Primeiros conceitos da teoria dos an eis

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1 1 Primeiros conceitos da teoria dos an eis 1.1 Coisas elementares De ni»c~ao Um anel e uma estrutura alg ebrica (A; +; ), (isto e, um conjunto n~ao vazio A, juntamente com duas opera»c~oes + e em A), satisfazendo µas seguintes propriedades 1. A estrutura alg ebrica (A; +) e um grupo abeliano. Isto quer dizer que a opera»c~ao + em A tem as seguintes propriedades (a) 8a; b; c 2 A, (a + b)+c = a +(b + c) (a opera»c~ao + e associativa) (b) 8a; b 2 A, a + b = b + a (a opera»c~ao + e comutativa) (c) Existe um elemento 0 A 2 A que e elemento neutro da opera»c~ao +, ouseja, 8a 2 A, a +0 A =0 A + a = a (d) Para cada a 2 A, existe um elemento ( a) 2 A que e elemento oposto ou inverso aditivo de a, ou seja, tem-se a +( a) =( a)+a =0 A 2. A opera»c~ao e associativa,isto e, 8a; b; c 2 A; (a b) c = a (b c) 3. A opera»c~ao e distributiva em rela»c~ao µa opera»c~ao +, ouseja,8a; b; c 2 A, tem-se a (b + c) =(a b)+(a c), bem como tamb em (b + c) a =(b a)+(c a) Por simplicidade, escreveremos ab em lugar de a b, semprequeiston~ao suscitar confus~ao. Tamb em e habitual escrever ab + cd em lugar de (ab) +(cd). De ne-se tamb em a diferen»ca de dois elementos a e b do anel A como sendo a b = a +( b). De ni»c~ao Sendo (A; +; ) um anel, dizemos que 1. A e umanelcomutativoseaopera»c~ao e comutativa 1

2 2. A e um anel com unidade se a opera»c~ao temumelementoneutro1 A 2 A, isto e, se 8a 2 A, a 1 A =1 A a = a 3. A e umcorposea e um anel comutativo, com unidade e, al em disso, (A ; ) e umgrupo(a = A f0g), isto e, 8a 2 A,existea 1 2 A satisfazendo a a 1 = a 1 a =1 A. (O elemento a 1 e chamado inverso multiplicativo de a). 4. A e um anel de integridade se A e um anel comutativo, com unidade, satisfazendo µa propriedade: 8a; b 2 A; ab =0) a =0oub =0 ou, equivalentemente, 8a; b 2 A; a 6= 0eb 6= 0) ab 6= 0 5. A e um anel com divis~ao se A e um anel com unidade, no qual cada elemento a 6= 0tem um inverso multiplicativo a 1. (Um corpo e um anel com divis~ao comutativo). Constituem-se exemplos elementares de an eis os seguintes: Exemplo O conjunto Z dos n umeros inteiros, com as opera»c~oes + e e um exemplo de anel de integridade, pois e um anel comutativo, com unidade 1, no qual o produto de inteiros n~ao nulos e sempre um inteiro n~ao nulo. Exemplo O conjunto ½µ ¾ a b M(2; R) = c d a; b; c; d 2 R das matrizes quadradas 2 por 2, munido das opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao de matrizes, dadas por µ µ µ a b x y a + x b+ y + = ; µ c d µ z w µ c + z d+ w a b x y ax + bz ay + bw = c d z w cx + dz cy + dw e um anel com unidade I = , a matriz identidade. No entanto n~ao e umanel comutativo. Al em do mais, em M(2; R) existem elementos X e Y satisfazendo X 6= 0, Y 6= 0,eXY =0. Ef acil gerar exemplos de tais matrizes tomando X e Y,n~ao nulas, com muitos zeros. Elementos dessa natureza num anel s~ao chamados divisores pr oprios de zero. De ni»c~ao (Divisores pr oprios de zero) Sendo (A; +; ) um anel, um elemento a 2 A e um divisor pr oprio de zero se a 6= 0eseexisteb 2 A, b 6= 0tal que ab =0ou ba =0. (Neste caso, obviamente, b tamb em e um divisor pr oprio de zero). 2

3 De ni»c~ao (Elementos invert ³veis de um anel) Suponhamos que A e um anel com unidade 1 A. Dizemos que um elemento a 2 A e um elemento invert ³vel do anel A se existe existe a 1 2 A satisfazendo a a 1 = a 1 a =1 A. (O elemento a 1 e chamado inverso multiplicativo de a). O conjunto dos elementos invert ³veis do anel (A;+; ) ser a denotado por U(A) Exemplo Os unicos elementos invert ³veis no anel (Z; +; ) s~ao os inteiros 1 e 1, ou seja, U(Z) =f1; 1g. J a num corpo todo elemento n~ao nulo e invert ³vel. Exemplo Os elementos invert ³veis no anel M(2; R) s~ao as matrizes de determinante n~ao nulo. Para ver isto, siga o racioc ³nio abaixo: µ a b Sendo X =, de ne-se a matriz cofatora de X como sendo c d cof X = µ d c b a eent~ao a matriz adjunta de X como sendo a matriz transposta da matriz cofatora de X, µ d b adj X =(cofx) t = c a E f acil ver ent~ao que sendo =detx = ac bd. X (adj X) =(adjx) X = Da ³, se det X = 6= 0, teremos (veri que isto) X ( 1 adj X) =( 1 adj X) X = Portanto det X 6= 0) X e invert ³vel. µ 0 0 µ Para veri car que se X e matrizinvert ³vel ent~ao det X 6= 0, notamos primeiramente que, sendo A e B duas matrizes quaisquer em M(2; R), tem-se a igualdade det(ab) = (det A)(det B) (voc^e pode veri car isto diretamente). Se X e invert ³vel, existe uma matriz Y satisfazendo XY = YX = I = Logo, (det X)(det Y )=det(xy )= det I =1eent~ao, como det X e invert ³vel em R, tem-sedet X 6= 0. Assim, provamos que U(M(2; R)) = fx 2 M(2; R) j det X 6= 0g. 1.2 Algumas proposi»c~oes elementares Proposi»c~ao Seja (A; +; ) um anel. Ent~ao, 8a; b 2 A, 3

4 1. 0 a = a 0=0 2. ( a) b = a ( b) = (ab) 3. ( a) ( b) =a b Demonstra»c~ao.. 1. Seja a 0=x. Ent~ao, x = a 0=a (0 + 0) = a 0+a 0=x + x. Logo, x + x = x ) x =0(porqu^e?), ou seja a 0=0. 2. Por um lado, temos que [( a)+a]b =( a)b + ab. Por outro, temos que [( a)+ a]b =0 b =0. Logo, aplicando o resultado do item 1, ( a)b + ab =0) (ab) =( a)b. 3. Fa»ca voc^e mesmo. Proposi»c~ao Seja (A; +; ) um anel. 1. Se A e um anel de integridade, ent~ao vale a lei do cancelamento da multiplica»c~ao, isto e 8a; b; c 2 A; c 6= 0;ac= bc ) a = b 2. Se A e anel comutativo com unidade, e se vale a lei do cancelamento da multiplica»c~ao em A, ouseja,sevaleaimplica»c~ao ac = bc ) a = b sempre que a; b e c s~ao elementos de A, comc 6= 0,ent~ao A e umanelde integridade. Demonstra»c~ao.. Fa»ca voc^e mesmo. Proposi»c~ao Seja (A; +; ) um anel com elemento unidade. Se a 2 A e divisor pr oprio de zero, ent~ao a n~ao e invert ³vel. Equivalentemente, se a 2 A e elemento invert ³vel, ent~ao a n~ao e divisor pr oprio de zero. Demonstra»c~ao.. Fa»ca voc^e mesmo. 1.3 O anel dos inteiros m odulo m Congru^encia m odulo m em Z De ni»c~ao Dados tr^es inteiros a, b e m, dizemos que a e congruente a b m odulo m, e denotamos a b (mod m) ou a b,sem divide a b. 4

5 Observa»c~ao Alternativamente, dados tr^es inteiros a, b e m, temos: a b (mod m), mj(a b) (m divide a b), a b = q m, para algum q 2 Z,, a = b + qm, para algum q 2 Z. Proposi»c~ao Sendo m um inteiro, a rela»c~ao de congru^encia m odulo m, de nida em Z, e uma rela»c~ao de equival^encia em Z, ou seja, satisfaz µas seguintes tr^es propriedades: 1. 8a 2 Z, a a; 2. 8a; b 2 Z, sea b ent~ao b a; 3. 8a; b; c 2 Z, sea b e b c ent~ao a c. Demonstra»c~ao.. Para cada a, cada b e cada c, todos inteiros, temos: 1. mj0 ) mj(a a) ) a a 2. a b ) mj(a b) ) mj (a b) ) mj(b a) ) b a 3. a b e b c ) mj(a b) e mj(b c) ) mj[(a b)+(b c)] ) mj(a c) ) a c Proposi»c~ao (Compatibilidade da rela»c~ao de congru^encia m odulo m com as opera»c~oes em Z) Seja m um inteiro xado. Dados a; b; c e d inteiros, e n natural, tem-se: 1. a b, a + c b + c a 2. b ) c d ) a + c b + d 3. a b ) ac bc a 4. b ) c d ) ac bd 5. a b ) an bn Demonstra»c~ao.. 1. a b, mj(a b), mj[(a + c) (b + c)], a + c b + c 5

6 2. a b c d ) ) mj(a b) emj(c d) ) mj[(a b)+(c d)] ) mj[(a + c) (b + d)] ) a + c b + d 3. a b ) mj(a b) ) mj(a b)c ) mj(ac bc) ) ac bc a 4. b ) ( ) ac c d ) bc bc bd ) ac bd 5. A prova e feita por indu»c~ao sobre n (exerc ³cio para o leitor). Observa»c~ao (Congru^encias Irrelevantes) 1. Se m =0, dados dois inteiros a e b, a b, a b, 0j(a b), a b =0, a = b 0 Assim, a rela»c~ao de congru^encia m odulo 0 coincide com a rela»c~ao de igualdade em Z. 2. Se m =1, dados dois inteiros a e b, a b, a b, 1j(a b) 1 Como 1 divide qualquer inteiro, quaisquer dois inteiros a e b s~ao congruentes m odulo 1. Em vista dos itens 1 e 2 acima, as congru^encias m odulo 0 em odulo 1 s~ao casos desinteressantes de congru^encia. 3. Dado m 2 Z einteirosa e b, a b, mj(a b), ( m)j(a b), a b m Assim, as congru^encias m odulo m em odulo m s~ao a mesma rela»c~ao de congru^encia. Em vista das tr^es observa»c~oes feitasapartirdositens1,2e3acima,doravante trataremos de estudar a rela»c~ao de congru^encia m odulo m em Z apenas para m 2. Proposi»c~ao (O resto da divis~ao por m via congru^encia m odulo m) Sejam a, b e m inteiros com m 2. Ent~ao 1. Se r e o resto da divis~ao de a por m ent~ao a r 2. Se a s (s 2 Z) e 0 s<ment~ao s e o resto da divis~ao de a por m. 3. a b, os restos das divis~oes de a e b por m s~ao iguais. 6

7 Demonstra»c~ao.. 1. a = mq + r, comq 2 Z ) a r = mq ) mj(a r) ) a r. 2. Sendo a s,temosa s = mq para um certo inteiro q. Da ³, a = mq + s, com q e s inteiros e 0 s<jmj = m. Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em Z, s e o resto da divis~ao de a por m, j a que o resto e o quociente dessa divis~ao s~ao unicos. 3. Seja r o resto da divis~ao de a por m. Pelo item 1, a r. Como a b, pelas propriedades da rela»c~ao de congru^encia m odulo m, proposi»c~ao 1.3.1, teremos b r. Como 0 r<m, pelo item 2 acima, r e o resto da divis~ao de b por m O conjunto Z m das classes de congru^encia m odulo m Seja m 2 um inteiro. Em Z de ne-se a rela»c~ao, a rela»c~ao de congru^encia m odulo m, dadapor 8a; b 2 Z;a b, m divide a b Arela»c~ao e uma rela»c~ao de equival^encia em Z. Para cada inteiro a,de ne-seaclasse de congru^encia m odulo m determinada por a como sendo o conjunto a = fx 2 Z j x ag O conjunto dessas classes (o assim chamado conjunto quociente de Z pela rela»c~ao m ) e chamado conjunto das classes de congru^encia m odulo m em Z ou conjunto dos inteiros m odulo m. Tal conjunto e denotadoporz m. Assim, sendo, para cada inteiro a, Z m = fa j a 2 Zg a = fx 2 Z j x a (mod m)g Proposi»c~ao Fixado m 2 Z, m 2, o conjunto Z m dos inteiros m odulo m tem precisamente m elementos, a saber,. Z m = f0; 1;:::;m 1g Lema Seja m 2 Z, m 2 e sejam a e b dois inteiros. As seguintes a rma»c~oes s~ao equivalentes: 7

8 (a) a b (b) a 2 b (c) b 2 a (d) b = a Em outras palavras, vale uma das quatro a rma»c~oes acima quando e somente quando ocorrem todas as demais. Demonstra»c~ao. do lema Provaremos que (a) ) (b), (b) ) (c), (c) ) (d) e (d) ) (a). (a) ) (b): Por de ni»c~ao b = fx 2 Z j x bg Se a b, tem-se imediatamente que a 2 b. (b) ) (c): a 2 b ) a b ) b a, e portanto tamb em b 2 a. (c) ) (d): b 2 a ) b a. Como e uma rela»c~ao de equival^encia, temos ent~ao b a e a b. Tomemos ent~ao um inteiro x qualquer. Se x 2 b ent~ao x b. Como b a, temos ent~ao x a, logo x 2 a. Portanto, b ½ a. Reciprocamente, se x 2 a ent~ao x a.comotamb em a b, temos ent~ao x b, logo x 2 b. Portanto, a ½ b. Logo, a = b. (d) ) (a): Sendo a = b, temos que a 2 a ) a 2 b ) a b. Demonstra»c~ao. daproposi»c~ao Para cada a 2 Z, temos que a r, onde r e o resto da divis~ao euclidiana de a por m. Como sabemos, 0 r m 1. Logo, pelo lema 1.3.1, a = r eportantoa coincide com uma das classes 0, 1, :::, m 1. S o nosrestaent~ao provar que as classes 0; 1;:::;m 1 s~ao duas a duas distintas. Mas isto e f acil de se ver pois se r 1 e r 2 s~ao inteiros satisfazendo 0 r 1 <r 2 m 1, 8

9 ent~ao r 1 6 r 2 (mod m), pois r 1 r 2, mj(r 2 r 1 ),ecomo0 <r 2 r 1 <m, torna-se imposs ³vel a divisibilidade de r 2 r 1 por m. Assim, se r 1 e r 2 s~ao inteiros com 0 r 1 <r 2 m 1 ent~ao r 1 6= r 2. Logo, Z m = fa j a 2 Zg tem precisamente m elementos, distintos dois a dois, sendo eles 0; 1;:::;m A estrutura de anel em Z m A seguir veremos que, uma vez xado o inteiro m 2, podemos de nir opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z m que lhe conferem uma estrutura de anel comutativo com unidade { nosso primeiro exemplo de anel nito, isto e, com um n umero nito de elementos. Veremos tamb em que, conforme as carater ³sticas aritm eticas do inteiro m, oanelz m tem propriedades peculiares, tais como a de que Z m e corpo somente quando m e primo. De ni»c~ao As opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z m s~ao de nidas por: Para cada inteiro a ecadainteirob, ² a + b = a + b ² a b = a b Teorema As opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z m s~ao bem-de nidas, ou seja, se a; b; a 0 ;b 0 s~ao inteiros, com a = a 0 e b = b 0,ent~ao a + b = a 0 + b 0 e a b = a 0 b 0 Em outras palavras, as classes de congru^encia em Z m que de nem a + b e a b n~ao dependem dos inteiros a e b que representam essas classes. Demonstra»c~ao.. Dados inteiros a; b; a 0 ;b 0, a = a 0 e b = b 0 ) a a0 e b b0 ) a + b a0 + b 0 e a b a0 b 0 ) a + b = a 0 + b 0 e a b = a 0 b 0. Teorema Seja m 2 um inteiro. Ent~ao (Z m ; +; ) e um anel comutativo com unidade. Demonstra»c~ao.. Ef acil ver que (Z m ; +) e um grupo abeliano, de elemento neutro 0, e ondeoelementoopostodea, coma 2 Z, e a classe de congru^encia a. Al em disso, a opera»c~ao multiplica»c~ao em Z m e associativa, comutativa, tem 1 como elemento neutro, e e distributiva em rela»c~ao µa adi»c~ao em Z m. 9

10 A prova de cada a rma»c~ao acima e totalmente rotineira, e faz uso sempre da estrutura alg ebrica do anel Z dos n umeros inteiros. Como ilustra»c~ao do que a rmamos, provaremos que a multiplica»c~ao em Z m e associativa e deixaremos a prova das demais propriedades a cargo do leitor. Dados a, b e c inteiros, temos, em Z m, a (b c) = a b c (pela de ni»c~ao de em Z m = a (b c) (ainda pela de ni»c~ao de em Z m = (a b) c (pela associatividade de em Z) = a b c (pela de ni»c~ao de em Z m ) = (a b) c (pela de ni»c~ao de em Z m ) Observa»c~ao Como vimos, para m 2, Z m = f0; 1;:::;n 1g. Nas opera»c~oesdeadi»c~ao e multiplica»c~ao em Z m, e de interesse representar a soma e o produto de duas classes a e b, com0 a m 1 e 0 b m 1, ainda como uma classe r, com0 r m 1. Em vista disso, fazemos as seguintes observa»c~oes, cujas demonstra»c~oes deixamos ao leitor como exerc ³cio: Sendo a e b inteiros dados nas condi»c~oes acima, temos: ² a + b = r 1, onde r 1 e o resto da divis~ao de a + b por m ² ab = r 2, onde r 2 e o resto da divis~ao de ab por m. ² Se 1 a m 1, ent~ao a = m a; 0 =0 Exemplo Oanel(Z 6 ; +; ). Z 6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g Utilizando os dados da observa»c~ao acima, temos que as t abuas das opera»c~oes + e em Z 6 s~ao dadas por: Note por exemplo, que: 10

11 4+5=3, visto que 4+5=9deixa resto 3 na divis~ao por 6, 4 =6 4=2, 3 =6 3=3. Observe tamb em que o anel Z 6 n~ao e um anel de integridade, ou seja, Z 6 possui divisores pr oprios de zero: 2 6= 0 e 3 6= 0, mas2 3=6=0. Finalmente, observe que os unicos elementos invert ³veis do anel Z 6 s~ao 1 e 5, sendo 1 1 = 1 e 5 1 = 5. De ni»c~ao M ultiplos de elementos de um anel. Seja (A; +; ) um anel. Para cada elemento a 2 A, e cada inteiro n, de ne-se um elemento n a 2 A (tamb em denotado por na), pela seguinte lei de forma»c~ao: 1. 0a =0(Nesta igualdade, o primeiro zero e um n umero inteiro, enquanto que o segundo e o elemento zero do anel A) 2. (n +1)a = na + a, sen 2 N 3. ( n)a = (na), sen 2 N Em outras palavras, se n 2, na = a + :::+ a {z } n parcelas e ( n)a = (na) enquanto que 0a =0, 1a = a e ( 1)a = a. Exemplo No anel (Z m ; +; ), sendo a 2 Z m (onde a 2 Z) en um inteiro, tem-se n a = na. Prove isto como exerc ³cio Divisores de zero e elementos invert ³veis no anel Z m Proposi»c~ao Sejam a e m inteiros, com m 2. Ent~ao 1. a e elementoinvert ³vel do anel Z m seesomentesea e m s~ao primos entre si, ou seja, se e somente se mdc(a; m) =1. 2. Se a e m s~ao primos entre si, existem inteiros r e s satisfazendo ra + sm =1. Nesse caso, o inverso de a em Z m edadopora 1 = r. Demonstra»c~ao.. Suponhamos que a einvert ³vel em Z m.ent~ao existe b 2 Z m,comb 2 Z, satisfazendo ab = 1. Da ³, teremos ab = 1 ) ab 1 ) mj(ab 1) ) ab 1=mq, para algum inteiro q ) ab mq =1. Logo, mdc (a; m) =1(porqu^e?), ou seja, a e m s~ao primos entre si. 11

12 Reciprocamente, se a e m s~ao primos entre si, ent~ao ra+sm =1para certos inteiros r e s. Da ³, ra + sm = 1 ) ra + sm = 1 ) r a + s m = 1. Como m = 0, chegamosa r a = 1, eportantoa e invert ³vel, j a que a multiplica»c~ao em Z m e comutativa. Sendo assim, provamos simultaneamente as duas propriedades enunciadas. Corol ario Se p>0 e umn umero primo, ent~ao (Z p ; +; ) e umcorpo. Demonstra»c~ao.. Como (Z p ; +; ) e um anel comutativo com unidade 1, s o nos resta provar que cada elemento n~ao nulo em Z p e multiplicativamente invert ³vel. Seja a 2 Z p (a 2 Z), com a 6= 0. a 6= 0 ) a 6 0 (mod p) ) p n~ao divide a. Comop e primo,p 6j a ) mdc (a; p) = 1 ) a e invert ³vel em Z p. Proposi»c~ao Se m 2 e um inteiro composto (isto e, n~ao primo), ent~ao o anel Z m possui divisores pr oprios de zero. Mais precisamente, para cada inteiro a, coma 6= 0, tal que mdc (a; m) 6= 1,ouseja,talquea e m possuem um fator primo comum, a e um divisor pr opriodezeroemz m. Demonstra»c~ao.. Seja m = p 1 p 2 :::p s,coms 2 uma decomposi»c~ao de m em fatores primos positivos. Seja a um inteiro que tem um fator primo comum com m, com a 6= 0. Suponhamos que p 1 e esse fator comum. Isto signi ca que a = p 1 q para algum inteiro q. Seja b = p 2 :::p s. Como 0 <p 2 :::p s <m,temosb 6= 0. Noentanto ab =(p 1 q)(p 2 :::p s )=q (p 1 p 2 :::p s )=qm eportantoab = qm = q m = q 0 =0, eportantoa (bem como b) e um divisor pr oprio de zero em Z m. Exemplo Consideremos o anel (Z 10 ; +; ). S~ao invert ³veis em Z 10 todasasclasses de congru^encia a com mdc (a; 10) = 1. Tomando 0 a<10, temos que os elementos invert ³veis do anel Z 10 s~ao 1; 3; 7 e 9. Uma r apida inspe»c~ao nos revela que 3 1 = 7 (e portanto 7 1 = 3) e que 9 1 = 9. Os divisores pr oprios de zero em Z 10 s~ao, segundo a proposi»c~ao acima, os elementos a,coma 6= 0, onde o inteiro a temumfatorcomumcom10, sendo eles portanto 2; 4; 5; 6 e 8. Esta a rma»c~ao e veri cada diretamente notando-se que 2 5 =4 5 =6 5 =8 5 =0. 12

13 1.4 Problemas do Cap ³tulo 1 1. Prove os teoremas deixados sem demonstra»c~ao no Cap ³tulo Mostre que cada uma das estruturas alg ebricas abaixo e umcorpo. n µ o a b (a) (K; +; ), sendo K = X 2 M(2; R) j X = ; com a e b reais b a [Sugest~ao: Para simpli car seu trabalho, use o fato de que M(2; R) e um anel. S o lhe restar a mostrar que + e s~ao de fato opera»c~oes em K, ouseja, que K e fechadonasduasopera»c~oes: 8X; Y 2 K, tem-sex + Y 2 K e XY 2 K.] (b) (Q[ p p]; +; ), sendo p>0um inteiro primo e Q[ p p]=fa+b p p j a; b 2 Qg [Sugest~ao: Useasugest~ao do exerc ³cio acima, agora usando o fato de que R e um anel.] 3. Mostre que cada uma das estruturas alg ebricas abaixo e anel comutativo com unidade, mas n~ao e um anel de integridade. (a) (Z m ; +; ), sendo m 2 um inteiro composto, isto e, n~ao primo. [Sugest~ao: Use o fato conhecido de que (Z m ; +; ) e um anel comutativo com unidade.] (b) (C[0; 1]; +; ), sendo C[0; 1] = ff j f:[0; 1]! R e umafun»c~ao cont ³nuag. [Sendo f e g duas fun»c~oes cont ³nuas [0; 1]! R, as fun»c~oes f + g e f g s~ao de nidas por: 8x 2 [0; 1]; (f + g)(x) =f(x)+g(x) e (f g)(x) = f(x) g(x)]. 4. Descreva os elementos invert ³veis do anel do item(b) do exerc ³cio anterior. 5. Seja p um inteiro primo e seja Z (p) oconjuntodosn umeros racionais cuja forma irredut ³vel m=n e tal que n n~ao e divis ³vel por p (O n umero racional m=n est a na forma irredut ³vel quando mdc(a; b) =1). 6. Descreva os elementos invert ³veis do anel do exerc ³cio anterior. 7. Sejam A e um anel de integridade e a 6= 0um elemento de A. Mostre que a fun»c~ao f: A! A x 7! ax e injetora. 8. Mostre que se (A; +; ) e um anel de integridade nito (isto e, com um n umero nito de elementos) ent~ao A e um corpo. [Sugest~ao: Use o fato estabelecido no exerc ³cio anterior e mostre ent~ao que, para cada a 2 A, a 6= 0, a equa»c~ao ax =1 tem solu»c~ao.] 9. Mostre que todo corpo e um anel de integridade. 10. Liste os elementos invert ³veis do anel (Z m ; +; ), nos casos (a) m =32 (b) m =36 (c) m =53 13

14 11. Mostre que, no anel (Z 420 ; +; ), 17 e 121 s~ao elementos invert ³veis e determine seus inversos. 12. Liste os divisores de zero do anel (Z m ; +; ) nos casos (a) m =36 (b) m =53 (c) m = Explique porqu^e, no anel M(2; R) das matrizes quadradas 2 2 de n umeros reais, n~ao vale a f ormula (X + Y ) 2 = X 2 +2XY + Y Seja R oprodutocartesianos T de an eis S e T. De na adi»c~ao e multiplica»c~ao em R por: (s; t)+(s 0 ;t 0 )=(s + s 0 ;t+ t 0 ); (s; t) (s 0 ;t 0 )=(ss 0 ;tt 0 ) (a) Mostre que R e umanel(chamadooprodutodiretodosan eis S e T ). (b) Quais s~ao os elementos invert ³veis de T? (c) Quais s~ao os divisores pr oprios de zero em T? 14