7.º SIMPÓSIO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS DOS PAÍSES DE LÍNGUA OFICIAL PORTUGUESA Évora, Maio 2005

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1 7.º SIMPÓSIO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS DOS PAÍSES DE LÍNGUA OFICIAL PORTUGUESA Évora, Mao 5 ANÁLISE DO ESCOAMENTO EM RIOS SUJEITOS À INFLUÊNCIA DA MARÉ. CURVA DE VAZÃO. Margarda Isabel Martns dos SANTOS Eng. Cvl, Mestre em Hdráulca e Recursos Hídrcos, ESTIG Beja, margarda.martns@estg.pbeja.pt João Res HIPÓLITO Eng. Cvl, Professor Assocado Agregado do IST, jh@cvl.st.utl.pt

2 RESUMO O escoamento nas secções mas a jusante dos ros, junto à foz ou medatamente a montante de estuáros onde desagúem, ntegra o conjunto de processos a que a água é sujeta desde a ocorrênca das precptações que o orgnam e sofre a nfluênca das marés. No entanto, a bblografa exstente raramente aborda este tpo de escoamento e em especal a análse da vazão do ro nessas secções. No âmbto da dssertação de mestrado do prmero autor, estudaram-se modelos de regme varável undmensonas sujetos na frontera de jusante aos efetos da maré. Especfcamente, utlzaram-se os modelos numércos de MacCormack (explícto) e de Pressmann (mplícto) para representar as equações completas de Sant-Venant num trecho de cerca de 4 km no ro Sado, medatamente a montante da cdade de Alcácer do Sal. Com base nos resultados numércos obtdos analsaram-se quatro modelos de curva de vazão, fscamente baseados e apoados nas alturas do escoamento nas duas secções mas a jusante do trecho modelado. Os autores dvulgam neste artgo os prncpas resultados obtdos no que dz respeto às característcas do escoamento fluval nfluencado pela maré (altura, caudal, velocdade e número de Froude) e os bons resultados que se conseguem com alguns dos modelos de curva de vazão, com os quas se explca mas de 9% da varânca do caudal. Palavras-chave: Escoamentos varáves em ros; Cheas; Marés; Modelos computaconas -D; Curva de vazão.

3 INTRODUÇÃO O estudo dos efetos da maré no escoamento em ros sujetos à sua nfluênca pode revelar-se de grande mportânca sob város aspectos, dos quas se podem ctar stuações de chea em ros e erosões localzadas junto a estruturas fluvas, ambas agraváves pela ocorrênca smultânea de marés vvas. No entanto, a bblografa exstente raramente aborda este tpo de escoamento e em especal a análse da vazão em secções do ro na zona das águas de transção. Assm, no âmbto da dssertação de mestrado do prmero autor (Santos, 4), desenvolveram- -se modelos computaconas de smulação de escoamentos varáves undmensonas em cursos de água naturas, para estudo dos efetos da maré no escoamento em ros sujetos à sua nfluênca. O problema fo formulado com base nas equações completas e undmensonas de Sant-Venant e para a sua resolução realzaram-se três programas de computador: um para cálculo das característcas geométrcas e hdráulcas fundamentas das secções transversas do ro e os restantes dos, nterlgados com o prmero, para o cálculo do escoamento propramente dto através dos métodos de dferenças fntas explícto de MacCormack (modelo Esquema_Explícto) e mplícto de Pressmann (modelo Esquema_Implícto). Para concretzação prátca deste trabalho fo escolhdo um trecho de cerca de 4 km do ro Sado, medatamente a montante da cdade de Alcácer do Sal, no qual se verfca a nfluênca da maré no escoamento fluval e que, quando em chea, tem provocado mportantes danos naquela cdade. Assm, para o trecho do ro consderado realzaram-se smulações computaconas dos modelos Esquema_Explícto e Esquema_Implícto relatvamente a uma stuação de chea e a três stuações com caudas a montante constantes, nomeadamente de m 3 /s, de 3 m 3 /s e de 4 m 3 /s, com o objectvo de estudar o escoamento fluval nfluencado pela maré no que dz respeto às suas característcas em termos de caudal, altura e velocdade do escoamento e número de Froude. Para cada uma das quatro stuações de escoamento referdas fo também realzada a análse de quatro modelos de curva de vazão, fscamente baseados e apoados nas alturas do escoamento nas duas secções mas a jusante do trecho do ro Sado em estudo. Nestes modelos são utlzadas formulações matemátcas relatvas às teoras das ondas cnemátca, dfusva e dnâmca. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA EM ESTUDO E SUA MODELAÇÃO COMPUTACIONAL No estudo dos escoamentos varáves com superfíce lvre que ocorrem em cursos de água naturas utlzam-se as equações completas de Sant-Venant, que consttuem a formulação matemátca dos prncípos fundamentas da Hdráulca. Estas equações representam modelos smples de fenómenos extremamente complexos, ncorporando apenas os factores cuja nfluênca no escoamento é mas mportante e desprezando aqueles que de acordo com os objectvos da modelação se consderam de mportânca secundára. É de assnalar o facto de que as secções transversas do ro, através das quas se processa o referdo escoamento varável, na aplcação feta a um trecho do Sado, apresentam uma forma geométrca arbtrára e varam ao longo do comprmento daquele. Os escoamentos varáves undmensonas em ros, consderando que a massa volúmca da água escoada é constante, podem ser descrtos por duas varáves dependentes, por exemplo, a altura do escoamento, h, e o caudal, Q, ou a altura do escoamento, h, e a velocdade méda, V, em qualquer 3

4 secção transversal do ro consderado. Estas varáves dependentes defnem então o estado do movmento da água ao longo do traçado do ro e no tempo, ou seja, são função de duas varáves ndependentes: o espaço, x e o tempo, t. Assm o problema fo formulado com base nas equações completas e undmensonas de Sant- -Venant, desgnadamente, equação da conservação da massa e equação da dnâmca, da segunte forma (ver por exemplo Santos, 4): em que: U F(U) + = S(U) t x () com: A VA U = ; F (U) = ; S (U) = VA V A + g Ah g A S ( J ) + g I A = A( x, t) - área da secção transversal do escoamento, Q = AV - caudal escoado na secção transversal, sendo V V ( x, t) escoamento nessa secção transversal, t - tempo (varável ndependente), x - dstânca medda na drecção do escoamento (varável ndependente), g - aceleração da gravdade, () = a velocdade méda do I - termo representando o efeto das pressões nas secções líqudas, segundo a drecção longtudnal do escoamento, expressa por: h ( x) [ h ( x) η] σ ( x, η) dη I = (3) sendo h a altura do escoamento na secção transversal do ro consderada e σ ( x, η) a largura da secção transversal à altura η. I - termo representando o efeto das pressões nas fronteras sóldas do volume de controlo, segundo a drecção longtudnal do escoamento, expressa por: I h ( x) σ = [ h η] dη x (4) h = h J - perda de carga untára, dada segundo a fórmula de Mannng-Strckler por: sendo R o rao hdráulco, / 3 / 3 Q nq J = = (5) KAR AR S - declve longtudnal do leto do ro. Para a resolução do problema realzaram-se três programas de computador: um para cálculo das característcas geométrcas e hdráulcas de base das secções transversas do ro (modelo Geohd_Sectransv) e dos para cálculo do escoamento através dos métodos de dferenças fntas explícto de MacCormack (modelo Esquema_Explícto) e mplícto de Pressmann (modelo Esquema_Implícto). 4

5 Tendo em vsta a aplcação numérca dos métodos de dferenças fntas utlzados, consderou-se a grelha computaconal com espaçamento espacal x e temporal t, como mostra a Fgura. t j+ t t + t (nstante de tempo desconhecdo) j x C t (nstante de tempo conhecdo) j- - + x Fgura - Grelha computaconal para o método de dferenças fntas - adaptada de Roberson, Cassdy e Chaudhry (997) O modelo Esquema_Implícto é baseado na dscretzação numérca do método de Pressmann (ver por exemplo Santos, 4): U j+ + U j+ + t + x j+ j+ j j [ θ ( F + F ) + ( θ )( F + F )] + j+ j+ j j j j + t [ θ ( S + S ) + ( θ )( S + S )] = U + U + sendo θ um coefcente de ponderação (,5<θ ). No presente estudo utlzou-se o valor de,7 para o coefcente de ponderação θ. Contraramente ao que sucede com os métodos explíctos, as equações que representam as condções mpostas pelas fronteras são drectamente ntroduzdas no sstema de equações sem ser necessára a combnação com as equações característcas. O sstema de equações resultante é composto por equações algébrcas, não lneares, as quas podem ser resolvdas através do método de Newton-Raphson. Os métodos mplíctos são, geralmente, ncondconalmente estáves, ou seja, não exste qualquer restrção no tamanho do espaçamento da malha de cálculo, x e t, para a establdade do método numérco. Contudo, segundo Chaudhry (993), a precsão obrga que o passo de tempo de cálculo a utlzar esteja próxmo do valor máxmo que se obtém através da condção de Courant. O modelo Esquema_Explícto é baseado na dscretzação numérca do método de MacCormack a qual envolve a realzação de dos passos no cálculo: um algortmo de prevsão e um algortmo de correcção. Relatvamente ao algortmo de prevsão, utlzando dferenças fntas regressvas, têm-se as seguntes relações (ver por exemplo Santos, 4): + + (6) 5

6 * U U U = t t j F F F = x x j j (7) O símbolo * refere-se às varáves calculadas durante o passo de prevsão do método. Através da substtução destas dferenças fntas nas equações () e smplfcando obtêm-se as seguntes equações resultantes: U * j j j ( F F ) S t j t = U (8) x Após a realzação dos cálculos deste passo para todos os nós computaconas, os valores * * obtdos são utlzados no passo de correcção segunte para calcular F e S. Assm, no algortmo de correcção, utlzando dferenças fntas progressvas, têm-se as seguntes relações: U U = t ** U t * F F + F = x x * j (9) Substtundo estas dferenças fntas e consderando seguntes equações resultantes: U ** * S = S nas equações (), obtêm-se as * * ( F F ) S t j t * = U + () x em que o símbolo ** refere-se aos valores das varáves obtdos após o passo de correcção do método. O valor de U no passo de cálculo segunte, j+, é dado então por: * ** ( U U ) j+ U = + Relatvamente à caracterzação das condções de frontera de um determnado problema, cujo estudo seja realzado através do método de MacCormack, é mportante referr que este método não é aplcável nos pontos da malha de cálculo localzados nas fronteras e, como tal, é necessáro recorrer à utlzação de outros métodos numércos de modelação para obter uma equação de defnção de cada frontera externa, que no cálculo global do escoamento seja compatível com as equações já consderadas anterormente. Geralmente, quando se aplca o método de MacCormack para resolver as equações de Sant- -Venant undmensonas, para o estudo dos escoamentos gradualmente varáves em ros, o método que se utlza na modelação das condções de frontera é o método das característcas. () 6

7 O esquema numérco explícto de MacCormack para ser estável deve satsfazer a clássca condção de Courant-Fredrchs-Lewy, C.F.L., conforme MacCormack (97) n Franco (996), que se pode expressar da segunte forma: com x t () max ( V ± c) A c = g (3) B Assm, o procedmento explícto tornar-se-á nstável se o ntervalo de tempo escolhdo for demasado grande. De acordo com o referdo crtéro de Courant o ntervalo de tempo dever ser menor do que o necessáro para que uma perturbação no escoamento passe de uma secção transversal para outra contígua. Efectvamente, de um modo geral a establdade de todos os métodos numércos explíctos está sujeta a esta condção. 3 APLICAÇÃO DOS MODELOS COMPUTACIONAIS REALIZADOS A UM CASO DE ESTUDO REAL Para concretzação prátca deste trabalho aplcaram-se os modelos computaconas realzados ao trecho do ro Sado cujas secções a montante e a jusante são, respectvamente, a stuada a cerca de km a jusante da confluênca do ro Xarrama com o ro Sado e a localzada medatamente a montante de Alcácer do Sal, na qual se verfca a nfluênca da maré no escoamento fluval, não se tendo consderado as afluêncas entre estas secções (Fgura ). Fgura - Localzação dos treze perfs transversas realzados - adaptada do Plano da Baca Hdrográfca do Ro Sado () 7

8 No trecho do ro Sado em estudo foram dscretzadas treze secções transversas, aproxmadamente espaçadas entre s de uma dstânca de m (Fgura ). Nos modelos de cálculo automátco desenvolvdos para smulação computaconal da propagação de escoamentos gradualmente varáves undmensonas em cursos de água naturas sujetos à nfluênca da maré, utlzaram-se para condções ncas as que correspondem ao regme permanente com caudal e altura do escoamento constantes, respectvamente na frontera de montante e na frontera de jusante. Assm, a partr de determnadas condções ncas arbtradas pelo utlzador e através das equações do regme varável consderadas procedeu-se ao cálculo automátco das característcas do escoamento até à sua convergênca para o referdo regme permanente ao longo da totaldade do trecho do ro em estudo. Usualmente, tal como é segudo neste trabalho, as condções ncas consstem nos valores dos caudas e das alturas do escoamento relatvamente ao nstante ncal de cálculo, ou tempo zero, defndos para as secções que lmtam os segmentos em que se consdera dvddo o trecho do ro em estudo. No que concerne às condções de frontera, consderam-se um hdrograma de caudas para a frontera de montante e um hdrograma de alturas do escoamento para a frontera de jusante, que representa a nfluênca da maré no escoamento fluval. Realzaram-se smulações computaconas, utlzando os modelos Esquema_Explícto e Esquema_Implícto relatvamente às seguntes quatro stuações de escoamento: um hdrograma de chea a montante, Q montante = m 3 /s, Q montante = 3 m 3 /s e Q montante = 4 m 3 /s. O hdrograma de caudas consderado na secção de montante do trecho do ro Sado em estudo corresponde a uma stuação de chea estmada de acordo com nformação constante do documento Plano da Baca Hdrográfca do Ro Sado. Relatvamente a este hdrograma de caudas é mportante referr que o valor de caudal máxmo fo de 8 m 3 /s. O hdrograma de alturas do escoamento consderado na secção de jusante do trecho do ro Sado em estudo, junto a Alcácer do Sal, corresponde a um período de szíga para a chea consderada, o qual fo estmado com base na análse da nformação hdrométrca e topográfca recolhda, quer de forma ndrecta, quer drectamente por observações n stu. É mportante referr que em modelos undmensonas de escoamentos em ros a água só se escoa para montante em stuações de forte nfluênca de jusante, como no caso em estudo, a exstênca do fenómeno maré a nfluencar o escoamento fluval. Para lustrar os resultados obtdos no que dz respeto às característcas do escoamento fluval nfluencado pela maré em termos das grandezas caudal, altura e velocdade do escoamento e número de Froude, apresentam-se neste artgo, sob a forma de representações gráfcas, os referentes ao modelo Esquema_Implícto e à stuação de escoamento Q montante = 3 m 3 /s (Fguras 3 e 4). 8

9 Varação do caudal no tempo e ao longo do trecho do ro em estudo para Q montante = 3 m 3 /s (Esquema_Implícto) Q (m 3 /s) P P7 P3 3 t (h) Varação da altura do escoamento no tempo e ao longo do trecho do ro em estudo para Q montante = 3 m 3 /s (Esquema_Implícto) h (m) 4 3 t (h) 34 P P7 P3 Fgura 3 - Representação em perspectva do caudal e da altura do escoamento no tempo e ao longo do trecho do ro em estudo para Q montante = 3 m 3 /s (Santos, 4) 9

10 Varação da velocdade do escoamento no tempo e ao longo do trecho do ro em estudo para Q montante = 3 m 3 /s (Esquema_Implícto) V (m/s),5,5 -,5,5- -,5,5- -,5,5 3 t (h) 34 P P7 P3 Varação do número de Froude no tempo e ao longo do trecho do ro em estudo para Q montante = 3 m 3 /s (Esquema_Implícto) Fr (-),4,3,,3-,4,-,3,-, -,, 3 t (h) 34 P P7 P3 Fgura 4 - Representação em perspectva da velocdade do escoamento e do número de Froude no tempo e ao longo do trecho do ro em estudo para Q montante = 3 m 3 /s (Santos, 4)

11 Neste estudo procedeu-se também à análse da curva de vazão na secção mas a jusante do trecho do ro Sado consderado (secção P3) para cada uma das quatro stuações de escoamento referdas anterormente, chea e caudas a montante constantes de m 3 /s, de 3 m 3 /s e de 4 m 3 /s, tendo sdo utlzadas quatro formulações matemátcas correspondentes às teoras de onda cnemátca, dfusva e dnâmca, as quas são apresentadas segudamente. e Consderando: V ξ = (4) c V η = (5) c tem-se que o caudal estmado é expresso, consoante a teora de onda, da segunte forma: h h b h h Q = sgn S a h S + x t ξ + η ξ η x t (6) para a teora da onda dnâmca, desgnada por.ª análse, h h b h h Q = sgn S a h S + x t + η η x t (7) para a teora da onda dnâmca, desgnada por.ª análse, h b h Q = sgn S a h S x x (8) para a teora da onda dfusva e Q = sgn b ( S ) a h S (9) para a teora da onda cnemátca, onde a, b, ξ e η são parâmetros que neste estudo foram estmados pelo método do mínmo dos b quadrados. Como se reconhecerá, ah pode ser assmlado à capacdade de transporte de um canal prsmátco com uma secção transversal dêntca à da frontera de jusante (secção P3). Assm, com base nestas quatro formulações matemátcas realzaram-se quatro modelos de curva de vazão fscamente baseados e apoados nas alturas do escoamento nas duas secções mas a jusante do trecho do ro Sado em estudo. De forma a lustrar a análse da curva de vazão na secção fnal do trecho do ro modelado, apresentam-se nas Fguras 5, 6 e 7, os resultados obtdos com os quatro modelos de curva de vazão realzados relatvamente à stuação de escoamento Q montante = 3 m 3 /s.

12 Q (m 3 /s) Hdrograma de caudas na secção P3 (Q montante = 3 m 3 /s) t (h) Caudal modelado CV - onda dfusva CV - onda cnemátca Curva de vazão na secção P3 (Q montante= 3 m 3 /s) h (m) Q (m 3 /s) Caudal modelado CV - onda dfusva CV - onda cnemátca t Fgura 5 - Hdrograma de caudas e curva de vazão na secção P3 obtda através do modelo computaconal e das formulações matemátcas da onda dfusva e da onda cnemátca (Santos, 4) 5 Hdrograma de caudas na secção P3 (Q montante = 3 m 3 /s) 4 Q (m 3 /s) t (h) Caudal modelado CV - onda dnâmca: ª. análse Fgura 6 - Hdrograma de caudas e curva de vazão na secção P3 obtda através do modelo computaconal e da formulação matemátca da onda dnâmca:.ª análse (Santos, 4)

13 Curva de vazão na secção P3 (Q montante = 3 m 3 /s) h (m) Q (m 3 /s) t Caudal modelado CV - onda dnâmca: ª. análse Fgura 6 (cont.) - Hdrograma de caudas e curva de vazão na secção P3 obtda através do modelo computaconal e da formulação matemátca da onda dnâmca:.ª análse (Santos, 4) 5 Hdrograma de caudas na secção P3 (Q montante = 3 m 3 /s) 4 Q (m 3 /s) t (h) Caudal modelado CV - onda dnâmca: ª. análse Curva de vazão na secção P3 (Q montante = 3 m 3 /s) h (m) Q (m 3 /s) t Caudal modelado CV - onda dnâmca: ª. análse Fgura 7 - Hdrograma de caudas e curva de vazão na secção P3 obtda através do modelo computaconal e da formulação matemátca da onda dnâmca:.ª análse (Santos, 4) 3

14 No Quadro apresentam-se os valores estmados para os parâmetros e o respectvo coefcente de correlação, r, para Q montante =3 m 3 /s. Quadro - Valores dos parâmetros e do coefcente de correlação para Q montante =3 m 3 /s Modelo a b ξ η r Onda cnemátca ,9, Onda dfusva 38797,597,977 Onda dnâmca (.ª análse) 38879,596,9,98 Onda dnâmca (.ª análse) 396,59,9988,5,98 4 CONCLUSÃO Com base nos resultados obtdos (Santos, 4) verfcou-se que numa stuação de chea, a smultanedade da ocorrênca da mas alta prea-mar com os caudas de chea em Alcácer do Sal pode convergr no sentdo do aumento sgnfcatvo dos efetos negatvos provocados pelas cheas no trecho do ro Sado em análse. Estabeleceu-se uma curva de vazão na secção fnal do trecho do ro consderado, tendo-se proposto um modelo com o qual se obtveram resultados de boa qualdade, sendo contudo necessáro afer-los e crtcá-los com medções hdrométrcas. Com estas medções também se poderá analsar as dferenças t e x mas adequadas a cada caso específco. Verfcou-se que exste nversão do sentdo do escoamento nas stuações de chea e de Q montante = m 3 /s e que para os caudas superores consderados tal já não sucedeu. Constatou-se que a mportânca da maré no escoamento fluval, à medda que o caudal a montante aumenta, va-se confnando às secções de jusante, em trechos sucessvamente mas curtos. Na secção transversal mas contraída do trecho do ro em estudo, secção P7, verfca-se que as velocdades do escoamento são mas elevadas e que os valores do número de Froude, embora sendo os mas elevados, não ultrapassam,5, o que ndca que o regme de escoamento é lento no trecho modelado, para os caudas consderados. Pela mesma razão, contracção na secção P7, verfca-se um aumento consderável da altura do escoamento dessa secção para montante, sendo de destacar a pequena nfluênca da maré a montante daquela secção. Em vrtude das secções transversas do trecho do ro em estudo estretarem e alargarem de forma não monótona, verfcam-se osclações na velocdade do escoamento e no número de Froude ao longo desse trecho de ro, num determnado nstante de tempo. Relatvamente à secção mas a jusante do trecho do ro em estudo (secção P3), é mportante referr que, no que respeta ao caudal máxmo, este chega a ser cerca de uma vez e mea superor ao caudal constante que entra a montante e tanto maor (em termos relatvos) quanto menor for o caudal constante de montante, ocorrendo, para alturas do escoamento que não são máxmas, o que pode corresponder a velocdades máxmas muto elevadas, que por sua vez poderão conduzr a erosões sgnfcatvas localzadas junto a estruturas fluvas, cuja segurança poderá assm ser posta em rsco. Do estudo realzado pode também conclur-se que, em ros sujetos à nfluênca da maré, a relação entre a altura do escoamento e o caudal apresenta forte hsterese, verfcando-se maor dspersão de caudas para alturas do escoamento mas elevadas. 4

15 Na análse da curva de vazão na secção fnal do trecho do ro em estudo, utlzaram-se as equações das teoras da onda cnemátca, dfusva e dnâmca:.ª análse e.ª análse (mas completa), tendo-se concluído que a teora da onda cnemátca, como sera de esperar, é muto pouco adequada para o estudo de escoamentos em ros com a nfluênca da maré, em partcular para o estudo da curva de vazão numa secção transversal de um ro nfluencada por esse fenómeno. Contraramente, as teoras da onda dfusva, da onda dnâmca -.ª análse e da onda dnâmca -.ª análse são bastante apropradas para os referdos estudos, sendo de salentar que os resultados obtdos através destas três vas são bastante próxmos, não se evdencando uma dferença muto sgnfcatva de uns em relação aos outros. De um modo geral, em termos do coefcente de correlação entre os caudas modelado e estmado através das equações correspondentes às ctadas teoras da onda, a qualdade do ajustamento aumenta na segunte ordem: onda dfusva, onda dnâmca -.ª análse e onda dnâmca -.ª análse (Quadro). Relatvamente aos casos dos caudas a montante constantes, é de referr que as curvas de vazão obtdas através do modelo e estmadas a partr dos estudos baseados nas teoras da onda cnemátca, da onda dfusva e da onda dnâmca -.ª e.ª análses, ajustam-se de forma mas precsa para os caudas mas elevados e que não se verfca tanta precsão nesse ajustamento para os caudas mas baxos. BIBLIOGRAFIA CHAUDHRY, M. H. (993) - Open-Channel Flow. Prentce Hall, Englewood Clffs, New Jersey. CUNGE, J. A.; HOLLY, F. M. e VERWEY, A. (98) - Practcal Aspects of Computaconal Rver Hydraulcs. Ptman Publshng Lmted, London. FRANCO, A. B. (996) - Modelação Computaconal e Expermental de Escoamentos Provocados por Roturas de Barragens. Tese de Doutoramento em Engenhara Cvl, Insttuto Superor Técnco, Unversdade Técnca de Lsboa. MACCORMACK, R. W. (97) - Numercal Soluton of the Interacton of a Shock Wave wth a Lamnar Boundary Layer. Lectures Notes n Physcs. Sprnger-Verlag, Vol. 8, pp MINISTÉRIO DO AMBIENTE E DO ORDENAMENTO DO TERRITÓRIO () - Plano da Baca Hdrográfca do Ro Sado. Decreto Regulamentar N.º 6/, publcado no Dáro da Repúblca N.º 36 de --, Sére I - B. QUINTELA, A. C. (993) - Hdráulca. 4.ª Edção Fundação Calouste Gulbenkan, Lsboa. ROBERSON, J. A. ; CASSIDY, J. J. e CHAUDHRY, M. H. (997) - Hydraulc Engneerng, John Wley & Sons, Inc.. SANTOS, M. I. M. (4) - Estudo dos Efetos da Maré no Escoamento em Ros Sujetos à sua Influênca. Aplcação ao Ro Sado. Dssertação submetda para obtenção do grau de Mestre em Hdráulca e Recursos Hdrícos, Insttuto Superor Técnco, Unversdade Técnca de Lsboa. YEVJEVICH, V. (975) - Unsteady Flow n Open Channels. Vol. I, Ed. by K. Mahmood and V. Yevjevch, Water Resources Publcatons, Fort Collns. 5