Um método iterativo eficiente para resolver sistemas de equações pentadiagonais

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1 Proceeding erie of the Brzilin ociety of Comuttionl nd Alied Mthemtic Um método itertivo eficiente r reolver item de equçõe entdigoni Diego Fernndo Moro 1 Progrm de Pó-Grdução em Engenhri Mecânic (PGMec) UFPR Centro Politécnico UFPR, Curitib, Prná, Bril Crlo Henrique Mrchi Márcio Auguto illel Pinto 3 Dertmento de Engenhri Mecânic UFPR Centro Politécnico UFPR, Curitib, Prná, Bril Reumo. É rooto e tetdo um lgoritmo r reolver item de equçõe entdigoni ero. Ele é bedo no TDMA (Tridigonl Mtrix Algorithm), endo denomindo nete trblho de PDMA (Pentdigonl Mtrix Algorithm). Ete item de equçõe oui du digoni ldo ldo d digonl rincil d mtriz e mi du digoni não nul. A dedução motrd nete trblho ode er feit r qulquer número de digoni n mtriz de coeficiente. O método PDMA foi tetdo n olução d equçõe de Llce D e Burger D. O reultdo form comrdo com outro método d litertur: Gu-eidel, ADI (Alternting Direction Imlicit), TDMA ( direção xil é exlicit e direção trnverl é imlícit) e MI (Modified trongly Imlicit). Pr equçõe de Burger, em um mlh de 56x56 volume, o PDMA reolveu o roblem em meno de 11% do temo do método MI, que or u vez reolveu o roblem em cerc de 1% do ADI. Plvr-chve. Método itertivo, trnferênci de clor comutcionl, dinâmic do fluido comutcionl, item de equçõe linere, olver 1 Introdução A motivção r ete trblho foi contnte buc r diminuir o temo comutcionl neceário r obter oluçõe numéric. Ao obervr equçõe do método itertivo (olver) ADI (Alternting Direction Imlicit) [3], que utilizm um dedução do TDMA (Tridigonl Mtrix Algorithm) [7] imlícito em um direção do lno e exlícito n outr direção e vice-ver, urgiu idei de colr e du deduçõe em um únic fórmul e deduzir coeficiente r reolver o item liner entdigonl. 1 difmoro@ufr.br, difmoro@gmil.com mrchi@ufr.br, chmcfd@gmil.com 3 mrcio_villel@ufr.br

2 Metodologi O objetivo do olver PDMA (Pentdigonl Mtrix Algorithm), rooto nete trblho, é reolução de item de equçõe cuj mtriz de coeficiente ej do tio entdigonl, ou ej, oui en 5 digoni não nul n mtriz do coeficiente. A mtriz menciond ode er origind, or exemlo, d dicretizção vi volume finito de um mlh bidimenionl onde digoni ão ditnte d digonl rincil com nx coeficiente de ditânci, endo que nx é o número de volume n direção xil. A equção gerl dete tio de item de equçõe é ddo el exreão: endo que: E, W, N, e,, n, b. (1) e E W, : Incógnit, com indicção d oição em relção digonl rincil., : Coeficiente do item de equçõe, com indicção d oição do coeficiente em relção à digonl rincil. b : Termo fonte do item liner. n N.1 Equçõe genéric r lete e norte Nete trblho erá introduzido o método PDMA, utilizndo-e du equçõe genéric com eguinte exreõe: 1, E 4,, N 5,. (). (3) endo que:, i=1,, 4 e 5: etore incógnit do método PDMA, é o índice em relção o i, vetore incógnit do método PDMA. O método PDMA conite em deixr Eq. (1) deendendo en d du direçõe do lno, tnto Lete (E) qunto Norte (N). Bt ortnto delocr Eq. () e (3) r Oete (W) e ul (), reectivmente. Teremo: W 1, W 4, W, 5,. (4) (5) ubtituindo-e Eq. (4) e (5) n Eq. (1) e iolndo o coeficiente que multilicm incógnit E e N odemo encontrr o vlore do vetore incógnit do método PDMA. A equção fic d form

3 3 1,, 3, e n (6) endo que 3, é om do vetore 4, e 5,, o vetore incógnit 1, e, ficm n form d Eq. (7) (9).. Equçõe r o vetore incógnit e 1, (7) 1,, n, (8) 1,, b 4, 5, (9) 3, 1,, N Eq. (9), o vetore 4,W e 5, não ão conhecido, m e o iolrmo n Eq. (4) e (5) e ubtituirmo, odemo encontrr um exreão r 3, que deende en de vetore clculdo, det form teremo Eq. (10): 3, b 1,, (10) Agor é oível clculr o vetore incógnit do método PDMA eguindo ordenção lexicográfic. Como é oível obervr, o terceiro vetor incógnit do método PDMA, Eq. (10), deende d olução, no onto W, e no onto P, ou ej, o olver e torn itertivo. 1,,.3 Algoritmo O lgoritmo rte do rincíio que mtriz utilizd foi obtid utilizndo-e ordem lexicográfic. 1) Etim-e um cmo de vlore r vriável deendente incógnit; ) Clcul-e o vetore incógnit do PDMA com Eq. (7), (8), e (10) notndo o co eecii, onde 1,,,,, não exitem, clculndo-e et incógnit em ciclo rogreivo n mtriz do coeficiente; 3) Em ciclo regreivo, reolve-e o item liner r vriável deendente com Eq. (6); 4) olt-e o o té tingir um tolerânci.

4 4 3 Modelo mtemático e numérico 3.1 Equçõe de Llce e Burger Pr imlificçõe: condução de clor bidimenionl, regime ermnente, uênci de gerção de clor, teremo equção de Llce, Eq. (11), que é equção diferencil que model o roblem. O domínio é um lc qudrd unitári e condiçõe de contorno etão n Eq. (1) T T x T y 0 0, y T 1, y T x,0 T x,1 en x 0 (11) (1) Coniderndo um ecomento bidimenionl de fluido incomreível com roriedde contnte, equçõe diferencii que modelm o roblem ão equçõe de Burger, Eq. (13). O domínio tmbém é um lc qudrd unitári e condiçõe de contorno etão n Eq. (14): x x u u v u v v v v Bx, y,re 1 u u v y y u u x y x x y y u 1, y u x,0 0 0, y 4 3 x,1 16x x x 0, y v1, y vx,0 vx,1 0 (13) (14) O termo B(x, y, Re=1) n Eq. (13) foi utilizdo r encontrr um olução nlític (nete co, utilizou-e o método d oluçõe fbricd), juntmente com o cmo de reão obtido no rtigo de hih et l [5]. Ddo numérico r du equçõe: - O método numérico utilizdo r dicretizr equção diferencil é o método do volume finito (MF). - A roximçõe utilizd r derivd ão de egund ordem de curáci (Centrl Difference cheme, CD). - A condiçõe de contorno ão licd utilizndo-e volume fictício, com o vlor no contorno conhecido [1]. - A etimtiv inicil do cmo de temertur ou velocidde é nulo. - O critério de rd do método itertivo n reolução do item liner, e dá com be num tolerânci obre o reíduo dimenionlizdo (rzão entre o reíduo tul

5 5 elo reíduo d rimeir iterção) do item liner e tolerânci utilizd é de olver e método de comrção do reultdo Pr comrção do olver dete trblho com outro d litertur, elecionou-e o eguinte: (1) Gu-eidel, () Alternting Direction Imlicit (ADI) [3], (3) TDMA com Direção Y Imlícit e (4) Modified trongly Imlicit (MI) [4]. Pr cd tmnho de roblem n é oível encontrr exreão que rereent o comortmento do temo de CPU utilizdo no olver d eguinte form: tcpu n. (15) endo que gerlmente contnte e rereentm o deemenho de um determindo olver, lido à crcterític d rogrmção utilizd e n é o número de incógnit do item de equçõe. be-e exerimentlmente que o olver utilizdo r comrção do PDMA nete trblho ouem o exoente d Eq. (15) róximo. egundo [6], o método Gu-eidel com multigrid reult em um exoente róximo Dedução do PDMA r outro re de volume Ao coniderr outro re de volume n Eq. () e (3), or exemlo N e W, W e e e E e licr o memo rocedimento motrdo, obteremo outro 3 olver ditinto, que odem influencir no temo de CPU e utilizdo em conjunto. Nete trblho deduçõe do método PDMA ão chmd: PDMA-EN (dedução demotrd nete trblho com E e N), PDMA-EN-NW (uo do olver PDMA-EN com dedução N e W utilizd em eguid), PDMA-EN-N-W (uo do olver PDMA-EN, PDMA-N e do PDMA-W um em eguid do outro net ordem). 4 Reultdo e concluão 4.1 Equção de Llce e Burger A comrção do reultdo do olver d litertur e o PDMA etão n Fig.1 e e n Tb. 1. Nete trblho foi rooto um novo olver utilizndo médi de du deduçõe do método TDMA. Foi etuddo tmbém o deemenho dete olver frente outro olver d litertur em doi roblem: equção de Llce e equçõe de Burger. O olver d litertur utilizdo form: Gu-eidel, ADI, TDMA, MI. Foi relizdo tmbém um nálie qunto o uo conjunto de e 3 deduçõe do PDMA.

6 6 Tbel 1: Contnte d Eq. (15) r equçõe de Llce e Burger. Llce PDMA-EN E-08 PDMA-EN-NW E-08 PDMA-EN-NW-W-E E-08 G E-08 ADI E-08 TDMA E-08 MI E-09 Burger PDMA-EN E-08 PDMA-EN-NW E-07 PDMA-EN-NW-W-E E-08 G E-08 ADI E-08 TDMA E-08 MI E-08 Figur 1: Comrção entre o temo de CPU r equçõe de Llce (equerd) e de Burger (direit). Com be no tete relizdo, ode-e concluir que: 1 Tod deduçõe do PDMA root, convergirm mi ráido do que o olver d litertur utilizdo nete trblho. N mlh 56x56 d equçõe de Burger, o método PDMA-EN convergiu em 10,69% do temo neceário r o MI (melhor olver d litertur utilizdo), que or u vez convergiu em 11,94% do temo neceário r o olver ADI. Utilizndo-e o PDMA em conjunto, o temo comutcionl diminui conidervelmente: n mlh mi fin imuld r equçõe de Burger, o olver PDMA-EN-NW-W reolveu o roblem 34,3% mi ráido que o olver PDMA-EN. O olver PDMA-EN-NW foi 37,95% mi ráido que o PDMA-EN. 3 O uo do olver rooto nete trblho é mi ráido que o olver d litertur utilizdo. 4 Com be n Eq. (15), o exoente r tod verõe do PDMA roxim-e de 1,5. Ete vlor do exoente torn o olver dete trblho mi róximo do olver Gu-eidel com multigrid (no qul o exoente det curv e roxim de 1,0) e

7 7 melhor do que todo o outro olver d litertur tetdo nete trblho (que e roximm de,0). Lembrndo que r um memo exoente, diferenç de temo comutcionl e encontr no número de oerçõe neceári r o determindo olver. No entnto mudnç nete exoente e reflete em um comortmento diferente do temo de CPU, tornndo o olver mi ráido que o outro com o refino d mlh. Foi conttdo que r roblem com condiçõe de contorno diferente de Dirichlet (vlor conhecido no contorno) o olver não funcion, gerndo divião or zero em lgun onto d mlh. É oível, no entnto, utilizá-lo en r o interior do domínio e o contorno reolvido com Gu-eidel, det form o olver funcion m é mi recido com o olver trdicioni d litertur. Agrdecimento O utore grdecem o oio finnceiro do CNPq (Conelho Ncionl de Deenvolvimento Científico e Tecnológico) e CAPE (Coordenção de Aerfeiçomento de Peol de Nível uerior). O rimeiro utor é bolit d CAPE. O egundo utor é bolit do CNPq. Referênci [1]. C Chr e R. P. Cnle, Método Numérico r Engenhri, 5 Ed., McGr- Hill, ão Pulo (008). [] F. P. Incroer e D. P. DeWitt, Introduction to Het Trnfer, 3rd Ed., Wiley, Ne York (1996). [3] D. W. Pecemn nd H. H. Rchford, The Numericl olution of Prbolic nd Elitic Differentil Eqution, J. oc. Ind. Al. Mth, vol. 3, (1955). [4] G. chneider nd M. Zedn, A modified trongly imlicit rocedure for the numericl olution of field roblem. Numericl Het Trnfer, vol. 4, (1981). [5] T. M. hih, C. H. Tn nd B. C. Hng, Effect of Grid tggering on Numericl cheme, Int. J. Numer. Meth. Fluid, vol. 9, (1989). [6] R. uero, M. A.. Pinto, C. H. Mrchi, L. K. Arki e A. C. Alve, Otimizção do método multigrid lgébrico r equçõe bidimenioni de Llce e Poion, I Congreo Ncionl de Engenhri Mecânic, Príb, Bril (010). [7] H. K. erteeg nd W. Mlleker, An Introduction to Comuttionl Fluid Dynmic The Finite olume Method, Peron, Prentice Hll,. Ed, (007).