COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO PARA VARIÁVEIS ORDINAIS E DICOTÔMICAS DERIVADOS DO COEFICIENTE LINEAR DE PEARSON

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1 COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO PARA VARIÁVEIS ORDINAIS E DICOTÔMICAS DERIVADOS DO COEFICIENTE LINEAR DE PEARSON CORRELATION COEFFICIENT DERIVED FROM PEARSON LINEAR COEFFICIENT FOR ORDINAL AND DICHOTOMIC VARIABLES Sachko Arak Lra Ittuto Paraaee de Deevolvmeto Ecoômco e Socal - IPARDES Rua Mámo João Ko, 74 - Bloco - Sata Câdda CEP: Curtba - Paraá achko@oda.com.br Aelmo Chave Neto Uverdade Federal do Paraá Programa de Pó-Graduação em Método Numérco em Egehara - Cetro Poltécco CEP: Curtba - Paraá aelmo@et.ufr.br RESUMO Devdo a grade utlzação da Aále de Correlação em dferete área do cohecmeto, é mortate cohecer o dferete método ara a obteção do coefcete de correlação. É comum a tuaçõe em que a varáve ão ão medda em ível tervalar, ma em ível ordal e/ou dcotômca. Areetam-e o reete trabalho o método de coefcete de correlação dervado do coefcete lear de Pearo, ara tuaçõe que evolvem varáve medda em ível tervalar, ordal e dcotômca, qua ejam: coefcete de correlação oto beral, h, de Searma, etre varáve tervalar e ordal e etre varáve ordal e dcotômca. Palavra-chave: coefcete de correlação; coefcete de correlação ara varáve orda e dcotômca. ABSTRACT A the Correlato Aal ued everal kowledge area, t mortat to be famlar wth the dfferet method etg to obta correlato coeffcet. Uuall, we ca fd tuato where varable are ot meaured b terval level but accordg to ordal ad/or dchotomc. The reet work how the correlato coeffcet method derved from Pearo lear coeffcet ad aled to tuato volvg varable meaured b terval, ordal ad dchotomc level, uch a: b-eral ot, h ad Searma correlato coeffcet, betwee terval ad ordal varable, ad betwee ordal e dchotomc varable. Keword: correlato coeffcet; correlato coeffcet for ordal ad dchotomc varable - INTRODUÇÃO A Aále de Correlação é uma ferrameta mortate ara a dferete área do cohecmeto, ão omete como reultado fal, ma como uma da etaa ara a utlzação de outra técca de aále. A aále de cofabldade em tema de egehara tem como objetvo avalar a robabldade de ão haver falha durate a ua vda útl, atededo ao objetvo ara o qua o tema fo rojetado. A avalação da robabldade de falha é uualmete detfcada como a aále de cofabldade etrutural. Do método aalítco batate utlzado ão: Frt Order Relablt Method (FORM) e Secod Order Relablt Method (SORM). Segudo Haldar e Mahadeva [6], o método FORM e SORM aumem mlctamete que a varáve evolvda a aále ão ão correlacoada. Portato, deve-e, obter calmete a correlaçõe etre a varáve. O método uualmete cohecdo ara medr a correlação etre dua varáve é o coefcete de correlação lear de Pearo, também cohecdo como coefcete de correlação do mometo roduto. Ete fo o rmero método de correlação, troduzdo or Karl Pearo em 897, coforme areetado em Lra [7]. Uma da uoçõe ara a utlzação dete coefcete é de que a varáve evolvda a aále ejam medda o mímo em ível tervalar. Etretato, em muta tuaçõe, ão é oível a utlzação dee to de ecala de medda. Foram etão deevolvdo o coefcete de correlação dervado do coefcete lear de Pearo ara tuaçõe que evolvem varáve medda em ível ordal e dcotômca. - OBJETIVO O objetvo dete trabalho é areetar uma revão obre o dferete método de correlação dervado do coefcete lear de Pearo, qua ejam: coefcete de correlação oto beral, coefcete de correlação h, coefcete de correlação de Searma, coefcete de correlação etre varável ordal (rak) e varável tervalar e coefcete de correlação etre varável ordal (rak) e varável dcotômca. Ete do últmo coefcete ão areetado em Wherr [0]. RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez

2 Sachko Arak Lra e Aelmo Chave Neto 3 - MÉTODOS PARA A OBTENÇÃO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 3.. Coefcete de correlação lear de Pearo O coefcete de correlação oulacoal (arâmetro) ρ e ua etmatva amotral etão tmamete relacoado com a dtrbução ormal bvarada, cuja fução dedade de robabldade é dada or: µ µ µ µ f +, (, ) e ρ πσ σ ρ ( ρ ) σ σ σ σ COV(, ) σ, edo ρ, ρ () σ σ σ σ o arâmetro oulacoal ode: COV (, ) é a covarâca etre e σ é o devo adrão de σ é o devo adrão de O Etmador de Máma Veromlhaça é dado ela ereão:, ( )( ) ( ) ( ) ode: é o úmero de obervaçõe da amotra é a méda artmétca de é a méda artmétca de ( )( ) Ete coefcete é também cohecdo como Coefcete de Correlação do Mometo Produto. Na rátca, coforme areetado em Lra [7], o coefcete de correlação é terretado como um dcador que decreve a terdeedêca etre a varáve e. Outra forma de terretar o coefcete de correlação é em termo de R, deomado coefcete de determação ou de elcação. Quado multlcado or 00, o R forece a ercetagem da varação em (varável deedete), que ode er elcada ela varação em (varável deedete), ou eja, o quato de varação é comum à dua varáve. () (3) Cabe lembrar que o coefcete de determação é a relação etre a varação elcada elo modelo lear ( Ŷ αˆ + βˆ, ode αˆ e βˆ ão cotate) e a varação total. A gfcâca do coefcete de correlação etmado é verfcada atravé de tete de hótee. A etatítca ara tetar a hótee H 0 : ρ 0 cotra H : ρ 0 tem dtrbução t com - grau de lberdade, ou eja: t ~ t (4) ode: é o úmero de obervaçõe da amotra é o coefcete de correlação lear de Pearo 3.. Coefcete de correlação dervado do coefcete lear de Pearo 3... Coefcete de correlação oto beral Embora eja uada ormalmete como medda de correlação etre ecore e te de tete, a correlação oto beral ode er emregada em outra tuaçõe ode a varável dcotômca ode er, a título de eemlo, erfeto ou defetuoo, certo ou errado. O coefcete de correlação oto beral é dervado do coefcete de correlação lear de Pearo. Ee método é dcado quado uma da varáve () é dcotômca e a outra (), cotíua. Coforme areetado em Ferguo [4], a correlação oto beral forece uma medda da relação etre uma varável cotíua, e outra varável com dua categora ou dcotômca, como erfeto ou defetuoo. Segudo Ferguo [4], Dowe e Heath [3] e Gulford [5], a correlação oto beral é a correlação do mometo roduto. Se for atrbuído ara obervaçõe de uma categora e zero ara outra, e e for calculado o coefcete de correlação do mometo roduto, o reultado erá o coefcete oto beral. Ele é terretado da mema forma que. O etmador do coefcete de correlação oto beral fo obtdo a artr do etmador do coefcete de correlação lear de Pearo, coforme areetado em Gulford [5]. Fazedo e, o etmador do coefcete lear de Pearo é: ( ) ( ) ode: é o úmero de obervaçõe da amotra (5) 46 RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez. 006

3 Coefcete de correlação ara varáve orda e dcotômca dervado do coefcete lear de earo ˆσ ˆσ é o devo adrão amotral de é o devo adrão amotral de Sedo uma varável aleatóra cotíua e uma varável aleatóra com dtrbução de Beroull, tem-e, etão, que, or coveêca: S ( ) (6) S q, ode θ e q ( - θ) da dtrbução de Beroull. (7) Deevolvedo (5), tem-e: ( )( ) (8) [ + ] (9) Subttudo (9) em (5), tem-e: ma S q e, etão, (0) S q Dvddo or, tem-e: S Dvddo or b q ( ) ( ) S, tem-e: q () S q De acordo com Wherr [0], a gfcâca do coefcete etmado é tetada ela etatítca: b t ~ t () b ode: é o úmero de obervaçõe da amotra é o coefcete de correlação oto beral b 3... Coefcete de correlação de Searma Ete coefcete é o ma atgo e também o ma cohecdo ara calcular o coefcete de correlação etre varáve meurada em ível ordal, chamado também de coefcete de correlação or oto de Searma, degado rho e rereetado or. É mortate efatzar, egudo Buchaft e Keller [], que a correlaçõe orda ão odem er terretada da mema maera que ara varáve medda em ível tervalar. Icalmete, ão motram ecearamete tedêca lear, ma odem er coderada como ídce de mootocdade, ou eja, ara aumeto otvo da correlação, aumeto o valor de correodem a aumeto o valor de, e ara coefcete egatvo ocorre o ooto. O quadrado do coefcete de correlação ão ode er terretado como a roorção da varâca comum à dua varáve. Seu etmador fo dervado a artr do etmador do coefcete de correlação lear de Pearo, coforme areetado em Segel [8]. Tem-e da ereão (5) que: (3) ode: e ( + ) Pode-e ecrever:, ode otorak,, 3,..., (4) O quadrado do oto ão: 3,,,..., ode: é o coefcete de correlação oto beral b é a méda do valore de ara o gruo ueror (gruo cuja varável aume valor ) é a méda total de da amotra S é o devo adrão total de da amotra é a roorção de cao do gruo ueror (gruo cuja varável aume valor ) q é a roorção de cao do gruo feror (gruo cuja varável aume valor ) ( + )( + ) Etão: 6 Am, ( ) ( + )( + ) 6 [ ( + ) / ] (5) (6) RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez

4 Sachko Arak Lra e Aelmo Chave Neto 3 Da mema forma, obtém-e: 3 Fazedo a dfereça de oto: (7) (8) d (9) elevado ao quadrado tem-e: ( ) d + (0) fazedo o omatóro: fazedo d + (), tem-e que () ubttudo (7), (8) e () em () tem-e: d 3 Am, obtém-e: 6 d (3) ( ) ode: é o coefcete de correlação de Searma d é a dfereça etre a ordeaçõe é o úmero de are de ordeaçõe Quado a eleção do elemeto que comõem a amotra é feta de forma aleatóra, a artr de uma oulação, é oível determar e a varáve em etudo ão aocada a oulação. Ou eja, é oível tetar a hótee de que a dua varáve etão aocada a oulação. Para amotra uerore a 0, egudo Segel [8], a gfcâca de um valor obtdo de ˆρ ode er verfcada atravé de t calculado elo etmador areetado a egur. t (4) Para 0, a ereão acma tem dtrbução t de Studet com - grau de lberdade. Segudo Slvera [9], a relação etre uma ecala tervalar e ordal é de mootocdade e a traformação mootôca em uma varável caua ouco efeto obre coefcete de correlação, razõe t e F. Am, uma varável medda em ível ordal ode er tratada como tervalar Coefcete de correlação h Em alguma tuaçõe, a varáve ão medda em ível omal ou or categora dcreta e erea em forma de freqüêca. Nee cao, ão é oível a utlzação de ehum do método vto aterormete. O etmador do coefcete de correlação h também fo obtdo a artr do etmador do coefcete lear de Pearo, batado fazer com que a varável também eja dcotômca e dtrbuída coforme areetada a egur: Varável 0 TOTAL Varável a b 0 c d q TOTAL ' q' Tem-e da ereão () que o etmador do coefcete de correlação oto beral é: ma b ( ) (5) S q a a e a + b q ( ) c c (6) c + d q c + d e q (7) a ( c + d) c ( c + d) ( a + c) + qq + (8) S (a + c) (b + d) ' q' (a + c)(b d) (9) + Etão, ubttudo a ereõe (6), (7), (8) e (9) a (5), tem-e: φ ˆ a ( a + c) ( a + c)( b + d) φ ˆ ˆ ( a + c) a ( a + c) ( a + c)( b + d) ( ad bc) a ( a + c) ( a + c)( b + d) ( a + c) ( a + c) φ (30) (a + b)(a + c)(b + d)(c + d) 48 RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez. 006

5 Coefcete de correlação ara varáve orda e dcotômca dervado do coefcete lear de earo ode: φˆ é o coefcete de correlação h a,b,c,d ão a frequêca da tabela de cotgêca é a oma da frequêca a,b,c e d O coefcete de correlação h etá relacoado com χ ara a tabela, dada ela ereão a egur, como areetada em Ferguo [4]: χ φˆ ou χ φ (3) Por ea razão, ode-e tetar a gfcâca de φˆ calculado o valor de χ φ e comarado com o valor de χ, com grau de lberdade [4]. O valore de φˆ varam etre - e +. Etretato, ara Buchaft e Keller [] é ufcete que a e d dquem ou cocordâca ou dcordâca, o memo acotecedo com b e c Coefcete de correlação etre varáve dcotômca e ordal (rak) Ete coefcete é utlzado, egudo Wherr [0], quado uma da varáve () é dcotômca e a outra ordal (rak). O eu etmador também fo obtdo a artr do coefcete de correlação lear de Pearo. O etmador do coefcete de correlação lear de Pearo dado ela ereão (3) ode er reecrto como:, ( )( ) (3) Sedo a varável dcotômca e a varável ordal (rak), etão tem-e: ( + ) ode otorak,, 3,..., (33) O quadrado do oto ão:,, 3,..., ( + )( + ) Etão: 6 A méda de é dada or: + E a varâca erá dada or: (34) (35) (36) Sedo uma varável dcotômca, etão: 0 + ode: é o úmero total de obervaçõe da amotra 0 é o úmero de obervaçõe cuja varável aume valor zero é o úmero de obervaçõe cuja varável aume valor um (37) A méda e a varâca de erão dada or: (38) (39) ( ) (40) Subttudo (35), (36), (39) e (40) em (3) tem-e: dr ( + ) - ( ) - [ ( + 0 )] Reultado em: - ( + ) - ( + ) dr (4) 0 ( ) 3 ode: é o coefcete de correlação etre a varáve e dr é a oma da varável ordal é o úmero total de obervaçõe 0 é o úmero de obervaçõe cuja varável aume valor zero; é o úmero de obervaçõe cuja varável aume valor um. A gfcâca do coefcete etmado ara amotra com 30, oderá er obtda atravé da etatítca Z, como egue: RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez

6 Sachko Arak Lra e Aelmo Chave Neto Z (4) dr Coefcete de correlação etre varável ordal (rak) e tervalar Quado tem-e uma varável () ordal e outra () tervalar, é oível etmar o coefcete atravé do etmador areetado em Wherr [0], que também dervou-e do coefcete lear de Pearo. Coforme areetado a ereão (3), o etmador do coefcete lear de Pearo é:, ( )( ) (43) Se é uma varável ordal (rak), etão é oível ecrever: r ( + ) ode oto rak,, 3,..., O quadrado do oto ão:,, 3,..., ( + )( + ) Etão: (44) 6 A méda e a varâca da varável erão obtda or: Tem-e que: ( + ) ( ) + 3 Subttudo (47) em (46) tem-e: 3 (45) (46) (47) (48) Subttudo (45) e (48) em (43) tem-e: ( + ) ( + ) (49) r é o coefcete de correlação etre a varável ordal e tervalar é o devo adrão da varável é o úmero de obervaçõe da amotra A gfcâca do coefcete etmado oderá er obtda atravé de: t r ~ t (50) r 4 - RESULTADOS E DISCUSSÃO Para a alcação de dferete método de coefcete de correlação dervado do coefcete lear de Pearo, gerou-e dferete amotra elo roceo de mulação Mote Carlo, utlzado o Stattcal Software Aal (SAS), atededo à uoçõe quato ao ível de meuração da varáve evolvda a aále. O algortmo utlzado ecotram-e o aêdce. 4.. Alcação do coefcete de correlação oto beral Gerou-e uma amotra aleatóra em que a varável é tervalar e a varável é dcotômca. A amotra aleatóra e a etatítca ecotram-e o quadro A. e A. do aêdce. O coefcete de correlação oto beral calculado fo b 0, Calculado-e o coefcete lear de Pearo ara a varáve e, evdetemete obteve-e o memo valor, o trata-e do memo coefcete. A gfcâca do coefcete de correlação oto beral quato do coefcete lear de Pearo é α < 0,0, cujo valor de t calculado fo 7, Alcação do coefcete de correlação de Searma A varáve e gerada aleatoramete ão orda, areetada o quadro A.3. Foram calculado o coefcete de correlação de Searma e o lear de Pearo, cujo coefcete etmado fo S 0, 8043, com t 7, 6, gfcatvo, ortato, ara α < 0, Alcação do coefcete de correlação h Gerou-e uma amotra aleatóra de varáve dcotômca e que e ecotra o quadro A.4. O coefcete de correlação h calculado a artr da tabela de cotgêca areetada a tabela A. é eatamete gual ao coefcete lear de Pearo, calculado a artr da varáve dcotômca e, qual eja ρ ˆ φˆ 0, O tete de gfcâca utlzado a etatítca t dca ível de gfcâca α < 0, 0, com t 7, 85. Utlzado-e ode: 50 RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez. 006

7 Coefcete de correlação ara varáve orda e dcotômca dervado do coefcete lear de earo o tete χ, a gfcâca também é de α < 0, 0, ara χ 3,47. Para Adeberg [], quado a varáve oma ão defda como dcotômca, odem er coderada a aále como varáve medda em ível tervalar. Evdetemete, a etatítca t e χ dferem em eu valore, o etato, a gfcâca ão gua. Portato, uma vez defdo o ível de gfcâca, aceta-e ou rejeta-e H 0, tato ara a etatítca t quato ara χ Alcação do coefcete de correlação etre varáve dcotômca e ordal Tem-e que a varável é medda em ível ordal e a varável é dcotômca. A amotra aleatóra gerada elo roceo de mulação ecotra-e o quadro A.5 e a etatítca da varável, o quadro A.6. O coefcete de correlação dr calculado fo 0,86458, eatamete gual ao coefcete lear de Pearo. A gfcâca do coefcete é α < 0, 0 ara t 9, 0. A etatítca Z calculada ara tetar a gfcâca de dr fo 4,66, gfcatvo também ara α < 0, Alcação do coefcete de correlação etre varáve tervalar e ordal A amotra aleatóra ecotra-e o quadro A.7 do Aêdce. O coefcete de correlação etmado é r 0,8789, cuja etatítca t é gual a,39, gfcatva ortato ara α < 0, 0. O coefcete de correlação oto beral, h, de Searma, dr e r ão dervado do coefcete lear de Pearo, deevolvdo ara tuaçõe em que a uoção de que a varáve devem er medda o ímo em ível tervalar ão ão atedda. No etato, verfcou-e que ara cada um do coefcete coderado-e o ível de meuração da varáve evolvda, obteve-e a mema etmatva do coefcete lear de Pearo, o que dca a obldade de utlzação dete últmo coefcete memo em tuaçõe que evolvem varáve orda e dcotômca. Para o coefcete de correlação oto beral, de Searma e r, a gfcâca do coefcete etmado ão eatamete gua a do coefcete de Pearo, uma vez que a etatítca ara o cálculo da gfcâca é a mema, ou eja, t de Studet com - grau de lberdade. Já o cao do coefcete de correlação h, utlza-e a etatítca χ. Porém, a gfcâca é gual ao da etatítca t, ara o coefcete lear de Pearo. O memo ocorre ara o coefcete dr, cuja etatítca utlzada ara verfcar a gfcâca é Z, que, embora dfram o valore calculado, a gfcâca ão gua. 5 CONCLUSÃO Coclu-e ortato que é oível utlzar o coefcete lear de Pearo ara varáve medda a ível tervalar, ordal e dcotômca, tedo a devda recauçõe a terretação, ou eja, o quadrado do coefcete de correlação ão ode er terretado como a roorção da varâca comum à dua varáve ( R ), quado evolvem varáve orda e dcotômca. Detre o fatore que afetam o coefcete lear de Pearo, ode-e ctar o tamaho da amotra, rcalmete quado é equeo. Am, aear da obldade da utlzação do coefcete lear de Pearo, ara a varáve que ão ão medda o mímo em ível tervalar, há que e atetar ara a quetão do tamaho da amotra, da varáve evolvda a aále. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] Adeberg, Mchel R.; Cluter aal for alcato. New ork: J. Wle & So, 958. [] Buchaft, G. ad Keller, S. R. O.; Etatítca em mtéro..ed. Petróol: Voze, 999. v.. [3] Dowe, N. M. ad Heath, R. W.; Bac tattcal method. New ork: Harer & Brother, 959. [4] Ferguo, G. A.; Stattcal aal cholog ad educato. 5.ed. New ork: McGraw-Hll book, 98. [5] Gulford, J. P.; Fudametal tattc cholog ad educato. 4.ed. New ork: McGraw-Hll Book, 950. [6] Haldar, A. ad Mahadeva, S.; Probablt, relablt ad tattcal method egeerg deg. New ork: J. Wlle & So, 000. [7] Lra, S. A.; Aále de correlação: abordagem teórca e de cotrução do coefcete com alcaçõe. Curtba, Dertação (metrado). Setore de Cêca Eata e de Tecologa, UFPR. [8] Segel, Sde; Etatítca ão-aramétrca: ara a cêca do comortameto. São Paulo: McGraw-Hll do Bral, 975. [9] Slvera, F. L.; Etatítca aramétrca veru ãoaramétrca: um etudo emírco. Sceta, v.,.,. 5-, jul-dez 99. [0] Wherr, R. J.; Cotrbuto to correlatoal aal. Orlado: Academc Pre, 984. RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez

8 Sachko Arak Lra e Aelmo Chave Neto APÊNDICE - ALGORITMOS UTILIZADOS PARA OBTENÇÃO DAS VARIÁVEIS.. Algortmo ara gerar varáve orma bvarada data ormalb; kee ; m5; m0; v; v0; ro0.80; do to 30; /* tamaho da amotra */ m+qrt(v)*raor(3); (m+ro*(qrt(v)/qrt(v))*(-m))+ qrt(v*(- ro**))*raor(3); outut; ed; ru;.. Algortmo ara gerar varável ormal data ormal; eed45; 0; do to ; raor(eed); outut; ed; ru;.3. Algortmo ara gerar varável Beroull data beroull; eed45; 0; do j to ; rab(eed,,0.4); outut; ed; ru; AMOSTRAS UTILIZADAS PARA APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CORRELAÇÃO QUADRO A. - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS NORMAL E BERNOULLI OBS. OBS. 68, ,747 68, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6968 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , QUADRO A. - ESTATÍSTICA DESCRITIVA DA VARIÁVEL SEGUNDO VALORES DA VARIÁVEL E TOTAL FREQ. MÉDIA DESVIO PADRÃO 0 67,975, ,494,0555 TOTAL 40 70,98,950 QUADRO A.3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E NORMAIS E TRANSFORMADAS EM ORDINAIS OBS. OBS. OBS QUADRO A.4 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BERNOULLI E OBS. OBS. OBS. OBS TABELA A. - TABELA DE CONTINGÊNCIA DAS VARIÁVEIS E QUADRO A.5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS NORMAL TRANSFOR- MADA EM ORDINAL E BERNOULLI OBS. OBS. OBS QUADRO A.6 - ESTATÍSTICA DESCRITIVA DA VARIÁVEL SEGUNDO VALORES DA VARIÁVEL S 0 8,5000 4,760 3,5000 4,833 5 RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez. 006

9 Coefcete de correlação ara varáve orda e dcotômca dervado do coefcete lear de earo QUADRO A.7 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS NORMAL TRANSFOR- MADA EM ORDINAL E NORMAL OBS OBS 50, ,540 5, , , , , , , , , , , , , , , , , ,054 54, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,958 56, ,988 60, , , , , , , ,037 RECIE, Uberlâda, v. 5,. /, , ja.-dez

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