PLANO DE AULA. 1. TEMA Equac o es Alge bricas

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1 Ministe rio da Educac a o Secretaria de Educac a o Profissional e Tecnolo gica Instituto Federal Catarinense Campus Avanc ado Sombrio Curso de Licenciatura em Matema tica PLANO DE AULA Escola: Instituto Federal Catarinense Campus Avanc ado Sombrio Municı pio: Sombrio, SC Disciplina: Matema tica Ano: 3o Ensino Me dio Nı vel: Ensino Me dio Tempo previsto:3 horas Professor: Rafael dos Reis Paulo 1. TEMA Equac o es Alge bricas 2. SUB-TEMAS Definic a o e elementos; Raı zes de equac o es alge bricas; Conjunto soluc a o de equac o es alge bricas; Teorema fundamental da a lgebra; Decomposic a o em fatores de primeiro grau; Relac a o de Girard. 3. JUSTIFICATIVA O estudo das equac o es alge bricas representam uma finalizac a o importante de todo um ciclo de aprendizagem matema tica, iniciado no Ensino Fundamental com expresso es alge bricas, resoluc a o de equac o es de primeiro e segundo graus e produtos nota veis, cujo grau e complexidade foi gradativamente aumentado no Ensino Me dio, com os estudos das func o es e polino mios, entre tantos temas em que a resoluc a o de equac o es se faz necessa ria, ate chegarmos ao a pice, que perpassa o universo do conjuntos reais e possibilita a soluc a o de equac o es que anteriormente na o teriam soluc a o. 4. OBJETIVOS Conhecer os fatos histo ricos acerca do assunto; Identificar e definir uma equac a o alge brica; Determinar o conjunto verdade de equac o es alge bricas; Desenvolver estrate gias para encontrar as raı zes das equac o es alge bricas; Demostrar alguns teoremas e a relac a o de Girard; Averiguar as raı zes de qualquer equac a o alge brica utilizando o GeoGebra; Efetuar a resoluc a o de exercı cios e problemas que envolvam equac o es alge bricas. 1

2 5. CONTEÚDOS ENVOLVIDOS Operações fundamentais: soma, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação; Números complexos; Polinômios; Funções; Equações algébricas. 6. RECURSOS TÉCNICOS Recursos: Disponíveis no laboratório de matemática, data show, quadro-branco, jogo Rampa das Equações, pincel e apagador. Técnicas: Aula expositivo dialogada, atividades utilizando o software Graph. 7. PROCEDIMENTOS (a) Problematização O Sr. Adonias gostaria de confeccionar uma caixa de papelão sem tampa, para a fabricação Adonias comprou uma lâmina de face quadrada de papelão com área igual a 324 cm 2. Por muito tempo, Adonias trabalhou fabricando caixas de sapato, ele sabe que é necessário recortar um quadrado em cada canto da lâmina de papelão, para posteriormente dobrar e transformar numa caixa (figura 1). Porém, Adonias gostaria que determinássemos qual a medida do lado (valor de x) do quadrado a ser recortado para que o volume da caixa seja igual a 400 cm 3? Figura 1: Lâmina de papelão (b) Historicização Nesta aula trataremos das equações algébricas que são aquelas que podem ser representadas sob a forma de um polinômio igualado a zero. Um dos trabalhos pioneiros sobre essas equações é a obra Al-jarb wa l muqãbalah, escrita no século IX pelo matemático árabe Mohammed ibu-musa al-khowarizmi, na qual são estudas as equações do 1 o e 2 o grau. A obra de al-khowarizmi inspirou tratados posteriores até o Renascimento, quando os matemáticos buscavam uma fórmula resolutiva para equações polinomiais de qualquer grau, o que já haviam conseguido até o 4 o grau. Os matemáticos Niels Henrik Abel e Évariste Galois encerraram essa busca, demonstrando que equações de grau superior a 4 não podem ser resolvidas por radicais e combinações de coeficientes, isto é, não existe fórmula geral que resolva equações polinomiais de grau maior que 4. (c) Procedimentos i. momento: Iniciar a aula resgatando algumas equações que já foram estudas anteriormente, identificando o conjunto solução das mesmas. (a) x + 3 = 0 S = { 3} (b) x 2 9 = 0 S = {3, 3} (c) x 2 + 3x 10 = 0 S = { 5, 2} (d) x = 0 S = { i, i} ii. momento: Definir na lousa equação polinomial ou algébrica, onde é toda equação que pode ser escrita na forma 2

3 a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 com a n 0 em que os a i (a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 ) são elementos do conjunto dos números complexos, n N e n é o grau da equação. Obs: As equações do 1 o grau e do 2 o grau estudadas anteriormente são casos particulares de equações algébricas. iii. momento: Enunciar o Teorema fundamental da Álgebra pensando nas seguintes questões: Existe alguma equação polinomial do 1 o grau que não possua raiz complexa? Existe alguma equação polinomial do 2 o grau que não possua raiz complexa? Para responder basta observar que toda equação polinomial do 1 o grau pode ser representada sob a forma ax + b = 0 com a, b C e a 0. Logo, o número b é raiz dessa equação para a quaisquer valores complexos de a e b, com a 0. Concluímos, então, que toda equação 1 o grau tem raiz complexa. Já a equação do 2 o grau pode ser representada sob a forma ax 2 + bx + c = 0, com a, b, c C e a 0. Para qualquer valor do dessa equação, temos, b + w 1 e b w 2, que são raízes 2a 2a da equação do 2 o grau. Conclui-se, que toda equação do 2 o grau possui raiz complexa. E, assim, o Teorema fundamental da Álgebra diz: Toda equação polinomial admite pelo menos uma raiz complexa iv. momento: Apresentar o Teorema da decomposição, onde todo polinômio de grau n, com n 1, P (x) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 pode ser fatorado sob a forma P (x) a n (x r 1 )(x r 2 )... (x r n ) em que r 1, r 2, r 3,..., r n são todas raízes de P (x). Resolvendo alguns exemplos: A. P (x) = 4x 2 x 3 P (x) = 4(x 1)(x ) }{{} Quando a soma dos coeficientes resultar em 0 a equação terá 1 como raiz B. P (x) = x 3 8x x P (x) = x(x 2)(x 6) }{{} Quando o termo independente da equação for nulo uma de suas raízes será 0 C. P (x) = 3x 3 6x 2 + 3x 6, sabendo que P (2) = 0 P (x) = 3(x 2)(x i)(x + i) Pelo teorema da decomposição visto anteriormente, podemos definir que: Qualquer equação polinomial de grau n, com n 1, admite exatamente n raízes complexas, não necessariamente distintas entre si. Para verificar o teorema vamos utilizar o software Geogebra para encontrar as raízes das seguintes equações: 3

4 A. x 4 3x 3 + 3x 2 3x + 2 = 0 B. x 4 x 2 = 0 C. x 3 + x 2 + x 1 = 0 D. x 5 + 5x 4 + 6x 3 2x 2 7x 3 = 0 D. x 4 7x x 2 + 3x 18 = 0 Em seguida, exercitar a fatoração e a determinação de raízes pelo GeoGebra aplicando o jogo (Rampa das equações). Para isso, os estudantes devem sortear 4 equações e, em seguida efetuar a resolução no caderno e ao mesmo tempo conferindo as respostas no GeoGebra. Nesse momento, podemos evidenciar as estratégias utilizadas para a resolução das equações v. momento: Apresentar a situação problema e sua resolução conforme abaixo. Nesse momento, será entregue aos estudantes duas folhas de papel A4 para a construção das possíveis caixas, após encontrarem os valores da altura. (18 2x) (18 2x) x = 400 4

5 vamos dividir a equação polinomial por 4 (324 72x + 4x 2 ) x = 400 4x 3 72x x 400 = 0 x 3 18x x 100 = 0 Assim podemos determinar as possíveis raízes por meio do GeoGeobra, as quais são:(2, 1; 4; 11, 9) porém temos uma condição de que 18 2x > 0, ou seja, x < 9. Logo, podemos excluir o 11, 9 como uma possível altura da caixa. Sendo assim, os valores para altura da caixa serão 2, 1 e 4. vi. momento: Apresentar aos alunos o Teorema das raízes imaginárias que diz respeito as raízes imaginárias de uma equação algébrica. Vale lembrar de que número imaginário é todo número complexo não real, isto é, todo número da forma z = a + bi, com (a, b) R e b 0. Assim sendo, Se um número imaginário é raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais, então seu conjugado também é raiz dessa equação. Consequências desse teorema: Se um número imaginário z é raiz de uma equação algébrica, seu conjugado também será raiz dessa mesma equação, independentemente de sua multiplicidade; O número de raízes imaginárias de uma equação é necessariamente par; Se uma equação algébrica for de grau ímpar terá pelo menos uma raiz real; vii. momento:para finalizar os conteúdos desta aula, vamos estudar e analisar as relações de Girard para equações de 2 e 3 grau. Essa relação foi descoberta pelo fracês Albert Girard por volta do século XV, esse matemático encontrou uma relação entre os coeficientes e suas raízes, vamos agora então estudar essa relação para as equações polinomiais de grau 2. Em sua forma geral, temos ax 2 + bx + c = 0 Porém vimos que uma equação polinomial pode ser decomposta por suas raízes, Vamos dividir ambos os lados por a, Equivalente a: ax 2 + bx + c = a(x r 1 )(x r 2 ) x 2 + bx a + c a = (x r 1)(x r 2 ) Por identidade de polinômios temos, x 2 + bx a + c a = x2 (r 1 + r 2 )x + r 1 r 2 5

6 (r 1 + r 2 ) = b a r 1 r 2 = c a (r 1 + r 2 ) = b a r 1 r 2 = c a Vamos agora construir a Relação de Girard para as equações polinomiais de 3 o grau. Dividindo ambos lados por a, temos ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x r 1 )(x r 2 )(x r 3 ) x 3 + bx2 a + cx a + d a = (x r 1)(x r 2 )(x r 3 ) x 3 + bx2 a + cx a + d a = x3 (r 1 + r 2 + r 3 )x 2 + (r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 ) r 1 r 2 r 3 Por identidade de polinômios temos (r 1 + r 2 + r 3 ) = b a r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = c a r 1 r 2 r 3 = d a r 1 + r 2 + r 3 = b a r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = c a r 1 r 2 r 3 = d a Após a explicação na lousa, vamos propor a resolução do seguinte problema: Resolva a equação 2x 3 + x 2 13x + 6 = 0, sabendo que a soma de duas de suas raízes é igual a 1 Resolução: Vamos utilizar as relações de Girard para equações de 3 grau, r 1 + r 2 + r 3 = b a r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = c a r 1 r 2 r 3 = d a Assim temos, Logo, r 1 + r 2 + r }{{} 3 = 1 2 = 1 r 1 = 1 2 Outra relação de Girard é, 6 r 1 }{{} 1 2 r 2 r 3 = 6 2

7 Assim temos, r 2 r 3 = 6 Agora vamos observar as relações entre as seguintes equações { r 2 r 3 = 6 r 2 + r 3 = 1 Substituindo na outra equação temos, Resultando numa equação de 2 o grau r 3 = 1 r 2 r 2 ( 1 r 2 ) = 6 r r 2 6 = 0 { r 2 = 2 r 2 = 3 Para verificar o Teorema das raízes complexas vamos propor que os alunos identifique onde está o erro na resolução do seguinte enunciado. Resolva em complexos a equação 2x x 12i = 0, sabendo que uma de suas raízes é o número imaginário i Figura 1: Paiva, Manoel. Matemática. São Paulo, 2013 E, por fim, desenvolver a resolução por meio do dispositivo prático de Briot Ruffini (d) Conclusão da aula Por fim, esperamos que os estudantes tenham apreendido a parte teoria envolvendo as equações algébricas (teoremas e definições), além disso, que saibam determinar o conjunto verdade das equações algébricas. Almeja-se também que, por meio das atividades propostas (construção das caixas e o jogo Rampa das Equações ) os estudantes possam assimilar os conceitos apreendidos. E, por fim, que utilizem os recursos digitais, como, o software GeoGebra para encontrar as raízes de outras equações não estudadas nessa aula. dos estudantes. 7

8 8. AVALIAÇÃO Critérios: Compreensão dos conteúdos abordados em sala de aula, interesse e participação nas atividades propostas, assiduidade, resolução da problematização. Instrumentos: Observação e registro do desempenho dos estudantes durante a realização das atividades no diário de classe e aplicação de uma prova envolvendo os conteúdos estudados até o presente momento. 9. REFERÊNCIAS BARRETO, Benigno Filho; SILVA, Claudio Xavier. Matemática aula por aula, segunda e terceira Série. São Paulo: FTD, DANTE, Luiz Roberto. Matemática volume único. 1.ed. São Paulo: Ática, GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2.ed. São Paulo: FTD, PAIVA, Manoel. Matemática 2. São Paulo: Moderna, SILVIA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula. 2.ed. São Paulo: FTD,