JOGOS VETORIAIS COMO FERRAMENTA DE AVALIAÇÃO ECONÔMICO- FINANCEIRA: UM ESTUDO MULTICRITÉRIO

Transcrição

1 JOGOS VETORIAIS COMO FERRAMENTA DE AVALIAÇÃO ECONÔMICO- FINANCEIRA: UM ESTUDO MULTICRITÉRIO Adriaa Kroee Uiversidade Regioal de Blumeau FURB Rua Atôio da Veiga, 140 Blumeau- SC, CEP: Nelso Hei Uiversidade Regioal de Blumeau FURB Rua Atôio da Veiga, 140 Blumeau- SC, CEP: Volmir Eugêio Wilhelm Uiversidade Federal do Paraá - UFPR Jardim das Américas, 980 Curitiba - PR volmirw@gmail.com RESUMO O objetivo deste artigo é determiar o posicioameto cotábil das empresas do setor de metalurgia e siderurgia listadas a BM&FBovespa por meio da teoria dos jogos vetoriais o período de 2009 a São usados quatro lotes de idicadores ecoômico-fiaceiros: liquidez, edividameto, retabilidade e atividade. De cada grupo foram selecioados três idicadores de acordo com o que a literatura cotábil apreseta. A leitura é feita usado as empresas como estratégias do jogador I e os idicadores ecoômico-fiaceiros como sedo as estratégias do jogador II. O posicioameto cotábil obtido reflete os resultados que são percebidos em aálise pormeorizada dos dados sob ótica cotábil. PALAVARAS CHAVE. Teoria dos Jogos, Jogos vetoriais, Idicadores cotábeis. ADM Apoio à Decisão Multicritério ABSTRACT This paper aims to determie the placemet of accoutig compaies i the iro ad steel listed o the BM&FBovespa by meas of vector games from 2009 to Use four lots of fiacial idicators: liquidity, debt, profitability ad activity. From each group were selected three idicators accordig to the presets i the accoutig literature. Readig is doe usig busiess strategies as player I ad fiacial idicators as the strategies of player II. The positioig accoutig reflects the results obtaied are perceived i detailed aalysis of the data uder accoutig perspective. KEYWORDS. Game theory, Vector games, Fiacial idicators. MCDA Multicreria Decisio Aid

2 1. Itrodução Os fudametos da teoria dos jogos foram estabelecidos por Joh vo Neuma em 1928 e expostos o livro Theory of Games ad Ecoomic Behavior, que publicou juto a Osar Morgester em Esta teoria põe de maifesto que os acotecimetos das ciêcias sociais podem ser descritos mediate modelos de jogos de estratégia com uma maior riqueza de detalhes, pois os agetes atuam muitas vezes us cotra os outros para a cosecução de seus objetivos. A teoria dos jogos proporcioa modelos de situações reais, pelos quais frequetemete, as coclusões que estes modelos forecem são somete pautas gerais de comportameto, que proporcioam ormas de atuação mais precisas tato quato o modelo reflita com mais perfeição a realidade. Tudo isso fez com que a teoria dos jogos crescesse detro da Pesquisa Operacioal, demostrado possuir suficiete iteresse e aplicabilidade para ser estudada como disciplia idepedete (DIMAND, 1996). Detro das orgaizações, quado se lida com problemas decisórios, é certo que serão efretadas situações de coflito de iteresse (NISHIZAKI; SAKAWA, 2001), competição e cooperação parcial. Estas características são cosideradas a essêcia dos problemas decisórios. Jogadores, ao avaliarem alterativas, optam por aquelas que lhe tragam maiores ou melhores resultados. Maiores o caso do jogo ser ão-cooperativo e melhor o caso cooperativo. Em ambos os casos é feito um raig das alterativas, ordeado as mesmas frete aos objetivos aturais, ou seja, maximizar gahos e miimizar perdas. Cotabilmete seria, por exemplo, objetivar a melhor liquidez e um meor edividameto. Cotudo, os resultados podem ser múltiplos e podem ser medidos de várias formas: uidades moetárias, ídices, graus, úmeros, etc., caracterizado múltiplos pagametos. Caso todos os múltiplos pagametos possam ser codesados em uma úica medida, como por exemplo em uma métrica de utilidade, a alterativa com o maior grau de utilidade acaba sedo a escolhida, ão sedo classificado como um problema de decisão, dada a trivialidade da situação (ZELENY, 1976). Zeley (1976) afirma que caso ão seja cohecida a medida de utilidade ou caso ão se queira perder iformação oferecida pelos múltiplos resultados, etão só há um problema de tomada de decisão com múltiplos pagametos (Decisio Maig with Multiple Payoffs Problem). Tradicioalmete as ferrametas de tomada de decisão, assim como jogos cotra a atureza ou jogos etre duas pessoas, são baseadas o coceito de um úico pagameto (gaho, perdas, utilidade, etc.). Um jogo modelado a forma de soma-zero com um úico pagameto ão captura completamete a complexidade das situações em situações reais. Quado dois opoetes elegem suas estratégias (alterativas), ão só os resultados apresetam uma soma ão-ula, mas ela também possui uma forma de um vetor ao ivés de um escalar. Jogos reais etre dois persoages, devem ser etedidos como sequêcias de gahos e perdas, em que ão ecessariamete o gaho de um é a perda do outro em cada movimeto. Os jogadores ão são imediatamete gahadores ou perdedores. O uso de estratégias mistas ou radômicas em sempre são adequadas e a cooperação muitas vezes substitui a cocorrêcia. A leitura de cada empresa segudo seus vetores formados por ídices ecoômicofiaceiros são o escopo desta pesquisa. Estes vetores serão obtidos das demostrações cotábeis, que esta ivestigação são os idicadores de liquidez, edividameto, retabilidade e atividade das empresas de metalurgia e siderurgia listadas a BM&FBovespa. A partir desses idicadores é possível estabelecer o posicioameto cotábil detro do seu setor, tomadas aqui como sedo suas cocorretes. Diate do exposto, esta pesquisa busca respoder a seguite questão: Qual o posicioameto cotábil das empresas de metalurgia e siderurgia listadas a BM&FBovespa os últimos cico aos avaliadas à luz da teoria dos jogos vetoriais? O objetivo cosiste em determiar o posicioameto cotábil das empresas do setor de metalurgia e siderurgia listadas a BM&FBovespa por meio da teoria dos jogos vetoriais o período de 2009 a 2013.

3 2. Jogos matriciais vetoriais Os jogos os quais os pagametos que os jogadores recebem vem represetados por vetores ao ivés de escalares são deomiados jogos vetoriais, jogos multicritério ou jogos com pagametos múltiplos (ZELENY, 1982). Nestes jogos, se ão há cooperação etre os jogadores como ocorre os jogos de soma ula, se acresceta a dificuldade da ão existêcia de uma ordem total etre os elemetos da matriz de pagametos. A valoração das estratégias e a comparação etre as mesmas é um problema adicioal a teoria dos jogos, sedo o coceito de solução clássica difícil de ser desevolvido. Por esta razão tem aparecido ovos coceitos de solução (FERNÁNDEZ; MONROY, 2009). Neste setido o coceito de estratégia de seguraça Pareto-Ótima é importate à solução de jogos com múltiplos pagametos, utilizado coceitos de solução baseados os íveis de seguraça dos jogadores. Ghose e Prassad (1989) defiem potos de equilíbrio com íveis de seguraça Pareto- Ótimas e potos de sela de Pareto. Para determiar o cojuto de estratégias de Pareto-Ótimas estabelecem dois jogos escalares, um para cada jogador e provam que as estratégias maximi e miimax destes jogos são estratégias de seguraça Pareto-Ótimas para o jogador correspodete. Ghose (1991) obteve as estratégias de seguraça Pareto-Ótimas de um jogo vetorial de soma zero traformado o jogo origial em um jogo escalar. Ele demostrou, por meio de um logo processo que uma extesão do cojuto formado pelos vetores de ível de seguraça é um cojuto poliédrico. A partir deste resultado estabelece uma escalarização estritamete positiva em uma codição ecessária e suficiete para obter uma estratégia de seguraça Pareto-Ótima, para tais jogos. Neste artigo utiliza-se a mesma escalarização como caso particular em um efoque geral, realizado por meio de um procedimeto alterativo que simplifica em boa medida as demostrações estabelecidas por Ghose e Prassad. Por meio da programação liear multiobjetivo obtém-se as estratégias de seguraça Pareto-Ótimas como soluções eficietes de problemas lieares multiobjetivo. Dado um jogo bipessoal de soma-zero a sua forma típica. Seja A = (a ij ); 1 i, 1 j m a matriz de pagametos do jogo. Cada elemeto a ij da matriz é um vetor de dimesão : a ij = (a ij (1), a ij (2),, a ij ()) R que determia matrizes de ordem m a forma: A(s) = (a ij (s)) 1 s ; 1 i ; 1 j m As estratégias mistas estes jogos se defiem da mesma forma como em jogos escalares. Assim, os espaços das estratégias mistas para os jogadores I e II são respectivamete: X = {x R x i = 1, x i 0, i = 1,, } i=1 m Y = {y R m y j = 1, y j 0, j = 1,, m} j=1 Defiição: O pagameto esperado do jogo quado os jogadores elegem suas estratégias mistas x X e y Y, respectivamete, é dado por: Ode: v(x, y) = x t Ay = (v 1 (x, y),, v (x, y)) v s (x, y) = x t A(s)y, s = 1,,

4 Dado que uma estratégia deve ser valorada por um cojuto de vetores, pode-se dar uma úica valoração, ao cosiderar que o opoete pode atuar em cada coordeada da matriz A de modo idepedete e oferecer o vetor que assegura ao jogador para que realmete obteha valores superiores. Defiição: Para cada estratégia x X do jogador I, o vetor de ível de seguraça para este jogador é o pagameto que lhe é garatido com esta estratégia, em cada jogo escalar iduzido pelo jogo vetorial. O mesmo se aplica ao jogador II. Ode: Os vetores de íveis de seguraça dos jogadores são respectivamete: v(x) = ( v 1 (x),, v (x)) v(y) = ( v 1 (y),, v (y)) v s(x) = mi v s(x, y) = mi y Y y Y xt A(s)y v s (y) = max v s(x, y) = max x X x X xt A(s)y Observe-se que dada uma estratégia x X do jogador I cada compoete do vetor de ível de seguraça v s(x), s = 1,, podem ser obtidas com distitas estratégias y Y do jogador II. Ghose e Prassad (1989) estabelecem a defiição de estratégia de seguraça Pareto-Ótima como segue. Defiição: Uma estratégia x X é uma estratégia de seguraça Pareto-Ótima para o jogador I se ão existe x X, tal que v(x ) v(x), v(x ) v(x). Uma estratégia y Y é uma estratégia de seguraça Pareto-Ótima para o jogador II se ão existe y Y, tal que v(y ) v(y), v(y ) v(y). Dada uma estratégia x X o ível de seguraça s-ésimo do jogador I é dado por: v(s) = mi y Y v s(x, y) = mi y Y xt A(s)y O problema a ser resolvido é um problema liear escalar, portato, possui uma solução ótima etre os potos extremos de Y. Assim, v s(x) é expressado: Ou matricialmete: v s (x) = mi x i a ij (s) 1 j m i=1 v(x) = mi x t A(s) Com efeito, para a pesquisa pretede-se como resultado a formulação de estratégias para o jogador I (empresas) frete as estratégias do jogador II (idicadores), o que se traduz a forma de um problema de programação liear multiobjetivo deomiado de problema liear do jogo vetorial (PLJV). Modelo:

5 max v, v s. a. 1,..., v t x A( s) ( v,..., v i 1 2 x 1 i ); s 1,..., x 0 Teorema (BILBAO; FERNANDEZ, 2002, p.31): Uma estratégia x X é uma estratégia de seguraça Pareto-Ótima e v = (v 1,, v ) seu vetor de ível de seguraça associado se, e somete se, (v, x ) for uma solução eficiete do problema PLJM. Demostração: Seja x X uma estratégia de seguraça Pareto-Ótimo etão ão existe outra estratégia x X tal que v(x ) v(x), v(x ) v(x), ou de forma equivalete: (mi x t A(1),, mi x t A()) (mi x t A(1),, mi x t A()) (mi x t A(1),, mi x t A()) (mi x t A(1),, mi x t A()) Sedo x X uma solução eficiete do problema: (mi xt A(1),, mi x t A()) max x X E este problema é equivalete a: 1 max s. a. v, v,..., v 1 t x A( s) ( v,..., v ); s 1,..., i 1 2 x 1 i x 0 s s De forma recíproca, supodo que uma solução eficiete (v, x ), do problema PLJV ão seja uma estratégia de seguraça Pareto-Ótima, etão existe x X, tal que: (mi x t A(1),, mi x t A()) (mi x t A(1),, mi x t A()) (mi x t A(1),, mi x t A()) (mi x t A(1),, mi x t A()) Seja v = (v 1,, v ) ode v s = mi x t A(s), s = 1,, o vetor (v, x) é uma solução do problema PLJV que domia (v, x ), sedo uma solução eficiete do problema PLJV. Este resultado é fudametal este artigo e por várias razões. Põe de maifesto que de similar modo a programação liear utiliza-se para obter as estratégias ótimas e o valor dos jogos escalares bipessoais de soma-zero. Da mesma forma pode utilizar-se a programação liear multiobjetivo para resolver os jogos bipessoais de soma-zero com pagametos vetoriais sempre que se cosidera o coceito de estratégia de seguraça Pareto-Ótima como solução dos mesmos. Em segudo lugar há de se otar que, como é usual em problemas lieares multiobjetivo, a partir das soluções eficietes extremas se obtém todas as estratégias de seguraça Pareto-Ótimas. 3. Metodologia da Pesquisa Diate do objetivo deste estudo, que cosiste em determiar o posicioameto cotábil das empresas do setor de metalurgia e siderurgia listadas a BM&FBovespa por meio da teoria dos jogos vetoriais o período de 2009 a 2013, esta pesquisa se classifica como descritiva. Para ateder o objetivo desta ivestigação fez-se ecessário verificar idicadores cotábeis apresetados a literatura, o que caracteriza uma pesquisa bibliográfica e o fato de utilizar demostrações cotábeis como fote de coleta de dados tora esta pesquisa documetal, pois, os dados aida ão receberam ehuma forma de tratameto.

6 Quato à abordagem do problema este estudo classifica-se como quatitativo. O método quatitativo represeta, em pricípio, a iteção de garatir a precisão dos resultados, evitar distorções de aálise e iterpretação, possibilitado, cosequetemete, uma margem de seguraça quato as iferêcias (RICHARDSON, 1989, p. 29). A população é defiida como o cojuto de elemetos que apresetam os atributos ecessários para o desevolvimeto do estudo (SILVEIRA, 2004). No caso desta pesquisa, que apreseta os dados dos idicadores de liquidez, edividameto, retabilidade e atividade. A população, esta pesquisa, cosiste as 12 empresas de siderurgia e metalurgia listadas a BM&FBovespa. A população foi defiida itecioalmete, ou seja, cosiste em uma população ão probabilística e justifica-se pelo acesso às iformações cotábeis e seu grau de cofiabilidade por se tratarem de empresas de capital aberto. As empresas do ramo de siderurgia e metalurgia utilizadas esta ivestigação são apresetadas o Quadro 1. Quadro 1 Empresas do setor de siderurgia e metalurgia listadas a BM&FBovespa Empresa Nome do pregão Atuação Paraapaema PARANAPANEMA Artefatos de cobre Fibam Compahia Idustrial FIBAM Artefatos de Ferro e Aço Magels Idustrial S.A. MANGELS INDL Artefatos de Ferro e Aço Metalúrgica Duque S.A. MET DUQUE Artefatos de Ferro e Aço Paatlatica S.A. PANATLANTICA Artefatos de Ferro e Aço Siderurgica J. L. Aliperti S.A. ALIPERTI Artefatos de Ferro e Aço Teo S.A. Idústria e Comércio TEKNO Artefatos de Ferro e Aço CIA Ferro Ligas da Bahia - FERBASA FERBASA Siderurgia CIA Siderurgia Nacioal SID NACIONAL Siderurgia GERDAU S.A. GERDAU Siderurgia Metalurgica Gerdau S.A GERDAU MET Siderurgia Usias SID de Mias Gerais S.A. - USIMINAS USIMINAS Siderurgia Fote: BM&FBovespa ( Os dados foram obtidos das demostrações cotábeis cosolidadas, Balaço Patrimoial e Demostração do Resultado do Exercício por meio do ECONOMÁTICA. Foram extraídos os idicadores ecoômico-fiaceiros de liquidez, edividameto, retabilidade e atividade do período de 2009 a De cada grupo foram extraídos três idicadores formado um grupo de 12 idicadores aalisados: (a) liquidez: liquidez seca, liquidez correte, liquidez geral, (b) edividameto: imobilização do patrimôio líquido, participação de capital de terceiros, composição do edividameto, (c) retabilidade: margem líquida, retoro sobre o ativo, retoro sobre o patrimôio líquido, (d) atividade: prazo médio de estoques, prazo médio de forecedores e prazo médio de recebimeto. Estes foram calculados coforme fórmulas extraídas de Matarazzo (2008). Todas as empresas dispoibilizaram os dados ecessários o período de 2009 a 2012, porém, em 2013 a empresa Duque ão divulgou seus dados. Por isso, em 2013 são aalisadas somete as demais (11) empresas. 4. Aálise e Iterpretação dos Resultados A aálise de dados referetes aos idicadores de liquidez, edividameto, retabilidade e atividade acabam por formar a matriz de pagametos do jogo multicriterial. Em liha, observa-se dados de cada uma das empresas, Paraapaema até Usimias. Na colua, os dados dos idicadores de cada grupo LG, LC, até PMR.

7 P = (1.02, 1.10, 0.53) (1.02, 1.12, 0.54) (0.74, 1.16, 0.97) (0.41, 0.64, 0.58) (1.55, 2.20, 1.68) (0.76, 1.35, 0.93) (5.84, 7.91, 6.66) (5.59, 6.90, 4.39) (0.63, 3.30, 2.74) (0.85, 2.10, 0.94) (0.78, 1.80, 0.81) [(0.93, 1.99, 1.30) (94.95, , 84.79) (94.64, , 57.28) (657.10, , 46.66) (143.29, , 61.41) (44.96, 98.41, 68.79) (114.15, 64.45, 46.20) (36.19, 13.13, 70.24) (42.98, 12.39, 63.28) (226.57, , 15.91) (68.37, 84.36, 32.20) (73.42, 99.01, 34.38) (89.95, 77.03, 37.88) ( 5.12, 4.93, 14.13) ( 3.95, 5.64, 18.48) (31.39, 21.99, ) (0.17, 0.09, 0.24) (4.13, 4.48, 8.89) (16.58, 3.26, 5.36) (14.51, 8.45, 9.56) (12.09, 6.55, 7.36 ) ( 2.84, 0.97, 5.33) (3.94, 2.82, 5.20) (3.51, 2.50, 4.97) ( 4.18, 1.62, 2.87) (124.64, , 40.23) (69.52, 17.59, 48.40) (52.77, 70.64, 41.02) (18.29, 51.66, 20.10) (66.68, 39.33, 69.19) (240.57, 23.17, 29.85) (86.38, 21.37, 65.95) (149.13, 19.35, 60.31) (106.76, 58.38, 38.24) (97.72, 33.14, 35.03) (97.72, 33.14, 35.03) (112.95, 68.23, 44.42) ] Estes dados são referetes ao exercício Os valores são adimesioais, ou seja, ão possuem uma uidade de medida em especial. Cotudo, cada idicador é trasformado por meio de uma cotração de Lipschitz d(f(x), f(y)) d(x, y). Basicamete a cotração é feita usado o teorema de Tales, ou seja, em cada um dos 12 idicadores há um máximo i j + ; j = 1,,12 e um míimo i j ; j = 1,,12. Fazedo f(i j ) = 0 e f(i j + ) = 1, assim f(i j ) = i j i j _ i j + i j _. No caso dos idicadores de edividameto pretede-se quato meor melhor, logo a formulação passa a ser f(i j ) = 1 i j i j _ i j + i j _. Isto também é aplicado ao idicador PME (prazo médio de estoques) e PMR (prazo médio de recebimeto). Assim, a matriz de pagametos fica defiida: (0.11, 0.06, 0) (0.91, 0.93, 0) (0.55, 0.56, 0.96) (0.52, 1, 0.59) (0.11, 0.07, 0.00) (0.91, 0.91,0.40) (0.57, 0.54, 0.95) (0.77, 0, 0.42) (0.06, 0.07, 0.07) (0, 0, 0.55) (0, 0, 0) (0.84, 0.38, 0.57) (0, 0, 0.01) (0.83, 0.94, 0.34) (0.66, 0.73, 0.98) (1, 0.24, 1) (0.21, 0.22, 0.19) (0.99, 0.96, 0.23) (0.74, 0.87, 1.00) (0.78, 0.15, 0) P = (0.06, 0.10, 0.07) (0.87, 0.98, 0.56) (1, 0.83, 0.99) (0, 0.04, 0.80) (1, 1, 1) (1, 1, 0.21) (0.96, 1, 1) (0.69, 0.03, 0.07) (0.95, 0.86, 0.63) (0.04, 0.37, 0.36) (0.99, 1, 0.31) (0.69, 0.82, 1) (0.91, 0.94, 1.00) (0.41, 0.01, 0.18) (0.60, 0.69, 0.97) (0.60, 0.29, 0.63) (0.08, 0.20, 0.07) (0.95, 0.96, 0.76) (0.74, 0.82, 0.99) (0.64, 0.11, 0.70) (0.07, 0.16, 0.05) (0.94, 0.96, 0.73) (0.73, 0.80, 0.99) (0.64, 0.11, 0.70) [(0.10, 0.19, 0.13) (0.91, 0.97, 0.68) (0.57, 0.67, 0.98) (0.57, 0.36, 0.50)] A aplicação do modelo também ão é imediata, pois como serão avaliados as teras compostas por cada grupo de idicadores, ter-se-á: max v 1,, v s. a: x t A(s) (v,, v ) s = 1,, ; = 1,,4 (grupo de idicadores) Logo sua costrução resulta em: x i = 1 i=1 x 0 max Z = Liquidez, Edividameto, Retabilidade, Atividade Deomiado v 1 : Liquidez; v 2 : Edividameto; v 3 : Retabilidade e v 4 : Atividade, temse como fução objetivo múltipla:

8 max Z = v 1, v 2, v 3, v 4 Como os idicadores são idepedetes etre si e todos tomados a mesma escala: max Z = v 1 + v 2 + v 3 + v 4 s.a: 0,11x 1 + 0,11x 2 + 0,06x 3 + 0,21x 5 + 0,06x 6 + x 7 + 0,95x 8 + 0,04x 9 + 0,08x ,07x ,10x 12 v 1 0 0,06x 1 + 0,07x 2 + 0,07x 3 + 0,22x 5 + 0,10x 6 + x 7 + 0,86x 8 + 0,37x 9 + 0,20x ,16x ,19x 12 v 1 0 0,07x 3 + 0,01x 4 + 0,19x 5 + 0,07x 6 + x 7 + 0,63x 8 + 0,36x 9 + 0,07x ,05 + 0,13x 12 v 1 0 0,91x 1 + 0,91x 2 + 0,83x 4 + 0,99x 5 + 0,87x 6 + x 7 + 0,99x 8 + 0,69x 9 + 0,95x ,94x ,01x 12 v 2 0 0,93x 1 + 0,91x 2 + 0,94x 4 + 0,96x 5 + 0,98x 6 + x 7 + 1x 8 + 0,82x 9 + 0,96x ,96x ,97x 12 v x 2 + 0,55x 3 + 0,34x 4 + 0,23x 5 + 0,56x 6 + 0,21x 7 + 0,31x 8 + 1x 9 + 0,76x ,73x ,68x 12 v 2 0 0,55x 1 + 0,57x 2 + 0,66x 4 + 0,74x 5 + x 6 + 0,96x 7 + 0,91x 8 + 0,60x 9 + 0,74x ,73x ,57x 12 v 3 0 0,56x 1 + 0,54x 2 + 0,73x 4 + 0,87x 5 + 0,83x 6 + x 7 + 0,94x 8 + 0,69x 9 + 0,82x ,80x ,67x 12 v 3 0 0,96x 1 + 0,95x 2 + 0,98x 4 + x 5 + 0,99x 6 + x 7 + x 8 + 0,97x 9 + 0,99x ,99x ,98x 12 v 3 0 0,52x 1 + 0,77x 2 + 0,84x 3 + x 4 + 0,78x 5 + 0,69x 7 + 0,41x 8 + 0,60x 9 + 0,64x ,64x ,57x 12 v 4 0 x 1 + 0,38x 3 + 0,24x 4 + 0,15x 5 + 0,04x 6 + 0,03x 7 + 0,01x 8 + 0,29x 9 + 0,11x ,11x ,36x 12 v 4 0 0,59x 1 + 0,42x 2 + 0,57x 3 + x 4 + 0,80x 6 + 0,07x 7 + 0,18x 8 + 0,63x 9 + 0,70x ,70x ,50x 12 v 4 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 = 1 x i 0 (i = 1,,12) Das 16 variáveis do PL, 12 represetam cada uma das empresas, a saber: Paraapaema (x 1 ), Fibam (x 2 ), Magels (x 3 ), Duque (x 4 ), Paatlâtica (x 5 ), Aliperti (x 6 ), Teo (x 7 ), Ferbasa (x 8 ), Siderurgia Nacioal (x 9 ), Gerdau (x 10 ), Gerdau Met. (x 11 ) e Usimias (x 12 ). A solução do PPL traz o vetor de estratégias: x = [x 1 x 2 x 12 ] t Cada um dos x i, i = 1,,12 represeta uma probabilidade de adoção da estratégia i. A aálise é feita em ordem decrescete, ou seja, as probabilidades apotarão se o problema admite 12 uma estratégia pura (p i = 1) ou uma estratégia mista ( i=1 x i = 1). Caso a solução for a estratégia pura, tem-se a empresa mais bem posicioada. O mesmo ocorre quado a solução apotada for mista, a estratégia mais bem avaliada, dará como retoro a empresa mais bem posicioada cotabilmete a rodada, voltado as demais para a cesta de estratégias. A adoção dessa forma de aálise atede ao axioma da escolha (ZELENY, 1982, p. 156) as alterativas que são mais próximas do ideal são preferidas àquelas que estão mais distates (ou ausetes). Para ser tão perto quato possível do ideal percebido, que é a base racioal da escolha humaa. Por outro lado, ão viola um axioma que reflete o curso de desevolvimeto tradicioal da aálise decisória (reversão de ordem), que Zeley (1982, p. 145) propõe como se uma alterativa A é ão-ótima, etão ela ão poderá se torar ótima com a adição de uma ova alterativa ao problema. Com efeito, a técica proposta ão iclui ovas alterativas, mas sim remove as eleitas como sedo as melhores do ceário, da rodada. Além disso Starr e Zeley (1977) ilustraram a falácia desse axioma em um exemplo com um cojuto de probabilidades sobre espectativas de utilidades, similar ao caso desta pesquisa. Assim, a preseça de empresas, haverá um total de (-1) rodadas, ou seja, são resolvidos o caso do modelo um total de 11 PPL s, usado o software PLM 3.0 (Programação Liear e Mista v. 3.0). A aálise aida iclui o valor da iformação, ode o modelo é traformado em:

9 P(λ): max Z = λ s s=1 s. a: x t A(s) (v s,, v s ); s = 1,, ; = 1,,4 x i = 1 i=1 xi 0 No modelo λ Λ 0 = {λ R : λ s > 0; s=1 λ s = 1}. Os valores de λ 1, λ 2, λ 3 e λ 4 são obtidos por meio da etropia dos dados ormalizados de cada bloco de idicadores. Ao abordar de problemas decisórios em ceários complexos em que muitos critérios estão em tratameto, o peso da importâcia do atributo (λ i), coferido ao i-ésimo atributo como medida de importâcia relativa em uma dada situação de decisão, é diretamete relacioada a quatidade de iformação itríseca gerada por um cojuto de possíveis alterativas de cada i-ésimo atributo e em paralelo, a subjetividade associada as importâcia, reflete a cultura, psicologia e meio em que vive o tomador de decisão (ZELENY, 1982). A importâcia do atributo se tora operacioal somete se a quatidade itríseca da iformação trasmitida para o tomador de decisão do i-ésimo atributo pode ser mesurado. Podese ajustar uma medida de etropia para cocordar com o propósito. Quato mais distitos e difereciados forem os escores, ou seja, quato maior for o cotraste de itesidade etre os valores do i-ésimo atributo, maior é a soma da iformação decisória cotida ela e trasmitida pelo atributo (ZELENY, 1982). Seja d i = (d 1 i, d 2 i,, d m i ) os valores ormalizados, ode: d i = x i x, que caracteriza o i cojuto D, em termos do i-ésimo atributo. Defie-se D i = m =1 d i ; i = 1,2,,. A medida de etropia do cotraste de itesidade para o i-ésimo atributo é calculado por e(d i ) = d i α m l ( d i =1 ), ode α = 1 > 0 e e D i D e max=l(m). Lembrado aida que 0 d i 1 e d i max 0. Caso todos os d i forem iguais para um dado i, etão d i v s D i = 1 e e(di) assume valor máximo, isto é, e max=l(m). Ao se fixar α = 1, determia-se 0 e(d e i ) 1 para todos os d i s. Essa max ormalização é ecessária para efeito comparativo. A etropia total de D é defiida por: E = i=1. e(d i ) Há duas observações a serem feitas, a primeira é a de que quato maior for e(d i), meor é a iformação trasmitida pelo i-ésimo atributo e a seguda é o caso e(d i)=e max=l(m), etão o i- ésimo atributo ão trasmite iformação e pode ser removida da aálise decisória. Devido ao peso λ i ser iversamete relacioado a e(d i), usa-se 1-e(d i) ao ivés de e(d i) e ormaliza-se para assegurar que 0 λ i 1 e i=1 λ i = 1. Assim: λ i = 1 A etropia associada a cada lote de idicadores é dado por: e(liquidez)=0, e(edividameto)=0, e(retabilidade)=0, e(atividade)=0, E [1 e(d i)] = [1 e(d i )] E. A soma da etropias é dada por E=3, Aplicado a fórmula λ i = [1 e(d i )], tem-se E o valor dos pesos da iformação: λ 1 = 0,55147 λ 2 = 0, λ 3 = 0, λ 4 = 0, Chega-se ao modelo poderado:

10 max Z = 0,55147v 1 + 0,116415v 2 + 0,087587v 3 + 0,244529v 4 s.a: 0,11x 1 + 0,11x 2 + 0,06x 3 + 0,21x 5 + 0,06x 6 + x 7 + 0,95x 8 + 0,04x 9 + 0,08x ,07x ,10x 12 v 1 0 0,06x 1 + 0,07x 2 + 0,07x 3 + 0,22x 5 + 0,10x 6 + x 7 + 0,86x 8 + 0,37x 9 + 0,20x ,16x ,19x 12 v 1 0 0,07x 3 + 0,01x 4 + 0,19x 5 + 0,07x 6 + x 7 + 0,63x 8 + 0,36x 9 + 0,07x ,05 + 0,13x 12 v 1 0 0,91x 1 + 0,91x 2 + 0,83x 4 + 0,99x 5 + 0,87x 6 + x 7 + 0,99x 8 + 0,69x 9 + 0,95x ,94x ,01x 12 v 2 0 0,93x 1 + 0,91x 2 + 0,94x 4 + 0,96x 5 + 0,98x 6 + x 7 + 1x 8 + 0,82x 9 + 0,96x ,96x ,97x 12 v x 2 + 0,55x 3 + 0,34x 4 + 0,23x 5 + 0,56x 6 + 0,21x 7 + 0,31x 8 + 1x 9 + 0,76x ,73x ,68x 12 v 2 0 0,55x 1 + 0,57x 2 + 0,66x 4 + 0,74x 5 + x 6 + 0,96x 7 + 0,91x 8 + 0,60x 9 + 0,74x ,73x ,57x 12 v 3 0 0,56x 1 + 0,54x 2 + 0,73x 4 + 0,87x 5 + 0,83x 6 + x 7 + 0,94x 8 + 0,69x 9 + 0,82x ,80x ,67x 12 v 3 0 0,96x 1 + 0,95x 2 + 0,98x 4 + x 5 + 0,99x 6 + x 7 + x 8 + 0,97x 9 + 0,99x ,99x ,98x 12 v 3 0 0,52x 1 + 0,77x 2 + 0,84x 3 + x 4 + 0,78x 5 + 0,69x 7 + 0,41x 8 + 0,60x 9 + 0,64x ,64x ,57x 12 v 4 0 x 1 + 0,38x 3 + 0,24x 4 + 0,15x 5 + 0,04x 6 + 0,03x 7 + 0,01x 8 + 0,29x 9 + 0,11x ,11x ,36x 12 v 4 0 0,59x 1 + 0,42x 2 + 0,57x 3 + x 4 + 0,80x 6 + 0,07x 7 + 0,18x 8 + 0,63x 9 + 0,70x ,70x ,50x 12 v 4 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 = 1 x i 0 (i = 1,,12) O raig formado pelo modelo, sem o uso do valor da iformação cosiderado os dados de 2012 como exemplo, levou ao seguite posicioameto cotábil das empresas ivestigadas. Quadro 2 Resultados de 2012 referetes a aplicação do modelo (pesos idêticos) Posição Empresa Variável Z * Estratégia 1ª Teo x 7 = 1 2,19 Pura 2ª Siderúrgica Nacioal x 9 = 0,502 2,05 Mista 3ª Ferbasa x 8 = 1 1,86 Pura 4ª Usimias x 12 = 1 1,70 Pura 5ª Gerdau x 10 = 1 1,67 Pura 6ª Gerdau Met x 11 = 0,689 1,63 Mista 7ª Paraapaema x 1 = 0,398 1,50 Mista 8ª Aliperti x 6 = 0,941 1,49 Mista 9ª Paatlâtica x 5 = 0,831 1,30 Mista 10ª Duque x 4 = 1 1,23 Pura 11ª Fibam x 2 = 0,522 0,97 Mista 12ª Magels x 3 = Fote: Dados da pesquisa. Da mesma forma foram determiados os posicioametos para os aos de 2009, 2010, 2011 e Desta forma apreseta-se abaixo os raigs do período aalisado. Quadro 3 Resultados gerais referetes a aplicação do modelo (pesos idêticos) Posição ª Sid. Nacioal Sid. Nacioal Teo Teo Teo 2ª Gerdau Met Teo Ferbasa Sid. Nacioal Paraapaema 3ª Gerdau Usimias Paraapaema Ferbasa Usimias 4ª Usimias Gerdau Met Paatlâtica Usimias Ferbasa 5ª Teo Ferbasa Gerdau Gerdau Paatlâtica 6ª Magels Gerdau Gerdau Met Gerdau Met Gerdau 7ª Fibam Magels Usimias Paraapaema Magels 8ª Ferbasa Duque Aliperti Aliperti Aliperti 9ª Paraapaema Paatlâtica Duque Paatlâtica Sid. Nacioal 10ª Paatlâtica Aliperti Sid. Nacioal Duque Gerdau Met 11ª Duque Fibam Fibam Fibam Fibam 12ª Aliperti Paraapaema Magels Magels - Fote: Dados da pesquisa.

11 O mesmo modelo, com a iclusão do valor da iformação, gerou o raig (R 2), apresetado a seguir. O Quadro 4 apreseta somete o posicioameto referete ao ao de 2012 para exemplificar. Quadro 4 Resultados de 2012 referetes a aplicação do modelo (com uso do valor da iformação) Posição Empresa Variável Z * Estratégia 1ª Teo x 7 = 1 0,67 Pura 2ª Ferbasa x 8 = 1 0,47 Pura 3ª Sid. Nacioal x 9 = 0,526 0,30 Mista 4ª Usimias x 12 = 0,738 0,29 Mista 5ª Paraapaema x 1 = 0,534 0,26 Mista 6ª Paatlâtica x 5 = 0,791 0,23 Mista 7ª Gerdau x 10 = 1 0,22 Pura 8ª Gerdau Met x 11 = 1 0,20 Pura 9ª Aliperti x 6 = 0,637 0,18 Mista 10ª Magels x 3 = 0,470 0,17 Mista 11ª Duque x 4 = 1 0,15 Pura 12ª Fibam x 2 = Fote: Dados da pesquisa. Em seguida apreseta-se o quadro completo, ou seja, a aálise realizada para todo o período. Quadro 5 Resultados gerais referetes a aplicação do modelo (com uso do valor da iformação) Posição ª Teo Teo Teo Teo Teo 2ª Ferbasa Ferbasa Ferbasa Ferbasa Ferbasa 3ª Sid. Nacioal Paatlâtica Paraapaema Sid. Nacioal Paraapaema 4ª Gerdau Usimias Paatlâtica Usimias Usimias 5ª Gerdau Met Paraapaema Usimias Paraapaema Paatlâtica 6ª Fibam Aliperi Gerdau Paatlâtica Gerdau 7ª Paraapaema Gerdau Aliperti Gerdau Magels 8ª Usimias Gerdau Met Gerdau Met Gerdau Met Sid. Nacioal 9ª Paatlâtica Fibam Sid. Nacioal Aliperti Aliperti 10ª Aliperti Sid. Nacioal Duque Magels Gerdau Met 11ª Duque Duque Fibam Duque Fibam 12ª Magels Magels Magels Fibam - Fote: Dados da pesquisa. Aalisado os Quadros 3 e 5, é possível verificar modificações o raig de posicioameto das empresas, cotudo, é ormal que essas modificações ocorram cosiderado a alteração dos idicadores o período. Destaca-se a oscilação a posição da maioria das empresas pesquisadas e também, a posição da empresa Teo, primeira classificada em todo o período aalisado pelo modelo 1 com utilização do valor da iformação. 5. Coclusão A classificação das empresas por meio de idicadores ecoômico-fiaceiros pode sem dúvida ser elaborada por estudiosos da cotabilidade, que por meio de seus métodos e técicas levam a raigs semelhates aos obtidos pela presete pesquisa. Etretato, o icremeto da cesta de idicadores, da amplicação do horizote temporal e iclusão de mais empresas o cojuto em ivestigação fará com que o ível de dificuldade aumete em forma diretamete proporcioal, iviabilizado a aálise frete as limitações do raciocíio humao dada a complexidade do ceário

12 em estudo. Daí a importâcia da elaboração de uma metodologia (cojuto de métodos) de auxílio à decisão. Diate dos resultados desta pesquisa pode-se afirmar que o objetivo foi alcaçado destacado-se de modo geral a empresa Teo. Destaca-se o fato do trabalho ser fortemete ispirado os trabalhos de Mila Zeley e por esta pesquisa atestar a possibilidade do uso da programação liear como ferrameta de classificação, em especial em ceários multicriteriais. Referêcias Bilbao, J. M.; Ferádez, F. R. (2002). Abstracts of the fifth spaish meetig o game theory ad applicatios. Uiversidad de Sevilla. Dimad, M. A; Dimad, R. W. (1996). The history of game theory, Volume I: from the begiigs to Lodo: Routledge. Ferádez, F. R.; Moroy, L. (2009). Multi-criteria simple games. I: V. Barichard et. al. Multiobjective programmig ad goal programmig: theoretical results ad practical applicatios. Berli Heidelberg: Sprig-Verlag. Ghose, D. B. (1991). A ecessary ad sufficiet coditio for Pareto-optimal security strategies i multicriteria matrix games. Joural of Optimizatio Theory ad Applicatios,. 68, p Ghose, D. B.; Prasad, U. R. (1989). Solutio cocepts i two-perso multicriteria games. Joural of Optimizatio Theory ad Applicatios, v. 63,. 2, p Nishizai, I.; Saawa, M. (2001). Fuzzy ad multiobjective games for coflict resolutio. New Yor: Physica-Verlag. Richardso, R. J. (1989) Pesquisa social: métodos e técicas. 2. ed. São Paulo: Atlas. Silveira, A. (Coord.). Roteiro básico para apresetação e editoração de teses, dissertações e moografias. 2. ed. rev., atual e ampl. Blumeau: Edifurb, Zeley, M. (1982). Multiple criteria decisio maig. New Yor: McGraw-Hill. Zeley, M. (1976). Games with multiple payoffs. Iteratioal Joural of Game Theory, v. 4,. 4, p