1 Motivação e Histórico

Transcrição

1 1 Moivação e Hisórico 1.1 Mercado Financeiro No mercado financeiro, agenes ineragem enre si e reagem às informações exernas para deerminar o melhor preço de um dado aivo financeiro. O mercado financeiro pode ser caracerizado como um sisema complexo devido ao grande número e heerogeneidade de seus agenes, assim como na forma com que ineragem enre si, podendo exisir cooperação e compeição enre eles. Os movimenos de preços são efeios coleivos macroscópicos observáveis gerados a parir dessas inerações microscópicas enre os agenes. Por essas caracerísicas, o sisema financeiro pode ser descrio com as ferramenas da Física Esaísica. Assim, modelos maemáicos e esaísicos provenienes da descrição de sisemas físicos são uilizados para realizar previsões sobre o comporameno dos sisemas financeiros, obendo leis para descrever seu comporameno esperado (médio) assim como as fluuações em orno dese comporameno padrão. Há um grande ineresse cienífico e econômico, em avaliar o risco dos negócios, em enar prever o comporameno do mercado. A nossa expecaiva é que, ao analisar a série de preços, possamos ober modelos que expliquem a esruura do mercado financeiro, a formação de preços e sua dinâmica. Exisem rês ipos principais de aivos: o circulane, o fixo e o financeiro. Aivo circulane é o dinheiro que a companhia em em caixa, ou o que possa ser ransformado em dinheiro vivo imediaamene. Aivo fixo são bens duráveis, como prédios, móveis, máquinas e equipamenos. Aivo financeiro são as aplicações feias no mercado financeiro, como íulos de renda fixa públicos ou privados, cadernea de poupança, ações, ouro, moedas esrangeiras, enre ouros. A parir de 1970 mudanças significaivas ocorreram no mercado das finanças, com o começo do mundo globalizado. Desde os anos 80, com a negociação elerônica dos aivos financeiros e a armazenagem elerônica dos dados, pôde-se dispor de uma quanidade muio grande de informação para

2 Moivação e Hisórico 20 análise, com a armazenagem de dados consecuivos em inervalos de apenas alguns segundos. As bolsas de valores coleam, organizam e divulgam uma série de informações sobre os negócios realizados em cada pregão. Os principais indicadores referem-se a preços e volumes das ações negociadas, que raduzem a liquidez do mercado. As ações são apenas um ipo de aivo. Na enaiva de reraar o comporameno médio dos preços das ações e servir de parâmero para idenificação das endências gerais de um mercado, foram desenvolvidos os índices do mercado acionário, que hoje, são considerados como auênicos ermômeros das expecaivas pelos invesidores em relação ao fuuro desempenho da economia. Esses índices de mercado são formados por uma média dos preços das ações mais negociadas, ponderadas pelo volume da ransação. Podem ser caracerizados como a medida da performance do mercado. No final de um pregão apura-se um índice que represena o volume de negócios e a endência geral do mercado de queda ou valorização. Esse índice é calculado com base no comporameno das principais ações negociadas na bolsa. Para cada ação é conferido um peso, deerminado pelo volume de negócios daquele íulo. A comparação enre as ransações naquele dia com o peso (reviso em períodos regulares) dá um deerminado número de ponos. Comparados aos do dia anerior, resulam numa variação percenual que raduz o comporameno da bolsa. Os índices mais imporanes do mundo que já possuem esudos são: New York Sock Exchange Composie Index NYSE (28/05/1964) - É a Bolsa de Valores de Nova York, a maior e mais imporane Bolsa de Valores do mundo. Localizada na Wall Sree, Nova York, e ali são negociados íulos e ações das principais empresas dos Esados Unidos e do mundo. No índice NYSE as ações são ponderadas de acordo com os respecivos valores de mercado das empresas emissoras. Dow Jones Indusrial Average (7/10/1896) é o principal indicador de desempenho do mercado de ações dos Esados Unidos. O índice reflee a valorização média das 30 ações mais negociadas da Bolsa de Nova York (NYSE). É considerado o indicador mais radicional uilizado nos mercados financeiros. S&P 500 (1/7/1976) Índice calculado pela consuloria americana Sandard & Poor s que reflee o desempenho de 500 maiores empresas indusriais noreamericanas

3 Moivação e Hisórico 21 Nikkei (16/5/1946) Índice da Bolsa de Valores de Tóquio, que reflee o preço das 225 ações mais negociadas no mercado japonês. Nasdaq Criada nos Esados Unidos, em 1971, a Naional Associaion of Securiy Dealers Auomaed Quoaion Sysem foi a primeira bolsa do mundo a negociar exclusivamene ações de empresas de Inerne, informáica e ecnologia. Como as operações de compra e venda são feias por meio de compuadores, a Nasdaq ficou conhecida como a bolsa elerônica. Podemos ainda ciar as bolsas de valores de ouros mercados imporanes, como por exemplo, a bolsa CAC francesa, a bolsa de Hong Kong, Hang Seng, e a bolsa alemã DAX. A Bolsa de Valores de São Paulo [1], ou Bovespa é o local onde se negociam íulos emiidos por empresas privadas ou esaais no Brasil. O íulo dá ao porador o direio de propriedade sobre uma quania em dinheiro, pela qual responde o emissor do documeno. Fundada em 23 de agoso de 1890, a Bolsa de Valores de São Paulo em uma longa hisória de serviços presados ao mercado de capiais e à economia brasileira. Aé meados da década de 60, a Bovespa e odas as ouras bolsas brasileiras que exisiam na época eram enidades oficiais corporaivas, vinculadas às secrearias de finanças dos governos esaduais e composas por correores nomeados pelo poder público. Com as reformas do sisema financeiro nacional e do mercado de capiais implemenadas em 1965/66, as bolsas assumiram a caracerísica insiucional que manêm aé hoje, ransformando-se em associações civis sem fins lucraivos, com auonomia adminisraiva, financeira e parimonial. A aniga figura individual do correor de fundos públicos foi subsiuída pela da sociedade correora, empresa consiuída sob a forma de sociedade por ações nominaivas ou por coas de responsabilidade limiada. A Bolsa de Valores de São Paulo é uma enidade auo-reguladora, que opera sob a supervisão da Comissão de Valores Mobiliários. Em 1972, a Bovespa foi a primeira bolsa brasileira a implanar o pregão auomaizado com a disseminação de informações on-line e em empo real, aravés de uma ampla rede de erminais de compuador. No final da década de 70, a BOVESPA foi ambém pioneira na inrodução de operações com opções no Brasil; nos anos 80 implanou o Sisema Privado de Operações por Telefone (SPOT). Em 1990, foram iniciadas as negociações aravés do Sisema de Negociação Elerônica - CATS (Compuer Assised Trading Sysem) que operava simulaneamene com o sisema radicional de Pregão Viva Voz. Em 1997, foi

4 Moivação e Hisórico 22 implanado com sucesso o novo sisema de negociação elerônica da BOVESPA, o Mega Bolsa. Além de uilizar um sisema ecnológico alamene avançado, o Mega Bolsa amplia o volume poencial de processameno de informações e permie que a BOVESPA consolide sua posição como o mais imporane cenro de negócios do mercado laino-americano. A ampliação do uso da informáica foi a marca das aividades da BOVESPA em 1999, com o lançameno do Afer-Marke, sisema de negociação que ocorre após o horário normal do pregão, oferecendo a sessão nourna de negociação elerônica. Além de aender aos profissionais do mercado, ese mecanismo ambém é ineressane para os pequenos e médios invesidores, pois permie que enviem ordens por meio da Inerne aé as 22 horas. Aualmene, a BOVESPA é o maior cenro de negociação com ações da América Laina, desaque que culminou com um acordo hisórico para a inegração de odas as bolsas brasileiras em orno de um único mercado de valores - o da BOVESPA. A Bovespa funciona com o sisema de Pregão Elerônico em sessão conínua das 10h às 17h, para odas as empresas lisadas no mercado, sendo: 9h45 às 10h - leilão de pré-aberura - enrada de oferas para a formação do preço eórico de aberura; 16h55 às 17h - Chamada de fechameno - no Sisema Elerônico, para odas as empresas negociadas no mercado à visa do Pregão Viva Voz e para os demais papéis que fazem pare da careira eórica do Índice Bovespa. O sisema Pregão Viva Voz funciona das 10h às 16h45, com inerrupção enre as 13h e 14h. O sisema Afer-Marke é negociado exclusivamene no Sisema Elerônico, com o seguine horário de funcionameno: 17h30 às 18h - fase de pré-aberura, na qual será permiido o cancelameno das oferas regisradas no período normal; 18h às 22h - fase de negociação, denro dos parâmeros esabelecidos para ese segmeno do mercado. O Índice BOVESPA, ou IBOVESPA, é o indicador da evolução média das coações das ações brasileiras. Ele equivale ao valor em moeda correne, de uma careira eórica de ações. Esa careira eórica é inegrada pelas ações que, em conjuno, represenaram 80% do volume ransacionado à visa nos doze meses aneriores à formação da careira. Para que sua represenaividade se manenha ao longo do empo, é feia uma reavaliação quadrimesral, alerando-se a composição e peso da careira. Considerando-se seu rigor meodológico e o fao

5 Moivação e Hisórico 23 de que a Bovespa é responsável por 100% das ações ransacionadas no mercado brasileiro, raa-se do mais imporane indicador do desempenho médio das coações do mercado de ações brasileiro, permiindo ano avaliações de curíssimo prazo, como observações de expressivas séries de empo. O IBOVESPA é uma ferramena indispensável para quem invese em ações, quer para acompanhar o mercado, quer para avaliar comparaivamene o desempenho de sua própria careira. Também possui uma fore radição não sofreu modificações meodológicas desde sua implemenação em A Bovespa divulga ambém o IBX - Índice Brasil, que mede o reorno de uma careira de ações inegrada pelas 100 ações mais negociadas. O IBOVESPA é calculado em empo real, considerando insananeamene os preços de odos os negócios efeuados no mercado à visa com as ações componenes da careira. Maemaicamene, o IBOVESPA é o somaório dos valores das ações inegranes de sua careira eórica (quanidade eórica da ação muliplicada pelo úlimo preço da mesma). Assim sendo, pode ser apurado, a qualquer momeno, aravés da seguine fórmula: n IBOVESPA = P i, Qi, (1.1) i= 1 onde: IBOVESPA = Índice Bovespa no insane n = número oal de ações componenes da careira eórica P i, = úlimo preço da ação i no insane Q i, = quanidade eórica da ação i na careira no insane A seguir apresenamos a série emporal hisórica do Índice Bovespa para o período analisado, de novembro de 2002 a junho de 2004, oalizando 20 meses seguidos e ininerrupos de pregão. A freqüência de gravação dos índices para a consrução da série emporal uilizou omadas de dados a cada 30 segundos. No período analisado, não foram observados valores de reorno relaivos exremamene grandes, como os que ocorrem em crashes ou em fase de grande boom econômico. Desa forma, a análise apresenada nese esudo não é designada para capurar ais valores exremos e seus efeios.

6 Moivação e Hisórico 24 Uma série emporal é uma série de medidas omadas a inervalos regulares em sua sucessão naural no empo. Ela reflee em suas propriedades globais as caracerísicas inrínsecas do mercado que a gerou, além de faores exernos. Figura 1.1 Série dos valores do IBOVESPA inradiário A série do IBOVESPA mosrada na figura 1.1 ilusra ese fao. Verificamos que o índice reflee a siuação econômica, e os faores políicos relevanes ocorridos nese período específico. Observa-se, por exemplo, uma endência de crescimeno posiivo aé dezembro de 2003, após uma mudança de governo federal, cuja políica econômica agradou ao mercado inernacional e gerou uma procura maior por papéis da IBOVESPA. O impaco e a euforia do mercado cessou no enano a parir dos primeiros meses do ano de 2004, devido ainda à insabilidade inernacional gerada com o desenrolar de nova guerra no Iraque. O IBOVESPA sofreu, sem prejuízo de sua meodologia de cálculo, onze correções devido à inflação, mas nenhuma delas se enconra no nosso período de esudo. Ese rabalho consise da análise de propriedades esaísicas do Índice da Bolsa de Valores de São Paulo, em especial, da função disribuição do reorno

7 Moivação e Hisórico 25 dos preços para dados em ala freqüência 1 e na análise de sua evolução emporal. São recenes os rabalhos cieníficos em Econofísica sobre a dinâmica de ala freqüência de reornos de preços, e em paricular, para o mercado brasileiro, as análises são ainda incipienes. 1.2 Definições de Reorno de Preços Um dos principais problemas para a realização de análises empíricas e eóricas dos dados financeiros é o da escala de preço a ser uilizada. Como raamos de preços e índices relacionados à moeda, verificamos que eses possuem fluuações no empo que são inerenes ao processo econômico. A unidade moneária analisada pode sofrer alerações devido a diversos faores, como crescimeno ou recesso da economia, influência de ouros mercados devido à globalização e inflação, por exemplo. É possível escolher enre muias definições de variáveis esocásicas para analisar o mercado. Considerando o preço de um aivo ou o valor de um índice e Z( a variável que descreve a mudança de preços, fluuação de preços ou reorno, as escolhas mais uilizadas são: A variação direa dos preços dos índices ou dos aivos, Z 1 (. Porém, mudanças que normalmene aconecem no longo prazo, como inflação e ajuses de mercado, afeam o reorno consideravelmene: Z ( = + ) (1.2) 1 A variação deflacionada dos preços dos índices, Z 2 (, ou seja, desconando a inflação do período com um faor D(. Com essa aproximação, os preços passam a refleir apenas a variação de seu valor inrínseco. Mas como exisem muios órgãos que uilizam diferenes meodologias para o cálculo da inflação, fornecendo valores diferenes para D(, esa definição ambém possui desvanagens: Z ( = [ + ] D( ) (1.3) 2 1 Assim chamado os dados observados em escala de empo inradiária.

8 Moivação e Hisórico 26 O chamado reorno clássico Z 3 (. Essa definição em a vanagem de fornecer o lucro ou prejuízo percenual, informação mais adequada para os invesidores, pois fornece o reorno do invesimeno relaivo ao capial empregado: + Z1( Z 3( = = (1.4) O reorno logarímico dos preços Z 4 (. Esa definição fornece medida em escala logarímica da variação percenual dos preços: Z 4 ( + = ln + ln = ln (1.5) Z 4 ( mede ambém a variação relaiva dos preços. De (1.2), (1.4) e (1.5): + + Z ( ) ( ) ( ) ln ln 1 Z ln 1 1 Z 4 = = = = ln[ 1+ Z3( ] + (1.6) Em dados de ala-freqüência ( pequeno), em-se pequenos valores de reorno (Z 1 ( << ). A parir de (1.6), pode-se enão fazer a aproximação: Z1( Z1( Z 4 ( = ln 1 + = Z 3 ( (1.7) Porano, de (1.7), para dados de ala freqüência, as definições Z 3 ( e Z 4 ( fornecem resulados equivalenes. De (1.2) e (1.3), as definições Z 1 ( e Z 2 ( ambém oferecem resulados muio próximos para curos períodos de empo ou em períodos longos, se a inflação não for muio grande, pois emos D( 1. Nese rabalho, consideraremos o reorno logarímico Z 4 (, que será chamado simplesmene de Z(. Esa é a abordagem mais uilizada em arigos e rabalhos cieníficos. Será uilizado ainda o reorno normalizado, definido como o valor de reorno observado subraído da média empírica µ e dividido pelo desvio padrão σ da série da série emporal hisórica:

9 Moivação e Hisórico 27 Z( µ Z NORM ( = (1.8) σ Os parâmeros µ e σ são obidos a parir da série emporal hisórica, cujo período oal de observação T é longo, por: T 1 µ = Z( (1.8a) T = 1 T 1 2 σ = ( Z( µ ) (1.8b) T = 1 A nova série emporal de reornos normalizados em média nula e desvio padrão uniário sendo assim adequada para análise comparaiva de reornos em escalas emporais diferenes. 1.3 Hisórico da Modelagem de Preços Os processos esocásicos seguidos pelas variáveis financeiras em diversas escalas de empo êm sido objeo de diversas modelagens. O primeiro modelo para o processo esocásico dos preços foi proposo por Louis Bachelier em sua ese de douorado sobre a Teoria da Especulação na Bolsa de Paris em 1900 [2], na qual os preços são descrios por uma marcha aleaória, ou random walk sem correlação, com fluuações regidas por uma disribuição Gaussiana. Formalmene, a variação de preço ds no inervalo de empo pequeno enre e +d é dada por: ds = µ d + σ (1.9) dw O ermo µd caraceriza uma variação emporal de preços deerminísica ou ípica, com axa média no empo µ. O ermo σ dw caraceriza a variação esocásica dos preços, cuja ampliude σ é dada pelo desvio padrão das

10 Moivação e Hisórico 28 variações hisóricas de preço. dw é o ruído esocásico gaussiano caracerizado por um processo de Wiener com propriedades dw = 0 e dw = d. (A noação uilizada é dw ~ N(0, d ). A equação (1.9) caraceriza o processo Browniano Ariméico, que fornece como solução para a disribuição de variações de preços a disribuição Gaussiana, com dispersão proporcional à raiz quadrada do empo. Mais recenemene, uma explicação imporane da hipóese de random walk foi apresenada por Fama e Samuelson [3] na década de 70, que consise na formulação da Hipóese do Mercado Eficiene, e que se ornou um paradigma uilizado aé hoje. A Hipóese do Mercado Eficiene esabelece que o preço aual da ação reflee odas as informações e expecaivas dos paricipanes do mercado. Conseqüenemene, nenhum lucro pode ser obido a parir de negociações baseadas em informações do mercado, pois esas já foram absorvidas no preço. Assim, o reorno esperado de invesimeno fuuro é nulo. Formalmene, 2 E ( S 1 = S (1.10) + I ) ou seja, o valor esperado da ação no empo +1, condicionado às informações I conhecidas no empo corresponde ao valor aual da ação. Baseado nesa hipóese, o movimeno da coação de uma ação seria compleamene imprevisível a parir de informações ais como preço e volume de ransação passados. Assim, segundo essa eoria, a propriedade de ajusameno insanâneo dos preços das ações devido às informações públicas implica na independência enre variações sucessivas de preços na seqüência das negociações. Um mercado que apresena al comporameno é, por definição, um mercado random walk, onde a série de mudanças de preços não em memória, iso é, a hisória passada da série não pode ser usada para prever o fuuro. Nese mercado informacionalmene eficiene, onde odos os paricipanes deêm o mesmo nível de informação e agem racionalmene, ajusando os preços imediaamene, não haveria espaço para que os fundamenalisas obivessem lucros acima da média do mercado. Da mesma forma, os grafisas ambém não poderiam anecipar nenhuma nova endência ou movimeno de preços em formação. Nese caso, somene resariam os faos imprevisíveis a comandar as quebras de expecaivas.

11 Moivação e Hisórico 29 No enano, no mercado real, a aualização dos preços não é insanânea e as negociações êm cuso. O grau de ineficiência do mercado é o que permie oporunidades de lucro que compensam os invesidores dos cusos das ransações e da obenção de informação. O mercado real segue porano apenas aproximadamene o mercado eficiene, pois caso conrário, qualquer esforço de previsão baseada em análise da série hisórica seria inúil. Apesar da Hipóese do Mercado Eficiene ser uma idealização economicamene irrealizável, ele serve como referência para ouras modelagens do processo esocásico dos preços. A disribuição Gaussiana do modelo de Bachelier permie preços negaivos, o que viola as leis do mercado. Mais arde esa modelagem foi generalizada para a descrição dos lucros relaivos ds S, uma grandeza de especial ineresse para os invesidores, pois permie uma esimaiva do lucro ou prejuízo em relação ao capial empregado. Ese modelo, conhecido como modelo padrão é aé hoje uilizado como modelo de referência para o processo esocásico das fluuações de preço. As variações relaivas de preços são regidas pela equação diferencial esocásica abaixo, que caraceriza o movimeno Browniano Geomérico: ds S = µ d + σ. dw (1.11) onde dw ~ N(0, d. Logo, para um pequeno inervalo de empo d podemos inerprear as variações relaivas de preços (reornos ou lucros relaivos) como sendo geradas por uma variação média µd acrescida de uma variação esocásica σdw, dada pela volailidade 2 do mercado σ muliplicada pelo ruído gaussiano aleaório. A solução para a disribuição de preços cujas variações são caracerizadas pela equação (1.11) é dada pela disribuição log-normal, que será descria no capíulo 2. Também será mosrado que, ainda de acordo com ese modelo, os reornos logarímicos de preço (Z 4 () eriam disribuição Gaussiana. No enano, ainda na década de 60, Mandelbro [4], ao analisar o mercado americano de algodão, verificou que as disribuições de reornos dos preços se 2 A volailidade esá associada ao desvio padrão dos reornos de preço ao longo de um período de empo.

12 Moivação e Hisórico 30 comporavam segundo as disribuições de Lévy[5], ambém descrias no capíulo 2, que possuem caudas mais pronunciadas que as disribuições Gaussianas. Numerosas observações a parir de enão nos mercados por odo o mundo mosraram que as caudas das disribuições de diversos aivos, ais como commodiies 3, axas de câmbio e reorno de preços de ações, são mais longas do que a da disribuição Gaussiana previsa pelo modelo padrão. Muios modelos êm sido proposos aé hoje para caracerizar a disribuição de reornos neses mercados, em várias escalas de empo, uilizando disribuições lepocúricas 4. Faremos referência a alguns deses modelos ao longo dese rabalho. A figura 1.2 apresena a disribuição empírica para os reornos normalizados do índice S&P 500 na escala de empo de =1 minuo e compara-a com as disribuições Gaussiana e de Lévy [6]. O período de observação considerado foi de seis anos, de Janeiro de 1984 a Dezembro de Verifica-se que a disribuição Gaussiana é inadequada para descrever a disribuição empírica. Além disso, os dados reais são bem fiados em sua pare cenral pela disribuição de Lévy, porém a disribuição empírica possui cauda com comporameno inermediário enre a disribuição Gaussiana e a disribuição de Lévy. Para uma correa descrição do comporameno do mercado é necessário enconrar modelos que forneçam disribuições que descrevam adequadamene as disribuições empíricas desde pequenos aé valores exremos da variável aleaória. Uma alernaiva é modelar o cenro da disribuição de reornos pela 3 "Commodiies" são mercadorias, bens de valor econômico ais como (i) produos agrícolas ou minerais, (ii) arigos comerciais, especialmene quando enregues para embarque, ou ainda (iii) produos não especializados produzidos em massa. O significado mais práico ou mais usual para esse ermo é para referir-se genericamene aos bens negociados nas bolsas de mercadorias. 4 Lepocúrica é um adjeivo que descreve uma disribuição com curose ala, iso é, curose maior do que a da disribuição normal. A curose de uma disribuição da variável aleaória x é definida como Kur ( x) = ( x µ ) 4 σ 4, onde µ e σ são a média e o desvio padrão de x. A disribuição normal em curose igual a 3. Comparando-se duas disribuições com mesmo desvio padrão, a disribuição com maior curose possui caudas mais longas e simulaneamene pare cenral mais pronunciada. Lepo significa fino em grego e se refere à pare cenral da disribuição,

13 Moivação e Hisórico 31 disribuição de Lévy, e realizar um runcameno em sua cauda, com o objeivo de reduzi-la, adequando-a mais às disribuições empíricas. Gaussiana Lévy Figura 1.2 Comparação do hisograma de reornos normalizados para =1minuo do S&P 500 (período 84-89) com as disribuições Gaussiana e de Lévy em gráfico semi-logarímico [6] Nas disribuições de reorno, êm sido observadas caudas em lei de poência e em forma exponencial. Para a análise das caudas uiliza-se a disribuição acumulada definida por: P = ACUM ( x) P( x) dx (1.12) x Com a análise desa grandeza, procura-se diminuir os erros esaísicos devido à baixa freqüência dos dados experimenais nas caudas. Além disso, a probabilidade acumulada preserva a forma funcional da cauda, seja ela exponencial ou em lei de poência. Na figura 1.3 apresenamos a disribuição acumulada de reornos normalizados de 10 minuos do índice S&P 500 no período [7]. Observa-se um comporameno cenral consisene com disribuição de Lévy com parâmero α = 1.7 e comporameno da cauda da disribuição com um decaimeno

14 Moivação e Hisórico 32 em lei de poência P ACUM (x) ~ x α. As esimaivas do expoene α comprovam caudas mais leves do que as previsas pelas disribuições de Lévy, que requerem 0<α<2, conforme será mosrado no capíulo 2. Regime de Lévy Disribuição Acumulada α ~ 1.7 Cauda posiiva Cauda negaiva α ~ 3 α ~ 2 Reorno Normalizado S&P500 Figura 1.3 Disribuição acumulada de reornos normalizados do índice S&P 500 no período [7] em gráfico log-log, mosrando um decaimeno em lei de poência P ACUM (x) ~ x α. A linha ponilhada demarca o limie de comporameno de cauda compaível com as disribuições de Lévy (ver capíulo 2). As disribuições com caudas em lei de poência aingiram o saus de fao esilizado 5, pois esa lei em sido obida da análise de vários ipos de íulos financeiros e em diferenes mercados, com expoene ipicamene na faixa 2<α<5. Conudo, disribuições com caudas exponenciais ambém êm sido reporadas para alguns mercados mundiais Na figura 1.4 mosramos o gráfico semilogarímico da disribuição acumulada de reornos normalizados, na escala =1 dia, para rês ipos de íulos financeiros no período [8]. Observa-se claramene a naureza exponencial das caudas das disribuições. 5 Cosuma-se chamar de fao esilizado, a caracerísica da disribuição que pode ser enconrada em uma grande gama de análises de mercados.

15 Moivação e Hisórico 33 PACUM(x) x /σ Figura 1.4 Gráfico semi-logarímico da disribuição acumulada de reornos normalizados, em escala =1 dia, para rês ipos de íulos financeiros, no período : S&P 500, câmbio marco-dólar (DEM/$), e leras e axa de juros do mercado alemão (Bund) [8]. Recenemene, foi proposo um modelo [9] para a dinâmica de preços governada pelo movimeno Browniano Geomérico com volailidade esocásica, regida pela equação diferencial: ds = µ S d + σ S. dw (1.13) com σ represenando a volailidade aleaória. A solução para a disribuição assinóica do modelo prevê comporameno Gaussiano para pequenos valores de reorno e comporameno exponencial para grandes valores de reorno. Na figura 1.5 apresenamos em gráfico semilogarímico a disribuição acumulada dos dados inradiários de quaro

16 Moivação e Hisórico 34 grandes empresas americanas no período [10]. Vê-se que as curvas experimenais são bem descrias pela previsão dese modelo. Densidade de Probabilidade Acumulada Log-Reorno Normalizado Figura 1.5 Gráfico semilogarímico da disribuição acumulada dos reornos inradiários normalizados de quaro grandes empresas americanas: Inel (INTC), Microsof (MSFT), IBM, Merck (MRK), no período Os gráficos esão deslocados para melhor visualização. Para x > 0, é mosrado P ACUM (x) e para x < 0, 1- P ACUM (x) [10]. Recenemene foi apresenada uma modelagem [11,12] para os dados de ala freqüência do mercado americano uilizando disribuições de Tsallis com parâmero q (ou q-gaussianas), que serão descrias no capíulo 2. As figuras 1.6 e 1.7 mosram respecivamene as disribuições empíricas para o NYSE e para da bolsa elerônica NASDAQ em As disribuições são bem descrias por q- Gaussianas com parâmero óimo q 1,4.

17 Moivação e Hisórico 35 Figura 1.6 Disribuições empíricas e q-gaussianas (linhas cheias) para reornos normalizados das dez empresas com maior volume de negociação na NYSE em 2001 [11]. A linha ponilhada represena a disribuição Gaussiana. Figura 1.7 Disribuições empíricas e q-gaussianas (linhas cheias) para reornos normalizados das 10 empresas com maior volume de negociação na NASDAQ em 2001 [11]. A linha ponilhada represena a disribuição Gaussiana.

18 Moivação e Hisórico 36 Aualmene vários esudos buscam uma descrição esaísica complea das variações dos preços dos diversos aivos financeiros. Para isso, são analisadas séries emporais cada vez maiores e em diversas escalas de empo. Como mosrado aé aqui, diferenes comporamenos êm sido obidos, o que orna esa área basane féril para análise. Nos úlimos anos houve um crescene ineresse na análise de disribuições de variáveis financeiras de ala freqüência, como volume de ransação, reornos e volailidade, faciliado pela disponibilidade de dados. Esa disseração em como um dos objeivos a descrição da disribuição de reornos de ala-freqüência para o mercado acionário brasileiro. 1.4 Correlação Temporal Para uma caracerização precisa do comporameno do mercado e uma análise consisene, é necessário, além de verificarmos o aspeco da disribuição que descreve o processo esocásico, descobrir o grau de correlação exisene enre os dados da série gerariz. Para análise de um processo esocásico que gera a série x(, uilizamos algumas definições que envolvem o cálculo do valor esperado, enre elas: E { x( } µ ( (1.14a) E x( ) x( )} R(, ) (1.14b) { A função de auocorrelação ou simplesmene correlação é dada por R( 1, 2 ). Para um processo esacionário, emos: µ ( = µ (1.15a) R( 1, 2 ) = R( 1 2 ) (1.15b) Definimos ambém a função de auocovariância C( 1-2 ), úil para processos com média não nula: C ) R( ) µ ( ) µ ( ) (1.16) (

19 Moivação e Hisórico 37 De (1.15) e (1.16), para processos esacionários em-se 2 C 0) R(0). ( µ De (1.14) em-se E{ x 2 ( } R(0). Logo, ( x( )) µ C ( 0) = σ (1.17) Para processos correlacionados, C(τ) é uma função decrescene do inervalo emporal enre medidas τ, indo de C(0) = σ 2 aé C(τ) 0 para disância emporal longa. Em nosso esudo, as variáveis analisadas serão reornos normalizados que possuem, por definição, média zero e variância σ 2 =1. Assim, as funções de auocorrelação e auocovariância são equivalenes e, de (1.17), C(0)=1. Podemos deerminar o alcance da memória de um processo, ao verificar se a função de correlação é inegrável. Nese caso, a memória do processo é de curo alcance e o valor da inegral fornece uma medida da escala de empo ípica de correlação do processo τ C. Por ouro lado, se a função de correlação for não inegrável significa que os evenos do passado em influência significaiva sobre o presene, qualquer que seja o inervalo emporal, ou seja, que o processo em memória de longo alcance. No mercado financeiro, a função de correlação linear de reornos decai rapidamene, sendo significaiva apenas em inervalos da ordem de minuos. Para o mercado americano, foi obido que R(τ) ~ exp (τ/τ C ) como mosrado na figura 1.8.

20 Moivação e Hisórico 38 Função de Auocorrelação Nível de ruído Escala de empo (minuos) Figura 1.8 Função de auocorrelação para o S&P 500 em gráfico semilogarímico. A linha rea corresponde a um decaimeno exponencial com empo críico τ C = 4 minuos. A correlação inradiária nese mercado dura cerca de 20 minuos. [13] No enano, vários esudos feios por físicos e economisas mosraram que a auocorrelação de funções não lineares de reornos de preços, ais como o valor absoluo ou o valor quadráico, êm memória de longo alcance. A figura 1.9 mosra a auocovariância dos valores absoluos de reornos do S&P 500 que apresena um decaimeno assinóico em lei de poência C(τ) ~ τ -η com η 0,3. O fao de ese expoene ser menor do que um implica que o processo em memória de longo alcance. Iso significa que na verdade, os reornos não são independenes, violando a hipóese de mercado eficiene.

21 Moivação e Hisórico 39 Função de Auocorrelação Escala de empo (dias) Figura 1.9 Função de auocorrelação de módulo de reornos em gráfico log-log para os mesmos dados da figura 1.2, mosrando correlação em lei de poência com expoene η 0.3 [13]. A correlação persise aé a escala de alguns meses. A hipóese de mercado eficiene, que prevê que as fluuações de preço são não correlacionadas no empo, é verificada em boa aproximação aravés de medidas de correlação linear das fluuações de preços reais, conforme mosrado na figura 1.8. Apesar disso, a ampliude dessas fluuações ou volailidade, é foremene correlacionada no empo, conforme mosrado na figura 1.9. Ese fenômeno é chamado de clusering de volailidade, ou seja, se o mercado perfaz uma grande mudança de preço em um dia, em a endência de repeir uma grande mudança no próximo dia, apesar do sinal desa mudança ser imprevisível. Desa forma, é necessário enconrar modelos para a dinâmica dos preços que incluam a exisência de memória. Nese rabalho, a descrição esaísica das fluuações de preços inradiários do IBOVESPA baseiam-se nas disribuições q-gaussianas. Esas disribuições, como será mosrado no capíulo 3, são consisenes com a exisência de memória enre fluuações sucessivas de preços, proveniene de um mecanismo de feedback na dinâmica esocásica de formação deses preços.