TR^ES PROBLEMAS HIST ORICOS DE GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA. 1 Erat ostenes de Cirene, com os p es na Terra, medindo seu raio

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1 Três problemas hist oricos de geometria e trigonometria 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE S~AO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA TRÊS PROBLEMAS HIST ORICOS DE GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA Jo~ao Carlos V. Sampaio sampaio@dm.ufscar.br 1 Erat ostenes de Cirene, com os p es na Terra, medindo seu raio Erat ostenes de Cirene, que viveu no per ³odo 275 a.c. a 195 a.c., foi bibliotec ario chefe da grande Biblioteca (Museum) de Alexandria. Ele e conhecido pelo seu crivo de Erat ostenes, um procedimento tabular de detectar n umeros primos. Al em de Matem atica, Erat ostenes estudava astronomia, geogra a, hist oria, loso a, tendo ainda interesse em poesia. Sua maior realiza»c~ao foi a medi»c~ao da circunferência da Terra, a primeira de que se tem not ³cia na Hist oria. 1.1 A estrat egia \global" de Erat ostenes No Egito, as cidades de Siena (hoje Assu~a) e Alexandria situam-se quase num mesmo meridiano do globo terrestre, estando interligadas pelo trajeto do rio Nilo, que ui do sul para o norte. Em outras palavras, um arco semi-circular, na superf ³cie terrestre, ligando o Polo Norte ao Polo Sul (um meridiano terrestre), passando por Alexandria, desvia-se relativamente pouco de Assu~a (con ra isto estudando um mapa geogr a co do Egito). Isto quer dizer que, em cada instante, a hora observada num rel ogio em Alexandria e amesma observada em Assu~a. Erat ostenes descobrira que, em Siena, ao meio-dia do dia mais longo do ver~ao (o solt ³cio do ver~ao), o sol cava totalmente a pino, pois naquele dia e hora, o sol re etia-se na superf ³cie da agua do fundo de um po»co.

2 2 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Tendo viajado para Alexandria, 515 milhas (824 quilômetros) ao norte de Siena, Erat ostenes observou que l a, ao meio-dia do referido dia, os raios do sol incidiam na superf ³cie do solo, formando em rela»c~ao a esta um ângulo µ de medida 90 ± 7; 2 ± = 90 ± 360 ± =50. Figura 1: Esquema de Erat ostenes. Observe agora a Figura 1 para acompanhar o racioc ³nio de Erat ostenes. Em O temos ocentrodaterra,eema e S temos os pontos observados em Alexandria e Siena. O segmento AG e umgnômon, consistindo de um bast~ao na vertical, ncado na superf ³cie da Terra, utilizado para medir a sombra do Sol, atrav es do qual, por compara»c~ao da altura do gnômon com sua sombra (veja Figura 2), e calculadooângulo de incidência dos raios solares. Erat ostenes ent~ao ponderou: 1. os raios de sol chegam µa Terra praticamente paralelos entre si; 2. o gnômon, posicionado na vertical, se prolongado inde nidamente para baixo, passar a pelo centro (O) daterra; Figura 2: Sombra do sol atrav es de um gnômon.

3 Três problemas hist oricos de geometria e trigonometria 3 Figura 3: Retas paralelas cortadas por uma transversal. 3. duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ângulos correspondentes congruentes (Figura 3) Assim, concluiu ent~ao que o ângulo AOS media 7; 2 ± =7 ± 12 0, ou seja 360 ± =50. Erat ostenes sabia tamb em que o comprimento de um arco circular e diretamente proporcional ao ângulo central que ele subtende. Assim, pensou, sendo c a circunferência da Terra (comprimento da linha do Equador), eent~ao c 360 = arco AS _ ± 360 ± 50 c = 50 arco AS _ = milhas = milhas = km km. Nos dias de hoje, e sabido que a circunferência da Terra e aproximadamente Longe dali, em Siracusa, Arquimedes, que viveu de 287 a.c. a 212 a.c., descobriu que o comprimento de uma circunferência de raio r e dado pela f ormula sendo ¼ ¼ 3; 1416 c =2¼ r (Aproximando o comprimento da circunferência por pol ³gonos regulares inscritos e circunscritos na circunferência, Arquimedes deduziu que <¼<3 1 7.) Tomando c =40000km, temos como medida do raio da Terra. r = raio da Terra = c 2¼ 40; 000 ¼ ¼ 6366 km 2 3; 1416

4 4 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Odiâmetro da Terra ca ent~ao d ¼ km. Hoje se sabe que a Terra e mais achatada nos polos, sendo os grandes c ³rculos, que passam pelos dois polos, 13 km mais curtos que o c ³rculo do Equador. Problema 1 A bordo de um avi~ao, num ponto A situadoa3milhasacimadon ³vel do mar, um observador olha o horizonte. Sua linha de vis~ao, AC na Figura 4, e tangenteµa superf ³cie da Terra. O raio OC e perpendicular a essa reta tangente em C. Depossedas informa»c~oes do diagrama da Figura 4, calcule o raio da Terra. Figura 4: Um Erat ostenes moderno. 2 AristarcodeSamosnomundodaLua Um outro brilhante matem atico que estudou na Escola de Alexandria, no s eculo III a.c., foi Aristarco de Samos, nascido em Samos, a mesma ilha grega onde nascera Pit agoras cerca de três s eculos antes de Aristarco. Conta-se que Aristarco, mediante o uso de princ ³pios elementares de geometria, determinou, dentre outras coisas, 1. uma estimativa da raz~aoentreosdiâmetros da Lua e da Terra; 2. e uma estimativa da raz~aoentreasdistâncias da Terra µa LuaedaTerraaoSol. Juntando-se as estimativas (corrigidas) de Erat ostenes e Aristarco, podemos calcular (a) o diâmetro da Lua; (b) a distância da Terra µa Lua;

5 Três problemas hist oricos de geometria e trigonometria 5 Figura 5: Sombra da Terra vista na Lua, durante um eclipse lunar. Figura 6: Como resgatar o centro deste arco de cincunferência? (c) a distância da Terra ao Sol; (d) o diâmetro do Sol. 2.1 A raz~ao entre os diâmetros da Terra e da Lua Relata-se que Aristarco, observando cuidadosamente um eclipse lunar, que ocorre quando a Terra p~oe-se entre o Sol e a Lua, observando a sombra da Terra projetada no \disco" lunar, deduziu que a raz~aoentreosdiâmetros da Terra e da Lua e dadopor d T d L ¼ 7 Aristarco supunha, corretamente, que o Sol est a t~ao distante da Terra, que os seus raios de luz s~ao projetadors na Lua paralelos entre si, e assim o contorno circular que vemos da sombra da Terra na Lua revela parte de um c ³rculo m aximo da Terra. Veja Figura 5. Aristarco n~ao fez medi»c~oes muito precisas. Hoje e sabido que d T =d L ¼ 3; 67. Problema 2 Como podemos determinar, atrav es de uma constru»c~ao geom etrica, o diâmetro de um c ³rculo, sendo dado apenas uma parte de seu contorno circular (Figura 6)?

6 6 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Figura 7: Um problema de trigonometria. Figura 8: O triângulo retângulo Terra-Lua-Sol. Problema 3 Admitindo que d T ¼ 3; 67; d L qual e o valor aproximado do diâmetro da Lua? Resposta: 3476 km. Problema 4 Observa»c~oes astronômicas acuradas, em noites de lua cheia, revelam o diagrama geom etrico da Figura 7. Com base nas informa»c~oes do diagrama, conhecendo-se o diâmetro da Lua, calcule a distânciadaterraµalua. 2.2 A raz~ao entre as distâncias da Terra µa Lua e da Terra ao Sol Historiadores da Matem atica relatam ainda que, observando simultaneamente o Sol e a Lua, durante o dia, estando ambos vis ³veis, no in ³cio da fase da Lua quarto crescente, quando exatamente metade do disco lunar vis ³vel aparece iluminado, como na Figura 8, Aristarco assumiu que os planetas Terra, Lua e Sol, posicionam-se como os v ertices T, L e S de um triângulo retângulo em L. Medindo o ângulo L b TS, ele inferiu que este era aproximadamente de 90± (um valor mais preciso, conhecido atualmente, e 0; ± ). Aristarco ent~ao construiu, com r egua e compasso, um triângulo retângulo LT S, modelando as posi»c~oes relativas entre Lua, Terra e Sol e, por semelhan»ca de triângulos,

7 Três problemas hist oricos de geometria e trigonometria 7 deduziu que a distânciadaterraaosol e aproximadamente 19 vezes a distânciadaterra µa Lua. Em realidade, a distância da Terra ao Sol e 400 vezes a distância da Terra µa Lua. 3 Hip ocrates de Quios no mundo das l unulas Hip ocratesdequios(que n~ao e ohip ocrates de C os, da Medicina) nascido na ilha grega de Quios, viajou para Atenas no prov avel ano de 430 a.c., com a nalidade de recuperar terras suas atrav es de um processo judicial. O caso tomou-lhe meses e ent~ao Hip ocrates aproveitou seu tempo estudando coisas de que gostava muito, tais como loso a e geometria. Nessa epoca,acidadedeatenas tinha atingido grande desenvolvimento cultural e isto provavelmente estimulou Hip ocrates em seus estudos. Hip ocrates foi o primeiro matem atico a calcular precisamente a area de uma regi~ao plana delimitada por curvas. As descobertas de Hip ocrates constituem-se em bonitos problemas de geometria plana. 3.1 A quadratura das l unulas Uma das descobertas de Hip ocrates e a seguinte. Na Figura 9, num c ³rculo de diâmetro AB, inscreve-se um triângulo ABC. Conforme uma descoberta de Tales, um tal triângulo ser a umtriângulo retângulo, sendo AC e CB seus catetos e o AB sua hipotenusa. Figura 9: A soma das areas das l unulas e igual µa area do triângulo. Sobre os catetos AC e CB s~ao constru ³dos dois outros semi-c ³rculos, tendo os catetos como diâmetros. As regi~oes planas da Figura 9, delimitadas por arcos de circunferências, lembrando fases da lua, s~ao chamadas de l unulas.

8 8 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Chamemos de L 1 e L 2 as l unulas constru ³dassobreoscatetosAC e CB, respectivamente, e seja T o triângulo ABC. Ent~ao tem-se o seguinte interessante resultado: Teorema 1 (Hip ocrates) area L 1 + area L 2 = area T Diz-se ent~ao que, atrav es deste resultado, Hip ocrates quadrou as l unulas, transformando, atrav es de uma constru»c~ao geom etrica, a soma de suas areas na area de um triângulo. Problema 5 Tente demonstrar o teorema de Hip ocrates por você mesmo. Cason~ao o consiga, leia a demonstra»c~ao que e dada abaixo. Dica: Você podefazerusodoteorema de Pit agoras e da f ormula de Arquimedes para area de um c ³rculo de raio r: area de um c ³rculo de raio r = ¼r 2. Prova do teorema de Hip ocrates: Sendo ABC um triângulo retângulo, de hipotenusa AB, sejams 1, S 2 e S 3 os três semic ³rculos fora do triângulo, constru ³dos sobre os lados AC, CB e AB, respectivamente. Ent~ao area S 1 + area S 2 = area S 3 Figura 10: Um teorema de Pit agoras \diferente". Isto pode ser demonstrado (como um exerc ³cio µa parte) usando-se a f ormula da area de um c ³rculo de raio r, aplicando-a aos três semi-c ³rculos da Figura 10, e usando o teorema de Pit agoras. (Hip ocrates, no entanto, n~ao conhecia tal f ormula, pois ela s o seria descoberta dois s eculos depois por Arquimedes).

9 Três problemas hist oricos de geometria e trigonometria 9 µa epoca de Hip ocrates, j a era conhecido o fato, descoberto pelos Pitag oricos, de que araz~ao entreas areas de dois c ³rculos (ou semi-c ³rculos) e igual µa raz~ao entre os quadrados de seus diâmetros. Assim, raciocinando como Hip ocrates, temos: area S 1 = AC2 area S 3 AB 2 e area S 2 = CB2 area S 3 AB 2 Sendo, pelo teorema de Pit agoras, AB 2 = AC 2 + CB 2,teremos area S 1 + area S 2 = area S 1 + area S 2 area S 3 area S 3 area S 3 = AC2 AB 2 + CB 2 AB 2 = AC CB AB 2 eent~ao area S 1 + area S 2 = area S 3. = AB2 AB 2 =1 Voltando µa Figura 9, considerando-se as areas como l a designadas, temos: area L 1 + area R 1 + area L 2 + area R 2 = area S 1 + area S 2 = area S 3 = area R 1 + area R 2 + area T e portanto, comparando as linhas primeira e ultima, cancelando os termos repetidos, area L 1 + area L 2 = area T Figura 11: As regi~oes hachuradas tem mesma area. Problema 6 Sendo ABC um triângulo is osceles como na Figura 11, veri que que as duas regi~oes hachuradastem areas iguais. Os dois arcos que delimitam a l unula s~ao 1=4 da circunferência de centro A eraioac e a semi-circunferência de diâmetro CB.

10 10 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Refer^encias bibliogr a cas que serviram de base para o presente texto [1] Anglin, W.S., Mathematics: A Concise History and Philosophy. Springer-Verlag, New York, [2] Anglin, W.S., The Heritage of Thales. Springer-Verlag, New York, [3] Boyer, C.B., Hist oria da Matem atica. Editora Edgard BlÄucher Ltda., S~ao Paulo, [4] Dunham, W. Journey Through Genius. The Great Theorems of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., New York, [5] Eves, H., Introdu»c~ao µa Hist oria da Matem atica. Trad. de H.H. Domingues. Editora da Unicamp, Campinas, 1995.