FUNÇÕES E GRÁFICOS. 5 f (x) = x + 6 a = 1 b = 6 BANCO DO BRASIL E CAIXA ECONÔMICA FEDERAL. Prof. Daniel Almeida Matemática(Parte 03) Introdução

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1 FUNÇÕES E GRÁFICOS Introdução Par ordenado Par ordenado dentro das funções será o par formado pelo representante do conjunto domínio com seu respectivo elemento do conjunto imagem. Veja no eemplo. Repare que no gráfico acima (f() = 5), a função fica paralela ao eio ( das abscissas). A essa função que independente do valor, o valor de y ou f() não se altera damos o nome de função constante. Podemos definir uma função constante como sendo : f : R em R f : R R / f () = p ou y = p Eemplos f () p = 5 f () = 0 f ( ) = - 63 Função do 1º grau. Temos os seguintes pares ordenados: (3, 4) (7, -6) (-1, ) (0,, 3) Ao conjunto de todos os pares ordenados de um conjunto X em Y damos o nome de produto cartesiano de X em Y. Eemplo: A quantidade de demanda de um determinado produto (q) está relacionada com seu preço (p). Na economia, surgem muitos casos em que a quantidade de demanda de um certo produto e seu preço são relacionados por uma função do 1º grau (também chamada de função afim), ou seja, a relação é graficamente representada por uma reta, obedecidas certas condições. Como por eemplo, a quantidade de chapéus fabricada por uma certa industria a quantidade de demanda é dada pela equação q = 8 p. Vamos representar graficamente q em função de q em função de p. Observe que tanto p quanto q terão somente valores maiores que zero. Observe que nos gráficos anteriores todos formam uma reta. Sempre quando a função apresentar esse comportamento a ela damos o nome de função de 1º grau ou afim. Uma função f de A em B é uma função polinomial do 1º grau se for definida por f : R (a,b IR) Confira alguns eemplos: R / f () = a + b ou y = a + b f () p = -1 a = b = -1 f ( ) 1 a b f () = + 6 a = 1 b = 6 Eercícios resolvidos: 01. Dada a função f: R em R definida por y = f() = + 9 obtenha: a) f(0) b) f(-1) c) f(3) d) f(1/) e) o valor de quando f() = -1 Basta substituir o valor de na função dada e encontra y. a) f(0) =.0 +9 = 9 b) f(-1) =.-1+9= - + 9= 7 c) f(3) = = = 15 d) f(1/)=. ½ + 9 =1 + 9= 10 Na letra e substitui f() por -1, isola-se e encontra o seu valor. Função constante -1 = = -10 = =-5 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

2 0. Se uma função passa pelos pontos A (4, -) e B ( 1, 6). Determine os valores de a e b na função que obedece a lei de formação y= a + b. 1º Passo substitui os valores de de e y na lei de formação y = a. + b Logo temos. - = a. 4 + b e 6 = a. 1+b Agora resolve o sistema - = a. 4 + b 6 = a. 1+b Vamos construí o Gráfico da função y 3 1 ou f ( ) 3 1 Usa-se uma tabela para auiliar nos pares ordenados Para cada elemento de escolhido aleatoriamente. Calcula-se o seu f(). y Traçando no Plano cartesiano Isola uma incógnita b = -4a E substitui na outra equação 6 = 1 a -4a - Então temos a = 1 Voltando a equação inicial temos. - = 4a + b Agora - = b Logo b = - 6 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU Todo gráfico de uma função do 1º grau será sempre uma reta inclinada. Porque temos f ( ) a b, com a 0. È importante ressaltar que a reta formada pela função é infinita, e por ela ser obliqua em relação aos eios das abscissas e das coordenadas, sempre ela vai cortar o eio e o eio y. Função Crescente e Função decrescente Toda função Polinomial do 1º grau será ou crescente ou decrescente. Pois ela nunca será paralela ao eio. Para uma função ser denominada crescente a medida que o aumenta o f() ou y tende a assumir valores cada vez maiores. E a função decrescente pelo contrario a medida que o seu se aumenta o y tende a assumir valores menores. Observe o gráfico das duas funções a seguir. f() = +1 Construção f()= -+1 Conforme um dos postulados de Euclides basta traçar dois pontos distintos, que por eles passarão uma única reta. Porém para maior garantia sugere-se que encontre no mínimo três pontos da reta para que possamos traçar a reta com absoluta certeza. Eemplo 1: Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

3 Note que a única diferença entre as duas funções é o sinal de a, enquanto na primeira o a assume valor de + na segunda o a passa a valer -. E a diferença gráfica entre as funções é que a primeira é crescente e a segunda é decrescente. Com isso podemos concluir uma importante ferramenta, não só para a representação do gráfico de determinadas funções como a sua compressão. Observe. Se a > 0 então a função polinomial do 1º será crescente. Se a < 0 então a função polinomial do 1º será decrescente. Raiz de uma função do 1º grau Em uma cidade do interior do Rio Grande do Sul todo dia a partir das 1h a temperatura cai drasticamente até as 5 horas da manhã do dia seguinte. Após vários dias alguns moradores que a temperatura diminuía de acordo com o passar das horas. Usando T() como sendo a temperatura representada em graus Celsius e como sendo as horas a partir das 1 horas. A função que eles acharam é: T()=-+8 Observe alguns eemplos. 1. Obtenção do zero da função f() = 5 f() = 0-5 = 0 5 COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR Conforme visto anteriormente o sinal do a na função polinomial de 1º determina se a mesma é crescente ou decrescente. Pois bem, agora veremos o que define a inclinação da reta e a sua posição em relação ao eio. Observe o gráfico das seguintes funções Assim ficou fácil de perceber à que horas a temperatura ultrapassava a casa do zero grau. È só substituir o T() por zero (temperatura a ser investigada). T ( ) Ou seja a temperatura fica igual a zero graus 4 horas depois das 1 horas, ou seja 1 hora da madrugada do outro dia. Analisando isso graficamente. Note que a única diferença entre as funções e o valor que a assume. E graficamente as funções tem inclinação diferente. Por isso denominamos a coeficiente angular. Que também pode ser calculado como tangente do ângulo. A esse ponto onde y ou f() quando se igual a zero, é que denominamos de raiz da função. Portando raiz de uma função é o valor de que torna o valor da função nula. Importante observar também que a raiz de uma função é eatamente quando o eio das abscissas é interceptado pelo gráfico da função. Tg α = Cateto Oposto Cateto Adjacente Agora vamos observar outras funções f()= - Podemos encontrar a raiz de uma função: f() = 0 a + b = 0 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

4 que o preço a ser vendido é de R$ 8,00. O proprietário deseja saber após quantos metros vendidos ele começara a obter lucro. Note que o isso recai num calculo que é (receita despesa), isso em função vira f()= Graficamente temos h()= + 1 Note que o que difere as funções é o valor de b, e isso faz com que o gráfico da função tenha a mesma inclinação, porém em alturas distintas. Por isso chamamos b de coeficiente linear. Quando temos um feie de funções variando apenas o seu coeficiente linear. Dizemos que temo uma função linear. Eercícios resolvidos. 01. Determine os valores de m de modo que a função real f()= ( m) + 7 seja crescente. Lembrar que para ser crescente temos q ter a > 0. Logo -m >0 m> Então se, e somente se, m for maior que teremos uma função crescente, com m R. RESUMO: Tendo r como raiz da função. Calculando r se obtém: 0=8 480 = 60 Ou seja, 60 metros é onde a função se anula. Mas o que é realmente importante destacar é que somente após 60 metros de fio vendido que o comerciante passou a ter lucro. Matematicamente podemos afirmar que: y = 0 quando = 60 y < 0 quando < 60 y > 0 quando > 60. De uma maneira geral podemos dividir o estudo de sinais em duas partes: 1º) a > 0 (a função é crescente) Conclusão: y é positivo para valores de maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU Dentro do estudo das funções as vezes será necessário observar não somente o que ocorre no primeiro quadrante. È sim no que ocorre na função como um todo. Observe o seguinte eemplo. Um dono de materiais para construção adquiriu um rolo de fio por R$ 480,00 para vender em sua loja. Sabendo º) a < 0 (a função é decrescente) Conclusão: y é positivo para valores de menores que a raiz; y é negativo para valores de maiores que a raiz. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 4

5 0. O gráfico abaio representa a função f()= a + b. Assinale a alternativa correta: y 0 Eercício resolvido 01. Estude o sinal da função f()= - -3 Primeiro vamos descobrir qual o zero da função: f() = = = -3 Em um esboço podemos afirmar que: a) a = 0 ; b = 0 b) a > 0 ; b > 0 c) a < 0 ; b > 0 d) a > 0 ; b = 0 e) a > 0 ; b < (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A distância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaio. d(m) B TESTES: Logo: Se = -3 temos f() =0 Se < -3 temos f() >0 Se > -3 temos f() < Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico: A t(min) Com base no gráfico, a alternativa correta é: a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 0 min. b) B percorre 1km em 0 min. c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min. d) A e B correm na mesma velocidade. e) A percorre 400m em 30 min. y 0 a) f()= -+ b) f() = -/ + 1 c) f()= -/ + d) f()=4 e) f()= (Acafe-SC) Um tái começa uma corrida com o taímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa R$ 1,50. Se, ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos foi: a) b) 11 c) 33 d) 6 e) 3 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5

6 05. (BOMB-004) Qual das histórias melhor se adapta ao gráfico abaio? Incompletas 1º caso: b=0 Isola-se o valor de E. a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia me atrasar, comecei a caminhar mais rápido. b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a sensação de ter esquecido as chaves do escritório. Parei para procurá-las na minha mala, mas não as encontrei. Voltei para buscá-las e depois pude seguir para o escritório. c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir viagem. d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via há muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois segui para o escritório. e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e resolvi não sair mais de casa. GABARITO: C E B A B EQUAÇÃO DO º GRAU º caso: c=0 Fatora-se a variável, assim temos que uma das raízes ficará igualada a zero; a segunda raiz é determinada a partir da equação do primeiro grau do produto igualandoa a zero. E. ( ) 0 ` 0 Então: 0 0 `` S = {-,0} Uma equação do segundo grau é escrita da seguinte forma: Onde a, b e c representam números reais. Caso os termos b ou c sejam iguais a zero, a equação se tornará incompleta. O termo a não poderá ser nulo para que a equação continue com grau dois. Eemplos de equações incompletas. a) 4 0 b) 0 a b c 0 Solução de uma equação do º grau Como estamos diante de uma equação de grau dois, ela apresentará até duas raízes. Completas Para resolver uma equação completa do º grau aplicase a fórmula de Bháskara: Fórmula Esta epressão permite calcular equações completas e incompletas do º grau. E. Dê a solução da equação Solução b 4ac b a Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 6

7 ( 6) 4 ( 6).1 6 ` 4 `` Propriedades das raízes 4 Discussão das raízes do º grau Verificamos que o número de raízes reais de uma equação do º grau depende do valor do discriminante da fórmula de Bháskara, chamado delta. Logo, para saber antecipadamente o comportamento das raízes de uma equação do º grau, discutiremos a seguir o valor do delta. Se 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. Se 0, a equação possui duas raízes reais e iguais. Se 0, a equação não possui raiz nos números Reais. Curiosidade: - Se os coeficientes a e c tem mesmo sinal os sinais das raízes também serão iguais. Isso não implica que os sinais das raízes e dos coeficientes sejam iguais. - Se os coeficientes a e c tem sinais diferentes, os sinais das raízes também serão deferentes. 03. As raízes da equação são: a) -1 e 3 b) -1 e 4 c) 1 e -4 d) 1 e -3 e) n.d.a (Bomb -005) Um grupo de amigos resolveu alugar um ônibus e fazer uma ecursão para a Serra Gaúcha, dividindo igualmente o valor do aluguel entre eles. A empresa de ônibus contratada fiou em R$.400,00 o valor dessa viagem, independentemente do número de passageiros que o grupo quisesse levar. Depois que 5 amigos desistiram de viajar, cada um dos amigos restantes concordou em pagar mais R$ 16,00 para que a ecursão fosse realizada. Quantos amigos viajaram para a Serra Gaúcha? a) 0 b) c) 3 d) 5 e) Vinte amigos resolveram alugar um campo de futebol por R$ 00, valor este, que seria dividido igualmente entre todos. Sabendo que no dia do jogo alguns desistiram e, por este motivo, cada jogador teve que pagar R$ 15,00 a mais, temos que o número de jogadores que não apareceram no dia do jogo é: a) 11 b) 10 c) 13 d) 1 e) 14 TESTES: 01. A equação tem as seguintes soluções: a) somente 5 b) somente 10 c) -5 d) 5 e 10 e) n.d.a. 0. As raízes da equação a) 1 e 5 b) e 3 c) -1 e 5 d) -1 e -5 e) n.d.a. GABARITO: A C B D D FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU Observe os quadrados a seguir, cuja a medida do lado varia conforme está indicado Calculando a área de cada quadrado obtemos. 11 =1 mt = 4 mt 33 = 9 mt 44 = 16 mt Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7

8 Usando uma tabela para auiliar. Onde L para a medida do lado do quadrado e A para sua área: Na arquitetura. L A 1 mt 1 mt mt 4 mt 3 mt 9 mt 4 mt 16 mt Analisando em um gráfico a variação da área de um quadrado em relação a seu lado, temos: Entre outras. Definição Uma função f: de R em R é denominada de função quadrática quando, eistem números reais a, b e c, com a 0, tais que: y= f() = a + b + c Com a, b, c, e Є R. Eemplo de função quadrática: I- y= Logo percebemos que o único jeito de traçar este gráfico é utilizando uma curva. Pois os pontos encontrados não estão alinhados, diferentemente do que acontecia na s funções polinomiais do 1º grau. Isso ocorre por que antes trabalhávamos com a seguinte equação: f()= a + b, e neste caso especifico das áreas, temos como lei de formação f()=. E é eatamente esse elevado ao quadrado que passará a ser usado nas funções que nos estaremos estudando na seqüência. A esse modelo matemático usado no caso para a área do quadrado que chamamos de função quadrática ou função do segundo grau. E a essa curva realizada pelas funções que estaremos estudando chamaremos de parábola. Eistem inúmeros eemplos de parábolas encontradas em nosso dia a dia, aqui estão alguns: Antenas Parabólicas a b c 4-3 II - f() = - + a b c III - y= 9-1 a b C Gráfico de uma função quadrática E: f() = + Um arremesso de uma bola em um jogo de basquete Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 8

9 SIMETRIA E CONCAVIDADE Note que agora dois ou três pontos ainda não definem de maneira clara a parábola. Por isso na construção de gráficos de função polinomial de º grau, deve-se traçar vários pontos para poder visualizar a parábola. Porém eistem algumas características que são similares em toda parábola. Agora estaremos estudando duas dessas propriedades das funções quadráticas. CONCAVIDADE. Facilmente percebemos que todas as parábolas possuem uma concavidade. O que influencia ou o que altera a concavidade de uma parábola é o valor de a. Observe a seguir: Logo concluímos que: Para achar a y podemos substituir no lugar de para se encontrar a outra coordenada. Ou aplicar a formula para a coordenada y. Em resumo basta usar estas equações para encontrar o vértice da parábola. Máimos e mínimos O vértice além de ser o ponto de intersecção entre o eio de simetria e a parábola da função, é também uma importante ferramenta no estudo de máimos e mínimos. Pois se tivermos uma função com concavidade para cima, logo teremos o vértice como o seu ponto etremo inferior(mínimo). E com uma parábola tendo concavidade para baio, o vértice será o ponto superior etremo dessa parábola. Conforme a figura. se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baio VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA Conforme estudado até agora, vimos que para construção de uma parábola de uma função polinomial do º grau. O principal ponto para auiliar nessa construção e o que chamamos de vértice da parábola. Porém para encontrar este ponto eiste uma maneira mais pratica do que ficar tentando valores aleatoriamente. Para encontrar o par ordenado que determina o vértice da parábola V(Xv,Yv). Precisamos encontrar Xv e Yv. Para a coordenada Xv do vértice basta calcular b v a E para a coordenada Yv do vértice calcular y v 4a Veja no eemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=² Temos: a=1, b=-4 e c=3 RAIZ DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Como foi visto em funções polinomiais do 1º grau, raiz ou zero de uma função é quando o eio é interceptado pelo gráfico da função. O conceito permanece o mesmo, ou seja, raiz de uma função continuará sendo quando a função se anula, a diferença é que antes em toda a função do 1º grau havia uma, só uma raiz. Agora na função do º, nem sempre haverá raiz. Podemos dividir as raízes de uma função quadrática em três tipos. Discriminante igual a zero, menor que zero e maior que zero. Obs. Discriminante é o valor que se obtém calculando o Δ de uma equação de Bháskara. Δ= b 4 a c A formula de Bhaskara para resolução de equação do º grau é: Discriminante igual à zero (uma raiz) Quando isso acontecer parábola terá apenas uma raiz. Que será eatamente o vértice da parábola. 0=Δ= b 4 a c Observe o eemplo. Logo, a coordenada será igual a. y=f()=²++1 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 9

10 ²++1=0 Calculando o discriminante 0 < Δ = b 4 a c No eemplo: y = f() = ²-+ No gráfico fica ²-+=0 Graficamente. Discriminante maior que zero ( duas raízes) Se o valor do discriminante assumir valor positivo, o gráfico da função terá duas raízes. 0 < Δ = b 4 a c Acompanhe o eemplo: y = f() = ²-4+3 ²-4+3=0 `=1 e ``=3 Graficamente: Eercício Resolvido.01. Determine o número de raízes, se eistir, da seguinte função. a) ²+5+6= f() Primeiro devemos calcular o discriminante. Δ = b 4 a c sendo a função ²+5+6= f() Δ= Δ= 5 4 Δ= 1 >0 Logo essa função tem duas raízes. b- Calculando o discriminante. Δ = b 4 a c sendo a função f() = ² Δ = Δ = 0 Logo essa função tem apenas uma raiz. TESTES: 01. O gráfico de y = - 8 corta o eio 0 nos pontos de abscissa: a) - e 6 b) -1 e -7 c) 0 e -8 d) 0 e 8 e) 1 e 7 Discriminante menor que zero ( nenhuma raiz) Quando isso acontecer a função não terá nenhuma raiz real, ou seja, o eio das abscissas não será cortado pela parábola da função. 0. O número de pontos de intersecção das duas parábolas y= e y= -1 é: a) 0. b) 1. c). d) 3. e) 4. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 10

11 03. A função real f, de variável real, dada por f()=- +1+0, tem um valor a) mínimo, igual a -16, para = 6 b) mínimo, igual a 16, para = -1 c) máimo, igual a 56, para = 6 d) máimo, igual a 7, para = 1 e) máimo, igual a 40, para = Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma ecursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia de R$ 55,00 e mais R$,50 por lugar vago. O número de passageiros que dá à empresa rentabilidade máima é: b) y = 7 c) y = 13 Gráficos: Vamos observar os gráficos das funções eponenciais, com base maior ou menor que 1. 1) f: R R, sendo f () = a) 16 b) 4 c) 38 d) 49 e) (UEPI-PI) O lucro mensal de uma fábrica é dado por L() = onde é a quantidade mensal de unidades fabricadas e vendidas de um certo bem, produzido por esta empresa e L é epresso em Reais (Obs.: Real unidade monetária). Quando a 1, a função y = a é CRESCENTE. ) f: R R, sendo f () = 1/ O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter é dado por: a) R$ 890,00 b) R$ 910,00 c) R$ 980,00 d) R$ 1.080,00 e) R$ 1.180, (EsPCEX) Um curral retangular será construído aproveitando-se um muro pré-eistente no terreno, por medida de economia. Para cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão entre as suas menor e maior dimensões será: a) 0,5 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,5 Quando 0 a 1, a função y = a RESUMINDO é DECRESCENTE. GABARITO: a > 1 Curva crescente D C C C A B FUNÇÃO EXPONENCIAL É uma função do tipo y = a, sendo a IR, a 0, a o. Eemplos: a) y = 0 < a < 1 Curva decrescente Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 11

12 TESTES: 01. Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei N( t) m. t na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 00 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era a) b) 3 00 c) d) 700 e) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função t n( t) Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas. b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas. 03. (Unifor CE/Janeiro/1998) Suponha que, após t dias de observação, a população de uma cultura de, t bactérias é dada pela epressão P( t) P o. 0 05, na qual P o é a população inicial da cultura (instante t = 0). Quantos dias serão necessários para que a população dessa cultura seja o quádruplo da inicial? a) 0 b) 30 c) 40 d) 50 e) (PUC RS/Julho/004) Os gráficos das funções definidas por f () = 1 e g () = 4 se encontram no ponto de coordenadas: a) 1 ( 1, ) 4 b) 1 ( 1, ) c) ( 1, ) d) (0, 1) e) (, 4) 06. (BOMB-004) Eperiências feitas com um certo tipo de bactéria mostraram que o número de indivíduos numa cultura, em função do tempo, pode ser aproimado pela epressão F(t) = 50. 0,4.t, sendo t o tempo medido em horas. Após quantas horas essa cultura terá 800 indivíduos? a) 10 horas b) 1 horas c) 15 horas d) 18 horas e) 4 horas GABARITO: b a c a e a LOGARITMOS Dados os números reais a e b, ambos positivos com b 1, eiste sempre um único real tal que b = a. Este epoente, que deve ser colocado na base b para que o resultado seja a, recebe o nome de logaritmo de a na base b. Eemplos: 3 = 8 log 8 = 3 = 5 log 5 = Propriedades 1) Log c (A.B) = Log c A + Log c B ) Log c (A/B) = Log c A - Log c B 3) Log c (A n ) = n.log c A Função logarítmica Vamos considerar a função logarítmica f () = log 05. (UFOP MG/Julho/1998) O valor de que satisfaz a equação seguinte é um número: = 0 a) ímpar b) irracional c) negativo d) primo e) par Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

13 07. (UFSCar SP/1ªFase/001) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log 3(t+1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: TESTES: 01. Se log(3+3) - log(-3) = log4, encontrar. a) 4 b) 3 c) 7 d) 6 e) 5 0. Admitindo-se que log 5 =0,43 e log 5 3=0,68, obtém-se para log 51 o valor a) 1,6843 b) 1,68 c) 1,54 d) 1,11 e) 0, (UFMG) O valor da epressão log 18 log 3 43 é igual a: a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 04. (FATEC) Trabalhando com log 10 3 = 0,477 e log 10 = 0,301 assinale a opção cujo valor mais se aproima de log 10 15: a),079 b) 1,55 c) 1,556 d) 1,176 e) 1, (PUCPR) Se log (3 + 3) log (-3) = log 4, encontrar : a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 a) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e). 08. (UFLA MG/005) Uma população de insetos diminui em conseqüência da aplicação de um inseticida segundo t a função P(t) 300(10), em que P(t) é o número de insetos no tempo t, medido em semanas, sendo t 0 o tempo em que o inseticida foi aplicado. O tempo para que a população atinja 0% do tamanho inicial é de, aproimadamente, (Dado: log 105 0,7) a) 15 dias b) 1 mês c) 5 dias d) 1 dia e) 0 dias 09. (UEL-008) Se log() = log( 5) + log(5), então deve ser a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 GABARITO: c c e d a c b c d TESTES FUNÇÕES CESGRANRIO 01. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-008) A população P de certa cidade cresce de acordo com a função P(t) (1,01) t, onde t significa o tempo, em anos. O gráfico que melhor representa essa função é a) b) 06. (U. Santa Ursula RJ) A solução da equação log (-5) + log (-) = : a) {1,6} b) {1} c) {6} d) {3,4} e) N.d.a. c) d) Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 13

14 Um fazendeiro investiu U$50.000,00 na montagem de uma fazenda marinha, mais U$9.000,00 em sementes de vieira. Se todas as vieiras cultivadas forem vendidas, todos os custos serão cobertos e o fazendeiro lucrará, em dólares, e) 0. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-008) No Brasil, um motorista não pode dirigir se o nível de álcool no seu sangue for superior a 0, g por litro. Considere que o nível N de álcool por litro de sangue de um homem adulto, em gramas, decresça de acordo com a função N(t) = N 0.(1/) t, onde t representa o tempo, em horas, e N 0 representa o nível inicial de álcool por litro de sangue. Certo homem, adulto, ingeriu grande quantidade de bebida alcoólica e o nível de álcool em seu sangue chegou a g por litro (N0 = ). Quanto tempo ele terá que esperar para poder dirigir? (Use log = 0,3). (A) 3h e 0 minutos. (B) 3h e 33 minutos. (C) 4h e 40 minutos. (D) 5h e minutos. (E) 6h e 30 minutos. 03. (CESGRANRIO-PETROBRAS-008) O Programa de Fazendas Marinhas da Ilha Grande oferece treinamento para o cultivo de moluscos no litoral sul do Rio de Janeiro. Os gráficos abaio apresentam o custo da semente e o preço de venda, depois do cultivo, de vieiras, um molusco dotado de grande valor comercial. (A) 40.50,00 (B) 8.50,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) , (CESGRANRIO-PETROBRAS-008) Em um laboratório de pesquisas científicas, um cientista observou que a população de certa colônia de bactérias dobrava a cada hora. Se, após t horas, essa população de bactérias correspondia a dez vezes a população inicial, pode-se afirmar que t é um número que pertence ao intervalo (A) ] 1; [ (B) ] ; 3 [ (C) ] 3; 4 [ (D) ] 4; 5 [ (E) ] 5; 6 [ 05. (CESGRANRIO -007) Sejam f() = e g() = + funções reais de variáveis reais. Essas funções assumem valores, eclusivamente, no intervalo [0,3]. Seja P(a,b) o ponto em que f e g se intersectam. Nessas condições, a + b vale: (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) (E) (CESGRANRIO -007) Um copo está vazio, e nele são colocadas bolas de vidro idênticas, sucessivamente, uma a uma. O gráfico que melhor representa a função que associa ao número de bolinhas o peso do conjunto composto por copo e bolas é: a) b) c) d) e) Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 14

15 de irmãos, dizemos que elas são quantitativas, pois seus possíveis valores são números. As variáveis quantitativas podem ser discretas, quando se trata de contagem (números inteiros), ou contínuas, quando se trata de medida (números reais). Veja: 07. (CESGRANRIO) As funções y = + k e y = + ( k) se interceptam no ponto P, de abscissa 4. Pode-se concluir que k é igual a (A) 3 (B) 1 (C) +3 (D) +5 (E) +7 GABARITO: B A D C A C E NOÇÕES DE ESTATÍSTICA Introdução: A Estatística talvez seja a parte da Matemática que mais se preocupa com o comportamento social, visto que tal conteúdo é repleto de coletas de dados, para que se possa então fazer a análise deles. A Estatística envolve um conjunto de métodos desenvolvidos para a coleta, classificação, apresentação, análise e interpretação de dados quantitativos(ou qualitativos) e a utilização desses dados para a tomada de decisões. Por eemplo, podemos pensar no caso de duas turmas que, em um determinado teste de matemática, tenham ambas obtido média aritmética 6 nas notas, pois é possível que, em uma turma, todos tenham tirado notas muito próimas de 6 e na outra turma a variação de notas tenha sido muito discrepante, daí a importância da Estatística, pois através dela traçaremos parâmetros para que possamos diferenciar e personalizar as coletas analisadas. POPULAÇÃO E AMOSTRA População é um conjunto de elementos que têm pelo menos uma característica (variável) comum objeto de estudo. População Finita: Limitada em tamanho População Infinita: Ilimitada em tamanho. Consiste num processo que gera itens. Nomenclatura Básica Tipos de variáveis a) Variável quantitativa Número de irmãos é uma variável quantitativa discreta, pois podemos contar (0, 1, etc.). Altura é uma variável quantitativa contínua, uma vez que pode ser medida (l,55 m, l,80 m, l,73 m etc.). A idade em anos eatos pode ser considerada variável quantitativa discreta (8, 10, 17 etc.). b) Variável qualitativa São aquelas variáveis que procuram passar uma certa característica do dado que está sendo analisado, como, por eemplo: cor do cabelo, cor da pele, feio ou bonito, alegre ou triste e assim por diante. Obs.: Essas variáveis podem ser de dois tipos: Qualitativas Nominais (atributos) Qualitativas Ordinais (ordem) Freqüências a) Freqüência absoluta: É aquela que indica o número de elementos coletados da variável analisada. b) Freqüência relativa: É aquela que representa a proporção entre a variável analisada e o todo, e que, por isso, pode ser representada por uma fração, por uma porcentagem ou por uma dízima. F r F N abs Tabela de freqüências Tabela sem intervalo de classe: A tabela abaio relaciona a preferência pelo time de futebol em relação a 560 pessoas entrevistadas, em que, para cada time, podemos utilizar a proporção entre a freqüência relativa e o setor do gráfico. Quando as variáveis de uma pesquisa são, por eemplo, altura, peso, idade em anos e número Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 15

16 Qual foi a média de livros vendidos durante essa semana? Para resolver esse problema, devemos fazer: Esse número é chamado de média aritmética dos números, 3,, 7, 5 e 13 Média aritmética ( ) dos valores n é o quociente entre a soma desse valores e seu número total n. Tabela com intervalo de classe: 1 3 n... n Média ponderada Quando alguns valores se repetem, torna-se mais fácil o cálculo da média aritmética. Vejamos: Calcular a média aritmética dos valores 7,7,30,30,30,30,3,3 e 3. OBS.: As classes são intervalos fechados no início e abertos no final. a b [ a, b[ Quando for necessário podemos representar cada classe pelo seu elemento central. Nesse caso, observamos que: - o valor 7 se repete vezes; - o valor 30 se repete 5 vezes; - o valor 3 se repete 3 vezes; Assim, a média pode ser calculada de uma forma mais simples: Medidas de Centralidade (MÉDIAS) A medida de centralidade é um número que está representando todo o conjunto de dados; nas pesquisas tal número é conhecido como medida de tendência central, que pode ser encontrado a partir da média aritmética, da moda ou da mediana, e o uso de cada uma delas é mais conveniente de acordo com o nível de mensuração, o aspecto ou forma da distribuição de dados e o objetivo da pesquisa. 1 Média Aritmética: Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante certa semana: Seg Terça Quarta Quinta Seta Sábado A média aritmética é 30. O número de vezes que o valor se repete chama-se peso, e à média assim calculada dá-se o nome de média ponderada. 3 Média Moda A moda é o elemento da seqüência de dados que possui a maior freqüência, em que ela será localizada. Para ficar mais fácil de você lembrar, associe o fato de que aquilo que está na moda é o que as pessoas mais usam. A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. E: Na série { 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1 } a moda é igual a 10. Há séries nas quais não eista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 16

17 E: { 3, 5, 8, 10, 1 } não apresenta moda. A série é amodal. Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. E: {, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } 4 Média Mediana apresenta duas modas: 4 e 7 A série é bimodal. A mediana representa o elemento que se encontra no centro da distribuição, quando a seqüência de dados se apresenta ordenada de forma crescente ou decrescente, cortando, assim, a distribuição em duas partes com o mesmo número de elementos. Dada uma série de valores como, por eemplo: { 5,, 6, 13, 9, 15, 10 } De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: {, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9. poderemos com tais medidas determinar as turmas que tiveram um comportamento homogêneo, em que os alunos tiraram notas próimas de 6,0, como também determinar as turmas que tiveram um comportamento heterogêneo em relação à nota 6,0, ou seja, por mais que a média tenha sido 6,0, as notas não foram próimas de 6,0. Desvio Absoluto Médio Como a palavra desvio está associada à diferença, temos que, o desvio deve ser empregado com a diferença do elemento analisado em relação à média, ou seja, o quanto o elemento se afasta da média da seqüência. Daí, é importante perceber que essa diferença deve ser necessariamente trabalhada em módulo, pois não tem sentido a distância negativa. E o desvio médio, então, passa a ser encontrado a partir da média aritmética de todos os desvios. Daí, temos: N i i DM 1 N Em que i são os valores tomados, é a média aritmética desses valores e N é a quantidade de valores. Eemplo Medidas de Dispersão Vimos que a moda, a mediana e a média aritmética possuem a função de representar, a partir de um único número, a seqüência a ser analisada. Porém, tal método ainda é muito incompleto para que nós possamos tirar alguma conclusão sobre o trabalho. É necessário que possamos energar algo mais nessa seqüência que estamos analisando, como, por eemplo, uma certa personalidade da seqüência. Observe a seguinte situação: quatro turmas do 3º ano do Ensino Médio fizeram uma prova de estatística e quando o professor verificou a média das notas de cada turma, constatou que, em cada uma das quatro turmas, a média dos alunos foi igual a 6,0. E aí? Será que podemos concluir que o desempenho das quatro turmas foi o mesmo? Será que todos os alunos, de todas as turmas, tiraram nota 6,0 na prova? É óbvio que, nesse momento, o bom senso fala mais alto e podemos, no mínimo, desconfiar de que não. Pois é eatamente aí que reside a tal personalidade que podemos atribuir a cada turma em relação ao comportamento das notas. Então, na tabela acima, temos que: Variância A variância é uma medida de dispersão muito parecida com o desvio médio, a única diferença em relação a este é que, na variância, ao invés de trabalharmos em módulo as diferenças entre cada elemento e a média, tomamos os quadrados das diferenças. Isso se dá pelo fato de que, elevando cada diferença ao quadrado, continuamos trabalhando com números não negativos, como também pelo fato de que, em procedimentos estatísticos mais O que quero dizer é que, com as medidas de dispersão, seremos capazes de verificar que, por mais que a média das turmas na prova de estatística tenha sido 6,0, Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 17

18 avançados, tal método facilita futuras manipulações algébricas. Var N i 1 Em que ( ) i N i são os valores tomados, é a média aritmética desses valores e N é a quantidade de valores. Eemplo TESTES: 01. (UEPB PB/006) A média aritmética das alturas de cinco edifícios é de 85 metros. Se for acrescentado a apenas um dos edifícios mais um andar de 3 metros de altura, a média entre eles passará a ser: a) 85,6 m b) 86 m c) 85,5 m d) 86,6 m e) 86,5 m 0. (UFMS MS/005) A média aritmética das notas dos alunos de uma classe de 40 alunos é 7,. Se a média aritmética das notas das meninas é 7,6 e a dos meninos é 6,6, então o número de meninas na classe é a) 0. b) 18. c). d) 4. e) (ESPP-MPP-PR-010) Num escritório de engenharia há 0 engenheiros ganhando cada um R$ 000 de salário, e 10 engenheiros ganhando cada um R$ 5000 de salário. O salário médio dos 30 engenheiros é igual a: Ainda tomando como eemplo a situação anterior, teremos: Desvio-padrão Para entendermos o procedimento para o cálculo do desvio-padrão, é interessante percebermos que, no cálculo da variância, cometemos um erro técnico que será corrigido pelo desvio-padrão, ou seja, no momento em que elevamos ao quadrado as dispersões (diferenças) de cada elemento em relação à média, automaticamente alteramos a unidade de trabalho. Por eemplo: se estivermos trabalhando com a coleta das alturas, em metro, das pessoas de uma determinada comunidade, a unidade da variância encontrada será o m² (metro quadrado), que representa áreas. E é aí que entra o desvio-padrão, ou seja, etraindo a raiz quadrada da variância. Desvio padrão var a) R$ 500 b) R$ 750 c) R$ 3500 d) R$ 350 e) R$ (UFPel RS/005) Na busca de solução para o problema da gravidez na adolescência, uma equipe de orientadores educacionais de uma instituição de ensino pesquisou um grupo de adolescentes de uma comunidade próima a essa escola e obteve os seguintes dados: Com base nos tetos e em seus conhecimentos, é correto afirmar, em relação às idades das adolescentes grávidas, que a) a média é 15 anos. b) a mediana é 15,3 anos. c) a mediana 16,1 anos. d) a moda é 16 anos. e) a média é 15,3 anos. Então, se no eemplo do item anterior a variância encontrada foi 345,57, temos que o desvio-padrão foi de 345,57 18,58 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 18

19 05. (UFPR-008) Uma determinada região apresentou, nos últimos cinco meses, os seguintes valores (fornecidos em mm) para a precipitação pluviométrica média: A média, a mediana e a variância do conjunto de valores acima são, respectivamente: a) 30, 7 e 6,8. b) 7, 30 e,4. c) 30, 9 e 6,8. d) 9, 30 e 7,0. e) 30, 9 e 7,0. GABARITO: a d d e c TESTES ESTATÍSTICA - CESGRANRIO Para responder às questões de nos 1 e, utilize os dados da tabela abaio, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 0 jovens entre 14 e 0 anos. 03. (CESGRANRIO-ANP-008) Pedro fez três avaliações de Matemática e obteve notas 6,7, 5,8 e 7,6. Ele fará mais uma avaliação e sua média final será a média aritmética dessas quatro notas. Qual é a nota mínima que Pedro deverá obter na quarta prova para que sua média final seja igual ou superior a 7,0? (A) 7,3 (B) 7,5 (C) 7,7 (D) 7,9 (E) 8,1 04. (CESGRANRIO-ANP-008) O gerente do restaurante de certa empresa fez uma pesquisa e concluiu que os funcionários homens consumiam, em média, 540g por refeição e as mulheres, 450g. Se 60% dos funcionários dessa empresa são homens, qual é, em gramas, o consumo médio, por funcionário, em cada refeição? (A) 485 (B) 495 (C) 504 (D) 514 (E) 55 O enunciado abaio refere-se às questões de nos 05 e 06. Uma pesquisa foi feita com 40 mulheres a respeito da quantidade de filhos de cada uma delas e das idades desses filhos. Abaio, vêem-se: - um gráfico de barras com a distribuição das 40 mulheres conforme a quantidade de filhos; - uma tabela com as quantidades de filhos de 1,, 3 e 4 anos dessas 40 mulheres. 01.(CESGRANRIO-CEF-008) Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais? a) 8/14 b) 8/16 c) 8/0 d) 3/14 e) 3/16 0. (CESGRANRIO-CEF-008) Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calculada por Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 0 jovens? (A) 0,15 (B) 0,0 (C) 1,78 (D) 3,0 (E) 3, (CESGRANRIO-INEP-007) Analisando-se os dados em relação ao conjunto desses filhos, conclui-se corretamente que (A) há, ao todo, 3 filhos. (B) há eatamente 8 filhos que não possuem qualquer irmão. (C) há eatamente 10 filhos que possuem um único irmão. (D) há mais de 30 filhos que possuem mais de um irmão. Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 19

20 (E) o número de filhos que não possuem qualquer irmão é maior do que o número de filhos que possuem pelo menos um irmão. 06. (CESGRANRIO-INEP-007) Analisando-se os dados em relação ao conjunto desses filhos, conclui-se corretamente que há crianças (A) com menos de 1 ano. (B) de 1 ano que possuem irmão. (C) de anos que possuem irmão. (D) de 3 anos que possuem mais de um irmão. (E) com menos de 3 anos que possuem mais de um irmão. O enunciado abaio refere-se às questões de nos 07 e 08. Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são: (E),7 10. (CESGRANRIO -007) Quantas questões foram acertadas por mais de 60% dos alunos? (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 (E) 5 GABARITO: B D D C D C C A D 1 B 07. (CESGRANRIO-BNDES-007) Seja μ a média aritmética das idades e seu σ desvio padrão. O número de pessoas desse grupo cujas idades pertencem ao intervalo μ σ, μ + σ é: (Considere = 1,4 (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (E) (CESGRANRIO-BNDES-007) Escolhendo-se, aleatoriamente, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que sua idade seja maior do que a moda? (A) 30% (B) 5% (C) 0% (D) 15% (E) 10% O enunciado abaio refere-se às questões de nos 09 e 10. Vinte alunos foram submetidos a uma prova de 5 questões. O gráfico mostra, para cada uma das questões, a porcentagem dos alunos que acertaram a tal questão. 09. (CESGRANRIO -007) Se cada uma das questões valia 1 ponto, qual a média de pontos da turma? (A) 3,1 (B) 3,0 (C),9 (D),8 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 0