Sub-an eis, ideais e an eis quocientes

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1 3 Sub-an eis, ideais e an eis quocientes 3.1 Sub-an eis e ideais De ni»c~ao (Sub-anel de um anel) Seja (A; +; ) um anel e seja B um subconjunto n~ao vazio de A. Dizemos que B e um sub-anel de A se 1. B e fechado nas opera»c~oes + e de A, ouseja 8a; b 2 B; tem-se a + b 2 B e a b 2 B 2. A estrutura alg ebrica (B;+; ), em que + e s~ao as restri»c~oes das opera»c~oes de A ao subconjunto B, eumanel. Proposi»c~ao Sejam A um anel e B um subconjunto n~ao vazio de A. Ent~ao B e sub-anel de A seesomentese 8a; b 2 B; tem-se a b 2 B e a b 2 B Demonstra»c~ao.. (Se) ou (() Suponhamos que 8a; b 2 B; tem-se a b 2 B e a b 2 B. Temos ent~ao que, 8a; b 2 B, (i) b b 2 B, logo 0 2 B; (ii) 0 b 2 B (pois 0 2 B e b 2 B), logo b 2 B; (iii) a ( b) 2 B (pois a 2 B e b 2 B, logo a + b 2 B. Assim, B e fechado na opera»c~ao + do anel A, e podemos portanto restringir tal opera»c~ao ao conjunto B. Como a adi»c~ao de A e associativaecomutativa, sua restri»c~ao a B mant em estas propriedades. Pelos propriedades veri cadas nos 29

2 itens (i) e(ii) acima, temos ent~ao que a estrutura alg ebrica (B;+) e umgrupo abeliano. Por hip otese, a opera»c~ao multiplica»c~ao de A pode ser restringida ao conjunto B, e como a multiplica»c~ao de A e associativaetamb em distributiva em rela»c~ao µa adi»c~ao, sua restri»c~ao a B mant em estas propriedades. Assim sendo, temos que a estrutura (B;+; ) e umanel,eportantob e um sub-anel de A. (Somente se) ou ()) Sendo B um sub-anel de A, temos que 8a; b 2 B, temos tamb em b 2 B, logo a b = a +( b) 2 B e a b 2 B. Exemplo Consideremos o anel A = M(2; R) das matrizes quadradas 2 2 de n umeros µ reais, e seja B o sub-conjunto de A constitu ³do de todas as matrizes da forma a b. b a Sendo X = reais), temos µ a b e Y = b a µ c d dois elementos de B (a; b; c e d todos d c µ a c b d X Y = ; (b d) a c µ ac bd ad + bc X Y = (ad + bc) ac bd Logo, X Y e XY tem o formato das matrizes de B. Pela proposi»c~ao 3.1.1, B e um sub-anel do anel M(2; R). Exemplo (A unidade de um sub-anel pode n~ao ser a do anel) Considere oanelz 12 e seu subconjunto B = f0; 3; 6; 9g. Ef acil veri car que para cada x 2 B e cada y 2 B, tem-sex y 2 B e xy 2 B. Assim, B e um sub-anel de Z 12. Agora note que 9 3 =3, 9 6 =6 e 9 9 =9. Portanto, denotando 1 B = 9, temos 1 B x = x, 8x 2 B. Como e comutativa, temos que 1 B = 9 e elemento unidade da opera»c~ao multiplica»c~ao em B. Assim, B e sub-anel (comutativo) com unidade, muito embora seu elemento unidade n~ao seja a unidade do anel Z 12, que e a classe 1. De ni»c~ao (Ideal de um anel) Sejam A um anel e I ½ A um sub-conjunto n~ao vazio. Dizemos que I e umideal do anel A se 1. I e um sub-anel de A; 2. Para cada a 2 A, e para cada x 2 I, tem-sea x 2 I e x a 2 I. 30

3 Observa»c~ao Sendo A um anel e I um sub-conjunto n~ao vazio de A, combinando o resultado da proposi»c~ao e a de ni»c~ao de ideal, e f acil concluir que: I e um ideal de A seesomentese 8x; y 2 I;8a 2 A; tem-se x y 2 I;xa 2 I e ax 2 I A prova desta observa»c~ao e deixada como exerc ³cio para o leitor Exemplo (Nem todo sub-anel e um ideal) Considere o anel (corpo) Q dos n umeros racionais e seu sub-anel Z dos n umeros inteiros. Conven»ca-se primeiramente que Z e sub-anel de Q. Agora note que 1 2 Z, Q, mas 1 2 1= 1 62 Z. Assim, Z n~ao e ideal de Q. 2 Exemplo Considere o anel Z dos n umeros inteiros e seja I o conjunto dos m ultiplos de 5 em Z: I = f5n j n 2 Zg Dados x; y 2 I, x =5r e y =5s para certos r; s 2 Z. Temos ent~ao x y = 5r 5s = 5(r s) 2 I. Al em disso, se a e um inteiro qualquer, ax = a(5r) = 5(ar) 2 I, e xa =(5r)a =5(ra) 2 I. Logo, pela observa»c~ao 3.1.1, I e um ideal de Z Ideais gerados por subconjuntos nitos. Ideais principais Proposi»c~ao Sejam A um anel comutativo e S = fa 1 ;:::;a n g um subconjunto de A. O conjunto, denotado por (S) (ou por (a 1 ;:::;a n )), de nido por e um ideal de A. (S) =fx 1 a 1 + :::+ x n a n j x 1 ;:::;x n 2 Ag; Demonstra»c~ao.. Seja (S) =fx 1 a 1 + :::+ x n a n j x 1 ;:::;x n 2 Ag. Sendo = x 1 a 1 +:::+x n a n e = y 1 a 1 +:::+y n a n,comx 1 ;:::;x n ;y 1 ;:::;y n 2 A, temos: =(x 1 y 1 )a 1 + :::+(x n y n )a n 2 (S) e, para cada r 2 A, r = r(x 1 a 1 + :::+ x n a n )=(rx 1 )a 1 + :::+(rx n )a n 2 (S); r =(x 1 a 1 + :::+ x n a n )r =(x 1 a 1 )r + :::+(x n a n )r =(rx 1 )a 1 + :::+(rx n )a n 2 (S) (combinando as propriedades comutativa e associativa de de A). Pela observa»c~ao 3.1.1, (S) e ideal do anel A. 31

4 De ni»c~ao Sejam A um anel comutativo e S um subconjunto de A. O ideal (S) =fx 1 a 1 + :::+ x n a n j x 1 ;:::;x n 2 Ag e chamado ideal gerado pelo conjunto S. Os elementos a 1 ;:::;a n s~ao chamados geradores do ideal (S). No caso que (S) temum unico elemento a, o ideal (S) =(a) =fxa j x 2 Ag e chamado ideal principal gerado por a De ni»c~ao Um anel A e chamado um anel principal ou dom ³nio de ideais principais se A e um anel de integridade (tamb em chamado de dom ³nio) e se todo ideal I de A e um ideal principal. De ni»c~ao Um anel A e chamado um anel euclidiano ou um dom ³nio euclidiano se A e um anel de integridade comutativo e se existe uma fun»c~ao ±: A! N satisfazendo: 8a; b 2 A; b 6= 0; existem q; r 2 A satisfazendo a = bq + r e ±(r) <±(b) Exemplo Como exemplos de an eis euclidianos temos os seguintes 1. O anel Z dos n umeros inteiros, tomando-se ±(x) =jxj, paracadax 2 Z. Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em Z, para cada par de inteiros a e b, comb 6= 0, existem inteiros q e r satisfazendo a = bq + r e 0 r<jbj, logojrj < jbj, ou seja, ±(r) <±(b). 2. O anel K[x] dos polin^omios sobre um corpo K, na indeterminada x. Para cada p(x) 2 K[x], de nimos±(p(x)) = 2 grau (p(x)), de nindo-se 2 1 =0. Dados dois polin^omios f(x);g(x) 2 K[x], comg(x) 6= 0, pelo teorema do algoritmo da divis~ao em K[x], existem polin^omios q(x);r(x) 2 K[x] satisfazendo f(x) =g(x)q(x) + r(x) e grau (r(x)) < grau(g(x)), logo ±(r(x)) = 2 grau (r(x)) < 2 grau (g(x)) = ±(g(x)). 3. Todo corpo K e um anel euclidiano, de nido-se ±(0) = 0 e ±(a) =1,sea 2 K e a 6= 0. Dados a; b 2 K, comb 6= 0, podemos escrever a = b(b 1 a)+0. Assim a = bq + r, sendo q = b 1 a e r =0, tendo-se portanto ±(r) =±(0) = 0 < 1= ±(b). Proposi»c~ao Todo anel euclidiano e um anel principal, ou seja, se A e um anel euclidiano ent~ao todo ideal de A e um ideal principal. Demonstra»c~ao.. Seja A um anel euclidiano e seja ±: A! N a fun»c~ao que d a apropriedade euclidiana a A. Seja I ½ A um ideal de A. Se I = f0g ent~ao I =(0)eportanto eumideal principal. Se I 6= f0g, consideremos o conjunto de n umeros naturais D = f±(x) j x 2 A; x 6= 0g 32

5 Pelo princ ³pio do menor inteiro, D temummenorn umero natural, e a ele corresponde um elemento c 2 A com a propriedade, ±(c) ±(x), 8x 2 A; x 6= 0. Mostramos que I =(c) =fcx j x 2 Ag, ouseja,quec e o gerador do ideal I. De fato, para cada elemento a 2 I, sea =0ent~ao a = c 0 2 (c). Se a 6= 0, ent~ao existem elementos q e r em A satisfazendo a = cq + r e ±(r) <±(c). Como ±(c) ±(x) para todo x 2 A, x 6= 0,temosquer =0(se r 6= 0,temosa seguinte contradi»c~ao: ±(r) <±(c) e ±(c) ±(r)). Logo, a = cq 2 (c). Portanto I =(c). Exemplo (Ideais em Z, ideais num corpo K, ideais em K[x]) Pela proposi»c~ao e observa»c~ao precedente, o anel Z e um anel principal. Assim todo ideal I de Z e daforma I =(m) =fkm j k 2 Zg para algum inteiro m, e denotamos tamb em I = mz. Se K e um corpo, o anel de polin^omios K[x] e euclidiano, logo e um anel principal. Assim, todo ideal de J de K[x] e daforma J = fp(x)q(x) j q(x) 2 K[x]g para algum polin^omio p(x) 2 K[x], e denotaremos tamb em J =(p(x)) = p(x)k[x]. 3.2 O anel quociente de um anel por um ideal O conjunto quociente de um anel por um ideal Sejam A um anel e I um ideal de A. De ne-se em A a congru^encia m odulo I como sendo a rela»c~ao em A dada por 8a; b 2 A; a b (mod I), a b 2 I (\a b (mod I)" l^e-se \a e congruenteab, m odulo I") Proposi»c~ao A rela»c~ao de congru^encia m odulo I e uma rela»c~ao de equival^encia em A, ouseja:8a; b; c 2 A, 1. a a (mod I) (a rela»c~ao e re exiva); 2. se a b (mod I) ent~ao b a (mod I) (a rela»c~ao e sim etrica); 3. se a b (mod I) e b c (mod I) ent~ao a c (mod I) (a rela»c~ao e transitiva) 33

6 Demonstra»c~ao.. 8a; b; c 2 A, como I e um sub-anel de A, 1. a a =02 I, logo a a (mod I). 2. se a b (mod I) ent~ao a b 2 I. Logo, (a b) =b a 2 I, eportanto b a (mod I). 3. se a b (mod I) e b c (mod I) ent~ao, a b 2 I e b c 2 I. Logo, (a b)+(b c) =a c 2 I eportantoa c (mod I). De ni»c~ao (Classes laterais do ideal I em A) Sejam A um anel e I um ideal de A. Para cada a 2 A, a classe de equival^encia de A, com respeito µa rela»c~ao de congru^encia m odulo I, e chamada classe lateral de I, determinada por a. Tal classe de equival^encia e o conjunto Notemos agora que, 8x 2 A, a = fx 2 A j x a (mod I)g x 2 a, x a (mod I), x a 2 I, x a = r para algum r 2 I, x = a + r para algum r 2 I Portanto, a = fa + r j r 2 Ig. Denotando a + I = fa + r j r 2 Ig, acabamosdever que a classe lateral do ideal I, determinada por um elemento a do anel A, edadapor a = a + I = fa + r j r 2 Ig De ni»c~ao (Conjunto quociente do anel A pelo ideal I) Sendo A um anel e I um ideal de A, o conjunto das classes laterais a + I, coma 2 A, e chamado conjunto quociente do anel A pelo ideal I, e edenotadopora=i. Simbolicamente A=I = fa + I j a 2 Ag Estrutura de anel em A=I, sendo I um ideal do anel A Sejam A um anel e I um ideal de A. No conjunto quociente A=I, de niremos duas opera»c~oes, tamb em denotadas por + e, ambas \induzidas" pelas opera»c~oes de A, as quais dar~ao uma estrutura de anel a A=I. Antes por em estabeleceremos a Proposi»c~ao (Igualdade de classes laterais) Sejam A um anel, I um ideal de A,e x e y elementos de A. Ent~ao (em particular, x 2 I, x + I = I) x + I = y + I, x y 2 I 34

7 Demonstra»c~ao.. (Se) Suponhamos x y 2 I. Ent~ao x y = r, paraalgumr 2 I. Mostraremos ent~ao que x + I ½ y + I e que y + I ½ x + I. Para cada a 2 A, a 2 x+i, temosa = x+s, paraalgums 2 I. Como x y = r, temos ent~ao a =(y + r)+s = y +(r + s) 2 y + I, j a que r + s 2 I. Portanto a 2 x + I ) a 2 y + I. Logo, x + I ½ y + I Analogamente, prova-se que y + I ½ x + I. (Somente se) Suponhamos que x + I = y + I. Tome um elemento x + r 2 x + I. Ent~ao x+r 2 y+i. Da ³, existe s 2 I, tal que x+r = y+s. Logox y = s r 2 I. De ni»c~ao (Adi»c~ao e multiplica»c~ao em A=I) Sejam A um anel, I um ideal de A e A=I o conjunto quociente de A por I. De nem-se em A=I as opera»c~oes + e, dadas por: 8x; y 2 A 1. (x + I)+(y + I) =(x + y)+i 2. (x + I) (y + I) =(xy)+i (tamb em denotamos (xy)+i = xy + I) Teorema Aadi»c~ao e a multiplica»c~ao de duas classes x + I e y + I em A=I, n~ao depende dos representantes x e y dessas classes, ou seja, se x+i = x 0 +I e y+i = y 0 +I ent~ao (x + y)+i =(x 0 + y 0 )+I e xy + I = x 0 y 0 + I. (Estefato etamb em enunciado dizendo-se que a adi»c~ao e a multiplica»c~ao em A=I s~ao bem-de nidas) Demonstra»c~ao.. A prova deste teorema e essencialmente conseqäu^encia do seguinte Lema Sejam A um anel e I um ideal de A. A rela»c~ao de congru^encia m odulo I e compat ³vel com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em A, ou seja, 8x; x 0 ;y;y 0 2 A, sex x 0 (mod I) e y y 0 (mod I), ent~ao x + y x 0 + y 0 (mod I) e xy x 0 y 0 (mod I). Demonstra»c~ao.. Sendo x; y; x 0 ;y 0 2 A, sex x 0 (mod I) e y y 0 (mod I), ent~ao x x 0 2 I e y y 0 2 I. Da ³, como I e ideal de A, temos: 1. (x x 0 )+(y y 0 ) 2 I ) (x + y) (x 0 + y 0 ) 2 I ) (x + y)+i =(x 0 + y 0 )+I ) x + y x 0 + y 0 (mod I) 2. (x x 0 )y 2 I e x 0 (y y 0 ) 2 I ) xy x 0 y 2 I e x 0 y x 0 y 0 2 I ) (xy x 0 y)+ (x 0 y x 0 y 0 ) 2 I ) xy x 0 y 0 2 I, logo xy x 0 y 0 (mod I) 35

8 Demonstra»c~ao. do teorema Se x + I = x 0 + I e y + I = y 0 + I, ent~ao x x 0 2 I e y y 0 2 I. Pelo lema 3.2.1, x + y x 0 + y 0 (mod I) e xy x 0 y 0 (mod I), logo (x + y)+i =(x 0 + y 0 )+I e xy + I = x 0 y 0 + I. Teorema Sejam A um anel comutativo e I um ideal de A. O conjunto A=I, juntamente com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao dadas por (x + I)+(y + I) =(x + y)+i e (x + I)(y + I) =xy + I; 8x; y 2 A; e um anel, em que 1. 0+I = I e o elemento neutro da adi»c~ao; 2. ( x)+i e o elemento oposto (inverso aditivo) de x + I, 8x 2 A. Al em disso, 3. Se A e anel com unidade 1, ent~ao A=I e anel com unidade 1+I; 4. Se, alem disso, x e um elemento invert ³vel do anel A, ent~ao a classe lateral x + I e elemento invert ³vel do anel A=I, sendo (x + I) 1 = x 1 + I; 5. Se A e anel comutativo, ent~ao A=I e tamb em comutativo; Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao deste teorema e f acil, por em com muitas linhas, e ser a deixada para o leitor. Para provar por exemplo, que a multiplica»c~ao em A=I e associativa, usamos o fato de que a multiplica»c~ao em A e associativa: 8x; y; z 2 A, (x + I) [(y + I) (z + I)] = (x + I)(yz + I) (pela de ni»c~ao de em A=I) = x(yz)+i (idem) = (xy)z + I (pela associatividade de em A = (xy + I)(z + I) (pela de ni»c~ao de em A=I) = [(x + I) (y + I)] (z + I) (idem) Para provar o item 4, suponhamos que x 2 A e um elemento invert ³vel. Ent~ao (x + I)(x 1 + I) =(xx 1 )+I =1+I etamb em (x 1 + I)(x + I) =(x 1 x)+i =1+I o que prova que (x + I) 1 = x 1 + I, umavezque1+i e a unidade do anel A=I. Os demais detalhes ser~ao deixados para o leitor. 36

9 3.3 Homomor smos de an eis. O teorema fundamental do isomor smo Muitas vezes dois an eis aparentemente diferentes, comportam-se como se fossem um mesmo anel. Considere por exemplo, os an eis A = Z 3 = f[0]; [1]; [2]g e o sub-anel A 0 de Z 6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g, dadopora 0 = f0; 2; 4g. Neste exemplo, temos que denotar as classes de congru^encia m odulo 6 diferentemente das classes m odulo 3, para evitar confus~ao. Estabelecendo-se a correspond^encia biun ³voca entre Z 3 e A 0, [0] $ 0 [1] $ 4 [2] $ 2 notamos que [1] + [1] = [2] corresponde a 4+4=2, [1]+[2] = [0] corresponde a 4+2=0, [1] [1] = [1] corresponde a 4 4=4, etc., ou seja, a soma ou produto de elementos de A corresponde µa soma ou produto dos elementos correspondentes µas parcelas (no caso da soma) ou dos fatores (no caso do produto). Neste caso, dizemos que A e A 0 s~ao an eis isomorfos, pois tratam-se de um mesmo anel, embora com \roupagens" diferentes. De ni»c~ao Sejam (A; +; ) e (A 0 ; +; ) dois an eis(cujasopera»c~oes + e tem a mesma nota»c~ao por simplicidade). Uma aplica»c~ao (ou fun»c~ao) f: A! A 0 e chamada um homomor smo de an eis, se: 1. f(x + y) =f(x)+f(y); 8x; y 2 A; e 2. f(x y) =f(x) f(y); 8x; y 2 A. De ni»c~ao Sendo f: A! A 0 um homomor smo de an eis, dizemos que 1. f e umendomor smo se A = A 0 ; 2. f e ummonomor smo se a fun»c~ao f e injetora; 3. f e umepimor smo se a fun»c~ao f e sobrejetora; 4. f e umisomor smo se a fun»c~ao f e bijetora (correspond^encia biun ³voca); 5. f e umautomor smo se A = A 0 e f e um isomor smo. Proposi»c~ao Seja f: A! A 0 um homomor smo de an eis. 1. f(0 A )=0 A 0; 2. f( x) = f(x), 8x 2 A; 37

10 3. O conjunto Im(f) =f(a) =ff(x) j x 2 Ag e sub-anel de A 0 ; 4. Se B e sub-anel de A ent~ao f(b) =ff(x) j x 2 Bg e sub-aneldea 0 ; 5. Se A tem elemento unidade 1 A ent~ao f(1 A ) e elemento unidade do anel Im(f) (sub-anel de A 0 ); 6. Se A tem elemento unidade 1 A e f e um epimor smo ent~ao f(1 A ) e elemento unidade de A 0 ; 7. Se A tem elemento unidade e (a) x 2 A e elemento invert ³vel ent~ao f(x) e elemento invert ³vel do anel Im(f); (b) x 2 A e elemento invert ³vel e f e um epimor smo ent~ao f(x) e elemento invert ³vel do anel A 0 Proposi»c~ao Seja f: A! A 0 um homomor smo de an eis, e considere o n ucleo ou kernel de f, de nido como sendo o conjunto Ent~ao 1. ker(f) e um ideal de A; ker(f) =f 1 (0) = fx 2 A j f(x) =0g 2. Se I 0 ½ A 0 e um ideal de A 0 ent~ao I = f 1 (I 0 )=fx 2 A j f(x) 2 I 0 g e umideal de A (com ker(f) ½ I) Proposi»c~ao Seja f: A! A 0 um homomor smo de an eis. Ent~ao f e um monomor- smo se e somente se ker(f) =f0g. O teorema que segue e tamb em chamado Teorema fundamental do homomor smodean eis. Ele estabelece uma ferramenta que nos permite identi car, em termos de isomor smo, um anel quociente com um anel \previamente conhecido." Teorema (Teorema fundamental do isomor smo de an eis) Sejam (A; +; ) e (A 0 ; +; ) dois an eis e seja f: A! A 0 um homomor smo de an eis. Seja K = ker(f). Ent~ao a aplica»c~ao f: A=K! Im(f) de nida por 8 a + K 2 A=K; f(a + K) =f(a) e bem-de nida e e um isomor smo de an eis. Simpli cando, atrav es do isomor smo f. A=ker(f)» = Im(f) 38

11 Demonstra»c~ao.. Provemos primeiramente que f e bem-de nida, ou seja, f(a + K) n~ao depende do representante a da classe lateral a + K. Se a+k = b+k ent~ao, a b 2 K = ker(f). Logo, f(a b) =0) f(a) f(b) = 0 ) f(a) =f(b), logo f(a + K) =f(b + K). Provemos agora que f e um monomor smo de an eis. f e injetora: 8a; b 2 A, f(a + K) =f(b + K) ) f(a) =f(b) ) f(a b) =f(a) f(b) =0 ) a b 2 K = ker(f) ) a + K = b + K. f e sobrejetora: Para cada y 2 im(f), y = f(x) para algum x 2 A, logoy = f(x + K). f e um homomor smo de an eis: 8a; b 2 A, f((a+k)+(b+k)) = f((a+b)+k) =f(a+b) =f(a)+f(b) =f(a+k)+f(b+k); f((a + K) (b + K)) = f((ab)+k) =f(ab) =f(a)f(b) =f(a + K) f(b + K) Portanto, f e um isomor smo de an eis. 39

12 3.4 Problemas do Cap ³tulo 3 1. D^e exemplo de um anel A contendo um sub-anel B, emcadaumdoscasos: (a) A tem unidade 1 A, B tem unidade 1 B,e1 A 6=1 B ; (b) A tem unidade 1 A e B n~ao tem unidade; (c) B tem unidade 1 B e A n~ao tem unidade. 2. Sejam A um anel e sejam I e J ideais de A. Prove que (a) I \ J e um ideal de A (b) De nindo-se I + J = fx + y j x 2 I;y 2 Jg e I J = fx 1 y 1 + :::+ x n y n j n 1;x 1 ;:::;x n 2 I e y 1 ;:::;y n 2 Jg mostre que I + J e I J s~ao ideais de A 3. Sejam a e b inteiros e seja I =(a)+(b) =fma + nb j m; n 2 Zg. Mostre que I =(d) =dz, sendo d = mdc(a; b). Mostre ainda que: (a) (a) ½ (b), b j a. (b) (a) (b) =(ab). (c) (a) \ (b) =(m), sendo m = mmc (a; b) [Sugest~ao: Use a caracteriza»c~ao natural de m ³nimo m ultiplo comum de dois inteiros: se a 6= 0ou b 6= 0, mmc (a; b) e o menor inteiro positivo que e m ultiplo de ambos a e b.] 4. Mostre, com um contra-exemplo que, se I e J s~ao ideais de um anel A, o conjunto P = fxy j x 2 I e y 2 Jg n~ao e necessariamente um ideal de A. 5. Seja A um anel e seja C = fi j 2 g um conjunto (cole»c~ao) de ideais de A. Mostre que T I e um ideal de A. 2 [Lembre-se de que, por de ni»c~ao, \ 2 I = fa 2 A j a 2 I ; 8 2 g.] 6. (Ideal gerado por um subconjunto) SejamA um anel e S um subconjunto de A. Seja C o conjunto dos ideais de A que cont em S, ouseja,c = fj j J e umidealdea e S ½ Jg. De ne-se L = T J como sendo a interse»c~ao dos elementos da cole»c~ao C. Ou J2C seja, L = fa 2 A j a 2 J; 8J 2Cg. Mostre que (a) L e um ideal de A contendo o conjunto S. (b) L e o menor ideal de A que cont em o conjunto S, ou seja, se I e umideal de A que tamb em cont em S ent~ao S ½ J ½ I. Nota: Tal ideal L, edenotadoporl =(S), e chamado ideal gerado por S. 40

13 7. Mostre que, se A e um anel comutativo e S = fa 1 ;:::;a n g e um subconjunto de A ent~ao o ideal gerado por S, L =(S), segundo a de ni»c~ao dada no exerc ³cio anterior, e o conjunto J = fx 1 a 1 + :::+ x n a n j x 1 ;:::;x n 2 Ag ou seja, coincide com o ideal gerado por S segundo a de ni»c~ao dada na proposi»c~ao Mostre que os unicosideaisdeumcorpok s~ao I = f0g e J = K. 9. Se A e umanel,n~ao necessariamente comutativo, sendo a um elemento de A, de ne-se (a) =fx 1 ay 1 + :::+ x s ay s j s 1; e x; y 2 Ag Mostre que (a) e ideal de A (chamado ideal gerado por a). Mostre que, no caso de A ser comutativo, (a) =fxa j x 2 Ag, ouseja(a) coincide com o ideal principal gerado por a. 10. (Z e um anel principal, mas Z[x] n~ao o e) Em Z[x], considere o ideal J =(2;x), ou seja, o ideal gerado pelos elementos 2 e x. Mostre que J n~ao e um ideal principal, isto e, que n~ao existe p(x) 2 Z[x] tal que J =(p(x)). [Sugest~ao: Supondo que J =(p(x)), como 2 2 J e x 2 J, temos que 2=p(x)f(x) e x = p(x)g(x) para certos polin^omios f(x) e g(x) em Z[x]. Mostre que isto implica p(x) = 1. Mostre que n~ao existem polin^omios a(x) e b(x) em Z[x] tal que 2a(x)+xb(x) =1.] 11. Mostre que um homomor smo de an eisdeumcorpok num anel A 6= f0g e um monomor smo. 12. Considere o anel Z m dos inteiros m odulo m, m 0, eaaplica»c~ao f: Z! Z m, de nida por f(a) =a, 8a 2 Z. (a) Mostre que f e um homomor smo de an eis. (b) Mostre que K = ker(f) =mz = fkm j k 2 Zg. (c) Aplicando o teorema fundamental do isomor smo de an eis, mostre que o anel quociente Z=mZ e isomorfoaoanelz m,sendotalisomor smodadopela aplica»c~ao f: Z=mZ! Z m a + mz 7! a 13. Seja A um anel com unidade 1 A esejaf: Z! A a aplica»c~ao de nida por f(n) = n 1 A. (a) Mostre que f e um homomor smo de an eis. Voc^e ter a que mostrar primeiramente que 8m; n 2 Z, (mn)1 A =(m1 A )(n1 A ).[Sugest~ao: Parauminteiro gen erico m, prove primeiramente que o resultado e v alido para n 2 N, por indu»c~ao sobre n. Depois prove o resultado para n inteiro negativo, escrevendo n = jnj e usando a validade do resultado para jnj.] (b) A imagem do homomor smo f, im(f) =f(z) =fn1 A j n 2 Zg e um subanel de A. Mostrequef(Z) e o menor sub-anel de A que cont em a unidade 1 A. 41

14 (c) Mostre que f(z) e isomorfoaoanelz dos n umeros inteiros ou ao anel Z m para algum inteiro positivo m. (d) De nimos a caracter ³stica do anel A comosendoon umero natural carac (A), dadopor ½ 0; se ker(f) =f0g, carac (A) = m; se ker(f) =mz Note que, alternativamente, ½ 0; se f(z)» = Z, carac (A) = m; se f(z)» = Z m Mostre que se carac (A) =m ent~ao ma =0, 8a 2 A. 14. Mostre que se A e um anel de integridade, ent~ao a caracter ³stica de A e 0 ou um n umero primo. 15. Mostre que, se A e um anel de integridade, os unicos homomor smos f: A! A s~ao a aplica»c~ao identidade id A e o homomor smo nulo. [O homomor smo nulo f: A! A e aaplica»c~ao de nida por f(a) =0; 8a 2 A.] 16. Seja m inteiro positivo. (a) Mostre que se f: Z! Z m e um homomor smo de an eis e f(1) = a, ent~ao a 2 = a. (b) Mostre que se a 2 Z m,coma2z, ea 2 = a, ent~ao a aplica»c~ao f: Z! Z m, dada por f(n) =na e bem-de nida e e um homomor smo de an eis. (c) Considere a aplica»c~ao f: Z! Z 6,dadaporf(n) =4n. Mostre que f e um homomor smo de an eis. Mostre que ker(f) =3Z e que, aplicando o teorema fundamental do isomor smo de an eis, obtemos um isomor smo entre Z 3 = f[1]; [2]; [3]g e o sub-anel de Z 6, A 0 = f0; 2; 4g, dadoaoin ³cio da se»c~ao Determine todos os homomor smos f do anel Z no anel Z 12. Em cada caso, determine o sub-anel A de Z 12 que e imagem do homomor smo f, edetermine, via teorema fundamental do isomor smo, um inteiro k tal que A» = Z k. 42

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