PROPOSTA DE UTILIZAÇÃO DE BETA-INDICADOR COMO MODELO DETERMINÍSTICO PARA GESTÃO DE CUSTOS ESTIMADOS

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1 PROPOSTA DE UTILIZAÇÃO DE BETA-INDICADOR COMO MODELO DETERMINÍSTICO PARA GESTÃO DE CUSTOS ESTIMADOS MANUEL MEIRELES MÁRCIO MARIETTO CIDA SANCHES SILVANA MARTINS Resumo: Este tabalho popõe um modelo deteminístico aplicado ao contole de custos com base em Beta-indicadoes. O modelo de -indicadoes possibilita a gestão de custos estabelecendo aletas, especialmente nos casos em que os custos são estimados po meio de valoes: otimista (a), mais-povável (m) e pessimista (b). Ou seja: dados os valoes a, m e b de custos estimados o modelo de -indicadoes atibui uma distibuição pobabilística do tipo. O modelo poposto é aplicável à gestão de custos e pode se aplicado de divesas fomas: i) paa estabelece níveis de aleta paa custos estimados; ii) paa estabelece estimativas decoentes de duas outas ou mais; e iii) paa detemina a pobabilidade de ceto custo se alcançado ou ultapassado. A análise da acuácia do modelo foi feita po simulação e testes paa afei o gau de adeência dos valoes obsevados aos valoes espeados. Áea temática: Aplicação de Modelos Quantitativos na Gestão de Custos

2 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 Poposta de utilização de Beta-indicado como modelo deteminístico paa gestão de custos estimados Resumo Este tabalho popõe um modelo deteminístico aplicado ao contole de custos com base em Beta-indicadoes. O modelo de β-indicadoes possibilita a gestão de custos estabelecendo aletas, especialmente nos casos em que os custos são estimados po meio de valoes: otimista (a), mais-povável (m) e pessimista (b). Ou seja: dados os valoes a, m e b de custos estimados o modelo de β-indicadoes atibui uma distibuição pobabilística do tipo β. O modelo poposto é aplicável à gestão de custos e pode se aplicado de divesas fomas: i) paa estabelece níveis de aleta paa custos estimados; ii) paa estabelece estimativas decoentes de duas outas ou mais; e iii) paa detemina a pobabilidade de ceto custo se alcançado ou ultapassado. A análise da acuácia do modelo foi feita po simulação e testes paa afei o gau de adeência dos valoes obsevados aos valoes espeados. Palavas-chave: Gestão de custos estimados. Custos estimados. Beta-indicadoes. Áea Temática: Aplicação de Modelos Quantitativos na Gestão de Custos. Intodução O pesente atigo popõe que o modelo pobabilístico de Beta-indicado (neste tabalho designado po β-indicado ou βi) pode se aplicado à gestão de custos. O que está em foco, na pesente pesquisa, é a foma como o modelo de β-indicado pode se usado paa fundamenta decisões de foma mais eficiente, na gestão de custos. Beta-Indicado Custo de Pocessamento X 0,000 0,050 0,000 0,0050 0,0000 Excelente Poblemático 0,00 8,00 3,00,00 5,00 0,00 8,00 7,00 8,00 9,00 300,00 308,00 3,00 Fig. : Exemplo de β-indicado de Custos de Pocessamento estabelecendo faixas de desempenho. Numa pimeia abodagem pode-se considea β-indicado como sendo um tipo de indicado que tem as caacteísticas de veto (isto é: é oientado) e estabelece faixas de desempenho (Fig. ). Tais faixas são decoentes da média e espectiva vaiância da vaiável associada ao β-indicado, consideando-se que os valoes seguem uma β-distibuição (ou distibuição pobabilística do tipo beta). Essa distibuição é consideada patindo-se do pessuposto que, paa qualque tipo de vaiável monetáia ($), como eceitas, despesas ou

3 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 custos é possível associa valoes espeados ou de desempenho: otimista, mais-povável e pessimista. Neste tabalho o objeto de estudo é a gestão de custos, emboa caacteísticas semelhantes possam se aplicadas a despesas e eceitas. O modelo de β-indicadoes possibilita a gestão de custos estabelecendo valoes de aleta, especialmente nos casos em que os custos são estimados po meio de valoes: otimista (a), mais-povável (m), e pessimista (b). Ou seja: dados os valoes a, m e b de custos estimados o modelo de β-indicadoes atibui uma distibuição pobabilística do tipo β. Com base em tal distibuição β pode-se não só estabelece indicadoes de aleta, mas detemina pobabilidades associadas a custos. Belchio (97: 9) mosta que quando se dispõe de tês estimativas (otimista, mais povável e pessimista) epesentadas po a, m e b, se tem uma distibuição associada a uma distibuição beta com as seguintes popiedades: Possui extemos bem definidos, não sendo assintótica aos eixos; Pode se assimética paa ambos os lados, confome os valoes a, b e m; Pemite a deteminação dos paâmetos da distibuição conhecendo-se a moda (mais povável m) e os extemos infeio e supeio (a e b); Quando os valoes atibuídos a a, m e b são póximos, a cuva toma um aspecto esteitado, ao contáio do que acontece quando os valoes são afastados, caso em que a cuva se tona alagada, emboa em ambos os casos a média possa te o mesmo valo; A função beta com base nas estimativas a, m e b nos pemite detemina o valo médio espeado (VM), o espectivo desvio padão (s) a vaiância (s ) e o coeficiente de vaiação (CV). A utilização de tês estimativas (a, m e b) é muito comum nos estudos envolvendo tempo em edes PERT/CPM e muitos autoes declaam que a função segue a beta distibuição. Iving (000) num estudo sobe PERT com tempos estimados pobabilisticamente, afima que quando os tempos das atividades não são conhecidos com pecisão podem se utilizados tempos estimados. Paa cada atividade definem-se os tempos otimista, pessimista e mais povável e se pate da pemissa que a vaiabilidade dos tempos estimados segue a distibuição beta. Walke II (00) afima que se assume que as atividades PERT/CPM seguem uma beta distibuição. Andeson et alli (003) afimam que as simulações da duação das atividades individuais de pojetos (PERT) são feitas gealmente usando a beta distibuição. Fente et alli (999) afimam que na maioia das aplicações de simulação paa constução, a Função de Distibuição de Pobabilidade subjacente (PDF) é gealmente desconhecida, e, po conseguinte, se teá que seleciona uma PDF. Tal escolha muitas vezes é feita po análise de sensibilidade, havendo o efeito da infomação subjetiva na escolha dos paâmetos da distibuição de Beta a se usada nos modelos de simulação. Deming apud Walton (98: 3) chama a atenção paa a questão da vaiabilidade. Na medida em que os inputs de um pocesso efeentes à mão-de-oba, matéia pima, máquinas, medidas, meio-ambiente (mesmo consideando o método constante) não são constantes, não faz sentido espea um output constante. Essa autoa mosta como Deming op sit, po meio da paábola das contas vemelhas enfatiza que a vaiação faz pate de qualque pocesso: À medida que o D. Deming vai falando, os ouvintes vão captando a mensagem básica: a de que, mesmo com feamentas, taefas e capacidade idênticas, a podução vaia. Imitando um capataz, o D. Deming diz que os administadoes têm o costume de culpa os opeáios po esultados que lhe escapam ao contole. Além do mais, dado qualque númeo de opeáios, alguns sempe estaão abaixo da média e outos acima.

4 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 Desta foma, paece azoável supo que quaisque metas de um pocesso, especialmente as metas efeentes a custos, são mais ealistas quando consideam a inevitável vaiabilidade. Aspectos Metodológicos Relevantes A pesente pesquisa agumenta que po meio do uso do modelo pobabilístico de β- indicado é possível estabelece a gestão de custos de foma semelhante aos estudos envolvendo tempo em edes PERT/CPM. A pesquisa faz uso de técnicas () estatísticas paaméticas e não paaméticas; e () simulação. Basicamente o modelo poposto gea uma cuva de distibuição de densidade beta, com paâmetos α e β, patindo de tês valoes dados: custo otimista (a), custo mais povável (m) e custo pessimista (b). Com base na cuva geada (Fig. ), podem se definidos pontos de aleta coespondentes a uma dada popoção sob a cuva (E e D). Paa veifica a acuácia do modelo poposto, po meio de simulação foam geadas β- distibuições com os paâmetos α e β e foam contados os valoes nas egiões E e D. A β- distibuição geada diz-se adequada se as popoções dos valoes contados na simulação são as mesmas (ou muito póximas) das popoções especificadas B C D E F G H I J Beta Indicado a= meno valo 0,000 m=mais povável 85,000 b= maio valo 30,000 Alpha 3,0 Beta,0 Mean 0,00 NumBeta -0,300 DenBeta -0,5 "Beta&Alpha",00 3,00 Assimetia -0,79 Outos limitadoes Custo de Pocessamento X Beta-Indicado Custo de Pocessamento X 0,0 Excelente 0,09 0,07 Cuva Poblemático Poblemático 0,05 Vaiance 0,037 0,03 m/moda 0,983 0,0 moda 0,008 0,59 0,00 Steps,000 0,00 E D MP=Média pond. 80,000 0,00 MPN=Méd.Pond Nomal, 0,00 0,000 ModN=Moda Nomalizada 0,50 Média Beta Dist. 8,79 Moda 89,98 0% esq. 53,0 0% dieita 30,9 Mediana 8,3 Limitadoes h=mpn/(-mpn),500 0% esq, 0% dieita 98,0 8, , 0,00 30,00 0,00 5,0 5% à esq. 58,9 5% à dieita 30,87 Fig. : β-indicado geado a pati de tês valoes dados (a, m, b). O modelo gea uma distibuição beta com paâmetos Alpha e Beta. 50,00 0,00 70,00 80,00 90,00 300,00 30,00 30,00 A figua 3 mosta o fomato geal do softwae (uma planilha Excel), paa especificação de β-indicado subodinada ao conjunto de valoes a, m, b. A planilha define, automaticamente, a β-distibuição, desenha a cuva e estabelece limitadoes de 0% e 0% à esqueda e á dieita e possibilita que outos limitadoes sejam também definidos. No exemplo são mostados limitadoes de 0% e 0%, além de 5% à esqueda e à dieita. Paa se constui um sentimento de evidência, com elementos de boa qualidade de que o modelo poposto de gestão com β-indicadoes é adequado, fez-se uso de simulações. O pincípio que noteou a escolha de tal método é simples: se a β-distibuição definida pelos paâmetos Alpha e Beta é adequada aos espectos a, m, b, então uma β-distibuição geada po simulação com tais paâmetos deve conte as popoções de valoes indicadas pelos pontos limitadoes. Isto é: se se afima que os paâmetos Alpha e Beta são adequados, então

5 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 numa dada simulação de N valoes deve ocoe a popoção indicada, caso os paâmetos Alpha e Beta estejam coetos. Tomando o exemplo da figua 3, pode-se simula uma β-distibuição, com valoes ente 70 e 50 e paâmetos Alpha=,0 e Beta=3,395 e obte a quantidade de valoes àquem e além dos limitadoes. Input= Valoes a, m, b output= paâmetos Alpha e Beta B C D E F G H I J Beta Indicado a= meno valo 70,000 m=mais povável 7,000 b= maio valo 50,000 Alpha,0 Beta 3,395 Mean 0,378 NumBeta 0,37 DenBeta 0,098 "Beta&Alpha" 3,733,7 Assimetia 0,3 Outos limitadoes Custo de Tanspote Z Beta-Indicado Custo de Tanspote Z 0,0 Excelente 0,09 0,07 Poblemático Poblemático 0,05 Vaiance 0,03 0,03 m/moda,088 0,0 moda 0,008 0,307 0,00 Steps,800 0,00 MP=Média pond. 38,000 0,00 MPN=Méd.Pond Nomal, 0,378 0,000 ModN=Moda Nomalizada 0,37 Média Beta Dist. 3,87 Moda,73 0% esq. 9,38 0% dieita 8,050 Mediana 35, Limitadoes h=mpn/(-mpn) 0,07 0% esq 05,99 0% dieita 8,908 8,09,099 Limitadoes 5,0 5% à esq. 00,8 5% à dieita 7,0 Fig 3: Fomato geal do softwae (uma planilha Excel), paa especificação de β-indicado subodinada ao conjunto de valoes a, m, b. Tabela : Exemplo de simulação paa veifica a acuácia do β-indicado. MTB > Random SUBC> Beta,0 3,395. MTB > let c=c*80+70 MTB > let c3=c<9,38 MTB > let c=c>8,050 MTB > let c5=c<05,99 MTB > let c=c>8,908 MTB > let c7=c<,3 MTB > let c8=c>,5 MTB > let c9=c>35, Sum of <9,38 = 999 valo espeado: 0000 (eo= /0000= 0,0%) Sum of >8,050 = 99 valo espeado: 0000 (eo=38/0000= 0,38%) Sum of <05,99 = 993 valo espeado: 0000 (eo=/0000= 0,%) Sum of >8,908 = 9888 valo espeado: 0000 (eo=/0000= 0,5%) Sum of <,3 = 89 valo espeado: 5000 (eo=3/5000= 0,5%) Sum of >,5 = 83 valo espeado: 5000 (eo=87/5000=0,75%) Sum of >35, = 500 valo espeado: (eo=0/50000=0,%) Vaiable N Mean Median TMean StDev SE Mean bi ,99 35, 37,09 3,9 0, Vaiable Minimum Maximum Q Q3 bi-80 70,3,0,,93 Fonte: Autoes. 70,00 88,00 0,00,00,00 0,00 78,00 9,00,00 3,00 50,00

6 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 Tomando o exemplo acima, pode-se simula uma β-distibuição, com valoes ente 70 e 50 e paâmetos Alpha=,0 e Beta=3,395 e obte a quantidade de valoes àquem e além dos limitadoes. A tabela expime o esultado de uma simulação típica e que deve se assim entendida: Inicialmente consideou-se o conjunto de valoes a, m e b (70, 7 e 50) como mosta a figua 3; Após te sido feita a intodução de tais valoes, o softwae dá como output os paâmetos Alpha=,0 e Beta=3,395 além da cuva e de outas infomações, ente elas os valoes dos limitadoes. Pela figua 3 pode-se ve que, de acodo com o modelo ente 70,000 e 9,38 a áea sob a cuva epesenta 0% da áea total. Da mesma foma se sabe os valoes que delimitam áeas, tanto à esqueda quanto à dieita, efeentes a 0%, 0%, 5% e 50% (mediana). A questão à qual a simulação petende esponde é a seguinte: Os paâmetos e a cuva são ajustados aos valoes a, m e b? Paa esponde a esta questão utiliza-se a simulação: no softwae Minitab.3 são geados valoes andômicos sob a designação de d80 com distibuição Beta e paâmetos Alpha=,0 e Beta=3,395 MTB > Random 0000 ; SUBC> Beta,0 3,395. Os valoes geados andomicamente situam-se ente zeo e um. Como os valoes a e b são, espectivamente, 70,000 e 50,000 os valoes geados são convetidos paa tal intevalo po meio da instução. MTB > let c=c*80+70 Tem-se, agoa, uma β-distibuição com paâmetos Alpha=,0 e Beta=3,395, geada aleatoiamente ente valoes 70,00 e 50,00. Paa veifica estas condições podem-se olha as estatísticas descitivas dos valoes geados: Desciptive Statistics: bi-80 Vaiable N Mean Median TMean StDev SE Mean bi ,99 35, 37,09 3,9 0, Vaiable Minimum Maximum Q Q3 bi-80 70,3,0,,93 As estatísticas descitivas dos valoes simulados mostam que o meno valo é 70,3 (póximo de 70,00) e o maio valo é,0 (póximo de 50,00) O modelo infoma que o limitado de 0% à esqueda é 9,38. Se os paâmetos Alpha e Beta geados pelo modelo são adequados, então deveá se obseva a ocoência de 0% dos valoes geados abaixo de 9,38. É possível seleciona e conta tais valoes: MTB > let c3=c<9,38 Sum of <9,38 = 999 Tendo sido geados valoes, 0% deles coespondem a Veificase, neste caso que a simulação da β-distibuição com paâmetos Alpha=,0 e Beta=3,395 apesentou apenas 999 casos. Se o valo espeado é de e se veificou-se a ocoência de 999, ocoeu um eo de em 0000, isto é, de 0,0%, Isso é mostado pela infomação: 999 valo espeado: 0000 (eo= /0000= 0,0%) Semelhante pocedimento foi feito paa cada um dos limitadoes definidos pelo modelo:

7 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de valo espeado: 0000 (eo= /0000= 0,0%) 99 valo espeado: 0000 (eo= 38/0000= 0,38%) 993 valo espeado: 0000 (eo= /0000= 0,%) 9888 valo espeado: 0000 (eo=/0000= 0,5%) 89 valo espeado: 5000 (eo=3/5000= 0,5%) 83 valo espeado: 5000 (eo=87/5000= 0,75%) 500 valo espeado: (eo=0/50000= 0,%) Além do cálculo do eo elativo foam ealizados outos testes não-paaméticos. 3 Modelo Poposto No pesente modelo pate-se da pemissa que é possível estabelece estimativas de custos otimista, mais povável e pessimista. Tais valoes podem se estabelecidos pelos geentes, individual ou consensualmente, paa todas as vaiáveis que geenciam. Desta foma, tem-se: ) a= estimativa meno; ) m= mais povável; 3) b= estimativa maio. Buy (975: 353) afima que uma impotante aplicação da β-distibuição concene à coodenação de complexos e inteelacionados conjuntos de atividades envolvendo incetezas. Tal técnica é conhecida po PERT Pogam Evaluation and Review Technique. O input quantitativo paa o contole po esta técnica consiste em estima o valo espeado e a vaiância das atividades que compõem o pogama global. A maioia das atividades industiais caacteiza-se po cetas limitações páticas; assim, uma deteminada atividade não pode se completada em menos de um ceto tempo mínimo μ ou não demoa mais do que um tempo μ. É assumido então comumente que o tempo de conclusão do pojeto assume uma distibuição β. Ainda de acodo com Mittelhamme (995: 95), algumas popiedades da β- distibuição incluem: μ σ = α α + β = (0) α β ( α + β + )( α + β ) ( β α)( α β ) μ3 = ( α + β + )( α + β + )( α + β ) 3 Stange (97: 7), Leste (98: 39) e Tutle (99: 7) afimam que conhecidos os valoes acima se obtém a média μ e a vaiância σ pelas fómulas: μ = ( a+ m+ b) (03) σ = [ ( b a)] Buy (975: 353) explica tais fómulas do seguinte modo: o valo espeado e a vaiância de um tempo de conclusão (numa ede PERT) podem se bastante difíceis de calcula dietamente paa uma deteminada atividade. Desta foma, estimativas mais significantes são ofeecidas, tais como, o tempo mais povável m, o tempo otimista a e o tempo pessimista b. Buy op cit começa apesentando a beta distibuição como sendo (0)

8 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 f B x λ Γ( λ + λ) λ ( x; λ ; λ ) = x ( x) dx ( ) ( ) Γ λ Γ λ 0 (0) onde a integal na equação (0) define a função beta incompleta : B X x λ λ ( λ ; λ ) = x ( x) dx (05) 0 O enésimo momento () de X, de acodo com Buy (975) pode se calculado po: ' ( B ) 0 μ X ) = E { X } = x f ( x; λ ; λ dx (0) Dado que o valo espeado de X é ' λ μ ( X ) = (07) λ + λ e a vaiância de X é: λλ μ ( X ) = (08) ( λ + λ ) ( λ + λ + ) A moda é dada po λ x ˆ = (09) λ + λ Obseva que as equações acima apesentadas po Buy (975) são equivalentes às Mittelhamme (995: 95) descitas em (0), bastando substitui λ po α e λ po β: μ = σ α α + β αβ = [( α + β + )( α + β) ] (0) α mod a = () α + β Buy op cit afima que a alta flexibilidade da distibuição Beta a ecomenda paa se utilizada sempe que uma vaiável X tem infinitos valoes ente μ e μ (ou ente a e b). Buy apesenta as suas fómulas usando μ como sendo o meno valo do intevalo; μ como sendo o maio valo e ˆ como sendo o valo modal, o mais povável. Faz uso também de λ e de λ. Cabe destaca que tais valoes são espectivamente: a, b, m, α e β.

9 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 Consideando infinitos valoes ente μ e μ, a moda h $, de acodo com Buy (975: 30) é dada po: $ λ h = μ+ ( μ μ) λ + λ + () deiva-se o valo espeado μ em temos da moda $ h : μ+ ( λ+ λ ) + μ μ = λ+ λ (3) paa: Po azões de conveniência de cálculo, na ede PERT, a equação (3) é apoximada a m b $h E = + + () implicando que a moda estimada m é pondeada em elação a (a+b)/ na popoção de :. De foma semelhante, a vaiância ( μ μ) λλ μ = ( λ + λ ) ( λ + λ + ) (5) é apoximadamente calculada po ( b a) va = 3 () pelo que o desvio padão é (b-a)/. Na pática, afima Buy op cit (p.353), a ede PERT, nas expessões () e () obtém valoes que são adequados em elação às estimativas de m, a e b. Deve se notado que na apoximação da equação (3) pela () que λ+ λ = e que na apoximação da equação (5) pela (), que λ λ = 7. Com efeito: μ+ λ λ μ μ = ( + ) + = a+ ( ) m+ b λ+ λ (7) onde a=μ ; b=μ, m= h $ e λ + λ = ; e ( μ μ λ λ λ ) ( b a) λ ( b a) μ = = = ( λ + λ ) ( λ + λ + ). 7 3 (8) onde a=μ ; b=μ, m= h $ ; λ+ λ = ; e λ λ = 7. A segui são apesentadas algumas popiedades e limitações do modelo poposto que é baseado na β-distibuição acima discutida.

10 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 ) O modelo considea que os valoes a, m e b são dispostos de tal foma que a epesente o meno valo; b o maio valo e m um valo intemediáio ente a e b, isto é: b>m>a; ) ao valo m, o mais espeado é também consideado como valo modal; a média pondeada (MedPond) de tais valoes é dada po: MedPond * m + a + b = (9) B C D E F G H I J Beta Indicado Custo de Estocagem Y a= meno valo 00,000 m=mais povável 0,000 Beta-Indicado b= maio valo 0,000 Custo de Estocagem Y Alpha, 0,09 Excelente Poblemático Beta, 0,07 Poblemático Mean 0,500 0,05 0,03 Vaiance 0,00 0,0 m/moda,000 0,008 moda 0,500 0,00 Steps 0,00 0,00 MP=Média pond. 0,000 0,00 MPN=Méd.Pond Nomal, 0,500 0,000 ModN=Moda Nomalizada 0,500 Média Beta Dist. 0,000 Moda 0,000 0% esq. 09,3 0% dieita 30,737 Mediana 0,000 Limitadoes h=mpn/(-mpn),000 0% esq,08 0% dieita 7,39 9,008007,3 NumBeta 0,000 DenBeta 0,000 "Beta&Alpha" 3,000 3,000 Assimetia 0,000 Outos limitadoes 00,00 0,00 08,00,00,00 0,00,00 8,00 5,0 5% à esq.,0 5% à dieita 8,93 Fig. : Quando (m-a)=(b-a), adota-se paa os paâmetos α e β o valo discicionáio,. Neste caso a cuva tem uma disceta foma de sino 3,00 3,00 0,00 3) Emboa softwae específico possa se aplicado paa a deteminação da β- distibuição, no pesente caso consideou-se o uso de uma planilha Excel, na medida em que tal planilha tem já um conjunto de funções que possibilita obte não só os paâmetos α (Alpha) e β (Beta) da β-distibuição, como a cuva da β-densidade. Caso se obseve que as estimativas meno e maio são siméticas em elação à estimativa mais povável, isto é, no caso de se obseva que m-a = b-m, infinitos valoes iguais podem se atibuídos paa Alpha e Beta. Neste caso α e β assumem o valo discicionáio, que poduz uma cuva em disceta foma de sino. A figua mosta isso. O modelo pemite, também, que sejam feitas opeações algébicas de β-indicadoes. Desta foma, no que concene a custos, é possível adiciona, subtai, multiplica e dividi estimativas. Os pocedimentos são os seguintes: Adição: (a, m, b) com MP e dp+ (a, m, b) com MP e dp a = a + a (0) b = b + b () MP = MP + MP ()

11 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 m = MP a b (3) dp = ( b 3 a Pela equação () sabe-se que equação (3): m = MP b a. ) MedPond () * m + a + b = MP =. Daqui se deduz a Subtação: (a, m, b ) com MP e dp - (a, m, b ) com MP e dp a = a - a ou a - b (o meno dos dois valoes) (5) b = b - b ou b - a (o maio dos dois valoes) () MP = MP - MP (7) m = MP b a (8) dp = ( b 3 a ) (9) Multiplicação: (a, m, b) com MP e dp x (a, m, b) com MP e dp a = a x a (30) b = b x b (3) MP = MP x MP (3) MP a b m = (33) dp = ( b 3 a ) (3) Divisão: (a, m, b ) com MP e dp po (a, m, b ) com MP e dp a = a / a ou a / b (o meno dos dois valoes) (35) b = b / b ou b / a (o maio dos dois valoes) (3) MP = MP / MP (37) m = MP b a (38) dp = ( b 3 a ) (39)

12 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de A B C D E F G H I J K Multiplicação de beta-indicadoes A B a= meno valo 5,000 9,000 5,000 m=mais povável 7,000 5,000 98,750 Beta-Indicado b= maio valo,000 8,000 98,000 Alpha, 3,37,3 0,0300 Excelente Poblemático Beta 3,37,,37 0,050 Excelente Poblemático Mean 0,389 0, 0,0 0,000 Vaiance 0,037 0,037 0,0 0,050 m/moda,08 0,99,00 0,000 moda 0,3 0,7 0,378 0,0050 Steps 0,00 0,090,530 MP=Média pond. 7,333,500 0,333 0,0000 MPN=Méd.Pond Nomal, 0,389 0, 0,0 ModN=Moda Nomalizada 0,333 0,7 0,35 Média Beta Dist.,888 5,8 99,535 Moda,79 5,8 98,7 Limitadoes 0% esq. 78,9 0% dieita 35,937 Mediana 05,39 h=mpn/(-mpn) 0,3,57 0,9 0% esq. 8,83 0% dieita 5,505 8,0, NumBeta 0,333-0,333 0,97 DenBeta 0,083 "Beta&Alpha" 3,595,05 Assimetia 0,8 Outos limitadoes 0, , -0,,333 Beta Indicado Resultante (A*B) 5,00 55,7, 77,3 87,8 98,55 09, 9,97 30,8,39 5,0,8 73,5 8,3 9,9 5, 5,% à esq. 8,90 5,% à dieit 30,00 MP= 0,333 Fig. 5: Exemplo de multiplicação de dois β-indicadoes. Aplicabilidade do modelo Na gestão de custos o modelo de β-indicadoes pode se aplicado de divesos modos: Como foma de estabelece níveis de aleta paa custos estimados: este exemplo é ilustado pela figua. São estimados os custos (otimista, mais povável e pessimista) e se estabelece uma faixa de atuação nomal, a egião compeendida ente os aletas, coespondendo a 80% da áea sob a cuva, po exemplo. Se os custos obsevados ou pojetados estiveem ente os valoes $09,3 e $30,737 pode-se dize que estão dento da faixa nomal e nenhuma ação é equeida; se os custos obsevados ou pojetados estiveem além de $30,737 é necessáio atua coetivamente; se estiveem aquém de $09,3 o desempenho pode se consideado excelente em elação às estimativas taçadas; Como foma de estabelece estimativas decoentes de duas outas ou mais, como ilusta a figua 5. Nesse exemplo são multiplicados dois β-indicadoes. O caso de adição de β-indicadoes pode se utilizado paa estimativa conjunta de duas ou mais estimativas como, po exemplo, em casos de custos estimados paa um conjunto de atividades. O modelo pemite também os casos de subtação e divisão de β-indicadoes; Como foma de estabelece a pobabilidade de deteminado valo se alcançado ou ultapassado. Na figua 5 é destacada esta possibilidade: po exemplo, a pobabilidade de os custos seem supeioes a $30,00 é de 5,%.

13 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 5 Resultados Os esultados obsevados estão mostados abaixo e efeem-se a simulações com N= Tabela : Resultados obsevados com simulações de β-indicadoes. Simulação N= Limites 0% (esqueda e dieita) Valoes espeados= Limites 0% (esqeda e dieita) Valoes espeados= Mediana= limites 50% (dieita) Valoes espeados= Fonte: Autoes Chi-squaed Test fo Independence - Simulação N= Aleta de 0%: Espeado= 0000 Chi-squae: 9. Degees of Feedom: 9 Table size: 0 ows, columns. The P value is Aleta de 0%: Espeado= 0000 Chi-squae:.8 Degees of Feedom: 9 Table size: 0 ows, columns. The P value is Mediana (50%): Espeado= Chi-squae:.3 Degees of Feedom: Table size: 5 ows, columns. The P value is Fonte: Autoes. Quado : Resultado do teste paa afei a acuácia do modelo. A tabela mosta os esultados obsevados em elação aos valoes espeados e o quado mosta, po meio do teste χ que tais valoes são adequados estatisticamente, ao menos ao nível de significância de 0,05. Os testes ealizados objetivaam veifica se os valoes obsevados possuíam a mesma distibuição dos valoes espeados. Neste sentido, quanto maio o p-value, no intevalo de 0 a, melho a adeência. O quado mosta uma análise dos intevalos de confiança dos valoes obsevados nas simulações Pode-se obseva que os limites dos intevalos de confiança, ao nível de significância de 5% são, em média, infeioes a,5%.

14 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 Desciptive Statistics: (I)0%; (I)0%; (I)50% Simulações N=00000 Vaiable N Mean Median TMean StDev SE Mean I(0%) I(0%) I(50%) Vaiable Minimum Maximum Q Q3 I(0%) I(0%) I(50%) Lowe 95% IC 9898 Uppe 95% IC Fonte: Autoes Quado : Estatísticas descitivas dos valoes obsevados nas simulações Tabela : Análise dos intevalos de confiança. Análise dos intevalos de confiança Beta-indicadoes isolados Lim infeio Espeado Desvio Esq. % 959, 000 0,9,09 97, ,7,9 9, ,,5 9898, ,0,0 998, ,0 0,3 977, ,0 0,5 média % do desvio, Lim supe Espeado Desvio Di. % 00, ,5,05 07, ,5,38 509, ,8 0,0 005, ,0,05 09, ,0 0,5 503, ,0 0, média % do desvio 0,80 Fonte: Autoes A tabela mosta os intevalos de confiança além de estaem centados possuem uma acuácia aceitável. Foam feitas também simulações com β-indicaes esultantes, isto é, oiundos de opeação algébica de dois ou mais β-indicadoes. O compotamento dos β- indicadoes esultantes foi satisfatóio nas simulações (N=00 mil) ealizadas. A maio média dos eos elativos foi de 3,83% no caso da divisão, como mosta o quado 3. Cada eo foi calculado pela fómula: valoobsevado valoespeado e = (0) valoespeado

15 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 Desciptive Statistics: e-soma; e-sub; e-mult; e-div Vaiable N Mean Median TMean StDev SE Mean e-soma 5 0,00 0,000 0,057 0,035 0,003 e-sub 5 0,0098 0, ,0097 0,0087 0,0075 e-mult 5 0,00 0,000 0,0098 0,007 0,00 e-div 5 0,0383 0,0770 0,037 0,09 0,003 Vaiable Minimum Maximum Q Q3 e-soma 0,0050 0,080 0,005 0,050 e-sub 0, ,0380 0,0005 0,00 e-mult 0, ,0580 0,0030 0,0555 e-div 0,0570 0, ,05 0,000 Fonte: Autoes. Quado 3: Eos elativos obsevados em simulações com β-indicadoes esultantes É possível medi a acuácia geal do modelo po meio dos eos elativos obsevados em todas as simulações. Cada eo foi calculado pela fómula (0) e as estatísticas descitivas estão mostadas no quado. Obseva-se que o eo médio foi de,3% consideando uma amosta de casos. A média apaada, isto é, depois de excluídos 5% dos menoes valoes e 5% dos maioes valoes são de,80%. Desciptive Statistics: eoabsgeal Vaiable N Mean Median TMean StDev SE Mean eoabsg 0,03 0,0550 0,080 0,030 0,0089 Vaiable Minimum Maximum Q Q3 eoabsg 0, ,800 0,005 0,0585 Fonte: Autoes. Quado : estatísticas descitivas dos eos elativos obsevados em todas as simulações. Os eos elativos dos β-indicadoes esultantes (soma=,%; subtação=,0%; multiplicação=,0% e divisão= 3,83%) mostam que as fómulas empiicamente obtidas paa opeação algébica de dois β-indicadoes paecem adequadas, emboa, obviamente, novos esfoços devam se feitos paa melhoa os esultados até agoa obtidos. Conclusões e ecomendações Acedita-se que se tenha atingido o objetivo pincipal do pesente tabalho: popo um modelo deteminístico paa gestão de custos estimados com base em β-indicadoes. O modelo poposto é aplicável à gestão de custos e pode se aplicado de divesas fomas: i) paa estabelece níveis de aleta paa custos estimados; ii) paa estabelece estimativas decoentes de duas outas ou mais; e iii) paa detemina a pobabilidade de ceto custo se alcançado ou ultapassado. Obseva que a constução de um β-indicado esultante, isto é, poveniente de adição, subtação, multiplicação ou divisão de dois β-indicadoes fundamenta-se sobe fómulas ajustadas empiicamente. Desta foma é ecomendável que se poceda a pesquisas adicionais com vistas a efina o modelo neste citéio.

16 XIII Congesso Basileio de Custos Belo Hoizonte - MG, Basil, 30 de outubo a 0 de novembo de 00 Refeências ANDERSON; SWEENEY; WILLIAMS. An intoduction to Management Science: quantitative appoaches to decision making. New Yok: Tomson, 003. BELCHIOR, P. G. O. Métodos de caminho cítico na administação de pojetos. Rio de Janeio: Ameicana, 97. BURY, K. V. Statistical Models in Applied Science. New Yok: John Wiley, 975. FENTE, J. KNUTSON, K. SCHEXNAYDER, C. Defining a Beta Distibution Function fo Constuction Simulation. In: FARRINGTON, P. A. NEMBHARD, H. B. STURROCK, D. T. EVAN, G. W. (edts) Poceedings of the Simulation Confeence. Winte, 999. IRWING. Poject Management with PERT/CPM. New Yok: McGaw-Hill, 000. LESTER, A. Poject Planning and Contol. London: Buttewoth, 98. MITTELHAMMER, R. C. Mathematical statistics fo economics and business. New Yok: Spinge, 995. STANGER, L. B. Pet-CPM: técnica de planejamento e contole. Rio de Janeio: Ao Livo Técnico, 97. TURTLE, Q. C. Implementing concuent poject management. Englewood Cliffs: Pentice Hall, 99. WALKER II, E. D. Intoducing Poject Management Concepts using a Jewely Stoe Robbey. The Decision Sciences Jounal of Innovative Education. Statesboo, 00. WALTON, M. O método Deming de Administação. Rio de Janeio: Maques Saaiva, 989.