INTRODUÇÃO. Desejamos Sucesso... OBJETIVO

Transcrição

1 INTRODUÇÃO Esse trabalho abordará alguns conceitos importantes sobre a Matemática, já vistos no Ensino Fundamental e conceitos relacionados ao Ensino Médio. Além desse material, indicamos que você leia livros, acesse sites relacionados à Matemática para concretizar o seu conhecimento. O aperfeiçoamento de seus estudos fará com que um dia nunca digas como famoso Charles Darwin Lamento profundamente não ter aprofundado suficientemente este gênero de estudos, a menos de modo a compreender os grandes princípios da matemática, porque os homens dotados desta compreensão parecem possuir um sentido suplementar. Então, aperfeiçoa os seus estudos para que possa ter um sentido suplementar. Use o lápis para acrescentar algum comentário, para sublinhar as palavras mais importantes, para expor a tua indignação ou admiração,... Se já conseguistes chegar até aqui, não pares, pois estarás preparado para enfrentar os obstáculos que lhe vão surgindo pela vida. Disponível em: < Acesso em: 18 out (Adaptado) Desejamos Sucesso... OBJETIVO Possibilitar ao candidato condições para que ele possa fazer uma breve revisão dos conteúdos da matemática vistos no ensino fundamental. Abordaremos conteúdos relacionados ao ensino médio, a fim de que tenha condições de aprofundar nos conteúdos que embasam a prova do Telecurso. Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência. Irene de Albuquerque 1

2 OPERAÇÕES BÁSICAS. Resolver seguindo a ordem: Potenciação ou radiciação. Multiplicação ou divisão. Adição ou subtração. Obs: Em uma expressão numérica resolve-se primeiramente a operação que estão entre parênteses, depois colchetes e chaves. Potenciação e suas propriedades. 1) Multiplicação de potências de mesma base. Ex:. = 1 = = 7 Conserva-se a base e somam-se os expoentes. ) Divisão de potência de mesma base. Ex: : = = = 16 Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. ) Potência de potência. Ex: = x = 6 = 6 Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. ) Expoente zero. Ex: 0 = 1 Todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um. ) Expoente um. Todo número elevado a um é igual a ele mesmo. Ex: 1 10 = 10 6) Base um. Ex: 1 1 = 1 7) Base zero. Ex: 8 0 = 0 Um elevado a qualquer número é igual a um. Zero elevado a qualquer número diferente de zero é igual a zero. Obs: As propriedades serão aplicadas se as bases forem iguais. Um número negativo elevado a um número par encontra-se como resultado um número positivo. Ex: (-) = 16

3 Um número negativo elevado a um número ímpar encontra-se como resultado um número negativo. Ex: (-) = -8 Base positiva, o resultado será positivo. Obs: - (-), pois Logo, e POTÊNCIA DE DEZ Transformar numeral em potência de dez. Exemplo: a) = 1, x 10 7 b) 0, =, x 10-7 Transformar potência de dez em numeral. Exemplo: a) 7, x 10 = b) 1, x 10 - = 0, FRAÇÕES Numerador Denominador POTÊNCIA DE EXPOENTE NEGATIVO Exemplo: 1 a) b) Quando o expoente for negativo, inverte-se a base, ou seja, troca o numerador com o denominador. Com isso, o sinal do expoente tronará positivo.

4 Operações: Adição e subtração. Denominadores iguais. 1 1 Ex: a) + = b) = = = 1 Conserva-se o denominador, soma ou subtrai os numeradores. Denominadores diferentes. Ex: a) + 1 = = 10 9 b) - 1 = = 1 Primeiro deve-se obter um número que seja múltiplo comum a esses números. I - Reduz as frações ao mesmo denominador por meio do mmc (mínimo múltiplo comum) II - Divide o mmc pelo denominador. III - Multiplica o resultado pelo numerador. IV - Resolve a operação conservando o denominador e soma ou subtrai os numeradores. Obs: Comparações de frações deve-se reduzir ao mesmo denominador, em seguida comparar os numeradores, sendo a de maior valor aquela com o maior numerador. Ex: 1 e logo é equivalente a, ou seja é equivalente a, ou seja 6 6 Multiplicação 1 1 Ex: a). = 6 6 b). = = 0 = 1 = 9 8 Multiplicam-se numerador com numerador e denominador com denominador simplificando o resultado sempre que possível.

5 Obs: Simplificação é a divisão do numerador e denominador pelo mesmo número. Ex: 10 : = 1 Divisão 7 1 Ex: a) : =. = 7 1 Conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda fração. Obs: Fração inversa é trocar o numerador com o denominador. Ex: a) fração inversa b) fração inversa 1 Potenciação Ex: a) = = 9 Eleva-se o numerador e o denominador. Obs: As propriedades da potenciação dos números naturais também se aplicam às frações. RACIONALIZAÇÃO Exemplo: a) b) Para efetuar a racionalização, deve-se multiplicar e dividir a fração pela raiz que estiver no denominador, com o objetivo de eliminá-la. EQUAÇÕES DO 1º GRAU x = º membro 1º membro Resolução: Ex: a) x + =

6 I ) Separar os coeficientes com as incógnitas no 1º membro e os termos independentes (números sem incógnita) no º membro. Obs: Toda vez que muda um termo do 1º membro para o º e vice-versa, inverte a operação. Logo: a) x = - x = x = O número está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. x =1 b) -x = x = x = c) (x + ) = x. x +. = x x + 6 = x x x = -6 -x = -6 6 x = x = O número está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. Aplica-se a propriedade distributiva multiplicando o número por x e por. Agrupar os termos semelhantes deixando os coeficientes com as incógnitas no 1º membro e o termo independente no º membro. O número está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. EQUAÇÃO DO º GRAU Forma completa ax + bx + c = 0, a 0. Resolução através da fórmula de Bháskara Δ = b -. a. c b x a b x' a x' ' b a Exemplo: a) x - x + 6 = 0 a = 1 Δ = b -. a. c b = - Δ = (-) -.(1).(6) c = 6 Δ = - Δ = 1 6

7 Assim temos, x x ( ).1 b a 1 1 x 1 x` 6 1 x`` Logo, as raízes da equação são e S = {, } Observação Se Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais. Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais. FUNÇÃO DO º GRAU Valor Máximo e Valor Mínimo Se o termo a da função for maior que zero, a função terá valor mínimo e a parábola terá concavidade voltada para cima. Se o termo a da função for menor que zero, a função terá valor máximo e a parábola terá concavidade voltada para baixo. INEQUAÇÃO DO 1º GRAU A inequação do 1º grau é uma expressão matemática assim como a equação, só que, em vez de usar a igualdade, usa-se a desigualdade. maior. menor. menor ou igual. maior ou igual. Exemplo: a) x - x + 7 x + x 7 + 6x 1 1 x > 6 x > b) x 1 x + Agrupar os termos semelhantes deixando os coeficientes com as incógnitas no 1º membro e o termo independente no º membro. O número 6 está multiplicando a incógnita x no 1º membro e passa para o º membro dividindo. 7

8 x x x 6 x 6 6 x x < MATERIAL DE APOIO Após agrupar os termos semelhantes, se o primeiro membro estiver negativo, deve-se multiplicar toda a inequação por 1, invertendo o sinal da desigualdade. GRÁFICOS. y Eixo das ordenadas º quadrante 1º quadrante x Eixo das abscissas º quadrante º quadrante No 1º quadrante a abscissa e a ordenada (par ordenado ou coordenada) são positivas ( x, y) (+, +). No º quadrante a abscissa é negativa e a ordenada é positiva (, +). No º quadrante a abscissa e a ordenada são negativas (, ). No º quadrante a abscissa é positiva e a ordenada é negativa (+, ). GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO A função do 1º grau terá como gráfico sempre uma reta. y y = ax + b, a * e b x Observações: Se o termo a da função for positivo, a função será crescente. Se o termo a da função for negativo, a função será decrescente. Se o termo a da função for igual a zero, a função é classificada como função constante. Por esse motivo, a restrição de que o coeficiente a não pode valer zero. 8

9 Na função do 1º grau, o coeficiente a é chamado de coeficiente angular. E o coeficiente b de linear (indica onde a reta intercepta o eixo y). A função do º grau terá como gráfico sempre uma parábola. y y = ax * + bx + c, a e b e c x Observações: Se o termo a da função for positivo, a parábola terá concavidade voltada para cima. Se o termo a da função for negativo, a parábola terá concavidade voltada para baixo. Se o termo a da função for igual a zero, teremos: y = 0x + bx + c y = bx + c que representa uma função do 1º grau. Por isso, a restrição do termo a ser diferente de zero. SISTEMA A matemática usa o símbolo para indicar que duas (ou mais) equações formam um sistema. Ex: a) x y x y b) x y x y 9 Resolução Método da substituição. x y x y I) x + y = x = y 1º) Escolhe uma das equações e isola uma variável. II) x y = º) Após isolar a variável, substitua na outra equação. 9

10 III) y y = y = y = y = y = 1 º) Resolva a nova equação. MATERIAL DE APOIO IV) x = y x = 1 x = º) Após encontrar a solução para uma variável, substitua-o na equação isolada e encontre o valor da outra variável. Método de adição x y x y I - x y x y x = 6 1º) Somam-se as equações. x = 6 x = II) x + y = + y = y = y = 1 º) Substitui-se o valor encontrado na 1ª ou na ª equação para que seja encontrado o valor da outra variável. PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da soma de dois termos: quadrado do primeiro número mais duas vezes o primeiro vezes o segundo número mais o quadrado do segundo número. Ex: (a + b) = a + ab + b O 1º número é a e o º número é b. Quadrado da diferença de dois termos: quadrado do primeiro número menos duas vezes o primeiro vezes o segundo número mais o quadrado do segundo número. Ex: (a b) = a ab + b Produtos da soma pela diferença de dois termos: quadrado do primeiro número menos o quadrado do segundo número. 10

11 (a + b) (a b) = a b MATERIAL DE APOIO Obs.: (a + b) = (a + b) (a + b) e (a b) = (a b) (a b). EQUAÇÃO EXPONENCIAL Exemplo: a) x+ = 9 x+ = x+ = x = x = 1 Reduzir o 1º e o º membro da equação a mesma base por meio da fatoração e em seguida iguale os expoentes para resolvê-la. b) x - = 1 x = x = x = + x = 7 x = 7 MÉDIA ARITMÉTICA Denomina-se média aritmética de dois ou mais valores, o quociente da divisão da soma dos valores considerados pela quantidade de valores. Exemplo: a) Um professor de matemática distribuiu em um bimestre notas a um aluno. Avaliação Trabalhos Participação Atividades diversas 7 Qual foi a média das notas desse aluno distribuídas no bimestre? 7 0 Obs: A média aritmética deve ser um valor compreendido entre o maior e o menor valor. PORCENTAGEM Porcentagem é uma fração de denominador 100. (% lê-se, por cento). % é igual a Exemplo: 11

12 a) % de R$ 8,00 é de , x ,8 0,. 8 = R$,8 LUCRO E PREJUÍZO a) Para lucrar 11%, por quanto devo vender uma mercadoria que me custou R$ 10,00? 11% de 10 = = 100 0, = 1,0 Lucro 10 x 0, , ,0 = 1,0 Preço de venda Obs: O preço de venda = preço de compra + lucro PROGRESSÕES = preço de compra + taxa. preço de compra = 10, %. 10,00 = 10,00. (1+11%) = 10,00. 1,11 = 1,0 Progressão Aritmética (PA): é uma sequência de números na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada de razão. Fórmula do termo geral de uma P.A. a n = a 1 + (n - 1). r a n = enésimo termo da P.A. a 1 = primeiro termo n = posição do termo r = razão 1

13 A razão é determinada como sendo a subtração de um termo com o seu anterior, a partir do segundo termo, ou seja: r = a a 1 = a a =... = = a n a n-1, com n 1. Progressão Geométrica (PG): é uma sequência de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada de razão. Fórmula do termo geral de uma P.G. a n = a 1. q n - 1 A razão é determinada como sendo a razão entre um termo com o seu anterior, a partir do segundo termo. q a a n..., com n 1 1 a a a n = enésimo termo da P.G. a 1 = primeiro termo n = posição do termo q = razão a a a a n1. FATORIAL: define-se fatorial de um número natural como sendo onde 0! = 1 e 1! = 1. n! = n. (n 1).(n ). (n ) ARRANJO: são agrupamentos formados com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. O arranjo pode ser classificado como arranjos simples. Nesse caso, não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. FÓRMULA n! (n p)! A n, p Exemplo: Quantos números de algarismos distintos podemos formar com o algarismos do sistema decimal (0, 1,,,,, 6, 7, 8 e 9) de modo que comece por 1? Resolução: O número tem que ter algarismos distintos (sem repetição), sendo que o primeiro seja o algarismo 1. Logo, sobram 9 algarismos que podem ser alocados nos outros dois algarismos disponíveis. Assim temos: 1

14 n! 9! 9! 9.8.7! A n,p A 9, A 9, A 9, A 9, (n p)! (9 )! 7! 7! 7 Portanto, são 7 números de três algarismos distintos que podem ser formados de modo a começar pelo algarismo 1. PERMUTAÇÃO SIMPLES: é um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos. Exemplo: a) 6! = = 70 10! ! 00 b) 10 6!! 6! Fórmula geral: P n = n! Obs.: Anagrama é a palavra formada quando trocamos a ordem das letras dessa palavra. Exemplo: a) Escreva todos os anagramas da palavra SOL. SOL, SLO, OLS, OSL, LOS e LSO. Temos o total de 6 anagramas a partir da palavra SOL. b) Quantos anagramas podem-se formar com a palavra amor? n! =! =... 1 = COMBINAÇÃO: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos, ou seja, não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo. n! C p n n p! p Exemplo: 8! 8 6!6! 8!!6! !.1. 6! 6! a) C 6,8 = 8 b) Em um grupo de 6 pessoas será definida uma comissão será formada por pessoas. Quantas comissões poderão ser formadas? 1

15 C, MATERIAL DE APOIO 6! 6..! (6 )!!!! 6 1 TEOREMA DE PITÁGORAS Dado um triângulo retângulo tem-se: a = hipotenusa b e c = catetos O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a = b + c A hipotenusa é o maior lado do triângulo e sempre está oposto ao ângulo reto. b a Teorema de Pitágoras: a = b + c c Exemplo: x = x + = x + 16 x = 16 x = 9 x = 9 x = TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO h co ca sen α =. h co cos α =. h h = hipotenusa co = cateto oposto ao ângulo α ca = cateto adjacente ao ângulo α α ca co tg α =. ca TEOREMA DE TALES Retas paralelas cortadas por transversais formam segmentos proporcionais. t m r s A B C D A C A B ou B D C D 1

16 Exemplo: r s 6 1 x 1 6 x x = 6. 1 x = 7 7 x = x = 18 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS Retângulo h A = b. h b Quadrado A = h Trapézio b B A = B b. h Triângulo h b. h A b Losango d D D. d A 16

17 Circunferência: é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo denominado de centro (C) da circunferência, desse mesmo plano.. C r Diâmetro: d = r d Comprimento da circunferência C..r Área do círculo A.r C = comprimento da circunferência,1 r = raio,1 r = raio VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS Cubo a a a V = a Cilindro r h V =.r. h Paralelepípedo c V = a.b.c a b 17

18 1) Calcule o valor das expressões. a) : 6 = b). 6.(1 : ) + 6 : 6 = c) 7. [ 9 ( 6)] = d) = e) { 6 [ 1 + (7. ) + 1 ] : 18-1} = EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ) Resolva as expressões e simplifique os resultados quando possível. 1 1 a) b). 1 1 c) 1. 9 d) : 8 e) :. 7 1 f) 1. : 7 9 ) Transforme os números decimais em potência de base 10. a) 0, b) c) 0, d)

19 ) Determine o valor das expressões. 1 a). 1 b) 1 c) : d). 1 e). ) Determine as raízes e o conjunto solução das equações apresentadas. a) x + 8x = 0 b) m + m 1 = 0 c) y 6 = 0 d) x = 9x + 1 e) x( x) = 10 f) y + 10y 16 = 0 g) x + x 1 = 0 h) x x x 1 i) x x 1 x 1 j) 19

20 6) Determine as coordenadas do vértice e indique se a função possui ponto de máximo ou de mínimo. a) f(x) = x + 8x b) f(x) = x x + c) f(x) = x + x d) f(x) = x 8x + 1 7) Verifique se as funções apresentadas possuem ponto de máximo ou de mínimo e se a concavidade da parábola é voltada para baixo ou para cima. a) y = x 6x b) y = x x + c) y = x + 16 d) y = x + x 8) Resolva as inequações. a) x 9 > 0 b) x + x 1 c) x + 1 x d) (x +1) > (x + ) 9) Classifique as sentenças apresentadas em (V) verdadeiras ou (F) falsas. a) ( ) uma equação do º grau tem sempre duas raízes reais e iguais. b) ( ) uma equação do º grau pode ter no máximo duas raízes reais. c) ( ) uma equação do º grau tem raízes reais e iguais quando Δ = 0. d) ( ) uma equação do º grau, com Δ > 0, terá sempre duas raízes simétricas. e) ( ) se Δ < 0, a equação do º grau não terá raízes reais. 0

21 10) Dê as coordenadas dos pontos a seguir. E D y A B C F H x G I 11) Resolva os sistemas. a) b) x y 10 x y x y 10 x y 1) Determine o valor de x nas equações exponenciais apresentadas. 1 a) x b) 16 x = 8 x + c) 6 x 7 = 6 x + 1 d) x = 1 e) x = f) x 8 = 1 1) Resolva os problemas. a) Um atleta, ao treinar salto com vara, atinge as seguintes alturas:,8 m;, m;, m e,60 m. Qual é a altura média, em metros, que o atleta atingiu? b) A tabela apresentada mostra o número de inscrições dos cursos do vestibular de 00 de uma universidade em BH. 1

22 CURSOS INSCRITOS Engenharia 6. Medicina 8.10 Ciências da Computação.6 Administração.80 Odontologia.00 Com base nesses dados, calcule a média de inscritos por cursos nesse vestibular. 1) Resolva os problemas. a) Com 8 kg de farinha um padeiro produz 10 pães. Quantos pães ele produzirá com kg dessa mesma farinha? b) Uma máquina produz embalagens de plástico para armazenar óleo. Ela consegue produzir 1.96 embalagens em horas. Quantas embalagens essa máquina produzirá em 8 horas de funcionamento? 1) Determine o º termo de uma PA, sabendo-se que a 1 = e a razão =. 16) Determine o 1º termo da PA (, 7, 10,...). 17) Determine a razão de uma PA, sabendo-se que o º termo é e que o 7º termo é 1. 18) Determine o valor de x na PG (8, -6, x). 19) Sabendo que x, x + 9 e x + estão em PG Determine o valor de x. 1 0) Calcule o 10º termo da PG, 1,, 9,.... 1) Calcule a razão da PG, sabendo-se que a 1 = 1 e a = 90. ) Determine o º termo da PG, sabendo-se que o º termo é e o º termo é 6. ) Calcule. a) 7! b)! c) (8 )! ) Quantos anagramas podem-se formar com as letras da palavra SUCO? ) Quantos anagramas da palavra CRÉDITO, podem-se formar começando com a letra D?

23 6) De quantos modos 6 pessoas podem ficar em fila indiana? 7) Quantas comissões de elementos podem-se formar com um grupo de 10 pessoas? 8) Tenho 0 livros diferentes e quero fazer pacotes com livros. De quantas maneiras posso empacotá-los? 9) Classifique as funções apresentadas em crescente, decrescente ou constante. a) y = x +. b) y = x 7. c) y = 8 + x. d) y = x. e) y = 6. f) y =. 0) Um aparelho de som é comprado à vista com um desconto de 0%. Quanto pagarei à vista por um aparelho que custa R$ 0,00? 1) Um comerciante compra uma mercadoria por R$,0 e obtém um lucro de 0%. Qual é o preço final dessa mercadoria? ) Dois pedreiros constroem um muro em 10 dias. Quantos dias pedreiros gastarão para fazer um muro igual ao primeiro? ) Em um restaurante são consumidos 800 kg de feijão em 0 dias. Quantos quilos de feijão serão consumidos nesse restaurante em 1 dias, sendo que todos os consumidores servirão a mesma quantidade de feijão? ) Determine o valor de x nas figuras apresentadas a) b) x 60º 8 sen 60º = x º tg º = 1 c) 10 d) 0º x sen 0º = 1 x 0º cos 0º =

24 ) Calcule a área das figuras apresentadas (as medidas indicadas estão em cm). a) b) 8 c) 6 10 d) e) ) Calcule a área sombreada (hachurada) das figuras apresentadas cujas medias estão em centímetros. a) b) r = 7 R = 10 7) Calcule o volume dos sólidos apresentados. (As medidas indicadas estão em decímetros). a) b) c) 10 r =

25 8) Determine o valor de x nas figuras apresentadas. a) 1 b) c) x x 1 9 x + 1 x

26 RESOLUÇÃO DOS MATERIAL DE APOIO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1-a) : 6 = Resolver primeiro a divisão. = 18 + = Resolver as operações da esquerda para a direita. = 0 = 1 b). 6 (1 : ) + 6 : 6 = Eliminar os parênteses resolvendo a divisão e depois a subtração. =. 6. ( ) + 6 : 6 = = : 6 = Resolver as operações de multiplicação e divisão na ordem que aparecer. = + 6 = Resolver as operações da esquerda para a direita. = = 7 c) 7. [9 ( 6)] = Eliminar os parênteses. = 7. [9 9] = Eliminar os colchetes. = 7. 0 = Resolver a multiplicação. = 7 60 = 1 d) = Resolver a raiz quadrada. = = Resolver as potências. = = Resolver as multiplicações. = = = = e) { 6 [ 1 + (7. ) + 1] : 18 1} = Resolver as potências. = {6 [1 + (7. 9) + 1] : 18 1} = Eliminar os parênteses, resolvendo a multiplicação e a subtração. = {6 [1 + (8 9) + 1] :18 1} = = {6 [ ] : 18 1} = Eliminar os colchetes. = {6 6 : 18 1} = Resolver a divisão. 6 = 6 1 = 6 1 = 18 9 Igualar os denominadores tirando o m.m.c = = a) = 8 Denominadores diferentes,então deve-se igualá-los tirando o m.m.c. = 1 1 = = 1 19 = 8 10 Novamente, deve-se igualar os denominadores tirando o m.m.c. = = b). = Transformar a fração mista em fração imprópria. 6

27 = 1 7. = Denominadores diferentes, então deve-se igualá-los tirando o m.m.c. = 6 6. = = =. =. = c) 1. = Transformar a fração mista em fração imprópria =. = Denominadores diferentes, então deve-se igualá-los tirando o m.m.c =. = =. = Simplificando =. =. 10 d) 8 : 9 = Conservar a 1ª fração e multiplicar pela ª fração invertida. = 8. 9 = 8 1. = 1. 1 = 6 1 e) : 7. = Conservar a 1ª fração e multiplicar pela ª fração invertida. =. 7. = = 7 1 f) 1. : 7 = Resolver a raiz quadrada. 9 1 = 1. : = = 1. : = Resolver a multiplicação dentro dos parênteses = 1 : = Denominadores diferentes, então deve-se igualá-los 1 tirando o m.m.c. 1 0 = 1 : = 7

28 61 = 1 : = Resolver a divisão, conservar a 1ª fração e multiplicar pela ª invertida = 1. = 1. =1 = Denominadores diferentes, então tiramos = = o m.m.c. -a) 0, ,00000 =, x 10 6 A vírgula ficou entre os números e, pois o número deve ser maior do que 1 e menor do que 10. b) = 8, x 10 6 A vírgula ficou entre os números 8 e, pois o número deve ser maior do que 1 e menor do que 10. c) 0, , = x 10 8 A vírgula ficou depois do número, pois o número deve ser maior do que 1 e menor do que 10. d) =,1 x 10 7 A vírgula ficou entre os números e 1, pois o número deve ser maior do que 1 e menor do que a) 10 =. =. 9 9 = Eleva-se o numerador e o denominador da fração. 1 b) + = Eleva-se o numerador e o denominador da fração = + = = c) : 1 = Resolver a divisão da fração. Conservar a 1ª e multiplicar pela inversa da ª. 1 =. = Eleva-se o numerador e o denominador da fração =. = d) = =. 16 8

29 1 e). = 6. = 9 = = 6 9. = 6 = 1 ) As equações referentes às letras a até g são do º grau. Para resolvê-las, deve-se calcular primeiramente o valor de (delta) substituindo os coeficientes, logo em seguida, calcular o valor da variável usando a fórmula de Bháskara. a) x + 8x = 0 = b. a. c a = 1 = b = 8 = 6 0 c = 0 = 6 x = x = b. a x = x = 8 8 x = = 0 = 0 = 16 = 8 Logo as raízes da equação são 8 e 0 S = { 8, 0}. b) m + m 1 a = 1 = b. a. c b = = c = 1 = + 60 = 6 b m =. a m= 6.1 m = m = 8 10 m = Logo as raízes da equação são, S = {, }. c) y 6 = 0 a = 1 = b. a. c b = 0 = 0. (1). (6) c = 6 = 0 1 = 1 9

30 y = b. a 1 y = = 6 y = y = 0 1 y = 1 = 6 Logo as raízes da equação são 6 e 6 S = { 6, 6}. d) x = 9x + 1 x 9x 1 = 0 a = = b. a. c b = 9 = ( 9). (). ( 1) c = 1 = = b x =. a 9 1 x = 9. x = Logo as raízes da equação são e 1 S = { 1, }. e) x ( x) = 10 x x = 10 x + x 10 = 0 a = 1 = b. a. c b = = () ( 1). ( 10) c = 10 = 9 80 =9 b x =. a 7 16 x = 8 x =. a 9 x = 7 1 x = 6 6 = x = x = 1 Logo as raízes da equação são 1 e 8 S = {8, 1}. f) y + 10y 16 = 0 a = = b. a. c b = 10 = (10). ( ). ( 16) c = 16 = = 8 0

31 Como < 0, então não existem raízes reais S = Ø. g) x + x 1 = 0 = b -. a. c a = 1 = (1). ( 1). ( 1) b = 1 = 1 c = 1 = Como < 0, então não existem raízes reais S = Ø. As equações a seguir são do 1º grau. h) x + x = Denominadores diferentes, igualá-se tirando o m.m.c.. x x 0 + = x + x = 0 7x = 0 0 x = 7 S = Eliminar os denominadores. 0 7 i) j) x 1 = x + Denominadores diferentes, igualá-se tirando o m.m.c. 1 x 1 = x + 1 = x + 6 x x = 6 1 x = x = x 1 x + x 1 S = Eliminar os denominadores. = Denominadores diferentes, igualá-se tirando o m.m.c. x 1 1 x = Eliminar os denominadores. x + x + 1 = 1 x x + = 1 x = 1 x = 9 S = {9} 6) As coordenadas do vértice são, x v e y v. b Para determinar o x v usa-se a fórmula x v =, e para determinar o y v substitui-se. a o valor de x v na função, ou use a fórmula y v =. a 1

32 a) f(x) = x + 8x Os coeficientes desta função são: b a c 0 81 O coeficiente a dessa função é positivo, então essa função possui ponto de mínimo. b 8 8 x v = = = x v =. a.1 Após determinar o valor de x v, substituí-lo na função. f(x) = x x + 8x y = x +8x y v = ( ) + 8. ( ) y v = 16 y v = 16. Então, as coordenadas do vértice são (, 16). b) f(x) = x x + Os coeficientes desta função são: 1 b a c O coeficiente a dessa função é positivo, então essa função possui ponto de mínimo. b x v = = = x v =.. a.1 Após determinar o valor de x v, substituí-lo na função. f(x) = x x + y = x x + y v =. + y v = + 1 frações com denominadores diferentes, então, deve-se y v = 0 16 Então, as coordenadas do vértice são c) f(x) = x + x Os coeficientes desta função são: b a 0 1 c tirar o m. m. c. do º membro da igualdade. 9 y v = 9,. O coeficiente a dessa função de é negativo, então essa função possui ponto de máximo.

33 x v = b. a =. 1 = x v = Após determinar o valor de x v, substituí-lo na função. f(x) = x + x y = x + x y v = y v = + frações com denominadores diferentes, então, deve-se tirar o m. m. c. apenas do º membro y v = y v = 9 Então, as coordenadas do vértice são,. d) f(a) = a 8a + 1 Os coeficientes desta função são: b a c 1 8 O coeficiente a dessa função é negativo, então essa função tem ponto de máximo. b 8 8 x v = = = x. a. v = 1 8 Após determinar o valor de x v, substituí-lo na função. f(x) = x 8x + 1 y = x 8x + 1 y v =. ( 1) 8. ( 1) + 1 y v = y v = y v = Então as coordenadas do vértice são ( 1, ). 7-a) y x 6x a Os coeficientes desta função são: b 6 c 0 O coeficiente a dessa função é positivo, então, a concavidade será voltada para cima. Como o coeficiente a é positivo, então essa função tem ponto de mínimo.

34 b) y x x a 1 Os coeficientes desta função são: b c O coeficiente a dessa função é positivo, então, a concavidade será voltada para cima. Como o coeficiente a é positivo, então essa função tem ponto de mínimo. c) y x 16 a 1 Os coeficientes desta função são: b 0 c 16 O coeficiente a dessa função é negativo, então, a concavidade será voltada para baixo. Como o coeficiente a é negativo, então essa função tem ponto de máximo. d) y x x a 1 Os coeficientes desta função são: b c O coeficiente a dessa função é negativo, então a concavidade será voltada para baixo. Como o coeficiente a é negativo, então essa função tem ponto de máximo. 8-a) x 9 > 0 x 9 > 0 Separando os termos semelhantes. x > x > 9 b) x + x 1 x + x 1 x x 1 Separando os termos semelhantes.

35 x Os dois lados da desigualdade estão negativos, multiplica-se por ( 1). x Após ter multiplicado por ( 1), o sentido do sinal é invertido. c) x + 1 x x + 1 x x x 1 x x 1 Separando os termos semelhantes. x separando os termos semelhantes. x 1 Os dois lados da desigualdade estão negativos, multiplica-se por (-1). Após ter multiplicado por (-1), o sentido do sinal é invertido. d) (x + 1) > (x + ) (x + 1) > (x + ) Resolver a propriedade distributiva. x + > x + 1 Separando os termos semelhantes. x x > 1 x > 10 Multiplicando por (-1). x < 10 Após ter multiplicado por (-1), o sentido do sinal é invertido. 9-a) Falso. Uma equação do º grau pode ter no máximo duas raízes, sendo iguais ou diferentes. b) Verdadeiro. c) Verdadeiro. d) Falso. Quando > 0, as raízes de uma equação do º grau serão, sempre, duas raízes reais e diferentes, e nem sempre, serão simétricas. e) Verdadeiro. 10) A (1, ) D (, ) G (, ) B (, ) E (, ) H (, 1) C (,1) F ( 1, 1) I (1, ) 11- a) x y 10 x y x y 10 x y Para resolver um sistema de equação, deve-se utilizar o método mais adequado. Utilizando o método da adição, multiplicar a 1ª equação por ().

36 6x y 0 x y igualdade. 7x + 0 = 7x = Encontra-se uma equação de 1º grau. Separa-se os termos. MATERIAL DE APOIO Somando os termos nos dois membros da x = 7 Após ter encontrado o valor de x, substituí-lo em qualquer equação do sistema. x + y = + y = 7 Separando os termos. y = Igualar os denominadores, então, tirar o m. m. c. 1y 7 1y = 1y = 10 Separando os termos. 10 y = 1 Simplificando a fração por () y = 7 b) x y 10 x y x y 10 x y S =,. 7 7 Lembrando que, para se resolver um sistema de equação, devemos utilizar o método mais adequado. Utilizando o método da substituição, isola-se a variável x da ª equação. x y = Isolando a variável x. x = + y Substituir na 1ª equação. x = y + 10 ( + y) = y + 10 Resolvendo a distributiva y = y + 10 Separando os termos. 8y y = 10 0 y = y = Encontrando o valor de y, substituí-lo em quaisquer das equações do sistema. x = y x = x = + 10 Iguala-se os denominadores tirando o m.m.c.. 1x 0 0 Eliminando o denominador. 1x =

37 1x = 0 Separando os termos. 0 x = Simplificando a fração por x = S =,. MATERIAL DE APOIO 1 1-a) b) 16 x 1 x Transformando a fração em potência com expoente negativo. Fatorando o número em fatores primos. Aplicando a propriedade potência de potência. x Bases iguais, então igualam-se os expoentes. x = Multiplicando por (-1). x = x 8 x x x Fatorando os números 16 e 8 em fatores primos. Aplicando a propriedade potência de potência. 8 9 Bases iguais, então igualam-se os expoentes. x 8 = x + 9 Separando os termos. x x = x = 17 7 c) Bases iguais, então igualam-se os expoentes. x 7 = x + 1 Separando os termos. x x = x = 8 Separando os termos. 8 x = x = d) x 1 0 Reescrevendo o número 1 pela potência. x 0 Bases iguais, então igualam-se os expoentes. x = 0 Separando os termos. x = 0 + x = Separando os termos. x = x = e) x x 1 Fatorando o número em fatores primos. Aplicando a propriedade potência de potência. x = 1 Bases iguais, então igualam-se os expoentes. x = 1 Separando os termos. 1 x = f) x-8 = 1 Fatorando o número em fatores primos. ( ) x-8 = 1 Aplicando a propriedade potência de potência. x-0 = 1 Reescrevendo o número 1 por 0. x-0 = 0 Base iguais, então igualam-se os expoentes. x 0 = 0 7

38 x = x = 0 x = x = 8 MATERIAL DE APOIO, 8,,, 6 10, 06 1-a) x, 1. A altura média que o atleta atingiu foi de,1 m b) x A média de inscrições por curso nesse vestibular foi de.616 inscrições. 1-a) 8 kg 10 pães kg x x 0,. Logo serão produzidos 0, pães. 8 8 b) 1.96 embalagens horas x 8 horas x. 6. Logo serão produzidas.6 embalagens. 1) a 1 = r = n = a n = a 1 + (n-1). r a = + (-1). a = +. a = + 9 a = ) P.A. (, 7, 10,... ) a 1 = n = 1 r = a n = a 1 + (n-1). r a 1 = + (1-1). a 1 = + 1. a 1 = + a 1 = 6. 17) a = a 7 = 1. r =? a 7 = a +. r 1 = +. r r = 1 r = 10 r = 10 r =. 18) Encontra-se a razão desta progressão da seguinte forma: 8

39 a q a 1 a a 6 8 x 6 8x 6 x 9 19) A razão de uma progressão geométrica é definida como a razão de um termo pelo seu anterior, a partir do 1º termo. x 9 x 9 x x 9 x 9 x x e então x x 9 x x 9 xx 9 xx 9 (x + 9) (x + 9) = x(x + ) Resolver a propriedade distributiva separando os termos semelhantes. x + 9x + 9x + 81 = x + x x + 18x x x = x = 81 x = x =. 7 0) A razão é a n = a 1. q n x a10 = a 10 = a 10 = a 10 = 9 1 a 10 = 8 a 10 = ) Substituindo os valores que foram dados na fórmula, tem-se a n = a 1. q n-1 a = a 1. q = 1. q 1 90 q = 1 q = 6. ) Tem-se a = e a = 6. Para determinar o º termo (a ), precisa-se primeiro calcular a razão dessa P.G. a = a. q q a = q 6 = q = 16 q = 16 q = a Como a P. G. é crescente, usa-se q =. Logo a = a. q a = 6. a = 6. -a) 7! = =.00. b)! = = 10. c) (8 )! =! = = 10. ) A palavra SUCO tem quatro letras, então resolve-se o fatorial de. 9

40 ! =... 1 =. Logo pode-se formar anagramas com a palavra SUCO. ) Neste caso, está sendo colocada uma condição, começar com a letra D, então é feito o fatorial de 6. 6! = = 70. Logo pode-se formar 70 anagramas com a palavra CRÉDITO, começando todas com a letra D. 6) 6! = = 70. 7) Para resolver este problema usa-se a fórmula de combinação. n! C n, p p!( n p )! O exercício pede para formar comissões de elementos com 10 pessoas, então n = 10 e p =. C 10! 10,!( 10 )! C 10! ! 10,! 6 C 10,! 1 6! C 10, C 10, C 10, ) Sendo n = 0 e p = C n, p n! p!( n p )! C 0! 0,!( 0 )! C 0! 0,! 1! ! C 0, 11! C 0, C 0, C 0, ) Para classificar as funções em crescentes, decrescentes ou constantes, deve-se determinar o coeficiente angular (a) de cada função. a) y = x + a =, logo a > 0. Então a função é crescente. b) y = x 7 a =, logo a < 0. Então a função é decrescente. c) y = 8 + x a =, logo a > 0. Então a função é crescente. d) y = x a =, logo a > 0. Então a função é crescente. 0

41 e) y = 6 a = 0, logo a = 0. Então a função é constante. MATERIAL DE APOIO f) y = a = 0, logo a = 0. Então a função é constante ) 0% = Então 0% de 0,00 são 90,00 0,00 90,00 = 60,00. 1) Outra forma de resolver problemas envolvendo porcentagem. 0 16,0. 0% =,0. 1, ,0 + 1,6 = 6,76. ) pedreiros 10 dias pedreiros x Nesse caso, a proporção é inversamente proporcional. Assim, temos que: x 10 x = 10. x = 0 x = 0 x =. Logo, os pedreiros gastarão dias para fazer o mesmo muro. ) 800 kg 0 dias x 1 dias x 1 0x = x = 1000 x = x = 600 kg. ) Para resolver esta questão é necessário retirar os dados fornecidos no problema e posteriormente substituí-los nas fórmulas aplicando as devidas propriedades. a) sen x = sen 60º = x 8 x = cateto oposto a x hipotenusa x = 8. x = 16 x = x b) tg = cateto oposto a cateto adjacente a 1

42 10 tg º = x 1 1. x =. 1 x =. 1 x MATERIAL DE APOIO c) sen = cateto oposto a hipotenusa 10 sen 0º = x x = 10. x = 0. x d) cos = cateto adjacente a hipotenusa cos 0º = x 6 x =. x = 6 x = x x x =. 9 -a) A = A = A = cm. B b b) A = h A = A = 18 6 A = 18. A = cm. c) A = b h A = 1 A = A = 7, cm. B b d) A = h 6 A = A = 10 A =. A = 1 cm. e) A = D d A = 10 8 A = 10. A = 0 cm. 6) Para calcular a área desta figura, deve-se dividir a mesma em figuras conhecidas. Fig 1 Fig 1 = trapézio Fig = retângulo 7 Fig

43 B b Área 1 A = Àrea A = b. h h Área 1 7 A = A = 10 cm. Área A = 10. A = 0 cm. Área total = Área 1 + Área = = 60 cm. b) Para calcular a área sombreada, deve-se calcular a área do círculo maior, a área do círculo menor e posteriormente a diferença entre as duas. Área do círculo maior Área do círculo menor A =. r A =. r A =,1. () A =,1. () A =,1. 16 A = 0, cm A =,1. A = 1,6 cm A sombreada = 0, 1,6 = 7,68 cm. 7-a) V = c. h. V = 10.. V = 60 dm. b) V = a V = V = 6 dm. c) V = A círculo. h V =. r. h Considere, 1 V =,1.. V = (,1. ). V = 1,6. V 6,8 dm. 8-a) a = b + c 1 = 1 + x Substituindo os valores. = 1 + x 1 = x Separando os termos semelhantes. x = 81 x = 81 x = 9 x = 9 Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor -9. b) a = b + c 9 = + x Substituindo os valores. 81 = + x 9 = x Separando os termos semelhantes. x = x = x = x =. Não existe medida negativa, por isso elimina-se o valor -. c) a = b + c

44 (x + 1) = + x Resolvendo o produto notável. x + x + 1 = + x Separando os termos semelhantes. x + x x = 1 x = x = x = 1.