MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

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1 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Mestrdo Integrdo em Engenhri Físic Tecnológic Ano Lectivo: 2007/2008 Semestre: 1 o TCCC Exercícios [3] Considere um equção f(x) = 0 onde f : I R R é um função continumente Newton. [3b] Considere um equção f(x) = 0 onde f : I R R é um função continumente um progrm pr clculr um vlor proximdo d solução z usndo o método d secnte. [3c] Considere um equção f(x) = 0 onde f : I R R é um função continumente Steffensen. (Ver Bibliogrfi) [3d] Considere um equção f(x) = 0 onde f : I R R é um função continumente Muller. (Ver Bibliogrfi) [4] Considere um sistem de equções lineres Ax = b, onde A M d (R), A não singulr, e b R d são ddos, d 2. Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo d solução únic z deste sistem usndo o método de Jcobi modificdo. [4b] Considere um sistem de equções lineres Ax = b, onde A M d (R), A não singulr, e b R d são ddos, d 2. Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo d solução únic z deste sistem usndo o método de Guss-Seidel modificdo. [5] Considere um sistem de equções f(x) = 0 onde f : D R d R d, d 2, é um função contínumente diferenciável num vizinhnç de um solução z do sistem e tl que su mtriz Jcobin é invertível em z. Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo d solução z usndo o método de Newton generlizdo. Use o método de eliminção de Guss com pesquis prcil de pivot pr resolver o sistem liner que determin diferenç de dus iterds sucessivs do método de Newton.

2 2 [6] Sejm x 0, x 1,..., x N, N + 1 pontos distintos do intervlo [, b] e sejm f 0, f 1,..., f N os correspondentes vlores de um função f nesses pontos. (i) Escrev um progrm pr obter o polinómio interpoldor de f nos pontos ddos usndo fórmul interpoldor de Lgrnge. (ii) Escrev um progrm pr obter o polinómio interpoldor de f nos pontos ddos usndo fórmul interpoldor de Newton. [6b] Sejm x 0, x 1,..., x N, N +1 pontos distintos do intervlo [, b] e sejm f 0, f 1,..., f N os correspondentes vlores de um função f nesses pontos. Escrev um progrm pr obter função spline cúbic interpoldor nturl de f nos pontos ddos. Utilize o método de eliminção de Guss pr resolver o sistem liner com mtriz tridigonl que ocorre n determinção d spline. (Ver Bibliogrfi) [7] Sejm x 0, x 1,..., x N, N + 1 pontos distintos do intervlo [, b] e sejm f 0, f 1,..., f N os correspondentes vlores de um função f nesses pontos. Escrev um progrm pr obter o polinómio de gru menor ou igul n, sendo n N, que constitui melhor proximção mínimos qudrdos discret de f nos pontos ddos. Utilize o método de eliminção de Guss pr resolver o sistem norml. [8] Considere o integrl (i) Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Simpson compost com M sub-intervlos, onde M é um número pr. (ii) Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Guss-Legendre compost com M sub-intervlos e 2 nós de integrção por sub-intervlo. [8b] Considere o integrl (i) Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Newton-Cotes de ordem 4 compost com M sub-intervlos, onde M é um múltiplo de qutro. (ii) Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Guss-Legendre compost com M sub-intervlos e 3 nós de integrção por sub-intervlo.

3 3 [8c] Considere o integrl (i) Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Newton-Cotes de ordem 6 compost com M sub-intervlos, onde M é um múltiplo de seis. (ii) Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Guss-Legendre compost com M sub-intervlos e 4 nós de integrção por sub-intervlo. [8d] Considere o integrl Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Guss-Legendre com n + 1 nós de integrção. [8e] Considere o integrl Escrev um progrm pr clculr um vlor proximdo do integrl I(f) pel Fórmul de Simpson compost dpttiv. (Ver Bibliogrfi) [10] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Euler modificdo. [10b] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Heun.

4 4 [10c] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt clássico de 2 ordem. [10d] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt clássico de 3 ordem. [10e] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt-Heun de 3 ordem. [10f] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt-Nystrom de 3 ordem. [10g] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt clássico de 4 ordem.

5 5 [10h] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt-Gill de 4 ordem. [10i] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt-Fehlberg de 4 ordem. [10j] Considere o problem de vlor inicil onde f : D R R d R d, d 1, é um função contínu e Lipschitzin em relção à segund vríável e (x 0, Y 0 ) D. Escrev um progrm pr clculr um proximção d solução do problem pelo método de Runge-Kutt-Fehlberg dpttivo. (Ver Bibliogrfi) Bibliogrfi Método de Steffensen: Alves, 55-57; Burden & Fires, 84; Kincid & Cheney, 90; Pin, Método de Muller: Atkinson, 73-76; Burden & Fires, 92-95; Pin, Spline cúbic: Burden & Fires, ; Kincid & Cheney, ; Pin, Método de Simpson dpttivo: Atkinson, ; Burden & Fires, ; Crpentier, ; Pin, Método de Runge-Kutt-Fehlberg dpttivo: Atkinson, ; Burden & Fires, ; Kincid & Cheney, ; Pin, ALVES, C., Fundmentos de Análise Numéric I. ATKINSON, K., An Introduction to Numericl Anlysis. BURDEN, R.L. & FAIRES, J.D., Numericl Anlysis, 5 edição. CARPENTIER, M., Análise Numéric (Teori). KINCAID, D., & CHENEY, W., Numericl Anlysis: Mthemtics of Scientific Computing, 3 edição. PINA, H., Métodos Numéricos.