FUNC» ~OES E ALGUMA HIST ORIA

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1 Um pouquinho da hist oria das func»~oes 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ~AO CARLOS CENTRO DE CI^ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA OENSINODA ALGEBRA ELEMENTAR ATRAV ES DE SUA HIST ORIA Prof. Jo~ao C.V. Sampaio. sampaio@dm.ufscar.br FUNC» ~OES E ALGUMA HIST ORIA Uma hist oria (pouco esclarecedora) do desenvolvimento do conceito de fun»c~ao. Apalavrafun»c~ao, eml ³ngua latina, foi usada pela primeira vez por Leibniz, em 1694, e novamente por Johann Bernoulli em Em ambos os casos ela se referia a uma f ormula relacionando uma vari avel aoutras. Por exemplo, enquanto x denota uma vari avel, Leibniz e Bernoulli diriam que x 2 e uma fun»c~ao (da vari avel x). Um tal conceito est a relacionado a uma f ormula y = x 2. Em linguagem moderna dizemos, com rela»c~ao a essa f ormula, que a vari avel y e uma fun»c~ao da vari avel x. Segundo Ren e Descartes e Pierre de Fermat, matem aticos da primeira metade do s eculo 17, a f ormula y = x 2, por sua vez, representa uma curva num plano cartesiano. Um ponto (x; y) desse plano faz parte dessa curva caso satisfa»ca µa equa»c~ao y = x 2. Na primeira metade do s eculo 19, o matem atico Dirichlet criou todos os termos t ecnicos que s~ao atualmente usados no estudo das fun»c~oes. Dirichlet e o criador dos seguintes conceitos relacionados µa de ni»c~ao de fun»c~ao: Uma vari avel e um s ³mbolo que representa um elemento gen erico de um conjunto de n umeros. Se duas vari aveis x e y est~ao relacionadas de modo que a cada valor dado a x corresponde, por meio de uma regra ou f ormula, um unico valor da vari avel y, dizemos que y e uma fun»c~ao da vari avel x. Se y e fun»c~ao da vari avel x, avari avel x, µa qual se atribuem valores tomados num certo conjunto de n umeros, e chamada

2 2 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar vari avel independente da fun»c~ao. Nessa fun»c~ao, a vari avel y e a vari avel dependente, (pois cada valor de y depende de um valor atribu ³do a x). O conjunto dos valores num ericos que x pode assumir e chamado dom ³nio ou campo de de ni»c~ao da fun»c~ao. J a o conjunto de todos os poss ³veis valores que y possa vir a ter (que dependem dos poss ³veis valores de x) e chamado conjunto-imagem ou campo de valores da func~ao. O m etodo de Descartes e Fermat para se estudar geometria atrav es da algebra. Segundo o grande historiador e matem atico Morris Kline, os criadores da matem atica aplicada n~ao foram dois cientistas das ciências aplicadas. Foram na verdade o l osofo francês Ren e Descartes e o jurista e funcion ario p ublico francês Pierre de Fermat. Em pesquisas independentes, ambos criaram a Geometria Anal ³tica, ou seja, a geometria de coordenadas. Nessa geometria, cada ponto de um plano e associado a um par de n umeros, e equa»c~oes envolvendo duas vari aveis representam certas guras geom etricas. Dito dessa forma, n~ao d a para saber do que se trata. Geometria anal ³tica s o se aprende fazendo. Geometria anal ³tica e um m etodo que entrela»ca a algebra com a geometria euclidiana. Na geometria anal ³tica plana fazemos uso de equa»c~oes alg ebricas em duas vari aveis para tirarmos conclus~oes geom etricas. Para entender como esses dois s abios foram inspirados a criar esse m etodo, recapitularemos brevemente o racioc ³nio empregado por Descartes, segundo a descri»c~ao de Morris Kline. Descartes havia decidido, ap os profundas re ex~oes los o cas, que sempre que tivesse que resolver problemas, partiria de considera»c~oes bem simples em dire»c~ao µas mais complexas, tentando assim resolver problemas complexos \quebrando-os" em problemas mais simples. Suponhamos que nos e dada, formulou Descartes, uma curva como a da gura abaixo. Amaissimplescurva e linha reta. Fixemos uma linha reta para, atrav es dela, proceder a um estudo da curva. Esta curva pode ser pensada, disse Descartes, como

3 Um pouquinho da hist oria das func»~oes 3 sendo gerada por um ponto P,que e a extremidade de um segmento vertical AP,que se apoia perpendicularmente na reta por um ponto A. Quando o ponto A se move para a direita ou para a esquerda, o ponto P se move na curva num movimento de sobe e desce. Assim, a curva pode ser estudada pelo movimento de um ponto P que,situadosobreacurva,semoveparacimaeparabaixo como extremidade de um segmento vertical AP apoiado perpendicularmente numa linha reta atrav es do ponto m ovel A. Mas como e queestasconsidera»c~oespodemelucidaranaturezadacurva? A ³ entra a genialidade de Descartes. Para estudar a curva, Descartes propôs o uso de linguagem alg ebrica. Quando a linha vertical AP se desloca para a direita, a distância do ponto A a um ponto xo O, localizado na linha reta, e umavari avel x. Por sua vez, a distância de P µa linha reta e umavari avel y que, por sua vez, depende de x. Assim, a cada posi»c~ao do ponto P na curva estudada, corresponder~ao um valor x eumvalory. Se o ponto A est a µadireitadeo, avari avel x e umn umero positivo. Se o ponto A est a µaesquerdadeo, x e o negativo da distância de A a O. Analogamente y e positivo ou negativo conforme P esteja acima ou abaixo da reta referencial.a reta de referência e hoje conhecida como eixo Ox. Posteriormente µa inven»c~ao de Descartes, foi introduzido mais um eixo de referência, vertical, passando por O. A partir de ent~ao x e y passaram a representar o deslocamento dos pontos A e B, negativos ou positivos, em rela»c~ao ao ponto O, quando P se move na curva, sendo PA e PB respectivamente perpendiculares aos eixos coordenados Ox e Oy.

4 4 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Exerc ³cios recomendados por Descartes 1. Descubra qual e a equa»c~ao que relaciona as vari aveis x e y na representa»c~ao alg ebrica de cada uma das curvas dadas abaixo, em rela»c~ao ao sistema de coordenadas indicado em cada gura. (a) (b) Resposta: x 2 + y 2 =25[Sugest~ao: Use o teorema de Pit agoras.] Resposta: y = x Exerc ³cios recomendados por Dirichlet 2. Esboce, num sistema de coordenadas cartesianas, o gr a co de cada uma das fun»c~oes dadas abaixo. Com base no seu esbo»co, determine o dom ³nio D e conjunto-imagem I da fun»c~ao dada. Em cada item, e dadaaf ormula relacionando as vari aveis x (vari avel independente) e y (vari avel dependente) da fun»c~ao considerada. (a) y =2x +1. Resposta: D = R, I = R (b) y = x 2. Resposta: D = R, I = R (c) y = x 3. Resposta: D = R, I = R (d) y = p x. Resposta: D = fx 2 R j x 0g, I = fx 2 R j x 0g (e) y = 3p x. Resposta: D = R, I = R (f) y = 1. Resposta: D = fx 2 R j x 6= 0g, I = fx 2 R j x 6= 0g x

5 Um pouquinho da hist oria das func»~oes 5 Pesquisa do dom ³nio de uma fun»c~ao elementar Como vimos no exerc ³cio acima, dada uma fun»c~ao y = f(x), nem todo valor da vari avel x corresponde a um valor da vari avel y. Os valores reais de x que produzem valores de y constituem o dom ³nio ou campo de de ni»c~ao da fun»c~ao. Determine o dom ³nio de cada uma das seguintes fun»c~oes. Em alguns itens, o conhecimento de como resolver inequa»c~oes do primeiro e do segundo graus e um pr e-requisito. 1. f(x) = 1 x y = p x y = 3p x g(x) = p 2+x x 2 5. h(x) = 3p x x 3 6. f(x) = 2x+1 x 2 3x+2 7. f(x) = 4p 2+x x 2 8. g(x) = p x + 1 p 2+x 9. f(x) = 4p x x 3 Pesquisa do conjunto-imagem de uma fun»c~ao atrav es do esbo»co de seu gr a co Determine, atrav es de um esbo»co do gr a co, o conjunto-imagem de cada uma das seguintes fun»c~oes. Em alguns casos ser a necess ario determinar primeiramente o dom ³nio da fun»c~ao (a nal, os valores de y dependem dos valores de x, n~ao e mesmo?). 1. y = p x y = 3p x y = 5+x 6x 2 4. f(x) =2x 2 3x 2 5. g(x) =21 x 2x 2 6. f(x) = p x h(x) = p 2 x 2 8. y = p 21 x 2x 2 9. f(x) = 4p 2+x x 2

6 6 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Pesquisa do conjunto-imagem de uma fun»c~ao como dom ³nio da rela»c~ao inversa. Af ormula y = x 2 de ne y como fun»c~ao de x. Ela nos diz claramente que y depende de x, ou seja, a cada valor atribu ³do a x corresponder a um valor de y, asaberx 2.Se tentamos isolar x, expressando-o em termos da vari avel y, obtemosx = p y. Esta ultima f ormula n~ao de ne x como fun»c~ao de y pela seguinte raz~ao: os matem aticos convencionaram que, numa rela»c~ao funcional, a cada valor da vari avel independente dever a corresponder um unico valor da vari avel dependente. Sendo x = p y,a cada valor dado a y (que nesta f ormula e a vari avel independente), correspondem dois valores de x, sendo eles p y e p y. Uma tal f ormula de ne ent~ao o que chamar ³amos a rela»c~ao inversa da fun»c~ao y = x 2. Se a f ormula x = g(y) darela»c~aoinversadafun»c~ao y = f(x) etamb em uma f ormula de fun»c~ao, ela e denominada f ormula da fun»c~ao inversa da fun»c~ao y = f(x). Note agora que a f ormula x = p y nos determina que podemos utilizar somente valores n~ao negativos de y. Comoesta eaf ormula da rela»c~ao inversa da fun»c~ao y = x 2, e como o conjunto-imagem de uma fun»c~ao e o dom ³nio da sua rela»c~ao inversa (pense nisto), deduzimos que o conjunto-imagem da fun»c~ao y = x 2 e o conjunto I = fy 2 R j y 0g Por pesquisa do conjunto-imagem como dom ³nio da rela»c~ao inversa, damos ainda o seguinte exemplo. Suponhamos que queremos determinar o conjunto-imagem da fun»c~ao y = 2x 1. x+1 Resolvendo essa equa»c~ao em x (isolando a vari avel x), obtemos x = 1+y,ou(2 y)x = 2 y 1+y. Umaf acil inspe»c~ao veri ca que para y = 2 (e somente para y =2),n~ao h a x que satisfa»ca af ormula. Portanto y = 2 e ponto exclu ³do do conjunto-imagem da fun»c~ao. Determine o conjunto-imagem de cada fun»c~ao dada abaixo, determinando o dom ³nio da fun»c~ao (ou rela»c~ao) inversa. Em outras palavras, resolva a equa»c~ao y = f(x) em x, determinando x = f 1 (y). Em seguida, determine os valores de y para os quais se de ne x = f 1 (y). 1. y =3 5x 2. y = p 3 5x 3. y = 5p 3 5x 4. f(x) = 1 4x 1+5x 5. g(x) = 3 q 2x x f(x) = 1 x 2 1

7 Um pouquinho da hist oria das func»~oes 7 Galileu Galilei, o pai da modelagem matem atica Galileu, de sobrenome Galilei, nasceu em Floren»ca em 1564, o ano do nascimento de Shakespeare. A ele se deve um m etodo empregado com sucesso na ciência moderna. A ele tamb em se deve a introdu»c~ao das fun»c~oes para descrever fenômenos do mundo f ³sico. O m etodo criadopor Galileu consiste em obter descri»c~oes quantitativas de fenômenos naturais, independentemente de quaisquer explica»c~oes de causa desses fenômenos. Galileu e considerado pelos f ³sicos como sendo o pai da f ³sica matem atica. Antes de Galileu, l osofos e cientistas concentravam-se em explicar o porquê dos fenômenos naturais. Com Galileu, nasceu a procura de f ormulas matem aticas descrevendo como esses fenômenos ocorrem. Note que uma f ormula matem atica descrevendo um fenômeno n~ao e, em geral, uma explica»c~ao das causas do fenômeno! O importante para Galileu n~ao era saber porquê mas como as coisas ocorrem. Na descri»c~ao de fenômenos f ³sicos, os gregos e seus sucessores tamb em utilizavam f ormulas (de forma n~ao simb olica por em) para descrever relacionamentos entre grandezas f ³sicas (tais como velocidade, tempo, distância, peso, etc.. Essas\f ormulas" por em eram \deduzidas" a partir de re ex~oes los o cas da pr opria mente, e n~ao a partir de experimentos. Por exemplo, a f ormula V = F=Rdescrevia, para Arist oteles, a velocidade V de uma pedra em queda livre. Segundo a f ormula, a velocidade V e diretamente proporcional µa for»ca F determinada pelo peso do corpo e inversamente proporcional µa resistência R do meio onde o corpo se move. Esta f ormula carecia de con rma»c~ao por experimentos f ³sicos. Ela era fruto de conjeturas los o cas acerca da queda dos corpos. Experimentalmente veri ca-se que a velocidade de um corpo em queda tende a aumentar µa medida em que ele cai. Pela f ormula acima a velocidade V deve manter-se constante durante a queda, j a que a for»ca F e determinada pelo peso do corpo, que e constante. O aumento da velocidade do corpo era \explicado" pela turbulência do ar, da parte da frente para a parte de tr as, em torno do corpo em queda. Mas o que Galileu tem mesmo a ver com a hist oria das fun»c~oes? Galileu foi o primeiro f ³sico a propor a descri»c~ao de fenômenos naturais atrav es de f ormulas matem aticas, area hoje conhecida como modelagem matem atica. Assim por exemplo, a velocidade v de um corpo em queda livre, mostrou Galileu, e uma func~ao da vari avel t, o n umero de segundos decorridos desde o in ³cio de sua queda.

8 8 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar Galileu descobriu experimentalmente que A velocidade de uma pedra em queda livre, medida em metros por segundo, e 9; 8 vezes o n umero de segundos decorridos desde o in ³cio de sua queda. Aa rma»c~ao acima, em letras it alicas, e um exemplo de umafun»c~ao. Primeiramente, ela lida com quantidades que mudam continuamente de valor, que s~ao as vari aveis velocidade e tempo decorrido. Em segundo lugar, ela determina que a cada n umero de segundos decorridos corresponde um valor para a velocidade do corpo em queda. Assim, ap os 1 segundo, a velocidade do corpo e 9; 8m=s, ap os 2 segundos, ela e 19; 6m=s, e assim por diante. Em s ³mbolos, a declara»c~ao acima diz que, se um corpo cai em queda livre, tendo partido do estado de repouso, ent~ao, ap os t segundos, sua velocidade ser a v =9; 8 t Este relacionamento funcional simb olico entre as duas vari aveis v e t e a f ormula para a fun»c~ao descrita retoricamente acima. Suponha agora que o corpo atinge o solo ap os 10 segundos. Ent~ao a f ormula acima s o tem sentido f ³sico para 0 t 10. No entanto, a f ormula v =9; 8 t tem signi cado para todos os poss ³veis valores reais de t. Assim, a f ormula funcional e mais geral do que a situa»c~ao f ³sica que ela descreve. Conta a lenda que Galileu subia na Torre de Pisa e de l a soltava pares de pedras de diferentes tamanhos e pesos, tendo conclu ³do que todas levavam praticamente o mesmo tempo para chegar ao solo. A partir deste experimento ele concluiu que se n~ao houver a resist^encia do ar,uma pluma e uma pedra,caindo a partir de uma mesma altura, chegam ao solo simultaneamente! Problemas complementares 1. Considere a f ormula da velocidade de um corpo em queda livre, partindo do repouso, t segundos ap os o in ³cio de sua queda, v =9; 8t Veri que que, em cada segundo transcorrido, a velocidade do corpo aumenta em 9; 8m=s. Isto quer dizer que a velocidade do corpo em queda aumenta 9; 8m=s por segundo. Esta varia»c~ao na velocidade chama-se acelera»c~ao. Diz-se ent~ao que, neste caso, a acelera»c~ao do corpo e de(9; 8m=s)=s, ou seja, de 9; 8m=s 2.Esta e a assim chamada acelera»c~ao da gravidade da Terra. 2. Galileu notou que se uma pedra e lan»cada em queda livre, partindo do repouso, a dist^ancia d (em metros) percorrida por ela, ap os t segundos, e dada pela f ormula d = 9; 8 2 t2 ; ou seja, d =4; 9t 2

9 Um pouquinho da hist oria das func»~oes 9 Nesta f ormula, o n umero 9; 8 aparece quanti cando a acelera»c~ao da gravidade (em m=s 2 ) e nela Galileu menosprezava a resistênciadoar. (a) Quantos metros a pedra cai em 1 segundo? E em 2 segundos? E em 3 segundos? (b) Se uma pedra cai do topo de um pr edio e leva 4 segundos para chegar ao solo, qual e a altura do edif ³cio? 3. Galileu observou que se uma pedra e lan»cada (verticalmente) para baixo com uma velocidade inicial de v 0 metros por segundo, ent~ao (a) a velocidade da pedra, t segundos ap os seu lan»camento, e dada pela f ormula v = v 0 +9; 8t (b) a distância que ela percorre em t segundos ap os o seu lan»camento, e dada pela f ormula d = v 0 t + 9; 8 2 t2 Se ela for lan»cada para cima com velocidade inicial v 0 m=s, ent~ao (a) sua velocidade ap os t segundos ser a v = v 0 t 9; 8t (b) a altura por ela atingida ap os t segundos ser a h = v 0 t 9; 8 2 t2 Neste caso, a pedra e desacelerada µa medida em que sobe, da ³ ossinais\ " nas duas f ormulas. Com base nas informa»c~oes acima, responda: (a) Qual e a altura m axima que a pedra atinge se e lan»cada para cima com uma velocidade inicial de v 0 metros por segundo? (b) Qual e a velocidade da pedra no instante em que ela atinge sua altura m axima? (c) Se quisermos que a pedra atinja uma altura de 500 metros, com que velocidade devemos lan»c a-la para cima? Para nalizar, uma surpresa: no tempo de Galileu, o moderno rel ogio de ponteiros ainda n~ao havia sido inventado! Referências utilizadas para a confec»c~ao do presente texto: [E] Eves, H. Introdu»c~ao µa Hist oria da Matem atica. Editora da UNICAMP, Campinas, 1995.

10 10 Jo~ao Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar [K1] Kline, M. Mathematics in The Western Culture Oxford University Press, New York, [K2] Kline, M. Mathematics for the Nonmathematician Dover Publications, Inc., New York, 1985.