ANÁLISE NÃO-LINEAR DE PAVIMENTOS DE CONCRETO ARMADO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 Salvado Homce de Cesce ANÁLISE NÃO-LINEAR DE PAVIMENTOS DE CONCRETO ARMADO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Tese apesentada à Escola de Engenhaia de São Calos da Univesidade de São Palo como pate dos eqisitos paa a obtenção do Títlo de Doto em Engenhaia de Esttas Oientado: Pof.Tit. Wilson Segio Ventini São Calos

2 AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA DESDE QUE CITADA A FONTE. Ficha catalogáfica pepaada pela Seção de Tatamento da Infomação do Seviço de Biblioteca EESC/USP C99a Cesce Salvado Homce de Análise não-linea de pavimentos de conceto amado pelo método dos elementos de contono / Salvado Homce de Cesce ; oientado Wilson Segio Ventini. - São Calos. Tese (Dotoado-Pogama de Pós-Gadação e Áea de Concentação em Engenhaia de Esttas - Escola de Engenhaia de São Calos da Univesidade de São Palo.. Métodos dos elementos de contono.. Análise não linea.. Placas. I. Títlo.

3 ii À minha esposa Léia e aos mes filhos Renata Cladia e Fenando À minha mãe Yvone

4 iii AGRADECIMENTOS Ao Pofesso Wilson Segio Ventini amigo e colega há mais de tinta anos pela oientação e pesença constantes. Aos Pofessoes do Depatamento de Esttas da EESC pela amizade e pelos conhecimentos qe me foam tansmitidos. pestativos. Aos colegas da pós-gadação jovens amigos simpáticos e sempe

5 iv RESUMO CRESCE S. H. Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo método dos elementos de contono. São Calos. Tese (Dotoado Escola de Engenhaia de São Calos - USP Este tabalho tata da fomlação do Método dos Elementos de Contono paa a análise não linea de pavimentos de conceto amado. A teoia tilizada é a de Reissne qe mosto-se eficiente tanto paa placas esbeltas qanto paa as modeadamente espessas. Considea-se a ocoência de cagas concentadas distibídas em sb-egiões da placa e em linha. Admite-se também a possibilidade de m campo de momentos iniciais qe viabiliza o estdo da não lineaidade física nos poblemas. Foam tilizados campos de momentos iniciais aplicados apenas em pontos intenos ao domínio.as integais qe envolvem as céllas de domínio foam modificadas eliminando-se os núcleos compleos e as apoimações atavés de séies. Foi desenvolvida ma fomlação paa a análise de placas vincladas a esttas qaisqe em se domínio com o so de cagas aplicadas incógnitas atando como enijecedoes. O acoplamento MEC/MEF foi empegado tilizando-se modelos simples poém obstos.o sistema de eqações algébicas foi otimizado com a tilização da técnica dos mínimos qadados. O conceto foi modelado adotando-se o modelo de dano de Mazas; paa as amadas m modelo elastoplástico niaial com endecimento isótopo. A análise não linea do poblema é efetada tilizando-se pocedimento incemental-iteativo. São apesentados algns eemplos simples qe mostam a pecisão da técnica sada. Palavas-chave: Método dos Elementos de Contono Análise não linea Placas

6 v ABSTRACT CRESCE S. H. Non-linea analysis of einfoced concete blding floos by the bonday element method. São Calos. Tese (Dotoado Escola de Engenhaia de São Calos - USP This wok efes to the fomlation of the bonday element method fo nonlinea analysis of bilding floo stctes. The plate bending theoy adopted to develop the wok wad de to Reissne which has demonstated to be efficient fo thick modeated thick and thin plates. The kinds of load applied on the plate medim sface have been taken into accont: concentated loading distibted ove sb-domains; distibted along intenal lines. The pesence of initial moment fields convenient to model tempeate effects and to be sed to bild p non-linea soltions has also been consideed in the fomlation. The domain integals containing comple kenels to take into accont the initial moment field inflences wee modified by intodcing thei pimitive fnctions avoiding theefoe sing seies epansions. To integate the initial moments fields only appoimations based on intenal nodal points wee sed. The eslting cell integals have been tansfomed to the cell bonday which eslts into egla integal only. A bonday element fomlation to teat stctal system defined by combining plates with othe stctal element was developed sing inteface foce as nknowns. The BEM/FEM copling developed to teat this case is simple bt obst; only displacements have been copled avoiding impotant singlaities that may happen when copling otations. The eslting system of algebaic eqations has been eglaized by sing the least sqae method. The concete mateial was modeled by sing the Maza s damage model while the steel einfocement was assmed to behave as elastoplastic mateial with isotopic hadening.

7 vi Finally some eamples ae shown to illstate the accacy of the pesented fomlation and the nmeical schemes poposed in this wok. Keywods: Bonday Element Method Non-linea Analysis Plates

8 vii SUMÁRIO INTRODUÇÃO.... CONSIDERAÇÕES GERAIS.... ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO.... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA TEORIA DAS PLACAS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE ESTRUTURAL O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE PLACAS TEORIA CLÁSSICA DE KIRCHHOFF TEORIAS DE REISSNER E MINDLIN MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O CONCRETO ARMADO... FUNDAMENTOS DA TEORIA DE PLACAS...5. INTRODUÇÃO...5. TEORIA DE KIRCHHOFF...6. TEORIA DE REISSNER TEORIA DE MINDLIN....5 CAMPOS DE MOMENTOS INICIAIS CONDIÇÕES DE CONTORNO SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS SOLUÇÃO FUNDAMENTAL PARA A TEORIA DE KIRCHHOFF SOLUÇÃO FUNDAMENTAL PARA A TEORIA DE REISSNER... 4 EQUAÇÕES INTEGRAIS DE PLACAS - TEORIA DE REISSNER INTRODUÇÃO EQUAÇÕES INTEGRAIS DE PLACAS EQUAÇÃO INTEGRAL PARA DESLOCAMENTOS DE PONTOS DO INTERIOR DA PLACA EQUAÇÃO INTEGRAL PARA DESLOCAMENTOS DE PONTOS DO CONTORNO DA PLACA EQUAÇÃO INTEGRAL PARA ESFORÇOS NOS PONTOS DO DOMÍNIO DA PLACA... 48

9 viii..4 CARGAS E MOMENTOS DISTRIBUÍDOS NO DOMÍNIO DA PLACA O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À ANÁLISE DE PLACAS INTRODUÇÃO DISCRETIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES INTEGRAIS DESLOCAMENTOS NO CONTORNO DA PLACA DESLOCAMENTOS EM PONTOS INTERNOS ESFORÇOS EM PONTOS INTERNOS AO DOMÍNIO INFLUÊNCIAS DO CAMPO DE MOMENTOS INICIAIS INTRODUÇÃO INFLUÊNCIA DOS MOMENTOS INICIAIS NOS DESLOCAMENTOS INFLUÊNCIA DOS MOMENTOS INICIAIS NOS ESFORÇOS DETALHES DAS CÉLULAS EMPREGADAS PLACAS COM ENRIJECEDORES ACOPLAMENTO MEC/MEF INTRODUÇÃO EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PLACAS COM VÍNCULOS INTERNOS AO DOMÍNIO APOIOS PONTUAIS APOIOS EM ÁREAS DISCRETAS ASSOCIAÇÃO DA PLACA COM ESTRUTURA QUALQUER ELEMENTOS FINITOS DE VIGA FORMULAÇÃO DO ACOPLAMENTO MEC/MEF COMBINAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO MEC/MEF COM REGULARIZAÇÃO PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MODELOS CONSTITUTIVOS INTRODUÇÃO TEORIA DA PLASTICIDADE MODELO ELASTOPLÁSTICO PERFEITO MODELO ELASTOPLÁSTICO COM ENCRUAMENTO CASO UNIAXIAL... 6

10 i 6.. MODELO ELASTOPLÁSTICO COM ENCRUAMENTO CASO MULTIAXIAL CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO DE VON MISES MECÂNICA DO DANO INTRODUÇÃO VARIÁVEL DE DANO DEFORMAÇÃO EQUIVALENTE MODELO DE DANO DE MAZARS HIPÓTESES BÁSICAS DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS DEFORMAÇÃO EQUIVALENTE CRITÉRIO DE DANO DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL DE DANO... 7 SOLUÇÃO DO PROBLEMA NÃO LINEAR INTRODUÇÃO MODELO ADOTADO CÁLCULO DO MOMENTO INTERNO RESULTANTE NUMA SEÇÃO DA PLACA EQUILÍBRIO NA SEÇÃO DA PLACA PROCEDIMENTO INCREMENTAL PROCESSO ITERATIVO ROTEIRO DE SOLUÇÃO... 8 EXEMPLOS EXEMPLO : EXEMPLO : EXEMPLO : EXEMPLO 4: EXEMPLO 5: CONCLUSÕES...45 BIBLIOGRAFIA...49 APÊNDICE SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS...57

11 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC INTRODUÇÃO. CONSIDERAÇÕES GERAIS No pojeto esttal de edifícios o dimensionamento de pavimentos de conceto amado constitídos de lajes e vigas apaece como sendo de fndamental impotância pois epesenta pate significativa dos cstos da estta. A laje tem se compotamento epesentado teoicamente pelas placas qe são elementos esttais cja dimensão nomal ao se plano é peqena em elação às demais e cjos caegamentos etenos povocam solicitações nomais à esse plano. A análise das placas com a obtenção dos esfoços e deslocamentos em ses divesos pontos é objeto de divesas teoias qe são apoimações bidimensionais de poblemas ealmente tidimensionais. As vigas e pilaes podem se epesentados po baas cjos deslocamentos são igais aos das lajes na inteface com as mesmas. Podem se consideados em modelos matemáticos como m enijecimento localizado nas lajes. A solção analítica destes poblemas só é possível em casos simples daí o se estdo se feito salmente atavés de métodos nméicos apoimados como o Método das Difeenças Finitas (MDF o Método dos Elementos Finitos (MEF e o Método dos Elementos de Contono (MEC cja tilização pática só se tono viável em tempos ecentes com o advento e o baateamento do csto dos micocomptadoes. A fomlação do cálclo de placas teve sas hipóteses fomladas inicialmente na chamada Teoia Clássica po Kichhoff aplicada pincipalmente às placas de

12 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC peqena espessa sendo posteiomente segida pelas teoias de Reissne e Mindlin. Na análise de placas as hipóteses de Reissne-Mindlin qe consideam os efeitos de foça cotante condzem a bons esltados mais pecisos qe os obtidos pela teoia clássica de Kichhoff paticlamente no caso de lajes de gande espessa. O Método dos Elementos de Contono po sa vez apesenta m bom desempenho na análise de placas sendo sa pecisão paticlamente notada po HARTMANN (988 levaam-no a sgei qe o mesmo spea o Método dos Elementos Finitos neste tipo de poblema. O conceto e o aço envolvidos tem se compotamento esttal epesentado neste tabalho po modelos qe consideam as sas não-lineaidades físicas como a Teoia da Plasticidade e a Mecânica do Dano. Em mitos casos também podeia também se consideada a não-lineaidade geomética das esttas o qe aqi não foi ealizado. Consideando o gande númeo de hipóteses adotadas mitas fomlações têm sido epeimentadas sendo o gande desafio epesentado pela coeência ente os valoes obtidos pela epeimentação com os calclados po elas a pecisão neste caso é de gande impotância. O esfoço comptacional envolvido tem pogessivamente pedido sa impotância à medida qe amenta a capacidade de pocessamento dos comptadoes ao mesmo tempo em qe dimini popocionalmente o se peço. O objetivo deste tabalho é o cálclo de pavimentos de edifícios pelo Método dos Elementos de Contono. As análises elásticas seão efetadas segndo as hipóteses de Reissne Mindlin. Os cálclos seão ampliados paa pemiti a solção de poblemas com não-lineaidade física dos mateiais tilizando-se pocedimento incemental e iteativo. Paa amenta a pecisão dos esltados foi adotado novo pocedimento tilizando-se apenas esfoços nos pontos intenos como coetoes dos momentos no pocedimento incemental-iteativo. São apesentadas algmas novas fomlações paticlamente no caso de caegamentos de domínio com vistas à obtenção de esltados mais pecisos. O acoplamento ente o Método dos Elementos de Contono e o Método dos Elementos Finitos foi tilizado na inteface ente as lajes vigas e pilaes do pavimento de conceto amado.foi epeimentada a tilização de m elemento de baa simples

13 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC tansfeindo apenas foças pependiclaes à placa o qe possibilito obstez ao pocesso Mais adiante é tilizado m sistema de eqações spe-abndantes otimizados os esltados com a técnica dos mínimos qadados. Um pogama em lingagem FORTRAN foi desenvolvido paa efeta os cálclos envolvidos. O objetivo ao final do tabalho é chega a ma fomlação apefeiçoada qe possibilite obte esltados mais pecisos do qe os hoje eistentes.. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O capítlo temina com ma evisão bibliogáfica sobe os temas efeentes a: Teoia de Placas consideando-se as teoias de Kichhoff Reissne e Mindlin; o desenvolvimento dos métodos nméicos tilizados na engenhaia esttal atal; os modelos constittivos tilizados paa o conceto amado baseados na Teoia da Plasticidade e na Mecânica do Dano. No capítlo são estdados os fndamentos da Teoia de Placas com sas eqações segida po compaativo ente as Teoias de Kichhoff Reissne e Mindlin inclsive as elações ente sas solções fndamentais. O capítlo é dedicado ao estdo das eqações integais efeentes à Teoia de Reissne. Apesenta-se a epesentação integal dos deslocamentos paa pontos do domínio estendendo-se após paa pontos do contono. Obtêm-se as epesentações dos esfoços nos pontos intenos a pati das epesentações integais dos deslocamentos. Analisam-se os temos de domínio efeentes aos caegamentos aplicados em áeas linhas o concentados em pontos bem como é estdado o efeito de campo de momentos iniciais com vistas a aplicação não-linea. No capítlo 4 estda-se a aplicação da teoia de Reissne à análise de placas discetizando o contono em elementos onde são apoimadas as fnções qe epesentam os deslocamentos e esfoços. As eqações integais de contono são tansfomadas em m sistema de eqações algébicas lineaes. O capítlo 5 estda a inteação da placa com otos elementos esttais como pilaes e vigas. As vigas são analisadas como linhas de caga e o enijecimento é

14 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 4 calclado pelo método dos elementos finitos. A inteação ente a placa e as vigas é epesentada po modelo simplificado de linhas de caga consideando apenas cagas veticais. É obtido m sistema de eqações edndante feita a eglaização pelo método dos mínimos qadados. No capítlo 6 são vistos os modelos constittivos tilizados paa o conceto e amada baseados na teoia da plasticidade e na mecânica do dano contíno. O pocesso de solção do poblema não linea atavés de pocedimento incemental e iteativo é tatado no capítlo 7. No capítlo 8 são apesentados eemplos nméicos de cálclo tilizando a fomlação dada. O capítlo 9 apesenta as conclsões do tabalho bem como sgestões paa sa continidade.. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.. TEORIA DAS PLACAS Entende-se po placa m copo delimitado po das spefícies de peqena cvata a distância ente estas spefícies chamada de espessa sendo peqena em elação às dimensões da spefície e consideada constante. A spefície eqüidistante das faces etenas é chamada de spefície média. As placas são solicitadas po esfoços etenos nomais à spefície média. A intodção de simplificações visando analisa a placa como elemento bidimensional em vez de tidimensional oigino divesas teoias. As mais sadas são a Teoia de Kichhoff e a Teoia de Reissne/Mindlin. O pimeio tabalho nesta áea foi desenvolvido po KIRCHHOFF (85 qe elaboo a chamada Teoia Clássica qe visa à análise de placas delgadas com peqenos deslocamentos sob caegamento tansvesal. A fomlação do poblema condz a ma eqação difeencial de qata odem onde devem se satisfeitas das condições de contono ao longo dos limites da placa desconsideando-se as defomações po cisalhamento tansvesal.

15 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 5 Altenativamente a esta teoia REISSNER ( desenvolve teoia qe considea as defomações po cisalhamento tansvesal obtendo-se m sistema de eqações difeenciais de seta odem. Com este sistema podem se veificadas tês condições em cada ponto do contono. Modelo póimo ao de Reissne foi poposto po MINDLIN (95 paa placas fletidas elásticas e isotópicas baseado nas eqações da teoia da elasticidade tidimensional paa m copo em movimento. A teoia também leva em consideação o cisalhamento tansvesal e o sistema de eqações difeenciais obtido é de seta odem. As teoias de Reissne e Mindlin apesentam esltados melhoes qe os da Teoia Clássica de Kichhoff pincipalmente paa pontos sitados nas bodas além de pemitiem a análise de placas delgadas e espessas. SALERNO & GOLDBERG (96 edziam o sistema de tês eqações difeenciais de Reissne paa ma eqação difeencial de qata odem semelhante à da Teoia Clássica e a ma eqação difeencial de segnda odem paa a deteminação de ma fnção de tensão. Paa placas simplesmente apoiadas os esltados apoimam-se dos da Teoia Clássica. PANC (975 analiso divesas teoias paa análise de placas. NORDGREN (97 (97 afimo qe os valoes calclados pela Teoia Clássica podem se aceitos como apoimações de poblemas tidimensionais coespondentes. Dedzi epessões qe mostam qe o eo qadado médio da Teoia Clássica é popocional à espessa da placa enqanto qe paa a Teoia de Reissne é popocional ao qadado da espessa. CHENG (959 desenvolve nova teoia com eqação difeencial de odem infinita onde deivadas maioes qe as de qata odem mltiplicam os qadados de espessa da placa. Qando a espessa da placa tende a zeo obtém-se a eqação da Teoia Clássica. LEVINSON (98 apesento teoia paa análise dinâmica de placas consideando as defomações po cisalhamento obtendo neste caso esltados similaes aos obtidos po Mindlin.

16 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 6 REISSNER (986 apesento nova fomlação paa análise de placas delgadas sbmetidas a gandes defomações obtendo m sistema de eqações difeenciais de décima odem. No ano seginte REISSNER (987 tato do poblema de placas modeadamente espessas com sistema de eqações difeenciais de décima segnda odem mostando esltados consistentes com valoes clássicos. RYCHTER (988 povo qe a Teoia de Reissne combinada com o estado plano de tensão é capaz de avalia o compotamento eal de placas elásticas homogêneas com eo elativo máimo da odem do cbo da espessa. BARRET & ELLIS (988 apesentaam nova fomlação paa placas sbmetidas a caegamento tansvesal apesentando também os elacionamentos ente a sa teoia e as de Kichhoff Reissne e Mindlin... MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE ESTRUTURAL Tendo em vista qe as solções analíticas das eqações difeenciais dos poblemas esttais coentes são aas ciaam-se técnicas nméicas paa obtenção de solções apoimadas solções estas qe tiveam gande incemento nas últimas das décadas decoente dos gandes avanços da infomática. Estes métodos dividem-se em dois gandes gpos: Métodos de domínio onde na solção das eqações difeenciais são tilizadas apoimações dos valoes de vaiáveis associadas em pontos do domínio e do contono das peças. Petencem a este gpo os métodos das Difeenças Finitas (MDF e dos Elementos Finitos (MEF. Métodos de contono onde na solção das eqações difeenciais são tilizadas apoimações dos valoes de vaiáveis associadas apenas em pontos do contono das peças. Petence a este gpo o método dos Elementos de Contono (MEC. O Método das Difeenças Finitas é o pimeio método de tatamento nméico de poblemas de engenhaia fomlado em bases consistentes e bastante sado até hoje. Sgi com o tabalho de SOUTHWELL (946 consiste na tansfomação das eqações difeenciais em m sistema de eqações lineaes atavés da aplicação de

17 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 7 opeadoes algébicos qe calclam as deivadas como fnções dos ses valoes em pontos póimos atavés apoimações lineaes. O Método dos Elementos Finitos (MEF sgi nindo o tatamento maticial de eticlados com o método da enegia o domínio é dividido em céllas cada qal com pontos caacteísticos (nós aos qais são atibídos valoes paa epesenta as incógnitas do poblema. Estes valoes são avaliados nas céllas po fnções apoimadoas em geal polinomiais. Em mitos casos se faz necessáio a sbdivisão da peça em gande númeo de céllas paa a obtenção de esltados mais pecisos. De fote contibição ao estdo de técnicas vaiacionais e de esídos pondeados. Os tabalhos iniciais em placas foam desenvolvidos po TURNER (956 e ARGYRIS & KELSET (96 baseaam-se nas hipóteses de Kichhoff com fnções apoimadoas de classe C(fnção e pimeia deivada contínas. As evolções ocoidas até então foam apesentadas nos tabalhos de BATOZ et al. (98 qe adotaam modelo em deslocamentos com hipóteses de Kichhoff de foma discetizada ao longo dos lados dos elementos. Consegiam bom desempenho com elemento denominado DKT (Discete Kichhoff Tiangle. Gande evolção ocoe qando começaam a sa as hipóteses de Reissne em lga das de Kichhoff paa placas modeadamente espessas. Vantagem impotante nesta mdança está no fato de seem eigidas fnções apoimadoas paa deslocamentos com continidade classe C po seem deivadas de pimeia odem as mais altas qe apaecem no fncional além do fato de se consideado o cisalhamento tansvesal. Após algns poblemas encontados na fase inicial hove evolção nos tabalhos de TESSLER & HUGHES (985 qe tabalho com elemento tiangla com as hipóteses de Mindlin PAPADOPOULOS & TAYLOR (99 tabalhaam com as teoias de Reissne/Mindlin em elementos tianglaes. O método nméico denominado Método dos Elementos de Contono (MEC deivado do tatamento das eqações integais de contono foi assim denominado po BREBBIA (978. Nasce dos estdos do MEF e ao invés de esolve as eqações difeenciais no domínio do poblema poca esolve as eqações integais no

18 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 8 contono associadas às mesmas. As vaiáveis do poblema são calcladas em pontos discetos do contono e a pati desses valoes calclam-se os valoes no domínio. Apesenta como vantagem a edção de ma dimensão do poblema já qe a discetização é feita apenas no contono ao invés de se feita na áea como no MEF levando a ma qantidade meno de dados de entada. Otas vantagens seiam a epesentação de domínios infinitos a deteminação de valoes em pontos intenos ao domínio sem a necessidade de intepolações no domínio e sem altea a discetização do contono. Apesa de se o mais ecente o Método dos Elementos de Contono oigino-se na esolção de eqações integais conhecidas já no séclo XIX. Histoicamente a pimeia aplicação de eqações integais à Teoia da Elasticidade foi devida a BETTI (87. Foi segido po MUSKHELISSHVILI (95 MIKHLIN (957 e KUPRADZE (965 qe tabalhaam com o chamado método indieto onde as vaiáveis envolvidas não eam as vaiáveis eais do poblema. O método dieto onde as vaiáveis físicas do poblema coincidem com as apesentadas na fomlação foi inicialmente apesentado po RIZZO (967 paa poblemas de elasticidade bidimensional. BREBBIA (978 obteve as eqações integais a pati da técnica dos esídos pondeados associando o método aos otos métodos nméicos. A pati dele ocoe gande implso na tilização do MEC em divesos poblemas de engenhaia como a consideação de não lineaidade física e geomética a inteação solo-estta etc... O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE PLACAS... Teoia Clássica de Kichhoff O tabalho inicial do MEC em placas foi de JASWON et al. (967 baseado na Teoia Clássica de Kichhoff popondo a decomposição da eqação bi-hamônica em das eqações difeenciais hamônicas tansfomando as mesmas em eqações integais no contono e obtendo a solção pelo método indieto. FORBES & ROBINSON (969 foam os pimeios a tiliza o método dieto.

19 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 9 HANSEN (976 tilizo a fomlação dieta paa análise de placas infinitas com fos de contono não caegado com das eqações integais calclando o deslocamento tansvesal e sa deivada nma dieção qalqe. BEZINE & GAMBY (978 desenvolveam fomlação dieta paa a análise de placas patindo da identidade de Geen e consideando das eqações integais paa o deslocamento tansvesal e sa deivada nomal ao contono. BEZINE (978 tilizo fomlação dieta discetização com elementos constantes sem tansfoma a integal de domínio em integal de contono se estdo fico desta foma estito às cagas concentadas. ALTIERO & SIKARSKIE (978 desenvolveam fomlação indieta onde consideam a placa eal contida nma ota fictícia na qal a fnção de Geen é conhecida analisaam apenas placas engastadas. STERN (979 também tilizo fomlação dieta discetização com elementos com apoimação linea incli o cálclo das eações de canto como fnção dos momentos volventes não consideo a hipótese de descontinidade das condições de contono nos nós de canto. BEZINE (98 desenvolve fomlação paa placas com apoios dento do domínio. MOSHAIOV & VORUS (986 estdaam o compotamento elastoplástico sando caegamento incemental com a consideação de momentos fletoes iniciais calclados po pocesso iteativo. Foam tilizadas céllas no domínio e admitido momento constante em cada ma delas. PAIVA (987 estende o método dos elementos de contono paa esttas fomadas po placas vigas e pilaes. Os elementos de vigas e pilaes são eqacionados pelo método dos deslocamentos sendo as espectivas elações jntamente com as condições de eqilíbio e compatibilidade de deslocamentos intodzidas no sistema de eqações do MEC. HARTLEY & ABDEL-AKHER (989 apesentaam poposta paa a solção de singlaidades tilizando a integação analítica de fnções na deteminação de valoes efeentes aos pontos intenos.

20 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC KARAMI et al (99 desenvolveam fomlação tilizando ma eqação hamônica e ma eqação bi-hamônica sendo as integais de contono calcladas analiticamente. CHUEIRI (994 tato da análise elástica de placas completo-a com a inclsão de campo de defomações iniciais estendendo-a paa a análise elastoplástica. Incli modelo paa aplicação em lajes de conceto amado. OLIVEIRA NETO (998 tilizo tês paâmetos nodais de deslocamentos e dois valoes nodais paa esfoços obtendo tês eqações integais de contono po nó. FERNANDES (998 estdo a análise não linea de placas de conceto amado tilizando modelo de dano paa o conceto e modelo elastoplástico nidimensional paa o aço.... Teoias de Reissne e Mindlin A consideação do poblema de placas sando a teoia de Reissne foi inicialmente efetada po WEEËN (98. Estabelece tês eqações integais po nó do contono epesentando as elações ente os deslocamentos (deslocamento tansvesal otações nomal e paalela ao contono e os esfoços coespondentes (foça cotante momentos nomal e tangencial adotando elementos qadáticos na apoimação do contono. KARAM (986 pesqiso na mesma linha de Weeën demonstando a eficiência das hipóteses de Reissne com divesos eemplos de placas isotópicas em egime elástico linea. RIBEIRO & VENTURINI (989 esceveam o sistema de eqações sando pontos fonte foa do domínio paa evita a ocoência de singlaidades. XIAO-YAN et al. (99 consideaam a não lineaidade geomética devido à ocoência de gandes deslocamentos tilizando m sistema iteativo paa a lineaização das eqações. RIBEIRO (99 consideo a ocoência de cagas concentadas distibídas em sb-áeas e em linha. Utilizo elementos de contono de geometia linea e apoimação paabólica paa as vaiáveis de contono.

21 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC KARAM (99 e RIBEIRO (99 apesentaam fomlação paa não lineaidade física nos mesmos moldes da poposta po Vos paa a Teoia Clássica. KATSIKADELIS & YOTIS (99 popseam solção altenativa paa o tatamento da teoia de Reissne e patindo das eqações difeenciais apesentadas em TIMOSHENKO & WOINOWSKY-KRIEGER (959 obteve solção qe continha a soma de dois potenciais m de Bessel e m bi-hamônico. O método depende da solção de tês eqações integais e tês eqações de difeenças finitas. DEBBIH et al. (995 apesentaam solção fndamental modificada de foma qe as pates das fnções epesentativas do efeito das tensões tansvesais foam sepaadas pemitindo análise de placas finas e espessas. Afima qe paa a solção de placas finas os temos qe coigem o efeito da foça cotante deveiam se emovidos da solção fndamental paa m melho esltado nméico o seja nestes casos foi entendido se mais pecisa a Teoia Clássica. SILVA (996 fomlo a análise de placas com vigas e pilaes consideados como enijecedoes a inteação ente a laje e as vigas feita com combinação dos métodos MEF e MEC. ALIABADI et al. (997 tataam da avaliação das tensões na placa atavés de dois métodos o pimeio baseado nas tensões e defomações locais o segndo baseado na avaliação dieta do tenso de tensões sando a eqação integal de tensão. PALERMO ( mosto a coneão ente a Teoia Clássica e a Teoia de Mindlin escevendo as eqações difeenciais desta com temos eqivalentes aos sados nos estados planos atavés de otações e dilatações. Obteve solção fndamental igal à obtida po Weeën e também a solção da Teoia Clássica pemitindo entende melho a nateza das coeções qe foam intodzidas pelas teoias de Reissne e Mindlin. BACARJI ( desenvolve modelo paa análises de pavimentos de conceto amado em edifícios com ênfase em lajes cogmelo. Analiso-se o caso de campo de momentos iniciais paa o estdo de poblemas de não-lineaidade física. CARMO ( estdo pavimentos de edifícios atavés de combinação MEC- MEF consideando o efeito da ecenticidade do eio neto das baas em elação à spefície neta da placa acescendo-o ao fenômeno da fleão da placa. Utilizo a técnica das sb-egiões paa o acoplamento dos elementos.

22 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC BOTTA ( desenvolve fomlação não-linea com o MEC paa análise nméica de sólidos danificados consideando-se o fenômeno de localização de defomações sando dois modelos de dano paa o conceto. Consideo o acoplamento do MEC com o MEF paa modela o meio contíno com fibas.... Modelos Constittivos paa o Conceto Amado Divesos tipos de modelos constittivos tem sido tilizados paa desceve o compotamento das peças de conceto como modelos elastoplásticos modelos de dano de fata e otos. KACHANOV (958 intodzi o conceito de dano paa modela a fissação distibída na pta fágil dos metais após seem sbmetidos à defomação lenta. CERVENKA (97 aplico a teoia da plasticidade ao conceto compimido com citéios análogos aos sados nos mateiais metálicos. JOFRIET & McNEICE (97 consideaam efeito de fissação adotaam elação bilinea paa momento-cvata paa epesenta o compotamento do conceto. RAO & SUBRAHMANYAN (97 popseam elação tilinea momentocvata e consideaam a esistência do conceto tacionado ente das fissas. CHEN & CHEN (975 adotaam estado tidimensional de tensão paa o conceto consideando-o como mateial elastoplástico com endecimento. KRAJCINOVIC & FONSEKA (98 popseam modelo vetoial de dano dado em fnção das coodenadas do ponto e de vaiáveis de estado. MAZARS (984 apesento modelo escala de dano adeqado paa caegamentos cescentes. A vaiável de dano é calclada como fnção de defomações eqivalentes calcladas localmente em fnção dos alongamentos do mateial. Os paâmetos do modelo são ajstados em fnção de esltados epeimentais. PROENÇA (988 fez ma análise detalhada sobe váios modelos constittivos paa o conceto. HU & SCHNOBRICH (99 adotaam paa o aço compotamento elastoplástico pefeito e paa o conceto modelo elastoplástico com endecimento na compessão e tensão limitada à tação.

23 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC ALVARES (99 estdo modelo de dano paa o conceto com identificação epeimental de paâmetos sando o MEF. BUSSAMRA (99 apesento eqações constittivas paa o conceto baseadas na mecânica do dano contína. No Depatamento de Esttas da Escola de Engenhaia de São Calos foam desenvolvidas algmas dissetações e teses onde se focalizaam algmas aplicações de modelo de dano às esttas de conceto amado. Podem se citados BOTTA (998. PITUBA (998 ALVARES (999 e DRIEMEIER (999.

24 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 4

25 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 5 FUNDAMENTOS DA TEORIA DE PLACAS. INTRODUÇÃO Placas são elementos esttais planos siméticos em elação a m plano médio cja dimensão nomal a esse plano médio (espessa é peqena em elação às dimensões da spefície e qe são solicitadas po esfoços etenos nomais a esse plano médio. Consideando as popiedades da placa podemos classificá-la em: otótopa com popiedades difeentes em das dieções otogonais de sa spefície o isótopa com popiedades igais em todas as dieções. Qanto à espessa chamando-a de d e denominando de a o compimento do meno lado da placa temos: Placas mito delgadas paa d/a < /; Placas delgadas paa d/a sitado ente /5 a / onde o valo / pode se encontado po eemplo em pontes de laje e valoes da odem de /8 paa lajes de foo de edifícios; Placas espessas paa d/a > /5. A Teoia de Kichhoff não pemite avalia o efeito da espessa sobe os valoes dos deslocamentos e esfoços consideando a placa como delgada. A Teoia de Reissne pemite esta avaliação e pode se sada tanto paa placas delgadas como espessas. As fomlações paa placas mito delgadas devem considea gandes deslocamentos.

26 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 6. TEORIA DE KIRCHHOFF Intepeta com pecisão o poblema das placas delgadas com peqenos deslocamentos tem como hipóteses básicas: O mateial da placa é homogêneo isotópico e elástico-linea; Uma eta nomal à spefície média inicialmente indefomada pemanece nomal à mesma spefície após a defomação sofendo apenas otação isto é não são consideadas as defomações po cisalhamento tansvesal. Além disso as defomações vaiam lineamente em fnção de sa distância ao plano médio; As tensões aplicadas nas spefícies etenas são mito peqenas em elação às tensões nomais de fleão paalelas ao plano médio podendo se despezadas; Não ocoem defomações no plano médio da placa. OBSERVAÇÃO: O fato de despeza as tensões nomais à spefície da placa coincide com a maio pate dos casos eais po eemplo confome FUNG (965 a pessão aeodinâmica atando nas asas de m avião vaia de a libas po polegada qadada enqanto qe os esfoços na dieção da pele da asa chegam a valoes de. a. libas po polegada qadada. Esta sitação pática é impotante paa a simplificação da teoia. A pati destas hipóteses e consideando a convenção de sinais dada na figa abaio podem se dedzidas as segintes elações: Figa. - Elemento de Placa e Componentes de Tensão

27 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 7 Consideando a qata hipótese temos: σ σ... (. z zy σ h z h... (. zz Da pimeia e teceia hipótese vem: σ b y z σ b ( y z... (. ( yy Adotam-se as segintes convenções de sinais (ve figa.: As tensões nomais σ são positivas qando povocam tação na pate infeio do elemento as tensões tangenciais são positivas tomando a pate infeio do elemento como efeência qando coincidem com o sentido positivo dos eios; Os momentos fletoes são positivos se povocam tação na fiba infeio; Os momentos volventes são positivos qando se veto é emegente da face consideada; As foças cotantes são positivas se olhando o eio cescente da esqeda paa a dieita tendem a gia o elemento no sentido hoáio. Figa. Convenção de sinais paa momentos e cotantes

28 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 8 Consideando a placa sbmetida apenas a peqenos deslocamentos i o tenso de defomações pode se dado po : i i j ε ij... (.4 j De acodo com a hipótese admitida de compotamento elástico linea a elação tensão-defomação (lei de Hooke é dada po: G σ ij ε llδ ij Gε ij... (.5 o a elação invesa defomação-tensão dada po: ε ij σ ij G σ δ ll ij... (.6 sendo: E G... (.7 ( onde: E módlo de elasticidade longitdinal (Yong G módlo de elasticidade tansvesal coeficiente de Poisson Consideando (. (. e (.4 valem as segintes elações: Usamos índices com letas ijk vaiando de a letas gegas alfabeta vaiando de a.

29 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 9 ε ε z zy z y z z z y... (.8 z E ( σ σ z ε zz... (.9 Eqações (.9 (. e (. jntas condzem a: yy z w( y E ( b ( ( y b y z. (. onde a fnção w(y epesenta o deslocamento vetical do plano médio da placa. Em vista da peqena espessa da placa o segndo temo em (. é em geal peqeno e pode se despezado em compaação com o pimeio temo. Adotando w(y em lga de z em (.8 e integando obtemos: y w( y z w( y z y... (. onde (y v(y e w(y a pati deste ponto seão epesentadas po v e w espectivamente. De (. dedzem-se as elações qe fonecem as defomações:

30 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC w z v y y w z y v w z y yy ε ε ε... (. Consideando a lei de Hooke (.5 temos: y w Gz w y w Ez y w w Ez y yy σ σ σ... (. Vamos agoa considea o eqilíbio. As eqações de eqilíbio paa m copo tidimensional são: Z z y Y z y X z y zz yz z zy yy y z y σ σ σ σ σ σ σ σ σ... (.4

31 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC Agoa mltiplicando a pimeia eqação (.4 po zdz e integando-a de h/ até h/ obtemos: h / h / h / h / σ σ z zdz z zdz h / h / h / h / σ y y zdz Xzdz... (.5 Desde qe as distibições de tensão ao longo da espessa são agoa conhecidas podem se calclados os valoes dos momentos po nidade de compimento dados po: M h / h / σ z dz M yy h / h / σ yy z dz... (.6 M y h / h / σ y z dz Podem também se calclados os valoes das foças cotantes po nidade de compimento como esltantes das integais das tensões tangenciais ao longo da espessa: Q Q y h / h / h / σ σ h / z zy dz dz... (.7 po: Os momentos etenos aplicados po nidade de compimento são epessos

32 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC m m y h / h / h / h / X z dz Y z dz... (.8 Na epessão (.5 a odem das opeações de integação e difeenciação pode se tocada nos pimeios dois temos o teceio temo pode se calclado po integação po pates. Após isto e sbstitindo os valoes de (.6 (.7 e (.8 fazendo o mesmo paa a segnda eqação de (.4 vem: M M y M y y M y yy Q Q y m m y... (.9 Integando-se agoa a teceia eqação (.4 ao longo de z desde h/ até h/ e pocedendo-se analogamente ao citado acima temos: Q Q y y q... (. onde q é a caga atante esltante na dieção z dada po: q h σ h h / σ Zdz... (. zz zz h / Eliminando Q e Qy na (.9 po ses valoes na (.7 obtemos a eqação de eqilíbio em momentos: M M y M y m q d m y y yy y (.

33 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC Sbstitindo os valoes das tensões de (. em (.6 obtemos as epessões momento-cvata: M M M yy y w w D y w w D y w D( y... (. onde: Eh ( D... (.4 A epessão (.4 chamada de igidez à fleão da placa tansfoma nméica e dimensionalmente as cvatas (o sas combinações lineaes em momentos. A menos do fato (- tata-se do podto de igidez EJbd / de ma faia de placa de laga nitáia. O fato (- condz poém a D>EJ o seja a placa é mais ígida qe a viga o melho confome MARTINELLI et al. (986 sempe se deveia considea o D mesmo em vigas qando se calcla com o EJ tem-se a impessão de igidez algo meno emboa sendo a difeença peqena. Paa obte a eqação constittiva da cotante a elação tensão-defomação não pode se sada pois a defomação no plano médio é zeo. Assim ecoe-se às condições de eqilíbio (.9 e obtém-se: Q D w w y... (.5

34 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 4 Deivando as elações momento-cvata (. e sbstitindo em (. temse a eqação fndamental da teoia linea de fleão de placas de espessa nifome: 4 w 4 4 w y 4 w y 4 q D m m y y (.6 o de foma compacta: 4 w D q m d m dy y... (.7 A eqação (.6 mosta qe a solção do poblema de placas é edzida à solção de eqações bihamônicas com as adeqadas condições de contono. Devido à eqação difeencial se de qata odem apenas dois valoes devem se satisfeitos no poblema de valoes de contono associados a cada ponto ao invés de tês valoes como seia o sal pelo caáte tidimensional do modelo. Isto ocoe devido à não consideação da defomação po cotante. Foi demonstado po KIRCHHOFF (85 qe a solção pode se obtida agpando-se as condições de contono elativas à foça cotante e ao momento na dieção ns pependicla ao contono da placa ciando-se ma foça cotante eqivalente dada po: V n Q M s ns n... (.8 A epessão (.8 faz so de m sistema ailia de coodenadas onde as coodenadas ns são posicionadas no contono da placa a coodenada s pecoe o contono no sentido anti-hoáio e a coodenada n nomal ao contono é diigida paa o eteio da placa Qn é a cotante na dieção da nomal e Mns é o momento volvente da boda consideada.

35 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 5 Figa. Sistema de coodenadas ns po : A tansfomação de coodenadas do sistema (y paa o sistema (ns é dada y n n T T T... (.9 s s y onde a matiz de tansfomação T é dada po: cos sen sen n cos n T... (. onde a pimeia colna são os cossenos dietoes do veso na dieção n enqanto qe a segnda colna são os cossenos dietoes do veso na dieção t. A tansfomação do tenso de momentos do sistema (y paa o sistema (ns é dada po: M onde: T... (. T M T t t As matizes e vetoes são indicadas em negito.

36 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 6 M M y M nn M ns M M... (. M y M yy M sn M ss Consideando qe My My o tenso momento seá epesentado com maio simplicidade atavés do veto: M M nn M M M M y ns... (. M yy M ss Utilizando o podto maticial paa faze a tansfomação das matizes de momentos agoa tansfomadas em vetoes temos: M C M... (.4 onde a matiz C de tansfomação é dada po: C cos cossen sen sencos cos sen sencos sen sencos cos (.5 Analogamente paa a tansfomação dos esfoços cotantes do sistema (y paa o sistema (ns temos: T... (.6 Q onde: T Q

37 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 7 Q Qn Q Q... (.7 Qy Qs Um aspecto impotante na teoia de Kichhoff é a eistência de foças no canto qe são intodzidas devido à vaiação dos momentos volventes na cotante distibída confome (.8. Estes temos coespondem às hipóteses simplificadoas assmidas pela teoia. A Teoia de Kichhoff ecebe mitas cíticas e geo enegia paa otos desenvolvimentos na teoia de placas mas confome FUNG (965 foi a mais impotante descobeta na teoia de placas.. TEORIA DE REISSNER A azão fomal paa a impossibilidade de satisfaze mais de das condições pela Teoia Clássica tem sido a odem da eqação básica desta teoia; fisicamente esta azão está no fato qe a distoção dos elementos da placa devida a foças cotantes foi negligenciada. Este fato é eqivalente a considea o módlo de elasticidade tansvesal G ; em algmas sitações pocedendo desta maneia nós sbstitímos o mateial da placa sposto isotópico po oto qe não é. Atendendo à consideação de G a placa não esponde à otação de algm momento aplicado à spefície da placa se o veto qe epesenta o momento coincidi com a nomal à esta spefície. Isto nos habilita a soma a vaiação Mns/s devida a momentos volventes com o efeito da foça vetical Qn ciando a foça cotante eqivalente e edzindo o númeo de condições de contono paa das. A análise de placas elásticas é gandemente simplificada po esta edção. Po oto lado consideando o já eposto não podemos espea completa concodância ente a distibição de esfoços teóica e a qe ealmente ocoe.

38 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 8 O eo da Teoia Clássica paa o cálclo de placas delgadas ocoe pincipalmente nas bodas e ao edo de fos com dimensões compaáveis à espessa da placa. A coeção inicial da teoia clássica com espeito ao efeito das defomações po foça cotante é devido a Eic Reissne. A Teoia de Reissne intepeta o poblema das placas delgadas com peqenos deslocamentos considea as defomações devidas à foça cotante tem como hipóteses básicas: A espessa é peqena se compaada às otas dimensões; O mateial da placa é homogêneo isotópico e elástico-linea; Uma eta inicialmente nomal ao plano médio após a defomação da placa pemanece eta poém não mais nomal ao plano médio devido à consideação das defomações po foça cotante; As componentes tangenciais são nlas nas faces da placa; A tensão nomal à spefície etena das placas é dada po: q ± σ paa h ± OBSERVAÇÃO: Pode também se admitida caga de m só lado da placa o seja sem qe se alteem os valoes dos esfoços a seem obtidos. Neste caso teíamos: σ h σ q h A Teoia de Reissne foi concebida a pati de ma distibição de tensões assmida a pati do qal foam escitas eqações levando em consideação os efeitos da foça cotante. Coeente com a teceia hipótese é admitida vaiação linea paa as tensões no plano da placa o seja: M z σ β β... (.8 h

39 p são foças pescitas no contono Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 9 Das das pimeias eqações (.4 temos: Q σ... (.9 h h Consideando a teceia eqação (.4 na asência de foças de volme vem: σ σ σ... (.4 Integando a eqação acima em elação à e impondo os valoes da qinta hipótese temos: 4 h h q σ... (.4 A pati daí Reissne ecoe ao método da enegia paa obte as eqações difeenciais do poblema confome já mostado po RIBEIRO (99 e SILVA (996; tilizando o pincípio de Reissne cjo fncional na asência de foças de volme é dado po: R σ dv ( p p ds V ij j i Γ i i i π U onde: i são deslocamentos p são foças na spefície de contono p Γ p ds i i Γ é o techo do contono onde as foças são pescitas p Γ é o techo do contono onde os deslocamentos são pescitos

40 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC U é a enegia de defomação complementa igal à enegia de defomação paa o caso admitido de mateial elástico linea. σ ij j são deivadas das tensões onde as gandezas lives paa vaia são as tensões os deslocamentos e as foças atantes no contono de deslocamentos pescitos. Um oto método qe chega paticamente aos mesmos esltados devido a E. Geen é mostado po TIMOSHENKO & WOINOWSKY-KRIEGER (959. Na pimeia vesão do tabalho de Reissne este foi contestado pois esceve a enegia total como fnção das tensões assmidas e tilizo as elações constittivas do espaço tidimensional o qe casa inconsistência ente defomações e tensões se todas as eqações foem sadas. Assim não seia possível empega a eqação: w E [ σ ( σ σ ]... (.4 pois podziia difeenças no ga dos polinômios qe epesentam σ em elação aos adotados em (.4. Reissne pblico então ma segnda vesão de sa teoia coigindo-a definindo deslocamentos genealizados qe segndo ele epesentam qantidades eqivalentes mas não idênticas às componentes de otação da spefície média e qe as defleões w deveiam se entendidas como m valo médio. Intodzi então as segintes epessões adicionais: σ dz M h h φ σ dz M φ dz M σ φ... (.4 h

41 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC σ dz Qw h σ dz Qw h Sbstitindo as eqações (.8 (.9 e (.4 em (.4 obtemos: φ w h h h h zdz z h wdz... (.44 Os esfoços podem então se obtidos a pati dos deslocamentos: M M M D( φ D( φ D( φ φ φ φ ( ( λ λ q q... (.45 Q Q ( D ( D λ λ ( φ w ( φ w... (.46 onde λ / h é ma constante caacteística da Teoia de Reissne. Escevendo as eqações (.45 e (.46 na foma indicial vem:

42 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC ( ( β β γ γ β β β δ λ δ φ φ φ q D M ( φ λ w D Q... (.47 Sbstitindo os valoes de (.45 e (.46 nas eqações de eqilíbio dadas em (.9 e (. obtém-se as eqações de eqilíbio em temos de deslocamentos: ( ( ( q E h h w φ φ φ φ φ ( ( ( q E h h w φ φ φ φ φ ( 4 q Eh w w φ φ

43 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC As tês eqações de eqilíbio dadas em (.9 e (. combinadas com as cinco eqações dadas em (.45 e (.46 fomam m sistema de oito eqações difeenciais paciais de pimeia odem de Reissne onde as oito incógnitas são os tês momentos as das cotantes e os deslocamentos o seja: M M M Q Q φ w φ Consideando a eqação difeencial de qata odem da Teoia Clássica algns atoes fazem maniplação algébica adotando hipótese de seem difeenciáveis as fnções deslocamentos envolvidas e chegam a ma eqação difeencial de Reissne em temos de deslocamentos: D ( ( 4 w q λ q... (.48.4 TEORIA DE MINDLIN A Teoia de Mindlin pecebendo os poblemas apesentados pela Teoia de Reissne bsco ota maneia de intepeta o poblema das placas delgadas com peqenos deslocamentos consideando também as defomações devidas à foça cotante. Em lga de adota distibição de tensões Mindlin adoto ma distibição de defomações conhecida similamente à Teoia Clássica. Como agoa eistem as defomações po foça cotantes as distoções não são mais nlas Mindlin impôs nla a vaiação da distoção: γ γ... (.49

44 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 4 Ainda de foma simila à Teoia Clássica ele spõe nla a defomação na dieção da espessa desta foma temos: ε... (.5 Integando as eqações (.49 na espessa: γ γ σ ' G σ ' G f f ( (... (.5 Desta foma eiste valo não nlo paa a distoção na spefície média dada pelas fnções f. O valo de G dado pela liteata clássica é dado po: π G' G... (.5 Análise mais completa do valo de G é feita po PALERMO (. Os deslocamentos podem então se dados po: w w... (.5 Definindo-se das novas gandezas paa o membo esqedo das eqações acima chegamos a ma epessão paa as defomações ε simila à da Teoia Clássica o seja:

45 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 5 w w Ψ Ψ... (.54 Ψ Ψ ε ε... (.55 Ψ Ψ Ψ Ψ w w γ γ γ... (.56 Integando-se as epessões (.55 e (.56 ao longo da espessa e consideando as epessões (.6 e (.7 temos: Ψ Ψ D M

46 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 6 Ψ Ψ Ψ Ψ D M D M... (.57 Ψ Ψ ' ' w G h Q w G h Q... (.58 Utilizando a notação indicial paa esceve as eqações acima temos: Ψ Ψ Ψ β γ γ β β β δ D M (.59 ( λ w D Q Ψ... (.6 onde: h π λ... (.6 A epessão acima é bastante simila à da constante caacteística de Reissne. Escevendo as eqações de eqilíbio (.9 e (. e consideando os valoes dos esfoços das eqações (.59 e (.6 obtém-se as eqações de eqilíbio em temos de deslocamentos:

47 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 7 ( Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ h w π ( Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ h w π (.6 ( 4 Ψ Ψ q Eh w w π (.6 Algmas obsevações podem aqi se anotadas: O valo do caegamento distibído apaece apenas na eqação de eqilíbio de cotantes similamente ao Método Clássico e difeente das eqações de Reissne; As eqações apesentam similaidade de foma com as eqações eqivalentes de Reissne apaentando seem similaes às gandezas φ e ψ. Em vedade as fnções ψ de Mindlin são similaes às de Timoshenko paa a teoia clássica enqanto qe as fnções φ de Reissne são definidas po ele pópio como qantidades eqivalentes mas não idênticas às componentes da otação na spefície média. A eqação difeencial de Mindlin paa as placas em deslocamentos é:

48 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 8 w D λ 4 q... (.64.5 CAMPOS DE MOMENTOS INICIAIS Com a finalidade de analisa a ocoência de ações devidas a campos de defomações iniciais como tempeata etc. o tenso de defomações pode se epesentado po: ε ε ε ij... (.65 e ij ij onde: e ε é o campo das defomações iniciais e ε é a componente elástica obtida a ij ij pati do caegamento e das condições de contono spondo compotamento elástico do mateial. A fomlação a pati de defomações iniciais foi mostada po VENTURINI (98 aqi entetanto seá mostada a fomlação em temos de m campo de momentos iniciais qe possibilitaá inclsive o so de caegamentos incementais confome já adotado po RIBEIRO (99 e SILVA (996. As cvatas iniciais podem se elacionadas aos momentos iniciais po: M C χ... (.66 β onde: βγθ γθ C é o tenso elástico de qata odem do mateial e βγθ χ são as γθ componentes do campo de cvatas iniciais. Consideando as eqações acima temos: M e M M... (.67 β β β

49 Análise não linea de pavimentos de conceto amado pelo MEC 9 onde e M β é a pacela do momento calclada elasticamente e M é o β momento vedadeio consideando-se os momentos iniciais e o caegamento. Consideando as epessões da Teoia de Reissne: M e C χ C φ... (.68 β βγθ γθ βγθ γ θ M β e M qδ M... (.69 β β β λ ( Analogamente paa cotantes temos: Q... (.7 C θψ θ ψ θ φ θ w θ... (.7 A figa abaio ilsta as defomações po cisalhamento ocoidas na placa onde a eta pependicla à spefície média na posição indefomada pemanece eta após a defomação mas não pependicla à spefície média. Figa.4 Defomação po cisalhamento tansvesal