APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE DUPLA-MÉDIA ESPÁCIO- TEMPORAL NA ANÁLISE DE ESCOAMENTOS FLUVIAIS SOBRE LEITO DE SEIXO ROLADO

Transcrição

1 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE DUPLA-MÉDIA ESPÁCIO- TEMPORAL NA ANÁLISE DE ESCOAMENTOS FLUVIAIS SOBRE LEITO DE SEIXO ROLADO Máro J. FRANCA IMAR-Centre for Marne and Envron. Res. & FCT Unversdade Nova de Lsboa, Qunta da Torre, Caparca, Ru M.L. FERREIRA CEHIDRO & Insttuto Superor Técnco, U.T. Lsboa, Av. Rovsco Pas, Lsboa, , João LEAL CEHIDRO & FCT Unversdade Nova de Lsboa, Qunta da Torre, Caparca, Ulrch LEMMIN Laboratore d Hydraulque Envronnementale École Polytechnque Fédérale de Lausanne; 1015 Lausanne, Swtzerland; ulrch.lemmn@epfl.ch RESUMO Na presença de submergênca relatva baxa, o escoamento é trdmensonal e heterogéneo nas camadas nternas e as formas de fundo têm um papel mportante na sua estrutura turbulenta. De forma a ncorporar os efetos trdmensonas das rregulardades do leto, aplca-se a metodologa de caracterzação de escoamentos baseada na aplcação do operador méda dupla espáco-temporal (Double-Avegare Methodology - DAM). A aplcação da metodologa DAM às equações de Reynolds resulta nas chamadas equações DANS (Double-Averaged Naver-Stokes, por analoga com as RANS Reynolds-Averaged Naver Stokes). Quando comparadas com as equações RANS, as DANS apresentam termos adconas relaconados com a tensão adconal nduzda pelas formas de fundo. A presente comuncação dscute a aplcação da metodologa DAM ao tratamento de dados de velocdade obtdos no ro suíço Venoge com recurso a um perflador nstantâneo de velocdades trdmensonal. O leto do ro é composto de sexo rolado; a submergênca relatva é de 2,94. A aplcação da metodologa DAM é feta e dscutda para as dstrbuções de velocdade longtudnal, transversal e vertcal méda e para as tensões normas no fludo. Três regões do escoamento são dentfcadas: nterna (ou rugosa), nterméda e externa. A regão nterna ou camada rugosa, onde a dstrbução de tensões é determnada pelos efetos locas das formas de fundo aleatoramente dstrbuídas, stua-se sensvelmente abaxo de z/h = 0,40. As tensões totas e dspersvas atngem o seu máxmo lgeramente abaxo do lmte superor da camada rugosa. As tensões dspersvas no nteror da camada rugosa são da mesma ordem de grandeza ou superores às tensões de Reynolds, condconando fortemente a dstrbução das tensões totas. Palavras-chave: escoamentos com superfíce lvre, fronteras rugosas, métodos de dupla méda espacal e temporal, submergênca relatva baxa Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 1

2 1 INTRODUÇÃO No presente estudo apresentam-se medções de campo fetas num ro de leto de sexo rolado com submergênca relatva baxa h/d=2,94, onde h é a altura do escoamento e D um dâmetro representatvo da granulometra do materal de fundo (neste caso D50). A elevada concentração de materal grossero salente no leto do ro nduz um efeto de estera generalzado nas camadas nterores do escoamento (KIRKBRIDE e FERGUSON (1995), BAIAMONTE e FERRO (1997) e BUFFIN-BÉLANGER e ROY (1998)), que se caracterza pela exstênca de uma camada nterna de dmensão consderável em que o escoamento é trdmensonal e heterogéneo e condconado pelas formas de fundo aleatoramente dstrbuídas. Estudos anterores mostram que, nestes escoamentos trdmensonas e fortemente nfluencados pelas formas de fundo, não se verfca smltude na dstrbução vertcal de varáves turbulentas médas no tempo no nteror da nttulada camada rugosa, uma zona nterna e restrta do escoamento (NIKORA e SMART (1997) e SMART (1999)). A modelação de escoamentos deste tpo de escoamento para apoo à realzação de trabalhos de reabltação fluval, controlo de polução e regularzação fluval, apresenta consequentemente dfculdades adconas, nomeadamente na caracterzação dos parâmetros de resstênca e de mstura. A aplcação da técnca de dupla-méda espáco-temporal (double-average methodology DAM) permtu progressos na caracterzação dos escoamentos trdmensonas sobre frontera rregulares. DAM é uma forma partcular de sobrelevar smultaneamente a escala temporal e espacal: as equações de conservação para escoamentos turbulentos passam a ser expressas para () quantdades médas no tempo que, no caso de escoamentos varáves, são defndas numa anela temporal menor que a escala temporal fundamental do escoamento; e, para () quantdades médas no espaço, defndas numa anela espacal maor que o comprmento de onda característco das rregulardades de fundo (FRANCA e CZERNUSZENKO, 2006). Este tpo de escoamento é comum a város escoamentos geofíscos. O formalsmo da teora DAM fo desenvolvdo e aplcado em estudos sobre a camada lmte atmosférca para descrever escoamentos turbulentos no nteror e sobre vegetação (RAUPACH et al. (1991), FINNIGAN (2000) e FINNIGAN e SHAW (2008)), no estudo de escoamentos hdraulcamente rugosos devdo a formas de fundo (SMITH e MCLEAN (1977) e GIMENEZ-CURTO e CORNIERO LERA (1996)) e devdo a rugosdade de fundos de area e gravlha (NIKORA et al. (2001), NIKORA et al. (2007), POKRAJAC et al. (2008), FRANCA et al. (2008), FERREIRA (2008) e FERREIRA et al. (2009) e no estudo de escoamentos em canas com vegetação (LOPEZ e GARCIA (2001), WHITE e NEPF (2008) e RICARDO, (2008)). Comparando com a lsta de estudos laboratoras sobre escoamento em letos de sexo rolado, estudos com base em medções de campo como o presente são escassos (cf. BUFFIN- BÉLANGER e ROY, 2005). Na presente comuncação aplcamos a metodologa DAM a medções de velocdade obtdas em 15 dferentes perfs vertcas num ro cuo leto, de largura 6,3 m, é consttuído por sexo-rolado. A metodologa fo aplcada para caracterzação das velocdades e das tensões de Reynolds. Os perfs cobrram uma rede de medções com uma área de 0,40x0,30 m 2, localzada aproxmadamente no centro do ro. São mostrados e dscutdos resultados relatvos à aplcação da metodologa DAM a perfs de velocdade e de tensões de Reynolds. Com a aplcação da DAM surgem termos adconas na equação de conservação de quantdade de movmento (equação de Reynolds),.e. tensões dspersvas, aqu quantfcados. Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 2

3 Na próxma secção do texto é dado o enquadramento teórco da aplcação da metodologa DAM às equações de Naver-Stokes. Posterormente, são descrtas as condções em que foram realzadas as medções, são dados detalhes sobre a nstrumentação utlzada (ADVP - Acoustc Doppler Velocty Profler) e fnalmente os resultados empírcos são apresentados e dscutdos. 2 ENQUADRAMENTO TEÓRICO As equações de Naver-Stokes para escoamentos em superfíce lvre, trdmensonas e permanentes de fludos newtonanos e sotérmcos, após os desenvolvmentos subsequentes à aplcação da decomposção de Reynolds às varáves turbulentas, tomam a segunte forma segundo a notação tensoral (HINZE, 1975): u 1 p u u g u' u' (1) x x x x onde u = velocdade, x = coordenada espacal, subscrtos e = três drecções cartesanas com 1 para longtudnal, 2 para transversal e 3 para vertcal, g = aceleração da gravdade, = massa volúmca, p = pressão e = vscosdade cnemátca do fludo. A barra sobre a varável representa méda no tempo e a plca ( ) representa flutuação o tempo. As drecções longtudnal, transversal e vertcal poderão ser dentfcadas com x, y e z, e as correspondentes velocdades com u, v e w. A tensão total por undade de massa (/) é dvdda em tensão vscosa e em tensão turbulenta ou de Reynolds, respectvamente os termos à esquerda e à dreta entre parênteses. A equação (1) é conhecda smplesmente pela equação de Reynolds ou RANS Reynolds-Averaged Naver Stokes. No contexto da metodologa DAM, aplca-se, a qualquer varável genérca nstantânea, uma decomposção semelhante à decomposção de Reynolds, onde a varabldade espacal é tda em conta: ~ ' ' (2) ~ ' onde < > representa operador dupla-méda, smultaneamente no tempo e no espaço, e ~ a varação no espaço. Qualquer quantdade nstantânea é assm decomposta numa componente de dupla-méda, numa componente representando o desvo espacal da quantdade méda no tempo ~, e uma componente nstantânea. A defnção do operador dupla-méda aplcado a uma qualquer quantdade, para determnado plano horzontal à cota z, é (NIKORA et al., 2001): ~ 1 z ds (3) (z),,z onde = função de vazos correspondendo à fracção de área ocupada pelo fludo à cota genérca z e = domíno horzontal à cota z paralelo ao leto do ro. A ntegração é feta numa superfíce horzontal (ds). As varáves e são de modo a que 0 < < Lx e 0 < < Ly, em que Lx e Ly são dmensões, longtudnal e transversal, respectvamente, da área defnda por. Ambas as Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 3

4 dmensões devem ser grandes quando comparadas com o comprmento de onda característco da dstrbução espacal das varações da velocdade longtudnal nas camadas nternas do escoamento (SMITH e MCLEAN, 1977). Para escoamentos permanentes, a manpulação da equação de Reynolds após aplcação do operador dupla-méda às quantdades nstantâneas, resulta nas nttuladas equações DANS Double- Averaged Naver-Stokes equatons: u u x 1 p g x 1 u ~ ~ u' u' u u x x f f D V (4) onde fd = resstênca de forma por undade de massa e fv = resstênca vscosa por undade de massa. Quando comparadas com as equações de Reynolds, exstem três termos adconas na equação de conservação da quantdade de movmento DANS: as tensões dspersvas, tercero termo no nteror do parênteses que contém a tensão total (NIKORA et al. 2001, POGGI et al.2004 e CAMPBELL 2005); e os termos de resstênca de forma e vscosa devdos à exstênca de elementos protuberantes. Na presente comuncação apresentam-se medções de u, u, u ' u', u u e da ~ ~ função Dado o carácter turbulento do escoamento em estudo, neglgenca-se a contrbução vscosa para a equação de conservação da quantdade de movmento. 3 MEDIÇÕES DE CAMPO 3.1 Característcas do escoamento As medções de velocdade aqu analsadas foram realzadas no Verão de 2004, no ro suíço Venoge (cantão de Vaud) Fgura 1. Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 4

5 Fgura 1 Estrutura de suporte do ADVP nstalada no ro Venoge, Suíça. Foram meddos 15 perfs de velocdade nstantânea, num mesmo da durante o qual o caudal se manteve constante; este facto fo confrmado por análse dos dados dos Servços Hdrológcos e Geológcos Suíços. O local das medções stuava-se a cerca de 90 m a montante da ponte na localdade de Mouln de Lussery. Apresentam-se no Quadro 1 as prncpas característcas hdráulcas do ro na secção de medção. Q S h W Re Fr D50 D84 (m 3 s -1 ) (%) (m) (m) (x10 4 ) (-) (mm) (mm) 0,76 0,33 0,20 6,30 12,0 0, Quadro 1 Prncpas característcas do ro no local das medções. onde Q = caudal, S = declve longtudnal do ro, W = largura do ro, Re = número de Reynolds, Fr = número de Froude, D50 e D84 = dâmetros característcos do sexo rolado do leto do ro representando o dâmetro para o qual 50% e 84% dos grãos do leto são menores. Foram retradas amostras do materal do leto do ro segundo o método de WOLMAN (1954). O escoamento é turbulento rugoso e o leto é composto por materal grossero, algum salente, aleatoramente dstrbuído. Durante as medções não se verfcou transporte de sedmentos. As medções foram realzadas numa grelha horzontal de 3x5 perfs (x-y). Foram meddos 15 perfs de velocdade gualmente espaçados na drecção transversal de 10 cm e na drecção longtudnal de 15 cm. A resolução vertcal das medções é de aproxmadamente 0,50 cm. O nível de fundo do ro fo determnado localmente pelo eco de resposta da nstrumentação Doppler. Os perfs de velocdade foram meddos durante pelo menos 3,5 mnutos. 3.2 Característcas do escoamento O Acoustc Doppler Velocty Profler (ADVP), desenvolvdo no Laboratore d Hydraulque Envronnementale da École Polytechnque Fédérale de Lausanne, permte a medção de perfs de velocdade trdmensonas quas-nstantâneos através de toda a profunddade do escoamento. A Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 5

6 resolução temporal do ADVP permte a quantfcação dos prncpas parâmetros de turbulênca do escoamento. Detalhes sobre o prncípo de funconamento do ADVP podem ser consultados em ROLLAND e LEMMIN (1997). Para o presente estudo fo utlzada uma confguração composta por um emssor de ultra-sons central e quatro dferentes receptores, nstalados segundo quatro drecções dferentes, possbltando assm uma redundânca nas medções de velocdade trdmensonas. Esta redundânca é utlzada para elmnar ruído e controlar a qualdade dos dados (HURTHER e LEMMIN (2000) e BLANCKAERT e LEMMIN (2006)). A utlzação desta confguração combnada com um algortmo de desdobramento de snal desenvolvdo pelos autores (FRANCA e LEMMIN 2006) permte, teorcamente, a estmação de correlações cruzadas entre as componentes nstantâneas de velocdade lvre de ruído. A frequênca de repetção do pulso do Doppler fo de 1666 Hz o que, utlzando 64 pares de pulsos para estmação do desvo Doppler, resulta numa frequênca de aqusção de 26 Hz. Uma ponte metálca fo utlzada como suporte do ADVP (Fgura 1), permtndo a sua deslocação nas drecções transversal e longtudnal; esta fo construída de modo a mnmzar vbrações. 3.3 A função de vazos A função de vazos (Fgura 2) corresponde à razão entre a área ocupada pelo fludo e a área ocupada pelos elementos sóldos do leto para determnada cota. Fgura 2 Dstrbução vertcal da função de vazos. A função de vazos entre as crstas e as cavas do leto do ro fo determnada com base no fundo do ro detectado por ntermédo do eco do ADVP. Acma das crstas,.e. z/h> 0,40, a função vazo vale 1,0; aqu, o domíno paralelo ao leto do ro é nteramente preenchdo pelo fludo. Abaxo das crstas, a função de vazos tende para o valor 0,38, correspondente à cava mas profunda detectada no leto; o valor 0,38 corresponde a uma convergênca assmptótca verfcada em laboratóro e fo determnado expermentalmente para um leto semelhante ao do ro Venoge. Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 6

7 4 RESULTADOS 4.1 Perfs de velocdade A Fgura 3 apresenta, para as componentes longtudnal, transversal e vertcal, os perfs de velocdade médos no tempo e médos no espaço e tempo (DAM), correspondendo a, respectvamente: 1 (z) Fgura 3 a) u e u z u,,z Fgura 3 b) v e v z v,,z 1 (z) 1 (z) ds ds Fgura 3 c) w e w z w,,z ds Fgura 3 Dstrbução vertcal das velocdades médas no tempo (*) e médas no espaço e no tempo (lnha espessa): a) componente longtudnal; b) componente transversal; e, c) componente vertcal. Nos perfs de velocdade méda no espaço e no tempo da Fgura 3, são vsíves três camadas do escoamento, camada nterna (z/h< 0,40), nterméda (0,40< z/h< 0,80) e externa (z/h> 0,80), corroborando a descrção do escoamento de FRANCA et al. (2008). Na regão nterméda o perfl de velocdade tem uma dstrbução aproxmadamente logarítmca. Na camada nterna, stuada entre as crstas e as cavas do leto, o perfl de velocdade longtudnal é nflectdo, tal como descrto por KATUL et al. (2002) para escoamentos semelhantes. O lmte z/h = 0.40 corresponde aproxmadamente a D84; este dâmetro é consderado por mutos autores como sendo a escala representatva das protuberâncas de um leto de sexo rolado (BATHURST, 1988). A camada nterna aqu evdencada nttula-se também de camada rugosa (NIKORA e SMART (1997) e SMART (1999)), onde ocorre uma varação sgnfcatva dos perfs de velocdade méda no tempo e onde o escoamento é trdmensonal; nesta camada o escoamento é essencalmente condconado Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 7

8 pelas formas de fundo (protuberâncas no presente caso) não se verfcando smltude das quantdades turbulentas médas no tempo. Os perfs de velocdade méda no tempo confrmam a heterogenedade e trdmensonaldade do presente escoamento. Os perfs representando as dupla-médas mostram que a componente transversal e vertcal da velocdade atngem os valores máxmos lgeramente abaxo do topo da camada rugosa, z/h A componente vertcal é postva em toda a coluna de água enquanto a componente transversal adqure mas mportânca na camada nterna. 4.2 Perfs de tensão normal A Fgura 4 apresenta, para as componentes normas (longtudnal, transversal e vertcal), os perfs de tensão de Reynolds, tensão de forma e tensão total, correspondendo a, respectvamente: Fgura 4 a) u'u', ~ ~ uu 1 e x Fgura 4 b) v' v', ~ ~ v v 1 e y Fgura 4 c) w' w', ~ ~ w 1 w e z Como acma menconado, neglgenca-se a tensão vscosa no cálculo da tensão total. Fgura 4 Dstrbução vertcal das tensões de Reynolds médas no tempo (*), tensões de Reynolds médas no espaço e tempo (lnha contínua menos espessa), tensões de forma (lnha traceada) e tensões totas (lnha espessa): a) componente normal longtudnal; b) componente normal transversal; e, c) componente normal vertcal. Os perfs de tensão de Reynolds normal médos no tempo mostram alguma heterogenedade na sua ampltude, nomeadamente na componente vertcal, embora exbam quase todos padrões de dstrbução semelhantes. A Fgura 4 mostra que as tensões de forma são da mesma ordem de Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 8

9 grandeza das tensões de Reynolds; na componente longtudnal, as tensões de forma chegam a ser o trplo das tensões de Reynolds. Nos três casos, as tensões de forma condconam amplamente a dstrbução da tensão total, sobretudo no nteror da camada rugosa. As tensões normas de Reynolds, segundo as componentes longtudnal e transversal, têm o seu máxmo aproxmadamente para z/h 0,35 enquanto as tensões de forma atngem o seu máxmo lgeramente abaxo, para z/h 0,25. Em ambos os casos as tensões de forma são superores às tensões de Reynolds e o máxmo da tensão total é atngdo em z/h 0,25, ponto stuado no nteror da camada rugosa, entre as crstas e as cavas do leto. O valor máxmo da tensão de Reynolds normal correspondente à componente vertcal encontra-se em z/h As tensões de forma e a tensão total têm o seu pco no lmte superor da camada rugosa. 5 DISCUSSÃO E CONCLUSÕES O conceto de dupla-méda no espaço e no tempo fo aplcado a medções de campo de velocdade nstantâneas realzadas com o ADVP, permtndo novos resultados sobre a estrutura turbulenta de um escoamento com submergênca relatva baxa e sobre a relação entre as tensões de Reynolds e as tensões de forma. A camada rugosa encontra-se bem defnda segundo as presentes medções e corresponde à camada de escoamento abaxo da crsta mas elevada do leto; atnge o nível z/h 0.40 que corresponde aproxmadamente a D84 do materal do leto. Tensões de forma são mportantes e da ordem de grandeza ou superores às tensões de Reynolds, especalmente no nteror da camada rugosa, e condconam amplamente a dstrbução das tensões totas. As tensões totas atngem o seu máxmo no nteror da camada rugosa e tendem para zero unto ao fundo. No futuro deverão ser conduzdos trabalhos adconas no sentdo de avalar o balanço entre as tensões totas e a resstênca do escoamento (de forma e vscosa) na equação de conservação da quantdade de movmento (DANS), nomeadamente no nteror da camada rugosa. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o apoo fnancero da Fundação para a Cênca e Tecnologa através do proecto PTDC/ECM/65442/2006 e da Swss Natonal Scence Foundaton através do proecto BIBLIOGRAFIA BAIAMONTE, G.; FERRO, V. The nfluence of roughness geometry and Shelds parameter on flow resstance n gravel-bed channels. Earth Surface Processes and Land-forms, Vol. 22, 1997, BATHURST, J.C. Velocty profle n hgh-gradent, boulder-bed channels n Proc. Int. Conf. Fluv. Hydr., Bu-dapest, BLANCKAERT, K.; LEMMIN, U. Means of nose reducton n acoustc turbulence measurements. J Hydr Res, 44, 2006, BUFFIN-BÉLANGER, T.; ROY, A.G. Effects of a pebble cluster on the turbulent structure of a depthlmted flow n a gravel-bed rver. Geomorphology, Vol. 25, 1998, Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 9

10 BUFFIN-BÉLANGER, T.; ROY, A.G. 1 mn n the lfe of a rver: selectng the optmal record length for the measurement of turbulence n fluval boundary layers. Geomorphology, 68, 2005, CAMPBELL, L.J. Double-averaged open-channel flow over regular rough beds. Tese de doutoramento, Dept. of Engneerng - Unversty of Aberdeen. Aberdeen, FERREIRA, L.S.M. Impact of Sedment Overfeedng n Gravel-Bedded Rver s Salmond Habtats. Tese de Mestrado Integrado, Insttuto Superor Técnco. Lsboa, FERREIRA, R.M.L.; FERREIRA, L.M.; RICARDO, A.M.; FRANCA, M.J. Impacts of sand transport on flow varables and dssolved oxygen n gravel-bed streams sutable for salmond spawnng. Rver. Res. Applc, n press (2009). FINNIGAN, J.J. Turbulence n plant canopes. Annual Revew of Flud Mechancs 32, 2000, FINNIGAN, J.J.; SHAW, R.H. Double-averagng metho-dology and ts applcaton to turbulent flow n and above vegetaton canopes. Acta Geophysca 56, 2008, FRANCA, M.J.; LEMMIN, U. Elmnatng velocty alas-ng n acoustc Doppler velocty profler data. Meas Sc Technol, 17, 2006, FRANCA, M.J.; CZERNUSZENKO, W. Equvalent velocty profle for turbulent flows over gravel rverbeds. Rver Flow 2006, Taylor & Francs Group, London, Vol. 1, 2006, FRANCA, M.J.; FERREIRA, R.M.L.; LEMMIN, U. Parameterzaton of the logarthmc layer of doubleaveraged streamwse velocty profles n gravel-bed rver flows. Advances n Water Resources 31, 2008, GIMENEZ-CURTO, L.A.; CORNIERO LERA, M.A. Oscllatng turbulent flow over very rough surfaces. J Geophys Res, 101(C9), 1996, HINZE, J.O. Turbulence. McGraw-Hll, New York, HURTHER, D.; LEMMIN, U. A correcton method for tur-bu-lence measurements wth a 3D acoustc Doppler velocty profler. J Atmosph Ocean Technol, 18, 2000, KATUL, G.; WIBERG, P.; ALBERTSON, J.; HORNBERGER, G. A mxng layer theory for flow resstance n shallow streams. Water Resour Res, 38(11), 2002, KIRKBRIDE, A.D.; FERGUSON, R. Turbulent flow structure n a gravel-bed rver: Markov chan analyss of the fluctuatng velocty profle, Earth Surf. Proc. and Landforms, 20, 1995, LOPEZ, F.; GARCIA, M.H. Mean flow and turbulence structure of open-channel flow through emergent vegetaton. J Hydraul Eng, 127(5), 2001, NIKORA, V.; SMART, G.M. Turbulence characterstcs of New Zealand gravel-bed rvers. J Hydr Eng 23(9), 1997, NIKORA, V.I.; GORING, D.G.; MCEWAN, I.K.; GRIFFITHS, G. Spatally averaged open-channel flow over rough bed. J Hydr Eng, 127(2), 2001, Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 10

11 NIKORA, V.; MCEWAN, I.; MCLEAN, S.; COLEMAN, S.; POKRAJAC, D.; WALTERS, R. Doubleaveragng concepts for rough-bed open-channel and overland flows: Theoretcal background. Journal of Hydraulc Engneerng 133(8), 2007, POGGI, D.; KATUL, G.; ALBERTSON, J. A note on the con-trbuton of dspersve fluxes to momentum transfer wthn canopes. Boundary Layer Meteorology 111, 2004, POKRAJAC, D.; MCEWAN, I.; NIKORA, V. Spatally averaged turbulent stress and ts parttonng. Exp Fluds 45, 2008, RAUPACH, M.R.; ANTONIA, R.A.; RAJAGOPALAN, S. Rough-wall turbulent boundary layers. Appl. Mech. Rev. 44(1), 1991, RICARDO, A.M. Caracterzação do escoamento turbulento em canas com vegetação emersa rígda. Aplcação ao estudo da resstênca hdráulca. Tese de Mestrado Integrado, Insttuto Superor Técnco. Lsboa, ROLLAND, T.; LEMMIN, U. A two-component acoustc velocty profler for use n turbulent openchannel flow. J Hydr Res, 35(4), 1997, SMART, G.M. Turbulent velocty profles and boundary shear n gravel bed rvers. J Hydr Eng 125(2), 1999, SMITH, J.D.; MCLEAN, S.R. Spatally averaged flow over a wavy surface. J Geophys Res 83(12), 1977, WHITE, B. L.; NEPF, H. M. A vortex-based model of velocty and shear stress n a partally vegetated shallow channel. Water Resources Research 44(1), 2008, W WOLMAN, M.G. A method of samplng coarse rver-bed materal, Trans. Amer. Geoph. Un., Vol. 35, 1954, Assocação Portuguesa dos Recursos Hídrcos 11