Questões Análise de Tensões e Deformações

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1 Questões nálise de Tensões e Deformções 8.8 Eeríios Resolvidos (olorção rof. láido) FORMULÁRIO pr álulo ds tensões no plno d seção Esforço Soliitnte Seção Crregmento Oservção Distriuição ds tensões n seção Fórmul pr álulo d Tensão Trção ur (ou ompressão) N + σ = N / Crregmento Centrdo. Áre Qulquer Corte uro Fleão ur Simétri Fleão Simples M M Q M LN Q M LN - + = Q / σ = (M/I LN ) σ má = M/W = Q M s /I LN má = ξ (Q/) Crregmento Centrdo. Áre Qulquer Crregmento no plno de simetri. LN no entróide d áre (M onstnte) M s (momento estátio) (M vriável) Fleão Compost om Forç Norml M M N LN σ = Ν/Α (Μ Ζ /Ι Ζ )Y + + (M /I Y )Z (os eios Y e Z são os eios prinipis de inéri) (LN lóus onde σ = 0) = (T/J ( )r Seção irulr T Torção ur T = T / 2e@ Duto de prede fin T = T / αh 2 (α teldo) Seção Retngulr 18

2 Questões nálise de Tensões e Deformções Eeríio nº Determine σ 1, σ 2 e má, em omo seus respetivos plnos de tução, no ponto d seção trnsversl no engstmento do duto esquemtido. Represente o estdo de tensão no ponto trvés do Círulo de Mohr. Solução No engstmento: 10m 30 kn/m 5 kn 2m kn m N = + = kn ( - ) Q = 30 4 = 1 kn ( + ) M = 1 0 =.000 kn.m T = 5 = kn.m = = 2m = = 684 m 2 I LN = () 3 / 16(36) 3 /= = m 4 4,0 m 1,01 4,95 m 19 5 kn kn No ponto : σ = N/ + (M/I LN ) = = - /2 + (.000/44.459)10= = - 0, ,398 = = 4,952 kn/m 2 = 49,5 M Q = Q M s / I LN ; M s = = 1.8 m 3 Q = 1 18 / (2 + 2) = 0,8151 kn/m 2 ( ) T = T/2.e.@ = / = 1,827 kn/m 2 ( ) totl = 1,0 kn/m 2 = 10,1 M ( ) r orientção de eios mostrd o ldo teremos: V σ = + 4,95; = - 1,01; H σ = 0; = - 1,01. (estdo duplo, om σ = = = 0) s tensões prinipis vlerão: σ p = ½ (σ + σ ) + [½ (σ - σ )] 2 + ( ) 2 = ½ (4,95 + 0) + [ (½ 4,95) 2 + (1,01) 2 ] 1/2 = = 2, ,675 σ p1 = 5,151 kn/m 2 ; σ p2 = - 0,199 kn/m 2 ; má = 2,675 kn/m 2 tg α 1 = (σ 1 - σ )/ = (5,151 4,95)/1,01 = 0,199 α 1 = 11,2º tg α 2 = (σ 2 - σ )/ = ( - 0,199 4,95)/1,01 = - 5,09 α 2 = 78,8º O trçdo do írulo de Mohr é feito plotndo-se os dois pontos representtivos ds tensões no plno (V) e no plno (H). Unindo-se tis pontos otemos posição do entro d írulo (sore o eio dos σ). Trçd irunferêni, otem-se s oordends orrespondentes às tensões etrems. O ólo é um elemento gráfio que uili n determinção d orientção dos plnos onde tum s tensões representds. -2 σ 2 0,00 1, ÓLO ,475 V σ α 1 σ 4,95 1,01 σ

3 Questões nálise de Tensões e Deformções (nálise ríti: trtndo-se de um fleão ompost om forç norml de ompressão, seri oportuno vlir se fleh n etremidde livre d vig, provod pelo rregmento trnsversl, iri usr um eentriidde à forç norml em relção à seção do engstmento, umentndo o vlor do momento fletor, sendo tl efeito umultivo. No so, omo se verá mis dinte, fleh n etremidde livre de um vig em lnço, de omprimento L, seção om inéri I e mteril de módulo de elstiidde E, sumetid um rg uniformemente distriuíd w, vle f = wl 4 /8EI. Supondo que vig ião fosse frid om rrs hts de ço (E=0 G), pr os vlores presentdos, fleh luld seri: f = / = 0,0108m = 10,8mm. O résimo de momento no engstmento, devido à eentriidde d forç norml seri: M = kn 1,08m = 108 kn.m (0,45 % do momento M =.000 kn.m) (despreível no so). Eeríio nº São onheids s tensões tuntes no ponto K d vig esquemtid: = 5, kn/m 2 K K σ = 6, kn/m 2 tensões e s direções prinipis. Utilindo o írulo de Mohr, determine s lotdos os pontos representtivos ds tensões oorrentes no V (-6,; 5, ) e no H (0,00; 5, ) otem-se posição do entro do írulo ½ (- 6, 0) = -3,25, em omo o seu rio, fendo: R = [(6,/2) 2 + 5, 2 ] 1/2 = 6,13. σ 1 = 3,25 + 6,13 = + 2,88* σ 2 = 3,25-6,13 = - 9,38* má = 6,13* *kn/m 2 orientção dos eios prinipis tomndo o eio omo referêni nos indi: tgα 1 =[2,88 ( 6,)]/( 5,) = 1,5; α 1 = 61,0º α 2 = 29,0º - 6, 5, -3, pólo σ 2 σ 1 σ méd má H α 1 0,00 5, V σ

4 Questões nálise de Tensões e Deformções Eeríio nº O duto esquemtido, de seção irulr (D = mm e espessur de prede 2mm), é sumetido um pressão mnométri p = 10 tmosfers (1 tm = 0, M) e à forç vertil de 5kN n etremidde vedd por flnge ego. r seção indid ( 1mm do engstmento), pede-se representr os estdos de tensão pelos respetivos írulos de Mohr, nos pontos, B, C e D ssinldos. 1mm 300mm 0mm 5,0kN B 2mm D=mm Flnge Cego D p C N seção indid, temos os seguintes esforços soliitntes: N = p INT =,10 6 π(0,096) 2 /4. N = 7.238N; Q = 5.000N; M = ,0 M = N.m; T = ,300 T= 1.0N.m B D s proprieddes geométris vlem: = π [(0,) 2 - (0,096) 2 ]/4 = 615, m 2 J = (π/32)[(0,) 4 (0,096) 4 ] = 1, m 4 I = ½ J = 0, m 4 C Tensão Cirunferenil: devido à pressão : σ C =pd/2e =,10 6 0,096/,002 σ C = +M (trção)... ontos, B, C e D. Tensão Longitudinl: 1)Devido à ressão p: σ = pd/4e = N/ σ = + M (trção)... ontos, B, C e D. 2)Devido o Momento Fletor: σ = (M/I) = (1.000 / 0, ) 0,0 = 69,6 M σ onto : - 69,6M; onto C: + 69,6M; ontos B e D: ero. Tensão Tngenil: 1)Devido o Torque: = (T/J )r = (1.0 / 1, ) 0,0; =,7 M...(ontos,B,C e D) 2)Devido à Forç Cortnte: = ξ (Q/) = 2 (5.000 / 615, ); = 16,2M...(ontos B e D); (ts. e C 0) Compondo os vlores priis em d ponto oteremos: - 57,6-57,6,7 B 21 C 34,5 81,6 76,9,7 81,6 D

5 - 57,6-57,6,7 Questões nálise de Tensões e Deformções Tensões M σ médio = ½ (- 57,6 + ) = - 16,8 Rio = [(- 57,6 ) / 2] 2 +,7 2 ] 1/2 = 65,1 σ 1 = -16,8 + 65,1 = + 48,3 σ 2 = -16,8-65,1 = - 81, σ B 34,5 σ médio = ½ ( + ) = 18 Rio = [( ) / 2] ,5 2 ] 1/2 = 35,0 σ 1 = = + 53,0 σ 2 = = -17, σ 81,6 C,7 81,6 σ médio = ½ (81,6 + ) = 52,8 Rio = [(81,6 ) / 2] 2 +,7 2 ] 1/2 = 58,3 σ 1 = 52,8 + 58,3 = + 111,1 σ 2 = 52,8 58,3 = - 5, σ D 76,9 σ médio = ½ ( + ) = 18 Rio = [( ) / 2] ,9 2 ] 1/2 = 77,1 σ 1 = ,1 = + 95,1 σ 2 = 18 77,1 = - 59, σ 22

6 Questões nálise de Tensões e Deformções Eeríio peç esquemtid, om um geometri omplid, é frid em ltão (E = 105 G e G = 39 G) e sumetid um sistem ompleo de esforços. ede-se determinr s tensões máims de trção/ompressão e islhmento no ponto d superfíie ssinldo, onde foi montd um roset e form medids s seguintes deformções ns direções indids: ε = +0µ; ε = +0µ; ε = +4µ. Fç os álulos utilindo s fórmuls e onfir trvés d nálise feit trvés dos írulos de Mohr. Considere trtr-se de um estdo triplo de tensões, sendo nul tensão no 3º plno (o d superfíie onde foi montd roset) 90º 45º Solução: ojetivndo utilir s equções deduids pr roset 45, devemos oservr que o etensômetro oup posição orientd n direção, tendo o sensor defsdo de 45 em relção e o sensor orientdo n direção (seguindo o sentido trigonométrio pr o giro). Teremos portndo: ε = +0µ; ε 45 = +4µ; ε = +0µ. De (8.7.4) γ = 2 (ε iss ), (ε + ε ) = 2 4 (0 + 0) = -300µ. De (8.7.8) ε 1 = (ε +ε )/2 +{[(1/ 2) (ε -ε )] 2 +(γ /2) 2 } 1/2 = = +8µ ε 2 = (ε +ε )/2 - {[(1/ 2) (ε -ε )] 2 +(γ /2) 2 } 1/2 = 0-2 = +3µ De (1.7.6) G = E / 2(1 + ν) ν = (E/2G) 1 = ( / ) 1 = 0,346 De (8.7.) ε = [-ν/(1-ν)](ε + ε ) = [-0,346 / (1 0,346)](0 + 0) = - 634,9µ De (8.7.14) γ má = ε p1 - ε p3 = 8 (-634,6) =1.485µ. De (8.7.13) σ p1 = [E/(1-ν 2 )][(ε 1 +νε 2 )]=[ /(1-0,346 2 )](8+0,3463)10-6 =115,8M σ p2 = [E/(1-ν 2 )][(ε 2 +νε 1 )]=[ /(1-0,346 2 )](3+0,3468)10-6 = 76,8M De (1.7.5) má = G γ má = = 57,9 M. (*) Enrndo o estdo de tensão omo triplo, sendo tereir tensão nul (σ 3 = 0), verifi-se que máim tensão tngenil seri dd (de 8.6.1) por má = 1/2 (σ p1 - σ p3 ) = ½ (115,8 0) = 57,8 M (onfirmndo *). Os írulos de Mohr orrespondentes os estdos de deformções (medids) e de tensões (lulds) são presentdos seguir. γ/2 (µ) (M) ε (µ) σ (M) 23

7 Questões nálise de Tensões e Deformções QUESTÕES DE ROVS E TESTES RESISTÊNCI DOS MTERIIS XI Eng. Meâni 1ª. rov Em 18/05/04 rof. mplon 1. QUESTÃO (3,0 pontos) ) (1,5p) Clul-se que, em um ponto d superfíie livre de um tuo de ço rregdo, tu um estdo de tensão om os vlores representdos o ldo. ede-se determinr, no ponto onsiderdo, os vlores etremos d tensão norml e d tensão tngenil, indindo os plnos onde esss tensões tum. 45º ço 10 E = 8 G G = G σ es = 2 M 42M 63M 63M 6M 42M B) (1,5p) Medem-se, em um ponto d superfíie livre de um tuo de ço rregdo, trvés de um roset 45º, s seguintes deformções longitudinis espeífis, orrespondentes os etensômetros (), (45), (): ε = + 110µ; ε = + 2,5µ; ε = + 0µ; ede-se determinr, no ponto onsiderdo, os vlores etremos d tensão norml e d tensão tngenil. UNIVERSIDDE FEDERL FLUMINENSE DERTMENTO DE ENGENHRI CIVIL RESISTÊNCI DOS MTERIIS XI_ - Engenhri Meâni rof. mplon 1 1. vlição : em 14/10/04 1ª Questão (4p) r seção 0 situd 1 mm do engste do duto de ço esquemtido (E = 0G e ν = 0,300), sumetido o rregmento indido, pede-se lulr os vlores ds tensões 300 prinipis (trção e ompressão) e d máim tensão tngenil: R 10kN )(1,5p) no ponto ssinldo; 8 )(1,5p) prtir ds medições de 4 deformções espeífis otids trvés d roset R esquemtid, 45º 8 onde: 4 ε = - 1µ; ; ε = + 42µ; 5 kn ε = - 356µ; )(1,0p) em omplemento, fç um esoço dos írulos de Mohr representndo os estdos triiis de tensão e de deformção omputdos nos itens ) e ).

8 Questões nálise de Tensões e Deformções UNIVERSIDDE FEDERL FLUMINENSE DERTMENTO DE ENGENHRI CIVIL RESISTÊNCI DOS MTERIIS XI - Engenhri Meâni rof. mplon 1ª ROV Em 19 de ril de 05 - ( ) 1ªQUESTÃO No ponto d superfíie etern º º de um peç de ço 10 foi montd um roset em delt (eqüiláter), sendo o etensômetro orientdo segundo o eio d rr. Depois de rregd peç, s leiturs dos sensores form: ε = 1170 µ; ε = 737 µ; ε = 304 µ. Considerndo triplo o estdo de tensão no ponto (om σ 3 = 0), pede-se: ) trçr um esoço dos írulos de Mohr indindo o vlor máimo d distorção γ; ) trçr um esoço dos írulos de Mohr 30º indindo o vlor máimo d tensão tngenil ; ) lulr tensão tngenil nt tunte num plno perpendiulr à superfíie, formndo um ângulo de 30º om o plno (segundo o sensor ) 0 67,5º UNIVERSIDDE FEDERL FLUMINENSE DERTMENTO DE ENGENHRI CIVIL RESISTÊNCI DOS MTERIIS XI - Engenhri Meâni rof. mplon 1ª vlição em de setemro de 05 π D= 30kN 135º R kn R 90º 135º 1ª QUESTÃO ( 4 pontos ) r olun tuulr esquemtid (seção irulr om diâmetro eterno mm e 6mm de espessur de prede) pede-se: )(1p) máim tensão tngenil no ponto ssinldo (onsiderndo o estdo duplo om σ = σ = 0) )(1p) tensão norml no ponto ssinldo, num plno que form um ângulo de 67,5º om o plno d seção trnsversl (plno π) )(1p) esoçr os írulos de Mohr pr s deformções ε γ no ponto R onde foi montd um roset om dois sensores ortogonis ( e ) e um tereiro () orientdo n issetri () desss direções, ujos sensores registrm: ε = +522 µ; ε = +301 µ ; ε = +90,0 µ d) (1p) s máims tensões norml e tngenil no ponto R ssinldo prtir dos registros dos sensores d roset li posiiond. 25

9 0 º Questões nálise de Tensões e Deformções UNIVERSIDDE FEDERL FLUMINENSE DERTMENTO DE ENGENHRI CIVIL RESISTÊNCI DOS MTERIIS XI - Engenhri Meâni rof. mplon 1ª vlição (pré-prov) em 13 de setemro de π 30kN R 10kN 1º R 1º 1º 1ª QUESTÃO ( 4 pontos ) r olun vd esquemtid (seção qudrd mm 2 medids eterns e 5mm de espessur de prede) determinr: )(1p) máim tensão norml no ponto ssinldo (onsiderndo o estdo duplo om σ = σ = 0) )(1p) tensão tngenil no ponto ssinldo, num plno que form um ângulo de º om o plno d seção trnsversl (plno π) )(1p) máim distorção γ no ponto R ssinldo, onde foi montd roset eqüingulr (1º) ujos sensores registrm: ε = +91,0 µ; ε = -57,9 µ ; ε = +62,5 µ d)(1p) máim tensão norml no ponto R, utilindo os registros dos sensores d roset (im) D=mm K º F M J TESTE O eio miço em lnço ssinldo n figur, om mm de diâmetro, é iondo por um engrengem de dentes retos (ϕ = º e diâmetro primitivo = mm), girndo 1.0 rpm, trnsmitindo potêni de 6 ½ CV um máquin M. ede-se determinr s tensões máims de trção, ompressão e islhmento nos pontos K e J ssinldos, junto o mnl de entrd d máquin. Fç um esoço dos írulos de Mohr orrespondentes os estdos de tensão nos respetivos pontos. 26

10 0 0 D EXT = 306 B ( ) º º Questões nálise de Tensões e Deformções 1ª ROV Em 23 de mio de º 10 kn 1ªQUESTÃO (4,0 p) O vso de pressão ilíndrio esquemtido (L = 1,2m, D interno = 300mm, prede de espessur = 3mm), frido em ço 10 (E = 0 G e ν = 0,300) so pressão mnométri de tmosfers (1 tm = 0,102 M) é engstdo em um ds etremiddes e sumetido à forç de 10 kn, ontid no plno do flnge em lnço, e orientd omo mostrdo. Considerndo o estdo triplo de tensões e de deformções, pede-se lulr: )(2p) máim tensão tngenil no ponto indido; )(2p) máim distorção γ no ponto B indido, tendo omo se medid de deformções espeífis ε etríds d roset (eqüingulr) esquemtid, de onde se lê: ε = 55,3 µ; ε = 326,7 µ; ε = 372,2 µ. UNIVERSIDDE FEDERL FLUMINENSE DERTMENTO DE ENGENHRI CIVIL RESISTÊNCI DOS MTERIIS XI - Engenhri Meâni rof. mplon 1ª vlição em 02 outuro de 07 º 75º 75º 1ª QUESTÃO (4 pontos) No ponto d superfíie etern de um peç de ço 10 foi montd um roset, sendo o etensômetro orientdo segundo o eio mostrdo. Depois de rregd peç, s leiturs dos sensores form: ε = + 0 µ; ε = + 1 µ; ε = + 0 µ. Considerndo triplo o estdo de tensão no ponto (om σ 3 = σ = 0), pede-se: ) (1,5p) trçr um esoço dos írulos de Mohr indindo o vlor máimo d distorção γ; ) (1,5p) trçr um esoço dos írulos de Mohr indindo o vlor máimo d tensão tngenil ; ) (1p) lulr tensão tngenil nt tunte num plno perpendiulr à superfíie, formndo um ângulo de º om o eio (segundo o sensor ) 27