Uso de uma rede unidimensional harmônica com o potencial de Rosen-Morse on site para modelar o DNA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO Campus de São José do Ro Preto Natála Favaro Rbero Uso de uma rede udmesoal harmôca com o potecal de Rose-Morse o ste para modelar o DNA São José do Ro Preto -009-

2 Natála Favaro Rbero Uso de uma rede udmesoal harmôca com o potecal de Rose-Morse o ste para modelar o DNA Dssertação apresetada para obteção do título de Mestre em Bofísca Molecular, área de cocetração Bofísca Molecular, juto ao programa de Pós-Graduação em Bofísca Molecular do Departameto de Físca do Isttuto de Bocêcas, Letras e Cêcas Exatas da Uversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, Campus de São José do Ro Preto, São Paulo, Brasl. Oretador: Prof. Dr. Elso Drgo Flho São José do Ro Preto -009-

3 NATÁLIA FAVARO RIBEIRO Uso de uma rede udmesoal harmôca com o potecal de Rose-Morse o ste para modelar o DNA Dssertação apresetada para obteção do título de Mestre em Bofísca Molecular, área de cocetração Bofísca Molecular, juto ao programa de Pós-Graduação em Bofísca Molecular do Departameto de Físca do Isttuto de Bocêcas, Letras e Cêcas Exatas da Uversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, Campus de São José do Ro Preto, São Paulo, Brasl. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Elso Drgo Flho Lvre-Docete UNESP São José do Ro Preto Oretador Profª. Drª. Carla Goldma Lvre-Docete USP São Paulo Prof. Dr. José Roberto Ruggero Lvre-Docete UNESP São José do Ro Preto São José do Ro Preto, 30 de abrl de 009.

4 v AGRADECIMENTOS Agradeço aos meus pas, que ão medram esforços para me proporcoar uma boa educação e sempre estveram ao meu lado, me acoselhado os mometos de decsões. A mha rmã Daele e meu cuhado Vaderle, pelo apoo e carho que sempre me deram e pela pacêca de abrrem sua casa para mm todas as vezes que precse. Ao Prof. Dr. Elso Drgo Flho, que desde a mha graduação tem me dado a oportudade de apreder, me oretado sempre com muta pacêca, dedcação e amzade. A todos os professores que cotrbuíram para a mha formação, passado um pouco de seus cohecmetos para o meu apredzado. Agradeço, em especal, ao Prof. Dr. José Roberto Ruggero e ao Prof. Dr. Gerald Weber, pelas mportates sugestões que me deram a baca de qualfcação. A todos os meus amgos, pelo apoo, cetvo, ajudas e sugestões que deram para o meu trabalho e também pelos mometos de descotração e alegra. A todas as pessoas que, de alguma forma, cotrbuíram para a realzação deste trabalho. Ao Iblce/UNESP por me dar a oportudade de estudar, pesqusar e crescer pessoal e profssoalmete. A CAPES pelo mportate apoo facero.

5 v RESUMO Neste trabalho fo aalsada uma rede udmesoal composta por sstemas massamola com um potecal de Rose-Morse o ste. Esse tpo de rede é usado para estudar propredades termodâmcas do DNA, partcularmete sua desaturação térmca. No cotexto do presete trabalho, o potecal de Rose-Morse smula as lgações de hdrogêo etre a dupla fta da molécula. A partr do gráfco do estrameto médo dos pares de base versus temperatura se observou a desaturação térmca do sstema. Esse resultado mostra que é possível obter trasção de fase com um potecal sem uma barrera fta, porém assmétrco. Outro resultado obtdo é a forma da curva, que mostrou uma trasção lgeramete mas abrupta em comparação com a curva de trasção feta para o potecal de Morse o ste usado o modelo orgal de Perard-Bshop. Esse comportameto é ecotrado em modelos que buscam uma melhor aproxmação etre o modelo e os resultados expermetas de desaturação térmca para o DNA. PALAVRAS-CHAVE: Trasção de Fase, Redes ão leares, DNA.

6 v ABSTRACT I ths wor, t was aalzed a oe-dmesoal lattce formed b mass-sprg sstems wth a addtoal Rose-Morse potetal o ste. Ths d of lattce s used to stud thermodamc propertes of DNA, partcular the thermal deaturato. I the cotext of ths wor, the Rose-Morse potetal smulates the hdroge bouds betwee the double helx of the DNA. The graphc of the average base pars stretchg fucto of temperature gves formato about the thermal deaturato of the macromolecule. Ths result shows that t s possble to obta phase trasto usg a asmmetrc potetal o ste wthout a fte barrer. The graphc also showed a sharp deaturato comparso wth the trasto curve obtaed whe the Morse potetal o ste s used the orgal Perard- Bshop model. Ths behavor mproves the model. KEYWORDS: Phase Trasto, o-lear lattce, DNA.

7 v LISTA DE FIGURAS. Esquema do desoxrrboucleotídeo Estrutura das bases trogeadas da molécula de DNA Esquema do modelo para o DNA proposto por Perard-Bshop Esquema do potecal de Morse Gráfcos dos potecas de Morse e Rose-Morse Gráfco do estrameto médo dos pares de base versus temperatura para o potecal de Rose-Morse Gráfco do estrameto médo dos pares de base versus temperatura para o potecal de Morse Comparação etre os gráfcos do estrameto médo dos pares de base versus temperatura dos potecas de Morse e Rose-Morse

8 x SUMÁRIO. Itrodução Característcas Geras da Molécula de DNA O Modelo de Perard-Bshop para a molécula de DNA Modelo de DNA com o potecal de Rose-Morse o ste Estudo da trasção de fase Modelo de DNA com o potecal de Rose-Morse o ste Estudo da trasção de Fase para o modelo de Perard-Bshop Dscussão dos resultados obtdos para a trasção de fase do modelo de PB e do modelo com o potecal de Rose-Morse Coclusão Referêcas Bblográfcas Apêdce A: Cálculo da fução de partção para uma cadea lear de oscladores Apêdce B: Técca do operador tegral de trasferêca Apêdce C: Método de fatorzação e supersmetra

9 CAPÍTULO INTRODUÇÃO O modelo de Perard-Bshop PB proposto em 989 [] tem sdo muto utlzado para descrever a desaturação térmca do DNA []. O modelo orgal tem a dupla hélce do DNA descrta por duas cadeas de partículas ode o potecal harmôco smula as terações de emplhameto, equato o potecal de Morse descreve as lgações de hdrogêo que é uma das prcpas terações resposáves por mater a dupla hélce da molécula estável. Partdo desse modelo város aspectos dâmcos e termodâmcos do DNA têm sdo explorados, por exemplo, formação do domío de parede [3,4], localzação de eerga [5], formação e establdade de breathers [6-8]. Váras modfcações têm sdo propostas o modelo de PB objetvado obter uma melhor descrção da trasção de fase para a molécula de DNA. Uma maera de alterar o modelo cosste em modfcar a teração de emplhameto. Orgalmete essa teração fo tomada como puramete harmôca [], em trabalhos mas recetes [9-] um termo expoecal fo troduzdo juto a esse termo harmôco. Outra maera de alterar o modelo orgal é substtur o potecal de Morse por outros potecas com característcas dferetes. Isso pode ser realzado pela adção de um ovo termo ao Morse [], esse termo pode ser terpretado como estado relacoado com a teração da macromolécula com o solvete. Todas as modfcações destacadas aqu procuram obter uma desaturação térmca abrupta, o que ão acotece o modelo proposto por PB orgalmete. Explorado o comportameto geral de redes ão leares do tpo estudadas aqu, Agela et all [3] mostram que as trasções de fase estão relacoadas às mudaças topológcas ocorrdas o sstema. Um resultado mportate dcado a referêca [3] é que o sstema ão apreseta trasção de fase quado o potecal o ste possu um poço smétrco. Isso ocorre pos esses potecas possuem fuções de oda smétrcas, obtdas da equação tpo - Schrödger que emerge do formalsmo, e cetradas a orgem. Dessa forma, o valor médo do estrameto dos pares de base é sempre zero o que resulta a mpossbldade de haver

10 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO trasção de fase. Esse resultado cotrasta com aqueles obtdos para potecas com barreras ftas em uma das extremdades do poço de potecal, como o potecal de Morse, ode a trasção ocorre. Essa propredade é efatzada a ref. [3] ode a trasção é dscutda tato usado método dâmco do domío de parede, quato usado mecâca estatístca. Assm, quado o potecal que smula as lgações de hdrogêo possur um poço assmétrco com uma barrera fta em uma extremdade e fta em outra, a trasção de fase sempre ocorre. Isso pode ser observado acompahado a evolução de um parâmetro de ordem, o caso, o estrameto médo dos pares de base que dverge para uma temperatura crítca. O objetvo do trabalho é estudar esse tpo de rede com o potecal de Rose-Morse o ste. Esse potecal, ada ão tratado a lteratura com a faldade de estudar trasção de fase em modelos de DNA, pode ser cosderado como tedo característcas termedáras etre os potecas smétrcos [3] e os assmétrcos com barrera fta em uma das extremdades [3]. Assm, buscamos este trabalho a possbldade de caracterzar uma trasção de fase com este potecal assmétrco sem barrera fta. Sera desejável também obter uma trasção de fase mas abrupta que aquela obtda orgalmete por Perard-Bshop orgalmete []. O potecal de Rose-Morse é bastate explorado a lteratura tato o aspecto formal [4-6] como em aplcações físcas. Ele tem sdo usado, por exemplo, o estudo de vbrações em moléculas polatômcas [7] e em modelos de polaros [8]. A vatagem do uso do potecal Rose-Morse, esse trabalho, é a possbldade de tratameto aalítco o que, em prcípo, deve facltar bastate a obteção e terpretação dos resultados, clusve em aplcações como a obteção de probe desg [9]. Assm, ao logo desse trabalho é apresetado o modelo orgal de PB, em seguda serão fetas as modfcações o modelo substtudo o potecal de Morse pelo potecal de Rose-Morse. Serão apresetadas também as propredades termodâmcas da rede com o potecal de Rose-Morse, obtdas com o auxílo da técca do operador tegral de trasferêca.

11 CAPÍTULO CARACTERÍSTICAS GERAIS DA MOLÉCULA DE DNA O ácdo desoxrrboucléco DNA fo descoberto em 869 por Fredrch Mescher. Os estudos sobre essa molécula foram mpulsoados em abrl de 953 quado James Watso e Fracs Crc propuseram a estrutura de dupla hélce da molécula, a qual explcava as propredades do DNA de coter e trasmtr a formação geétca dos seres vvos. O modelo de Watso e Crc também cotha formações prmordas de como a molécula de DNA podera ser duplcada. O DNA é um polímero formado por desoxrrboucleotídeos [0]. Estes, por sua vez, são compostos por uma molécula de açúcar a petose desoxrrbose, uma base trogeada lgada ao carboo da petose através de uma lgação glcosídca e de um a três grupos fosfatos PO 4 lgados ao carboo 5 da petose. Um esquema do desoxrrboucleotídeo é mostrado a fgura.. Fgura.: Esquema do desoxrrboucleotídeo

12 CAPÍTULO. CARACTERÍSTICAS GERAIS DA MOLÉCULA DE DNA 4 Exstem dos tpos de base trogeada a molécula de DNA, as púrcas: adea A e guaa G ou as prmídcas: ctosa C e tma T. As estruturas das bases trogeadas são apresetadas a fgura.. Fgura.: Estrutura das bases trogeadas da molécula de DNA Para formar a molécula de DNA, os desoxrrboucleotídeos formam cadeas, udose por meo de potes fosfodéster. Essas potes são formadas etre o grupo fosfato 5 PO 4 e o grupo hdroxla 3 OH do carboo 3 do ucleotídeo adjacete. Dessa forma, a cadea, todos os ucleotídeos tem a mesma oretação. Por sso, por coveção, as cadeas de ucleotídeos são represetadas a oretação 5 3, pos sempre há um grupo fosfato a extremdade 5 e um grupo hdroxla a extremdade 3. O modelo e Watso e Crc mostrou que o DNA é formado por duas ftas duas cadeas de desoxrrboucleotídeos que se erolam formado uma hélce dupla. Essas ftas são dtas atparalelas, pos estão oretadas em dreções opostas: uma está a dreção 3 5 e a outra a dreção 5 3. Uma outra característca mportate é que os aés aromátcos das bases trogeadas fcam o teror da hélce por serem hdrofóbcos. Uma teração fudametal para mater a estrutura da dupla hélce é a lgação de hdrogêo que ocorre etre o pareameto das bases trogeadas das duas ftas. Devdo à estrutura químca e ao tamaho das bases trogeadas, o pareameto só pode ocorrer, a molécula de DNA, etre as bases A e T e G e C. Também devdo à estrutura das bases, é possível a formação de duas lgações de hdrogêo etre a tma e a adea e de três

13 CAPÍTULO. CARACTERÍSTICAS GERAIS DA MOLÉCULA DE DNA 5 lgações de hdrogêo etre a guaa e a ctosa. Por essa razão é mas dfícl a ruptura das lgações etre as bases G-C que a das bases A-T. Esse tpo de pareameto etre as duas ftas da molécula de DNA permte dzer que as duas ftas são complemetares, ou seja, para toda molécula de DNA as cocetrações molares A/T e C/G são guas a,0. É ecessáro que haja o DNA forças que atuem para establzar a molécula, pos os grupos fosfatos que tem cargas egatvas, a pror, tederam a repelr as duas ftas. Porém essas forças ão podem restrgr os movmetos da molécula que deve ter flexbldade para poder desempehar suas fuções a replcação e trascrção do DNA. As forças que atuam a molécula para establzá-la são: as lgações covaletes etre átomos, efetos hdrofóbcos que establzam o pareameto das bases, forças de Va der Walls etre os aés aromátcos surgem do emplhameto das bases o teror da hélce, lgações de hdrogêo matém a pardade das bases e, por fm, terações etre os íos egatvos dos grupos fosfatos com cátos em solução, eutralzado a repulsão das ftas. A molécula de DNA pode se desaturar ou reaturar. A desaturação é o feômeo de rompmeto das lgações de hdrogêo etre a dupla fta da molécula. Ela pode ocorrer com o aumeto da temperatura ou por varações do ph da solução. A temperatura de desaturação vara de acordo com os ucleotídeos evolvdos a cadea, pos, como fo dto, as lgações C-G são mas fortes que as A-T por apresetarem uma lgação de hdrogêo a mas. A teração de emplhameto também é dferete para dferetes cojutos de bases trogeadas [0]. O processo de abertura da dupla hélce é mportate o processo de trascrção e replcação do DNA, pos, em ambos os casos, é ecessára a exposção das bases trogeadas que fcam o teror da hélce. Etretato, em codções fsológcas é precso que ocorra a atuação de ezmas catalsadoras, pos a dupla hélce da molécula é muto estável. Exstem mutos modelos mecâcos para o DNA que buscam descrever a desaturação térmca da molécula vde, por exemplo, ref. [-4]. Neste trabalho, é feto um estudo de um modelo que descreve o DNA como uma cadea de partículas lgadas por potecas harmôcos, equato as lgações de hdrogêo são smuladas pelo potecal de Rose- Morse.

14 CAPÍTULO 3 O MODELO DE PEYRARD-BISHOP PB PARA A MOLÉCULA DE DNA Em 989, Perard e Bshop troduzram um modelo muto smplfcado para a molécula de DNA para descrever a sua desaturação térmca []. Apesar de smples, esse modelo tem sdo muto utlzado para descrever algumas propredades dâmcas e termodâmcas do DNA [3-8], pos forece resultados codzetes com dados expermetas para essa molécula tão complexa. O modelo de Perard-Bshop é composto bascamete por duas cadeas leares de oscladores, que represetam as duas ftas do DNA, cofadas em um plao. A dâmca do sstema pode ser estudada através do movmeto radal das bases com relação ao exo da dupla hélce. As coordeadas usadas u e v descrevem o deslocameto das bases com relação às suas posções de equlíbro. Um esquema desse modelo é apresetado a fgura 3.. Fgura 3.: Esquema do modelo para o DNA proposto por Perard e Bshop. Um dos potecas serdos o modelo é o potecal harmôco. Ele é um potecal efetvo que pode ser cosderado como uma méda de váras terações do DNA como as repulsões etre as bases e a teração etre bases adjacetes a molécula, ou seja, as

15 CAÍTULO 3. O MODELO DE PEYRARD-BISHOP PB PARA A MOLÉCULA DE DNA 7 u terações de emplhameto. Exste também um outro potecal, v V, que smula as lgações de hdrogêo da molécula de DNA. A hamltoaa do modelo é dada por: p = u, p + v, H + u u + v v m m + u V v, 3. ode a prmera somatóra dca a eerga cétca do sstema, a seguda represeta a eerga potecal das terações ao logo do exo da hélce potecal harmôco e a últma somatóra correspode a eerga potecal das lgações de Hdrogêo, que depede somete do deslocameto relatvo, u v, é a costate de força das molas que smula a resstêca da cadea ao movmeto as dreções de u e v. Na expressão 3., p = mu u, e p = v, mv são os mometos relacoados às coordeadas e m é a massa das partículas que, para smplfcação do problema, foram cosderadas guas. Para desacoplar as equações de movmeto, troduz-se as ovas varáves: x u + v = e Substtudo essas ovas varáves a equação 3., obtêm-se u v =. 3. H = H x + H, ode: H x p x, + m x x =, 3.3 p, H = + + V. 3.4 m A equação 3.3 é a hamltoaa correspodete a uma cadea lear de oscladores. A termodâmca desse sstema já é bem cohecda e é apresetada o apêdce A. A fução de partção que descreve esse tpo de rede é dada, por exemplo, a referêca []. Além dsso, o potecal harmôco ão caracterza uma trasção de fase por ser um potecal cofate. Assm, o efoque desse trabalho será dado à hamltoaa H. O potecal V usado o modelo orgal de PB é o potecal de Morse, que é defdo pela segute expressão: a V = D e, 3.5 ode D e a são parâmetros relacoados, respectvamete, com a profuddade e largura do poço de potecal. Um esquema desse potecal é apresetado a fgura 3..

16 CAÍTULO 3. O MODELO DE PEYRARD-BISHOP PB PARA A MOLÉCULA DE DNA 8 Fgura 3.: Esquema do potecal de Morse. Exstem algumas vatages a escolha do potecal de Morse. A prmera delas é que ele possu uma parte altamete repulsva quado <0. Essa característca correspode ao mpedmeto estérco que ocorre quado dos pares de bases sofrem compressão e se aproxmam demas. No caso oposto, para altos valores de, o potecal se tora costate possbltado grade separação etre os pares de bases, o que causa a dssocação completa desses pares. Por fm, em = 0, esse potecal apreseta um mímo que represeta a posção de equlíbro das bases. Para que o modelo foreça resultados realístcos para a molécula de DNA é ecessáro escolher os parâmetros do potecal que melhor descrevam as característcas da molécula. Isso é feto com base em resultados expermetas do DNA. De acordo com a referêca [], os parâmetros do potecal de Morse que melhor se ajustam são - para o potecal harmôco a costate de força sera = 0,06eV.Å. D = 0, 03eV e - a =,8Å e

17 CAPÍTULO 4 MODELO DE DNA COM O POTENCIAL DE ROSEN- MORSE ON SITE Váras modfcações tem sdo fetas o modelo orgal de Perard-Bshop, em busca de obter uma trasção de fase mas abrupta que aquela observada o modelo orgal de PB. Dados expermetas fetos para o DNA mostram que a trasção do estado em que a dupla hélce da molécula está uda para o estado em que ocorre a ruptura dessa lgação ocorre muto rapdamete em um tervalo pequeo de temperatura [3]. Ou seja, exste uma temperatura crítca em que o dstacameto dos pares de base cresce muto rapdamete ocorredo a desaturação. Um resultado teressate da lteratura [3] afrma que, utlzado-se um potecal o ste smétrco a trasção de fase ão ocorre devdo às característcas da autofução de eerga que aparece o formalsmo do operador tegral de trasferêca Apêdce B. Em cotradção, de acordo com a referêca [3], se o potecal utlzado for assmétrco com uma barrera fta um uma extremdade, como o potecal de Morse, a trasção de fase sempre ocorre. Com sso, a proposta desse trabalho fo estudar as propredades termodâmcas de uma rede do tpo PB com um potecal o ste com característcas termedáras às das referêcas [3] e [3] para verfcar se esse tpo de rede leva a uma trasção de fase. Além dsso, sera desejável obter uma trasção mas abrupta que aquela obtda orgalmete por PB. Logo, o potecal utlzado é o de Rose-Morse, que é defdo da segute forma, V U 0 = B0 tah α, 4. cosh α ode B 0 e U 0 são parâmetros relacoados, respectvamete, com a assmetra e profuddade do potecal e α é um parâmetro relacoado com a largura do poço. Observase que adotado B 0 gual a zero o potecal adqure uma forma smétrca.

18 CAPÍTULO 4. MODELO DE DNA COM O POTENCIAL DE ROSEN-MORSE ON SITE 0 Como o potecal de Rose-Morse ada ão fo tratado a lteratura com a faldade de estudar a desaturação térmca do DNA, os parâmetros do potecal que melhor se adaptam aos resultados expermetas dessa molécula ão estão determados. Dessa forma, para escolher os parâmetros que foram utlzados o estudo da termodâmca do sstema, fo feto um ajuste etre o potecal de Rose-Morse e o potecal de Morse, que já possu os parâmetros cohecdos, dcados o capítulo 3 deste trabalho. Este gráfco é apresetado a fgura 4., assm como os resultados dos parâmetros ajustados. B 0 = -0,0eV U 0 = 0,047eV α = 4,3 Å - Fgura 4.: Gráfco dos potecas de Morse curva potlhada e Rose-Morse curva sólda. Na caxa de texto, a dreta do gráfco, ecotra-se os valores obtdos para os parâmetros do potecal de Rose-Morse. Como pode ser vsto a fgura 4., o potecal de Rose-Morse é assmétrco, porém ão apreseta uma barrera fta em ehuma extremdade. Essa característca é correspodete ao que fo procurado, como dscutdo aterormete, e justfca o teresse o estudo desse potecal. Como é vsto a fgura 4., ão é possível obter um ajuste perfeto etre as curvas dos potecas de Morse e Rose-Morse. Assm, prmeramete procurou-se ajustar a profuddade do poço de potecal devdo à relação dreta desta com a temperatura de desaturação. Em seguda, fo ajustado o lado esquerdo dos potecas já que, como ctado

19 CAPÍTULO 4. MODELO DE DNA COM O POTENCIAL DE ROSEN-MORSE ON SITE em [3], a barrera fta do potecal de Morse está relacoada com a trasção de fase o modelo. Com sso, a largura e o lado dreto das curvas ão fcaram muto próxmos. Porém, o ajuste fo matdo, pos a temperatura de crítca obtda está de acordo com resultados da lteratura para a temperatura de desaturação do DNA, como será vsto o capítulo segute. Com sso, a rede que será estudada o próxmo capítulo possu o potecal harmôco, como o modelo de PB, smulado as terações de emplhameto com a mesma costate de força = 0,06eV.Å - e o potecal de Rose-Morse fazedo o papel das lgações de hdrogêo com os parâmetros dcados a fgura 4..

20 CAPÍTULO 5 ESTUDO DA TRANSIÇÃO DE FASE Neste capítulo será feto um estudo da trasção de fase para a molécula de DNA utlzado o modelo orgalmete proposto por PB e também para o modelo de Perard- Bshop com o potecal de Rose-Morse o ste. Os resultados dos modelos serão, etão, comparados. 5. Modelo de DNA com o Potecal de Rose-Morse O Ste As propredades termodâmcas de um sstema são descrtas pela fução de partção Z. A fução partção escrta em termos da varável que represeta o estrameto médo das lgações de hdrogêo, pode ser calculada utlzado-se a técca de operador tegral trasferêca que é apresetada o apêdce B. Essa técca relacoa a fução de partção com autofuções ψ e autovalores de eerga ε obtdos através de uma equação tpo Schrödger que surge do formalsmo. Essa equação é dada pela expressão B-8 do apêdce B, ou seja, d π + V l ψ = ε + ψ, 5.. β d β β ode 5 β =, B = 8,67 0 ev / K é a costate de Boltzma, T a temperatura, B T - = 0,06eV.Å é a costate elástca e V, esse caso, é o potecal de Rose-Morse dado pela equação 4.. As varáves represetam, como usual, o estrameto etre as duas ftas,.e, a dstâca etre as duas bases que formam o -ésmo par de base. Desta forma, o problema a ser resolvdo se resume a ecotrar as autofuções e os autovalores da equação 5...

21 CAPÍTULO 5. ESTUDO DA TRANSIÇÃO DE FASE 3 A fução de partção do sstema é dada pela soma Z = Nβε e, ode N é o úmero de partículas do sstema. Etretato, o lmte termodâmco N, o resultado é domado pelo estado fudametal, sedo que os outros termos da soma podem ser desprezados. Portato, para ossos propóstos, os lmtamos a calcular a autofução e o autovalor de eerga para o estado fudametal da equação 5... Exstem város métodos que podem ser utlzados para ecotrar as soluções da equação 5.., um deles é o método de Frobeus, apresetado a ref. [4]. Outra abordagem se relacoa ao método de Fatorzação e Supersmetra [5], que fo utlzado esse trabalho e ecotra-se descrto o Apêdce C. Segudo esse camho a solução do estado fudametal da equação 5.. pode ser obtda resolvedo a segute equação de Rcatt, que dá como solução o superpotecal W : W W + E+ = V, 5.. ode E +, 0 é o autovalor de eerga do estado fudametal e V,0 é o potecal de Rose- Morse 4.. Não há a lteratura um método específco para ecotrar as soluções da equação de Rcatt. Esta só forece soluções para algus casos partculares. Com sso, para solucoar a equação 5.. fo proposto o segute superpotecal: W z = a b tah z, 5..3 sedo a e b parâmetros a serem determados. Substtudo a equação 5..3 em 5.., obtém-se que, para esse superpotecal ser solução da equação de Rcatt, os parâmetros β B0 8β devem satsfazer as relações a = e b = + + U 0. α b α Com o superpotecal determado pela equação 5.., a autofução de eerga do estado fudametal pode ser determada como apresetado o Apêdce C por: W d ψ e Com sso, para o estado fudametal, a autofução ecotrada fo: +,0 az Ae ψ =, 5..5 b cosh z sedo a ova varável z = α, A é a costate de ormalzação, e. O autovalor de eerga correspodete a autofução 5..5 pode ser determado pela equação de Rcatt 5.. e será dado pelos termos depedetes de. O resultado obtdo fo:

22 CAPÍTULO 5. ESTUDO DA TRANSIÇÃO DE FASE 4 π a + b l α ε 0 = β β β O estrameto médo dos pares de base, <>, pode ser calculado vde ref. [] substtudo a autofução do estado fudametal da equação 5..5 a expressão: < >= ψ d ψ d As tegras da equação 5..7 foram calculadas umercamete através do programa Maple 0. O resultado dessas tegras é depedete somete da temperatura do sstema, uma vez que os parâmetros do potecal já são cohecdos. Com sso, é possível acompahar os valores de <> em termos da temperatura. O resultado obtdo é mostrado a fgura 5... Todos os valores de <> o trabalho são dados em âgstros e as temperaturas estão em Kelv. <> Fgura 5..: Gráfco do estrameto médo dos pares de base, <>, versus temperatura para o potecal de Rose-Morse o tervalo de temperatura de 00K a 350K. Na fgura 5.. observa-se claramete que o tervalo de temperatura etre 300 e 350K houve um aumeto o estrameto médo dos pares de base. Isso dca que esse

23 CAPÍTULO 5. ESTUDO DA TRANSIÇÃO DE FASE 5 tervalo de temperatura ocorreu a desaturação térmca da molécula, mostrado que o uso de um potecal o ste assmétrco sem barrera fta pode levar a uma trasção de fase. O fato de haver solução exata/aalítca para o sstema estudado permte uma maera alteratva para determar a temperatura em que ocorre a ruptura da dupla hélce. Isso pode ser feto através de speção dreta da fução de oda dada pela equação Para que essa fução de oda coduza a estados lgados é ecessáro que ela seja ormalzável em todo o espaço. Por sua vez, para que ψ, dada pela equação 5..5, ão dvrja é ecessáro que os a parâmetros a e b da fução de oda obedeçam à codção 0 < <. Dessa codção pode ser b estabelecdo que ocorrer quado a < b para que haja estados lgados. Assm, a temperatura crítca deve a = b quado a fução de oda dexa de ser ormalzável, ou seja, βc 8βCU 0 B0 = + +, 5..8 α α ode β C =, T C esse caso represeta a temperatura crítca. BTC Da expressão 5..8 é possível obter a temperatura crítca em fução dos parâmetros do potecal utlzado. O resultado é T c B U 0 = α B B 0 Substtudo todos os parâmetros, dcados a fgura 4., a equação 5..9 o valor da temperatura de desaturação é T = 346K, o que está de acordo com a curva da fgura 5... De acordo com a referêca [0] a temperatura de desaturação da molécula de DNA vara etre 38K e 37K depededo dos ucleotídeos evolvdos a cadea. Dessa forma, a temperatura obtda está de acordo com os valores exstetes a lteratura. Esse resultado dca, o âmbto estudado, que o potecal usado e os parâmetros escolhdos podem descrever tato qualtatvamete quato quattatvamete a desaturação térmca do DNA Estudo da Trasção de Fase para o Modelo de Perard-Bshop Para fazer o estudo da trasção de fase do modelo de Perard-Bshop, ovamete, é ecessáro fazer uso da técca do operador tegral de trasferêca, ou seja, é precso ecotrar a solução da equação 5.., ode V, o modelo de PB, é o potecal de

24 CAPÍTULO 5. ESTUDO DA TRANSIÇÃO DE FASE 6 Morse, apresetado em 3.5. Nesse caso, também é apresetada somete a solução do estado fudametal. A autofução e o autovalor de eerga para o potecal de Morse foram calculados por Perard e Bshop em 989 ref. []. A autofução de eerga é β a ode d D d a / d / a de exp d a ψ 0M = exp, 5.. / [ Γd ] / à autofução 5.. é, > para haver estados lgados. O autovalor de eerga correspodete ε / β a D a = l +, 5.. β π β 4β 0M O estrameto médo dos pares de base pode ser obtdo substtudo a autofução de eerga para o potecal de Morse 5.., a equação As tegras dessa equação foram resolvdas umercamete, assm como fo feto para o potecal de Rose-Morse. O resultado de <> é depedete somete da temperatura do sstema e dos parâmetros do potecal de Morse que já são cohecdos vde capítulo 3. O comportameto de <> com a varação da temperatura é apresetado a fgura 5... <> Fgura 5..: Gráfco do estrameto médo dos pares de base, <>, versus temperatura para o potecal de Morse o tervalo de temperatura de 00K a 350K.

25 CAPÍTULO 5. ESTUDO DA TRANSIÇÃO DE FASE 7 Como já era dcado as referêcas [] e [3], a fgura 5.. mostra que ocorre a trasção de fase com o uso do potecal de Morse o ste e sso ocorre para uma temperatura próxma de 350K. Essa temperatura pode ser cofrmada através de uma speção smples da fução de oda 5.., assm como fo feto o caso do potecal de Rose-Morse. A referêca [] apreseta a expressão da temperatura crítca desse modelo em fução dos parâmetros do potecal de Morse, da costate do potecal harmôco e da costate de Boltzma, B. Essa expressão surge da codção de que a fução de oda seja ormalzável em todo espaço. Essa speção da fução de oda leva a codção d > para haver estados lgados. Logo, a trasção de fase deve ocorrer quado d =. Assm, após alguma mapulação algébrca obtém-se: T C D = a Substtudo os parâmetros do potecal de Morse a equação 5..3, o valor da temperatura crítca é, aproxmadamete, 350K, o que cofrma a trasção de fase por volta dessa temperatura mostrada a fgura 5... B 5.3 Dscussão dos Resultados Obtdos para a Trasção de Fase do Modelo de PB e do Modelo com o Potecal de Rose-Morse As fguras 5.. e 5.. mostraram que a trasção de fase ocorre tato com o uso do potecal de Morse, quato com o potecal de Rose-Morse o ste. Elas mostram ada, que, para os dos potecas, essa trasção ocorre a uma temperatura muto próxma. Os valores das temperaturas crítcas calculadas através da speção da fução de oda e da codção de que esta deve ser ormalzável também foram muto próxmas para os dos potecas. Porém, uma dfereça que pode ser observada a fgura 5.3. é que a curva obtda para o potecal de Rose-Morse se mostra lgeramete mas ígreme que aquela obtda para o potecal de Morse.

26 CAPÍTULO 5. ESTUDO DA TRANSIÇÃO DE FASE 8 <> Fgura 5.3.: Gráfco do estrameto médo dos pares de base, <>, versus temperatura para os potecas de Morse e Rose-Morse o tervalo de temperatura de 00K a 350K. Com esse resultado observa-se que o uso do potecal de Rose-Morse o ste a rede estudada permte caracterzar uma trasção de fase, em prcípo, mas próxma àquelas dcadas os modelos mas ressetes tratados a lteratura [-3,]. Nota-se também que esse comportameto um pouco mas abrupto da curva de <> para o potecal de Rose-Morse camha a dreção dos resultados descrtos a ref. [3] sem que haja, etretato, ecessdade de se troduzr uma ão leardade os potecas de emplhameto. Weber e co-autores [] também observaram essa possbldade e obtveram um perfl bem mas abrupto através da trodução de uma teração adcoal f D[ tah / ] = s S V λ ao potecal de Morse. Esse termo extra é atrbudo às terações da molécula com o solvete. Como pode ser percebdo pelo resultado desse trabalho, a forma da trasção pode ser dstorcda com o uso do potecal de Rose-Morse, sem ser ecessáro acrescetar ovos termos de teração com o solvete a hamltoaa do sstema. Esse resultado sugere que, ao meos em parte, essas terações podem estar embutdas o potecal de Rose-Morse, o que smplfcara tremedamete o tratameto do problema.

27 CAPÍTULO 6 CONCLUSÃO Nesse trabalho fo feto um estudo da trasção de fase para a molécula de DNA para uma rede harmôca udmesoal do tpo Perard-Bshop com o potecal de Rose-Morse o ste e para o modelo orgal, com o potecal de Morse o ste. O gráfco do estrameto médo dos pares de base versus temperatura mostrou que é possível obter trasção de fase em modelos do tpo PB [] sem que o potecal o ste possua uma barrera fta. Esse resultado complemeta a dscussão feta a lteratura sobre a ão exstêca de trasção de fase para potecas smétrcos [3] e o bem cohecdo fato [3] de que o uso de um potecal assmétrco, com poços exbdo barrera fta em uma extremdade e fta em outra, permte o aparecmeto dessa trasção. Assm para que haja trasção em redes udmesoas que emergem da abordagem de PB é ecessáro que o potecal exba um poço assmétrco, ão sedo ecessáro que haja uma barrera fta. Outro resultado obtdo refere-se a forma da curva obtda fgura 5.3. que mostrou uma trasção de fase lgeramete mas abrupta para o potecal de Rose-Morse, em comparação com a do potecal de Morse. Com sso, o uso do potecal de Rose-Morse o ste se tora mas uma possbldade para se descrever as lgações de hdrogêo o DNA. Por fm, a temperatura crítca calculada com o uso do potecal de Rose-Morse o ste está de acordo com os resultados exstetes a lteratura para a temperatura de desaturação da molécula de DNA. Isso dá maor cofabldade aos parâmetros escolhdos para o potecal de Rose-Morse.

28 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] PEYRARD M., BISHOP A. R., Statstcal Mechacs of a Nolear Model for DNA Deaturato, Phs. Rev. Lett., [] PEYRARD M., Nolear damcs ad statstcal phscs of DNA, Noleart, R-R40. [3] QASMI H., BARRÉ J., DAUXOIS T., Ls betwee olear damcs ad statstcal mechacs a smple oe-dmesoal model, arxv:cod-mat/040766v 004. [4] THEODORAKOPOULOS N., Phase trastos oe dmeso: Are the all drve b doma walls?, Phs. D, [5] DELUCA J., DRIGO FILHO E., PONNO A., RUGGIERO J. R., Eerg localzato the Perard-Bshop DNA model, Phs. Rev. E, [6] CUEVAS J., ARCHILLA J.F.R., GAIDIDEI YU. B., ROMERO F.R., Movg breathers a DNA model wth competg short- ad log-rage dspersve teractos, Phsca D, [7] CUEVAS J., STARIKOV E. B., ARCHILLA J.F.R., HENNIG D., Movg breathers bet DNA wth realstc parameters, Moder Phs. Lett. B, [8] ALVAREZ A., ROMERO F.R., ARCHILLA J.F.R, CUEVAS J., LARSEN P.V., Breather trappg ad breather trasmsso a DNA model wth a terface, Europea Phs. J. B, [9] DAUXOIS T., PEYRARD M., BISHOP A. R., Etrop-drve DNA deaturato, Phs. Rev. E, R44-R47.

29 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [0] DAUXOIS T., PEYRARD M., Etrop-drve trasto a oe-dmesoal sstem, Phs. Rev. E, [] JOYEUX M., BUYUKDAGLI S., Damcal model based o fte stacg ethalpes for homogeeous ad homogeeous DNA thermal deaturato, Phs. Rev. E, [] WEBER G., Sharp DNA deaturato due to solvet teracto, Europhs. Lett., [3] ANGELANI L., RUOCCO G., ZAMPONI F., Relatoshp betwee phase trastos ad topologcal chages oe-dmesoal models, Phs. Rev. E, [4] LÉVAI G., O the ormalzato costat of PT smmetrc ad real Rose-Morse I potetals, Phs. Lett. A, [5] JIA C.-S., YI L.-Z., SUM Y., Posto-depedet effectve mass Schrödger equatos for PT-smmetrc potetals, J. Math. Chem., , [6] TEZCAN C., SEVER R., Exact solutos of the Schrödger equato wth postodepedet effectve mass va geeral pot caocal trasformato, J. Math. Chem., [7] ROSEN N., MORSE P.M., O the Vbratos of Polatomc Molecules, Phs. Rev., [8] SMONDYREV M.A., GERLACH B., DZERO M.O., Mea parameter model for the Pear-Fröhlch polaro a multlaered heterostructure, Phs. Revew B, [9] WEBER G., HASLAM N., ESSEX J.W., NEYLON C., Thermal equvalece of DNA duplexes for probe desg, J. Phs.: Codes. Matter,

30 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [0] SAENGER W., Prcples of Nuclec Acd Structure, New Yor, Sprger-Verlag Press 984. [] AUGUSTO P. S. P., DRIGO FILHO E., RUGGIERO J. R., Statstcal Model to DNA Meltg, Eclet. Quím., [] SILVA R.A.S., DRIGO FILHO E., RUGGIERO J.R., A Model Couplg Vbratoal ad Rotatoal Moto for DNA Molecule, J. Bol. Phs., [3] PEYRARD M., CUESTA-LÓPEZ M. ad ANGELOV D., Expermetal ad theoretcal studes of sequece effects o the fluctuato ad meltg of short DNA molecules, J. Phs.: Codes. Matter, [4] NIETO M.M., Exact wave-fucto ormalzato costats for the B0 tah z U 0 cosh z ad Pöschl-Teller potetals, Phs. Rev. A, [5] DRIGO FILHO E., Supersmmetrc quatum mechacs ad ew potetals, Rev. Bras. Fís., [6] SCALAPINO D.J., SEARS M., Statstcal Mechacs of Oe-Dmesoal Gzburg- Ladau Felds, Phs. Rev. B, [7] SCHIFF L.I., Quatum Mechacs, 3th ed., New Yor, McGraw-Hll 968. [8] COOPER F., KHARE A., SUKHATME U., Supersmmetr Quatum Mechacs, Sgaporse, World Scetfc 00.

31 APÊNDICE A CÁLCULO DA FUNÇÃO DE PARTIÇÃO PARA A UMA CADEIA LINEAR DE OSCILADORES seja, A hamltoaa para uma cadea lear de oscladores é dada pela equação 3.3, ou H x = p x, + m = x, x x + x x p m A. A fução de partção do sstema descrto pela hamltoaa A- pode ser escrta da segute maera: Substtudo Z = N = Z [ βh ] N N = d xd p exp x. A- H x a equação A- tem-se: p dx exp β x x dp exp β. A-3 m A prmera tegral da equação A-3 pode ser resolvda fazedo-se a substtução x u, o que leva a tegral x = portato, dx exp du exp β u. Essa tegral é gaussaa e, / π BT β x x =. A-4 A seguda tegral da equação A-3 também é gaussaa e, portato, o resultado é: dp p exp β = m πm T / B. A-5 Com os resultados das tegras dados pelas equações A-4 e A-5 é possível escrever a fução de partção do sstema, substtudo-os a equação A-3. Logo, N Z = = / N / π BT π T N B B / B / πm T Z =. πm T. A-6

32 APÊNDICE B TÉCNICA DO OPERADOR INTEGRAL DE TRANSFERÊNCIA A técca da matrz de trasferêca permte relacoar o problema da mecâca estatístca de ecotrar a fução de partção do sstema com autofuções e autovalores de eerga dados por uma equação tpo Schrödger [6]. A hamltoaa do modelo fo desacoplada e a técca do operador tegral de trasferêca será aplcada para a parte de H dada pela equação 3.4. O cálculo da parte cétca da fução de partção é gual ao mostrado o apêdce A para o caso de uma rede lear de oscladores e ão será cosderada aqu. Assm, o fucoal da eerga pode ser escrto como, F = + V. B- A fução de partção do sstema é dada por: Z N β F β, = δ e d f e. B- = = É precso acrescetar ao problema codções peródcas de cotoro para elmar os efetos de borda. Isso pode ser feto troduzdo uma ova varável. Com sso, a fução de partção é, ~ Z = d ~ d d... d N δ ~ e ~ β f, N β f N, N e... e β f,. B-3 A fução delta pode ser escrta em termos de fuções ψ que podem ser tomadas como um cojuto de auto-estados ormalzados vde, por exemplo, ref. [7], ou seja, ~ ~ * δ = ψ ψ. B-4

33 APÊNDICE B. TÉCNICA DO OPERADOR INTEGRAL DE TRANSFERÊNCIA 5 Se ψ for tomada com auto-estados do operador tegral de trasferêca, etão a segute equação deve ser satsfeta: d βf, βε = e ψ e ψ. B-5 Se a equação B-5 for satsfeta, etão o problema de ecotrar a fução de partção se resume a ecotrar os possíves autovalores ε e autofuções ψ. Substtudo a equação B-4 em B-3 temos, ~ ~ ~ * β f, N β f 3, β f, Z = d d d 3... d Nψ e... e d e ψ Z d B-6 Aplcado o operador tegral de trasferêca B-5 a equação B-6 tem-se que ψ βε = e ψ. Com sso, a fução de partção é escrta como, βf, e = e βε d ~ d ~ ~ * β f, N β f 4, 3 β f 3, 3... d Nψ e... e d e ψ B-7 O operador tegral de trasferêca pode ser aplcado ovamete a equação B-7 e assm sucessvamete. Aplcado o operador N vezes, obtém-se: Z ~ ~ Nβε * ψ ψ ~ = e d. B-8 ~ ~ ~ = * Pela codção de ortoormaldade, ψ ψ d e, portato, a fução de partção do sstema é dada por: Z = e Nβε. B-9 No lmte termodâmco em que N é muto grade N o resultado da soma em B-9 é domado pelo estado fudametal. Por sso, para este trabalho foram determadas somete as autofuções e autovalores de eerga do estado fudametal. Para completar o resultado, é ecessáro determar os autovalores ε e as autofuções ψ. Isso é feto expaddo as fuções ψ em toro de ψ detro do operador de trasferêca. Com sso, tem-se: d β, βf βv e = e d e ψ B-0 ψ + + ψ ψ +....

34 APÊNDICE B. TÉCNICA DO OPERADOR INTEGRAL DE TRANSFERÊNCIA 6 A sére da equação B-0 será trucada o termo de seguda ordem. Logo, há três tegras para serem resolvdas. A prmera tegral é uma gaussaa e o seu resultado é: d e β β π =. B- A seguda tegral é uma fução ímpar tegrada em extremos smétrcos e, portato, o resultado é zero, ou seja, 0 = d e β. B- Por fm, a últma tegral pode ser resolvda fazedo-se a mudaça de varável du d u = =, o que leva a segute equação: = = du e da d du e u d e au au β, B-3 ode a β. Novamete, tem-se uma tegral gaussaa para ser resolvda e o resultado dessa tercera tegral é: d e β π β β =. B-4 Substtudo os resultados das tegras B-, B- e B-4 a equação B-0, obtém-se:..., V f e d d e e d ψ ψ β β π ψ βε β β = + + =. B-5 A fução expoecal exp d d β pode ser formalmete expadda em sére de potêcas, levado a... exp + + = d d d d β β. Com sso, é possível reescrever a equação B-5 como: l exp e V d d ψ ψ β π β β βε = +. B-6 Expaddo as expoecas da equação B-6, tem-se: l V d d ψ βε ψ β π β β + = B-7

35 APÊNDICE B. TÉCNICA DO OPERADOR INTEGRAL DE TRANSFERÊNCIA 7 Rearrajado a equação ateror, as autofuções e os autovalores de eerga podem ser determados a partr da segute equação dferecal: l V d d ψ β π ε ψ β + = +. B-8 A equação B-8 é formalmete dêtca a equação de Schrödger, porém se trata de uma equação clássca. Devdo a essa semelhaça ela é chamada de equação pseudo - Schrödger.

36 APÊNDICE C MÉTODO DE FATORIZAÇÃO E SUPERSIMETRIA O método de Supersmetra tem sdo muto utlzado em mecâca quâtca para solucoar a equação de Schrödger [5, 8]. No caso deste trabalho, a equação da qual buscamos a solução é formalmete gual à equação de Schrödger. Por sso este método será adaptado aqu para ecotrar a solução da equação Pseudo-Schrödger 5... Isso será feto substtudo o termo m do hamltoao quâtco por β que aparece a equação dferecal 5.. que precsamos solucoar este trabalho. No método de Supersmetra, o hamltoao do sstema é fatorzado pelos chamados operadores bosôcos, que são escrtos pela segute relação: ± d a = + W, C- d ode W é chamado de superpotecal. Assm, de acordo com o formalsmo da Mecâca Quâtca Supersmétrca o hamltoao H = + V para um dado problema udmesoal pode ser escrto como: d + H + = + V = a a + E, 0, + C- d ode E +, 0 é o autovalor de eerga do estado fudametal. Substtudo os operadores bosôcos, dados pela equação C-, a equação C- é ecotrada a segute equação dferecal para W, W W + E+ = V C-3 sedo V o potecal estudado que, o caso, é o potecal de Rose-Morse 5.. e W é a dervada prmera do superpotecal em relação a. A equação C-3 é cohecda a lteratura como equação de Rcatt e forece como solução o superpotecal W.,0

37 APÊNDICE C. MÉTODO DE FATORIZAÇÃO E SUPERSIMETRIA 9 Com o superpotecal determado pela equação C-3 é possível ecotrar a autofução do estado fudametal aplcado o operador bosôco estado fudametal ψ a ψ +, = 0. Isso mplca em W = ψ 0 +,0 +,0 a a fução de oda do. Itegrado ambos os lados dessa equação em relação à, obtém-se que a fução de oda do estado fudametal está relacoada com o superpotecal por: W d ψ e C-4 +,0 Com o método de supersmetra é possível costrur uma herarqua para obter as fuções de oda dos estados exctados [8]. Essa costrução ão é apresetada aqu, pos o objetvo do trabalho é determar a autofução de eerga somete do estado fudametal. A equação Pseudo-Schrödger com o potecal de Rose-Morse é escrta: ode E d ψ z V z z E z + β α ψ = β α ψ, C-5 dz π = ε + l, z = α e V β β U 0 z = B0 tah z o própro potecal de cosh z Rose-Morse. O superpotecal proposto como solução da equação C-3, é: W z = a b tah z, C-6 Substtudo o superpotecal proposto C-6 a equação de Rcatt C-3, verfca-se que esta é satsfeta para o potecal de Rose-Morse se os parâmetros do superpotecal β B0 8β forem a = e b = + + U 0. α b α Cohecedo o superpotecal dado pela equação C-6 é possível determar a fução de oda do estado fudametal fazedo a ψ +, = 0. O resultado obtdo é: 0 az Ae ψ +, 0 =. C-7 b cosh z O autovalor de eerga do estado fudametal pode ser determado substtudo o superpotecal C-6 a equação de Rcatt C-3. Este será dado pelos termos que ão depedem de. O valor ecotrado esse caso é: π a + b l α ε 0 =. C-8 β β β

38 30 Autorzo a reprodução xerográfca deste documeto para fs de pesqusa desde que ctada a fote. São José do Ro Preto, 30 de abrl de 009 Natála Favaro Rbero