ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO COM A CONSIDERAÇÃO DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA MODELAGEM E METODOLOGIA DE APLICAÇÃO A PROJETOS

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1 ISSN ANÁLISE DE PAVIMENOS DE EDIFÍCIOS DE CONCREO ARMADO COM A CONSIDERAÇÃO DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA MODELAGEM E MEODOLOGIA DE APLICAÇÃO A PROJEOS Rchard Sarz Olvera 1 & Márco Roberto Slva Corrêa 2 Resumo O presente trabalho objetva colaborar na melhora dos procedmentos destnados à aplcação dos modelos não-lneares ao dmensonamento estrutural. Os estudos desenvolvdos estão ddatcamente dvddos em duas áreas do conhecmento. Na prmera delas, dedcada às les consttutvas que representam os materas aço e concreto, são estudadas as possíves abordagens da não-lneardade físca, e desenvolvdos modelos un e baxas destnados à análse do Estado Lmte Últmo, bem como dos Estados Lmtes de Servço de abertura de fssuras, e de deformação ao longo do tempo. Na segunda parte, voltada ao dmensonamento de elementos de pavmentos de edfícos, são apresentadas e dscutdas as metodologas atualmente empregadas. O método sem-probablístco é analsado quanto à sua aplcabldade e, ao fnal, uma proposta orgnal é apresentada. Em seguda, o método do coefcente global de segurança é apresentado com maor ênfase, destacando-se os seus pontos favoráves e desfavoráves. São apresentados estudos orgnas envolvendo o comportamento do coefcente global de segurança sob dversas solctações de projeto. Palavras-chave: concreto armado; não-lneardade físca; elementos fntos. 1 INRODUÇÃO O meo centífco tem desenvolvdo, no decorrer dos últmos tempos, mportantes ferramentas para o processamento da análse não-lnear de elementos estruturas de concreto armado. Em contrapartda, a exploração dessas teoras no campo prátco, notadamente no dmensonamento de estruturas correntes (como, por exemplo, um pavmento de edfíco), encontra-se pouco explorada. Da mesma forma os códgos modelo, responsáves pela normalzação do cálculo estrutural, não dspõem anda de procedmentos seguros que auxlem o dmensonamento consderando-se o comportamento não-lnear dos materas. 1 Doutor em Engenhara de Estruturas - EESC-USP, rsarz@sc.usp.br 2 Professor do Departamento de Engenhara de Estruturas da EESC-USP, mcorrea@sc.usp.br Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

2 78 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa 2 ASPECOS SOBRE A FORMULAÇÃO DOS ELEMENOS 2.1 Elemento fnto de barra Neste trabalho são empregados os elementos fntos de barra de Euler com ses graus de lberdade (gdl) por nó na representação dos elementos estruturas lneares de pórtco trdmensonal, como mostrado na Fgura 2.1. Fgura Elemento de barra de pórtco trdmensonal - coordenadas locas. onde: u x, u y, u z - translações segundo os exos x, y e z, respectvamente; θ x, θ y, θ z - rotações em torno dos exos x, y e z respectvamente; x - coordenada genérca no domíno do elemento; l - comprmento do elemento fnto. Os elementos são dotados de campos de deslocamentos transversas (u y e u z ) cúbcos, e longtudnas (u x ) lneares em seu domíno: ux( x) = a1 + a2 x (2.1) uy x b b x 2 b x b4 x (2.2) uz ( x ) = c1 + c2x + c3x + c4 x 2 3 (2.3) As rotações θ x são descrtas através de um campo lnear no domíno do elemento, e as demas são dependentes das dervadas dos deslocamentos transversas: θ x (x) = d 1 + d 2 x (2.4) θ y (x) = c c 3 x + 3.c 4 x 2 (2.5) θ z (x) = b b 3 x + 3.b 4 x 2 (2.6) 2.2 Modelos aplcados à análse de vgas Os modelos descrtos a segur são ambos aplcáves às vgas usuas de pavmento, ou seja, vgas de seção transversal retangular, e tê (). Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

3 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Seção transversal não estratfcada Esse modelo aborda o comportamento mecânco do elemento segundo relações entre o esforço nterno de momento fletor e a curvatura. A matrz de rgdez [k ], e os vetores de forças nodas equvalentes f e de forças nternas f, são: ext [ ] = [ B ] [ C ][ B ] dv = [ B ] E.I[ B ]. V l k dx (2.7) ext ext { } { } f + [ N ] { b } dv + [ N ] { p } 0 f = concentrada, ds (2.8) V S l nt { } = ([ B ] { σ }) [ B ] { M }. = f dx (2.9) V 0 onde: E - módulo de deformação longtudnal; I - momento de nérca; {M } - campo de esforço nterno de momento fletor do elemento. nt Seção transversal estratfcada Permte a aplcação de modelos consttutvos ndvdualzados à representação dos materas e das sua nter-relações de nteração (Fgura 2.2). Fgura Elemento de vga estratfcado; dagrama de deformações normas. A ntegral de volume que orgna a matrz de rgdez é desmembrada em uma ntegral no comprmento sobre um somatóro dscreto da contrbução de cada uma das camadas na rgdez da seção transversal. As propredades físcas e mecâncas das camadas são constantes ao longo da largura do elemento. l m j [ k ] [ B ] [ C ][ B ] dv = ([ B ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ]) b. dx V = (2.10) 0 onde: b = b w, b f - largura da alma e da mesa da vga, respectvamente; j { Z } = { 1 z 0 0} ; j= 1 Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

4 80 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa Os vetores são expressos como: l m nt { } [ ] { } j = B σ dv = [ B ] { Z } { σ } f dx (2.11) V 0 j= 1 l ext ext { } = { f } + b. [ N ].{ p }. conc, f dx (2.12) Modelos aplcados à análse de plares A modelagem dos plares submetdos à flexão oblíqua composta pode se dar através de modelos não-estratfcados, segundo dagramas de nteração momentonormal-curvatura (EL-MEWALLY; EL-SHAHHA; CHEN (1989)). Outra possbldade, mplementada neste trabalho, emprega a estratfcação smultânea da seção transversal segundo suas dreções prncpas (ASSAN (1990)) Seção transversal flamentada A Fgura 2.3 lustra uma seção transversal flamentada típca. Fgura Elemento de plar flamentado; dagrama de tensões normas. Matrz de rgdez de um flamento de concreto j,k [ ] [ B ] [ C ][ B ] dv [ B ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ] = = V l k dx (2.13) onde: { Z } { z jk, y jk, = 1 0 } jk, y jk,, z ; 0 - coordenadas y e z do ponto médo do flamento j,k. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

5 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Matrz de rgdez de um flamento de aço l fs s [ ] [ B ] [ C ][ B ] dv [ B ] [ C ][ B ] k dx (2.14) = = V l l 1 z 0 y 2 l l 0 yz C ( ) l l l l y yz 0 y l l s l l onde: [ ] z ( ) = z E A 0 Do mesmo modo, escreve-se o vetor de forças nternas do elemento: l m j m l k ms nt j,k j,k s l { } = [ B ] { σ } dv = [ B ] { Z } { σ } + [ B ] [ C ] { σ } V 0 f (2.15) j= 1 k= 1 0 l= Elemento fnto de placa delgada 3AF Neste trabalho são empregados os elementos 3AF (Fgura 2.4) de formulação lvre, anterormente mplementados por CORRÊA (1991). Fgura Elementos trangular 3AF, e quadrlateral - coordenadas locas. O campo dos deslocamentos transversas u z é cúbco, e composto por um conjunto de modos báscos alado a modos superores. [ ]{ } [ ]{ } u = N α + N α (2.16) z rc rc h h onde: u z - campo dos deslocamentos transversas no domíno do elemento; [ N rc ] = [ ξ1 ξ2 ξ3 ξ1ξ2 ξ2ξ3 ξ3ξ1 ] - polnômo completo até o grau que corresponde aos modos rígdos e de deformação constante; N h = ξξ 1 2 ξ1 ξ2 ξ2ξ3 ξ2 ξ3 ξ3ξ1 ξ3 ξ1 - modos superores; [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) { αrc},{ αh} - coefcentes assocados; ξ - coordenadas homogêneas de área Seção transversal não estratfcada O modelo de momento fletor por curvatura aplcado ao elemento de placa apresenta as mesmas característcas já comentadas no tem referente à barra. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

6 82 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa A matrz de rgdez generalzada [ k α, ] de um elemento fnto, consste em utlzarem-se modos báscos completos ([ k α rc, ] = [ Brc ] [ C][ Brc ]dv ) em conjunto com modos superores ([ k α h, ] = [ Bh ] [ C][ Bh ]dv [ ] V [ k ] [ ] αrc, PrcG h [ G P ] [ k ] V ) lnearmente ndependentes: k α, = (2.17) h rc αh, onde: [ h ] [ rc rc ] [ ][ h ] G P = B C B dv - submatrz de rgdez que acopla o modo básco ao V [P rc ] = [ ku][ Grc],. superor. Para o elemento 3AF, essa matrz apresenta coefcentes nulos devdo à mposção da ortogonaldade em força (CORRÊA (1991)); Seção transversal estratfcada A Fgura 2.5 lustra um elemento genérco de concreto armado estratfcado. Fgura Elemento de placa estratfcado; dagrama de tensões normas. Os concetos apresentados neste tem consttuem uma pequena ntrodução ao assunto. Maores esclarecmentos sobre as formulações apresentadas podem ser encontrados em CORRÊA (1991). 3 ÓPICOS SOBRE AS IMPLEMENAÇÕES Neste tem são apresentados os modelos efetvamente mplementados, bem como os aspectos relevantes dessas mplementações no sstema computaconal para ANálSe de Estruturas Retculadas (ANSER). Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

7 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Modelos para as vgas Para a análse das vgas, foram mplementados os modelos não-estratfcados propostos pelo CEB-FIP MC90, e por CORRÊA (1991), além do modelo estratfcado. 3.2 Modelos para os plares Para a análse dos plares utlza-se a seção transversal flamentada. Além dos modelos consttutvos para o aço e o concreto (Fgura 3.1), são também ncorporados os modelos de aderênca, e os efetos do tempo sobre o comportamento. Fgura Modelos consttutvos unaxas para o concreto e o aço. onde: f y - resstênca de escoamento do aço à tração; ε y = f y /E s - deformação específca de escoamento do aço; E s - módulo de deformação longtudnal do aço. Os parâmetros dos modelos podem ser calculados pelo CEB-FIP MC90, ou mesmo pela NBR-6118, de acordo com a classe de resstênca de cada materal (abela 3.1). Já os parâmetros do modelo de dano não são relaconáves à resstênca característca do concreto e, por esse motvo, devem ser obtdos expermentalmente. É de extrema mportânca para a análse de estruturas de concreto armado o correto posconamento da lnha neutra na seção transversal com o progresso do carregamento. Exstem pelo menos duas formas para a abordagem do problema, exemplfcadas a segur para o caso de um elemento de vga submetdo à flexão smples, na 1 a teração do 1 o ncremento de um carregamento externo que lhe mpõe um estado curvaturas. A cada um dos pontos de ntegração ou, smplesmente PGs, deverá corresponder um valor de curvatura, e um estado de deformações assocado. Admtndose, ncalmente, que a lnha neutra corte a seção transversal na metade da sua altura geométrca (Fgura 3.2), e empregando os modelos consttutvos dos materas, determnam-se as tensões e as forças nternas correspondentes a cada PG. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

8 84 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa abela Valores dos parâmetros do concreto e do aço. Parâmetro CEB-FIP Model Code 1990 NBR-6118 ε c1 0,0022 0,0020 ε cu σ c = 0,5.f c no dagrama do CEB-90 não consta ε m 0,0020 não consta f c =f cm f ck + Δf (com Δf 8MPa) f ck + Δf (com Δf 3,5 MPa) f t =f ctm 2 030,.( fck ) 3 ( MPa) k f ck. para fck 18MPa 10 k. ( 006,. fck + 07, ) para fck > 18MPa 12, sec. re tangular k = 15, sec. " " f E c 4 cm 215, x10 ( MPa) f 3, 5 ( MPa) E c1 f cm 0, 0022 ck + f cm (não consta) 0, 0020 f y f yk (sugestão deste autor) f yk (sugestão deste autor) E s MPa MPa α 05, α 07, não consta Fgura Estados de deformação, tensão e forças (1 a teração do 1 o ncremento). Esse vetor de forças nternas {N, M }, comparado ao vetor das forças externas {N e, M e }, resulta em um vetor de resíduos Ψ={ΔN, ΔM} composto por força normal e momento fletor, já que a força cortante é obtda pelo equlíbro dos momentos fletores. Como se trata de flexão smples (N=0), o resíduo de normal nos dos PGs deve ser anulado através de um dos procedmentos a segur (Fgura 3.3): a prmera alternatva, consste em manter a curvatura obtda para a teração em função do estado de deslocamentos, e movmentar a LN para até que seja satsfeta a condção de N =0 (uma vez que N e =0). Estabelecda essa condção calcula-se, para a posção atualzada da LN, o vetor de forças nternas e o respectvo vetor resíduo Ψ={ΔM} (pos ΔN=0). Obedecendo a esse procedmento são acertadas, ndependentemente, as posções das lnhas neutras nos dos PGs; Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

9 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade a segunda é mas smples, e consste na reaplcação do vetor resíduo Ψ={ΔN, ΔM} à estrutura. Desse modo, a própra parcela do resíduo referente à normal (ΔN) fca responsável pelo reposconamento da LN na seção transversal. Fgura Ilustração do vetor resíduo sobre o domíno da barra. A prmera apresenta convergênca com um menor número de terações (cerca de 70%) em relação à segunda. No entanto, a sua aplcação à casos de flexão composta (N 0) se torna mas complexa devdo à nclnação da LN com os exos prncpas de nérca da seção transversal. A segunda alternatva é mas smples de ser mplementada, porém apresenta convergênca com maor número de terações comparatvamente à prmera alternatva. A utlzação de um campo de deslocamentos longtudnas lnear para o elemento fnto gera um campo constante de forças normas. Desse modo, ao se realzarem as ntegrações das tensões normas no domíno do elemento segundo os dos PGs, chega-se a um resíduo de normal equvalente à méda obtda nos dos PGs. 1 l l N N N + N ΔN = [ B ] { σ } dv = { ΔN1 ΔN 2} = V 0 l 2 (3.1) Esse valor médo, no entanto, é maor, em módulo, que o resíduo verfcado no PG menos solctado (Fgura 3.3), o que na prátca deve provocar um novo resíduo nessa seção transversal, de snal contráro ao anteror. Sucessvamente, para o PG menos solctado, há a nversão do snal do resíduo a cada teração, mas sempre convergndo para a solução. Por outro lado, sendo o valor médo menor, em módulo, que o resíduo observado no PG mas solctado, o mesmo torna-se nsufcente para colocar a LN em uma posção capaz de anular o resíduo de normal nessa seção. Esse PG mas solctado apresenta uma convergênca monotônca para a LN, já que não ocorre a nversão de snal do resíduo para essa seção transversal. Por esse motvo, a convergênca para o elemento e para a própra estrutura torna-se mas dspendosa em termos do número de terações comparatvamente à prmera alternatva Atualzação da matrz de rgdez A análse dos elementos lneares de concreto armado pode ser efetuada de acordo com três procedmentos de solução: matrz de rgdez ncal, método de Newton-Raphson, ou Newton-Raphson modfcado. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

10 86 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa 3.3 Modelos para as lajes No campo dos momentos fletores e das curvaturas foram mplementados os modelos propostos pelo CEB-FIP MC90 e por CORRÊA (1991), adotando o momento equvalente de von Mses ( M eq =.( M x + M y M x.m y ) + 2. M xy ). 3 Doravante, especal destaque é dado à mplementação do modelo estratfcado. As armaduras longtudnas estão submetdas exclusvamente à ação de tensões normas e, como no caso das vgas, respondem à relação consttutva elastoplástca perfeta. As camadas de concreto smples têm o comportamento mecânco regdo por um modelo msto. Para os estados de compressão baxal, aplca-se o crtéro de von Mses, que apresenta resultados bastante razoáves na representação desse comportamento. Para os estados envolvendo a tração, emprega-se o modelo de fssuração dspersa fxa, montorado pelo crtéro de Rankne, responsável pelo cut-off da superfíce de von Mses (Fgura 3.4). A superfíce elástca do crtéro de von Mses (superfíce 1) pode ser adotada no lmte de 30% da resstênca à ruptura (f c ). O encruamento é do tpo postvo sótropo, estabelecdo em função da deformação plástca equvalente (stran-hardenng), e a evolução (encruamento) das superfíces de carregamento até o lmte da ruptura é regda pela parábola de Madrd. A regra da normaldade do vetor fluxo plástco, na qual r( { σ},{ q} ) = fσ, é aqu adotada para o encruamento das duas superfíces. Sua aplcabldade é mas ndcada a materas que não apresentem varação volumétrca com a plastfcação, como é o caso do aço anterormente à ruptura. No entanto, o emprego dessa regra à descrção do comportamento do concreto tem proporconado bons resultados (CHEN;CHEN(1975)). Fgura Superfíces do modelo mplementado: von Mses e Rankne Atualzação da matrz de rgdez (von Mses) A parcela da atualzação da matrz de rgdez referente às camadas de concreto que satsfazem ao crtéro de von Mses é obtda através da matrz elástca tangente modfcada. d d {} σ {} ε = [ Ξ] () γ ([ Ξ] j+ 1()[ γ P]{ σ} j+ 1 )[ Ξ] j+ 1( γ)[ P]{ σ} j+ {} σ [ P][ Ξ] j+ 1()[ γ P]{} σ + j+ 1 ( ) j+ 1 j+ 1 j+ 1 j+ 1 β 1 (3.2) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

11 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade β e θ 2 = 1 k j+ 1. γ (para k varável). 3 + = k σ P σ 3θ 2 onde: j 1 ( j+ 1 ){} j+ 1[ ]{} j Aspectos sobre a formulação da superfíce de Rankne A superfíce elástca de Rankne (superfíce 2) é defnda pela resstênca à tração do concreto (f t ). FEENSRA;DE BORS (1995) trazem a formulação completa para o crtéro de Rankne, nclundo o amolecmento a partr da superfíce de ruptura. No entanto, este trabalho apresenta um enfoque pecular à análse das camadas de concreto submetdas a estados de tração. Admta-se uma camada de concreto solctada por um determnado estado plano de tensões que gerem, pelo menos, uma tensão prncpal postva superor ao lmte de ruptura f t, promovendo o surgmento de uma ou mas fraturas do tpo I. Nessas condções, de acordo com a teora de fssuras dspersas, a placa de concreto perde as característcas de comportamento bdmensonal acoplado (pos ν 0), e passa a se comportar ndependentemente nas duas dreções prncpas. O comportamento mecânco segundo essas dreções passa a ser governado por relações unaxas. Esse comportamento pós-fssuração também é prevsto por autores cujos trabalhos estão lgados estrtamente ao projeto de lajes de concreto armado. Além da hpótese de desacoplamento do comportamento baxal apresentada no parágrafo anteror, observa-se que a superfíce de Rankne é delmtada paralelamente aos exos prncpas. Pela regra da normaldade, então, o retorno de um estado de tentatva elástca à superfíce de carregamento se dá paralelamente a um desses exos. No caso de o estado de tentatva exceder o lmte f t nas duas dreções prncpas, o retorno se dara ao vértce da superfíce de carregamento, o que está de acordo com o proposto por FEENSRA;DE BORS (1995), com base na generalzação de KOIER (1953) 3 apud PROENÇA(1988) para a abordagem do escoamento de pontos com dervada ndefnda (Fgura 3.5). Fgura Retornos à superfíce de Rankne (FEENSRA;DE BORS(1995)). A curva de amolecmento adotada para a superfíce de Rankne é dêntca à do modelo unaxal (Fgura 3.1). No entanto essa curva deve agora ser calbrada com base no conceto de energa de fratura. O comprmento equvalente h eq é calculado de acordo com o proposto por FEENSRA;DE BORS (1996): 3 KOIER,W..(1953). Stress-stran relatons, unqueness and varatonal theorems for elastc-plastc materals wth a sngular yeld surface. Q. Appl. Math. n. 11, p apud PROENÇA(1988). Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

12 88 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa h = α h. A (3.3) eq onde: 2 para elementos com campos lneares α = 1 para elementos com campos quadrat cos A - área do elemento fnto. h ; A energa de fratura G f utlzada para calcular os parâmetros da curva de amolecmento são os sugerdos pelo CEB-FIP MC90 (abela 3.2) de acordo com a classe do concreto e o dâmetro máxmo do agregado graúdo. abela Energa de fratura G f (N.m/m 2 ). tamanho máxmo do agregado classes do concreto (mm) C12 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C Cabe observar que a determnação do comprmento equvalente através da expressão 3.3 amenza, mas não resolve o problema da dependênca de malha. Os autores advertem que a expressão tem proporconado bons resultados para malhas consderadas usuas, o que não é garantdo para um refnamento qualquer. Para a análse do vértce entre as duas superfíces, cujas característcas são smlares às do vértce da superfíce de Rankne, é aplcada a generalzação proposta por Koter. Como resultado, o retorno de um estado de tentatva ncal pertencente à regão delmtada pelos versores normas às duas superfíces concorrentes (Fgura 3.6) se dá ndretamente ao vértce. Prmero, há uma projeção ntermedára do estado de tentatva {σ} t sobre a bssetrz do ângulo formado pelas dreções dos vetores de fluxo plástco das duas superfíces naquele ponto. Em seguda, esse estado ntermedáro retorna ao vértce das superfíces de carregamento. Fgura Procedmentos de retorno às superfíces - caso do vértce. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

13 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Atualzação da matrz de rgdez (Rankne) Por ocasão da fssuração, o concreto passa a apresentar ortotropa, cuja orentação concde com a dos exos prncpas (1 e 2). A cada um dos exos estão relaconados valores tangentes dos módulos de deformação do concreto (E,1, E,2 e β cr.g,12 ), obtdos da análse unaxal de cada dreção prncpal soladamente (lembrando que, neste caso, ν 0). O ponderador β cr contempla a contrbução do engrenamento dos agregados na transmssão da tensão de csalhamento na fssura. C ep C = 12 0 C22 0 (3.4) 0 0 C33 [ ] ep A matrz de rgdez é atualzada através da matrz [ C] xy relaconada ao sstema de exos prncpas da segunte forma: onde: [ ] ep ep [ C] [ ] [ C] [ ] devdamente xy = 12 (3.5) 2 ( α) 2 sen ( α) sen( α) cos( α) 2 ( α) 2 cos ( α) sen( α) cos( α) ( α) cos( α) 2.sen( α) cos( α) 2 2 cos ( α) sen ( α) cos ( ) = sen ; 2.sen α - ângulo formado entre o exo prncpal 1 e o exo x (>0 se ant-horáro). 4 CONSIDERAÇÃO DOS EFEIOS NO EMPO O objetvo deste tem é a formulação de um modelo smples, mas sufcentemente precso para a análse dos esforços, deslocamentos, tensões e deformações de uma estrutura ao fnal de um determnado período de tempo. O fenômeno básco para a apresentação das formulações é a fluênca à compressão manfestada desde um nstante ncal t 0, ao nstante de nteresse t (t=t 0 +Δt). Nos respectvos nstantes, não havendo restrções às deformações específcas do concreto, as deformações podem ser escrtas como: σ ε (4.1) c ( t 0 ) = E c ( t 0 ) () t = ε ( t ) + ε ( t, t ) c ε (4.2) c c 0 onde: ε c ( t 0 ) - deformação nstantânea em t 0 ; ε c () t - deformação no nstante t; ( t 0, t) cc 0 ε - fluênca específca do concreto entre t 0 e t; cc σ c - tensão de compressão no concreto (constante entre t 0 e t); E c ( t 0 ) - módulo de deformação longtudnal do concreto em t 0. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

14 90 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa A deformação do concreto no nstante t também pode ser defnda como a superposção da fluênca ocorrda entre t 0 e t com a deformação ncal em t 0, empregando-se o coefcente de fluênca: onde: ( t 0, t) c () t = ε ( t ).1 [ + ϕ( t, t )] ε (4.3) c 0 0 ϕ - relação entre a deformação por fluênca e a deformação ncal. A mplementação dos efetos do tempo tem como base os parâmetros do modelo de fluênca proposto pelo CEB-FIP MC Fluênca Retomando a expressão 4.3, a hpótese para o nstante t 0 =28 das, leva a um coefcente de fluênca ( ϕ 28 ) calculado pelo CEB-FIP MC90 como: ( t, t) = ϕ β ( t ) ϕ (4.4) c t 0 onde: = ϕ. β( f ). β( ) ϕ ; 0 UR cj t 0 UR 1 ϕ UR = ; 1 0,215. ( h 0 )3 16,8 β ( f cj ) = ; f cj 1 β ( t 0 ) = ; 0,1 + ( t ) 0, 2 0f t - dade ncal fctíca; f cj - resstênca méda do concreto à compressão, prevsta para os j das; h 0 - espessura fctíca da peça Aplcação aos elementos lneares A metodologa empregada neste trabalho basea-se na decalagem do dagrama tensão-deformação do concreto entre os nstantes t 0 e t. Com a hpótese da ndependênca entre o coefcente de fluênca (ϕ) e a respectva tensão no concreto (σ c ), FUSCO,P.B.(1981) sugere que, por efeto da fluênca, o dagrama tensão-deformação do concreto deva sofrer uma transformação afm, de razão ϕ, paralelamente ao exo de ε c (Fgura 4.1). Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

15 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Fgura Influênca da fluênca sobre o modelo do concreto Aplcação aos elementos de placa Para a análse dos elementos de placa submetdos aos efetos da fluênca, foram mantdas as mesmas premssas adotadas para os elementos lneares. As relações consttutvas que exprmem os comportamentos típcos de estado plano (tração-tração, tração-compressão e compressão-compressão), têm apenas alterada a rgdez no que concerne ao módulo de deformação longtudnal. Os estados desacoplados (tração+tração e tração+compressão) seguem as mesmas les consttutvas unaxas apresentadas no tem ASPECOS SOBRE O DIMENSIONAMENO 5.1 Introdução O dmensonamento de estruturas empregando-se modelos consttutvos mas representatvos para os materas tem sdo, nos últmos anos, objeto de grande nteresse dentre os órgãos nternaconas de regulamentação. De acordo com o CEB: Bulletn d Informaton n o 227,... dados teórcos e expermentas atualmente demonstram que a hpótese da análse elástco-lnear pode se apresentar tanto a favor como contra a segurança. Esse aspecto é nacetável para a execução de um projeto seguro e econômco. O objetvo desta parte do trabalho é o de apresentar o estado da arte da análse não-lnear físca aplcada ao projeto de estruturas, descrevendo as prncpas metodologas cujo emprego ao dmensonamento tem sdo estudado. Ao fnal, são apresentados exemplos prátcos envolvendo estruturas solados. 5.2 Métodos dsponíves Atualmente, são duas as correntes de pensamento que fundamentam as metodologas atualmente em pauta. A prmera delas, lderada pelo pesqusador Gorgo Macch, defende a contnudade do método sem-probablístco, apesar de não descartar a necessdade de algumas adaptações necessáras. A segunda, tendo à frente Gert Köng e Josef Ebl, adota uma postura revoluconára, e defende o conceto de um coefcente de segurança global relatvo aos materas. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

16 92 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa Método sem-probablístco Os aspectos que dfcultam a aplcação e, de certo modo, o entendmento da lógca mplícta no método, estão relatados a segur Composção do carregamento Uma prmera possbldade de consderação do carregamento surge da analoga com a análse de estruturas consderando-se a não-lneardade geométrca (NLG), onde é comum o partconamento de γ f (Fgura 5.1). Fgura Aspecto da majoração do esforço parcal de projeto (M d,parcal ). Aplcado à análse de estruturas cujos comportamentos atendam a uma le consttutva lmtada por um valor últmo, esse procedmento pode levar ao estado lustrado na Fgura 5.1. Supondo que, ao fnal da análse a seção esteja submetda a um esforço sufcentemente próxmo a M u, tal que a pós multplcação desse esforço por γ f3 possa conduzr a M>M u, sgnfca admtr que a capacdade resstente pré-estabelecda para a seção é ncompatível com o valor do carregamento aplcado. Esse problema, já observado por OLIVEIRA (1997), gera um procedmento teratvo na busca da convergênca entre o momento fletor de projeto (M d ), e o valor da capacdade últma resstente arbtrada para a seção transversal (M d,u ). A opção mas plausível, então, parece ser a aplcação do carregamento total de projeto (majorado por γ f ) para a obtenção dos esforços, o que elmnara o problema da possível superação de M d,u Valores para as propredades dos materas Valores característcos, ou de projeto, envolvem aspectos probablístcos lgados à segurança da estrutura no ELU, e por sso não exprmem o comportamento em servço esperado. No ELU, no entanto, de acordo com o método sem-probablístco, as característcas mecâncas dos materas devem ser mnoradas pelos coefcentes de segurança. Isso pode levar, na maora dos casos, ao mesmo problema assnalado na Fgura 5.2 pos, ao fnal da análse respetando-se os valores dos esforços obtdos com as propredades médas dos materas, estes devem ser mnorados pelos coefcentes de segurança. Por outro lado, a adoção das propredades de projeto dos materas em toda a estrutura pode conduzr a resultados pouco confáves e fscamente dstorcdos, uma vez que a análse contemplara uma estrutura mas deformável que a estrutura real, prejudcando o aspecto da redstrbução de esforços. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

17 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Fgura Aspecto da mnoração do esforço característco (M k ) Propostas para o dmensonamento Ao defnr as propredades de projeto do concreto altera-se, além da capacdade resstente teórca (f ck f cd ), também a relação consttutva do materal. Isso nvablza a caracterzação de uma relação consttutva que seja capaz de ambos: representar coerentemente as redstrbuções de esforços (de acordo com as propredades médas), e anda estar lmtada a um valor convenconal (f cd ). A defnção de uma relação consttutva para o aço é menos confltante, haja vsto a nvarabldade (mesmo que convenconal) de seu módulo de deformação longtudnal (E s ) com a resstênca ao escoamento (Fgura 5.3). Fgura Dagrama tensão-deformação para o aço CA-50ª Proposta de alteração da rgdez ncal Essa proposta, apresentada por CÂMARA et al. (1994) e depos adotada por SANOS (1997) mantém, para o aço, o valor de projeto convenconal obtdo com γ s =1,15, mas promove uma modfcação da le consttutva do concreto. O módulo de elastcdade, calculado na orgem com base no valor médo da resstênca, é afetado por um fator γ c =1,20 como preconza o CEB-FIP MC90 consoante à determnação dos deslocamentos. A tensão de ruptura é a de projeto convenconal (f cd =f ck / γ c, com γ c =1,50), como mostra a Fgura 5.4 devdamente adaptada ao γ c =1,40. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

18 94 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa Proposta da lmtação da tensão máxma Neste trabalho, propõe-se a composção de duas relações consttutvas, ou seja, uma le baseada no valor médo de resstênca até que seja atngda a tensão de projeto (f cd ). Em seguda, a curva tensão-deformação segundo os valores médos é substtuída por uma relação elastoplástca perfeta lmtada (Fgura 5.4). 4,0 3,5 3,0 CEB-FIP MC90 - val. médos CEB-FIP MC90 - val. de projeto proposta deste trabalho SANOS (1997) 2,5 2,0 1,5 tensão (kn/cm 2 ) 1,0 0,5 deform ação 0,0 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 Fgura Dagramas para o concreto C-30 (CEB-FIP MC90) Método dos coefcentes globas A proposta de emprego do método dos coefcentes globas tem o objetvo, segundo o texto do CEB: Bulletn d Informaton n o 239, de estabelecer uma metodologa consstente que seja aplcável a todo tpo de modelo ou de estrutura. O conceto de coefcente global (γ gl ) doravante empregado quer referr-se apenas à parcela da segurança relatva à resstênca da estrutura, de modo que: (.Q + γ.g) R γ q g (5.1) γ gl onde: R é a capacdade resstente da estrutura empregando-se as propredades médas dos materas. A maor dscussão quanto ao emprego do método restrnge-se à defnção do valor do coefcente global a ser empregado. Se as propredades médas dos materas forem defndas smplfcadamente como: f f cm ym = 1,1.f = 1,1.f ck yk (5.2) pode-se mostrar que o γ gl para uma seção transversal de concreto armado stua-se, aproxmadamente, entre 1,265 (quando a ruptura se dá pela armadura de flexão) e 1,650 (quando a ruptura se dá pelo concreto), se for empregado γ c =1,5. No entanto, quando a Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

19 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade ruptura da seção se dá pela concomtânca dos dos modos, não exste uma descrção para o coefcente (Fgura 5.5). M pl/m pl,d 1,650 1,265? ρ ruptura pelo aço ruptura pelo concreto Fgura Dagrama dealzado para o γ gl esperado para uma estrutura de concreto armado submetda à flexão. Carregamento proporconal. onde: M pl momento de plastfcação obtdo com os valores médos dos materas; M pl,d momento de plastfcação obtdo com as propredades de projeto. Esses valores, apresentados por EIBL;SCHMID-HURIENNE (1997), também podem ser caracterzados analtcamente: aço concreto f yk f ck f yd = ; f ym = 1,10. f yk f cd = ; f cm = 1,10. f ck (5.3) 1,15 1,5 f ym f cm onde: = 1,10.1,15 = 1, 265 = 1,10.1,5 = 1, 650 f f yd De um modo geral, as vgas são projetadas para um ELU defndo pela deformação excessva das armaduras de flexão, enquanto que os plares, preferencalmente, pelo esmagamento do concreto. Nessa lnha de racocíno, LOURENÇO et al. (1992) propõem uma análse global segmentada, de acordo com o modo de ruptura: γ gl = 1,5 se a ruptura for pelo concreto (1,5 pos os autores propõem f cm =f ck ), e γ gl = 1,15 para a ruptura por deformação excessva da armadura. A solução encontrada pelos membros do CEB ask Group 2.1 Non-lnear desgn methods and safety concepts, e sobre a qual pesam as maores crítcas, fo a de adaptar o valor da resstênca méda do concreto (f cm ) de acordo com pesqusas fnalzadas e em andamento na Unversdade de Lepzg (KÖNIG et al. (1997) 4 apud CEB: Bulletn d Informaton n o 239). Segundo os autores, o valor da resstênca méda do concreto, meddo n-stu é de 0,85 do respectvo valor característco meddo em laboratóro. f cm = 0,85. f ck (5.4) Uma vez aceta a valdade da relação 5.4, os coefcentes referdos a ambos os tpos de ruptura passam a ser bastante próxmos e, para efeto prátco, guas a 1,27. aço concreto cd 4 KÖNIG,G.;SHOUKOV,D.;JUNGWIRH,F.(1997). Schere beton producton für stahlbetontragwerke, Intermedate report 2, March. apud CEB: Bulletn d Informaton n o 239. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

20 96 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa f f = 1,15 f = (5.5) 1,5 yk ck yd = ; f ym 1,10. f yk f cd ; f cm = 0,85. f ck f ym f cm onde: = 1,10.1,15 = 1, 265 = 0,85.1,5 = 1, 275 f f yd A adaptação do método aos coefcentes ndcados pelos códgos de normalzação brasleros é apresentada a segur. O coefcente de segurança aplcado ao aço é γ s =1,15. O coefcente aplcado ao concreto, de acordo com a NBR-8681/84 deve valer γ c =1,4, o que leva a um valor de ruptura pelo concreto de: f f cm cd = 0,85.1,4 = 1,19 (5.6) Se o objetvo fnal é o de manter fxo o coefcente de segurança, quer seja a ruptura pelo concreto ou pelo aço, deve-se agora alterar o valor médo para o escoamento do aço, de modo a se obter um coefcente de 1,19. 1,19 f ym =.f ck = 1,035. f ck (5.7) 1,15 A segur, são realzadas uma sére de aferções com o objetvo de explorar melhor as respostas mecâncas de seções transversas, agora empregando-se γ c =1,4. A ampltude dos estudos constam da abela 5.3, e os resultados apresentados, convém ressaltar, dão apenas um ndcatvo sobre o comportamento estrutural. abela Resumo dos casos analsados com γ c =1,4. cd Os resultados obtdos são apresentados nas fguras a segur. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

21 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade ,200 1,190 sem armadura de compressão 1,180 1,170 1,160 Mpl / Mpl,d 1,150 1,140 1,130 1,120 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,110 1,100 1,090 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FSr-01 a FSr-07. 1,20 1,19 armadura de compressão (porta estrbos: 2 φ 6,3 mm): ρ' = 0,05% 1,18 1,17 1,16 Mpl / Mpl,d 1,15 1,14 1,13 1,12 1,11 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,10 1,09 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FSr-08 a FSr-14. 1,20 1,19 armadura de compressão: ρ' = 0,25 % 1,18 1,17 1,16 Mpl / Mpl,d 1,15 1,14 1,13 1,12 C-20 C-25 C-30 1,11 C-35 C-40 1,10 C-45 C-50 1,09 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FSr-15 a FSr-21. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

22 98 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa 1,20 1,19 armadura de compressão: ρ' = 0,50 % 1,18 Mpl / Mpl,d 1,17 1,16 1,15 1,14 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,13 1,12 1,11 1,10 1,09 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FSr-22 a FSr-28. 1,20 sem armadura de compressão 1,19 1,18 Mpl / Mpl,d 1,17 1,16 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,15 1,14 1,13 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FSt-01 a FSt-07. 1,20 armadura de compressão mínma: ρ'=0,100 a 0,197% 1,19 1,18 Mpl / Mpl,d 1,17 1,16 1,15 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,14 1,13 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FSt-08 a FSt-14. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

23 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade ,20 armadura de compressão: ρ'=0,50% 1,19 Mpl / Mpl,d 1,18 1,17 1,16 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,15 1,14 1,13 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FSt-15 a FSt-21. 1,20 armadura smétrca: ρ' = ρ Mpl / Mpl,d 1,19 1,18 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,17 1,16 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FNC, e=10 cm. 1,20 1,19 armadura smétrca: ρ' = ρ C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 Mpl / Mpl,d 1,18 1,17 1,16 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FNC, e=30 cm. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

24 100 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa 1,20 armadura smétrca: ρ' = ρ 1,19 C-20 C-25 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 Mpl / Mpl,d 1,18 1,17 1,16 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl. FNC, e=40 cm. De um modo geral, os dagramas ndcam que o emprego do coefcente global de segurança relatvo aos materas apresenta um bom potencal a ser explorado, prncpalmente se resolvdos alguns dos problemas aqu observados. As seções submetdas à flexão smples mostraram-se bastante sensíves à ntrodução de armadura negatva, revelando-se, para as seções retangulares, o menor coefcente γ gl (1,092 para ρ =0,5%). Nas seções submetdas à flexão smples, o efeto da ntrodução da armadura fo menos ntenso, e o coefcente γ gl apresentou um valor mínmo gual a 1,13 para ρ =0,5%. As seções sob flexão normal composta apresentaram tanto maor varabldade do coefcente γ gl quanto maor a excentrcdade da força normal. Há que se ressaltar que, em todos os casos estudados, houve uma maor establdade de γ gl à medda em foram empregados concretos de classes superores. O comportamento descrto para γ gl, bem como as conclusões parcas, são aplcáves tão somente à análse de seções ou de estruturas sostátcas cujo comportamento no ELU concde com o de uma seção transversal típca. O emprego dessas déas ao dmensonamento de estruturas hperestátcas, onde a redstrbução dos esforços seja possível, pode levar a um comportamento anda melhor para γ gl, mas que deve ser corretamente qualfcado e quantfcado através de análses de confabldade estrutural. HENRIQUES (1998) analsa dos casos de vgas de concreto armado sob o enfoque da confabldade empregando o método de smulação de Monte Carlo: vga bengastada e vga apoada-engastada. Foram consderadas como varáves aleatóras as resstêncas à compressão do concreto e de escoamento do aço à tração, além da altura da vga (podendo varar até 0,7 cm). A resstênca méda à compressão do concreto fo consderada de acordo com a CEB-FIP MC90, ou seja: f cm =f ck +8,0 MPa. Os resultados, para dversas classes de concreto, e dversas taxas de armadura, mostram que a relação entre o coefcente global (referdo aos materas) para a estrutura (γ gl,est. ) e para a seção (γ gl ), dentre os casos analsados, é gual ou superor a 1 (parâmetro a). Um resumo das curvas propostas por Henrques, relatvamente à profunddade da lnha neutra (x/d) na seção onde ocorre o ELU, é apresentado na Fgura Nota-se que o parâmetro a supera a undade para x/d entre 0,35 e 0,52. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

25 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Fgura Relação a = γ gl,est. / γ gl Partcularzação às lajes A natureza tensoral dos esforços observados nas lajes, que acabam por mpossbltar a caraterzação de um comportamento mecânco típco de seção transversal, dfculta o avanço no estudo do coefcente global de segurança relatvo aos materas para esse elemento estrutural. Um estudo (determnístco) sobre a segurança envolvendo as lajes de concreto armado devera contemplar uma gama razoável de varáves fartamente combnadas entre s, destacando-se: relação entre os lados, condções de apoo, espessura, resstênca característca do concreto e do aço, e taxas de armadura. Obvamente, um estudo com essas característcas consumra um período de tempo tal que, por s só, nvablzara a sua nclusão neste trabalho. O que se faz, paleatvamente, com o objetvo únco de mostrar a aplcabldade do método também com relação às lajes, é estabelecer alguns valores para γ gl relaconados a uma laje quadrada (400cm x 400 cm) apoada nos quatro lados. O concreto empregado é o C-30; o aço é o CA-50A. Foram empregadas apenas armaduras postvas, com as mesmas pratcadas nas dreções x e y. 1,36 1,35 1,34 M pl / M pl,d 1,33 1,32 1,31 1,30 1,29 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 taxa de armadura - ρ Fgura γ gl para uma laje quadrada apoada. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

26 102 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa Os resultados retratam um bom comportamento de γ gl para a estrutura analsada (laje apoada). O menor valor observado, de 1,293 (para uma taxa ρ=1,0%), é cerca de 5% nferor ao maor deles: 1,350 para ρ=ρ mn =0,116%. 5.3 Exemplos de aplcação Os exemplos são baseados nas característcas mecâncas dos materas: concreto C-30 (f ck =30 MPa); e aço CA-50A, cujas propredades médas e de projeto constam da abela 5.4. Para o aço, os valores médos de resstênca à tração e à compressão são os própros valores característcos, uma vez que essas propredades apresentam pequena varabldade. O módulo de elastcdade pode ser consderado nvarável. Os valores relatvos ao concreto são obtdos através das relações do CEB-FIP MC90 sendo que, para o valor da resstênca à tração característca (f ctk ), adota-se a méda entre os valores superor e nferor ndcados, o que na prátca corresponde à própra resstênca à tração méda (f ctm ). abela Característcas mecâncas dos materas empregados nos exemplos. concreto aço propr. módulo de def. longtudnal E c =3355 kn/cm 2 E s =21000 kn/cm 2 médas resstênca à compressão f cm =3,80 kn/cm 2 f yk =50,00 kn/cm 2 resstênca à tração f ctm =0,29 kn/cm 2 f yk =50,00 kn/cm 2 propr. módulo de def. longtudnal E c =3355 kn/cm 2 E s =21000 kn/cm 2 de resstênca à compressão f cd =1,82 kn/cm 2 f yd =43,48 kn/cm 2 projeto resstênca à tração f ctd =0,21 kn/cm 2 f yd =43,48 kn/cm 2 O carregamento é composto apenas de cargas unformemente dstrbuídas: uma carga permanente g=25,0 kn/m, e uma sobrecarga q=5,0 kn/m. ELS (CQP): F d,serv = (1,0x25,0+0,2x5,0) kn/m F d,serv = 26,0 kn/m (5.8) ELS (CR): F d,serv = (1,0x25,0+1,0x5,0) kn/m F d,serv = 30,0 kn/m (5.9) ELU (últma): F d,u = 1,4x25,0+1,4x5,0 kn/m F d,u = 42,0 kn/m (5.10) Nestes exemplos, a porcentagem de plastfcação mposta estará sempre referda à porcentagem de dmnução da armadura de flexão traconada Vga apoada-engastada O segundo exemplo refere-se à vga apresentada na Fgura Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

27 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade Fgura Vga apoada-engastada - exemplo 2. a) dmensona-se a estrutura em regme elástco-lnear atendendo ao ELU entre os domínos 3 e 4. M -, d = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s =13,19 cm 2 ; A s =0,62 cm 2 M +, d = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s =0,62 cm 2 ; A s =6,28 cm 2 b) determna-se a flecha nstantânea e, prncpalmente, a flecha no tempo nfnto, consderando-se: a armadura do tem a); propredades médas dos materas; carregamento de servço (combnação quase-permanente) por smplcdade, ϕ 28 =2,5 (adotado). f 0 = 0,77 cm (flecha no nstante de aplcação do carregamento) f = 1,23 cm < l/250 (= 2,4 cm) c) para a combnação últma normal, utlzando o dagrama tensão-deformação para o concreto proposto na Fgura 5.4 (dagrama com as propredades médas, secconado no valor de f cd ) e as propredades de projeto do aço, verfcam-se as deformações máxmas (nas seções crítcas): seção de M + máx : concreto: ε c mn = -0,00077 ; aço: ε s max = 0,00189 seção de M - máx : concreto: ε c mn = -0,00210 ; aço: ε s max = 0,00228 Como ambas as deformações estão dentro do espectro permtdo para o ELU, admte-se que a estrutura esteja segura para a confguração adotada. A NB1-revsão 2000 traz uma proposta para a verfcação de possíves redstrbuções mpostas à estrutura. Reduzndo-se um momento fletor de M para δm em uma determnada seção transversal, a relação entre o coefcente de redstrbução δ e a posção da LN nessa seção (x/d), para o momento reduzdo δm, é dada por: ( x / d) ( x / d) δ 0,44 + 1,25. para concretos com f ck 35 MPa (5.11) δ 0,56 + 1,25. para concretos com f ck > 35 MPa (5.12) O coefcente de redstrbução deve, anda, obedecer aos seguntes lmtes: δ 0,75 em qualquer caso; δ 0,90 para estruturas de nós móves. E a posção da lnha neutra deve, no ELU, satsfazer aos seguntes lmtes: x/d 0,50 para concretos com f ck 35 MPa Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

28 104 Rchard Sarz Olvera & Márco Roberto Slva Corrêa x/d 0,40 para concretos com f ck > 35 MPa Supondo que a seção do engaste esteja solctada no estádo III, a profunddade da LN deve valer: x=21,40 cm, ou seja, x/d=0,486. Essa posção de LN satsfaz aos questos mínmos mas, de acordo com a expressão 5.11, não permte redstrbuções, pos δ = 1,05. Estabelecendo uma a análse não-lnear, torna-se possível a mposção de plastfcações à vga quantfcando-se, coerentemente, as redstrbuções decorrentes. d) como fo dmensonada com os esforços obtdos em regme elástco-lnear, a vga deve apresentar reservas quanto aos aspectos de flechas e de deformações. Isso pode vablzar a mposção de plastfcações em determnadas regões, buscando um melhor aprovetamento das característcas geométrcas e mecâncas da vga. Com esse objetvo, propõe-se uma plastfcação de 18% (o que eqüvalera a uma redução de 12% no momento de cálculo segundo as tabelas de dmensonamento) para a seção do engaste, mantendo-se a armadura da regão de momento postvo. M d - = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s, M d + A s, =0,62 cm 2 ; A s =9,30 cm 2 =10,81 cm 2 ; A s =0,62 cm 2 Com essa nova dstrbução de armaduras, retorna-se ao tem b) do procedmento de verfcação, agora denomnado b1) (prmera teração): b1) f 0 = 0,67 cm (flecha no nstante de aplcação do carregamento) f = 1,11 cm < l/250 (= 2,4 cm) c1) seção de M + máx : concreto: ε c mn = -0,00086 ; aço: ε s max = 0,00207 seção de M - máx : concreto: ε c mn = -0,00331 ; aço: ε s max = 0,00391 Sugere-se um decréscmo de aproxmadamente 37% na taxa de armadura, ou de 29% em relação ao momento fletor (de acordo com a NB1-revsão 2000) para a regão do engaste, que passara a estar submetda à ação de um momento fletor M d =13387 kn.cm (ΔM d = =-5513 kn.cm). Essa plastfcação acresce o momento fletor máxmo postvo de aproxmadamente ΔM d /2=2756,5 kn.cm. M d - = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s, M d + = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s, =8,22 cm 2 ;A s =0,62 cm 2 ; =0,62 cm 2 ;A s =8,22 cm 2 ; Como proceddo anterormente, retorna-se ao tem b): b2) f 0 = 0,76 cm (flecha no nstante de aplcação do carregamento) f = 1,21 cm < l/250 (= 2,4 cm) c2) seção de M + máx : concreto: ε c mn = -0,00088 ; aço: ε s max = 0,00172 seção de M - máx : concreto: ε c mn = -0,00304 ; aço: ε s max = 0,00425 As aberturas de fssuras para as três opções analsadas (consderando-se Φ 12 mm), e para as regões do vão e do engaste, constam da abela 5.5. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007

29 Análse de pavmentos de edfícos de concreto armado com a consderação da não-lneardade abela Abertura de fssuras para a vga apoada-engastada (mm). opção w r - vão w r - engaste ncal 0,16 0,17 1 0,13 0,17 2 0,15 0,21 As aberturas das fssuras apresentaram-se com dferentes valores para os três casos analsados. De um modo geral, a por condção fo observada para a opção 2 na regão do engaste, que apresentou uma abertura de 0,21 mm. Os resultados para o coefcente global γ gl, apresentados na abela 5.6, confrmam a armadura ncal como uma das possíves ao projeto seguro, e habltam as demas opções como sendo seguras. abela Valores de γ gl para a vga apoada-engastada. opção armaduras (cm 2 ) carregamento carregamento γ gl A s A s caract. médas caract. de proj. ncal 6,28 13,19 55,0 kn/m 43,6 kn/m 1,26 1 9,30 10,81 63,0 kn/m 45,2 kn/m 1,39 2 8,22 8,22 58,1 kn/m 41,6 kn/m 1, Laje smplesmente apoada A laje empregada neste exemplo é aquela apresentada na Fgura Fgura Laje apoada nos quatro lados - exemplo 4. Supondo ser uma laje de pavmento usual de concreto armado, o carregamento convenconal, bem como a combnações empregadas para o dmensonamento no ELU e a verfcação dos ELS devem ser: g: 2,5 kn/cm 2 (peso própro, supondo h=10 cm); 1,0 kn/cm 2 (revestmento); q: 3,0 kn/cm 2 (sobrecarga). Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 2007