FENÔMENOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO MÉDIO

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1 FENÔMENOS DE RANSFERÊNCIA DE CALOR: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO MÉDIO Julano Borges julanobrg@gmal.com Márco André Martns mandre@uncentro.br Resumo Este trabalho apresenta uma abordagem para o ensno de conteúdos de Físca érmca transferênca de calor, consderando o emprego de tendêncas atuas da Educação Matemátca. Esse enfoque permte aos professores de Físca e Matemátca trabalhar de forma nterdscplnar, mostrando a lgação exstente entre o conteúdo desenvolvdo em cada dscplna. Exste consenso quanto à necessdade da realzação de expermentos no ensno da Físca. Entretanto, nas escolas públcas do Paraná a dsponbldade de laboratóro expermental não é uma realdade, por outro lado a mplantação de laboratóros de nformátca nesses espaços torna possível a realzação de smulações numércas em ambente nformatzado. Nesse contexto se nsere esta proposta, pretendendo contrbur com as possbldades de ensno-aprendzagem. Palavras-chave: ransferênca de Calor; Expermento Numérco; Ensno-Aprendzagem. 1. Introdução Este trabalho consste numa abordagem, de forma ntegrada, entre as tendêncas metodológcas em Educação Matemátca: Resolução de Problemas e Mídas ecnológcas. A Resolução de Problemas consdera um aprendzado pelo qual o estudante tem a oportundade de aplcar conhecmentos matemátcos já adqurdos em novas stuações, de modo a resolver uma questão proposta. De acordo com Schoenfeld (1997), o professor deve fazer uso de prátcas metodológcas para a Resolução de Problemas, as quas tornam as aulas mas dnâmcas e não restrngem o Ensno de Matemátca a modelos clásscos, como exposção oral e resolução de exercícos. As etapas de uma Resolução de Problemas não são rígdas, fxas e nfalíves. O processo de resolução de um problema é algo mas complexo e rco, que não se lmta a segur nstruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse um algortmo. Entretanto, de um modo geral elas ajudam o soluconador a se orentar durante o processo (DANE, 003). 9

2 Para Almeda (1999), quando o professor utlza o computador como ferramenta pedagógca torna-se mas conscente de sua prátca, dentfcando os problemas, as medações e os estlos assumdos em sua manera de agr, proporconando formas de promover uma melhor atuação e um maor aprovetamento dos alunos. Sendo o professor medador do processo de ensno e aprendzagem, deverá reconhecer o momento exato de ntervr no desenvolvmento dos alunos, compartlhando problemas, respetando as dferentes formas de pensar, os nteresses ndvduas, e colaborando para que os alunos possam entender, analsar e corrgr os possíves erros, aprendendo a partr deles. Mas é, sobretudo, nas questões metodológcas presentes nos Parâmetros Currculares Naconas (BRASIL, 1999) que resde um dos maores potencas do uso da Resolução de Problemas e das Mídas ecnológcas, prncpalmente no que se refere ao uso do computador como recurso pedagógco. Nessa perspectva, consdera-se que os ambentes gerados por aplcatvos nformátcos dnamzam os conteúdos currculares e potencalzam o processo pedagógco. Ao optar por estas tendêncas metodológcas ao nvés de apresentar a Matemátca ou a Físca como na sequênca: defnção, exemplos, resolução de exercícos na lousa; o professor se apresenta como um facltador, um orentador do aluno frente a um problema a ser resolvdo através de expermentação. al processo se assemelha muto ao trabalho de um pesqusador, onde a nvestgação é evdencada e os resultados não são consderados prontos e acabados. Dante destas consderações tendêncas metodológcas surge a questão: Como desenvolver um expermento numérco enfocando conteúdos de Físca e Matemátca que seja adequado ao nível de Ensno Médo, consderando a Resolução de Problemas e as Mídas ecnológcas? Propõe-se, então, o desenvolvmento de uma atvdade enfocando fenômenos de ransferênca de Calor. Esta proposta faz parte de um plano de trabalho de ncação centífca, que tem como foco relaconar conteúdos de matemátca aplcada abordados no Ensno Superor ao nível de Ensno Médo. Neste enfoque, os conteúdos específcos, de Físca e Matemátca, consderados foram: ransferênca de Calor, Equações Dferencas, Sstemas Lneares, Funções, Matrzes e Determnantes. Os fenômenos relaconados à ransferênca de Calor e suas propredades elementares fazem parte do aprendzado da Físca, assm como os demas conteúdos, especfcados anterormente, compõem a grade currcular de Matemátca em nível médo e superor. 93

3 Com o desenvolvmento da revsão bblográfca, constatou-se que os modelos matemátcos que tratam de fenômenos de ransferênca de Calor são abordados nos cursos de equações dferencas em nível superor. Entretanto, de acordo com a proposta do presente trabalho, pode-se ndagar: É possível adaptar estes modelos para o nível de Ensno Médo? E, anda: Quas os benefícos, em termos educaconas, gerados por esta abordagem? No âmbto do Ensno de Físca, dentre as competêncas e habldades a serem desenvolvdas, segundo os Parâmetros Currculares Naconas (BRASIL, 1999: 37), podem ser destacadas: compreensão de enuncados que envolvam códgos e símbolos; capacdade de dscrmnar e traduzr as lnguagens matemátca e dscursva entre s; expressão da lnguagem físca adequada e domíno de elementos de sua representação smbólca. Já as Dretrzes Currculares do Estado do Paraná (006), no que se refere ao Ensno de Matemátca, enfatzam a necessdade da cração de stuações em que o estudante tenha condções de constatar regulardades matemátcas, generalzações padrões de regulardade e apropração de lnguagem adequada para descrever e nterpretar fenômenos matemátcos e de outras áreas do conhecmento. Nesse sentdo e na tentatva de apontar alternatva para uma abordagem, envolvendo a Resolução de Problemas e as Mídas ecnológcas, são apresentadas, na sequênca, algumas nformações nerentes aos fenômenos de ransferênca de Calor, os modelos matemátcos e os procedmentos para smulação numérca computaconal. O modelo matemátco condução é abordado de manera que as ferramentas matemátcas utlzadas são acessíves ao aluno do Ensno Médo.. Processos de ransferênca de Calor O calor é uma forma de energa que é transferda de um corpo para outro em vrtude de uma dferença de temperatura entre eles. Essa transferênca de energa pode processar-se de três maneras dstntas: por condução, convecção ou radação (INCROPERA e DeWI, 1996)..1. Condução Ao se colocar uma das extremdades de uma barra metálca em contato com uma fonte térmca, pode-se notar que a temperatura da outra extremdade torna-se cada vez mas elevada. O que ocorre nesse caso é que o calor ceddo pela fonte se propaga através da barra até atngr a extremdade oposta. Esta modaldade pela qual o calor se propaga é 94

4 denomnada condução. A explcação para tal fenômeno é que as moléculas, ao vbrarem com maor ampltude, conseguem aproxmar-se das moléculas vznhas, sto é, a transferênca real ocorre em nível molecular (SHMID, HENDERSON e WOLGEMUH, 1996). Nessa aproxmação, ntensfcam-se as forças repulsvas e, consequentemente, as moléculas vznhas passam a vbrar mas ntensamente. Assm, a energa térmca (calor) é conduzda de molécula para molécula, do meo a que essas moléculas pertencem. Em outras palavras, pela colsão entre átomos e moléculas do meo e a sub-sequente transferênca de energa cnétca, sto equvale a dzer que o calor se transmte através da matéra, sem que esta se desloque. Em geral, o fenômeno da condução ocorre nos meos na fase sólda... Convecção A transferênca de calor por convecção é a transferênca de energa entre um líqudo e uma superfíce sólda, em que são presencados dos fenômenos dferentes. O prmero fenômeno é a dfusão ou condução de energa através do fluído devdo à dreção do aumento de temperatura dentro do fludo (BRAGA, 003). O segundo fenômeno é a transferênca de energa dentro do fludo devdo ao movmento do fludo de uma posção para outra. A convecção é o processo de propagação de calor, no qual a energa térmca muda de local, acompanhando o deslocamento da própra substânca aquecda. Ao contráro da condução, em que apenas a energa térmca se propaga e as partículas permanecem em suas posções de equlíbro, com movmento de vbração, na convecção a energa térmca propaga-se acompanhando as partículas aquecdas da substânca..3. Radação A transferênca de energa por ondas eletromagnétcas é chamada de transferênca de calor por radação (SHMID, HENDERSON e WOLGEMUH, 1996). emos, como exemplos, a manera como o sol transfere energa para o sstema terra-atmosfera, através do espaço vazo, ou anda a transferênca de calor de um forno para uma pessoa dstante. Esse processo não necessta de um meo para propagar o calor. A propagação é dada através de ondas eletromagnétcas, que ao atngr um meo são absorvdas e transformadas, em grande parte, em energa térmca. Qualquer meo materal, em uma temperatura superor ao zero absoluto, va rradar energa. Energa pode ser transferda por radação térmca entre um gás e uma superfíce sólda ou entre duas ou mas superfíces. 95

5 3. Expermento Numérco De acordo com a proposta ncal, consdera-se a resolução numérca de uma stuação-problema envolvendo transferênca de calor. Ao ncar essa atvdade o professor de Matemátca pode dscorrer sobre o termo transferênca de calor que, mutas vezes, não é percebdo como um assunto que está presente no cotdano dos alunos. Neste momento, é mportante explorar os conhecmentos que os estudantes já têm sobre este fenômeno físco. São exemplos de stuações que envolvem transferênca de calor: a exposção ao sol, o aquecmento de um recpente com água sobre o fogo, ou mesmo a transferênca de calor num da fro de nverno no nteror de uma casa para o exteror. Pode-se enfatzar, nestas stuações e em mutas outras onde o calor é o assunto prncpal, que a transferênca ocorre de três modos: condução, convecção ou radação. A abordagem aqu consderada está na transferênca de calor por condução. Propõe-se, então, uma nvestgação sobre a condução de calor em uma parede plana, conhecendo-se as temperaturas em suas faces opostas, a e b, com a > b. Como ocorre esta varação? Dentro da parede esta varação também ocorre, ou somente nas faces opostas? É possível determnar o perfl de dstrbução da temperatura no nteror da parede, conhecendo-se apenas as temperaturas a e b? Qual a Matemátca envolvda neste problema? A Fgura 1 representa uma parede plana, sem geração de energa nterna, sendo composta por um únco materal. a b H Fgura 1: parede plana O Modelo Matemátco abordado no Ensno Superor A condução de calor é regda pela Le de Fourer que estabelece que o fluxo de calor, num ponto nteror de um materal, é proporconal ao gradente de temperatura nesse 96

6 ponto. O modelo matemátco que expressa a condução de calor em coordenadas cartesanas é dado por (INCROPERA,1996): onde k x x + k y y + k z z + q = ρ c p (1.), t x é a componente do gradente de temperatura () na dreção x, y é a componente do gradente de temperatura na dreção y, gradente de temperatura na dreção z, relação ao tempo, z é a componente do t é a taxa de varação de temperatura em c p é o calor específco (J/Kg o C), ρ é a massa específca (Kg/m 3 ), k representa a condutvdade térmca do materal (W/ Kg o C) e q é a taxa de geração de energa (W/m 3 ). Exstem dversas varações da equação do calor. Na sua forma mas conhecda ela modela a condução de calor em um sóldo homogêneo, sotrópco as propredades do materal se mantêm em todas as dreções e por toda extensão que não possua fontes de calor geração nterna de calor. 3., Hpóteses Smplfcadoras Ao se consderar hpóteses do problema a condução de calor em regme permanente (o tempo não nfluenca na transferênca de calor, então t = 0 ), a ausênca de geração de calor na parede (q=0) e a condutvdade térmca constante (únco materal), a Equação (1.) torna-se mas smplfcada. A parede (Fgura 1) possu uma temperatura a mas alta em x = 0 e mas baxa b em x = H. Estas são as condções de contorno do problema. A varável de nteresse é a temperatura em cada ponto da parede. Como hpótese smplfcadora, pode-se, anda, consderar uma únca faxa ou camada da parede, o que torna possível uma análse undmensonal dreção x. x = 0 (0) = a x = H (H) = b Fgura : representação undmensonal. Desta forma (Fgura ), analsa-se a varação da posção x varável ndependente e a varação da temperatura em relação a esta posção (x) varável dependente. O 97

7 modelo matemátco que descreve a varação de em função da varação de x é dado por (VERSEEG e MALALASKERA,1995): k = 0 = 0 (.) x x Essa expressão traduz o prncípo de conservação da energa : a energa que, por undade de tempo, entra pela face localzada em x, é gual à energa que saí pela face em x+dx, no mesmo ntervalo de tempo. ratando-se desta abordagem em nível de Ensno Médo, ncalmente, sugere-se que o professor de Físca aborde os aspectos teórcos do fenômeno em questão. A Equação (.) equação da condução do calor undmensonal é obtda da Equação (1.), consderando-se a temperatura varando apenas na dreção x ( y = 0 e z = 0 ) e pode ser resolvda analtcamente através de ntegrações sucessvas, possbltando a obtenção da expressão: + H b a ( x) = x a (3.) 3.3. Desenvolvmento de um Modelo Matemátco para o Ensno Médo A obtenção da solução Equação (3) pressupõe, entretanto, o domíno de ferramentas de Cálculo Dferencal e Integral. Como esse conteúdo não é acessível em nível de Ensno Médo, propõe-se ao professor de Matemátca, como alternatva, enfocar o modelo dscreto pela dscretzação do domíno de cálculo e substtução do operador dferencal pelo operador de dferenças fntas. Desta manera, com a transformação do modelo contínuo para o modelo dscreto, a resolução do problema obtenção do perfl de temperatura pode ser obtda consderando-se, como ferramenta matemátca, o emprego de um sstema de equações lneares, que consttu um conteúdo específco abordado no Ensno Fundamental e Médo. Para dscretzar a regão representada na Fgura (.), consdera-se n +1 pontos (x 0, x 1, x, x 3,..., x n, x n+1 ) sobre a dstânca H ao longo da qual o calor rá se propagar. Este conjunto de pontos determna a localzação em que será obtda a temperatura da parede, ou seja, neste conjunto será traçado o perfl da varação de temperatura. 98

8 x 0 x 1 x x 3 x n x n+1 h h h h H Fgura 3: malha unforme Os n+1 pontos dvdem a faxa (ou camada) da parede em n subntervalos, que, nesse caso, serão consderados com a mesma medda h, portanto: h = H/n e x +1 = x + h com = 0,..., n. Para obtenção da solução numérca, pode-se consderar o Método de Dferenças Fntas (SMIH, 1985). Nesse enfoque, tem-se a expansão em Sére de aylor para as soluções numércas das temperaturas nos pontos x, = 1,,..., n = = + x x h + x h + x h +...! h +...! (4.) ou seja, A notação representa a solução numérca obtda para temperatura no ponto x, ( x ). Da Expressão (4.), soma algébrca das equações e solamento do operador dferencal, tem-se: x = h 1 E, assm, sugere-se que o professor de Matemátca enfoque o prncípo de conservação da energa, tratado anterormente pelo professor de Físca, consderando a 1 fração algébrca: h (5.), o que caracterza uma ferramenta em nível de Ensno Médo para tratar de fenômenos de transferênca de calor por condução. Anda, comparando a Equação (5.) e a Equação (.), tem-se: = 0 (6.) Com a regão dscretzada, representada na Fgura (4.), tem-se a malha com n+1 pontos, em que x representa os pontos da malha e a temperatura nos pontos, para: 99

9 0 = a 1 =? =? 3 =?... n =? n+1 = b x 0 x 1 x x 3... x n x n+1 Fgura 4: mapeamento da temperatura da regão dscretzada. De acordo com a Equação (6.), para = 1, as temperaturas nos pontos x 1 e x estão relaconadas pela equação: = 0, que mplca, por operações elementares, em: 1 = 0. Já para =, as temperatura em x e x 3 estão relaconadas pela equação: = 0 e, para = n, tem-se: n+1 n + n-1 = 0. Neste ponto, o professor de Matemátca pode apresentar a defnção: equação lnear é toda equação do tpo a 1 x 1 + a x a n x n = k, com a R, = 1,..., n e k R (YOUSSEF, 009), enfatzando que os expoentes das ncógntas são sempre guas a 1. Neste momento, nstga-se os alunos ao questonamento: Qual a relação deste conceto com a stuação-problema abordada ncalmente? Com sso, é possível estabelecer uma generalzação para mas equações, ou seja: Qual a relação entre um sstema de equações lneares e um fenômeno de ransferênca de Calor? Percebe-se que, com a varação do índce que dferenca as varáves, = 1,,..., n, o problema ncal obtenção do perfl de temperatura na parede fca, agora, determnado pela busca de solução para o sstema de equações lneares que tem a segunte estrutura: 1 = = 0... (7.), n + n 1 n = 0 n n 1 = n+ 1 onde 0 = a e n+1 = b são valores conhecdos condções de contorno do problema. Alguns aspectos relevantes sobre a estrutura do sstema (7) são abordados na dscplna de Álgebra Lnear, mnstrada no Ensno Superor, dentre eles: a matrz coefcente do sstema (7.) pertence à classe das matrzes banda matrzes estrtamente domnantes em dagonal ou defndas postvas. A defnção de matrz banda força os elementos não nulos a se concentrarem próxmos da dagonal prncpal, o que garante a exstênca de solução únca para as ncógntas...,, 3 n, ou seja, o sstema de equações 100

10 lneares é possível e determnado. O sstema (7.) apresenta banda 3, as matrzes com largura de banda 3, são chamadas trdagonal (BURDEN e FAIRES, 003). Estas matrzes possbltam smplfcações consderáves na resolução do sstema, devdo ao grande número de elementos nulos. A estrutura apresentada pela matrz coefcente do sstema de equações lneares (7.) possblta, entretanto, um momento de rcas dscussões no que se refere à exstênca e uncdade de soluções de sstemas de equações lneares em nível de Ensno Médo. Onde é possível evdencar a mportânca dos concetos, e análses qualtatvas em Matemátca. Ou seja, qual a garanta que a ferramenta matemátca empregada será efcente? Ou anda, é possível soluconar o problema ncal? E, esta solução, por sua vez, é únca? Pos, se o sstema fosse ncompatível ou, compatível, mas ndetermnado a aplcação de um algortmo numérco não trara uma resposta para o problema ncal! A resolução do sstema lnear (7.), não fca, agora, lmtada à resolução mecânca execução de um algortmo numérco para obtenção dos valores dos x e, sm, pela obtenção das dferentes (varáves) temperaturas em pontos dstntos da parede. Esta resolução pode ser obtda consderando-se as seguntes procedmentos matemátcos : Método da Substtução (abordado no Ensno Fundamental); Escalonamento Matrcal (abordado no Ensno Médo) ou, anda, pela Regra de Cramer (também abordada no Ensno Médo). Para um número pequeno de pontos (n < 6), o professor de Matemátca pode conduzr os alunos à busca da solução com láps e papel. Ao se consderar mas pontos do domíno de cálculo, o perfl de temperatura obtdo torna-se mas refnado, ou seja, é possível se detalhar melhor o comportamento da varação da temperatura na parede. Neste momento, o professor de Físca pode conduzr uma dscussão enfocando aspectos qualtatvos desta varação de temperatura. Assm, o aluno pode explorar com mas detalhes o fenômeno estudado. No entanto, com o aumento do número de pontos (varáves), o número de equações também aumenta. Surge aqu a necessdade de um nstrumento que possblte a automatzação dos cálculos. Mas, é mportante ressaltar que, neste momento, é extremamente relevante a compreensão dos concetos e modelos matemátcos envolvdos para, então, recomendar a utlzação da planlha eletrônca dsponível nos laboratóros de nformátca. Com a exploração do real sgnfcado da obtenção da solução do sstema lnear de grande porte obtdo, propõe-se o emprego da planlha Calc e a Regra de Cramer. O cálculo 101

11 de determnantes, necessáros para utlzação desta regra, é obtdo com a seleção de uma célula qualquer na planlha eletrônca e nserção da lnha de comando: =matrz.determ({ }). Os termos são os coefcentes das equações que formam o sstema. A separação de colunas é feta com uso de ponto e vírgula e a separação de lnhas com a barra vertcal. Os aspectos qualtatvos da dstrbução de temperatura ao longo da parede, abordados pelo professor de Físca, podem ser enrquecdos com a construção do gráfco x posção versus temperatura. Para sso, consdera-se a ferramenta gráfco, que permte a construção, passo a passo, na planlha eletrônca Calc. Como exemplo, uma parede com espessura de 1cm é mantda aquecda em uma das extremdades por uma fonte térmca (radação solar), com temperatura constante gual a 0ºC. Num determnado momento, a temperatura no lado oposto é gual a 15ºC. Para representação da varação da temperatura no nteror da parede, em cnco pontos lattudnas, pode-se consderar o sstema: = = 15 = 0 4 = 0 Cuja solução possu a segunte representação: (8.) x Fgura 5: varação da temperatura em cnco pontos lattudnas. 10

12 Aqu, o professor de Matemátca do Ensno Médo pode explorar o aspecto lnear apresentado pela solução, enfatzando a condção de alnhamento medante o emprego de determnantes. Após a verfcação, pelos alunos, desta condção, pelo cálculo numérco e representação gráfca, é possível conduzr uma dscussão sobre a necessdade de mas pontos para uma descrção mas detalhada do fenômeno em questão. Surge, então, uma oportundade de abordar o termo generalzação tornar geral tão empregado na Matemátca do Ensno Superor. Neste sentdo, busca-se a relação matemátca funconal entre os pontos da parede e suas respectvas temperaturas. Pela abordagem dos conteúdos específcos Equação da Reta e Condção de Alnhamento, é possível obter uma expressão semelhante à equação (3.) que corresponde à regra que determna uma relação funconal do prmero grau. Observa-se que, de manera acessível ao aluno do Ensno Médo, é possível obter o perfl de temperatura em quantos sejam necessáros para uma análse detalhada do fenômeno físco. De posse dos resultados numércos e gráfcos, sugere-se uma análse com o retorno ao problema ncal com o ntuto de nterpretar e valdar a solução obtda. Esta análse pode consttur um momento de aprendzagem colaboratva, ao contar com a partcpação dos professores de Físca e Matemátca, e o envolvmento dos alunos na apresentação de uma resposta que nteressa a todos. 4. Consderações O expermento numérco apresentado vsa contrbur para um aprendzado sgnfcatvo do fenômeno de transferênca de calor condução de forma acessível aos alunos do Ensno Médo. Atvdades desta natureza não são encontradas em lvros ddátcos para Ensno Médo. Entretanto, a abordagem consderada não pressupõe o domíno de ferramentas matemátcas mas elaboradas, desenvolvdas no Ensno Superor. Para realzação dos expermentos apresentados são necessáras habldade em resolução de sstemas de equações lneares conteúdo do Ensno Básco e utlzação de planlha eletrônca para o desenvolvmento dos cálculos e representações gráfcas. Os recursos necessáros resumem-se ao laboratóro de nformátca, acessível à maora das escolas, permtndo ao aluno sar da stuação de receptor para executor ou construtor do conhecmento. 103

13 Apesar do expermento ser adequado para as escolas que possuem laboratóro de nformátca, o bom andamento deste depende da metodologa empregada pelo professor. Poderá ser rquíssmo em termos de conteúdo. Entretanto, para sso é necessáro o uso de uma abordagem que contemple questonamentos e argumentações por parte do professor, objetvando nstgar o aluno para a busca da solução. Como sequênca a este trabalho, em nível de ncação centífca, propõe-se esta abordagem para os casos de Convecção e Radação. 5. Referêncas ALMEIDA, M. E. Informátca e Formação de Professores. [onlne] Dsponível na Internet va WWW. URL: Arquvo capturado em: 14 de agosto de 008. BRAGA FILHO, W. ransmssão de calor. São Paulo: Ponera hompson Learnng, 003. DANE, L. R. Ddátca da Resolução de Problemas de Matemátca. 1. ed. São Paulo: Átca, 003. BRASIL. Mnstéro da Educação e Cultura. Secretara de Educação Méda e ecnológca, Parâmetros Currculares Naconas. Brasíla: MEC; SEMEC, BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D., Análse Numérca. São Paulo: Ponera hompson Learnng, 003. FILHO, R. L. B. Parâmetros Currculares Naconas Ensno Médo. Dsponível em: < Acesso em: 15/07/009. INCROPERA, F. P.; DeWI, D. P. Fundamentals of Heat and Mass ransfer. 4. ed. New York: Wley,

14 PARANÁ. Secretara de Estado da Educação SEED. Dretrzes currculares de matemátca para a educação básca. Curtba: SEED, 006. SCHMID, F. W.; HENDERSON R. E.; WOLGEMUH, C. H. Introdução às Cêncas érmcas. São Paulo: Edgard Blücher, SCHOENFELD, A. H. Heurístcas na sala de aula. In: KRULIK. S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na matemátca escolar. São Paulo: Atual, SMIH, G. D. Numercal Soluton of Partal Dfferental Equatons Fnte Dfference Methods. 3. ed., New York: Claredon Press, VERSEEG, H. K., MALALASEKERA, W., An Introducton to Computatonal Flud Dynamc: he Fnte Volume Method. England: Longman, YOUSSEF, A. N.; SOARES, A.; FERNANDES, V. P. Matemátca. São Paulo: Scpone, p. 105