AXB = {(x, y) x A e y B},

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1 Universidde Bndeirntes de São Pulo Unim. ots de uls de Mtemáti 1º S e 1º PD Profº Ms.Lourivl Pereir Mrtins / Crlos Roerto d Silv Produto Crtesino Produto Crtesino: Ddos dois onjuntos e B, não vzios, hmmos de produto rtesino de por B, que indimos X B, o onjunto de pres (x, y) tis que: XB = {(x, y) x e y B}, Por definição o vlor x do pr (x, y) pertene o primeiro onjunto, onjunto e y o segundo onjunto, onjunto B logo o pr (x, y) é denomindo pr ordendo. Os.: Pr ser quntos elementos existem neste onjunto, st multiplir quntidde de elementos do onjunto pel quntidde de elementos do onjunto B. Exemplo1: Ddos os onjuntos = {5,6} e B = {2,3,4}, determinr XB; )N representção ou form tulr: XB = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)} ) N representção ou form gráfi: 1

2 Exemplo2: Ddos os onjuntos = {5,6} e B = {2,3,4}, determinr BX; )N representção ou form tulr: XB = {(2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,5)} ) N representção ou form gráfi: Exeríios: 1. Ddos os onjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, determinr o produto rtesino M X N e N X M ns representções tulr e gráfi 2. Considerndo os onjuntos = {x 2 x 1}e B = {3,4}, determinr X B e BX ns representções ou forms tulr e gráfi. 3. Determinr o produto rtesino dos onjuntos ixo, n form gráfi.. [2,5] X {1}. {3,4} X [-1,3]. [1,3] X [2,5] d. ]-2,1] X [3,5[ 4. Ddos os onjuntos E = {x IN x 2}, F = {4,5} e G = {-1,0}, determine form tulr dos produtos:. E X F. F X E 2

3 . F X G d. E X G 5. Sendo C = {x IN 2 x 4}e D = {y 1 y < 3}, determine form gráfi dos produtos:. C X D. D X C 6. Sendo C = {x IN 2 x 4}e D = {y IR 1 y < 3}, determine form gráfi dos produtos:. C X D. D X C 7. Sendo C = {x IR 2 x 4}e D = {y IR 1 y < 3}, determine form gráfi dos produtos:. C X D. D X C 8. Se = {1,2}U{x IN 2 < x < 3} e B ={x IR 1 x 2}desenhe o gráfio de X B. Relção Binári Ddos dois onjuntos, e B, não vzios, hmmos de relção inári (R) de em B qulquer suonjunto do produto rtesino X B, ou sej, R XB. O onjunto é hmdo de domínio, isto é, origem ou onjunto de prtid de R. O onjunto B é hmdo de ontrdomínio, isto é, destino ou onjunto de hegd de R. Os elementos de são hmdos de x e os elementos de B são hmdos de y. O onjunto formdo por todos os y pertenentes à relção hmmos de imgem. Exemplo: Ddos os onjuntos = {1,2,3} e B = {4,5,6}, efetundo o produto rtesino X B, temos: X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)} Vmos onsiderr um relção inári do produto rtesino X B, em que, o y é o doro de x. N lingugem simóli: xry R = {(x, y) XB y = 2x}. Logo R = {(2,4), (3,6)} 3

4 B Domínio: D (R) = {1,2,3} Contrdomínio: CD (R) = (4,5,6} Imgem: Im (R) = {4,6} Exeríios: 1. Ddos os onjuntos = {-1,0,1,2} e B = {0,1,2,3,4,5} e relção R = {(x, y) XB / y = x +1}, determinr:. os pres ordendos d relção R. o onjunto domínio e o onjunto imgem;. o digrm de flehs; d. o gráfio rtesino. 2. Ddos os onjuntos M = {-3, -2,-1,0,1} e N = {1,2,3,5,6} e relção R = {(x, y) MXN y = x 2 +1}, determinr:. os pres ordendos d relção R;. o onjunto domínio e o onjunto imgem;. o digrm de flehs; d. o gráfio rtesino. 3. Determine os elementos de d um ds relções ixo e fç o respetivo digrm de flehs.. = { 2, 1,0,1,2}, B = { 1,0,1,2,3,4,5} e R = {(x, y) XB y = x + 2}. M ={ 2, 1,0,1, 2,3}, ={ 1,0, 2,3,5} e R = {(x, y) MX y = x 2 1} 4

5 . I = { 2, 1,0,1, 2,3}, J = { 1,0,1, 2, 4,6} e R = {(x, y) I X J y = x 2 } x 1 4. Considerndo relção R = ( x, y) E X F / y = e os onjuntos 2 E = { 3, 1,1,3,5}e F = { 2, 1,0,1,3,5}, determine os pres ordendos d relção. 5. Ddos os onjuntos O = {0, 2, 4, 6, 8} e P = {1, 5, 9, 13, 15, 18} e relção R = {(x, y) O X P y = 2x +1}, determine o onjunto domínio e o onjunto imgem d relção. 6. Ddos os onjuntos = { -2, -1, 0, 1,2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4}, determine d um ds rlções seguintes identifindo os respetivos domínio e onjunto Imgem. ) R 1 = { (x,y) XB/ y = x 2 } ) R 2 = { (x,y) XB/ y = x + 1} ) R 3 = { (x,y) XB/ y > x + 1} d) R 3 = { (x,y) XB/ y = x 2-1} Relção Invers Sej R um relção de em B. relção invers de R, denotd por R -1, é definid de B em por: R 1 = {( y, x) B X (x, y) R}. Exemplo1: Sejm = {,,} e B = {d,e,f} e R um relção em XB, definid por: R = {(,d), (,e),(,f), (,d),(,e),(,f),(,d),(,e),(,f)} Então: R -1 = {(d,),(e,),(f,),(d,),(e,),(f,),(d,),(e,),(f,)} Exemplo2: Considerndo relção R = {(x, y) XB 3 x - 2y = 8}, determine relção R -1. Como vimos se R tem seu pr ordendo (x,y) definido em XB, então st onsiderr o produto BX trondo, n lei que define relção, o x pelo y e o y pelo x logo Se R = {(x, y) XB 3 x - 2y = 8} então R -1 = {(x, y) BX 3 y 2x = 8} 5

6 Exeríios: 1. Ddos os onjuntos = {,,} e B = {1,2,3,4} e relção R em XB, qul é relção invers R -1? 2. Considerndo os onjuntos = { 1, 2, 3, 4, 5} e B = { 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10} e relção R = {(x, y) XB 2x - y = 0 determine R -1 }. 3. Sejm os onjuntos = {,,,d,e} e B = {2,4,6,8,10} e relção R, ddo no digrm ixo. Desrev relção R e su invers R Sej relção R = {(x, y) XB 2x + y = 8}. Determine relção invers R Sej relção R = {(x, y) XB 2x - 4y = 8}. Determine relção invers R Ddos os onjuntos = { -2, -1, 0, 1,2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4}, determine s rlções inverss de d um ds seguintes relções indids ixo ) R 1 = { (x,y) XB/ y = x 2 } ) R 2 = { (x,y) XB/ y = x + 1} ) R 3 = { (x,y) XB/ y > x + 1} d) R 3 = { (x,y) XB/ y = x 2-1} Mtriz de um relção Sejm e B dois onjuntos finitos. representção R : B omo mtriz é: ) o número de linhs é n (número de elementos do domínio) ) o número de oluns é m (número de elementos do ontr domínio) ) mtriz resultnte possui m x n éluls d) d um d m x n éluls possuem vlor lógio ssoido e) se (x,y) R, então posição determind pel linh i e pel olun j d mtriz ontém vlor verddeiro (1); so ontrário, seu vlor será flso (0). 6

7 Exemplo: Ddo os onjuntos = {}, B = {,} e C = {0,1,2}, temos que: ) R = {(x, y) B B x = y} = ) R = {(x, y) C C x < y} < ) R = X B XB 1 1 Exeríios: 1. Sejm = {1,2,3} e B = {,,} e R seguinte relção de em B: R = {(1,),(1,),(2,),(2,),(3,)} ) Determine mtriz d relção ) Desenhe o digrm de flehs de R ) he relção invers de R. 2. São ddos = {1,3,5,7} e B = {w,x,y,z}. Sej R seguinte relção de em B: R = {(1,x), (1,z), (7,w), (3,w)}. ) Determine mtriz d relção. ) Desenhe o digrm de flehs de R. ) he relção invers de R. d) Determine o domínio e imgem de R. 3. Sejm = {1,2,3,4}, B = {0,2,4,6,8} e relção R = {(x, y) XB y = 2x}, determine mtriz dest relção. 4. Ddos os onjuntos = { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e relção R ={(x, y) XB y=x 2-1 } determine Mtriz dess relção 7

8 5. Ddos os onjuntos = { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e relção R ={(x, y) XB y x } determine Mtriz dess relção 6. Ddos os onjuntos = { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e relção R ={(x, y) XB y é múltiplo x } determine Mtriz dess relção 7. Ddos os onjuntos = { 0, 1, 2} e B= { 1, 2, 4} e relção R ={(x, y) BX y é divide x } determine Mtriz dess relção 8. Ddo o onjunto = { 1, 2, 3, 6} e relção R ={(x, y) X y é divide x } determine Mtriz dess relção Proprieddes ds Relções No estudo ds relções sore um onjunto, om finito e tendo pouos elementos, é útil representção trvés do esquem de flehs. Representmos o onjunto om seus elementos e indimos d pr (x,y) d relção trvés de um fleh om origem x e extremidde y. Se (x, x) está n relção, us-se um lço envolvendo, onforme o exemplo: Exemplo: O esquem ixo represent relção: R = {(,),(,),(,),(,),(,)} sore = {,,} Propriedde Reflexiv Um relção R é reflexiv se todo elemento de está reliondo onsigo mesmo, ou sej, pr todo x : (x, x) R x : xrx. Exemplo: Um relção reflexiv em = {,,}, é dd por: R = {(,), (,), (,), (,)} 8

9 Representndo no digrm temos: Oserve que no digrm de d ponto temos um lço que o envolve Contr-exemplo: relção R = {(,),(,),(,),(,)} sore = {,,} não é reflexiv pois não se relion om. Oserve, no digrm, que em um dos ponto não temos um lço que o envolve. Propriedde Simétri Um relção R é simétri se o fto que x está reliondo om y, implir neessrimente que y está reliondo om x, ou sej: quisquer que sejm x y tl que (x, y) R ( y, x) R Exemplo: Um relção simétri em = {,,}, é dd por: R = {(,), (,), (,), (,)} Oserve, no digrm, que úni set pont pr os dois sentidos. 9

10 Contr-exemplo: relção R = {(,),(,),(,)} sore = {,,} não é simétri pois se relion om ms não se relion om. Oserve, no digrm, que úni set pont pens em um sentido. Propriedde Trnsitiv Um relção R é trnsitiv, se x está reliondo om y e y está reliondo om z, implir que x deve estr reliondo om z, ou sej: quisquer que sejm x, y z, se (x, y) R ( y, z) R (x, z) R. Exemplo: Um relção trnsitiv em = {,,}, é dd por: R = {(,), (,), (,), (,)} Oserve que pr d pr de flehs Conseutivs, existe um fleh uj origem está n origem d primeir e extremidde est n extremidde d segund. Dizemos que s flehs são onseutivs qundo pont de um heg o mesmo ponto que prte origem d outr. Contr-exemplo: relção R = {(,),(,),(,),(,)} sore = {,,} não é trnsitiv pois R e R ms não se relion om. Oserve que s flehs que ligm e são Conseutivs e não, existe um fleh uj origem estej em e extremidde em. 10

11 Propriedde nti-simétri Um relção R é nti-simétri se qulquer que sej x e y, elementos distintos do onjunto, então x não tem relção om y ou (exlusivo) y não tem relção om x, o que signifi que o pr de elementos distintos (x,y) do onjunto poderá estr n relção desde que o pr (y,x) não estej. Ou sej qulquer que sej x y se ( x, y ) R e ( y, x ) R x = y Exemplo: Um relção nti-simétri em = {,,}, é dd por: R = {(,), (,), (,), (,)} Oserve que tods s flehs pontm em um únio sentido. Contr-exemplo: relção R = {(,),(,),(,),(,)} sore = {,,} não é ntisimétri pois sendo, R e R. Oservção n relçãonti-simétri não há flehs de dus ponts. Exeríios 1. Sej R relção em = {1,2,3,4,5} tl que: xry {x - y é múltiplo de 2}. Enumerr os elementos de R. Que proprieddes R present? 2. Enumerr os elementos ds seguintes relções em = {,,,d}. Que proprieddes R1 e R2 presentm? R1 R2 d d 11

12 R 3 R 4 d d 3. Sej = {1,2,3}. Considerem-se s seguintes relções em : R1 = {(1,2);(1,1);(2,2);(2,1);(3,3)} R2 = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,3)} R3 = {(1,1);(2,2);(1,2);(2,3);(3,1)} R4 = X Quis são reflexivs? Simétris? Trnsitivs? nti-simétris? 4. Ddos os onjuntos = { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e relção R ={(x, y) XB y x } verifique se relção é: reflexivs? Simétris? Trnsitivs? nti-simétris? 5. Ddos os onjuntos = { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e relção R ={(x, y) XB y é múltiplo x } verifique se relção é: reflexivs? Simétris? Trnsitivs? ntisimétris? 6. Ddos os onjuntos = { 0, 1, 2} e B= { 1, 2, 4} e relção R ={(x, y) BX y é divide x } verifique se relção é: reflexivs? Simétris? Trnsitivs? ntisimétris? 7. Ddo o onjunto = { 1, 2, 3, 6} e relção R ={(x, y) X y é divide x } verifique se relção é: reflexivs? Simétris? Trnsitivs? nti-simétris? 8. Teste d relção inári no onjunto ddo S pr ver se é reflexiv, simétrri nti-simétri ou trnsitiv.. S= IN; x R y x + y é pr. S = Z + ; x R y x divide y. S= IN; x R y x = y 2 d. S = { 0, 1 }; x R y x = y 2 e. S = { x / x mor em São Pulo }; x R y x é mis velho que y. 12

13 f. S = { x / x é luno de su sl}; x R y x sent-se n mesm fileir que y. Relção de Equivlêni Um relção R sore um onjunto não vzio é hmd relção de equivlêni sore se, e somente se, R é reflexiv, simétri e trnsitiv. Ordem Pril Um relção inári em um onjunto que sej reflexiv, nti-simétri e trnsitiv é hmd de um ordem pril em. representmos esse onjunto prilmente ordendo por (, ) Exemplo: Considere relção R: x divide y em = {1,2,3,6,12,18} R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,12),(1,18),(2,2),(2,6),(2,12),(2,18),(3,3),(3,6),(3,12),(3,18),(6,6),(6,12), (6,18),(12,12),(18,18)} Podemos verifir que R é reflexiv, pois todo elemento se relion om ele mesmo. É nti-simétri, pois pr todo (x,y) não existe (y,x) e é trnsitiv pois temos por exemplo, (3,6), (6,12) e (3,12). Logo relção é um relção de ordem pril Ordem Totl Um ordem pril onde todo elemento do onjunto está reliondo todos os outros elementos é hmd de ordem totl ou dei. Exemplo Em = {,,} relção R= {(,), (,),(,), (,),(,), (,)} é totlmente ordend, pois é reflexiv, nti-simétri e trnsitiv e todos os elementos estão reliondos. Digrm de Hsse Sendo ( ), um onjunto prilmente ordendo temos que: Se x y, então ou x= y ou x y. Se x y e x y, esrevemos x< y e dizemos que x é predeessor de y, ou que y é um suessor de x. 13

14 Um elemento y pode ter muitos predeessores ms se x < y e não existe nenhum z om x < z < y, então x é predeessor imedito de y. Se for finito, podemos representr visulmente um onjunto prilmente ordendo por um digrm de Hsse. Cd elemento de é representdo por um ponto, denomindo nó ou vértie do digrm. Se x é um predeessor imedito de y, o nó que represent y é olodo im do nó que represent x e os dois nós são onetdos por um segmento de ret. Exemplos: 1) Considerndo relção R: x divide y em = {1,2,3,6,12,18}, logo R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,12),(1,18),(2,2),(2,6),(2,12),(2,18),(3,3),(3,6),(3,12), (3,18),(6,6),(6,12), (6,18),(12,12),(18,18)} podemos onstruir o seguinte digrm de Hsse: Oserve que - o elemento 1 é predeessor de todos os demis elementos e é predeessor imedito de 2 e 3. - Os elementos 2 e 3 são predeessores de 6, 12 e 18 e predeessor imedito de 6. 2) Considerndo relção R: x y em = { 1, 2, 3} temos que R = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2,2), (2, 3), (3, 3)} ujo digrm de Hsse será: Oserve que: 14

15 O elemento 1 é o predeessor imedito de 2 e predeessor de 3. O elemento 2 é predeessor imedito do elemento 3 Ess relção represent um ordem totl, pois todos os elementos se relionm om todos os elementos. Exeríios 1. Ddo o onjunto = { 1, 2, 3, 6} e relção R ={(x, y) X y é divide x } Verifique se relção é prilmente ordend e em so firmtivo onstru o digrm de Hsse. 2. Ddo o onjunto = { 1, 2, 3, 4} e relção R ={(x, y) X y x } Verifique se relção é prilmente ordend e em so firmtivo onstru o digrm de Hsse. 3. Ddo o onjunto = { 1, 2, 4, 6} e relção R ={(x, y) X y x } Verifique se relção é prilmente ordend e em so firmtivo onstru o digrm de Hsse. 4. Constru o digrm de Hsse dd s relções:. Todos os divisores nturis de 36. S = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} onde relção xry x divide y 5. Constru o digrm de Hsse dos suonjuntos ixo, uj relção é xry x divide y e lssifique em ordem totl ou pril. {2, 6, 12, 24}. {1,3,15,5}. {15,30,5} 6. Pr d um dos digrms de Hsse n figur ixo, liste os pres ordendos que pertenem à relção de ordem orrespondente. 5 ) 5 ) ) 3 4 d e f

16 ORDENÇÃO TOPOLÓGIC e PERT relção de ordem não é neessrimente usd em onjuntos numérios. El pode ser plid outros tipos de onjuntos uj ordenção seqüenil pode ser possível. Sej um onjunto S e R um relção de ordem pril em S. Sendo R um relção de ordem pril em S, temos que lguns elementos de S são predeessores de outros, logo se x e y são dois elementos de S, om x y,e x y, então, x é predeessor de y, x<y. Considerndo S um onjunto de trefs serem exeutds podemos ssoir idéi de x omo predeessor de y omo tref x deve ser exeutd ntes d tref y. Dess form, ordens priis e digrms de Hsse são mneirs nturis de se representr prolems n ordenção de trefs. Exemplo 1. Ernesto e seus irmão tem um mrenri no Rio de Jneiro que fri deirs de lnço om ssentos estofdos. O proesso pode ser dividido em um série de trefs, lgums dels tendo outrs omo pré-requisito. tel ixo mostr s trefs neessáris pr se produzir um deir de lnço, os pré-requisitos e o número de hors neessáris pr se onluir d tref. Tref Pré-requisitos Hors pr onlusão 1. Seleção d mdeir nenhum 3,0 2. Tlho d peç urv que lnç 1 4,0 3. Tlho d prte de mdeir do ssento 1 6,0 4. Tlho do enosto 1 7,0 5. Tlho dos rços 1 3,0 6. Seleção do teido nenhum 1,0 7. Costur d lmofd 6 2,0 8. Junção do enosto e d prte de mdeir 3;4 2,0 do ssento 9. Coloção dos rços 5;8 2,0 10. Coloção d peç urv que lnç 2;8 3,0 11. plição de verniz 9;10 5,0 12. Coloção d lmofd 7;11 0,5 16

17 Podemos definir um relção de ordem pril no onjunto ds trefs por: x y tref x = tref y ou tref x é pré-requisito pr tref y Podemos verifir que ess relção é reflexiv, nti-simétri e trnsitiv. lém disso, x < y tref x é pré-requisito pr tref y. No digrm de Hsse pr ess ordem pril os nós são trefs; diionremos d nó informção sore o tempo neessário pr onlusão d tref. lém disso, orientndo o digrm d esquerd pr direit, em vez de ixo pr im, teremos que se x< y, então x está à esquerd de y, em vez de emixo. Tis digrms são hmdos de PERT ( Progrm Evlution nd Review Tehnique), e são úteis pr projetos omplexos que possm ser divididos em trefs omplementres. N figur ixo vemos o digrm PERT pr produção de deirs de lnço, onde o invés do nome de d tref olomos o número, ssoindo-os os nós e sets pontndo pr s trefs prtir de seu (s) prérequisito (s). Os números entre prênteses indim o tempo neessário pr ompletr d tref. Um projeto representdo por um digrm PERT tem que omeçr om s trefs n extrem esquerd do digrm e terminr om s trefs n extrem direit. O digrm de PERT d relção representd n tel im é ddo por: 2(4,0) 10(3,0) 3(6,0) 1(3,0) 8(2,0) 11(5,0) 5(3,0) 4(7,0) 9(2,0) 12(3,0) 6(1,0) 7(2,0) CÁLCULO DO TEMPO NECESSÁRIO PR COMPLETR O PROJETO É Oservmos que lgums trefs podem ser relizds simultnemente enqunto que outrs neessrimente depende d exeução de um predeessor pr su relizção. Isto nos permite oter o tempo neessário pr se relizr o projeto. Pr oter esse tempo st seguir os nos somndo o tempo neessário 17

18 pr relizção de d tref. Cso um nó tem diversos requisitos, usremos o vlor d tref que presente mior tempo neessário pr que sej ompletdo d requisito. No exemplo, nosso exemplo tref 4, que present mior tempo de exeução em relção s trefs 2, 3, e 5, limit exeução d tref 8 que por su vez limit exeução d tref 10. Logo seqüêni de trefs pr oter o tempo, mínimo, pr relizção do projeto será: 1, 4, 8,, 10, 11 e 12, om tempos estimdos em (3,0), (7,0), (2,0) (3,0) (5,0) e (0,5) que orresponde um tempo totl de 20,5 hors, tempo mínimo neessário pr relizção do projeto.pr simplifir, podemos perorrer o digrm n ordem invers, seleionndo em d ponto om mis de um pré-requisito, o nó que ontriui om o vlor máximo. No exemplo fimos om seqüêni 12,11,10,8,4,1. som dos tempos neessários pr ompletr d tref dess seqüêni é 20,5. Ess seqüêni de nós é hmd de minho rítio. Exemplo 2. Considere o projeto de onstrução de um s de mdeir, prtir d tel de trefs dd ixo. Tref Pré-requisitos Dis pr Conlusão 1. Limpez do terreno Nenhum 4 2. Produção e oloção d fundção Produção d estrutur Coloção do telhdo Coloção ds táus externs Instlção do ennmento e d fição 4, Coloção de jnels e ports Instlção ds predes interns Pintur do interior 7, 8 5 O digrm de PERT será 4 ( 6 ) 1 ( 4 ) 2 ( 3 ) 3 ( 7 ) 6 ( 6 ) 8 ( 5 ) 9 ( 5 ) 5 ( 4 ) 7 ( 5 ) 18

19 Os nós do minho rítio são: 9,8,6,4,3,2,1 e o tempo mínimo neessário pr ompletr o projeto é de 36 dis. EXERCÍCIOS 1. Constru um digrm PERT d tel de trefs seguir, lulndo o tempo mínimo pr ompletá-l e os nós do minho rítio. Tref Pré-requisitos Tempo pr onlusão. E 3 B C,D 5 C 2 D 6 E Nenhum 2 F,G 4 G E 4 H B,F 1 2. Constru um digrm PERT d tel de trefs seguir, lulndo o tempo mínimo pr ompletá-l e os nós do minho rítio. Tref Pré-requisitos Tempo pr onlusão , Nenhum 5 3. Considere o projeto de elorção de um postil pr um novo urso. tel ixo mostr s tividdes ásis do projeto, em omo tempo previsto de durção e pré-requisitos. 19

20 4. Oserve o digrm presentdo ixo e elore tel que o desreve. 20