + b n 1 ),paran 2.] 5... Mostre que se n e um inteiro ent~ao n +1 e o menor inteiro maior que n (Todo mundo sabe disto. Compete a voc^e, futuro matem atico, demonstr alo!). 6. ^.. Admita familiaridade com o conjunto R dos n umeros reais, bem como das propriedades da adi»c~ao e multiplica»c~ao em R. EmR tamb em de nese uma rela»c~ao de ordem < satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4 descritos na p agina 5. Sendo A um subconjunto n~ao vazio de R, dizemos que A e bem-ordenado ou que A satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto n~ao vazio de A possui um menor elemento. Quais dos seguintes conjuntos de n umeros reais e bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua a rma»c~ao. Em caso negativo, exiba um subconjunto n~ao vazio sem um menor elemento. (a) R + = fx 2 R j x 0g (b) Z (c) P = fx j x =2n; n 2 Ng

11 Inteiros e Induc»~ao Finita Indu»c~ao Finita Os chamados princ ³pios de indu»c~ao nita nos prov^eem um m etodo para demonstrar propriedades dos n umeros inteiros que tem um formato do tipo \Para cada inteiro n, a partir de um certo inteiro n 0 dado, vale a propriedade..." Como veremos ao nal da se»c~ao, ambos os princ ³pios s~ao conseqäu^encias da proposi»c~ao 1.2, por conseguinte do Princ ³pio do Menor Inteiro. Teorema 1.4 (Primeiro Princ ³pio de Indu»c~ao Finita) Seja n 0 um n umero inteiro e suponhamos que a cada inteiro n, n n 0, est a associada uma a rma»c~ao A(n), a qual possui, para cada n, um valor l ogico V (quando verdadeira) ou F (quando falsa). Suponhamos que as condi»c~oes 1 e 2 abaixo sejam veri cadas: 1. A a rma»c~ao A(n) e verdadeira para n = n 0 ; 2. Para cada k n 0,seA(k) e verdadeira, ent~ao ( e poss ³vel demonstrar que) A(k +1) e tamb em verdadeira. Ent~ao a a rma»c~ao A(n) e verdadeira para cada n n 0. Antesdepassarmosµa demonstra»c~ao do Primeiro Princ ³pio da Indu»c~ao Finita, daremos exemplos de resultados (teoremas) que podem ser demonstrados mediante sua aplica»c~ao. Exemplo 1.1 (Teoreminha) Para cada inteiro n, n 0, o inteiro 9 n 1 e divis ³vel por 8. Demonstra»c~ao. (habitualmente chamada \prova por indu»c~ao sobre n"). Aqui a a rma»c~ao A(n), que queremos provar ser verdadeira para cada inteiro n 0, e a seguinte: A(n): \9 n 1 e divis ³vel por 8". A prova de que vale a propriedade A(n) para cada n 0, por indu»c~ao sobre n, consiste em veri car a validade de A(n) em apenas duas inst^ancias, realizando duas \veri ca»c~oes" (da ³ o nome \indu»c~ao nita"), a saber, ² veri camos a validade da a rma»c~ao A(n) para n =0; ² considerando um inteiro k qualquer, k 0, supomos que a a rma»c~ao A(n) j a esteja valendo para n = k (esta suposi»c~ao e chamada hip otese de indu»c~ao) e, a partir disto, deduzimos (demonstramos) que a rma»c~ao A(n) tamb em vale para n = k +1. Se n =0, A(n) =A(0) e a a rma»c~ao \9 0 1 e divis ³vel por 8", que e verdadeira.

12 Inteiros e Induc»~ao Finita 12 Seja ent~ao k um inteiro, k 0, e admitamos a hip otese de indu»c~ao, de que A(k) e verdadeira, ou seja, de que 9 k 1 e divis ³vel por 8. Provaremos que ent~ao 9 k+1 1 tamb em e divis ³vel por 8. Por hip otese de indu»c~ao, 9 k 1=8a para algum inteiro a. Da ³ 9 k =8a +1. Como conseqäu^encia temos ent~ao 9 k+1 1=9 k 9 1=(8a +1) 9 1=72a +9 1=72a +8=8(9a +1), e assim, acabamos deduzindo que 9 k+1 1 = 8(9a +1) e umm ultiplo inteiro de 8, ou seja, tamb em e divis ³vel por 8. Provamos portanto que a hip otese de indu»c~ao, isto e, a validade da a rma»c~ao A(k), implica na validade da a rma»c~ao A(k +1). Sendo assim, provamos, pelo Primeiro Princ ³pio de Indu»c~ao Finita, que A(n) e v alida para cada n 0, ou seja, que 9 n 1 e divis ³vel por 8 para cada n 0. Outro importante resultado da aritm etica dos inteiros, e que pode ser demonstrado por indu»c~ao nita, e o seguinte teorema. Teorema 1.5 (Algoritmo da Divis~ao Euclidiana em N) Para cada n umero natural n, e cada inteiro positivo d, existem n umeros naturais q (quociente) e r (resto) satisfazendo: n = d q + r e 0 r<d: Al em disso, os naturais q e r, satisfazendo as condi»c~oes acima, s~ao unicos. Prova da exist^encia dos naturais q e r, por indu»c~ao sobre n. Mostraremos que, xado um inteiro positivo d, para cada n umero natural n, existem q e r nas condi»c~oes enunciadas. Se n =0, basta tomar q = r =0. Seja k um n umero natural e suponhamos que existem q e r satisfazendo k = dq + r e 0 r<d: Ent~ao k +1=dq +(r +1). Como 0 r<d,temosr +1<d+1,ouseja,r +1 d. Ser +1<d, tomamos q 0 = q e r 0 = r +1eteremosk +1=dq 0 + r 0,com0 r 0 <d. Se r +1=d, ent~ao k +1=dq + d = d(q +1)=dq 00 + r 00, onde q 00 = q +1 e r 00 =0. Portanto, pelo Primeiro Princ ³pio de Indu»c~ao Finita, para cada n 2 N, existem q e r satifazendo n = dq + r, com0 r<d. Paraademonstra»c~ao da unicidade de q e r, vejaproblema7,nase»c~ao

13 Inteiros e Induc»~ao Finita 13 Observa»c~ao 1.5 (Uma nota»c~ao para o algoritmo da divis~ao.) Se n e d s~ao n umeros naturais, com d 6= 0,eseq e r s~ao n umeros naturais como no teorema 1.5, denotamos simbolicamente: n r d q Neste caso, nessa divis~ao euclidiana de n por d, n e odividendo, d e o divisor, q e o quociente e r e o resto. Observa»c~ao 1.6 O leitor poder a veri car facilmente, atrav es de alguns poucos exemplos, que o teorema 1.5 n~ao e v alido se d =0. Observa»c~ao 1.7 No pr oximo cap ³tulo enunciaremos e provaremos um teorema do algoritmo da divis~ao na sua vers~ao mais geral para inteiros, n~ao necessariamente naturais. Uma segunda forma de prova por indu»c~ao nita, por vezes utilizada, e estabelecida pelo seguinte teorema: Teorema 1.6 (Segundo Princ ³pio de Indu»c~ao Finita.) Seja n 0 um n umero inteiro e suponhamos que a cada inteiro n, n n 0, est a associada uma a rma»c~ao A(n), a qual possui, para cada n, um valor l ogico V (quando verdadeira) ou F (quando falsa). Suponhamos que as condi»c~oes 1 e 2 abaixo sejam veri cadas: 1. A a rma»c~ao A(n) e verdadeira para n = n 0 ; 2. Para cada inteiro k n 0,seA(n) e verdadeira para n 0 n k ent~ao A(k +1) e tamb em verdadeira. Ent~ao a a rma»c~ao A(n) e verdadeira para cada n n 0. Observa»c~ao 1.8 O que difere o segundo princ ³pio de indu»c~ao nita do primeiro e aformacomo e formulada a hip otese de indu»c~ao. No primeiro princ ³pio, supomos que a asser»c~ao A(n) e verdadeira para n = k somente, enquanto que no segundo, supomos A(n) v alidaparacadansatisfazendo n 0 n k. Emambos os princ ³pios, devemos provar que a hip otese de indu»c~ao acarreta a validade de A(n) para n = k +1. Antes de passarmos µa demonstra»c~ao dos dois princ ³pios de indu»c~ao nita, exibiremos um teorema cuja prova pode ser feita pelo segundo princ ³pio. Teorema 1.7 (Representa»c~ao decimal de n umeros naturais) Para cada inteiro n 1, existemn umeros naturais a 0 ;:::;a s,(s 0), com os \algarismos" a 0 ;:::;a s, tomados no conjunto f0; 1; 2;:::;9g, ea s 6=0, tais que sx n = a i 10 i = a s 10 s + + a i=0

14 Inteiros e Induc»~ao Finita 14 Observa»c~ao 1.9 Ilustrando o teorema acima com um exemplo, quando escrevemos, por exemplo, , queremos dizer Prova do teorema 1.7. Se n =1, podemos tomar n = a 0 =1. Seja k 1 um inteiro e suponhamos que o resultado do teorema seja verdadeiro para cada inteiro n, com1 n k. Mostraremos que isto acarreta a validade da mesma propriedade para n = k +1. Com efeito, realizando a divis~ao euclidiana de k +1por 10, k r q obtemos um quociente q 2 N eumrestor 2 N, satisfazendo k +1=10q + r, com 0 r<10, conforme o teorema 1.5. Se q =0,ent~ao k +1=r = a 0,coma 0 2f0; 1; 2;:::;9g. Se q>0, ent~ao q k, pois se q>k,ent~ao k+1 = 10q+r >10k+r 10k, eassimk +1> 10k eent~ao 1 > 9k 9, o que e imposs ³vel. Sendo ent~ao 1 q k, pela hip otese de indu»c~ao, q = b t 10 t + + b para certos algarismos b t ;:::;b 0,todosemf0; 1; 2;:::;9g. Ent~ao, k +1 = 10q + r = 10(b t 10 t + + b )+r = b t 10 t b r com b t ;:::;b 0 e r todos em f0; 1; 2;:::;9g. Logo, pelo segundo princ ³pio de indu»c~ao nita, a representa»c~ao decimal de n e poss ³vel para cada inteiro n Demonstra»c~ao dos Princ ³pios de Indu»c~ao Finita Veremos agora que ambos os princ ³pios de indu»c~ao nita s~ao conseqäu^encias do Princ ³pio do Menor Inteiro (teorema 1.2, item 1). Prova do Primeiro Princ ³pio da Indu»c~ao Finita. Suponhamos que estejam estabelecidas as hip oteses do teorema 1.4 e que as condi»c~oes 1 e 2 l a enumeradas estejam ocorrendo. Suponhamos que, al em disso, contrariamente µa tese do teorema, exista um inteiro s n 0 tal que a a rma»c~ao A(s) e falsa.

15 Inteiros e Induc»~ao Finita 15 Seja S = fn 2 Z j n n 0 S e n~ao vazio, pois s 2S. e A(n) efalsag. Sendo S ½ Z, e limitado inferiormente por n 0, pelo Princ ³pio do Menor Inteiro, proposi»c~ao 1.2, item 1, S possui um menor elemento s 0. Como n 0 s 0 e A(n 0 ) e verdadeira, temos n 0 <s 0,eent~ao n 0 s 0 1. Seja k = s 0 1. Ent~ao A(k) e verdadeira, pois k<s 0 e s 0 e o menor inteiro n com A(n) falsa. Mas como k n 0 e A(k) e verdadeira temos ent~ao A(k +1)verdadeira. Por em k +1=s 0 e A(s 0 ) e falsa. Assim, temos uma contradi»c~ao decorrente do fato de existir um inteiro s n 0 para o qual A(s) e falsa. Portanto A(n) e verdadeira para cada inteiro n n 0. Prova do Segundo Princ ³pio da Indu»c~ao Finita. Salvo ligeiras modi ca»c~oes, a prova do Segundo Princ ³pio da Indu»c~ao Finita, teorema 1.6, e id^entica µa prova apresentada acima. A unica diferen»ca se d a nas ultimas linhas da demonstra»c~ao. Considere S e s 0 tal como na demonstra»c~ao do primeiro princ ³pio de indu»c~ao. Suponha agora que est~ao satisfeitas as condi»c~oes 1 e 2 da hip otese do teorema 1.6. Tal como na demonstra»c~ao acima, teremos n 0 s 0 1. Como s 0 eo menor inteiro n com A(n) falsa, temos ent~ao A(n) verdadeira para cada n tal que n 0 n s 0 1. Tomando k = s 0 1, temosent~ao A(n) verdadeira para cada n satisfazendo n 0 n k. Pelo item 2 da hip otese, isto acarreta A(k +1) verdadeira. Mas k +1=s 0 e novamente temos uma contradi»c~ao Problemas Complementares 1. ^.. Mostre, por indu»c~ao sobre n, que, se n 1 ent~ao: (a) n = n(n+1) ; 2 (b) n 2 = n(n+1)(2n+1) ; 6 (c) n 3 =[ n(n+1) ] 2 ; 2 2. Mostre tamb em que: (a) ^.. Para cada inteiro n 0, n 2 + n e par. [Um inteiro e parse eda forma 2m para algum inteiro m]. (b) ^.. (aqui admita familiaridade com os n umeros reais) Para cada n umero real positivo a ecadainteiron 0, tem-se(1 + a) n 1+na.

16 Inteiros e Induc»~ao Finita 16 (c).. Para cada inteiro m, m 3 m e divis ³vel por 3. (d).. 4 2n+1 +3 n+2 eumm ultiplo de 13 (isto e, e daforma13 a com a inteiro), para cada n 0; (e).. Todo conjunto de n elementos possui 2 n subconjuntos Aponte o erro na seguinte \demonstra»c~ao" de que 1=::: = n para cada inteiro n 1: A a rma»c~ao e verdadeira se n =1. Supondo que ela e v alida para n = k, comk 1, temos1=::: = k, e portanto 1+1=:::= k +1. Por hip otese de indu»c~ao, 1=2=:::= k. Comotamb em 2=:::= k +1, por transitividade teremos 1 = 2 =:::= k + 1. Assim, pelo primeiro princ ³pio de indu»c~ao nita, 1 =::: = n, paracada inteiro n ^.. Para cada a 2 Z ecadan 2 N, de ne-seapot^encia de base a e expoente n (ou n- esima pot^encia de a) como sendo o inteiro denotado por a n e de nido pelas leis: (i) Se n =0,ent~ao a n = a 0 =1; (ii) Para cada k 0, a k+1 = a k a. A partir das duas leis de nidas acima, prove, por indu»c~ao sobre n, que se m e n s~ao n umeros naturais e a e um inteiro, ent~ao (a) a m+n = a m a n [Sugest~ao: Assuma que m e umn umero natural xado efa»ca a prova por indu»c~ao sobre n]; (b) (a m ) n = a mn ; (c) Se a 6= 1ent~ao 1+a + a a n = an+1 1 a 1 5. Sendo n e p n umeros naturais, com n p, de ne-se o n umero binomial C n;p = n p, µ n p = n! p!(n p)! sendo 0!=1!=1, 2! = 2 1=2, 3! = 3 2 1=6,etc. Deummodo geral, se n 1, n! =n (n 1)! (a).. Prove a rela»c~ao de Stifel: sendo n e p n umeros naturais, se n p +1, µ µ µ n n n +1 + = p p +1 p +1 (b).. Prove a f ormula chamada bin^omio de Newton: sendo a e b n umeros reais e n um n umero natural, n 1, (a + b) n = P n n k=0 k a n k b k = n 0 a n + n 1 a n 1 b + + n r a n r b r + + n 1 ab n 1 + n 0 b n

17 Inteiros e Induc»~ao Finita 17 (c).. Prove que, sendo n p 1, n p eon umero de subconjuntos (\combina»c~oes"), com p elementos, de um conjunto contendo n elementos. [Sugest~ao: Fa»ca a demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre n, usando o primeiro princ ³pio de indu»c~ao nita e a rela»c~ao de Stifel.] 6. _.. AseqÄu^encia de Fibonacci e um exemplo de uma seqäu^encia de inteiros de nida indutivamente. Ela e de nida como a 0 ;a 1 ;a 2 ;:::, sendo a 0 =0;a 1 =1 e, a n+1 = a n + a n 1 para cada n 0 Assim, ela come»ca como 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;::: (a) Prove por indu»c~ao sobre n que a n = [(1 + p 5)=2] n [(1 p 5)=2] n p 5 [Sugest~ao: Use o segundo princ ³pio da indu»c~ao. Provavelmente lhe ser a util saber que ( 1+p 5) 2 = 3+p 5 ] 2 2 (b) (para experts em C alculo I) Mostre que lim ( a n+1 n!1 a n )=Á = 1+p 5. (J a 2 ouviu falar deste n umero, a \raz~ao aurea"?) 7... Mostre que os n umeros naturais q (quociente) e r (resto) no enunciado do teorema do algoritmo da divis~ao em N (teorema 1.5, p agina 12), s~ao unicos. [Sugest~ao: mostre que sendo n e d n umeros naturais, com d 6= 0,se n = dq 1 +r 1 = dq 2 +r 2 para certos naturais q 1 ;q 2 ;r 1 ;r 2,com0 r 1 ;r 2 <d, ent~ao djq 1 q 2 j = jr 1 r 2 j <de logo jq 1 q 2 j =0.] 8. _.. (Para experts) Mostre que os algarismos a 0 ;:::;a s utilizados na representa»c~ao decimal de um n umero natural n s~ao determinados de maneira unica. [Sugest~ao: Mostre que se a 0 + a :::+ a n 10 n =0, sendo os coe cientes a 0, a 1, :::, a n, todos tomados no conjunto de inteiros f 9; 8; :::; 1; 0; 1; 2; :::; 9g, ent~ao a n 10 n = a 0 a 1 10 ::: a n 1 10 n 1 ) ja n j10 n ja 0 j + ja 1 j10 + :::+ ja n 1 j10 n :::+9 10 n 1 = 10 n 1 < 10 n )ja n j10 n < 10 n ) a n = 0. ConseqÄuentemente, se a 0 + a :::+ a n 10 n =0,ea 0, a 1, :::, a n, est~ao todos no conjunto de d ³gitos f 9; 8;:::; 1; 0; 1; 2;:::;9g ent~ao a n = a n 1 = :::= a 0 =0]. 9. ^.. Considere a igualdade n = n 2 + n Mostre que tal igualdade e falsa. Mostre por em que, sendo k um inteiro, supondo-a verdadeira para n = k podemos demonstrar que tamb em e verdadeira para n = k ^.. Considere a a rma»c~ao n 2 n +5 e primo

18 Inteiros e Induc»~ao Finita 18 (Um inteiro p e primosep6= 0, p 6= 1, e seus unicos fatores inteiros s~ao 1 e p) Mostre que essa a rma»c~ao e verdadeira se n 2f1; 2; 3; 4g, mas e falsa se n =5.