CAPÍTULO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3.1 INTRODUÇÃO

Transcrição

1 3 CAPÍTULO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3.1 INTRODUÇÃO O méodo dos elemenos finios (MEF) é uma énia de análise numéria que em por objeivo ober soluções aproximadas de problemas regidos por equações difereniais. Ele foi desenvolvido, iniialmene, para o álulo de ensões em sisemas esruurais. Enreano, em sido uilizado em uma vasa gama de problemas de Transmissão de Calor e Eleromagneismo, de Meânia dos Fluídos e de Meânia dos Sólidos. O MEF possui uma difusão muio grande, seja no meio aadêmio, seja no indusrial, disponibilizado em ódigos omeriais omo NASTRAN, ABAQUS, SYSTUS, ANSYS, enre ouros. Nese rabalho, foi uilizado o ANSYS, versão 6.0. As soluções analíias fehadas de alguns problemas de engenharia de razoável omplexidade são inviáveis ou mesmo impossíveis. A esraégia de se proeder a uma simplifiação do problema de modo que se possa onsruir um modelo maemáio de solução analíia possível é uma das alernaivas para se abordar o problema, mas que pode levar, quase que invariavelmene, a impreisões nos

2 38 Meânia do onao enre orpos revesidos resulados. O resene aumeno da apaidade de proessameno dos ompuadores em possibiliado, omo alernaiva às soluções analíias, a preservação da omplexidade do modelo e a uilização de énias aproximadas de resolução, nas quais se insere o MEF. 3.2 FUNDAMENTOS DO MEF Nos problemas em que a abordagem se faz pela formulação em domínios onínuos, as variáveis de ampo a exemplo das ensões, deformações e. assumem independenemene seus valores em ada pono de seus respeivos domínios. As soluções para esse ipo de problema em que uma função assoia um valor da variável de ampo para ada oordenada espaial em odos os ponos do domínio são denominadas soluções analíias. Transformando um problema infinio-dimensional em um problema om número finio de inógnias, por meio de um proesso de disreização, o MEF divide o domínio, no qual o problema é esudado, em elemenos, onforme se pode verifiar na Figura 3.1. Figura 3.1 Disreização em elemenos quadrilaerais em uma região de onao enre um ilindro e um plano.

3 Méodo dos elemenos finios 39 Cada elemeno possui ponos em seu inerior ou em sua froneira denominados nós, em que soluções aproximadas para as variáveis de ampo são expressas omo funções arbirárias dos valores assumidos pelas inógnias, hamados valores nodais. Essas funções são denominadas funções de forma ou funções de inerpolação. As inógnias do problema passam a ser os valores das variáveis de ampo nos ponos nodais, os quais ompõem um onjuno finio nesse proesso de disreização. Ressala-se que a disreização leva a modelos expressos sob a forma de sisemas de equações difereniais ordinárias no aso de problemas de propagação (dinâmia) ou de equações algébrias no aso de problemas de equilíbrio. Uma vez resolvidas numeriamene ais equações, a avaliação das variáveis de ampo denro de ada elemeno pode, enão, ser feia pelas funções de forma, sendo que, do número de nós e das funções arbiradas, depende a preisão do modelo e, onsequenemene, o esforço ompuaional. Na Seção 4.2.5, há maiores dealhes sobre as araerísias perinenes ao modelo adoado, omo o número de graus de liberdade. Ao se proeder a uma disreização de domínios em modelos que possuam geomerias omplexas, a uilização de elemenos de formas, amanhos e propriedades físias diferenes se apresena omo uma grande vanagem do MEF - prinipalmene onde há problemas que envolvam domínios não homogêneos, omo é aso do problema de onao enre superfíies revesidas. Oura vanagem é a possibilidade da formulação mariial, que é um failiador na sua implemenação ompuaional em 3 eapas subsequenes, quais sejam: pré-proessameno, em que se proede à onsrução do modelo, por geração direa, pelo próprio usuário, ou por modelagem sólida (erminologia espeífia do ANSYS ), quando a geração de nós e de elemenos é feia auomaiamene pelo programa, proedimeno mais reomendado em asos de problemas mais omplexos. Ele é feio mediane os seguines proedimenos: 1. Divisão do domínio em elemenos, esolhendo o ipo e o número de elemenos adequados à geomeria e aos aspeos físios do problema; 2. Opção pelas funções de inerpolação que desrevem as variáveis de ampo, sejam esalares, veoriais ou ensoriais. A onsrução das marizes elemenares, por meio da definição das relações mariiais que desrevem o omporameno de ada elemeno, individualmene, diz respeio, mais espeifiamene, ao proesso de formulação dos elemenos. Para ano, podem ser uilizados um dos rês proessos a seguir: a) Proesso direo, que permie uma inerpreação físia do signifiado das marizes elemenares, embora limiado na omplexidade dos problemas a que pode ser apliado;

4 40 Meânia do onao enre orpos revesidos b) Proesso dos resíduos ponderados, baseado inegralmene na maemáia e muio poderoso; ) Proesso variaional, baseado no álulo variaional. As equações elemenares, para um elemeno genério i, são esrias para problemas de equilíbrio: sendo que: ({ }) ki ui ({ }) k u i i { ui}= { qi}, i = 123,,,... N (3.1) é a mariz de rigidez elemenar; N é o número de elemenos oal do modelo; { } e { u i } são os veores dos esforços e dos desloamenos nodais, res- q i peivamene. Em virude de se esar admiindo omporameno não linear, a mariz de rigidez é dependene dos desloamenos. Monagem do sisema global de equações, ujas eapas se ompõem de: imposição do equilíbrio dos esforços nos nós, ompaibilidade dos desloamenos nodais. As equações de equilíbrio do modelo, esrias no sisema de oordenadas globais e obidas por essa ompaibilidade de desloamenos dos nós e da imposição dos esforços nodais, são as que seguem: ({ }) ({ }) { }= { } (3.2) k u u q sendo que k u é a mariz de rigidez global; onde { q} e { u} são os veores dos esforços e dos desloamenos nodais, respeivamene, expressos em oordenadas globais, em que o número de graus de liberdade do modelo (GDL) é dado pelo número de equações que ompõem a Equação (3.2). Para se exemplifiar a formulação das equações governanes do MEF e a poserior deerminação das marizes de rigidez de onao, onsidere-se o aso bidimensional de onao enre um orpo alvo e um onaor, esquemaiamene ilusrado na Figura 3.2:

5 Méodo dos elemenos finios 41 Figura 3.2 Caso bidimensional de onao, segundo Bahe (1986). Observe que os nós k 1 e k 2 não são neessariamene as exremidades de um elemeno, mas quaisquer dois nós adjaenes que perençam ao orpo alvo do onao. A disreização das equações da meânia do onínuo obidas pelo prinípio do rabalho virual para N orpos são dadas por: e sendo que, para m nós onaores, ( )= ( ) F U R R U, T (3.3) T F ( U, T)= 0 (3.4) T λ, τ,..., λ, τ,..., λ, τ (3.5) = [ 1 1 k k m m] Para o nó onaor k e o orrespondene nó alvo, o veor força nodal, onforme definições da Figura 3.2, é dado por: + Rk ( ) ( ) λ k nk + µτksk = ( 1 β ) λ n + µτ s βλ k k( nk + µτksk ) k k k k k (3.6) Após uma linearização, no empo obém-se (ver maiores dealhes em BA- THE, 1986): ( + uu ) uτ τu ττ = T F + U R F R (3.7)

6 42 Meânia do onao enre orpos revesidos onde as marizes de rigidez de onao são dadas pelas seguines expressões: uu τu R = ; U F = ; U uτ ττ R = T F = T (3.8) A formulação da meânia do onínuo adoada leva em ona muias ondições gerais de deformações e relações onsiuivas, inluindo a lei de ario de Coulomb. Evidenemene, essa formulação é ambém apliável ao onao sem ario. Nesse aso, as equações do MEF êm somene forças normais nos nós onaores, omo se sabe. De pariular ineresse na solução dos problemas de onao é a apaidade do algorimo de onvergir naqueles asos em que se êm geomerias, deformações e ondições de onao omplexas. Fae ao exposo, vale ressalar que passos inremenais muio grandes podem levar a grandes difiuldades de onvergênia nas ierações de equilíbrio, porque o esado inermediário de predição esá muio disane da solução. Por ouro lado, a onvergênia quadráia omplea, quando próxima da solução, pode não ser aingida se a angene da mariz dos oefiienes não for sufiienemene suave, omo resulado de uma saliênia na superfíie alvo, por exemplo. proessameno, em que, esando o modelo represenado por um onjuno de equações algébrias ou difereniais, lineares ou não lineares, os valores das variáveis de ampo, em ada nó, serão deerminados por meio da resolução dessas equações, pelos méodos numérios apropriados a ada aso. Nessa eapa, as ondições de onorno são apliadas ao modelo, seja pela apliação das resrições aos desloamenos, seja pela apliação de desloamenos ou das forças exernas no modelo. Cálulos omplemenares poderão ser neessários para a obenção de grandezas dependenes das variáveis de ampo. pós-proessameno, em que se proede a uma apresenação gráfia e/ou numéria dos resulados. 3.3 APLICAÇÕES E LIMITAÇÕES DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS São rês as aegorias de problemas em que se podem dividir as apliações do MEF: aqueles em que se deseja alular frequênias naurais e modos de vibração de meios sólidos e fluidos, os de esabilidade linear (flambagem), bem

7 Méodo dos elemenos finios 43 omo os da aeroelasiidade, esão inseridos nos denominados problemas de auovalor; os que raam da araerização do omporameno do sisema meânio em função do empo, em regime ransiório, são denominados problemas de propagação, inluindo-se neses a deerminação das disribuições de emperauras geradas por uma fone de alor variável; os de equilíbrio, os quais êm soluções independenes do empo. Nesa lasse de problemas, inserem-se os da Meânia dos Fluidos, que raam da disribuição de pressão e veloidades em regime permanene, bem omo os da Meânia dos Sólidos que se preoupam om a deerminação de ensões e deformações em elemenos esruurais, omo no aso da Meânia do Conao. Embora seja o MEF uma poderosa ferramena de uilização nos problemas de Engenharia, não se deve perder de visa que é um méodo aproximado, o que faz om que raga em seu onexo simplifiações de um deerminado modelo físio que poderão aarrear resulados inoerenes om a realidade. Porano, um equilíbrio enre as simplifiações no modelo de elemenos finios que podem levar a impreisões nos resulados e o exesso de rigor nas suas omplexidades que podem aarrear um uso ompuaional inviável é a forma mais segura de obenção do êxio na apliação desse méodo. Por esse moivo, o onheimeno das prováveis fones de inereza inerenes à modelagem do MEF, ais omo linearidades, imperfeições na represenação geoméria dos domínios mais omplexos, erros de naureza numéria, enre ouros, bem omo o domínio do problema físio em esudo e do próprio méodo pelo engenheiro, são de fundamenal imporânia na validação e na inerpreação dos resulados obidos.

8