Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Al Khwarizmi al-jabr

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1 Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática 3º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira Estudo da Álgebra 1. A etimologia da palavra álgebra A palavra álgebra tem origem árabe e refere-se ao título de uma obra de um famoso matemático árabe chamado Abū Abd Allāh Muhammad ibn Mūsā al-khwārizmī, ou simplesmente, Al Khwarizmi. Escrito entre 813 e 833 d.c. al- Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala significa Livro Compêndio sobre Cálculo por Restauração e Balanceamento. Figura 1a: Al Khwarizmi Figura 1b: Frontispício do livro Al-Jabr Atualmente considera-se a Álgebra como sendo uma área da matemática destinada ao estudo de quantidades desconhecidas, equações, polinômios e estruturas algébricas. É importante frisar que a Álgebra está presente desde os tempos mais remotos em tábuas de argila babilônias e em papiros egípcios. Nomes como o matemático grego Diofanto, François Viète e René Descartes são citados como grandes colaboradores desta área. Após a introdução feita por Arthur Cayley (1821 a 1895) do conceito de grupo abstrato originou-se uma nova área conhecida como Álgebra Moderna. 2. A pré-álgebra O estudo das chamadas operações inversas da aritmética pode ser um bom início para familiarizar o aluno com termos desconhecidos. Inicialmente pode-se utilizar outros símbolos que não sejam necessariamente as letras do alfabeto latino para desenvolver tais atividades. Atividades do tipo calcule o valor do termo desconhecido são bons exemplos neste caso (71 x 4 = ; 15 + = 23; 21 = 43). Uma das funções da álgebra é auxiliar na generalização dos resultados sejam vindos da aritmética quanto da geometria. Para auxiliar tal generalização é altamente recomendável atividades que explorem regularidades (numéricas e geométricas). O estudo das sequências (progressão aritmética e progressão geométrica), dos números figurados e de padrões geométricos são bons recursos nesta construção. Sequências utilizando padrões numéricos n = = = = = 9... n + n 1 Sequências utilizando padrões geométricos... n 2 n 1ª 2ª 3ª 4ª... n-ésima

2 Sequências utilizando números figurados... n(n + 1) 2 T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6 T4 = Tn 3. Coeficiente, incógnita ou variável Por seu caráter abstrato intrínseco a Álgebra vale-se de quantidades desconhecidas que se relacionam com quantidades conhecidas previamente. Logo é necessário fazer uma distinção entre coeficiente, incógnita e variável. Quando se utiliza um símbolo para representar genericamente uma grandeza conhecida, tal termo desconhecido é chamado de coeficiente. Por exemplo, se n é um número natural qualquer podemos representar os números pares por 2n. Os coeficientes são determinados por uma escolha (atributo comum). No exemplo do cálculo das operações inversas dadas anteriormente temos quantidades desconhecidas que, devido às condições impostas pela equação, serão determinadas. Logo o termo desconhecido é chamado de incógnita neste caso. Na expressão 12 + x = 23 o valor da incógnita x vale 11. Existem casos onde as grandezas desconhecidas não podem ser determinadas pois seus valores variam de acordo com outra grandeza também desconhecida. Neste caso os símbolos utilizados para expressar tais grandezas são chamados de variáveis. Numa expressão x + y = 10 temos diversos valores que podem ser atribuídos para as variáveis x e y, tais como: (10,0); (5,5); ( 1,11), etc. Com o intuito de elaborar um repertório elementar para com que o aluno represente diversas situações são recomendadas, neste momento, atividades de representação simbólica de enunciados matemáticos. Por exemplo, sejam x e y dois números naturais quaisquer, represente: a) um número natural ímpar: 2x + 1 b) o dobro do quadrado de um número natural: 2x 2 c) o triplo da soma de um número natural com outro: 3(x + y) d) a soma do triplo de um número natural com outro: 3x + y 4. Expressões algébricas X Equações Durante muito tempo houve uma discussão entre qual deveria ser o primeiro tema de Álgebra a ser abordado nas séries finais do Ensino Fundamental. Os autores de algumas propostas curriculares afirmavam que inicialmente o aluno deveria aprender a operar com expressões algébricas elementares (monômios, polinômios) para depois aplicar a manipulação de entes algébricos na resolução de equações. Este tipo de visão trata-se de uma perspectiva reducionista da Matemática que visa a repetição de algoritmos não considerando o contexto das situações onde a Álgebra é empregada. Atualmente o estudo das equações do 1º grau com uma incógnita é desenvolvido no 7º ano do Ensino Fundamental (SÃO PAULO, 2008) sempre fundamentado em situações cotidianas ao aluno. Uma expressão é considerada algébrica quanto possui pelo menos um termo desconhecido (coeficiente, incógnita ou variável). Valer-se de situações cotidianas ao aluno para escrever expressões algébricas é um bom exemplo de atividade a ser desenvolvida em sala de aula. Por exemplo, se um caderno custa x reais então dois cadernos do mesmo tipo custarão 2x reais.

3 5. O papel das igualdades Basicamente os sinais utilizados nas operações matemáticas dividem-se em sinais de ação e sinais de equivalência. Uma das ideias associadas ao sinal mais (+) é a de juntar enquanto que uma das ações relacionadas ao sinal menos ( ) é a de tirar. Tais sinais são costumeiramente chamados de sinais de ação pois representam ações a serem feitas pelos alunos. No caso do sinal igual a (=) este não representa uma ação em si, portanto muitas dúvidas surgem na utilização deste sinal por parte dos alunos. Alguns estudos indicam que muitos alunos entendem o sinal igual a como sendo coloque a resposta aqui. Apesar desta afirmação não ser totalmente incorreta, este fato indica que a ideia de equivalência não foi bem desenvolvida pelo aluno. Na realidade dada uma expressão (numérica ou algébrica) que apresente o sinal de igual a este significa que a expressão que o antecede possui o mesmo valor daquela que o sucede. Portanto este sinal é classificado como sendo um sinal de equivalência. Por exemplo: expressão que antecede = expressão que sucede Para desenvolver a ideia de igualdade é ALTAMENTE RECOMENDÁVEL desenvolver atividade que explorem a ideia de equilíbrio entre uma balança de dois pratos. Esta é uma das ideias essenciais no estudo das equações e será FORTEMENTE EXPLORADA ao longo dos estudos de Álgebra. Um exemplo desta situação é: Na figura a seguir a balança encontra-se em equilíbrio e todas as peças de mesma forma possuem o mesmo peso. Escreva uma expressão algébrica para representar o peso de um cubinho e determine o peso dele. 6. Propriedades das igualdades Antes de iniciar o estudo das equações propriamente ditas em si é importante que o aluno investigue certas propriedades intrínsecas às igualdades. Sejam a e b dois números naturais quaisquer, temos que: P1) Propriedade Reflexiva Todo número é igual a si mesmo. Generalização: a = a P2) Propriedade Simétrica Se um número é igual a outro, então o segundo número também é igual ao primeiro. Generalização: a = b b = a P3) Propriedade Transitiva Se um número é igual a um segundo número, e este por sua vez é igual a um terceiro número; então o primeiro número possui o mesmo valor que o terceiro número. Generalização: a = b, b = c a = c Apesar de tais propriedades parecerem óbvias a primeira vista, estas são extremamente necessárias pois darão suporte para a construção de argumentos lógicos na posterior resolução das equações.

4 7. O princípio aditivo e o princípio multiplicativo A resolução de equações se apoia em dois princípios fundamentais: o princípio aditivo e o princípio multiplicativo. Com base nestes princípios o aluno possui recursos suficientes para elaborar suas estratégias de resolução das equações. Para que isto ocorra o professor deve valer-se de diversas inferências feitas PELOS PRÓPRIOS ALUNOS com o intuito da dedução de tais princípios. Princípio aditivo das igualdades Se adicionarmos (ou subtrairmos) um mesmo valor em ambos membros de uma igualdade, a igualdade mantém-se. 2 = = = 7 (V) 10 = = = 6 (V) x = x x + k = x + k (V) Princípio multiplicativo das igualdades Se multiplicarmos (ou dividirmos) um mesmo valor (não nulo) em ambos membros de uma igualdade, a igualdade mantém-se. 3 = 3 3 x 2 = 3 x 2 6 = 6 (V) 14 = : 7 = 14 : 7 2 = 2 (V) x = x x k = x k (V) k 0 8. Conceitos básicos para o estudo das equações A palavra equação deriva da palavra equal (do latim aequalis) que significa, originalmente, igual. Desta forma uma equação é uma expressão algébrica que representam uma igualdade. Os termos desconhecidos numa equação são representados pelas letras minúsculas do alfabeto latino e podem ser incógnitas ou variáveis, dependendo do tipo das equações. O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido quando substitui-se o termo desconhecido por um dado valor. Por exemplo o valor numérico da expressão algébrica 2x 5 para x = 3 é = 6 5 = 1. O conjunto dos possíveis valores que serão atribuídos à incógnita constitui o chamado Conjunto Universo da equação, representando pela letra maiúscula U. Quando o Conjunto Universo não é informado utiliza-se o maior conjunto numérico (natural, inteiro, racional, real ou complexo) conhecido pelo aluno. Por exemplo dada a equação 2x 5 = 7 e U = {5,6,7}, verifique qual(is) do(s) valor(es) torna a expressão verdadeira = = 7 5 = 7 (F) = = 7 7 = 7 (V) = = 7 9 = 7 (F) Quando um determinado valor torna a equação uma sentença verdadeira (ou seja, uma igualdade) tal valor é chamado de raiz da equação. No exemplo anterior verifica-se que para x = 6 a equação tornou-se uma igualdade. Logo 6 é raiz (ou solução) da equação 2x 5 = 7. O conjunto de todos valores que tornam uma equação verdadeira constitui o chamado Conjunto Solução ou Conjunto Verdade daquela equação, representados pelas letras maiúsculas S ou V, respectivamente. Por exemplo, seja a equação x 2 5x + 6 = 0 e U = {2,3,4}, determine o Conjunto Solução desta equação = = 0 0 = 0 (V) = = 0 0 = 0 (V) = = 0 2 = 0 (F) Logo temos que S = {2,3} pois x = 2 e x = 3 são raízes da equação x 2 5x + 6 = 0. Quando nenhum dos valores do Conjunto Universo torna a equação uma sentença verdadeira dizemos que a equação possui um Conjunto Solução vazio e indicamos po S = ou S = { }.

5 Toda equação possui um grau que indica o número de soluções (complexas) que possui. O grau de uma equação é indicado pelo maior expoente ao qual a incógnita está elevada. Por exemplo a equação 5x 2 3x + 7 = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x pois o maior expoente que a incógnita está elevada é dois. Uma equação pode possuir Conjunto Solução Vazio num determinado Conjunto Universo mas possuir valores em seu Conjunto Solução quando o Conjunto Universo utilizar outro conjunto numérico. Por exemplo a equação 3x 7 = 10 possui S = no Conjunto dos Números Inteiros (Z) e S = { 17 } no Conjunto dos Números Racionais (Q). 9. A resolução de equações do 1º grau com uma incógnita Amparado nos princípios aditivo e multiplicativo o aluno pode desenvolver estratégias para a resolução de equações que não necessitem apenas da verificação dos valores do Conjunto Universo para obter o Conjunto Solução de uma equação dada. Observe a seguinte situação: A balança a seguir encontra-se equilibrada, sendo que todas as latinhas de refrigerante possuem a mesma massa. Determine a massa de uma latinha de refrigerante descrevendo suas ações. 3 Após o aluno ter resolvido a situação efetuando as trocas (possíveis devido aos princípios aditivo e multiplicativo) sugere-se que o mesmo represente a situação através de uma equação e tente resolve-la também apoiado em tais princípios. Assim, tem-se: 5x + 50 = 3x Escrita da situação na forma simbólica 5x 3x + 50 = 3x 3x Retira-se três latinhas de ambos pratos 2x + 50 = 290 Resultado parcial obtido 2x = Retira-se o peso de 50g de ambos pratos 2x = 240 Resultado parcial obtido 2x 2 = Determina-se a metade das massas de ambos pratos x = 120 Encontra-se a massa de uma latinha 10. As ações inversas na resolução de equações do 1º grau com uma incógnita A utilização das chamadas operações inversas é uma boa estratégia para que o aluno componha um amplo repertório para resolver equações. Por exemplo, dada a situação: Qual é o número cujo triplo somado com 10 resulta em 91? o aluno pode proceder da seguinte forma: n Define-se como sendo n o valor desconhecido 3n Logo 3n será o triplo do número desconhecido 3n + 10 = 91 Escrita da situação na forma simbólica 3n = Se o triplo do número foi adicionado de 10 tem-se que retirar da soma tal valor 3n = 81 Resultado parcial obtido n = 81 3 n = 27 Se o triplo do número é 81 então o número desconhecido é um terço deste valor Encontra-se o valor desconhecido