Ioná Maghali Santos de Oliveira

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1 CONFIABILIDADE DOS GERADORES DIESEL DE EMERGÊNCIA DE UMA CENTRAL NUCLEAR PWR DE QUATRO LOOPS SOB ENVELHECIMENTO E COM REPARO PERFEITO POR VARIÁVEIS SUPLEMENTARES Ioná Maghali Sanos de Oliveira DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA NUCLEAR. Arovada or: Prof. Paulo Fernando Ferreira Fruuoso e Melo D.Sc. Prof. Anonio Carlos Marques Alvim Ph.D Prof. Marcos Oliveira de Pinho D.Sc. Dr. Pedro Luiz da Cruz Saldanha D.Sc. RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL MARÇO DE 27

2 OLIVEIRA IONÁ MAGHALI SANTOS DE Confiabilidade dos Geradores Diesel de Emergência de uma Cenral Nuclear PWR de Quaro Loos sob Envelhecimeno e com Rearo Perfeio or Variáveis Sulemenares [Rio de Janeiro] 27. XV. 297 cm COPPE/UFRJ M.Sc. Engenharia Nuclear 27 Disseração - Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE. Confiabilidade 2. Geradores Diesel de Emergência 3. Envelhecimeno 4. Rearo Perfeio 5. Variáveis Sulemenares I. COPPE/UFRJ II. Tíulo série ii

3 À minha mãe Enecir com odo o meu amor e carinho dedico ese rabalho. iii

4 Só se ode alcançar um grande êio quando nos manemos fiéis a nós mesmos. Friedrich Niezsche iv

5 Agradecimenos Agradeço rimeiramene a Deus or ermanecer semre ao meu lado durane oda a minha caminhada. Ao meu orienador Prof. Paulo Fernando Ferreira Fruuoso e Melo or oda a amizade or odo o carinho or oda a confiança or odo o aoio e or odas as oorunidades. Ao Prof. Marcos Oliveira de Pinho elo fundamenal aoio ela aciência e elo carinho durane a realização dese rabalho e or er aceiado ariciar da minha banca. Ao Prof. Anonio Carlos Marques Alvim elas observações elas sugesões elo convívio enriquecedor ao longo de odo o rabalho e or er aceiado ariciar da minha banca. Ao Dr. Pedro Luiz da Cruz Saldanha ela aenção ela aciência ela disonibilidade elo semre consane bom humor elas grandes idéias e or er aceiado ariciar da minha banca. À Elerobrás Termonuclear S.A. - ELETRONUCLEAR esecialmene aos Srs. José Manuel Diaz Francisco e ao Eng Cláudio Queiroz Mundim elo suore écnico e bibliográfico. Aos rofessores alunos e funcionários do Programa de Engenharia Nuclear em esecial à Jô à Tânia ao Reginaldo e ao Rodrigo or oda a ajuda e comanheirismo. Aos amigos: Érica Cuerino Flavia Vieira Vivian Borges Vinícius Damaso Mauríco San ana Laís Aguiar Elisabeh Carvalho Clarindo Almeida Lima e a odos os amigos e colegas que de uma forma ou de oura conribuíram ara a realização dese rabalho. Ao Eduardo elo incenivo elo aoio elo comanheirismo e or odas as sugesões. À minha querida avó Maria do Carmo Vovó Carminha que infelizmene não ôde resenciar a mais esa conquisa. v

6 Resumo da Disseração aresenada à COPPE/UFRJ como are dos requisios necessários ara a obenção do grau de Mesre em Ciências M.Sc. CONFIABILIDADE DOS GERADORES DIESEL DE EMERGÊNCIA DE UMA CENTRAL NUCLEAR PWR DE QUATRO LOOPS SOB ENVELHECIMENTO E COM REPARO PERFEITO POR VARIÁVEIS SUPLEMENTARES Ioná Maghali Sanos de Oliveira Março/27 Orienador: Paulo Fernando Ferreira Fruuoso e Melo Programa: Engenharia Nuclear O objeivo dese rabalho é realizar uma análise da confiabilidade dos geradores diesel de emergência de uma Cenral Nuclear PWR de quaro loos considerando-se as hióeses de envelhecimeno e de rearo erfeio ela uilização do méodo das Variáveis Sulemenares. Para esa análise oma-se como referência uma usina nova com aenas seis anos de oeração comercial e dados como aas de falha foram obidos de uma oura usina de mesmo io orém já em fase de envelhecimeno. Os dados de rearo foram obidos das Esecificações Técnicas desses geradores. Várias idades são aribuídas a esses equiamenos ermiindo o cálculo das robabilidades de falha e das disonibilidades dos mesmos de acordo com as idades. Os resulados desa análise ossibiliam considerar esraégias de manuenção disinas e oimizadas visando uma melhor avaliação na aceiação dessas esraégias ara uma evenual eensão da vida úil desses equiamenos. Um novo méodo numérico foi desenvolvido ara resolver o sisema de equações diferenciais ornando a solução do sisema mais ráida e eficiene. vi

7 Absrac of Disseraion resened o COPPE/UFRJ as a arial fulfillmen of he requiremens for he degree of Maser of Science M.Sc. EMERGENCY DIESEL GENERATORS RELIABILITY OF A FOUR LOOP PWR POWER PLANT UNDER AGING AND WITH PERFECT REPAIR BY SUPPLEMENTARY VARIABLES Ioná Maghali Sanos de Oliveira March/27 Advisor: Paulo Fernando Ferreira Fruuoso e Melo Dearmen: Nuclear Engineering The urose of his work is o realize a reliabiliy analysis of he emergency diesel generaors of a four loo PWR Nuclear Power Plan considering he hyohesis of aging and erfec reair by using he Sulemenary Variables mehod. In order o erform such analyses i is aken for reference a new ower lan ha has been commercially oeraing for only si years. Failure raes were aken from a similar ower lan already under aging while reair daa were aken from he Technical Secificaions. Several ages were aribued o hese generaors allowing he calculus of he failure robabiliy as well as heir availabiliy according o each regarded age. The resuls of such analysis make i ossible o consider disinc and oimized mainenance sraegies aiming a beer evaluaion in he acceance of hese sraegies o an evenual eension of useful lifeime of hese equimens. A new numerical mehod was develoed in order o solve he differenial equaions sysems making he solving of he sysem faser and more efficien. vii

8 Índice Caíulo Inrodução..... Considerações Iniciais Hisórico sobre Confiabilidade Revisão Bibliográfica Imorância Objeivo e Moivação Esruura da Disseração...8 Caíulo 2 Conceios Básicos sobre Confiabilidade Inrodução Confiabilidade R Taa de Falha λ Sisema Rearável Sisema Não Rearável Rearo Mínimo As Bad as Old Rearo Perfeio As Good as New Taa de Rearo µ Disonibilidade A Modelos de Envelhecimeno Processos Markovianos Processos de Renovação Conclusão...6 Caíulo 3 Equações de Variáveis Sulemenares Inrodução Modelagem Biológica Variáveis Sulemenares Conceios Básicos sobre Equações Diferenciais de a Ordem Solução Numérica Conclusão...3 viii

9 Caíulo 4 Sisema Elérico de Angra Inrodução Função do Sisema Descrição do Sisema Sisema Elérico Visão Geral Rede Eerna Princial de 525 KV Gerador Princial MK Rede Eerna Reserva de 38 KV Sisema Elérico Auiliar Sisema de Surimeno Elérico Normal Sisema de Surimeno Elérico de Emergência Sisema de Surimeno Elérico de Emergência Transferência de Alimenação enre as Redes Eernas Modo de Surimeno de Emergência Eságios de Parida dos Geradores Diesel Eságios de Carga dos Geradores Diesel - DLS Eságios de Carga dos Geradores Diesel - EDLS Conclusão...57 Caíulo 5 Modelagem dos Geradores Diesel de Emergência Inrodução Considerações sobre o Modelo Prooso Conclusão...68 Caíulo 6 Resulados Inrodução Primeira Simulação Segunda Simulação Terceira Simulação Quara Simulação Quina Simulação Sea Simulação Séima Simulação Conclusão...9 i

10 Caíulo 7 Conclusões e Recomendações...93 Referências Bibliográficas...96

11 Índice de Figuras Figura 2. Taas de Falhas da Disribuição Weibull... 2 Figura 4.a Diagrama Unifilar Simlificado Sisema de Surimeno Elérico Normal SSEN Figura 4.b Diagrama Unifilar Simlificado Sisema de Surimeno Elérico de Emergência SSEE Figura 4.c Diagrama Unifilar Simlificado Sisema de Surimeno Elérico de Emergência 2 SSEE Figura 5. Diagrama de Transição de Esados ara os Geradores Diesel de Emergência dos SSEE e SSEE Figura 6.2a Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 4 anos ª Simulação Figura 6.2b Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 4 anos ª Simulação Figura 6.2c Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos ª Simulação Figura 6.2d Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos ª Simulação Figura 6.2e Curva Tíica das Soluções das Equações de McKendrick Figura 6.2f Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE ª Simulação Figura 6.2g Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE 2 ª Simulação Figura 6.3a Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 4 anos 2ª Simulação Figura 6.3b Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 4 anos 2ª Simulação Figura 6.3c Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 2ª Simulação Figura 6.3d Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 2ª Simulação i

12 Figura 6.3e Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE 2ª Simulação... 8 Figura 6.3f Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE 2 2ª Simulação... 8 Figura 6.4a Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 3ª Simulação... 8 Figura 6.4b Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 3ª Simulação Figura 6.4c Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 3ª Simulação Figura 6.4d Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 3ª Simulação Figura 6.5a Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 4ª Simulação Figura 6.5b Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 4ª Simulação Figura 6.5c Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 4ª Simulação Figura 6.5d Disonibilidade Média ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 4ª Simulação Figura 6.6a Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 5ª Simulação Figura 6.6b Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 5ª Simulação Figura 6.7a Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 6ª Simulação Figura 6.7b Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 6ª Simulação Figura 6.8a Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 6 anos 7ª Simulação... 9 Figura 6.8b Probabilidade de Falhas ara os Geradores Diesel do SSEE 2 6 anos 7ª Simulação... 9 ii

13 Índice de Tabelas Tabela 4. Cargas Essenciais do SSEN... 4 Tabela 4.2 Cargas Essenciais do SSEE Tabela 4.3 Cargas Essenciais do SSEE Tabela 5. Condições de Falha e Ações de Rearo ara os Geradores Diesel de acordo com as Esecificações Técnicas... 6 Tabela 5.2 Reresenação dos Geradores Diesel e de seus Esados no Diagrama de Transição de Esados Tabela 6. Taas de Rearo Consanes Probabilidade de Falha Esacionária... 9 Tabela 6.2 Taas de Rearo Consanes Disonibilidade Média... 9 iii

14 Lisa de Siglas NRC WANO CNAAA SAAA SSEE SSEN Nuclear Regulaory Comission World Associaion for Nuclear Oeraors Cenral Nuclear Almirane Álvaro Albero Sisema de Água de Alimenação Auiliar Sisema de Surimeno de Energia Elérica Sisema de Surimeno Elérico Normal SSEE Sisema de Surimeno Elérico de Emergência SSEE 2 Sisema de Surimeno Elérico de Emergência 2 JR DLS EDLS XJN XJV XJP XJQ XJR XJG Sisema de Proeção do Reaor SPR Passos de Carregameno do Diesel Diesel Load Se Passos de Carregameno do Diesel 2 Emergency Diesel Load Se Sisema de Combusível do Diesel Sisema de Óleo Lubrificane do Diesel Sisema de Ar Comrimido do Diesel Sisema de Ar de Combusão do Diesel Sisema de Gás de Escae do Diesel Sisema de Refrigeração do Diesel XK/XJ Gruo Gerador Diesel 2XK/XJ Gruo Gerador Diesel 2 3XK/XJ Gruo Gerador Diesel 3 4XK/XJ Gruo Gerador Diesel 4 5XK/XJ Gruo Gerador Diesel 5 6XK/XJ Gruo Gerador Diesel 6 iv

15 7XK/XJ Gruo Gerador Diesel 7 8XK/XJ Gruo Gerador Diesel 8 RESA TUSA FSAR CFOL Desarme Auomáico do Reaor Desarme Auomáico da Turbina Final Safey Analysis Reor Curso de Formação de Oeradores Licenciáveis v

16 Caíulo Inrodução.. Considerações Iniciais O funcionameno rolongado e eficiene de equiamenos e sisemas de um modo geral é uma eigência vial em muios domínios. Nos serviços como a geração e disribuição de energia ou nos serviços de ransores or eemlo as falhas súbias causadas or faores aleaórios devem ser enendidas e conrabalançadas a fim de que danos não só econômicos mas esecialmene sociais ossam ser eviados. Também nas indúsrias hoje caracerizadas elo grande volume de rodução e ala comleidade doadas de sofisicados sisemas de auomação e conrole imõe-se com grande acuidade a necessidade de que sejam conhecidas e conroladas as ossibilidades de falhas arciais ou globais que ossam comromeer a missão roduiva. Tais eigências imulsionaram a criação e o desenvolvimeno de um ramo da ciência denominado Teoria da Confiabilidade. Essa eoria reúne écnicas cujo roósio é calcular as robabilidades de falhas dos sisemas endo or escoo os méodos os criérios e as esraégias que devem ser uilizados nas fases de conceção rojeo desenvolvimeno oeração manuenção e disribuição de modo a garanir-se o máimo de eficiência segurança economia e duração ara o sisema. Enende-se or sisema um gruo ordenado de comonenes que rabalham junos ara eecuar uma função esecífica AMENDOLA e BUSTAMANTE 986. Quando qualquer desses comonenes não realiza ou realiza de maneira ineficaz a função que lhes foi aribuída diz-se que ocorreu uma falha. Em ouras alavras uma falha ode ser definida como a inabilidade de um sisema ou comonene ara desemenhar bem a função ara a qual foi rojeado. Para que esses efeios indesejáveis sejam eviados desde a fase conceiual de rojeo aé o fim da vida úil do sisema são alicados os conceios da Teoria da Confiabilidade OLIVEIRA 25. Fundamenalmene a Teoria da Confiabilidade em como objeivos rinciais esabelecer as leis esaísicas das robabilidades de ocorrência de falhas em equiamenos e sisemas bem como os méodos que ermiam melhorar esses

17 equiamenos mediane a inrodução de esraégias caazes de alerar índices quaniaivos e qualiaivos relaivos a essas ossíveis falhas uilizando como ferramenas rinciais a Esaísica o conhecimeno eerimenal das causas da falha e dos arâmeros que as caracerizam nos diversos ios de sisemas e as regras e esraégias ara a melhoria do desemenho dos mesmos ossibiliando a conceção de sisemas mais comleos caazes de oerar saisfaoriamene mesmo com a ocorrência de falhas em alguns de seus comonenes mais críicos..2. Hisórico sobre Confiabilidade No início do século assado os roblemas relaivos à confiabilidade eram raados de maneira inuiiva. Uma vez rojeados os equiamenos eram esados e quando não aendiam às eecaivas de bom funcionameno eram enão rerojeados. Tal ráica no enano além de disendiosa eve que ser abandonada a arir da década de 3 ois com o adveno da era indusrial e a crescene demanda or roduos novos comleos e caros uma nova esraégia de análise de confiabilidade assou a ser eigida a fim de ermiir a quanificação do desemenho dos roduos de modo ráido e objeivo diminuindo a quanidade de falhas e ornando o roduo comeiivo no mercado. Ainda na década de 3 omando-se o eemlo das aeronaves eressava-se a confiabilidade em ermos de um número médio de falhas ara aviões. Já na década de 4 alguns requisios fiavam a aa de acidenes em um a cada. horas de vôo OLIVEIRA e al A arir da década de 5 a confiabilidade ganhou um novo enfoque e assou a figurar como uma ramificação da Engenharia esecialmene na Engenharia Elerônica onde os conceios da confiabilidade foram basane uilizados em função da comleidade crescene dos sisemas. Aos oucos foi-se ercebendo que era muio melhor invesir no rojeo de equiamenos mais confiáveis do que desender emo e recursos com rearos e manuenções. Conceios esaísicos foram gradaivamene sendo inroduzidos ossibiliando o desenvolvimeno de sisemas cada vez mais comleos caazes de oerar com um número bem menor de insucessos. Mais arde na década de 6 foi realizada a rimeira análise dealhada dos efeios da falha em comonenes na erformance de um sisema e ambém na segurança 2

18 de essoas e de insalações indusriais. Possibiliou-se a uilização ela indúsria nuclear de esudos de acidenes oenciais durane a fase de rojeo. Nas décadas de 7 e 8 a indúsria nuclear eve grande ariciação nas inovações inseridas nos méodos ara a redição e análise de riscos nas indúsrias. Vários ios de indúsrias como a eroquímica or eemlo assaram a adoar écnicas ara a modelagem rediiva da confiabilidade LINS 23. Nos dias auais uma nova reocuação mobiliza esudiosos da área nuclear no mundo ineiro: o roblema relacionado com o envelhecimeno das cenrais nucleares róimas a comlearem 4 anos de oeração. Esse roblema vem chamando a aenção dos órgãos resonsáveis elo licenciameno e ela oeração das unidades que esudam criérios ara a eensão da vida úil qualificada dessas usinas. Como udo o que diz reseio à área nuclear onde a segurança é semre faor rioriário esses criérios ão almejados devem esar de acordo com odos os requisios de segurança esiulados em rojeo e relacionados não aenas a asecos écnicos e econômicos mas rincialmene aos asecos da confiabilidade..3. Revisão Bibliográfica A análise markoviana LEWIS 994 e SINGH e BILLINTON 977 ermie o cálculo da confiabilidade e da disonibilidade de sisemas que esão denro de seu eríodo de vida úil ois denro desse eríodo a aa de falha do sisema é considerada consane. A confiabilidade de sisemas que esão em fase de envelhecimeno não segue os modelos que descrevem os sisemas que esão denro de seu eríodo de vida úil. Para sisemas que já enraram no eríodo de envelhecimeno deve-se levar em consideração o aumeno crescene da aa de falha que cresce raidamene devido a vários faores desacando-se enre eles a fadiga do maerial. Para esses sisemas a análise markoviana não é adequada ois nesse eríodo a aa de falha deia de ser consane e assa a ser crescene com o emo. OLIVEIRA 25 fez uma análise da confiabilidade do Sisema de Água de Alimenação Auiliar SAAA da Cenral Nuclear de Angra considerando o envelhecimeno do mesmo e uilizando as hióeses de rearo mínimo LINS 23 ou ão ruim quano velho as bad as old e rearo erfeio LINS 23 ou ão bom quano 3

19 novo as good as new uilizando dois méodos ara a modelagem de sisemas sob envelhecimeno os quais são: o Méodo dos Eságios BILLINTON e ALLAN 983 e o Méodo das Variáveis Sulemenares SINGH e BILLINTON 977 emregados na ransformação de sisemas não-markovianos em sisemas markovianos. Os resulados obidos aravés da uilização dos dois méodos foram comarados alicando-se uma aa de falha média ara a reresenação do eríodo de envelhecimeno. LINS 23 aresenou duas meodologias ara o cálculo da confiabilidade de sisemas sob envelhecimeno cujos modelos foram oimizados or algorimos genéicos GOLDBERG 989 baseadas na uilização do Méodo dos Eságios o qual como dio aneriormene ermie ransformar sisemas não-markovianos em sisemas markovianos equivalenes. Vários eses foram realizados com diferenes disribuições de robabilidades ara diferenes sisemas e os resulados obidos com a uilização das meodologias roosas foram comarados com resulados obidos or ouras meodologias. Um dos eses consisiu no cálculo da confiabilidade de uma versão simlificada do Sisema de Água de Alimenação Auiliar SAAA da Cenral Nuclear de Angra. OLIVEIRA 2 aresenou o desenvolvimeno de um méodo de análise da confiabilidade de sisemas sob envelhecimeno e sob rearo mínimo uilizando o Méodo das Variáveis Sulemenares e Inversão de Lalace ara reduzir o número de equações a serem resolvidas or écnicas numericamene aroimadas uilizando o méodo de Inegração de Gauss-Legendre o qual devido à sua ala velocidade comuacional eecua muio raidamene o raameno da variável emo. Da mesma forma que as referências aneriores mais uma vez o Sisema de Água de Alimenação Auiliar SAAA da Cenral Nuclear de Angra foi uilizado na alicação da meodologia roosa. CROSSETTI 26 alicou as meodologias desenvolvidas or LINS 23 realizando o cálculo da confiabilidade do Sisema Elérico da Cenral Nuclear de Angra considerando o envelhecimeno do sisema. SANT ANA 26 aresenou uma modelagem das incerezas associadas às falhas de causa comum considerando diversidade e envelhecimeno analisando sob o ono de visa da influência desses dois faores a robabilidade de falha dos sisemas. Já no âmbio da eensão da vida úil qualificada de equiamenos de cenrais nucleares SALDANHA 23 aborda a alicação de rocessos onuais modulados à avaliação do envelhecimeno. Os rocessos modulados raados nesa referência servem 4

20 ara descrever os emos de falhas ara um sisema rearável RIGDON e BASU 2 imlicando em que o sisema eseja deois do rearo eaamene como esava anes da falha ermiindo que o sisema seja afeado ano ela falha como elo rearo sendo desa maneira adequado ara avaliar evenos que incororem endências no emo ou que ossuam caracerísicas do rocesso de renovação BEICHELT 26. PINHO 2 discue o Méodo das Variáveis Sulemenares ara o cálculo da disonibilidade de equiamenos sujeios ao envelhecimeno uilizando a hióese de rearo erfeio. Para a modelagem do roblema foram uilizados sisemas de equações diferenciais arciais de rimeira ordem obendo-se um eorema de eisência e unicidade ara sisemas de dois esados e resolvidos diversos eemlos numéricos..4. Imorância A eensão da vida úil de cenrais nucleares em oeração comercial no mundo ineiro é sob o ono de visa econômico e social uma oção viável e basane araiva ara emresas rorieárias de usinas nucleares. Vários faores êm moivado os órgãos resonsáveis em odo o mundo a buscarem meios de se esender o emo de vida úil de suas usinas. Um desses faores esá direamene relacionado com o descomissionameno das unidades uma vez que várias delas esão chegando ao final de sua vida úil ou seja enraram em fase de envelhecimeno. Quando uma usina nuclear ermina o seu ciclo de vida e é descomissionada a concessionária de energia elérica que a oera não ode consruir uma nova usina nuclear nese aís o que resula em uma queda considerável em seu faurameno. Se for levado em cona que a rodução diária de uma usina nuclear reresena um movimeno moneário que ode facilmene alcançar cifras acima de US$ milhão o ineresse dessas emresas em esender o emo de funcionameno de suas usinas nucleares é erfeiamene elicável OLIVEIRA 2. Um segundo faor não menos imorane é a crescene demanda or energia elérica no mundo. No Brasil aricularmene ese fao ôde ser comrovado ela crise energéica em 2 caracerizada ela ameaça de racionameno de energia elérica na éoca oularmene chamada de aagão. Um erceiro faor esá relacionado com a eansão da mariz ermonuclear que enconra-se susensa em alguns aíses e novamene odemos ciar o Brasil como um 5

21 bom eemlo onde eise o imasse quano à consrução da Cenral Nuclear de Angra 3 com diversas correnes de ensameno quesionando os cusos financeiros e sociais necessários ara a consrução de uma nova usina OLIVEIRA 25. Desa forma ornam-se indisensáveis os esudos que ossam garanir que os sisemas que comõem uma cenral nuclear coninuem oerando elo maior emo ossível denro é claro dos arâmeros e requisios de segurança eigidos..5. Objeivo e Moivação Em dezembro de 99 a NRC Nuclear Regulaory Comission emiiu regras que descrevem como o licenciado deve esar caaciado a demonsrar que a unidade ode coninuar oerando or 2 anos adicionais aós a eiração dos 4 anos de licença. Esas regras foram esabelecidas nos CFR5 99 requisios de roeção ambienal e CFR requisios écnicos sendo denominadas Renovação de Licença SALDANHA 23. A eensão da vida úil de cenrais nucleares é imorane do ono de visa econômico orém a segurança faor imrescindível não ode ser descarada ou subesimada. Ese fao nos leva a inferir que recisamos avaliar o envelhecimeno dessas unidades a fim de aumenar a vida úil e a disonibilidade das mesmas. Em função diso como viso no iem.3 esudos considerando faores como envelhecimenos rearos enre ouros foram realizados ao longo dos anos oferecendo resulados e informações imoranes ara a oeração e ara a manuenção desas usinas. O resene esudo busca fornecer mais uma conribuição nesa área aravés de uma análise da confiabilidade dos geradores diesel de emergência de uma cenral nuclear PWR íica de quaro loos ou circuios de vaor considerando as hióeses de envelhecimeno e de rearo erfeio elo Méodo das Variáveis Sulemenares. A Cenral Nuclear Almirane Álvaro Albero CNAAA Unidade 2 ou simlesmene Cenral Nuclear de Angra 2 de roriedade da Elerobrás Termonuclear S.A. ELETRONUCLEAR é omada como referência ara o resene esudo embora a descrição não se limie a ese sisema. Por raar-se de uma usina nova em oeração comercial desde Julho de 2 quando a unidade foi sincronizada à rede o objeivo dese rabalho é simular as 6

22 condições de envelhecimeno ara os geradores diesel de emergência da cenral nuclear bem como calcular as robabilidades de falha e disonibilidades desses geradores de acordo com as idades. Várias idades foram aribuídas a esses equiamenos durane o rocesso de obenção dos resulados simulando o envelhecimeno. Os hisóricos oeracionais dos geradores diesel de Angra 2 revelam que quando demandados eles êm aendido às eecaivas de bom funcionameno no que diz reseio aos faores óimos esimados ela usina os quais são equivalenes aos esabelecidos ela WANO World Associaion for Nuclear Oeraors ara cenrais PWR de dois loos. Porano em função do bom desemenho desses equiamenos e do fao de esarem em oeração comercial há aenas seis anos sob o ono de visa do envelhecimeno a esimação de uma aa de falhas que udesse dar suore ao modelo desenvolvido ornou-se disensável devido a não evidência dessas endências de envelhecimeno. Como o objeivo dese rabalho é simular esse envelhecimeno foram adoados como dados de enrada ara o arâmero aa de falhas dos geradores os mesmos adoados or CROSSETTI 26 ara os geradores diesel de Angra os quais enconram-se no início da segunda meade de seu eríodo de vida úil. Vale ressalar que os geradores diesel de Angra rincialmene os GD A e GD B no início de sua oeração aresenaram um alo índice de falhas sendo do mesmo fabricane que os geradores diesel de Angra 2. No que diz reseio a dados de rearo aas de manuenção foram adoados os valores esiulados nas Esecificações Técnicas FSAR 25 dos equiamenos. Além disso no âmbio dos esudos desenvolvidos no PEN Programa de Engenharia Nuclear / COPPE sobre sisemas sob envelhecimeno ela rimeira vez foram esiuladas aas de rearo desconínuas ou seja aas de rearo considerando duas siuações disinas durane oerações: denro e fora dos requisios das Esecificações Técnicas. Se comarados aos geradores diesel de emergência da Cenral Nuclear de Angra os quais esão disoníveis ara oeração comercial desde o final de 984 os geradores diesel de emergência de Angra 2 aualmene esão com menos emo de oeração comercial o que oderia levar a um ossível quesionameno sobre a aribuição do faor envelhecimeno aos geradores de Angra 2 em lugar dos geradores de Angra. Essa aribuição deve-se ao fao de que aesar das diferenças enre o resene esudo e o rabalho realizado or CROSSETTI 26 ara Angra nenhum esudo semelhane a ese havia sido realizado ara Angra 2 aé enão. 7

23 Oura grande moivação ara o desenvolvimeno dese rabalho foi a ossibilidade de simular o envelhecimeno de um equiameno imoraníssimo sob o ono de visa da segurança como é o caso dos geradores diesel de emergência deerminando suas robabilidades de falhas e suas indisonibilidades de acordo com as idades a eles aribuídas ornando ossíveis omadas de decisões e esraégias de manuenção muio mais oimizadas no resene visando no fuuro um acréscimo na sua vida úil..6. Esruura da Disseração O Caíulo 2 é dedicado à definição dos conceios básicos sobre confiabilidade que serão uilizados no decorrer dese esudo de modo a ornar mais fácil o enendimeno dos caíulos subseqüenes. O Caíulo 3 aresena fundamenos maemáicos básicos sobre o Méodo das Variáveis Sulemenares bem como a eoria da modelagem de um sisema considerando a hióese de rearo erfeio. Ainda nese caíulo descreve-se o méodo numérico ara a solução de equações diferenciais arciais ara a modelagem das Variáveis Sulemenares. No Caíulo 4 descreve-se de uma maneira simlificada o funcionameno do Sisema Elérico da Cenral Nuclear de Angra 2 e conseqüenemene dos geradores diesel de emergência que serão modelados. No Caíulo 5 enconra-se a modelagem dos geradores diesel de emergência da Cenral Nuclear de Angra 2 uilizando-se o Méodo das Variáveis Sulemenares. O Caíulo 6 aresena os resulados obidos a arir da modelagem do sisema do caíulo anerior. No Caíulo 7 enconram-se as conclusões e recomendações ara rabalhos fuuros. 8

24 Caíulo 2 Conceios Básicos sobre Confiabilidade 2.. Inrodução Ese caíulo é dedicado à definição dos conceios básicos sobre confiabilidade que serão uilizados no decorrer dese esudo. A lieraura sobre esse assuno é basane abrangene e ainda não ossui uniformidade ara odos os conceios e erminologias. Em virude dessa variedade de ermos comumene uilizados buscou-se de uma maneira clara direa e objeiva a definição dos rinciais conceios de ineresse de modo a ornar mais fácil o enendimeno dos róimos caíulos Confiabilidade R O emo de vida úil de um sisema é medido a arir do início de sua oeração nascimeno aé a sua falha oal more onde se admie que a falha é um eveno insanâneo. No coneo da Engenharia a falha de um sisema não necessariamene significa o fim de sua vida úil. Se considerarmos X como sendo a variável aleaória emo de vida com função de disribuição F enão F é chamada de robabilidade de falha e R F é chamada de confiabilidade ou robabilidade de sobrevivência com reseio ao inervalo [] ois F e R são as resecivas robabilidades de que o sisema falhe ou não falhe em [] BEICHELT Taa de Falha λ Seja F a função de disribuição do emo de vida residual X de um sisema que enha funcionado or um dado eríodo de emo sem falhas: F P X P X X > 2. 9

25 De acordo com o Teorema da Probabilidade Condicional JAMES 996 ara e obemos: F P X X P X > > P < X P X > F F R 2.2 Um sisema esá envelhecendo no inervalo [ 2 ] < 2 se ara um arbirário orém fio a robabilidade de falha condicional F esiver aumenando ara um emo nese inervalo. Considerando a eisência da densidade de falha f F oura aroimação ara modelar o comorameno do envelhecimeno de um sisema é baseada no conceio da sua aa de falha. A robabilidade de falha condicional F de um sisema no inervalo [ ] é considerada relaiva ao comrimeno dese inervalo. Esa é uma robabilidade de falha condicional or unidade de emo iso é uma aa de robabilidade de falha : F F F F lim. R f R 2.3 Esse limie é chamado de aa de falha e é denoado or: f λ 2.4 R Como conseqüência um sisema esá envelhecendo no inervalo [ 2 ] < 2 se λ esiver aumenando ara um emo nese inervalo BEICHELT Sisema Rearável Um sisema é definido como rearável quando aós a ocorrência de uma falha ele for rearado e volar a funcionar.

26 2.5. Sisema Não Rearável Um sisema é definido como não rearável quando aós a ocorrência de uma falha ele for descarado Rearo Mínimo As Bad as Old Ocorre quando a aa de falha aós o rearo do sisema é igual à aa de falha que o sisema ossuía imediaamene anes da falha. É a siuação de ão ruim quano velho ASCHER e FIENGOLD Rearo Perfeio As Good as New Ocorre quando a aa de falha aós o rearo do sisema é igual à aa de falha que o sisema ossuía quando era novo ou seja quando. É a siuação de ão bom quano novo ASCHER e FIENGOLD Taa de Rearo µ É definida como a robabilidade condicional do sisema er sido rearado em um inervalo de emo [ e d] uma vez que o sisema enha falhado em : µ P d > Disonibilidade A É a robabilidade de um comonene ou sisema esar em condições de realizar uma deerminada função sob deerminadas condições em um insane. Quando um sisema não é rearável o conceio de disonibilidade confunde-se com o de confiabilidade iso é R A.

27 Já a disonibilidade média em um inervalo de emo [] é dada ela seguine eressão LEWIS 994: A * T T A d Modelos de Envelhecimeno A disribuição de Weibull é uma das mais uilizadas em confiabilidade e sua definição aresena-se sob duas formas a dois ou a rês arâmeros e é a maniulação deses arâmeros que ossibilia que diversas aas de falhas ossam ser modeladas aravés desa disribuição. Quando definida ara dois arâmeros geralmene são uilizados m como arâmero de forma ou faor de forma e θ ' como arâmero de escala ou faor de escala LEWIS 994. A Figura 2. mosra as aas de falhas da disribuição Weibull ara diversos arâmeros m. Para m emos a disribuição eonencial aa de falha consane ara m < emos o eríodo de amaciameno ou eríodo de falha remaura aas decrescenes e ara m > emos o eríodo de envelhecimeno aas de falha crescenes. 3/θ m 4 m 2 2/θ λ /θ m m 5 θ 2θ 3θ Figura 2.. Taas de Falhas da Disribuição Weibull. 2

28 onde: m λ m θ θ 2.7 m f θ θ e θ m m 2.8 O resene esudo irá deer-se na disribuição de Weibull a dois arâmeros ois os dados de falha uilizados como referência nese rabalho serão os mesmos uilizados or CROSSETTI 26 na modelagem realizada ara o Sisema Elérico de Angra em função da indisonibilidade desses dados ara Angra Processos Markovianos Um rocesso esocásico é uma família de variáveis aleaórias X observadas em diferenes emos ou de um modo geral o rocesso é indeado elo arâmero e definido em um esaço de robabilidade esecífico. Um esado é um valor assumido or uma variável aleaória e o esaço de esado de um rocesso esocásico é o conjuno de odos os ossíveis valores que a variável aleaória ode assumir KARLIN 975. Um rocesso esocásico é dio markoviano se: Pa < X < b X X n n Pa < X < b X n n < < n. 2.9 Sisemas markovianos são considerados rocessos sem memória uma vez que a hisória assada do sisema não imora ara a definição da condição fuura a qual é deerminada aenas elo esado resene. Um rocesso esocásico markoviano com esaço de esado discreo como or eemlo 3 Geradores funcionando e Gerador falho e emo conínuo como or eemlo o emo de falha é referido como sendo um rocesso de Markov LEWIS

29 Sejam S S 2... Sn os n esados de um rocesso markoviano com emo conínuo. Transições or eemlo um gerador que eseja falho seja submeido à manuenção e vole a funcionar ocorrem de um esado ara ouro deerminadas or um conjuno de números ρ ij chamados de aa de ransição de esados e o sisema coninuamene ermanece enre ransições de esados. Seja ρ ij a aa de ransição do esado S i ara S j enão ρ ij P ij é a robabilidade de ransição do esado S i ara o esado S j no inervalo de emo. Se P i é a robabilidade de enconrarmos o sisema em S i no emo enão a robabilidade de enconrarmos o sisema em S i em é dada ela equação: n n Pi ρji Pj ρij Pi 2. j j j i j i A robabilidade de enconrarmos o sisema em S i em é a soma das robabilidades do sisema assar de odos os esados S j j...n j i ara o esado S i no inervalo de emo mais a robabilidade do sisema não assar do esado S i ara odos os esados S j ou seja ermanecer em S i no inervalo de emo. Com isso emos a seguine idéia do balanço de robabilidade: A robabilidade de se esar em um esado é a soma de odas as robabilidades que chegam ao esado menos as robabilidades que saem do esado. Dividindo a equação 2. or subraindo-se P i em ambos os lados e fazendo ender a zero emos: n P ρ P ρ P i... n 2. i ji j ij i j j i j j i n Para odo i...n emos um sisema de n equações diferenciais ordinárias lineares e de coeficienes consanes PINHO 2. 4

30 2.2. Processos de Renovação Um rocesso de renovação é um rocesso esocásico que ode ser descrio da seguine maneira: Seja A um sisema que falhou enquano esava em oeração e B um sisema idênico a A. Se A quando da falha for imediaamene subsiuído or B e B coninuar a oerar do mesmo modo que A anes do momeno da falha diz-se que houve uma renovação. Generalizando é um rocesso esocásico definido or: Seja T k uma seqüência de variáveis aleaórias idenicamene disribuídas com função de robabilidade dada or F k que reresena o emo de vida de algumas unidades. A rimeira unidade começa a oerar em um emo a rimeira falha ocorre em um emo e é imediaamene subsiuída. A segunda falha ocorre em um emo 2 que é um emo chamado de segunda renovação. O emo da enésima renovação é igual a 2... n. Definimos um rocesso de conagem N onde N é chamado de Processo de Renovação de Conagem. Noe que N é o número aleaório de renovações em ]. ma n; T N < T n 2.2 O valor médio de N é chamado de função de renovação que ara seguirmos a erminologia aual denoaremos como H. Suondo que H é derivável com derivada h resecivamene e realizando alguns cálculos BEICHELT 26 chegamos à seguine equação de renovação: H F H df 2.3 As equações inegrais do io da equação 2.3 e equações semelhanes a ela são chamadas de equações de renovação que são um io de equação inegral de Volerra. Definições mais dealhadas sobre essas equações e sobre o eorema da 5

31 eisência e unicidade bem como sobre a análise de esabilidade odem ser enconradas em BURTON 983 e RIGDON e BASU Conclusão Nese caíulo fez-se uma equena seleção dos conceios básicos sobre confiabilidade que serão uilizados nos róimos caíulos desa disseração. Em esecial desaca-se a Equação de Renovação que será alicada mais adiane no caíulo 5 na modelagem das equações de Variáveis Sulemenares uilizando-se a hióese de rearo erfeio. 6

32 Caíulo 3 Equações de Variáveis Sulemenares 3.. Inrodução Ese caíulo raa da eoria maemáica das variáveis sulemenares que mais adiane no Caíulo 5 dará suore ao algorimo que será uilizado na modelagem dos geradores diesel de emergência. Inicialmene são aresenados alguns asecos básicos sobre a modelagem maemáica sobre um esudo ara a solução analíica e sobre o méodo ara a solução numérica. Alguns modelos são uilizados na elicação de fenômenos comleos. A finalidade desa uilização é faciliar o enendimeno desses fenômenos aravés de rocessos básicos mais simles. Por isso esses modelos são chamados de modelos elicaivos. Um famoso eemlo de modelo elicaivo é a Teoria de Newon ara o movimeno dos laneas elo qual o comleo movimeno do sisema solar foi descrio como sendo uma conseqüência de força massa aceleração e o quadrado inverso da lei graviacional. Enreano nem odos os modelos odem ser considerados elicaivos como or eemlo é o caso do modelo de Black-Scholes ara a descrição da evolução de reços no mercado financeiro muio usado or invesidores em odo o mundo. Esse modelo diz que a diferença ercenual enre os reços de mercado de um dia ara o ouro é uma variável aleaória e que segue uma disribuição lognormal. Embora esa seja uma boa simlificação aenas ossibilia saber a média e a variância desa disribuição nada eliciando sobre o que ossa causar a mudança dos reços HOWISON 25. Seguindo essa idéia e com o objeivo de elicar de uma maneira mais simles e mais elegane a filosofia do Méodo das Variáveis Sulemenares foram inroduzidos alguns conceios sobre a modelagem de sisemas biológicos esecialmene a modelagem dinâmica de uma oulação com a inenção de fazer uma comaração enre a hióese de rearo erfeio adoada ara ese rabalho e o rocesso de renovação. 7

33 Além disso esse aralelo conribui ara faciliar o enendimeno de modelos não lineares como é o caso da confiabilidade dinâmica COCOZZA e al. 26. Quando um modelo maemáico é analisado faz-se necessário saber se ele em solução ara que condições ele em solução e finalmene se essa solução é única. No que diz reseio aos méodos numéricos uilizados ara a solução de roblemas relacionados à confiabilidade de sisemas onde o emo é faor relevane ressala-se ara alguns casos a comleidade do roblema eisindo vários esudos sobre os méodos de solução mais eficienes denre os quais desacam-se: COCOZZA e al. 26 PINHO e al. 999 e PINHO e al. 25. No resene esudo aresena-se um novo méodo ieraivo ara o sisema de variáveis sulemenares e como conseqüência do esudo da solução analíica uma are dessa solução é uilizada no méodo numérico Modelagem Biológica Hisoricamene a ligação enre a biomaemáica e a confiabilidade foi iniciada em 96 quando Volerra modelou uma equação inegral Equação Inegral de Volerra com o objeivo de analisar a dinâmica de eies no mar Adriáico. Em 94 Feller soube do rabalho desenvolvido or Volerra e modelou as equações do rocesso de renovação descrio no caíulo anerior do resene esudo BURTON 983. Do mesmo modo aconeceu ara as equações de variáveis sulemenares. Em 926 McKendrick modelou as equações da dinâmica oulacional e em 955 Co modelou as equações de variáveis sulemenares PINHO 2. Foi McKendrick quem rimeiro inroduziu o conceio de envelhecimeno em uma esruura dinâmica ara uma oulação de um único seo. O modelo desenvolvido or ele assumia que a oulação feminina oderia ser descria como função de duas variáveis: a idade e o emo. Para ilusrar o que foi feio or McKendrick considera-se: Seja a densidade de indivíduos com idade em um insane iso é o número de indivíduos com idade enre e no insane é aroimadamene. 8

34 9 A oulação oal em um insane é aroimadamene. O limie quando ende a zero é. d. Define-se a oulação oal como: P. d 3. Na ráica é razoável eserar que ara maior que um cero como or eemlo a idade máima ara os seres humanos: anos CASTILLO-CHAVEZ e BRAUER 2. McKendrick assumiu que os membros da oulação deiavam de fazer are dela aenas em função de suas mores com aa de more igual a λ. Iso significa que denro do inervalo de a uma fração λ de membros com idades enre e ii morreram no insane onde. No insane eisem indivíduos com idades enre e. Enre os insanes e o número de mores de indivíduos com esa idade é λ e os sobrevivenes com idades enre e em um insane. Temse enão: λ 3.2 Dividindo-se a equação 3.2 or obém-se: λ 3.3 Assumindo que a densidade é uma função diferenciável de e obém-se: lim lim lim lim 3.4

35 Fazendo ender a zero na equação 3.3 e subsiuindo na equação 3.4 obém-se: λ 3.5 A equação 3.5 é chamada de Equação de McKendrick. Agora assume-se que eise um rocesso de nascimeno governado or uma função [µ] chamada de aa de nascimeno iso é µ é o amanho da role formada or indivíduos com idades enre e no inervalo de emo enre e. Enão o número oal de nascimenos enre e o insane é µ enão: d µ µ 3.6 Esa quanidade ambém é ou seja obém-se a Condição de Renovação. µ d 3.7 Com isso obém-se: λ 3.8 Com condição inicial: f 3.9 E condição de conorno: µ d 3. 2

36 Uma oura maneira de modelar-se a equação de McKendrick ode ser visa em MURRAY 22. Seja a densidade da oulação em um insane com idade enre e e µ e λ as aas de nascimeno e more resecivamene. Para um incremeno infiniesimal de emo d o número de mores da oulação com idade é: λd. A aa de nascimenos só conribui ara o que indica que não odem eisir nascimenos com idades >. Enão ela lei da conservação da oulação aa de variação da oulação número de nascimenos número de mores migração em-se: d d d - λ d 3. Dividindo or d e noando que d / d onde é a idade cronológica em-se: - λ 3.2 Analogamene à modelagem anerior em-se: f 3.3 µ d 3.4 Essa equação aarece em diferenes áreas da Biologia como em modelos de roliferação modelos eidemiológicos enre ouros onde a idade é um faor imorane Variáveis Sulemenares A idéia básica do Méodo das Variáveis Sulemenares é a inclusão de variáveis adicionais aé o sisema ornar-se markoviano COX e MILLER 965 e COX

37 Em PINHO 2 ode ser observado como é realizada a modelagem uilizando a inclusão de variáveis sulemenares deduzindo-se os mesmos sisemas de equações que são modelados ela Biologia. Pode-se considerar a ransição enre os esados de falha como ransições de uma oulação ara diversos esados. Desa forma orna-se ossível a uilização da mesma écnica descria no iem anerior ara a modelagem das ierações de falhas em equiamenos aravés da analogia enre a aa de falha e a aa de moralidade e do mesmo modo enre a aa de rearo e a aa de nascimenos. Assim ara um sisema de dois esados MURRAY 22 uilizando-se as equações e 3.4 obém-se: λ µ f µ 2 d 3.9 λ d Para um sisema de H esados MURRAY 22 emos um sisema da forma: i i i i λ 3.2 f 3.22 i 2... H

38 i j H j µ ij d i... H 3.24 onde ij µ e i λ são as aas de ransições de esados Conceios Básicos sobre Equações Diferenciais de ª Ordem A idéia rincial ara resolver-se uma equação diferencial arcial de rimeira ordem EDP consise em ransformá-la em um sisema de equações diferenciais ordinárias EDO GUSTAFSON 999 e IÓRIO 99. A resene disseração de acordo com o que foi mosrado nos arágrafos aneriores irá raar de equações semelhanes à equação 3.2. Para isso inicia-se com uma equação mais simles chamada de Equação de Translação GUSTAFSON com a condição inicial f. De acordo com a Regra da Cadeia do Cálculo Diferencial e Inegral a derivada oal da função fica da seguine forma: d d d d d d 3.26 Se uderem ser enconradas curvas do lano IR 2 ais que d / d nessas curvas chamadas de Caracerísicas da Lei de Conservação obém-se: d d d 3.27 d d d Como nos mosra a equação 3.27 em-se que a solução é consane ao longo da caracerísica. Enão é a solução desde que a função f seja conínua com 23

39 derivada rimeira conínua na região de ineresse da solução chamaremos de solução C TVEITO e WINTHER 998. Considera-se agora a seguine condição h enão a solução dese novo roblema fica da seguine forma: 3.28 h 3.29 f 3.3 Suondo que g h e g h enão conforme TVEITO e WINTHER 998: f 3.3 g > Trabalha-se agora com a seguine equação: λ 3.32 f 3.33 h 3.34 Seja ψ uma função al que: * ψ 3.35 Enão: * ψ * ψ

40 * ψ 3.37 Subsiuindo-se as equações e 3.37 na equação 3.32 obém-se: * ψ * ψ * ψ - * ψ λ 3.38 Fazendo-se ψ - ψ λ obém-se: Ψ e λ d 3.39 A equação 3.39 é uma função chamada de faor inegrane ara a equação Com isso a equação 3.38 fica da seguine forma: * * 3.4 Subsiuindo-se as equações 3.34 e 3.35 em 3.37 obém-se: * h / ψ 3.4 * f / ψ 3.42 Logo elas equações e 3.3 a equação 3.4 com as condições 3.4 e 3.42 obém-se: f / Ψ * 3.43 g / Ψ > Subsiuindo-se 3.39 em 3.43 obém-se a solução de e 3.34 da seguine forma: 25

41 26 > Ψ g Ψ Ψ f Ψ / / 3.44 Assim ode-se resolver a equação 3.2 com as condições 3.3 e 3.4 alicando-se o faor inegrane 3.39 na equação 3.2 e analogamene ao que foi realizado aneriormene obém-se MURRAY 22: * * 3.45 * f / ψ 3.46 / * Ψ d Ψ µ 3.47 Seja * B na equação 3.43: > Ψ B f / * 3.48 Com isso obém-se: d µ Ψ Ψ Ψ f d/ψ µ B Ψ B 3.49 Que é a Equação de Renovação aresenada no Caíulo 2. Desde que d Ψ Ψ Ψ f µ eisa enão B é a solução da Equação de Renovação. Para rovar a eisência e unicidade da solução da equação 3.2 de acordo com as condições 3.3 e 3.4 basa rovar a eisência e unicidade da solução da equação 3.49 como mosrado em PINHO e al. 25.

42 As EDPs aresenadas no resene esudo são chamadas na lieraura de Equações Diferenciais Parciais Hierbólicas de ª Ordem com Lei de Conservação. O ermo hierbólico ode ser elicado da seguine forma: considerando-se um sisema de EDPs onde u e fu são funções do IR N : u fu 3.5 Enão um sisema formado or equações da Lei de Conservação ode ser ransformado em um sisema quase linear GUSTAFSON 999: u Auu 3.5 onde A é a mariz jacobiana de f. Se os auo valores de A são reais enão o sisema é chamado de hierbólico. No que diz reseio à Lei de Conservação se inegrarmos a equação 3.5 em relação a e eigindo-se que a solução seja C conforme o aresenado em HOLDEN e RISEBRO 22: d d u d f u lim f u 3.52 ou seja a quanidade d u / d é consane conservada ao longo da solução. Para o caso raado nese esudo as quanidades conservadas são as robabilidades ao longo dos esados PINHO 2. De acordo com essas observações ode-se dizer que o sisema de equações que reresenam as variáveis sulemenares é um sisema hierbólico de rimeira ordem de Lei de Conservação Solução Numérica O méodo que será uilizado ara a solução do roblema raado nesa disseração será o méodo de Euler Ieraivo Caracerísica desenvolvido a arir do 27

43 que foi aresenado em PINHO e al. 26. Ese méodo em como caracerísica rincial o uso de are da solução analíica no algorimo do méodo de Euler Ieraivo. Como o caso esudado nesa disseração raa de um sisema com 2 equações diferenciais arciais o fao do méodo ossibiliar o uso de are dessa solução analíica ermie vanagens no que diz reseio à convergência da solução. Ouros méodos já foram uilizados na solução de roblemas semelhanes como o méodo Elício PINHO e al. 999 o méodo das Transformadas de Lalace OLIVEIRA 2 e o méodo dos Volumes Finios COCOZZA e. al. 26. O méodo de Euler Ieraivo Carcerísica aresena as seguines vanagens: - Pare de um méodo incondicionalmene esável e de segunda ordem ANDERSON e. al. 984; - Ao conrário de ACKLEH e ITO 998 que uilizam uma aroimação ara a condição de conorno o méodo de Euler Ieraivo Caracerísica faz ierações ara calcular a condição de conorno or eemlo a equação 3.55 e; - De acordo com o eoso na equação 3.48 sabe-se a solução analíica ara > e orano uiliza-se essa informação como are da solução numérica. Uiliza-se o seguine sisema de equações ara a aresenação do méodo de Euler Ieraivo: λ 3.53 f 3.54 λ d 3.55 Uilizando-se a écnica do faor inegrane aresenado na equação 3.39 e o fao de que λ é a aa de falha bem como f é a densidade de falha em-se enão: * * 3.56 * λ

44 29 * d f 3.58 Alica-se o méodo de Euler Imlício no sisema de equações e A fim de faciliar a maniulação das equações define-se a noação a arir de *. Fazendo-se a discreização no inervalo [X] em I onos com amanhos de discreização e em [T] com J onos com amanho obém-se: j i j i j i j i j i j i 3.6 j i i I i i f d j f ϖ 3.6 onde ω i é o eso de um Méodo da Quadraura a ser mosrado a seguir. Subsiuindo-se as equações e 3.6 nas equações 3.56 e 3.8 em-se: J j I i k k j i j i j i j i onde k 2. Fazendo-se i na equação 3.62 obém-se: J j I i f k k j i i I i i j i j j ϖ 3.63

45 3 Seja i i i f α ϖ. Colocando-se o sisema formado elas equações 3.62 e 3.63 na forma maricial obém-se: j I j j j I j I k k k k k k k k α α α α α 3.64 Define-se: k k k T j I j j 3.66 A mariz do sisema 3.64 não esá na forma maricial e or causa disso usa-se um méodo bloco-ieraivo ara o desacolameno do sisema. Define-se: I k k k k k Q α α α α α 3.67