JOHN NAPIER, HENRY BRIGSS E A INVENC» ~AO DOS LOGARITMOS

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Larissa Ribas Amorim
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1 Logaritmos e hist oria 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE S~AO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA JOHN NAPIER, HENRY BRIGSS E A INVENC» ~AO DOS LOGARITMOS Jo~ao Carlos V. Sampaio sampaio@dm.ufscar.br 1 John Napier No in ³cio do s eculo XVII, um rico e inteligente lorde escocês pôs-se a pensar sobre como simpli car c alculos matem aticos dos astrônomos e de outros cientistas aplicados. Acontecia µa epoca que, por necessidade de precis~ao acurada dos c alculos, os astrônomos se viam diante da tarefa de multiplicar dois ou mais n umeros de 8 ou mais casas decimais cada, bem como de extrair ra ³zes quadradas ou c ubicas desses n umeros. Como n~ao existiam calculadoras nem m aquinas de calcular, tais c alculos lhes custavam horas de trabalho. John Napier esteve algum tempo empenhado em escrever um livro para provar que o papa de sua epoca era o Anti-Cristo, atrav es de uma nova interpreta»c~ao do Apocalipse de S~ao Jo~ao. Nas horas vagas, para aliviar-se de suas disputas religiosas, estudava matem atica. Durante suas atividades de èntretenimento', inventou os logaritmos. 2 Aarma»c~ao Napier tinha tomado conhecimento, lendo um trabalho de Stifel, um outro matem atico da epoca, de que, com uma tabela ajeitada, uma t abua de logaritmos (palavra inventada por Napier) era poss ³vel substituir multiplica»c~oes e divis~oes por adi»c~oes e subtra»c~oes. O que Napier chamava de t abua de logaritmos era uma tabela de duas colunas (ou de duas linhas), colocando em correspondência os termos de uma progress~ao geom etrica (na verdade, potências de um certo n umero) com os de uma progress~ao aritm etica. Abaixo temos um exemplo simples de uma t abua de logaritmos

2 2 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Repare que esta \t abua de logarimos" tem a seguinte estrutura: a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a sendo, no exemplo, a =2. Para multiplicar, por exemplo 32 por 256, procuramos na tabela os n umeros correspondentes na segunda linha, que s~ao 5 e 8. Somando-se 5 e 8 obtemos 13. Localizando a soma 13 na segunda linha, vemos que seu correspondente na primeira linha e Conclu ³mos ent~ao que = 8192, um resultado que podemos conferir. Para dividir 2048 por 128, tomamos os n umeros correspondentes, 11 e 7 e calculamos 11 7 = 4.On umero da primeira linha correspondente a 4 e 16. Portanto = 16. O sucesso do m etodo prov em das conhecidas leis a m a n = a m+n e a m a n = a m n Assim, e = =2 5+8 =2 13 = = = =2 4 =16 Oproblemadenossat abua e que ela nos permite um n umero restrito de multiplica»c~oes e divis~oes. Isto porque as potências de 2 crescem muito rapidamente. Napier ent~ao pensou em considerar um n umero bem pr oximo de 1, cujas potências crescessem lentamente, proporcionando um grande n umero de produtos e quocientes ìnstantâneos'. Como µaquela epoca, os valores num ericos que os astrônomos mais manipulavam eram valores de senos e cossenos, seria interessante, pensou Napier, uma t abua com grande quantidade de n umeros entre 0 e Entendeu? 1. Se os n umeros da primeira linha est~ao em progress~ao geom etrica e da segunda linha est~ao em progress~ao aritm etica, preencha os espa»cos vaziosdaseguintet abua Como vimos, se você tem uma tabela de potências de um certo n umero real, você pode multiplicar ou dividir `mentalmente' duas potências desse n umero, desde que o resultado n~ao esteja fora da tabela. Na tabela abaixo, s~ao dadas as potências sucessivas de 1+ p 2, de expoentes de 1 at e 10. Indique, na mesma tabela, sem efetuar multiplica»c~oes, o produto (3 + 2 p 2) ( p 2) e o quociente ( p 2) ( p 2).

3 Logaritmos e hist oria 3 1+ p p p p p p p p p p 2 3. Na tabela 1 abaixo temos, com seis casas decimais, as potências de 0; , desde (0; ) 1 =0; at e (0; ) 20 =0; Tal como Napier, fa»ca instantaneamente os seguintes c alculos: (a) 0; ; (b) 0; ; (c) p 0; (d) 3p 0; (e) (0; ; ) (0; p 0; ) 3 John Napier e suas espertezas John Napier era um cara esperto. Conta uma lenda que, para apanhar os pombos de um vizinho seu, que viviam lhe importunando, deu-lhes ervilhas embebidas em u ³sque. Quando tontearam, apanhou-os um a um. Seu vizinho cou a pensar se Napier n~ao seria um bruxo. Para construir sua primeira t abua de logaritmos, Napier considerou as potências de um n umero bem pr oximo de 1, a saber, as potências de a = =0; De modo a simpli car nosso texto, suporemos que Napier considerou a = = 0; 999, em lugar de No que segue abaixo, indicaremos por Nap log a o logaritmo de a segundo Napier. Inicialmente, Napier de niu e assim por diante. Nap log 0; 999 = 1 Nap log(0; 999) 2 = 2 Nap log(0; 999) 3 = 3 Agora, comooc alculo das potências de a =0; 999, atrav es de multiplica»c~oes, e trabalhoso (sendo muito mais trabalhoso o c alculo das potências de 0, ). Napier ent~ao teve uma id eia simpli cadora. Ele notou que se a =0; 999 = ,ent~ao a 2 = a a = a ( )=a a=1000 a 3 = a 2 a = a 2 ( )=a 2 a 2 =1000

4 4 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar e assim por diante. Agora, se a =0; 999 ent~ao a=1000 = 0; , eassim a 2 = a a=1000 = 0; ; = 0; a 3 = a 2 a 2 =1000 = 0; ; = 0; = 0; (arredondando) Napier ent~ao calculou as pot^encias de a =0; 999 de a 2 at e a 50, fazendo subtra»c~oes sucessivas. De nindo ent~ao Nap log 0; = 1 Nap log 0; = Nap log(0; 999) 2 =2 Nap log 0; = Nap log(0; 999) 3 =3. Nap log 0; = Nap log(0; 999) 50 =50; Napier construiu uma tabela de logaritmos como a seguinte, emparelhando cada n umero com seu Nap log, a primeira tabela de logaritmos de que se tem not ³cia na hist oria. Tabela 1. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

5 Logaritmos e hist oria 5 Napier calculou centenas de logaritmos (Nap logs) de n umeros comprendidos entre a =0; e b =0; , pois naquela epoca interessava muito aos cientistas uma tabela de logaritmos das fun»c~oes seno e cosseno. Napier publicou suas t abuas de logaritmos em 1614, sob um t ³tulo algo parecido com Maravilhosa Descri»c~ao do Cânon dos Logaritmos, tendo levado 20 anos para concluir todos os seus c alculos com a precis~ao que as ciências demandavam. 4 John Briggs visita Napier Henry Briggs era um professor de Matem atica que, tendo tomado conhecimento das t abuas de logaritmos de Napier, resolveu visit a-lo. Diz-se que nessa ocasi~ao, hospedou-se por um mês no castelo de Merchiston, em Edinburgo, Esc ocia, onde Napier morava. Tendo visitado Napier, ambos discutiram sobre a utilidade de se construir uma t abua de logaritmos de base 10. Briggs assumiu essa tarefa e publicou uma t abua, ainda incompleta, de logaritmos decimais em 1624, entitulada Aritm etica Logar ³tmica. Como hoje sabemos, cada n umero real positivo x pode ser escrito em nota»c~ao cient ³ ca, ouseja,naforma x = a 10 n sendo a um n umero real satisfazendo 1 a<10 e n um expoente inteiro positivo. Assim, por exemplo, 32; 12 = 3; ; 456; 72 = 4; ; 0; 0452 = 4; ; etc. Briggs percebeu que, sendo x = a 10 n a representa»c~ao de x > 0 em nota»c~ao cient ³ ca, chamando log x ologaritmodecimaldex, ou seja o n umero real log 10 x, teria log x = log(a 10 n )=loga + log 10 n = n +loga sendo portanto su ciente conhecer os logaritmos dos n umeros a satisfazendo 1 a<10. Ao logaritmo do n umero a, 1 a<10, Briggs chamou de mantissa do logaritmo de x. Aoexpoentede10nanota»c~ao cient ³ ca de x, Briggs chamou de caracter ³stica do logaritmo de x. Assim, cou log x = caracter ³stica + mantissa.

6 6 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Para construir uma t abua de mantissas, Briggs primeiramente considerou a seqäu^encia de n umeros reais 10; p q p 10; p 4 10 = 10; etc. ; calculando v arios deles. Obteve assim a seguinte tabela n m =2 n x = mp 10 log x =1=m 1 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Para calcular, por exemplo, log 2, Napier procedeu da seguinte maneira. Procurou na tabela acima a primeira raiz 2 n - esima de 10 imediatamente abaixo de 2, encontrando 1; = 10 1=4. Calculou ent~ao 2 1; = 1; Procurou ent~ao a primeira raiz imediatamente abaixo de 1; 12468, que e 1; Calculou ent~ao 1; ; = 1; seguintes c alculos: Analogamente, prosseguiu nos 1; ; = 1; ; ; = 1; ; :00056 = 1; Recomp^os ent~ao 2 = 1; ; = 1; ; ; = 1; ; ; ; 00961

7 Logaritmos e hist oria 7 = 1; ; ; ; ; = 10 1= = = = =4096 = 10 1=4+1=32+1=64+1=256+1=4096 obtendo log 10 2 = 1=4+1=32 + 1=64 + 1= =4096 = 0; Refer^encias bibliogr a cas que serviram de base para o presente texto [1] Anglin, W.S., Mathematics: A Concise History and Philosophy. Springer-Verlag, New York, [2] Anglin, W.S., The Heritage of Thales. Springer-Verlag, New York, [3] Eves, H., Introdu»c~ao µa Hist oria da Matem atica. Trad. de H.H. Domingues. Editora da Unicamp, Campinas, 1995.

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