Equação de Riccati na descrição do movimento de um veículo por meio de uma propulsão hidráulica

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1 Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic Ricci's equion in he descriion o he oveen o vehicle y ens o hydrulic roulsion ISSN Volue 9, jul. 07 Jorge Corrê de rújo ro. ssocido do Dereno de eáic. FF-ERJ jcrujo_55@yhoo.co.r Ros Grcí árquez ro. ssocid do Dereno de eáic. FF-ERJ rosg@uerj.r Resuo Nesse rigo é nlisdo o ovieno reilíneo de u veículo dquirido el ção de u jo de águ roelido or u cul hidráulic e u eo inio onde o râero é velocidde do jo. O jo de águ é considerdo coninuo e consne é que o veículo inj velocidde áxi, e iediene ós o óvel er ingido ess velocidde. equção d qunidde de ovieno sore o óvel, viso coo u volue de conrole reduz-se u equção dierencil de Ricci, cuj solução nlíic é oid. Cessndo roulsão hidráulic iediene ós o veículo ingir velocidde erinl, o ovieno susequene é rd é descrio or u equção dierencil de Bernoulli. Siulções nuérics são relizds co inlidde de osrr o eril desses dois ovienos. lvrs-chve: Cul hidráulic. Qunidde de ovieno. Equção de Bernoulli. src In his er is nlyzed he reciliner oveen o vn oined y he cion o je o wer roelled y hydrulic cul in inie ie where he reer is he velociy o he je. The wer je is considered coninuous nd consn unil he vehicle reches ull seed, nd iediely er he vehicle hs reched he xiu seed, he wer je sos. The equion o he oun o oion on he vn, s conrol volue is reduced o dierenil equion o Ricci, whose nlyicl soluion is oined. on cession o hydrulic roulsion iediely er he vehicle reches erinl velociy, he susequen oveen unil he soed is now descried y Bernoulli's dierenil equion. Nuericl siulions re erored wih he urose o o shown he roile o hese wo oveens. Keywords: Hydrulic cul. oun o oveen. Bernoulli s Equion.

2 Inrodução E uios roles de engenhri, ênse é dd e orçs que u sore u sise ou u volue de conrole (VC, coo n ecânic de luidos. N ecânic de rícul o ojeivo é conhr eleenos de ss ideniicáveis onde ode ser licd, or exelo, segund lei de Newon (FOX, 0,. 9. Esse io de ordge é conhecido coo éodo lgrngino. ds desvngens desse éodo é dr orige equções dierenciis rciis de diícil reno. Desse odo, o uso de volue de conrole, é uilizdo qundo não esos ineressdos no cooreno riculr do co de velocidde de u escoeno, s si nos eeios desse co sore u ou is disosiivos, coo o volue de conrole. Tl éodo de ordge é conhecido coo descrição eurelin. E gerl, os cos de escoeno são ridiensionis, s co requênci u ordge uilizndo u enor núero de diensões é às vezes ssuid visndo à siliicção do role e nálise. Segundo Richrd eyer (007,. 5, rigorosene os ovienos idiensionis de u luido não são reliss e reresen ens u ossiilidde de rerr relidde. or ouro ldo, Fox, c Donld e ricchrd (0,. 5 ir que uios roles enconrdos n engenhri, eso u nálise unidiensionl é dequd r ornecer soluções roxids, co recisão requerid. Enre s inúers licções d ecânic dos luídos n engenhri esão os oores sedos e sises de roulsão co hidrojo e que e sido uilizdo e eses co lnchs equens oendo ons resuldos écnicos e econôicos. Nese rlho usreos ordge eurelin r nálise idiensionl no lno xy de u veículo ovido co celerção reilíne, n direção do eixo x, rindo do reouso, e sendo roelido or u jo de águ conínuo oriundo de u cul hidráulic. O ovieno é descrio or u odelo eáico consiuído or dus equções dierenciis não lineres indeendenes, ser, u equção de Ricci (RJO, 06,. 95 e our de Bernoulli (BOYCE, 999,. 40. eriis e éodos veículo co ss, e reouso é roelido or u cul hidráulic, de onde si u jo de águ co velocidde V. O veículo e u suerície côncv n su rseir or onde águ enr ingindo ess suerície de seção re de áre consne e sendo deleido de 80 o sindo n direção horizonl conore osr Fig.. RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 4

3 Figur : Digr do sise cul hidráulic e do veículo e ovieno (volue de conrole VC no reângulo onilhdo É diid u orç de rrso erodinâico, FD, roorcionl o qudrdo d velocidde do crrinho dd or F D k ( onde k ( N. s / e ( ( / s é velocidde do veículo. ss do veículo será designd or (kg e velocidde do jo or V ( / s. áre do ocl d cul é ( igul às áres ds seções res de enrd e de síd d suerície do crrinho. orç de resisênci, Fr, o ovieno roorcionl velocidde do veículo será é considerd e dd or F r kr ( onde k r ( N. s /. Vos diir é que o escoeno é uniore ns seções de enrd e síd do escoeno no crrinho e densidde d águ sendo consne e denod or 3 ( kg/. N Fig. ( o sise XYZ é inercil, enquno o sise ixdo no volue de conrole (VC esá e celerção reilíne. velocidde V (do jo e (do veículo são relivs o sise escionário, enquno s velociddes V e V (d águ no veículo de enrd e síd são relivs o sise e ovieno. Tis velociddes ode ser relcionds el equção do ovieno relivo V V V V (3, equção que r d descrição d qunidde de ovieno r u VC (volue de conrole n direção x é dd or Eq.(4 (FOX, 0,. 3 FS x FB x r dv u dv u V d x x (4 VC VC onde corresonde à suerície de conrole, iso é, o locl do crrinho onde se dá o escoeno. F é resulne ds orçs de suerície n direção x que u no VC, enquno S x F é coonene n direção x d orç grvicionl que ge no eso. O ero B x r é x RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 5

4 coonene d celerção reilíne do reerencil (não inercil e relção o reerencil escionário XYZ. O rieiro ero do ldo direio d Eq. (4 é x de vrição d qunidde de ovieno denro do VC (inegrl de volue enquno o segundo ero (inegrl de áre é x liquid d qunidde de ovieno que esá sindo d suerície de conrole ( n direção norl es. Coo s únics orçs de suerície undo sore o VC são orç de rrsro FD e orç de resisênci Fr, ds Eq. ( e (e-se FSx FD Fr (5 coonene grvicionl é nul n direção x, orno F 0 (6 Bx qui será ssuido que ss de águ e cono co o veículo é desrezível. Coo celerção é reliv o reerencil XYZ, e inegrção d exressão do ldo esquerdo d rx eq (4 é sore o VC, enão esse ero ode ser reirdo d inegrl, e desse odo, e-se VC r x dv dv (7 r x VC qunidde de ovieno d águ n direção x denro do volue de conrole, e edid e relção o eso, não deve vrir signiicivene co o eo, ois velocidde de enrd e síd do luído é conse e cd ono desses ocis. Dí, e u hióese siliicdor odeos considerr r x 0 u dv (8 Ds equções (4, 6, 7 e 8e-se F F u V d (9 r x VC D Eq. (3 e do o ds velociddes sere uniores ns seções e-se u D r V V V (0 Os veores V e d são rlelos co senidos oosos, enquno os veores V e d são rlelos co o eso senido. Coo é consne, inegrl do ldo direio d Eq. (0 reduz-se u V d V V d V ( V d ( ( Os rênesis dos inegrndos do ldo direio d Eq. ( são o roduo inerno de veores ulilicdos elo esclr densidde, dí u V d V d V d V ( Ds equções (0 e (e-se, RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 6

5 u V Coinndo s equções (9 e ( oé-se Desde que rx r x d ( V RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// (3 k k ( V (4 r é coonene horizonl do VC e relção XYZ e-se que Ds equções (5 e (6 oé-se equção dierencil não liner d d d r (5 d x ( V Eq. (6 ode ser reescri n or k k d V 4V kr k d equção (7 é u equção dierencil ordinári de Ricci (RJO, 06,. 95. Será osrdo que curv descri or ese ovieno é ssinóic à solução riculr d Eq. (7. Considerndo condição inicil do reouso ( 0 0 e que o jo de águ cess, qundo o veículo inge velocidde áxi, iso é, iediene ós o eo, enão descrição desse rieiro ovieno do crrinho, iso é, rindo do reouso é ingir velocidde erinl ode ser rdo coo u role de vlor inicil ddo or onde d c, d (0 0 k, r (4 V k r 0, r e (6 (7 (8 V c (9 r deerinr solução d Eq. (8 é necessário conhecer u solução riculr des equção, qul será denod or. edine udnç de vriável ( ( W ( Eq. (8 se rnsor e u equção de Bernoulli, de onde ode ser oid unção de W (, oendo ssi solução nlíic do VI ddo el Eq. (8. solução riculr consne d equção de Ricci ode ser oid o susiuir or n Eq. (8 e igulndo- zero, iso é, c 0, e-se (0 4 c r que equção (0enh u velocidde osiiv i de não originr conrdição ísic r o role é reciso que 0, iso é 7

6 Dí solução riculr é dd or k ( 4V kr 8V( kv kr kr ( ( k Fzendo susiuição W (3 n equção (8, oé-se equção de Bernoulli, dd or Fzendo dw d ( W W (4 Z W (5 Eq. (4 se rnsor e u equção dierencil liner de rieir orde d or dz d ( Z (6 e desse odo, Eq. (6 ode ser resolvid usndo o éodo do or inegrne (RJO, 06,.8, oendo Inegrndo e siliicndo Eq. (7eos que ( C e Z ( ( d (7 e Z( Ce ( onde C é u consne rirári. Coinndo s equções (3, 5 e 8 solução gerl d Eq. (8 é d or (8 ( ( (9 Z( Ds equções (5, (8 e (9 solução gerl d velocidde do veículo ( ode ser os n or exlici, e é d or ( (30 ( C( e o considerr condição inicil do ovieno do veículo rindo do reouso ( 0 0 n Eq. (30eos RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 8

7 E igulndo zero oé-se o vlor d consne C, dd or ( 0 (3 C( C ( (3 ( Susiuindo o vlor de C oido el Eq. (3 n Eq. (30, eos solução do VI (8 ( ( ( (33 ( e Onde os coeicienes de ( são ddos n Eq.(9. Coo 0 e oi suoso que 0 (Eq. (9-, enão ( li ( li ( (34 ( e orno, velocidde áxi ingid é dd or conore Eq. (. Denoeos or, o eo e que o jo de águ cess o ingir velocidde áxi, e or o eo rel r que o veículo inj 99% d velocidde áxi, iso é ( O vlor de ode ser deerindo d Eq. (33, sendo ddo exliciene or ln (35 vez oido o eo roxido, odeos considerr o segundo role de vlor inicil zendo V= 0 n Eq. (7 r descrever o segundo ovieno do veículo, iso é, do ono (, é o ono (,0. Resul, orno seguine equção onde k, d d ( 0.99, (36 kr (37 Eq. (36 é u equção de Bernoulli, cuj solução r ], [ é dd or ( (38 C e RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 9

8 Considerndo condição inicil ( eos solução ( Oserv-se que (99 99 (39 ( 00 e 99 li ( li (99 00 e ( 99 0 Não há coo oer o eo e que velocidde se nule, de or nlíic ou nuéric rir d Eq (39, ois r-se de u equção rnscendenl. Nesse senido, usreos o eo r que ( 0.. ssi, d Eq. (39 o eo é ddo or 99 ( 0 ln (40 orno, velocidde do veículo nos dois eríodos do ovieno é dd or u unção deinid or dus senençs, ser ( ( ( e ( 99 ( (99 00 e 99 ; ; 0 Oid velocidde, (, é ossível deerinr o desloceno do veículo n direção do eixo x. equção que rege disânci ercorrid (roxid elo veículo desde o reouso é rr ode ser dd rvés d inegrl e d Eq. (4 (4 ( d ( 0 ( e X ( (4 d ( ( e 3. Resuldos e discussões Siulções nuérics or relizds co inlidde de osrr o cooreno dos râeros de velocidde áxi do óvel, (/s, o eo que o óvel gs r ingir 99% d velocidde áxi rindo do reouso, (s, o eo ol gso no ercurso, (s, disânci ercorrid elo óvel do reouso é ingir velocidde áxi, X (, disânci RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 30

9 ercorrid elo óvel do ono ( X é rr, e inlene, disânci ol ercorrid elo óvel desde o reouso é rr, X (. Os râeros 80 kg, 999 kg/ 3, V 35 /s e são ixdos, enquno os râeros d orç de rrso e d resisênci o ovieno or vridos. Tel osr os resuldos ds siulções relizds co o uso do sise lgérico coucionl le, e no-se clrene que o eeio do rrso erodinâico ns siulções é o rincil resonsável el diinuição d velocidde do veículo. Tel : Vrição dos râeros do ovieno k (N.s/ e r k (N.s / Siulções k k r (/s (s (s X ( X ( X ( * ª ª ª ª *X=X+X Fig. revel o eril dos ovienos ds siulções que or eeuds uilizndo os ddos dos coeicienes k e kr. É ossível oservr que s curvs co k=8 e kr = 4 e kr = 8 não e lerções relevnes no eril, o que rece indicr, que o râero de resisênci kr não conriui signiicivene r o decréscio do ovieno. Figur : eril d Velocidde do veículo e relção o eo co dierenes râeros k e k r RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 3

10 4 Conclusões O role rooso que, credios ser de ineresse e engenhri, e esecil, r equenos veículos ovidos or sises de roulsão jo de águ, ode ser reresendo co o roxição or u equção dierencil de Ricci (n rieir re do ovieno e coo u equção de Bernoulli (n segund re do ovieno, e desse odo, o ovieno do óvel ode ser esuddo e delhes. nálise ds siulções osr que orç de rrso rece conriui de or redoinne r diinuição d velocidde do veículo. Biliogri RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G.; HROTO, Y.. R. Equções dierencis ordináris: eori ásic e licções co o uso do le. Joinville: Ed. Clue de uores, 06. BOYCE, W. E.; DIRI, R. C. Equções dierenciis eleenres e roles de vlores de conorno. 6. ed. Rio de Jneiro: LTC, 999. FOX, R.; RITCHRD,. J.; CDONLD,. T. Inrodução à ecânic dos luidos. 7. ed. Trdução e revisão écnic de Ricrdo Koury e Luiz chdo. Rio de Jneiro: Edior LTC, 0. RICHRD, E.. Inroducion o heicl luid dynics. ineol: Dover ulicions, Inc., 007. STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. ecânic dos luidos. Trduzido or ilon Gonçlves Snches. São ulo: Edior cgrw-hill, 98. RÚJO, J. C.; ÁRQEZ, R. G. Equção de Ricci n descrição do ovieno de u veículo or eio de u roulsão hidráulic. C. Q. D. Revis Elerônic ulis de eáic, Buru, v. 9,. 3-3, jul. 07. DOI: 0.67/cqdvol jcrg33 - Disonível e: h:// 3