Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

Transcrição

1 Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

2 Aula 21: A Matemática Árabe e o Nascimento da Álgebra 18/05/2015 2

3 Império árabe Arábia situada numa região desértica entre o mar Vermelho e o Golfo Pérsico (Capital Bagdá) - séculos VIII a XII

4 Conhecimento matemático dos árabes Obras matemáticas clássicas gregas; Saber matemático Teorias eternizadas pelo caráter formal e sistemático dos Elementos de Euclides. Artes práticas e mecânicas Provinha do senso comum e do saber prático. Conhecimento oriental (matemática prática e recreativa de babilônicos e egípcios);

5 Conhecimento matemático dos árabes A partir do século IX, ocorre a produção de uma nova Matemática. Investigação teórica das artes práticas e técnicas, assim como o pensamento científico influencia as práticas. Teorias Práticas

6 A Álgebra árabe Produto de práticas compartilhas com diversas civilizações no contexto do império árabe. Definida no contexto como Álgebra como Classificação e resolução de equações

7 Equação É uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas, objetivando encontrar um valor desconhecido, denominado incógnita. A palavra equação vem da mesma raiz latina que produziu as palavras igual e igualdade. A essência da Ciência é o estabelecimento de correlações entre fatos, conceitos e ideias, e utiliza as equações como linguagem para expressar tais correlações. 18/05/2015 7

8 Equação Qualquer problema que possa ser solucionado através de números, certamente será tratado, direta ou indiretamente, por meio de equações. Tipos de equações: algébricas, exponenciais, trigonométricas, ou diferenciais.

9 Equações Algébricas São aquelas em que a incógnita aparece apenas submetida às operações aritméticas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação. Exemplos: Algébricas Não algébricas ax 2 + b = 0 x 3 + 2x = e x ax 2 + bx + c = 0 cos x + x 2 cos 3x = 5 x 3 + 8x = 64 arctg x = π 4 x 2 = 4 + x 3 mx 5 + 7x 3 + k = 8 18/05/2015 9

10 Equações Polinomiais Quando pode ser colocada da forma: a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 com n N e a i R 18/05/

11 Resolução de Equações Lineares Os egípcios não conheciam álgebra, mas conseguiam resolver problemas que recaiam em equações do tipo ax = b Pela engenhosa técnica do número falso. Diversas civilizações utilizaram a técnica dos egípcios. 18/05/

12 Problemas do Papiro de Rhind Problemas práticos para determinar um número. Cálculo de área de terrenos, Número de ladrilhos para uma construção, Alimentação do gado, Quantidade de grãos de trigo armazenados, Preço do pão e da cerveja. 18/05/

13 A regra da Falsa Posição Nestes problemas o número procurado era sempre representado pela mesma palavra: Exemplo: Um montão, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26. Digam-me: Qual é a quantidade? 18/05/

14 A regra da Falsa Posição Inicialmente atribuíam a montão um valor falso. Se montão for 18 então = 39 Os valores 18 e 39 eram usados para montar uma regra de três simples com os elementos do problema: = montao 26 montão = 12 18/05/

15 Regra da inversão hindu Do livro de Bhaskara: Lilavati e Vija-Ganita: Qual é o número que, multiplicado por 5, aumenta depois 9, se divide por 6, se multiplica por si mesmo, se acrescenta a 19 e, depois de extraída a raiz quadrada, diminui 2, se divide por 4 e dá 2? (Bhaskara) 18/05/

16 Regra da inversão hindu Texto Operação se divide por 4 e dá = 8 diminui = 10 depois de extraída a raiz quadrada 10 2 = 100 se acrescenta a = 81 se multiplica por si mesmo 81 = 9 se divide por = 54 aumenta depois = 45 multiplicado por 5 45: 5 = 9 18/05/

17 Problema Hindu de Aritmética do século VII Resolva pela regra da inversão: Um colar se rompeu num embate amoroso. Uma fileira de pérolas escapou. A sexta parte dentre elas ao solo caiu. A quinta parte na cama ficou. Um terço pela jovem se salvou. A décima parte o namorado recolheu. E com seis pérolas o colar ficou. Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados. 18/05/

18 Técnica Grega das proporções Primeiramente se constrói um segmento de reta x dado por a : b = c : x ou a : x = x : b em que a, b, c são segmentos de reta dados. x 2 = ab ax = bc 18/05/

19 Contribuições dos gregos: Os Elementos Entidades iguais a uma terceira são iguais entre si. Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem iguais. A parte é menor que o todo. Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais.

20 Contribuição dos árabes Equações Al-jabr Al-muqabala Al-Khwarizmi Resolução de equações lineares e quadráticas O livro da Restauração e do Balanceamento Traduziu Os Elementos para o árabe. (±800 d.c.) 18/05/

21 Desenvolvimento da Álgebra Árabe A partir dos trabalhos de Al-Khwarizmi, a álgebra tornou-se parte importante da matemática árabe. Considerada também Álgebra Geométrica, pois os árabes demonstravam seus resultados algébricos por processos geométricos. 18/05/

22 Classificação Árabe das Equações Al-Khowarizmi reduziu as equações lineares e quadráticas em seis tipos: 1. Quadrados iguais a raízes. 2. Quadrados iguais a números. 3. Raízes iguais a números. 4. Quadrados e número iguais a raiz. ax 2 = bx ax 2 =c 5. Quadrados e raízes iguais a número. 6. Raízes e números iguais a quadrados. bx =c ax 2 + c = bx ax 2 + bx =c bx + c = ax 2 18/05/

23 Resolução de Equações Quadráticas ax 2 + bx + c = 0 Em notação moderna, o método hindu de resolução x = b2 4ac b 2a 18/05/

24 Raízes (jidhr) x Quadrados (mal) x 2 Al-jabr Qual é o quadrado que combinado com 10 de suas raízes é igual a 39 unidades? A forma de resolver este tipo de equação é tomar metade das raízes. As raízes diante de nós são 10. Portanto tomai 5 Simbologia atual x x = = 5 que multiplicado por si mesmo dá = 25 um total que você vai adicionar a 39 resultando em = 64 Tendo tomado a raiz desta que é 8 64 = 8 Subtrair metade das raízes deixando 3 x = 8 5 = 3

25 A regra hindu para resolução de Equações Quadráticas Bhaskara (~1150) imortalizou, na Índia do século XII, o nome da filha Lilaváti em um livro de Álgebra e Geometria que continha o método para resolução de equações do segundo grau, conforme ele mesmo relatou de autoria do matemático hindu Sridhara (~1025). 18/05/

26 Sridhara (Índia século XI) Desenvolveu um método para resolver qualquer equação polinomial do segundo grau. Fundamentou-se na ideia de reduzir o grau da equação, extraindo raízes quadradas. 18/05/

27 2x 2 5x + 3 = 0 ax 2 + bx + c = x2 5 2 x = 0 2 a a x2 + b a x + c a = 0 a x x = 0 x2 + b a x + c a = 0 x x x x = 3 2 = x 2 + b a x + b 2a 2 x 2 + b a x = c a = c a + b 2a 2 x = x + b 2a 2 = 4ac + b2 4a 2 x 5 4 = ± 1 16 x + b 2a = ± b2 4ac 4a 2 x = 5 4 ± 1 4 x = b 2a ± b2 4ac 2a x = 5 ± 1 4 x = b ± b2 4ac 2a

28 Implicações do método de Sridhara Equações podem ter mais do que uma solução, na época positivas (é claro!). Em alguns casos, a aplicação do método conduzia a uma coisa misteriosa. O método aplicado a algumas equações como x 2 + 2x + 5 = 0 Produzia a raiz quadrada de um número negativo. 18/05/

29 Resolução de Equações Cúbicas A solução de uma equação cúbica do tipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Pode ser vista como a interseção de duas cônicas. ax x 2 + b a x = c a d ax parábola hipérbole

30 Omar Khayyam Império Persa, século XI Poeta, matemático e astrônomo; Participou da a reforma do calendário Persa, que ficou mais realístico que o calendário Juliano utilizado na Europa; Construiu numerosas tabelas astronômicas; Tratados de álgebra que foram difundidos na Europa durante a Idade Média. 18/05/

31 Álgebra de Omar Khayyam Em seu livro de álgebra, Khayyám se refere a outros trabalhos seus que, por infelicidade, estão hoje perdidos. Álgebra de natureza geométrica, resolveu equações lineares e quadráticas por métodos que estão presentes na Geometria de Euclides. Descobriu um método para resolução de equações cúbicas, por meio da intersecção de uma parábola com um círculo mas, pelo menos em parte, este método já havia sido descrito por outros autores. 18/05/

32 Método de Khayyam para resolução de Equações Cúbicas Resolução geométrica de uma cúbica se dá pela intersecção de duas curvas cônicas, construídas no mesmo plano cartesiano. 18/05/

33 Referências GARBI, G. O romance das equações algébricas GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. Contando a história da matemática. São Paulo: Ática, ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.