Aula 7 - Roteiro. K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed. $ 7.4, $8.1 e $8.2 S. Salinas, Introdução à Física Estatística, $7.2.

Transcrição

1 Aula 7 - Roteiro 1. Flutuações da Eergia o Esemble Caôico. Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos 3. Esemble Grão-caôico 4. Flutuações de Desidade o Esemble Grão-caôico 5. Mecâica Estatística Quâtica - coceitos básicos K. Huag, Statistical Mechaics, d Ed. $ 7.4, $8.1 e $8. S. Salias, Itrodução à Física Estatística, $7. 1 / Aula 7

2 Flutuações da Eergia o Esemble Caôico Por defiição, a média da eergia U =< H > é d a d a p o r : U = 1 dp dqh e βh C dp dqh e βh U =0 Z dp dq e βh ou aida dp dq(u H) e βh =0 <U H>= 0 dp dq e βh dp dq(u H) e β(h F ) =0 Difereciado em relação a β =1/k B T, teremos U dp dq e β(h F ) + β =1 lembrado que / β = k B T / T dp dq(u H)[(F H) T ( F / T )] e β(h F] =0 [U TS H T ( S)] / Aula 7

3 Flutuações da Eergia o Esemble Caôico Por defiição, a média da eergia U =< H > é d a d a p o r : U = 1 dp dqh e βh C dp dqh e βh U =0 Z dp dq e βh ou aida dp dq(u H) e βh =0 <U H>= 0 dp dq e βh dp dq(u H) e β(h F ) =0 Difereciado em relação a β =1/k B T, teremos U dp dq e β(h F ) + β =1 lembrado que / β = k B T / T dp dq(u H)[(F H) T ( F / T )] e β(h F] =0 [U TS H T ( S)] / Aula 7

4 U β + Flutuações da Eergia o Esemble Caôico dp dq(u H)(U H) e β(h F ] =0, U β + < (U H) >=0 < H > < H > = U β = k BT U T = k BT C V Dividido ambos os lados por < H >, e tomado a raiz quadrada obtemos o desvio padrão relativo, i.e. < H > < H > = k B T CV < H > < H > Como C V e < H > são gradezas extesivas resulta que < H > < H > 1 < H > Cometários O desvio padrão relativo, à média, tede a zero o limite termodiâmico. Ou seja as flutuações da eergia serão ifiitamete pequeas quado comparadas ao seu valor médio. No limite termodiâmico, quase todos os elemetos do esemble terão eergia aproximadamete igual a U, e o esemble caôico se tora equivalete ao esemble microcaôico. 3 / Aula 7

9 Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos Sistema formado por N osciladores harmôicos quâticos e idepedetes, cujos espectros de eergia são: E i = i + 1 ω, i =0, 1,,... i 0 é u m ú m e r o q u â t i c o d o i é s i m o oscilador i =1,,...N. ω é a frequêcia do oscilador. Cosiderar que o sistema está em equiĺıbrio térmico com um reservatório de calor à temperatura absoluta T. 4 / Aula 7

10 Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos Sistema formado por N osciladores harmôicos quâticos e idepedetes, cujos espectros de eergia são: E i = i + 1 ω, i =0, 1,,... i 0 é u m ú m e r o q u â t i c o d o i é s i m o oscilador i =1,,...N. ω é a frequêcia do oscilador. Cosiderar que o sistema está em equiĺıbrio térmico com um reservatório de calor à temperatura absoluta T. E1 E E3 E4 EN A fução de partição dos sistema pode ser escrita como porque os osciladores são idepedetes. Z(T,V,N)=Z(T,V,1) N 4 / Aula 7

11 Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos 5 / Aula 7

12 Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos Z = = = exp β i exp [ βe 1 ] { 1,,..., N } 1 =0 =0 E i = exp [ βe i ]= { 1,,..., N } exp [ βe ] N exp [ βe ] =[Z(T,V,1)] N =0 i N =0 exp [ βe N ]= Z(T,V,1) é a fução de partição para um oscilador isolado, i.e Z(T,V,1) = exp[ βe ]= =0 exp =0 βω + 1 =exp βω exp βω =0 A última soma correspode à soma de uma progressão geométrica ifiita de razão exp[ βω], i.e Z(T,V,1) = exp βω 1 1 exp[ βω] = 1 exp βω exp βω = βω 1 sih 5 / Aula 7

15 Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos Portato, a fução de partição do sistema será Z(T,V,N)= βω N sih ode os osciladores foram cosiderados distiguíveis etre si. A eergia livre de Helmholtz é obtida por F (T,V,N)= kt l[z(t,v,n)] = NkT l βω sih F (T,V,N)= N ω + NkT l[1 exp( βω)] A etropia pode ser obtida diretamete de F (T,V,N) por derivação, i.e. F S = T V,N = Nkl[1 exp( βω)] NkT S = Nk βω exp βω 1 l[1 exp( βω)] βω 1 exp( βω) 6 / Aula 7

20 Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos A eergia itera pode ser obtida por U = F + TS,i.e. U = N ω+nkt l[1 exp( βω)]+nkt βω exp βω 1 U = Nω exp βω 1 l[1 exp( βω)] No limite quado T 0 ou β temos exp(βω) S 0 e U Nω/. A capacidade calorífica a volume costate é dada por C V = U T, C V = Nk(βω) exp βω N,V (exp βω 1) No limite de altas temperaturas βω 0, dode C V Nk(βω) [1 + (βω)+...] Nk[1 + (βω)+...] NK [1 + (βω)+...) 1] que correspode ao valor obtido classicamete. No etato, o limite de baixas temperaturas βω, dode C V Nk(βω) exp βω 0, 7 / Aula 7

23 Exemplo: gás de osciladores harmôicos quâticos O comportameto quado T 0 pode ser etedido da seguite maeira: Se kt << ω um oscilador ão poderá ser excitado para um ível de eergia acima do estado fudametal, i.e o sistema ão poderá absorver eergia oferecida pelo baho térmico, exceto em uma baixíssima probabilidade. C V C V = Nk(βω) exp βω (exp βω 1) ΠkT hω 8 / Aula 7

24 Esemble Grão-caôico Cosiderar um sistema cofiado por paredes codutoras térmicas e químicas de tal maeira que sua eergia média e úmero de costituites médio são costates, mas livres para sofrem flutuações em toro das respectivas médias. Cosiderar a etropia de Gibbs S = K B dp dqρ (p, q )l[c ρ(p, q )] T,µ V = 0 T = 0 µ = 0 sujeita às codições de vículo dp dqρ N (p, q )=1, dp dqh N (p, q ) ρ N (p, q )=U, dp dq Nρ N (p, q )=<N> Usar o método dos multiplicadores de Lagrage, defiido S = S+α 0 dp dqρ N 1 +α E dp dqh N ρ N U +α N dp dq Nρ N (p, q ) <N> Calcular δs =0,i.e. 9 / Aula 8

25 Esemble Grão-caôico Cosiderar um sistema cofiado por paredes codutoras térmicas e químicas de tal maeira que sua eergia média e úmero de costituites médio são costates, mas livres para sofrem flutuações em toro das respectivas médias. Cosiderar a etropia de Gibbs S = K B dp dqρ (p, q )l[c ρ(p, q )] T,µ V = 0 T = 0 µ = 0 sujeita às codições de vículo dp dqρ N (p, q )=1, dp dqh N (p, q ) ρ N (p, q )=U, dp dq Nρ N (p, q )=<N> Usar o método dos multiplicadores de Lagrage, defiido S = S+α 0 dp dqρ N 1 +α E dp dqh N ρ N U +α N dp dq Nρ N (p, q ) <N> Calcular δs =0,i.e. 9 / Aula 8

26 Esemble Grão-caôico dp dq α 0 + α E H N + α N N k B l[c ρ N ] k B ] δρ =0 Como δρ é arbitrário o itegrado deve se aular ideticamete, i.e α 0 +α E H N +α N N k B l[c ρ N ] k B =0 ρ N = 1 C exp α0 αe αn 1 exp H N exp N k B k B k B Substituido a codição de ormalização de ρ e idetificado o primeiro fator expoecial, resulta exp k 1 B (α EH N (p, q )+α N N) ρ N (p, q )= dp dqexp k 1 B (α EH N (p, q )+α N N) Substituido, agora, a expressão da etropia de Gibbs e usado as codições de vículo se obtem S = k B l Z(α E,α N,V) α E < H N > α N <N> ode Z(α E,α N,V)= dp dqexp k 1 B (α EH N (p, q )+α N N) 10/ Aula 8

29 Esemble Grão-caôico 11/ Aula 8

30 Esemble Grão-caôico Comparado com a expressão do grão potecial termodiâmico: Ω=U TS µ<n> idetifica-se: α E = 1 T, α N = µ T Retorado esses valores para a expressão da etropia, idetifica-se: k B T l Z(T,V,µ)=U TS µ<n> Ω= k B T l Z(T,V,µ) ode, a gra-fução de partição (do esemble grão-caôico) pode ser escrita por Z(T,V,µ)= 1 C N dp dqexp{ β[h N µn]} Defiido a fugacidade z = e βµ pode-se reescrever a fução desidade de probabilidades e a gra-fução de partição por: ρ N (p, q )= zn C N exp{β[ω H N (p, q )]}, Z(T,V,µ)= z N C N dp dqexp{ β[h N (p, q )]} 11/ Aula 8

34 Flutuações de Desidade o Esemble Grão-caôico Deseja-se calcular as flutuações do úmero de partículas em relação ao seu valor médio, i.e (N <N>) Cosiderar Ω <N>= µ T,V Mas, Logo Z Z = 1 Z <N> = µ [ k BT l Z(T,V,µ)] <N>= 1 β Z Z = 1 Z <N> µ = 1 β β N eβµ N C N βn eβµ N C N Z Z (Z ) Z dp dq e βh = β <N > dp dq e βh = β<n> Z(T,V,µ) µ Z(T,V,µ) = 1 β Z Z <N> µ = β[< N > <N> ] <N > <N> = k B T <N> µ 1 / Aula 7

35 Flutuações de Desidade o Esemble Grão-caôico Extraido a raiz quadrada e dividido por <N>,resulta <N > <N> <N> = k B T ( < N > / µ)) <N> <N> <N> 1 <N> Coclusão: O desvio padrão do úmero de partículas, relativo ao valor médio, tede a zero quado N. É possível mostrar através de relações termodiâmicas (*) que que aáloga à relação <N > <N> =<N> k BT V κ T,N 0 < H > < H > = k B T C V 0 obtida para as flutuações da eergia o esemble caôico. (*) [vide Huag, eq. 7.43, pag. 153] 13 / Aula 7

38 Mecâica Estatística Quâtica 1. A mecâica estatística de sistemas quâticos com grade úmero de graus de liberdade é similar à dos sistemas clásssicos, porém mais complicada para poder icluir certas características da atureza quâtica do sistema: a discretização do espectro de eergia, o pricípio da icerteza, efeitos de iterferêcia quâtica etc.. Tal como a descrição clássica, um microestado pode ser caracterizado pela sua fução de oda Ψ(q, t) cuja evolução temporal, o caso de um sistema isolado, deve ateder à equação de Schrödiger. 3. Aiexatidãoacaracterizaçãodeummicroestadoemumistatet 0 e dificuldades a resolução da equação de Schrödiger para um sistema de muitas partículas leva também à ecessidade de se costruir esembles estatísticos de sistemas idêticos, porém distribuídos em um espaço de estados apropriado e com uma desidade de probabilidades compatível com os vículos exteros. 4. Um micro-estado quâtico é descrito pelo seu vetor de estado Ψ >= q <q Ψ > q >= q Ψ(q, t) Ψ > ode Ψ(q, t) =Ψ(q 1,q,...q,t) são as fuções de oda a base { q j >} escolhida. 5. O cojuto formado por todos os vetores de estado { Ψ >} que descrevem os estados realizáveis do sistema, i.e. compatíveis com os vículos exteros e que satisfazem à equação de Schrödiger, é chamado de esemble puro por ser formado pelos estados puros. 14 / Aula 7

43 Mecâica Estatística Quâtica Na descrição quâtica as gradezas físicas observáveis correspodem a operadores lieares hermitiaos que atuam sobre os vetores do espaço de Hilbert. O valor esperado de certo observável físico, descrito por um operador Ô, correspode ao resultado médio de um grade úmero de medições desse observável quado o sistema está o estado puro Ψ >. Esse resultado é escrito por < Ô > < Ψ Ô Ψ > < Ψ q >< q Ô q ><q Ψ > < Ô > Ψ (q, t) Ô Ψ(q, t)dq q,q Obs: Para que o valor esperado < Ô > seja um úmero real é ecessário que o operador seja hermitiao, i.e. que satisfaça à propriedade: Ô = Ô, ou seja <q Ô q>=< q Ô q >. ode Ô é o operador adjuto de Ô. A evolução temporal de um micro-estado de um sistema goverado por um operador hamiltoiao (operador de eergia) Ĥ é ditada pela equação de Schrödiger i d Ψ(t) >= Ĥ Ψ(t) > dt 15 / Aula 7

44 Mecâica Estatística Quâtica Na descrição quâtica as gradezas físicas observáveis correspodem a operadores lieares hermitiaos que atuam sobre os vetores do espaço de Hilbert. O valor esperado de certo observável físico, descrito por um operador Ô, correspode ao resultado médio de um grade úmero de medições desse observável quado o sistema está o estado puro Ψ >. Esse resultado é escrito por < Ô > < Ψ Ô Ψ > < Ψ q >< q Ô q ><q Ψ > < Ô > Ψ (q, t) Ô Ψ(q, t)dq q,q Obs: Para que o valor esperado < Ô > seja um úmero real é ecessário que o operador seja hermitiao, i.e. que satisfaça à propriedade: Ô = Ô, ou seja <q Ô q>=< q Ô q >. ode Ô é o operador adjuto de Ô. A evolução temporal de um micro-estado de um sistema goverado por um operador hamiltoiao (operador de eergia) Ĥ é ditada pela equação de Schrödiger i d Ψ(t) >= Ĥ Ψ(t) > dt 15 / Aula 7

45 Mecâica Estatística Quâtica Cosiderar, agora, uma base ortoormalizada para o espaço dos vetores { Ψ(t) >}, defiida pelos vetores { φ j >}, j =1,,... Nessa base, teremos Ψ >= j c j φ j >, c j =<φ j Ψ > ou a represetação coordeada Ψ(q, t) = j c j (t)φ j (q), c j (t) = dqφ j (q)ψ(q, t) O valor esperado de um observável Ô escrito em termos dessa base fica < Ô >=< Ψ Ô Ψ >= jk < Ψ φ j ><φ j Ô φ k ><φ k Ψ >= j,k c j c k <φ j Ô φ k >= j,k c k c j O jk ode o úmero O jk pode ser iterpretado como sedo o elemeto de matriz do operador { φ j >}, i.e. O jk =<φ j Ô φ k > O jk = φ j (q) Ô φ k(q) dq Ô a base Desta maeira, defiida uma base, todos os operadores que represetam observáveis físicos podem ser expressos por uma matriz hermitiaa correspodete. 16 / Aula 7

46 Mecâica Estatística Quâtica Cosiderar, agora, uma base ortoormalizada para o espaço dos vetores { Ψ(t) >}, defiida pelos vetores { φ j >}, j =1,,... Nessa base, teremos Ψ >= j c j φ j >, c j =<φ j Ψ > ou a represetação coordeada Ψ(q, t) = j c j (t)φ j (q), c j (t) = dqφ j (q)ψ(q, t) O valor esperado de um observável Ô escrito em termos dessa base fica < Ô >=< Ψ Ô Ψ >= jk < Ψ φ j ><φ j Ô φ k ><φ k Ψ >= j,k c j c k <φ j Ô φ k >= j,k c k c j O jk ode o úmero O jk pode ser iterpretado como sedo o elemeto de matriz do operador { φ j >}, i.e. O jk =<φ j Ô φ k > O jk = φ j (q) Ô φ k(q) dq Ô a base Desta maeira, defiida uma base, todos os operadores que represetam observáveis físicos podem ser expressos por uma matriz hermitiaa correspodete. 16 / Aula 7

47 Mecâica Estatística Quâtica Média sobre o esemble puro - matriz desidade: Cosiderado todos os N estados que compõem o esemble puro { Ψ >} é possível realizar uma média de esemble do valor esperado de certo observável Ô, defiidapor < Ô > 1 < N Ô > 1 < Ψ N Ô Ψ > < Ô > = 1 dq Ψ N (q, t) Ô Ψ (q, t) Se uma base ortoormalizada { φ j >}, j =1,,... é cosiderada e cada Ψ > é e x p a d i d o e s t a base, i.e. Ψ >= j c j φ j > ou Ψ (q, t) = j c j (t)φ j(q) a média de esemble pode ser escrita como < Ô > = 1 c k c j O jk = 1 O jk c N N kc j = O jk c k c j jk jk jk < Ô > = jk O jk ρ kj < Ô > = Tr[Ôˆρ] ode ˆρ é o operador desidade associado à matriz desidade ρ jk = c k c j ρ jk = 1 N = 1 N c k c j = 1 N <φ k Ψ >< Ψ φ j > <φ k ˆρ φ j >= <φ k ˆρ φ j > ˆρ = Ψ >< Ψ 17 / Aula 7

48 Mecâica Estatística Quâtica Média sobre o esemble puro - matriz desidade: Cosiderado todos os N estados que compõem o esemble puro { Ψ >} é possível realizar uma média de esemble do valor esperado de certo observável Ô, defiidapor < Ô > 1 < N Ô > 1 < Ψ N Ô Ψ > < Ô > = 1 dq Ψ N (q, t) Ô Ψ (q, t) Se uma base ortoormalizada { φ j >}, j =1,,... é cosiderada e cada Ψ > é e x p a d i d o e s t a base, i.e. Ψ >= j c j φ j > ou Ψ (q, t) = j c j (t)φ j(q) a média de esemble pode ser escrita como < Ô > = 1 c k c j O jk = 1 O jk c N N kc j = O jk c k c j jk jk jk < Ô > = jk O jk ρ kj < Ô > = Tr[Ôˆρ] ode ˆρ é o operador desidade associado à matriz desidade ρ jk = c k c j ρ jk = 1 N = 1 N c k c j = 1 N <φ k Ψ >< Ψ φ j > <φ k ˆρ φ j >= <φ k ˆρ φ j > ˆρ = Ψ >< Ψ 17 / Aula 7

49 Mecâica Estatística Quâtica ou seja, ρ jk é a m é d i a d e esemble (puro) do elemeto de matriz do operador desidade a base { φ j >}. O operador desidade ˆρ = Ψ >< Ψ pode ser também iterpretado como o operador de projeção sobre o estado puro Ψ >. Propriedades do Operador Desidade: 1. Normalização: Tr ˆρ = ρ jj = j j Tr ˆρ = 1 N 1 <φ j ˆρ φ j > N < Ψ φ j ><φ j Ψ >= 1 N j = 1 N <φ j Ψ >< Ψ φ j >= < Ψ j j φ j ><φ j Î Ψ >= 1 N < Ψ Ψ > 1 =1 ode Î é o operador idetidade.. Hermiticidade: ˆρ é hermitiao por defiição, i.e ρ jk = ρ kj 18 / Aula 7

50 Mecâica Estatística Quâtica ou seja, ρ jk é a m é d i a d e esemble (puro) do elemeto de matriz do operador desidade a base { φ j >}. O operador desidade ˆρ = Ψ >< Ψ pode ser também iterpretado como o operador de projeção sobre o estado puro Ψ >. Propriedades do Operador Desidade: 1. Normalização: Tr ˆρ = ρ jj = j j Tr ˆρ = 1 N 1 <φ j ˆρ φ j > N < Ψ φ j ><φ j Ψ >= 1 N j = 1 N <φ j Ψ >< Ψ φ j >= < Ψ j j φ j ><φ j Î Ψ >= 1 N < Ψ Ψ > 1 =1 ode Î é o operador idetidade.. Hermiticidade: ˆρ é hermitiao por defiição, i.e ρ jk = ρ kj 18 / Aula 7

51 Mecâica Estatística Quâtica Propriedades do Operador Desidade: 3. Positividade: Para qualquer estado Φ >, < Φ ˆρ Φ >= α < Φ Ψ a >< Ψ a Φ >= α < Φ Ψ a > 0 a igualdade ocorredo apeas o caso trivial em que Φ > é o vetor ulo. 4. Idempotêcia ˆρ é idempotete, i.e. ˆρ =ˆρˆρ =ˆρ Observações: A defiição do operador (matriz) desidade ão itroduz elemetos ovos a teoria mas reúe, em uma otação codesada, toda a iformação sobre o esemble de vo Neuma. Os estados puros Ψ > e e iθ Ψ > diferem pelo produto por um complexo (θ R) eportato correspodem ao mesmo operador desidade, i.e. ˆρ(t) =e iθ Ψ >< Ψ e iθ = Ψ >< Ψ elimiado a dicotomia devido à existêcia de uma fase aleatória arbitrária global do sistema. 19 / Aula 7

52 Mecâica Estatística Quâtica Propriedades do Operador Desidade: 3. Positividade: Para qualquer estado Φ >, < Φ ˆρ Φ >= α < Φ Ψ a >< Ψ a Φ >= α < Φ Ψ a > 0 a igualdade ocorredo apeas o caso trivial em que Φ > é o vetor ulo. 4. Idempotêcia ˆρ é idempotete, i.e. ˆρ =ˆρˆρ =ˆρ Observações: A defiição do operador (matriz) desidade ão itroduz elemetos ovos a teoria mas reúe, em uma otação codesada, toda a iformação sobre o esemble de vo Neuma. Os estados puros Ψ > e e iθ Ψ > diferem pelo produto por um complexo (θ R) eportato correspodem ao mesmo operador desidade, i.e. ˆρ(t) =e iθ Ψ >< Ψ e iθ = Ψ >< Ψ elimiado a dicotomia devido à existêcia de uma fase aleatória arbitrária global do sistema. 19 / Aula 7

53 Mecâica Estatística Quâtica Equivalêcia etre a MEC e a MEQ: MEC MEQ Espaço de Fase( q, p) Espaço de Hilbert Poto represetativo (q, p) Vetor de estado Ψ > Trajetória de fase Evolução temporal de Ψ > (t) Equações de Hamilto Equação de Schrödiger Fuções de Fase F (q, p, t) Operadores hermitiaos ˆF(q, p, t) Evolução temporal das fuções de fase Equação de Heiseberg Teorema de Liouville Ivariâcia do traço e Evolução temporal de ˆρ 0 / Aula 7