An eis de polin^omios

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1 2 An eis de polin^omios 2.1 Primeiros conceitos Seja A um anel comutativo, com elemento unidade 1. Express~oes simb olicas da forma p(x) =a 0 + :::+ a n x n = nx a k x k = a n x n + :::+ a 0 k=0 em que a 0 ;:::a n 2 A e n 2 N, s~ao chamadas polin^omios sobre A (ou com coe cientes em A), na indeterminada x. Na nota»c~ao de polin^omios, convenciona-se que x 0 =1;x 1 = x =1 x, e1 x k = x k, para cada k 2 N. Assim, por exemplo, em Z 3 [x], x 2 + x +2 e o polin^omio 1x 2 + 1x + 2. Desde j a, denotaremos por A[x] o conjunto desses polin^omios. De ni»c~ao (Igualdade de polin^omios) Dados dois polin^omios em A[x], f(x) =a n x n + :::+ a 0 e g(x) =b m x m + :::+ b 0 ; com n m, dizemos que f(x) =g(x) se e somente se a k = b k ; para 0 k m e a k =0sek>m De ni»c~ao (Adi»c~ao de polin^omios) Dados dois polin^omios em A[x], f(x) =a n x n + :::+ a 0 e g(x) =b m x m + :::+ b 0 ; com n m, de ne-se f(x)+g(x) =(a n + b n )x n + :::+(a 0 + b 0 ); convencionando-se que b k =0para k>m. 15

2 De ni»c~ao (Multiplica»c~ao de polin^omios) Sendo f(x) =a n x n + :::+ a 0 e g(x) =b m x m + :::+ b 0 ; dois polin^omios em A[x], de ne-se f(x) g(x) = m+n X k=0 c k x k = c n+m x n+m + :::+ c 0 ; sendo c k = P i+j=k a ib j,paracadak, 0 k m + n. Para ilustrar a de ni»c~ao acima, tomemos o caso n =3;m =2,ouseja,f(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0,eg(x) =b 2 x 2 + b 1 x + b 0. Ent~ao f(x) g(x) = (a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 )(b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ) = a 3 b 2 x 5 +(a 3 b 1 + a 2 b 2 )x 4 +(a 3 b 0 + a 2 b 1 + a 1 b 2 )x 3 + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 )x 2 +(a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + a 0 b 0 Teorema Sendo A um anel comutativo, com unidade, o conjunto A[x], comas opera»c~oes + e de nidas acima, e um anel comutativo com unidade u(x) = 1, elemento zero z(x) =0,emque,sep(x) = P n k=0 a kx k 2 A[x], ent~ao seu inverso aditivo (oposto) e o polin^omio p(x) = P n k=0 ( a k)x k 2 A[x]. Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao deste teorema e f acil mas rotineiramente longa, e ser a omitida aqui. De ni»c~ao (Grau de um polin^omio) Sendo f(x) = P n k=0 a kx k, n 0, dizemos que f(x) tem grau n, e denotamos grau (f(x)) = n, sea n 6=0. Neste caso, dizemos tamb em que a n eocoe ciente dominante de f(x) (e que a n x n eotermo dominante ou termo de maior grau de f(x)). Se f(x) e o polin^omio nulo, diremos que f(x) tem grau 1 (\menos in nito"). Note que, neste caso, o grau de f(x) e apenas simb olico, signi cando que o grau de f(x) n~ao e um n umero natural Proposi»c~ao Seja A um anel comutativo com unidade e sejam polin^omios em A[x]. Ent~ao f(x) =a n x n + :::+ a 0 e g(x) =b m x m + :::+ b 0 1. grau (f(x) + g(x)) maxfgrau (f(x)); grau (g(x))g (convencionando-se que 1 <n;8n 2 N) 2. Se a n 6=0e a n n~ao e divisor pr oprio de zero, ent~ao grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x)) convencionando-se, caso necess ario, que n +( 1) = 1. 16

3 Demonstra»c~ao.. 1. Se f(x) =0ou g(x) =0, nada temos a provar. Se f(x) 6= 0e g(x) 6= 0, suponhamos que grau (f(x)) = n m =grau(g(x)). Se n>ment~ao o termo dominante de f(x)+g(x) ser a a n x n eteremosgrau (f(x)+ g(x)) = n =maxfn; mg. Se n = m, ent~ao f(x)+g(x) =(a n + b n )x n + :::+(a 0 + b 0 ).Da ³, grau (f(x)+ g(x)) = n, sea n + b n 6=0, enquanto que grau (f(x)+g(x)) <n,sea n + b n =0. 2. Se a n 6=0e b m 6=0,ent~ao f(x)g(x) =a n b m x n+m + termos de menor grau, e assim, como a n b m 6=0(pois a n n~ao e divisor pr oprio de zero), temos grau (f(x)g(x)) = n + m =grau(f(x)) + grau (g(x)) Se g(x) =0,teremosf(x)g(x) =0,eent~ao grau (f(x)g(x)) = 1 = n + ( 1) = grau (f(x)) + grau (g(x)). Corol ario Seja A um anel de integridade e sejam f(x) e g(x) polin^omios em A[x]. Ent~ao vale a igualdade grau f(x)g(x) =grauf(x) + grau g(x) convencionando-se que ( 1)+( 1) = 1 e, 8n 2 N, n +( 1) =( 1)+n = 1. Demonstra»c~ao.. Suponhamos f(x) =a n x n + :::+ a 0 e g(x) =b m x m + :::+ b 0. Se a n 6=0ou b m 6=0, usamos diretamente o resultado da proposic~ao 2.1.1, j a que, num anel de integridade n~ao h a divisores pr oprios de zero. Se f(x) =0ou g(x) =0,temos grau (f(x)g(x)) = 1 = ( 1)+( 1) ou ( 1)+m ou n +( 1) = grau(f(x)) + grau (g(x)) Corol ario Se A e um anel de integridade ent~ao A[x] tamb em e umanelde integridade. Demonstra»c~ao.. Se f(x) e g(x) s~ao polin^omios em A[x], ambos n~ao nulos, ent~ao o grau de cada um e um n umero natural. Assim, de onde f(x)g(x) 6= 0. grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x)) 2 N; Logo, A[x] n~ao possui divisores pr oprios de zero e ent~ao, como e um anel comutativo com elemento unidade, e um anel de integridade. 17

4 De ni»c~ao (Fun»c~ao polinomial induzida por um polin^omio) Dado um polin^omio p(x) =a n x n +:::+ a 0 2 A[x], a ele corresponde uma fun»c~ao p: A! A, de nida por nx p( ) =a n n + :::+ a 0 = a k k; 8 2 A Essa fun»c~ao p e chamada fun»c~ao polinomial associada ao polin^omio p(x) ou fun»c~ao polinomial induzida pelo polin^omio p(x). Observa»c~ao Dois polin^omios diferentes podem induzir fun»c~oes polinomiais iguais! Por exemplo, em Z 3 [x], os polin^omios p(x) =x 3 e q(x) =x s~ao diferentes. Mas para cada a 2 Z 3 = f0; 1; 2g, tem-sea 3 = a (veri que). Assim, as fun»c~oes polinomiais induzidas p e q s~ao iguais. De ni»c~ao (Ra ³zes ou zeros de um polin^omio) Dado um polin^omio p(x) 2 A[x], dizemos que um elemento c 2 A e raizouzerodep(x) se p(c) =0. k=0 2.2 Divis~ao euclidiana Teorema (Algoritmo da divis~ao euclidiana em K[x], K um corpo) Suponhamos que K e umcorpo. Ent~ao, dados dois polin^omios f(x) e g(x) em K[x], com g(x) 6= 0, existem polin^omios q(x) e r(x) em K[x], satisfazendo f(x) = g(x) q(x) + r(x); e grau(r(x)) < grau (g(x)) (convencionando-se que 1 < m;8m 2 N) Al em disso, os polin^omios q(x) e r(x), nas condi»c~oes acima, s~ao unicos. Prova da exist^encia de q(x) e r(x). Suponhamos f(x) =a n x n + :::+ a 0,eg(x) =b m x m + :::+ b 0, sendo b m 6=0 (por hip otese, g(x) 6= 0). Se grau (f(x)) < grau (g(x)) ent~ao a exist^encia de q(x) e r(x) est a automaticamente garantida: f(x) =g(x) 0+f(x) e, assim sendo, basta tomar q(x) =0e r(x) = f(x) para termos f(x) = g(x)q(x) + r(x) com grau (r(x)) < grau (g(x)). Suponhamos ent~ao que grau (f(x)) > grau (g(x)) e fa»camos a prova da exist^encia de q(x) e r(x) por indu»c~ao sobre n =grau(f(x)), utilizando o segundo princ ³pio de indu»c~ao nita. Seja k um inteiro 0 e suponhamos que propriedade de exist^encia de q(x) e r(x) se veri ca quando grau (f(x)) k. Suponhamos ent~ao que grau (f(x)) = k +1, sendo k +1>m=grau(g(x)). Considere o polin^omio r 1 (x) =f(x) a k+1 b 1 m x k+1 m g(x). Temos ent~ao r 1 (x) = f(x) a k+1 x k+1 m g(x) 18

5 = (a k+1 x k+1 + :::+ a 0 ) a k+1 b 1 m xk+1 m (b m x m + :::+ b 0 ) = (a k+1 x k+1 + :::+ a 0 ) (a k+1 x k+1 + termos de menor grau) Note que no c alculo acima, o termo a k+1 x k+1 e cancelado, logo grau (r 1 (x)) <k+1, ou seja grau (r 1 (x)) k. Por hip otese de indu»c~ao, Logo, r 1 (x) =g(x)q 1 (x)+r(x); com grau (r(x)) < grau (g(x)) f(x) = r 1 (x)+a k+1 b 1 m x k+1 m g(x) = g(x)q 1 (x)+r(x)+a k+1 b 1 = g(x)[q 1 (x)+a k+1 b 1 m x k+1 m ]+r(x) = g(x)q(x)+r(x) m xk+1 m g(x) sendo grau (r(x)) < grau (g(x)). Prova da unicidade de q(x) e r(x). Suponhamos que existam polin^omios q 1 (x);q 2 (x);r 1 (x) e r 2 (x), satisfazendo f(x) =g(x)q 1 (x)+r 1 (x) =g(x)q 2 (x)+r 2 (x) com grau (r 1 (x)) < grau (g(x)) e grau (r 2 (x)) < grau (g(x)). Ent~ao teremos Se q 1 (x) q 2 (x) 6= 0,ent~ao, Por outro lado, g(x)[q 1 (x) q 2 (x)] = r 2 (x) r 1 (x) grau (r 2 (x) r 1 (x)) = grau (g(x)[q 1 (x) q 2 (x)]) = grau(g(x)) + grau (q 1 (x) q 2 (x)) grau (g(x)) grau (r 2 (x) r 1 (x)) maxfgrau (r 1 (x)); grau (r 2 (x))g < grau (g(x)) e temos ent~ao uma contradi»c~ao. Portanto os polin^omios q(x) e r(x) s~ao determinados de maneira unica. Observa»c~ao Sendo f(x) e g(x) 6= 0polin^omios em K[x], denotamos f(x) r(x) g(x) q(x) para representar o fato de que f(x) =g(x)q(x)+r(x). Se grau (r(x)) < grau (q(x)), diremos que q(x) e r(x) s~ao, respectivamente, o quociente e o resto da divis~ao euclidiana de f(x) por g(x). 19

6 Proposi»c~ao (Divis~ao euclidiana em A[x], A um anel comutativo com unidade) Sejam A um anel comutativo com unidade e sejam f(x) e g(x) dois polin^omios dados em A[x], comg(x) 6= 0. Se o coe ciente dominante de g(x) e invert ³vel em A, ent~ao existem polin^omios q(x) e r(x) em A[x], satisfazendo f(x) = g(x) q(x) + r(x); e grau(r(x)) < grau (g(x)) (convencionando-se que 1 < m;8m 2 N) Al em disso, os polin^omios q(x) e r(x), nas condi»c~oes acima, s~ao unicos. Demonstra»c~ao.. A prova desta proposi»c~ao e a mesma usada para provar o Teorema Note que l a, para provar a exist^encia de q(x) e r(x) zemos uso t~ao somente do fato de que o coe ciente dominante de g(x) e invert ³vel. Para a prova da unicidade de q(x) e r(x) zemosusodoresultadodaproposi»c~ao Aqui tamb em temos \grau (g(x)[q 1 (x) q 2 (x)]) = grau (g(x)) + grau (q 1 (x) q 2 (x))", pois o coe ciente dominante de g(x), sendo invert ³vel, n~ao e divisor pr oprio de zero. Proposi»c~ao Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x) 2 A[x], ea 2 A. O resto da divis~ao euclidiana de f(x) por x a e a constante f(a). Demonstra»c~ao.. Notemos primeiramente que o coe ciente dominante de x a e 1, que e invert ³vel em A. Assim sendo, a divis~ao euclidiana de f(x) por x a e poss ³vel. Como grau (x a) =1, o resto da divis~ao de f(x) por x a e um polin^omio constante r(x) =k. Temos ent~ao f(x) =(x a)q(x) +k para algum polin^omio q(x) em A[x]. Logo, f(a) =(a a)q(a)+k = k. De ni»c~ao Sendo f(x) e f(x) polin^omios em A[x], A um anel comutativo com unidade, dizemos que f(x) e fator de g(x), ou que f(x) divide g(x), ou ainda que g(x) e divis ³vel por f(x), e denotamos f(x) j g(x), seg(x) =f(x)q(x) para algum polin^omio q(x) 2 A[x]. Corol ario Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x) 2 A[x], ea 2 A. Ent~ao a e raizdef(x) se e somente se x a e um fator de f(x) (ou seja f(x) = (x a)q(x) para algum polin^omio q(x) 2 A[x]). Demonstra»c~ao.. Utilizando a proposi»c~ao anterior, a e raiz de f(x), f(a) =0, o resto da divis~ao de f(x) por x a e 0. Logo, a e raizdef(x), f(x) e divis ³vel por x a. Exemplo Daremos aqui um exemplo de uma divis~ao euclidiana em Z 12 [x]. Consideremos em Z 12 [x], f(x) =4x 4 + 2x 3 + 6x + 2 e g(x) =5x 2 + x + 2. Como o coe ciente dominante de g(x), 5, einvert ³vel em Z 12, existem q(x) e r(x) satisfazendo f(x) = g(x)q(x) + r(x), e grau (r(x)) < 2 = grau (g(x)). Al em disso, 20

7 conforme a proposi»c~ao 2.2.1, os polin^omios q(x) e r(x), satisfazendo tais condi»c~oes, s~ao unicos. Para calcular q(x) e r(x) usamos o m etododachave. Dispomos inicialmente os polin^omios f(x) e g(x) num diagrama como segue: 4x 4 + 2x 3 + 0x 2 + 6x + 2 5x 2 + x + 2 Em seguida, calculamos o \quociente dos termos dominantes," (4x 4 )=(5x 2 )= 5 1 4x 2 = 5 4x 2 = 20x 2 = 8x 2, e completamos o diagrama iniciado acima, escrevendo otermo8x 2 abaixo da \chave." Este termo e o termo dominante do quociente q(x). 4x 4 + 2x 3 + 0x 2 + 6x + 2 5x 2 + x + 2 8x 2 A seguir, calculamos o produto 8x 2 (5x 2 +x+2) = 4x 4 +8x 3 +4x 2 e escrevemo-lo sob o \dividendo" f(x): 4x 4 + 2x 3 + 0x 2 + 6x + 2 5x 2 + x + 2 4x 4 + 8x 3 + 4x 2 8x 2 Obtemos ent~aooprimeiro\restointermedi ario" r 1 (x), calculando a diferen»ca f(x) 8x 2 g(x) =f(x) (4x 4 + 8x 3 + 4x 2 ). 4x 4 + 2x 3 + 0x 2 + 6x + 2 5x 2 + x + 2 4x 4 + 8x 3 + 4x 2 8x 2 6x x 2 + 6x + 2 Reiteramos ent~ao o algoritmo, agora como se part ³ssemos de dividir r 1 (x) =6x x 2 +6x+2 por g(x). Agora somamos (6x 3 )=(5x 2 )=5 1 6x = 5 6x = 30x = 6x ao termo 8x 2 previamente calculado, calculamos ent~ao o produto 6x g(x), escrevemo-lo abaixo do primeiro resto intermedi ario r 1 (x) e calculamos a diferen»ca r 1 (x) 6x g(x). 4x 4 + 2x 3 + 0x 2 + 6x + 2 5x 2 + x + 2 4x 4 + 8x 3 + 4x 2 8x 2 + 6x 6x x 2 + 6x + 2 6x 3 + 6x 2 4x 2 + 6x + 2 Tendo obtido ent~ao um segundo \resto intermedi ario," r 2 (x) =4x 2 +6x+2. Note que r 2 (x) =r 1 (x) 6x g(x) =f(x) 8x 2 g(x) 6x g(x) =f(x) (8x 2 + 6x)g(x). Finalmente completamos o quociente q(x) com o termo (4x 2 )=(5x 2 )=5 1 4=5 4= 20 = 8 e nalizamos a divis~ao euclidiana subtraindo 4x 2 + 8x + 4 de 4x 2 + 6x + 2: 21

8 4x 4 + 2x 3 + 0x 2 + 6x + 2 5x 2 + x + 2 4x 4 + 8x 3 + 4x 2 8x 2 + 6x + 8 6x x 2 + 6x + 2 6x 3 + 6x 2 4x 2 + 6x + 2 4x 2 + 8x x + 10 Assim, obtemos q(x) =8x 2 + 6x + 8 e r(x) =10x + 10, satisfazendo f(x) = q(x)g(x)+r(x) (veri que), e grau (r(x)) = 1 < grau (g(x)). 2.3 M aximo divisor em K[x], K um corpo De ni»c~ao (Polin^omio m^onico) Sendo A um anel comutativo com unidade, um polin^omio p(x) 2 A[x] e dito ser m^onico se p(x) 6= 0e o seu coe ciente dominante (coe ciente do termo de maior grau) e iguala1, a unidade do anel A. Assim, um polin^omio m^onico em A[x] e um polin^omio da forma p(x) =x n + a n 1 x n 1 + :::+ a 0. Proposi»c~ao Sejam K um corpo e f(x), g(x) e h(x) polin^omios em K[x]. 1. Se f(x) j g(x) ent~ao ( f(x)) j g(x), 8 2 K, 6= Se f(x) j g(x) e g(x) j h(x) ent~ao f(x) j h(x). 3. Se f(x) j g(x) e f(x) j h(x) ent~ao f(x) j ( g(x)+ h(x)), 8 ; 2 K. 4. Se f(x) j g(x) e f(x) j (g(x) h(x)) ent~ao f(x) j h(x). 5. Se f(x) j h(x) e h(x) j f(x) ent~ao f(x) = h(x), para algum 2 K, 6= Se f(x) j h(x) e h(x) j f(x), eamboss~ao polin^omios m^onicos, ent~ao f(x) =h(x). De ni»c~ao Sendo f(x) e g(x) dois polin^omios em K[x], K um corpo, dizemos que d(x) 2 K[x] e umm aximo divisor comum de f(x) e g(x), sed(x) satisfaz as duas propriedades: 1. d(x) divide ( e fator de) ambos f(x) e g(x); 2. todo polin^omio p(x) que divide f(x) e g(x) tamb em divide d(x) (simbolicamente: 8p(x) 2 K[x]; p(x) j f(x) e p(x) j g(x) ) p(x) j d(x)) Proposi»c~ao Sejam K um corpo, e f(x) e g(x) polin^omios em K[x]. 22

9 1. Se f(x) =g(x) =0,ent~ao d(x) =0 e m aximo divisor comum de f(x) e g(x). Reciprocamente, d(x) =0 e m aximo divisor comum de f(x) e g(x) somente se f(x) =g(x) =0. 2. Se d(x) 2 K[x] e m aximo divisor comum de f(x) e g(x), ent~ao, para cada 2 K, 6= 0, d(x) tamb em e m aximo divisor de f(x) e g(x). 3. Se d 1 (x) e d 2 (x) s~ao m aximos divisores comuns de dois polin^omios f(x) e g(x), ent~ao d 1 (x) = d 2 (x), para algum 2 K, 6= Se d 1 (x) e d 2 (x) s~ao polin^omios m^onicos, e ambos s~ao m aximos divisores comuns de dois polin^omios f(x) e g(x), ent~ao d 1 (x) =d 2 (x), ouseja,s opodehaverum m aximo divisor comum m^onico de dois polin^omios f(x) e g(x). Demonstra»c~ao.. 1. Um m aximo divisor comum d(x) de f(x) e g(x) e fator de ambos os polin^omios. Al em disso, segundo a de ni»c~ao 2.3.2, d(x) e divis ³vel por todo fator de f(x) e g(x). Se f(x) =g(x) =0, d(x) deve ser divis ³vel por 0, logo s o podeser0. Reciprocamente, se d(x) =0 e um m aximo divisor comum de f(x) e g(x) ent~ao e fator de ambos, logo f(x) =g(x) =0. 2. A prova e deixada como exerc ³cio. 3. Sendo d 1 (x) e d 2 (x) ambos m aximos divisores comuns de f(x) e g(x), pela segunda condi»c~ao na de ni»c~ao 2.3.2, temos que f(x) j g(x) e g(x) j f(x), logo pela proposi»c~ao 2.3.1, f(x) = g(x) para algum 2 K, 6= EconseqÄu^encia imediata do item 3. Observa»c~ao Dados dois polin^omios f(x) e g(x) em K[x], K um corpo, denotamos d(x) =mdc(f(x);g(x)) se d(x) e m^onico e e umm aximo divisor comum de f(x) e g(x). Conforme o ultimo item da proposi»c~ao 2.3.2, um m aximo divisor comum de tal natureza e unico. Tamb em usaremos a mesma nota»c~ao no caso 0=mdc(0; 0). Teorema (Exist^encia de mdc (f(x);g(x))) Sendo f(x) e g(x) dois polin^omios em K[x], K um corpo, n~ao simultaneamente nulos, existe um polin^omio m^onico d(x) que e m aximo divisor comum de f(x) e g(x). Demonstra»c~ao.. Considere o conjunto A = fp(x) j p(x) =a(x)f(x)+b(x)g(x); com a(x) eb(x) emk[x]; e p(x) 6= 0g Notemos que A6= : como f(x) 6= 0ou g(x) 6= 0, um dos polin^omios 1 f(x)+ 0 g(x) e 0 f(x)+1 g(x) e n~ao nulo. 23

10 Como o grau de cada polin^omio em A e umn umero natural, pelo princ ³pio do menor n umero natural, existe em A um polin^omio d(x), digamos d(x) = (x)f(x)+ (x)g(x), de menor grau poss ³vel. A rmamos que d(x) e umm aximo divisor comum de f(x) e g(x). Provaremos primeiramente que d(x) j f(x). Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em K[x], K um corpo, temos que existem q(x);r(x) 2 K[x], comf(x) =d(x)q(x)+r(x) e grau (r(x)) < grau (d(x)). Se r(x) =0,ent~ao f(x) =d(x)q(x) eportantod(x) j f(x). Mostraremos ent~ao a impossibilidade de termos r(x) 6= 0: Supondo r(x) 6= 0,teremos r(x) = f(x) d(x)q(x) = f(x) [ (x)f(x)+ (x)g(x)]q(x) = [1 (x)q(x)]f(x)+[ q(x) (x)]g(x) logo, r(x) 2A. Mas 0 grau (r(x)) < grau (d(x)) etemosent~ao uma contradi»c~ao, pois dentre os polin^omios de A, d(x) e o de menor grau. Analogamente, prova-se que d(x) j g(x). Para nalizar a prova de que d(x) e umm aximo divisor comum de f(x) e g(x), suponhamos que h(x) e um polin^omio em K[x] tal que h(x) j f(x) e h(x) j g(x). Ent~ao, h(x) j ( (x)f(x) + (x)g(x)), ouseja,h(x) j d(x). Portanto, conforme a de ni»c~ao 2.3.2, d(x) e um m aximo divisor comum de f(x) e g(x). 2.4 Algoritmo euclidiano para o c alculo do mdc em K[x], K um corpo Lema Sejam f(x) e g(x) dois polin^omios em K[x], K um corpo, com g(x) 6= 0, e seja r(x) o resto da divis~ao euclidiana de f(x) por g(x). Ent~ao mdc (f(x);g(x)) = mdc (g(x);r(x)) Demonstra»c~ao.. Seja d(x) =mdc(f(x);g(x)). Por hip otese, f(x) =g(x)q(x) +r(x), ou seja, r(x) =f(x) g(x)q(x). Como d(x) j f(x) e d(x) j g(x), temos que d(x) j r(x). Assim, d(x) j g(x) e d(x) j r(x). Seja agora p(x) um polin^omio em K[x] que divide g(x) e r(x). Mostraremos que p(x) divide d(x). 24

11 Como f(x) = g(x)q(x) +r(x), temos que p(x) j f(x). p(x) j g(x) ) p(x) j d(x). Assim, pela de ni»c~ao 2.3.2, d(x) =mdc(g(x);r(x)). Logo, p(x) j f(x) e Lema Sejam K um corpo, f(x) e g(x) polin^omios em K[x], ambosn~ao nulos, e de namos uma seqäu^encia de polin^omios em K[x] da seguinte forma: 1. r 1 (x) =f(x); 2. r 2 (x) =g(x); 3. Para cada ³ndice k, comk 2, ser k (x) 6= 0,de ne-ser k+1 (x) como sendo o resto da divis~ao euclidiana de r k 1 (x) por r k (x): eser k (x) =0, a seqäu^encia termina em r k (x). r k 1 (x) r k (x) r k+1 (x) Ent~ao a seqäu^encia r 1 (x);r 2 (x);::: e nita e termina num zero, ou seja, existe um indice n tal que r n (x) 6= 0e r n+1 (x) =0. Demonstra»c~ao.. Temos que r 1 (x) e r 2 (x) s~ao polin^omios n~ao nulos e r 3 (x) e o resto da divis~ao de r 1 (x) por r 2 (x). Ent~ao ou r 3 (x) =0. Se r 3 (x) =0, tomamos n =2e temos o resultado enunciado. Se r 3 (x) 6= 0,temos0 grau (r 3 (x)) < grau (r 2 (x)) ede nimosr 4 (x), oresto da divis~ao de r 2 (x) por r 3 (x). Teremos ent~ao grau (r 4 (x)) < grau (r 3 (x)) < grau (r 2 (x)). Suponhamos ent~ao que para um determinado ³ndice k, temos grau (r k (x)) < grau (r k 1 (x)) <:::<grau (r 2 (x)). Ent~ao, ou r k (x) =0ou podemos de nir r k+1 (x), o resto da divis~ao de r k 1 (x) por r k (x). Teremos ent~ao grau (r k+1 (x)) < grau (r k (x)) < grau (r k 1 (x)) <:::<grau (r 2 (x)) A sequ^encia de graus tem um primeiro elemento, que e 1, sucedido pela seqäu^encia de n umeros naturais, logo n~ao pode decrescer inde nidamente, de onde existe um ³ndice n tal que r n (x) 6= 0mas r n+1 (x) =0. Teorema (Algoritmo Euclidiano para o c alculo do mdc) Seja K um corpo, e sejam f(x) e g(x) polin^omios n~ao nulos em K[x], esejar 1 (x), r 2 (x),:::, r n (x), r n+1 (x), aseqäu^encia de nida pelo lema Ent~ao r n (x) e umm aximo divisor comum de f(x) e g(x). 25

12 Demonstra»c~ao.. Pelas hip oteses do lema 2.4.2, temos r 3 (x) e o resto da divis~ao de r 1 (x) por r 2 (x) ::: r k+1 (x) e o resto da divis~ao de r k 1 (x) por r k (x) (se r k (x) 6= 0) ::: r n (x) e o resto da divis~ao de r n 2 (x) por r n 1 (x) r n 1 e divis ³vel por r n (x) (visto que r n+1 (x) =0). Temos ent~ao, usando repetidas vezes o resultado do lema 2.4.1, r n (x) = mdc(r n 1 (x);r n (x)) = mdc(r n 2 (x);r n 1 (x)). = mdc(r k 1 (x);r k (x)) = mdc(r k (x);r k+1 (x). = mdc(r 3 (x);r 2 (x)) = mdc(r 2 (x);r 1 (x)) = mdc(g(x);f(x)) = mdc (f(x);g(x)) 26

13 2.5 Problemas do Cap ³tulo 2 1. Liste todos os polin^omios de grau 2 em Z 3 [x]. 2. Quantos s~ao os polin^omios de grau 3 em Z 4 [x]? 3. Calcule o quociente e o resto da divis~ao euclidiana de x 7 +1 por 2x 3 +1 em Q[x]. 4. Calcule o quociente e o resto da divis~ao euclidiana de x 7 +1 por 2x 3 +1 em Z 3 [x]. 5. Calcule d(x) =mdc(f(x);g(x)), nos casos: (a) f(x) =x 5 + x 4 + x 3 + 1, g(x) =x 5 + x 2 + x + 1, emz 2 [x]. (b) f(x) =x 4 + x 3 + x 2 + 2, g(x) =x 4 + 1, emz 3 [x]. (c) f(x) =x 27 1, g(x) =x 16 1, emq[x]. 6. Quantas ra ³zes em Z 6 possui o polin^omio p(x) =x 3 + 5x 2 Z 6 [x]? 7. Em Z 6 [x], (2x + 3)(3x + 5) = x + 3. Isto n~ao contradiz a propriedade de que grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x))? 8. Prove os resultados enunciados na proposi»c~ao Prove que se f(x) e g(x) s~ao polin^omios sobre K, K um corpo, n~ao simultaneamente nulos, ent~ao mdc (f(x);g(x)) e o polin^omio m^onico d(x) de maior grau que e fator de ambos f(x) e g(x). 10. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre (prove) que (a) Um divisor pr oprio de zero em A e tamb em um divisor pr opriodezeroem A[x]. (b) Se A[x] tem divisores pr oprios de zero, ent~ao A tamb em os tem. (c) A[x] e um anel de integridade se e somente se A e um anel de integridade. 11. Mostre que se p e primo,ent~ao, em Z p [x], (x + a) p = x p + a p.[sugest~ao: Mostre que se p e primoe1 n p 1 ent~aoon umero binomial p n e divis ³vel por p. Depois aplique a f ormula do bin^omio de Newton, (x + a) p = P p p n=0 n x n a p n. Note que p n = p! esempreuminteiro,pois eon umero de combina»c~oes de n!(p n)! p objetos, tomados n a n. Repare tamb em que se 1 n<p,osinteirosn! e (p n)! n~ao cont em o primo p como fator, mas p! sim.] 12. (Algoritmo de Briot-Ru±ni para divis~ao por x a) SejamA um anel comutativo com unidade e seja a um elemento de A. Dado um polin^omio f(x) 2 A[x], de grau n 1, para efetuar divis~ao euclidiana de f(x) por x a podemos recorrer a um algoritmo pr atico que dispensa a divis~ao pelo m etodo da chave. Suponhamos que f(x) =a n x n + a n 1 x n 1 + :::+ a 1 x + a 0.Dispomososcoe cientes de f(x) no diagrama a n a n 1 ::: a 1 a 0 a b n b n 1 ::: b 1 b 0 27

14 no qual os coe cientes b n ;b n 1 ;:::;b 1 e b 0 s~ao calculados da seguinte forma: b n = a n b n 1 = a b n + a n 1. b 1 = a b 2 + a 1 b 0 = a b 1 + a 0 Mostre que os polin^omios quociente e resto da divis~ao de f(x) por x a s~ao respectivamente q(x) =b n x n 1 + b n 1 x n 2 + :::+ b 2 x + b 1 e r(x) =b 0. [Sugest~ao: (autor: Robinson) Deduza que grau (q(x)) = n 1 eescrevaq(x) = b n x n 1 + b n 1 x n 2 + :::+ b 2 x + b 1 e r(x) =b 0. Agora, usando o fato de que g(x) =(x a)q(x)+r(x) e comparando os coe cientes de ambos os termos desta igualdade, obtenha as rela»c~oes acima]. Note que o algoritmo de Briot-Ru±ni tamb em nos prov^e umm etodo alternativo para calcular f(a) =b 0. 28