Mecânica e Ondas. Trabalho I. Conservação da Energia Mecânica da Roda de Maxwell

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1 Mecânica e Ondas Tabalho I Consevação da Enegia Mecânica da Roda de Maxwell Objectivo Deteminação do momento de inécia da oda de Maxwell. Estudo da tansfeência de enegia potencial em enegia de tanslação e de otação. 1. Intodução O sistema a estuda está ilustado nas fotos da figua 1 e consiste numa oda suspensa Figue 1: Foto da montagem a utiliza po dois fios enolados e que ao se lagada iá cai desenolando os fios do seu eixo. No fundo esta montagem ilusta o pincípio de opeação do bem conhecido binquedo infantil iô-iô. A oda está inicialmente tavada po uma ponta metálica que ao solta a oda iá acciona um conómeto paa medi o tempo de queda. No fim do pecuso a oda cotaá o feixe luminoso do sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 1

2 que faá paa a contagem do tempo. Este sistema Lb pode também medi a velocidade instantânea da oda ao cota o feixe luminoso. Alteando a posição do sistema Lb podemos medi o tempo que a oda demoa a cai uma deteminada distância e a velocidade que esta atinge nessa posição. Figua 2: Esquema da ligação do sistema conómeto/célula fotoeléctica (Lb) 1.1 Tansfeência de enegia na queda A enegia total E do disco de Maxwell pode se expessa como a soma da enegia potencial (E p ), enegia cinética de tanslação (E T ) e enegia cinética de otação (E ). Se o disco tive a massa m e o momento de inécia I z no seu eixo de otação, podemos esceve as seguintes igualdades: E = E p + E T + E = m " g " s + m 2 v 2 + I z 2 # 2 (1) onde " epesenta a velocidade angula, v é a velocidade de tanslação, aceleação da gavidade e s é a altua (negativa). g é a Figua 3: Relação ente a vaiação angula oda de Maxwell. d " e a diminuição da altua d s na Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 2

3 aio e Como a elação ente a vaiação do ângulo " e a altua da oda é dado pelo do eixo da oda de Maxwell onde os fios estão enolados (ve Figua 3) d s = d " # (2) v = d s dt = d " dt # = $ #. (3) Neste caso g é paalelo a s e " é pependicula a, e potanto o poduto inteno g " s e o módulo do poduto exteno v = " # (eq. 3) podem esceve-se da foma g " s = #g s (4) v = $ Enegia total do sistema definida em (1) toma a foma E = "m g s(t) + 1 ( 2 m + I z 2 )( v(t) ) 2 (5) Como de acodo com o pincípio da consevação da enegia a enegia total E é constante ao longo do tempo, a sua deivada em odem ao tempo tem de se nula: ou seja de dt = 0 = "m g ds(t) dt 0 = "m g ds(t) dt + ( m + I z 2 )v(t) dv(t). (6a) dt + ( m + I z 2 ) ds(t) dt d 2 s(t) dt 2 (6b) A equação do movimento s(t) pode se obtida da eq. (6b). Paa tal basta pensa que paa satisfaze a eq. (6b) s(t) tem de se esceve da foma s(t) = at 2 + bt + c. Sabendo que as condições t=0 são s(0) = 0 e v(0) = 0 podemos obte s(t) = 1 m g 2 m + I z t 2 (7) 2 e v(t) = ds dt = m g m + I z 2 t (8) Na montagem da Figua 1 a massa m da oda de Maxwell é m = kg e o aio seu eixo é = 2.5 mm. Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 3

4 Da equação (7) pode se utilizada paa detemina o momento de inécia I z a pati do ajuste de uma função tipo Y = A X B aos pontos definidos po um conjunto de paes de valoes (Y, X) = (s,t) como no exemplo da Figua 4. Figua 4: Vaiação de s com t. Recta obtida po ajuste segundo o método dos mínimos quadados Sabendo o momento de inécia I z com a equação (8) podemos detemina a velocidade de tanslação da oda em função do tempo (ve Figua 5). Figua 5: Vaiação da v com t. Recta obtida pela equação (8) Analisando em temos dos váios tipos de enegia envolvidas temos que enegia potencial E p = m " g " s vem em função do tempo da pela posição da oda ao longo do tempo s(t) (ve Figua 6). Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 4

5 Figua 6: Vaiação da enegia potencial E p com t. Po sua vez a enegia de tanslação E T pode se obtida a pati da velocidade ao longo do tempo (ve Figua 7). Figua 7: Vaiação da enegia de tanslação E T com t. Subtaindo uma à outa obtemos a enegia de otação E (ve Figua 8). Figua 8: Vaiação da enegia de otação E com t. Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 5

6 Compaando a Figua 8 com a Figua 6 podemos veifica que paticamente toda a enegia potencial é convetida em enegia de otação. Poque seá? Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 6

7 2. Tabalho expeimental 1) Paa o tabalho expeimental convém veifica a seguinte lista de mateial: 1. Uma oda de Maxwell de 436g 2. Uma baa com escala gaduada e cusoes 3. Ponta de tavamento com dispao 4. Um condensado de 0.1 micof 5. Sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) 2) Usando o paafuso de ajuste na baa de sustentação da oda de Maxwell deve cetifica que o eixo da oda está pefeitamente na hoizontal paa que ao oda a oda no sentido ascendente os fios enolem de foa paa dento. A densidade dos fios enolados deve se igual em ambos os lados. Este alinhamento é citico pois caso não esteja bem afinado existe uma fote tendência da oda se solta patindo os fios e muito possivelmente danifica a montagem. 3) A ponta de tavamento, ou seja a ponta metálica que é intoduzida num dos buacos existentes na pate exteio da oda, é utilizado paa solta mecanicamente a oda de Maxwell e activa o contado dos sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) aquando das medições de distancia vesus tempo. A ponta de tavamento deve se ajustada po foma que a oda não oscile ou ole a segui de se solta. Sendo assim os fios devem desenola sempe no mesmo sentido quando a oda é lagada. 4) Veifica que o sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) se enconta bem posicionado po foma que a oda de Maxwell ao desce passe com um dos lados do seu eixo no meio do gafo cotando o feixe de luz. 5) A baa com escala gaduada e cusoes deve esta posicionada o mais póximo do pecuso da oda mas sem que os seus cusoes estejam no caminho desta. Figua 9: Foto do enolamento no eixo da oda de Maxwell Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 7

8 2.1 Deteminação do momento de inécia da oda 1) Efectue a medição do tempo de queda paa um conjunto de 10 posições (po exexmplo de 5 em 5 cm). 2) Ligue a ponta de tavamento ao sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) tal como está esquematizado na Figua 2. 3) Pessione o botão de dispao (que faz solta a oda) e bloqueio nessa posição. 4) Posicione o selecto de tipo de funcionamento do sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) na posição 5) Pessione o Butão de set no sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) 6) Solte o botão de dispao e a ponta lagaá a oda que deveá começa a movese. 7) Depois da oda te saído completamente a ponta de tavamento o botão de dispao deve se pessionado novamente e bloqueado antes que o feixe de luz seja inteompido. 8) O conometo é paado assim que o eixo da oda inteompa o feixe de luz da célula fotoeléctica. 9) A medição da distância pecoida é efectuada atavés da baa com escala posicionando um cuso no inicio, ao nível do eixo da oda onde ela é lagada, e o outo cuso no fim, ou seja, ao nível do feixe do sistema conómeto/célula fotoeléctica (Lb). Tenha em atenção que paa além dos eos sistemáticos que pode esta a intoduzi nas medidas po causa da paalaxe no posicionamento dos cusoes, comete um eo de leitua que nunca seá infeio a metade da meno divisão da escala (mas pode se supeio). 10) No computado que está junto da montagem pode insei os valoes numa folha de Excel paa depois gea um gáfico XY com o conjunto de pontos expeimentais e taça uma função de ajuste do tipo powe (potência). 11) Calcule o momento de inécia da oda de Maxwell a pati dos valoes do ajuste e veifique a dependência da posição em elação ao tempo dado pela equação (7). Pode também estima o eo popagado do declive da ecta paa o valo do momento de inécia. 2.2 Consevação e tansfeência de enegia 1) Efectue a medição do tempo de passagem do eixo na queda paa um conjunto de 10 posições. 2) Desligue o sinal de Tigge In no sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) (Ve Figua 2). 3) Coloque a oda na sua posição usando a ponta metálica de tavamento. 4) Posicione agoa o selecto de tipo de funcionamento do sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) na posição 5) Pessione o Butão de set no sistema de conómeto/célula fotoeléctica (Lb) 6) Solte o botão de dispao e a ponta lagaá a oda que deveá começa a movese. Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 8

9 7) O conometo só é accionado e logo paado quando o eixo da oda passa pelo feixe luminoso que incide na célula fotoeléctica. O valo obtido "t é o tempo que o eixo da oda demoa a passa totalmente pelo feixe luminoso. 8) A velocidade de tanslação é deteminada no tempo t + "t 2 na posição de queda atavés de # v t + "t % $ 2 & = "s "t em que "s = 5mm é a espessua do eixo da oda. 9) Faça uma estimativa do eo que pode comete nas medidas que efectuou. 10) No computado insei os valoes numa folha de Excel paa depois gea um gáfico XY com o conjunto de pontos expeimentais e taça uma função de ajuste do tipo powe (potência) paa veifica a dependência da velocidade em função do tempo dado pela equação (8). Pode também compaa os valoes expeimentais com a função teóica dada pela mesma equação (8) e usando o momento de inécia deteminado anteiomente. 11) Com base nestes valoes da velocidade e nos valoes anteioes da posição em função do tempo pode calcula a vaiação da enegia de tanslação e da enegia de potencial em função do tempo e epoduzi os gáficos de tansfeência de enegia das Figuas 6 a 8. Bibliogafia Tatamento e Apesentação de Dados Expeimentais, M. R. da Silva, DF, IST, 2003 Intodução à Física, J. Dias de Deus, M. Pimenta, A. Noonha, T. Peña, P. Bogueia, McGaw-Hill (1992). The At of Expeimental Physics, D. Peston, E. Dietz, John Wiley, New Yok, Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 9

10 Mecânica e Ondas Relatóio - Tabalho I (destaque paa entega no fim da aula ao docente) Consevação da Enegia Mecânica da Roda de Maxwell Nº Nome Cuso Data Tuno Gupo 1. Objectivo deste tabalho: 2 Deteminação do momento de inécia da oda X = t (s) Y = s (m) Eo s (m) Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 10

11 2.1 Detemine os paâmetos de ajuste à função do tipo expeimentais: Y = A " X B aos pontos A = ; B = 2.2 Detemine o valo do momento de inécia da oda de Maxwell atavés da equação (7): I z = 2.3 Comente os esultados obtidos 3 Consevação e tansfeência de enegia. X = t (s) s (m) Eo s (m) Δt (s) Eo Δt (s) Y = v (m/s) Eo v (m/s) Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 11

12 3.1 Detemine os paâmetos de ajuste à função do tipo expeimentais: Y = A " X B aos pontos A = ; B = 3.2 Compae e comente com os valoes dados pela função da equação (8) usando o momento de inécia deteminado anteiomente. 3.3 Com base nos valoes da posição e velocidade no tempo moste a vaiação das enegias potencial, de tanslação e otação da oda. Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 12

13 3.3.1 Qualitativamente qual enegia potencial da oda é tansfeida paa as enegias de tanslação e de otação? Comente? O que aconteceia à tansfeência de enegias se diminuíssemos o diâmeto da oda mantendo a sua massa? E se só aumentássemos a massa? 4 Conclusões Mecânica e Ondas Consevação de enegia mecânica (2º semeste 2007) (Vesão 2) 13