M aximo divisor comum

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1 6 M aximo divisor comum 6.1 Conceitua»c~ao e propriedades elementares Se x e a s~ao inteiros, com a 6= 0,ex j a (lembre-se de que \x j a" signi ca \x divide a") ent~ao jxj jaj. Defato,comoa = xc, para algum inteiro c, ec 6= 0(pois a 6= 0), temos jcj 1, e portanto jxj jxjjcj = jxcj = jaj Como jxj jaj, jaj x jaj, sea 6= 0, o conjunto D(a), dos inteiros divisores de a, e limitado superiormente por jaj (e inferiormente por jaj). Se a =0,ent~ao D(a) =D(0) = Z, pois cada inteiro e divisor de zero. Agora, dados dois inteiros a e b, coma 6= 0ou b 6= 0, existe pelo menos um divisor comum de a e b, asaber,1, j a que 1 j a e 1 j b. Al em disso, se x 2 Z e um divisor comum de ambos a e b ent~ao, pela observa»c~ao acima, jxj jaj (se a 6= 0)oujxj jbj (se b 6= 0). Assim sendo, o conjunto dos divisores comuns de a e b, D(a) \ D(b), e limitado superiormente pelo maior dos inteiros jaj e jbj, e portanto possui um m aximo d, sendo d 1, j a que 1 j a e 1 j b. A este inteiro d chamamos m aximo divisor comum de a e b. De ni»c~ao 6.1 Dados dois inteiros a e b, coma 6= 0,oub 6= 0,chama-sem aximo divisor comum de a e b, aointeirod, denotadopormdc(a; b), elemento m aximo do conjunto D(a; b) =D(a) \ D(b). Sea = b =0,de nimosmdc(a; b) = mdc(0; 0) = 0 (muito embora n~ao exista o maior inteiro positivo divisor de 0). Equivalentemente, mdc(a; b) e o inteiro d 0 satisfazendo: 1. d =0,sea = b =0; 2. se a 6= 0ou b 6= 0, d e caracterizado pelas seguintes duas propriedades: (i) d j a e d j b; 46

2 M aximo divisor comum 47 (ii) Para cada x 2 Z, sex j a e x j b ent~ao x d. Exemplo 6.1 mdc(12; 28) = 4, pois D(12) = f 12; 6; 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12g, e D(28) = f 28; 14; 7; 4; 2; 1; 1; 2; 4; 7; 14; 28g Assim, D(12; 28) = D(12) \ D(28) = f 4; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 4g, que tem m aximo igual a 4, que e om aximo divisor comum de 12 e 28. Os divisores comuns de 28 e 84 s~ao 1; 2; 3; 4; 6; e 12. Portanto, mdc(24; 84) = 12. Analogamente, olhando os conjuntos de divisores comuns, conclu ³mos que mdc(35; 45) = 5, mdc(17; 25) = 1, mdc(0; 8) = 8 e mdc( 9; 15) = 3. Proposi»c~ao 6.1 Sendo a e b inteiros quaisquer, 1. mdc(a; 0) = jaj; 2. mdc(a; b) =mdc(jaj; jbj); 3. mdc(a; b) =mdc(b;a). Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao dos itens 2 e 3 e imediata, j a que, para todo x 2 Z, x j a e x j b, x j b e x j a, x jjaj e x jjbj e assim D(a; b) =D(b;a) =D(jaj; jbj) Demonstra»c~ao do item 1. Se a =0, mdc(a; 0) = mdc(0; 0) = 0 = jaj. Se a 6= 0, jaj divide a. Tamb em jaj divide 0. Agora, para cada x 2 Z, sex j a e x j 0, ent~ao x divide jaj, logo x jaj. Logo, pela de ni»c~ao de mdc, jaj = d =mdc(a; 0). 6.2 O algoritmo euclidiano para o c alculo do mdc Estabeleceremos agora um algoritmo para o c alculo de mdc(a; b), no caso em que a e b s~ao inteiros ambos n~ao nulos, realizado atrav es de uma seqäu^encia nita de divis~oes euclidianas. Antes de enunci a-lo ilustr a-lo-emos atrav es de um exemplo. Considere o problema de calcular mdc(91; 35). Come»camos fazendo

3 M aximo divisor comum Consideramos ent~ao o divisor 35 e o resto 21 dessa primeira divis~ao e efetuamos a divis~ao Euclidiana de 35 por Agora repetimos o processo iniciado acima, isto e, tomamos, na pr oxima divis~ao, 21 como dividendo e 14 como divisor: Finalmente, chegamos µa divis~ao exata Tendo chegado a um resto igual a zero, o algoritmo termina. O ultimo resto n~ao nulo, das divis~oes sucessivas realizadas, e o mdc procurado, ou seja, mdc(91; 35) = 7. Estaremos justi cando este algoritmo no teorema 6.1. Lema 6.1 Sejam a e b dois inteiros, com b 6= 0,esejar o resto da divis~ao Euclidiana de a por b. Ent~ao mdc(a; b) =mdc(b; r). Demonstra»c~ao. Para demonstrar o resultado enunciado no lema, e su ciente provar que todo divisor de a e b e tamb em divisor de b e r, e reciprocamente. Assim sendo, o maior divisor de a e b coincidir a com o maior divisor de b e r. Note que esse \maior divisor" existe, j a queb 6= 0. Temos, por hip otese, a = bq + r, logo r = a bq. Seja x um inteiro divisor de a e b. Ent~ao x j a e x j b ) x j (a qb) ) x j r Logo, x j b e x j r. Logo, D(a; b) ½ D(b; r). Agora, seja x um inteiro divisor de b e r. Ent~ao x j b e x j r ) x j (qb + r) ) x j a Logo, x j b e x j a. Logo, D(b; r) ½ D(a; b). Portanto, D(a;b) =D(b; r), e assim sendo, mdc(a; b)=maxd(a; b)=maxd(b; r) =mdc(b; r).

4 M aximo divisor comum 49 Lema 6.2 Sejam a e b inteiros ambos positivos com a b e de namos uma seqäu^encia de inteiros n~ao negativos da seguinte forma: ² r 1 = a; ² r 2 = b; ² Para cada ³ndice k, comk 2, ser k 6=0, r k+1 e o resto da divis~ao Euclidiana de r k 1 por r k : r k 1 r k r k+1 eser k =0,aseqÄu^encia termina em r k.ent~ao a seqäu^encia r 1 ;r 2 ;::: e nitaetermina em um zero, ou seja, existe um indice n tal que r 1 r 2 >:::>r n > 0 e r n+1 =0. Demonstra»c~ao. r k+1 <r k. Por hip otese, r 1 r 2 e, pela de ni»c~ao de r k+1,parak 2 temos Considere o conjunto de n umeros naturais S = fr 1 ;r 2 ;:::g. Como S ½ N e S 6=, peloprinc ³pio da boa ordena»c~ao dos n umeros naturais, S possui um m ³nimo, o qual denotaremos por r n+1. Pelo que foi observado acima, teremos r 1 r 2 > >r n >r n+1. A rmamos que r n+1 =0. Para justi car isto, basta observar que se r n+1 6=0 ent~ao podemos de nir r n+2 2 S como sendo o resto da divis~ao de r n por r n+1.teremos ent~ao 0 r n+2 <r n+1, contrariando o fato de r n+1 ser m ³nimo de S. Teorema 6.1 (Algoritmo euclidiano para o c alculo do mdc) Sejam a e b inteiros ambos positivos, com a b, e seja r 1 ;r 2 ;::: ;r n ;r n+1 aseqäu^encia de nida pelo lema 6.2, sendo r 1 r 2 >:::>r n >r n+1 =0 Ent~ao r n =mdc(a; b). Demonstra»c~ao. Para cada k 3, r k e o resto da divis~ao de r k 2 por r k 1. Pelo lema 6.1, mdc(r k ;r k 1 )=mdc(r k 1 ;r k 2 )

5 M aximo divisor comum 50 Logo r n =mdc(0;r n ) =mdc(r n+1 ;r n ) (pois r n+1 =0) =mdc(r n ;r n 1 ) (pelo lema 1) = ::: =mdc(r 3 ;r 2 ) =mdc(r 2 ;r 1 ) =mdc(a; b) 6.3 O mdc(a; b) caracterizado como combina»c~ao linear dos inteiros a e b O seguinte teorema, um teorema n~ao intuitivo de nossa introdu»c~ao µa aritm etica dos inteiros, nos d a uma segunda e importante caracteriza»c~ao do m aximo divisor comum. Teorema 6.2 Om aximo divisor comum de dois inteiros a e b, a 6= 0ou b 6= 0, ea menor combina»c~ao linear positiva de a e b, com coe cientes inteiros, ou melhor, e o menor inteiro positivo da forma ma + nb com m e n inteiros. Em outras palavras, se a 6= 0ou b 6= 0,ent~ao mdc(a; b) =minfx 2 Z j x>0 e x = ma + nb; com m; n 2 Zg Demonstra»c~ao. Sejad = ma + nb o menor inteiro positivo que e combina»c~ao linear de a e b, com coe cientes inteiros. A exist^encia de d e garantida pelo principio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos (existe uma combina»c~ao linear de a e b que e positiva: basta considerar jaj + jbj = ( 1)a +( 1)b). Vamos mostrar que d j a e d j b. Pelo algoritmo da divis~ao podemos escrever a = dq + r, paracertosinteirosq e r, com0 r<d. Logo r = a dq = a q(ma + nb) =(1 qm)a (qn)b, eportantor e uma combina»c~ao linear de a e b. Como 0 r<de d e o menor inteiro positivo que e uma combina»c~ao linear de a e b, conclu ³mos que r =0e que portanto d j a. Analogamente, podemos demonstrar que d j b. Para mostrar que d e om aximo divisor comum de a e b precisamos mostrar que qualquer divisor comum c de a e b e menor que ou igual a d.

6 M aximo divisor comum 51 Como d = ma + nb, sec j a e c j b, tem-se imediatamente que c j d, eportanto, c d. Corol ario 6.1 Se a e b s~ao inteiros e d =mdc(a; b), ent~ao existem inteiros r e s tais que d = ra + sb. De ni»c~ao 6.2 Dois inteiros a e b s~ao primos entre si ou relativamente primos se mdc(a; b) =1. Corol ario 6.2 Sendo a e b dois inteiros, a e b s~ao primos entre si se e somente se existem inteiros r e s satisfazendo ra + sb =1. Demonstra»c~ao. ()): Se mdc(a; b) = 1 ent~ao, pelo corol ario 6.1, existem inteiros r e s tais que ra + sb =1. ((): Reciprocamente, se ra+sb =1,ent~ao a 6= 0ou b 6= 0e, al em disso, 1 e amenor combina»c~ao linear positiva de a e b, com coe cientes inteiros. Pelo teorema 6.2, mdc(a; b) =1. Alternativamente, temos tamb em a seguinte demonstra»c~ao. Sendo ra + sb = 1, se x j a e x j b ent~ao x j (ra + sb), eassimx j 1. Logo, x 1. Portanto 1=mdc(a; b). Corol ario 6.3 Sejam a, b e c inteiros, com a 6= 0ou b 6= 0,emdc(a; b) =d. Ent~ao a=d e b=d s~ao inteiros primos entre si, ou seja, mdc a d ; b d =1. Demonstra»c~ao. Sendo mdc(a; b) =d, temos que d j a, d j b e existem inteiros r e s tais que ra + sb = d. Logo, r(a=d)+s(b=d) =1, e portanto os inteiros a=d e b=d s~ao primos entre si. A propriedade rec ³proca e tamb em facilmente deduzida, e ser a deixada para o leitor. Corol ario 6.4 Sejam a; b 2 Z e d =mdc(a; b). Sejam A = fx 2 Z j x = ma + nb; com m; n 2 Zg; e M = fy 2 Z j y = d; com 2 Zg: Ent~ao A = M, isto e, as combina»c~oes lineares ma + nb, comm e n inteiros, coincidem com os inteiros m ultiplos de mdc(a; b).

7 M aximo divisor comum 52 Demonstra»c~ao. Sea = b =0,temosd =0e A = M = f0g. Suponhamos ent~ao a 6= 0 ou b 6= 0. Para provar que A = M, provaremos que A ½ M e M ½ A. (i) A ½ M: Seja x um elemento de A. x 2 A ) x = ma + nb, paracertosinteirosm e n. Sendo d =mdc(a; b), temos que d j a e d j b ) d j (ma + nb) ) d j x ) x = d, para algum inteiro. Portanto, x 2 M. (ii) M ½ A: Seja y um elemento de M. y 2 M ) y = d, para algum inteiro. Pelo teorema 6.2, d = ra + sb, paracertosinteirosr; s. Logo, y = d = (ra + sb) =( r)a +( s)b. Portanto, y 2 A. Por (i) e (ii), temos A = M. Corol ario 6.5 (Caracteriza»c~ao alternativa do mdc) Sendo a e b dois inteiros dados, temos: 8 < (1) d 0 d =mdc(a; b), (2) d j a e d j b : (3) para todo x 2 Z; se x j a e x j b ent~ao x j d Demonstra»c~ao. ()): Note que (1) e (2) j a s~ao propriedades estabelecidas do mdc. Assim s o nos resta demonstrar que d =mdc(a; b) satisfaz µa condi»c~ao (3). Pelo teorema 6.2, d = ra + sb para certos inteiros r e s. Logo, para cada x 2 Z, se x j a e x j b ent~ao x j (ra + sb), logox j d. ((): Suponhamos que a = b =0, e que d e um inteiro satisfazendo as condi»c~oes (1), (2) e (3). Por (3), todo inteiro x que divide a e b deve tamb em dividir d. Agora, x =0 divide a e b, logo divide d. Mas 0 j d, d =0. Logo, pela de ni»c~ao 6.1, d =0=mdc(a; b). Suponhamos agora a 6= 0ou b 6= 0, e que d e um inteiro satisfazendo as condi»c~oes (1), (2) e (3). Por (2), d j a e d j b. Por (1) e (2), d>0.

8 M aximo divisor comum 53 Por (3), se x e um inteiro tal que x j a e x j b, ent~ao, x j d. Logo, como d>0, x d. Portanto, conforme a de ni»c~ao 6.1, d =mdc(a; b). Podemos ter inteiros a, b e c tais que a j bc, masa 6j b e a 6j c. Por exemplo, 6 j (4 15), mas66j 4 e 66j 15. No entanto, h a uma circunst^ancia particular em que podemos garantir que se a divide bc ent~ao a divide um dos fatores b e c. Proposi»c~ao 6.2 Dados inteiros a, b e c, sea j bc, ea e b s~ao primos entre si, ent~ao a j c. Demonstra»c~ao. Como a e b s~ao primos entre si, ra + sb =1para certos inteiros r e s. Logo, rac + sbc = c. Agora, a j (rac) e a j (sbc) (pois a j bc). Logo a j (rac + sbc), eportantoa j c. Proposi»c~ao 6.3 Sejam a e p inteiros, sendo p um n umero primo positivo. Ent~ao a n~ao e divis ³vel por p se e somente se a e p s~ao primos entre si. Demonstra»c~ao. ()) Sejama e p como no enunciado da proposi»c~ao, suponhamos que p 6j a, esejad =mdc(a; p). Ent~ao d>0, d j a e d j p. Como p e primo, temos que d =1ou d = p. Masp6j a e d j a, logo d =1,eportantoa e b s~ao primos entre si. (() Suponhamos agora que a e p s~ao primos entre si, ou seja mdc(a; p) =1. Como p j p, setamb em p j a, ent~ao mdc(a; b) p 2, e temos uma contradi»c~ao. Portanto p6j a. Proposi»c~ao 6.4 Sejam a, b e p inteiros, com p primo. p j b (podendo ser fator de ambos, a e b). Se p j ab ent~ao p j a ou Demonstra»c~ao. Temos que p j a ou p6j a. Se p 6j a, ent~ao, pela proposi»c~ao anterior, p e a s~ao relativamente primos. Como p j ab, pelaproposi»c~ao 6.2, temos que p j b. 6.4 Calculando inteiros r e s tais que mdc(a; b) = ra + sb. Veremos agora como o algoritmo euclidiano, do c alculo do mdc de dois inteiros, pode ser usado para obtermos o mdc como uma combina»c~ao linear desses inteiros.

9 M aximo divisor comum 54 Vimos acima que mdc(91; 35) = 7. Para expressar 7 como combina»c~ao linear de 91 e 35, consideramos as divis~oes euclidianas usadas no c alculo de mdc(91; 35), Lembremo-nos de que ultimo resto n~ao nulo, das divis~oes sucessivas realizadas, e o mdc procurado. As tr^es primeiras divis~oes estabelecem E ent~ao, isolando os restos, temos 91 = = = = = = de onde ent~ao obtemos, passo a passo, cada um dos tr^es restos como combina»c~ao linear de 91 e 35: 21 = , conformej a estabelecido. e nalmente ou seja, 7= ( 5) 35 7= = =35 ( ) =( 1) =( ) [( 1) ] 1 = ( 5) 35 obtendo-se assim 7=mdc(91; 35) como combina»c~ao linear r 91 + s 35, comr e s inteiros. Teorema 6.3 Sejam a e b inteiros ambos positivos com a b, e considere a seqäu^encia de nidanolema6.2,r 1 ;r 2 ;::: ;r n ;r n+1, em que r 1 = a, r 2 = b, r n = d =mdc(a; b) e r n+1 =0.Ent~ao cada r k,para1 k n, pode ser escrito como combina»c~ao linear de a e b.

10 M aximo divisor comum 55 Demonstra»c~ao. Pelo modo como a seqäu^encia e formada, Da ³, r 1 = r 2 q 2 + r 3 r 2 = r 3 q 3 + r 4. r n 2 = r n 1 q n 1 + r n r n 1 = r n q n : r 3 = r 1 r 2 q 2 r 4 = r 2 r 3 q 3. r n = r n 2 r n 1 q n 1 Temos que r 1 = a e r 2 = b s~ao combina»c~oes lineares de a e b. Logo, r 3 = r 1 r 2 q 2 = a bq 2 tamb em e combina»c~ao linear de a e b. que E supondo que r k 1 e r k, k 2, sejam combina»c~oes lineares de a e b, deduzimos r k+1 = r k 1 r k q k ser a tamb em combina»c~ao linear de a e b. Assim, cada r k (1 k n) e combina»c~ao linear de a e b. 6.5 O mdc de tr^es ou mais inteiros De ni»c~ao 6.3 Seja a 1 ;a 2 ;::: ;a n uma cole»c~ao nita de inteiros, n~ao todos nulos. O m aximo divisor comum dessa cole»c~ao e o maior inteiro d que divide simultaneamente todososinteirosdacole»c~ao, e ser a denotadopormdc(a 1 ;a 2 ;::: ;a n ). Se a 1 ;a 2 ;::: ;a n s~ao todos zeros, de nimos mdc(a 1 ;a 2 ;::: ;a n )=0. Por exemplo, mdc(12; 18; 30) = 6 e mdc(10; 15; 25) = 5. Proposi»c~ao 6.5 Se a 1 ;a 2 ;::: ;a n e uma cole»c~ao nita de inteiros, n~ao todos nulos, ent~ao mdc(a 1 ;a 2 ;::: ;a n 1 ;a n )=mdc(a 1 ;a 2 ;::: ;a n 2 ; mdc(a n 1 ;a n ) Demonstra»c~ao. Qualquer divisor comum dos inteiros a 1 ;a 2 ;::: ;a n e, em particular, um divisor de a n 1 e a n, e portanto um divisor comum dos inteiros a 1 ;a 2 ;::: ;a n 2, mdc(a n 1 ;a n ).

11 M aximo divisor comum 56 Reciprocamente, todo divisor comum de a 1, a 2, :::, a n 2,emdc(a n 1 ;a n ), eum divisor comum dos inteiros a 1 ;a 2 ;::: ;a n, pois para dividir mdc(a n 1 ;a n ) ter a necessariamente que dividir a n 1 e a n. Como as duas cole»c~oes possuem o mesmo conjunto de divisores comuns, conclui-se a proposi»c~ao. Por exemplo, mdc(405; 225; 75) = mdc(405; mdc(225; 75)) = mdc(405; 25) = 5: De ni»c~ao 6.4 Dizemos que os inteiros a 1 ;a 2 ;::: ;a n s~ao primos entre si se mdc(a 1 ;a 2 ;::: ;a n )=1. Dizemos que os inteiros a 1 ;a 2 ;::: ;a n s~ao dois a dois primos entre si, quando a i e a j s~ao primos entre si para cada par de inteiros a i e a j. Exemplo 6.2 Considere os inteiros 10, 12 e 15. Como mdc(10; 12; 15) = mdc(10; mdc(12; 15)) = mdc(10; 3) = 1 vemos que esses inteiros s~ao primos entre si. Contudo, os tr^es inteiros n~ao s~ao dois a dois primos entre si, pois mdc(10; 12) = 2, mdc(12; 15) = 3 e mdc(10; 15) = Exerc ³cios 1. Encontre o m aximo divisor comum de cada par de inteiros dados. (a) 15, 35; (b) 0, 111; (c) -12, 18; (d) -25, Sejam a e n inteiros positivos. Determine o m aximo divisor comum de (a) a e na (b) a e a n (c) a e a + n. 3. Mostre que se a, b e c s~ao inteiros positivos, ent~ao mdc(ac; bc) =c mdc(a; b). Sugest~ao. Chame d =mdc(a; b). Lembre-se de que existem inteiros r e s tais que d = ra + sb. Ent~ao cd = r(ac)+s(bc). Da ³, se x j ac e x j bc (x 2 Z), tem-se ent~ao que x j cd. Oresto e por sua conta. 4. Mostre que se a e b s~ao inteiros primos entre si, ent~ao mdc(a + b; a b) =1ou 2. Sugest~ao. Mostre que se d j (a + b) e d j (a b) ent~ao d j 2a e d j 2b. Agora, estude o caso em que d e par, e depois o caso em que d e ³mpar. 5. Mostre que se a e b s~ao primos entre si, ent~ao tamb em s~ao primos entre si os seguintes pares de inteiros: (a) a e b 2 (b) a e b n (n 2 N) (c) a n e b m (m; n 2 N) Sugest~ao. Sendo a e b primos entre si, ra + sb =1para certos inteiros r e s. Fa»ca sb =1 ra eeleveambososmembrosaomesmoexpoente. 6. Mostre que se a e b s~ao inteiros primos entre si, ent~ao mdc(a 2 + b 2 ;a+ b) =1 ou 2. Sugest~ao. Se d divide a 2 +b 2 etamb em a+b, ent~ao d divide (a b)(a+b)+a 2 +b 2. Agora, h a duas possibilidades: (i) d e par; (ii) d e ³mpar.

12 M aximo divisor comum Mostre que se a e b s~ao ambos inteiros pares, n~ao ambos nulos, ent~ao mdc(a; b) = 2mdc(a=2;b=2). 8. Demonstre que se a, b e c s~ao inteiros tais que a j c e b j c, coma e b primos entre si, ent~ao ab j c. Sugest~ao. Temosra + sb =1, para certos inteiros r e s. Logo, rac + sbc = c. Al em disso, como a j c e b j c, existemx; y 2 Z tais que c = ax e c = by. Na combina»c~ao linear rac + sbc, troque o primeiro c por by, e o segundo por ax. 9. Demonstre que se a, b e c s~ao inteiros tais que mdc(a; b) =mdc(a; c) =1,ent~ao mdc(a; bc) =1. Sugest~ao. Existem inteiros r; s; m e n tais que ra + sb =1,e ma + nc =1. Multiplique as igualdades, membro a membro. 10. Encontre o m aximo divisor comum de cada um dos seguintes conjuntos de inteiros dados. (a) 6, 15, 21 (b) -7, 28, -35 (c) 0, 0, Mostre que se k e um inteiro, ent~ao os inteiros 6k 1, 6k +1, 6k +2, 6k +3,e 6k +5s~ao2a2primosentresi. 12. Mostre que se k e um inteiro positivo, ent~ao 3k +2e 5k +3s~ao primos entre si. 13. Use o algoritmo euclidiano para encontrar (a) mdc(45; 75) (b) mdc(666; 1414) (c) mdc(102; 222) (d) mdc(20785; 44350) 14. Para cada par de inteiros do problema anterior, expresse o m aximo divisor comum do par de inteiros como combina»c~ao linear desses inteiros. 15. Para cada cole»c~ao de inteiros dada abaixo, expresse o m aximo divisor comum como uma combina»c~ao linear dos inteiros da cole»c~ao. (a) 6; 10; 15 (b) 70; 98; Seja a 0 ;a 1 ;a 2 ;a 3 ;:::,umaseqäu^encia in nita de inteiros, com a 0 =0, satisfazendo a seguinte propriedade: mdc(a m ;a n ) = mdc(a n ;a r ) sempre que n 6= 0eadivis~ao euclidiana de m por n deixa resto r. Mostre que, para quaisquer dois ³ndices m e n, sendo d =mdc(m; n), temos mdc(a m ;a n )=a d = a mdc(m;n). Sugest~ao. Considere o algoritmo euclidiano para o c alculo de mdc(m; n) e imite o procedimento usado na demonstra»c~ao do teorema Sejam m e n dois inteiros positivos e seja a um inteiro maior que um. Mostre que, sendo d =mdc(m; n), tem-semdc(a m 1;a n 1) = a d 1. Sugest~ao. Mostre que se a divis~ao de m por n deixa resto r, ent~ao todo divisor de a m 1 e a n 1 e tamb em divisor de a n 1 e a r 1, e vice-versa. Use ent~ao o resultadodoexerc ³cio 16.

13 M aximo divisor comum Mostre que se a e b s~ao inteiros tais que ma + nb = 26 para certos inteiros m e n ent~ao mdc(a; b) 2f1; 2; 13; 26g. 19. Descreva, como m ultiplos de um unico inteiro, os elementos do conjunto (a) A = f12m +18n j m; n 2 Zg (b) B = f24m +18n +30p j m; n; p 2 Zg 20. Mostre que existem in nitos pares de inteiros (r; s) satisfazendo Sugest~ao. Mostre que a equa»c~ao r 2+s 3=mdc(2; 3) = 1 x 2+y 3=0 (6.1) tem um n umero in nito de solu»c~oes. Determine uma solu»c~ao da equa»c~ao r 2+s 3=1 (6.2) Mostre ent~ao que os pares de inteiros da forma (x + r; y + s), sendo (x; y) uma solu»c~ao de 6.1, e (r; s) a solu»c~ao encontrada de 6.2, s~ao tamb em solu»c~oesde Mostre que se m e n s~ao inteiros primos entre si, ent~ao existem inteiros x e y tais que 1 mn = x m + y n A partir deste fato, justi que o seguinte argumento: Sendo m e n inteiros positivos primos entre si, se uma circunfer^encia pode ser dividida, com o uso de r egua e compasso, em m arcos congruentes, e tamb em em n arcos congruentes, ent~ao ela tamb em pode ser dividida, com r egua e compasso, em mn arcos congruentes.