Um modelo linear quadrático gaussiano com restrições de capacidade para planejamento agregado da produção

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1 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 Um modelo linea qadático gassiano com estições de capacidade paa planejamento agegado da podção Osca Salviano Silva Filho (CenPRA) osca.salviano@cenpa.gov.b Resmo Neste atigo, m poblema de planejamento da podção é fomlado a pati de m modelo de pogamação estocástica seqüencial tipo linea qadático gassiano com estições de pobabilidade nas vaiáveis de estoqe e podção. Esta fomlação petende se ma etensão do modelo clássico de planejamento agegado desenvolvido po Holt, Modigliani, Mth e Simon nos anos 6 e conhecido desde então na liteata como modelo HMMS. Paa esolve este poblema, m poblema eqivalente, poém deteminístico, é desenvolvido e ma solção ótima estática é apesentada como eemplo. Esta solção pemite qe o geente adqia visibilidade sobe o so dos ecsos de mateiais da companhia. Palavas-chave: Planejamento; Sistema oientado a estoqe; Pogamação matemática.. Intodção O modelo desenvolvido po Holt, Modigliani, Mth e Simon na década de 6, e conhecido como modelo HMMS, pode se consideado como ma impotante contibição ao planejamento agegado da podção. Este modelo pemite obte ma ega de decisão linea qe é esltado da minimização de ma fnção de csto qadática sjeita a ma eqação linea de balanço de estoqe e mão-de-oba. A solção fonecida pelo modelo HMMS é mito tilizada paa pove cenáios de podção qe pemitem à geência obte visibilidade antecipada sobe o so agegado dos ecsos mateiais da companhia. Contdo, há dúvidas sobe a paticidade do modelo HMMS na poposição de m plano de podção qe possa se efetivamente aplicado à companhia. As das mais feqüentes cíticas dizem espeito ao empego de fnções qadáticas paa epesenta cstos e a asência de estições físicas paa epesenta as capacidades de amazenagem e de podção. A pimeia cítica é debada pela agmentação qe cstos qadáticos são ma foma eficaz de penaliza tanto ecesso qanto escassez nos níveis de estoqe, podção e mão-de-oba (HAX & CANDEA, 984). Paticlamente, no caso de estoqes, qalqe ecesso significa amento significativo nos cstos de mantenção; e a escassez, po oto lado, significa csto com peda de contatos devido a não entega do podto nos pazos combinados. A segnda cítica, na nossa opinião, é essencialmente mais ealista do qe a anteio. De fato, em aplicações páticas, a não inclsão de estições físicas dietamente na fomlação do poblema pode gea solções ótimas (i.e. políticas de podção) qe qando aplicadas à companhia, pode vi a se m desaste do ponto de vista da administação da podção (BENSOUSSAN et al., 983). Neste atigo é poposta ma solção ótima seqüencial paa planejamento agegado da podção qe leva em conta o modelo clássico HMMS, mas tendo como pincipal difeença à inclsão de estições nas vaiáveis de decisão. Assim, o modelo qadático oiginal desenvolvido po Holt et al. (96) é convetido em m padão maticial na foma de espaço de estado com estições nas vaiáveis de estoqe, podção e mão-de-oba. Assmindo qe sistema de balanço de estoqe possa se apoimado po m pocesso Gassiano, o poblema estocástico esltante pode se descito como m poblema Linea Qadático Gassiano com estições pobabilísticas nas vaiáveis de decisão, vide Byson and Ho (975). ENEGEP 6

2 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 Po casa de caacteísticas esttais, tais como as estições físicas e a nateza estocástica do sistema, este poblema é difícil de se esolvido de foma global pelas técnicas da pogamação matemática e da teoia de contole estocástica. Assim, paa aplicações páticas, heísticas podem se tilizadas paa gea solções sbótimas. Neste caso, a nateza linea- Gassiana do sistema de balanço de estoqes e o citéio qadático pemitem o so de mecanismos de simplificação como o pincípio da eqivalência-ceteza. Este pincípio pemite tansfoma o poblema estocástico em m poblema eqivalente, onde todas as vaiáveis aleatóias são fiadas igais a ses valoes médios (BERESEKAS, 995). Nas seções segintes, o atigo discte a modelagem de m poblema estocástico qe se popõe a se ma etensão do modelo HMMS e sa convesão ao poblema deteminístico eqivalente de mais simples solção. Heísticas sbótimas são disctidas paa esolve este modelo eqivalente e, po fim, m eemplo simples ilsta a aplicabilidade do modelo estendido eqivalente e de sa solção ótima.. Modelagem do poblema de planejamento da podção Nesta seção, m modelo de otimização seqüencial estocástica, qe sege o padão de espaço de estados com estições pobabilísticas, é fomlado paa epesenta m poblema de planejamento agegado da podção com estições físicas nas vaiáveis de estoqe, podção e mão de oba. Este modelo de otimização é desenvolvido com base no modelo HMMS. O modelo HMMS foi desenvolvido paa aplicações em planejamento agegado, onde os podtos são agpados em famílias tomando po base aspectos de similaidade. Assim, paa cada família de podto pode-se defini qais são as vaiáveis de decisão, estições e csto como sege: I denota o nível de estoqe no peíodo ; P é a taa de podção em peíodo ; e epesenta o tamanho de mão-de-oba egla empegada no peíodo. A vaiável D denota o nível vendas no peíodo, sendo assmida aqi como ma vaiável aleatóia Gassiana estacionáia com média Dˆ e va iância σ (GRAVES, 999). As componentes de csto do modelo HMMS são descitas como sege (Ha e Candea, 984): C C 3 epesenta o csto com mão de oba egla; C ( C ) denota o csto com contatação e dispensa de mão de oba; C 7 [I - (C 8 C 9 D )] epesenta o csto com mantenção de estoqes e atasos de pedido; e C 3 (P - C 4 ) C 5 P - C 6 C P denota os cstos com hoa-eta e ociosidade. Obseve qe os coeficientes C i denotam cstos e os ses valoes necessitam seem estimados a pati de análises estatísticas. Po fim, defini-se o seginte conjnto de estições: de amazenagem no peíodo ; D I e I são os limites mínimo e máimo P e P denotam os limites mínimo e máimo de capacidade podtiva no peíodo ; e epesenta o limite máimo de mão de oba egla estabelecida paa o peíodo. É impotante obseva qe os limites físicos peviamente definidos paa as vaiáveis de estoqe, podção e mão de oba não são consideados no modelo oiginal HMMS. Assim, com objetivo de spea esta deficiência, considea-se qe as estições de estoqe, podção e mão de oba seão mantidas eplicitamente na fomlação do poblema. A pati das notações mencionadas acima, o poblema linea qadático gassiano, com estições pobabilísticas, pode se fomlado como se sege: (i) a fnção csto do modelo clássico HMMS é dada po: J (C -C 6 ) C ( - - ) C 3 (P -C 4 ) C 5 P C P C 7 (I -C 8 ) () Assmindo, sem peda de genealidade, qe C C 3 C 4 (SHEN, 984) e após a ealização de algmas maniplações algébicas, é possível esceve () nm padão maticial dado po: ENEGEP 6

3 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 J ( ) I P h h I P I e P () onde os cstos e, e h e os coeficientes de ajstes maticiais θ e γ são deteminados, basicamente, compaando as epessões () e (). Esses coeficientes são dados po: h C 7 ; h C ; e - C ; C 3 ; - C 3 C 4 ; (C C 3 ) C 4 C ; (C C ) γ. 6 θ 8 θ ; (C 5 θ ) e γ θ e Definindo agoa: I e - como vaiáveis de entada e P e como vaiáveis de saída, a epesentação no espaço de estado do sistema de balanço pode se fonecida como se sege:,, A pimeia linha de (3) epesenta a eqação de balanço de estoqes, o seja, I I P -D. Obseve-se também qe d D i denota as fltações de demanda, o seja, níveis de venda da família de podtos. Já a segnda linha do veto (3) desceve o compotamento do nível de mão-de-oba, isto é,,. Ainda com espeito à eqação de balanço (3), a vaiável v contempla vaiações aleatóias elacionadas aos níveis de mão-de-oba. Paticlamente, esta vaiável epesenta a fltação no nível de mão de oba ente dois peíodos consectivos, onde se incli também a qantidade de mão de oba sada em peíodos pogamados com hoas etas. A vaiável v é aqi assmida nomalmente distibída com média e vaiância σ v. As fltações da demanda d e de mão-de-oba v tonam à eqação de balanço (3) m pocesso estocástico. Como esltado imediato deste fato, os níveis de estoqe e de mãode-oba tonam-se vaiáveis aleatóias com fnções de distibições pobabilísticas dependente da nateza do pocesso estocástico (3). Confome jstificado po Gaves (999), se este pocesso fo estacionáio é possível assmi-lo como m pocesso Gassiano. Neste caso, as distibições de pobabilidade das vaiáveis e seão completamente deteminadas a pati dos ses espectivos pimeios e segndos momentos estatísticos, o seja, de ses valoes médios (, ) e vaiâncias V,V ). ( É assmido qe o nível de estoqe, a taa de podção, e o nível de mão-de-oba devem toma valoes de espaços estitivos definidos pela geência. Desde qe a eqação (3) é m pocesso estocástico, fica impossível gaanti qe esses espaços não ião se violados em algm instante fto. Paa spea tal dificldade, considea-se esses espaços estitivos em pobabilidade, isto é: ( ( ( ) < ) α ) β η d v (a) (b) (c) (d) (3) (4) ENEGEP 6 3

4 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 Os índices de pobabilidade α, β e η são escolhidos pela administação com o intito de edzi os iscos de violação das estições 4.(a), 4.(b) e 4.(c). É inteessante obseva qe paa cada estição, a seleção do índice pobabilístico tem ma intepetação pática. Po eemplo, na estição de estoqes 4.(a), a seleção do índice α na faia [,/) é intepetada como ma sitação em qe a administação tabalha com níveis de estoqes mito baios, o qe pode ocasiona atasos na entega de podtos ao cliente. Po oto lado, a seleção de α na faia [/,) é m fote indicado de qalidade de nível de seviço ao cliente. Po eemplo, caso o administado escolha α,9 significa qe ele espea satisfaze a demanda em pelo menos 9 % das vezes. Isto demonsta ma claa estatégia da companhia em tenta ganha (o mante) a confiança do cliente, entegando podtos no pazo combinado, sem ataso. De modo semelhante, paa o caso da estição 4.(b), a seleção do índice β indica as chances do nível de mão-de-oba não ltapassa m limite pé-especificado mensal ( ) definido pela companhia, cjo valo incli a qantidade eqivalente de mão de oba egla sada em atividades de hoas-etas. A estição 4.(c) é tomada em pobabilidade, devido ao fato da vaiável de podção depende, a cada peíodo de tempo, da posição do nível de estoqe. Matematicamente, isto significa qe µ ( ), onde µ denota ma fnção qe elaciona com. Caso seja assmido qe a tal dependência é linea, a vaiável seá vista como ma vaiável aleatóia com distibição simila a da vaiável. Neste caso, a vaiável seá inteiamente caacteizada po se valo médio e sa vaiância V. Assim sendo, a estição 4.(c) gaante a factibilidade da solção ótima e o índice pobabilístico η pode se intepetado como ga de tilização da capacidade de podção, po eemplo se η,9 significa qe a capacidade agegada do pocesso de fabicação opeaá em pelo menos 9 % das vezes dento dos limites espeados, com apenas % de chance da indesejável posição de nada podzi o de tabalha acima do limite máimo pemitido. Po fim, o poblema seqüencial estocástico com estições pobabilísticas de planejamento agegado pode se fomlado. O objetivo é detemina ma seqüência ótima de podção, µ (, e ma seqüência ótima de níveis de mão de oba egla, dada po ( ),,..., ) (,,..., ),, qe simltaneamente minimizam o csto total espeado de podção, descito em (), sjeito à eqação de balanço linea estocástica (3) e as estições dadas em (4). Note qe este poblema epesenta ma vesão estendida do modelo clássico HMMS. 3. Heísticas sbótimas Devido à nateza estocástica, as estições nas vaiáveis de decisão e a dimensão do poblema, obte ma solção ótima global paa o poblema não é ma taefa tivial. O pocedimento clássico de pogamação dinâmica estocástica é aamente aplicado, em vitde do enome esfoço de amazenamento e de pocessamento comptacional (MINOUX, 983). Devido tais dificldades, solções locais o sbótimas, qe eqeem menoes esfoços comptacionais, são pefeidas (NECK, 984). A segi, ma abodagem sbótima qe tansfoma o poblema estocástico ()-(4) em m eqivalente deteminístico é disctida. Há váias abodagens sbótimas na liteata qe podem se sadas paa esolve o poblema estocástico ()-(4). Algmas dessas heísticas são baseadas no pincípio da cetezaeqivalência (BERESEKAS, 995). Este pincípio eploa a nateza linea-gassiana do pocesso (3) paa tansfoma o poblema estocástico em m poblema deteminístico. O modelo mais simples paa epesenta () - (4) é aqele onde todas as vaiáveis de decisão são ENEGEP 6 4

5 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 fiadas igais aos ses espectivos valoes médios. Paa se obte tal fomlação, os segintes fatos devem se levados em conta: (i) a eqação de balanço (3) é linea; (ii) os cstos do modelo HMMS, descitos em (), são qadáticos e, potanto, conveos; e (iii) os pocessos estocásticos qe egem as fltações das vaiáveis de estoqe e de incemento de mão de oba em (3) são pefeitamente conhecidos, como pocessos Gassianos. Note qe, devido à hipótese de pocesso Gassiano, todas as infomações estatísticas, necessáias paa identifica as distibições de estoqe e mão de oba (i.e., Φ and Φ, espectivamente) são deteminadas a pati das eqações da média e da vaiância obtidas do pocesso (3), vide Silva Filho & Venta (999). Como conseqüência, estas estatísticas pemitem ealiza de foma simples a tansfomação do poblema estocástico ()-(4) em m poblema deteminístico. Antes de inicia com o pocedimento de tansfomação é impotante intodzi as segintes notações estatísticas: (i) médias: E{ }, E{ } dˆ Dˆ ; e (ii) vaiâncias: V E{ } V E{ }, e V V. Devido a estas apoimações, tanto o citéio qadático descito em () qanto à eqação de balanço (3) são convetidos em epesentações deteminísticas eqivalentes. Além disso, ota tansfomação impotante se dá no âmbito das estições pobabilísticas pesentes em (4). De fato, segindo esltado disctido em Silva Filho & Venta (999), estas estições pobabilísticas podem se tansfomadas em desigaldades deteminísticas, como apesentadas a segi: ( ) ( < ) α α onde Φ (.) denota a fnção invesa de distibição de pobabilidade elacionada com a vaiável de estoqe. De modo análogo, pode-se convete a estição pobabilística de mão-de-oba, dada em 4.(b), paa: α, α, V V Φ Φ ( < ) β V Φ ( ) ( α) ( α) β (6), β Note qe agoa a vaiável de podção é essencialmente deteminística, ma vez qe, paa este tipo de heística, ela não depende dietamente da vaiável de estoqe. Como esltado a estição 4.(c) passa a se simplesmente dada po: ( ) η (7) Com base nos esltados acima, o poblema deteminístico eqivalente é dado po: (5) ENEGEP 6 5

6 .-, / ) $.-, ) ".-, ).-, ) Min sjeito a α, h h,,,, θ h θ h γ e α, and and, #%$& '( β, XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 h h γ γ θ e dˆ vˆ Aplicando-se, então, algm pocedimento da teoia de pogamação matemática paa esolve o poblema (8), ma solção não seqencial (e, potanto, estática) é podzida. Este tipo de solção, qe não leva em conta a disponibilidade de novas infomações sobe os níveis de estoqe e mão de oba, ao longo dos peíodos de tempo, é ma apoimação paa a solção ótima global do poblema seqüencial estocástico ()-(4). A despeito de sa sb-otimalidade, tal solção pode se mito impotante paa taça objetivos administativos como, po eemplo, ajda geentes a adqii visibilidades sobe o so dos ecsos dos mateiais da companhia. Ela, também, pode se igalmente sada na pepaação de planos agegados de podção qe seão sados como metas no planejamento e contole da podção (HIGGINS et al., 996). 4. Eemplo Como eemplo, m poblema de planejamento ótimo da podção, mono-podto, mltipeíodo e com estições nas vaiáveis de decisão é fomlado a pati de (8), cjos dados são apesentados a segi. A vaiabilidade da demanda é descita pelo desvio padão σ D 4,4 e média mensal ( Dˆ ): Jan Fev Ma Ab Mai Jn Jl Ago Set Ot Nov Dez A vaiabilidade da fltação do tamanho de mão-de-oba ente peíodos é definida pelo desvio padão σ v 6,. Com espeito aos indicadoes pobabilísticos tem-se qe: (i) ga de satisfação de cliente, associado com o estição de estoqe, é estabelecido igal a 95% (i.e., α,95); e (ii) ga de pobabilidade qe assega qe a qantidade adicional de mão de oba egla não ltapasse m deteminado limite fiado pela geência é assmido da odem de 95% (i.e, β,95). As condições iniciais e finais das vaiáveis de decisão são: I, I 35, P, P 45,. Já, os componentes de csto do modelo HMMS, descitos em (), são: C 69,7; C 64,3; C 3,; C 4 5,67; C 5 5,; C 6 3,7; C 7,85; C 8 3, e C,34, vide Holt et al., (96). A solção ótima obtida é epesentada pelas tajetóias da figas e, qe fomam m cenáio de podção decoente dos dados acima. Com base neste cenáio, pode-se etai impotantes infomações geenciais qe pemitem a geência lida com m tipo especial de! K K e (8) ENEGEP 6 6

7 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 podção, onde a estatégia é mante níveis elevados de estoqes qe pemita atende a demanda sem atasos. Este tipo de pocesso podtivo é mito comm em podção de commodities; na liteata, companhias qe opeam assim são ditas te se pocesso oientado a estoqes, vide Higgins et al. (996). De fato, obseva-se pela figa.(a) qe o nível ótimo de estoqe sege tanto qanto possível o limite máimo de amazenagem, epesentado pela linha pontilhada na figa.(a). Assim, com a fomação antecipada de estoqes ao longo dos peíodos é possível gaanti opotnidades ftas de vendas, tendo em vista, po eemplo, o cescimento inespeado da demanda. Ota impotante caacteística a se obsevada a pati da análise deste cenáio de podção vem da figa.(b). Obsevando-se atentamente esta figa, nota-se qe a taa média de podção está opeando no máimo de sa capacidade e, deste modo, satisfazendo completamente a demanda média, epesentada pela linha pontilhada. De fato, a fltação de demanda média spea a capacidade máima de podção somente em tês peíodos ftos, o seja, no 7º, 8º e 9º peíodos do hoizonte de planejamento. Este tipo de política de podção é qe pemite qe seja possível mante níveis de estoqes elevados ao longo do tempo, como ilstado pela figa.(a). Po conseginte, opeando em caga máima é possível evita a qestão da ociosidade podtiva, qe não é m bom sinal em opeações oientadas paa estoqes. Este cenáio também tem impotante impacto no empego da mão de oba egla. A pati da figa, obseva-se qe o nível de mão-de-oba egla empegado mensalmente não viola o limite máimo pemitido, o seja,, β, onde, β é descito pela linha pontilhada. No entanto, devido à necessidade de mante a podção opeando em sa capacidade máima, os níveis de mão-de-oba adotados tendem a spea a qantidade total de mão de oba eglamente contatada pela companhia (i.e., 85, vide linha sólida na figa ). Note qe esta qantidade adicional da mão-de-oba está dietamente elacionada a políticas de hoas-etas da companhia. Os esltados, apesentados nas figas e, epesentam apenas m dos possíveis cenáio podtivo definidos a pati dos dados fiados pela geência. Esta análise de cenáio dá ma beve idéia das dificldades qe a geência teá paa gea m plano de podção qe seja plenamente eficiente paa a companhia. A pincipal dificldade, neste caso, está elacionada à necessidade de satisfaze compomissos em difeentes dimensões como, po eemplo: mante m nível satisfatóio de estoqes qe ao mesmo tempo maimize as taas de podção, sem simltaneamente intodzi cstos ecessivos com hoas-etas. Ota dificldade é devida à inclsão dos limites físicos elacionados com as vaiáveis de decisão. ais estições, emboa ciem ealismo pático, tiam fleibilidade na bsca de ma solção ótima factível (a) Nível de estoqes Limites mínimo e máimo (meses) (b) aa de podção Limites mínimo e máimo (meses) ENEGEP 6 7

8 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 Figa Níveis de estoqe médio (a) e taas de podção (b) m eses N ível d e M O egla Lim ite s peio N ível 5. Conclsão Figa Nível de mão-de-oba vess Este atigo apesento a fomlação de m poblema de otimização seqüencial Linea Qadático Gassiano com estições pobabilísticas, paa epesenta m poblema de planejamento agegado da podção, baseado no modelo clássico HMMS. A dificldade de obte ma ótima solção global leva a bsca po heísticas qe podzem solções localizadas, o seja, sbótimas. Assim, a pati da aplicação do pincípio da cetezaeqivalência, m poblema deteminístico eqivalente é fomlado, levando em conta os dois pimeios momentos estatísticos elacionados com as vaiáveis aleatóias do poblema oiginal. A solção ótima geada po este poblema pemite a geência obte maio visibilidade sobe o empego dos ecsos podtivos da companhia. De fato, vaiando algns paâmetos do modelo deteminístico (como os índices pobabilísticos α e β), a geência pode consti difeentes cenáios de podção. Paa ilsta esta paticlaidade, foi apesentado m eemplo bastante simples epesentado pelas tajetóias de estoqe, podção e mão de oba, obtidas a pati da solção ótima do poblema deteminístico (8). O cenáio constído po esta solção evelo as dificldades a seem speadas pela geência no sentido de gaanti a qalidade do seviço, na medida qe simltaneamente, bsca-se lida com níveis aceitáveis de estoqes, alta podtividade e mínimo so de hoa-eta. A pincipal conclsão qe se tia é qe a análise de cenáios pode ajda a geência a elaboa m plano de podção mais consistente com os inteesses da companhia. Refeências BENSOUSSAN, A.; CROUCHY M. & PROH J. M. Mathematical heoy of Podction Planning, Noth- Holland, Amstedam, 983 BERESEKAS, D. P. Dynamic Pogamming and Stochastic Contol, Athena Scientific, Vol.. USA, 995. BRYSON, A. E. & HO Y. Applied Optimal Contol: Optimization, Estimation and Contol, (Hemisphee Pblishing Copoation, USA), 975. GRAVES, S. C. A Single-Item Inventoy Model fo a Non-stationay Demand Pocess, Manfacting & Sevice Opeations Management, Vol., No, 999. HAX, A. C. & CANDEA D. Podction and Inventoy Management, Pentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. 984 HIGGINS, P.; LE ROY P. & IERNEY L. Manfacting Planning and Contol: Beyond MRP II (Chapman & Hall), 996. ENEGEP 6 8

9 XXVI ENEGEP - Fotaleza, CE, Basil, 9 a de Otbo de 6 HOL, C. C.; MODIGLIANI, F.; MUH, J. F. & SIMON, H. A. Planning Podction, Inventoy and o Foce, Pentice-Hall, NJ, 96. MINOUX, M. Pogammation Mathematiqe: heoy e Algoithmes, Dnod, Pais, 983 NECK, R. Stochastic Contol heoy and Opeational Reseach (invited eview) Eopean Jonal of Opeation Reseach, 7, pp.: 83-3, 984. SHEN, R. F. C. Aggegate Podction Planning by Stochastic Contol, Eopean Jonal of Opeations Reseach, Noth-Holland, 73, pp , 994. SILVA FILHO, O. S. & VENURA, S. Optimal Feedbac Contol Scheme Helping Manages to Adjsting Indstial Resoces of the Fim, Contol Engineeing Pactices, Elsevie Science, 7/4, , 999. ENEGEP 6 9