Parte III ESTÁTICA. Tópico 1

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1 ópico 1 Estátic os sólios 317 rte III ESÁI ópico 1 1 Um prtícul encontr-se em equilíbrio, submeti pens us forçs. que se poe concluir respeito els? Respost: Els têm intensies iguis, ireções iguis e sentios opostos. é suspenso o ponto méio M o f io e bio té posição e equilíbrio. Determine, em função e (ver f igur), qunto esceu o terceiro corpo. M m E.R. Um ponto mteril está em equilíbrio, submetio pens três forçs. Qul é conição que s intensies esss forçs evem stisfzer? 1 possibilie: s forçs têm ireções iferentes. Nesse cso, posicionno-s seguno regr o polígono, obtemos um triângulo: m m 1 r o triângulo eistir, é necessário que mei e c um os seus los sej menor que som s meis os outros ois. Então, intensie e c um s três forçs tem e ser menor que som s intensies s outrs us. or eemplo: 1 3 N, 4 N e 3 6 N. possibilie: s forçs têm ireções iguis. gor, temos um situção o seguinte tipo: 3 No triângulo estco: tg 60 º 10º 60º 3 M Respost: 3 3 Isso signif ic que intensie e um s três forçs tem e ser igul à som s intensies s outrs us. 5 E.R. N f igur, um corpo e peso 10 N encontr-se em equilíbrio, suspenso por um conjunto e três f ios ieis, e. lcule s intensies s trções, e, respectivmente nos f ios, e. 3 Um prtícul submeti pens três forçs, e intensies 3 N, 4 N e 0 N, poe estr em equilíbrio? Não, porque 0N > 3N + 4N. Respost: Não Nó 4 Em c um s etremies e um f io consiero iel, que pss por us pequens polis tmbém suposts ieis, está suspenso um corpo e mss igul m. Um terceiro corpo e mss m sen 0,60 cos 0,80

2 318 RE III ESÁI trção no f io tem mesm intensie o peso o corpo: y y 10 N Representemos s forçs e trção que os f ios eercem no nó e fçmos ecomposição esss forçs seguno verticl e orizontl: 30º 30º y y sen 30º 80 N N Do equilíbrio, vem: y sen 0, N Respost: 80 N 7 Um ci é mnti em equilíbrio por três cors, e, como represent f igur. oloque em orem crescente s intensies, e s trções nesss cors. cos 00 0, N Not: mbém poemos eterminr e lembrno que o polígono s forçs e trção eercis pelos f ios no nó é feco. ssim, temos: sen 0, N 60 cos 0, N 30 < < 6 Um ornmento e peso 80 N está suspenso por um corel, como inic f igur: orel Respost:,, 8 Um prtícul encontr-se em equilíbrio sob ção e um sistem constituío e pens três forçs, seno o peso um els. respeito s outrs us forçs, poemos f irmr que: ) els são necessrimente orizontis; b) els são necessrimente verticis; c) pens um poe ser verticl; ) els não poem ser mbs orizontis; e) els não poem ser mbs verticis; s outrs us forçs têm e equilibrr o peso, que é verticl. ortnto, els não poem ser mbs orizontis. No equilíbrio, clcule intensie trção no corel. Respost:

3 ópico 1 Estátic os sólios (UE) r corrigir o eslinmento o ente incisivo e um pciente, um entist fez pssr um elástico por esse ente e o mrrou ois entes posteriores, conforme f igur. Sbeno que tensão no elástico é e 10 N e que cos 0,85, etermine o vlor em newtons forç totl plic pelo elástico sobre o ente. Então, temos: 3 rg N 300N N 11 (Ufop-MG) sistem e rolns f igur está seno uso pr elevr, em equilíbrio, um objeto e peso. α y y y cos 10 0,85 17 N Respost: E.R. f igur represent um sistem constituío e f ios e três polis 1, e 3, toos consieros ieis. forç, plic n etremie e um os f ios, mntém o sistem em equilíbrio, sustentno um crg e 1 00 N. lcule intensie forç. 1 Então, o móulo forç vle: ) cos α ; c) 3 cos α; e) 3 cos α. b) 3 ; ) 3; emos e supor o sistem iel. De bio pr cim, s intensies s trções nos f ios que sustentm primeir, segun e terceir polis são, respectivmente, iguis, 4 e 8. ortnto: 8 3 epoente 3 é o número e polis móveis. ângulo α não influi n situção propost. Respost: 3 1 E.R. Dois omens segurm s etremies e um cor leve, fleível e inetensível. No ponto méio cor, um corpo e peso igul 800 N está suspenso em equilíbrio: rg r resolver esse tipo e eercício, é necessário lembrr que: Num mesmo f io iel, trção tem mesm intensie em toos os seus pontos. Em qulquer corpo em equilíbrio, forç resultnte é nul (ns polis, forç resultnte seri nul mesmo que não estivessem em equilíbrio, porque, seno consiers ieis, têm msss nuls). Nó Ret orizontl

4 30 RE III ESÁI nlise s f irmções: 01. Se o ângulo for igul 30, trção nos rmos cor vlerá 800 N. 0. Se o ângulo for uplico, intensie trção nos rmos cor se reuzirá à mete. 04. Se os omens forem suf icientemente fortes, conseguirão ispor cor em equilíbrio etmente n orizontl. 08. trção nos rmos cor terá intensie mínim quno eles estiverem n verticl. Dê como respost som os números ssocios às f irmções correts. Representemos s forçs que tum no nó e fçmos su ecomposição n orizontl e n verticl: y y sen 1 0,017 3,0 88 N Respost: 88 N 14 Um per e 664 N e peso encontr-se em repouso, suspens por três cors leves, e, como represent f igur. lcule s intensies s trções nesss cors (, e ). Use: sen 30 0,50; cos 30 0,87; sen 53 0,80; cos 53 0, y 1y 800 N emos, então: 1 1 cos cos 1 1y + y 800 sen + sen 800 sen (SI) sen 01. orret. omo sen 30 1, temos 400 (SI), ou sej, N. 0. Incorret. Quno é uplico, sen ument, ms não uplic ( e sen não são proporcionis). ssim, se reuz, ms não à mete. 04. Incorret. Quno se tent levr cor à orizontl, tene zero, sen tene zero e tene inf inito. Note in que não veri s componentes y pr equilibrr trção e 800 N se cor estivesse n orizontl. 08. orret. vlor mínimo e contece quno sen é máimo, ou sej, sen 1, o que implic 90 (rmos cor ispostos verticlmente). Respost: 09 c 664 N 53º y y y 30º 13 onsiere um f io suposto iel estico orizontlmente entre us estcs. Um pássro e peso igul 3,0 N pous no ponto méio o f io, í permneceno em equilíbrio. lcule trção em c um s metes o f io, sbeno que els formm um ângulo e 178. ote sen 1 0,017. y 1º 1º y 89º 0,60 0,87 1,45 (I) y + y 0,80 + 0, (II) De (I) e (II): 400 N e 580 N 664 N 3,0 N Resposts: 580 N; 400 N; 664 N

5 ópico 1 Estátic os sólios (Unicmp-S) Um s molies e ginástic olímpic é s rgols. Ness molie, os músculos mis solicitos são os os brços, que suportm s crgs orizontis, e os região orsl, que suportm os esforços verticis. onsierno um tlet cuj mss é e 60 kg e seno os comprimentos inicos n f igur H 3,0 m, L 1,5 m e 0,5 m, respon (g 10 m/s ): H L 1,5 0,5 y 300 3,0 L Resposts: ) 300 N; b) 50 N y H 50 N H 16 E.R. Ns situções e b ilustrs seguir, um mesmo bloco e mss m igul 10 kg encontr-se n iminênci e escorregr, trciono elsticmente por um mol e constnte elástic K igul 300 N/m. m Situção : bloco poio em um plno orizontl n iminênci e escorregr. L ) Qul tensão em c cor quno o tlet se encontr penuro no início o eercício com os brços n verticl? b) Quno o tlet bre os brços n orizontl, qul componente orizontl tensão em c cor? ) Somos forços supor que s cors tmbém estão n verticl. Situção b: bloco poio em um plno inclino e em relção à orizontl (sen 0,60 e cos 0,80) n iminênci e subir. m Do equilíbrio o tlet: m g N Sbeno que, ns us situções, o coef iciente e trito estático μ e entre o bloco e o plno é igul 0,45 e consierno g igul 10 m/s, clcule eformção mol: ) n situção ; b) n situção b. omo o bloco encontr-se n iminênci e escorregr, forç e trito tunte nele é forç e estque, por t μ e n, em que n é intensie forç norml com que o bloco e o plno se comprimem. ) Representno s forçs tuntes no bloco, temos: b) H y N verticl: y y 600 y 300 N D semelnç os ois triângulos retângulos, temos: t Do equilíbrio o bloco, vem: n m g n 100 N t μ e n 0, N n L Usno Lei e Hooke, clculmos eformção Δ: L K Δ Δ Δ 15 cm

6 3 RE III ESÁI b) Representno s forçs tuntes no bloco, temos: n n t t 18 N f igur seguir, (1) e () são us rmps plns perfeitmente liss que se interceptm em um ret orizontl, que pss por e é perpeniculr o plno o ppel. Ns rmps, poi-se um prism reto, egonl, regulr e omogêneo, cujo peso tem intensie e 100 N. () (1) Do equilíbrio o bloco, vem: n n cos m g cos ,80 n 80 N t + t sen + μ e n ,60 + 0, N Usno Lei e Hooke: K Δ Δ Δ 3 cm 17 Um esfer e ço (E) pesno 00 N encontr-se poi em um plno orizontl e mrr um pree verticl por meio e um f io iel: lno orizontl α Sbeno que sen α 3 5 e cos α 4, etermine s intensies s 5 forçs plics pelo prism sobre s rmps. β E 30 1 Um cilinro () e peso 100 N é ligo um f io iel, que pss por um poli tmbém iel e vi prener-se à esfer. lcule: ) intensie forç e reção norml o plno orizontl sobre esfer; b) intensie forç e trção no f io que lig esfer à pree verticl; c) intensie o peso que o cilinro everi ter pr que esfer f icsse n iminênci e sir o plno. 1 n y 50 N 00 N 30º 100 N 50 3 N cos α N sen α N Respost: 80 N n rmp (1) e 60 N n rmp (). 19 N situção e equilíbrio esquemtiz seguir, os f ios são ieis: sen 0,6 cos 0,8 ) n n 150 N b) N 10 kg c) erímos : n 0 e y 00 N sen 30º 400 N y 1 00 Resposts: ) 150 N; b) 50 3 N; c) 400 N Seno 0,4 o coef iciente e trito estático entre o bloco e o plno orizontl em que ele se poi, etermine mior mss que o bloco poe ter e moo que o equilíbrio se mnten, supono ess montgem feit: ) n superfície err; b) n superfície Lu.

7 ópico 1 Estátic os sólios 33 N iminênci e movimento, temos: n 10 g 1 4 g m g 1 4 g 4 g b) Em toos os csos, o trblo forç plic em Q é igul, pois correspone um mesmo fornecimento e energi potencil grvitcionl : 10 g 3 m g No triângulo estco: m tg g 4 g sen cos m g 4 g 0,6 0,8 m 4 m 3 kg bserve que o resulto não epene intensie g o cmpo grvitcionl. Resposts: ) 3 kg; b) 3 kg 0 Ns montgens esquemtizs seguir, consiere ieis os f ios, s polis e brr rígi. Em toos os csos, ci suspens tem peso e móulo. Q eto Q D D 6 D D 6 Resposts: ),,, D 6 ; b),,, D 6 1 (URN) lenário Mcuním, persongem crio por Mário e nre, costum esfrutr o concego e su rein. Ávio por um escnso, Mcuním, nosso nti-erói, está sempre improvisno um gnco pr rmr su ree. Ele soube que su segurnç o eitr-se n ree está relcion com o ângulo, e inclinção os punos ree com pree e que ess inclinção poe ser mu lterno-se o tmno os punos, por eemplo, com uílio e cors. f igur bio ilustr um esses momentos e escnso persongem. Ness f igur, forç, eerci pel cor ree sobre o gnco o rmor, preso n pree, prece ecompost em componentes, II (prlel à pree) e (perpeniculr à pree). () iso () eto II Q Q rr rígi D () iso ) Determine s intensies s forçs,, e D, que equilibrm os sistems,, e D, respectivmente. b) r que ci, o ser ergui em equilíbrio, sofr um eslocmento e móulo, quis everão ser os móulos,, e D os eslocmentos o ponto Q nos sistems,, e D, respectivmente? ) (D) No conjunto formo pel ci, pel brr e pels três polis inferiores: 6 D D 6 Representção esquemátic e Mcuním ormino em su ree. onsiere-se que: I. o peso,, e Mcuním está bem istribuío e o centro e grvie o conjunto está no meio ree; II. s msss ree e cor são esprezíveis; III. o rmor poe ser rrnco somente em ecorrênci e um mior vlor componente, forç. oemos f irmr que, pr um mior segurnç, Mcuním eve escoler um inclinção reltivmente: ) pequen, pois sen ; b) pequen, pois tg ; c) grne, pois cos ; ) grne, pois cotg.

8 34 RE III ESÁI Respost: b tg 1 1 tg f igur seguir represent um corrente e peso igul 40 N, cujs etremies estão em um mesmo nível orizontl, press em ois suportes. onsierno iguis 45 os ângulos inicos n f igur, etermine intensie forç: ) que corrente eerce em c suporte; b) e trção no ponto mis bio corrente. ) y y sen 40 0 N b) Num s metes corrente, temos, n orizontl: y Julgue correts ou incorrets s f irmções seguir. Em c um els, imgine eistênci e um eio e rotção perpeniculr o plno f igur pssno pelo ponto cito. 01. s brços e 1, e 3, em relção, meem, e respectivmente. 0. s brços e 1, e 3, em relção, meem sen, zero e respectivmente. 04. s brços e 1, e 3, em relção, meem zero, e respectivmente. 08. Em relção, o momento e 1 é orário, o e é nulo e o e 3 é nti-orário. 16. Em relção, o momento e 1 é orário, o e é nti-orário e o e 3 é nulo. 3. Em relção D, os momentos e 1 e e 3 são orários e o e é nti-orário. Dê como respost som os números ssocios às f irmções correts. s brços são istâncis o polo às lins e ção s forçs. 01. Incorrets. 0. orret. 04. orret. 08. orret. 16. orret. 3. orret. Respost: 6 4 E.R. forç, e móulo 0 N, e os pontos, e estão toos no plno o ppel. s pontos representm s intersecções entre o plno o ppel e três eios perpeniculres ele. m 3 m onvencionno positivos os momentos orários, clcule o momento esclr e em relção, e. cos 0 Resposts: ) 0 N; b) 0 N 0 N 3 onsiere s forçs 1, e 3 e os pontos,,, D e, toos no plno est págin. 3 Em relção, forç á tenênci e rotção no sentio orário. Seno 0 N e b 3 m, temos: M + b 0 3 M 60 N m Em relção, forç á tenênci e rotção no sentio nti- -orário. Seno 0 N e b m, temos: 1 orpo em que s forçs estão plics D M b 0 M 40 N m Em relção, forç não á tenênci e rotção, pois b 0: M b 0 0 M 0

9 ópico 1 Estátic os sólios 35 5 onsierno positivos os momentos orários, clcule os momentos s forçs prlels 1, e 3 em relção o ponto. Dos: 1 00 N; 50 N; 3 50 N. 7 Qul s forçs plics n etremie cve, tos e mesm intensie, é mis ef iciente pr girr o prfuso no sentio orário? m 8 m M 1 00 N m 400 N m M 0 3 M 3 50 N 8 m 400 N m 4 Respost: 400 N m, zero e 400 N m, respectivmente. 6 (uvest-s) rês omens tentm fzer girr, em torno o pino f io, um plc retngulr e lrgur e comprimento, que está inicilmente em repouso sobre um plno orizontl, e trito esprezível, coinciente com o plno o ppel. Eles plicm s forçs e nos pontos, e, como represents n f igur. b 3 b 4 0 brço máimo é igul (ipotenus o triângulo estco). brço b 3, por eemplo, é cteto o mesmo triângulo. ortnto, 4 é mis ef iciente pr girr o prfuso no sentio orário. Respost: 4 Designno, respectivmente, por M, M e M s intensies os momentos esss forçs em relção o ponto, é correto f irmr que: ) M M > M e plc gir no sentio orário; b) M < M M e plc gir no sentio orário; c) M M < M e plc gir no sentio nti-orário; ) M M M e plc não gir; e) M M M e plc não gir. Em relção 0: e prouzem momentos orários e, pr mbs, o brço é igul. Então, temos: M M, em que M e M são móulos. 8 (URJ) Um jovem e su nmor psseim e crro por um estr e são surpreenios por um furo num os pneus. jovem, que pes 75 kgf, pis etremie e um cve e ro, inclin em relção à orizontl, como mostr f igur 1, ms só consegue soltr o prfuso quno eerce sobre cve um forç igul seu peso. 75 kgf 30 cm não prouz momento, pois seu brço é nulo : M 0. Respost: igur 1 0 cm

10 36 RE III ESÁI nmor o jovem, que pes 51 kgf, enci mesm cve, ms n orizontl, em outro prfuso, e pis etremie cve, eerceno sobre el um forç igul seu peso, como mostr f igur. igur 51 kgf 30 cm Supono que este seguno prfuso estej tão perto qunto o primeiro e levno em cont s istâncis inics ns f igurs, verif ique se moç consegue soltr esse seguno prfuso. Justif ique su respost. igur 1: M 1 75 kgf 0,0 m 15 kgf m igur : M 51 kgf 0,30 m 15,3 kgf m omo M > M 1, moç consegue. Respost: onsegue porque o torque forç e 51 kgf é mis intenso que o forç e 75 kgf. 9 E.R. Um brr prismátic omogêne e comprimento igul 4,0 m e peso igul 100 N poi-se sobre cun, coloc 0,50 m e. brr f ic em equilíbrio, como represent f igur, quno um corpo X é suspenso em su etremie : X lcule: ) o peso o corpo X; b) reção cun sobre brr. Representemos s forçs que tum n brr: 0,50 m R 1,5 m G,0 m b é o peso brr, plico em seu centro e grvie G (ponto méio brr omogêne); é trção eerci em pelo f io; ess forç tem mesm intensie o peso e X ( X ); R é reção cun sobre brr. r o equilíbrio e trnslção brr, temos: R + b ou R X + b R X (I) r o equilíbrio e rotção brr, som lgébric os momentos esclres e tos s forçs nel plics eve ser nul em relção qulquer polo. Em relção, por eemplo, evemos ter: M + M R + M b 0 b onvencionno positivos os momentos no sentio orário, temos: + R 0 + b G 0 X 0, ,5 0 De (I), vem: X 300 N () R X R 400 N (b) Not: equilíbrio e rotção poe ser consiero em relção qulquer polo, inepenentemente e pssr ou não por ele um eio e rotção rel. Em relção, por eemplo, terímos: M + M R + M b 0 0 R 0, ,0 0 R 400 N 30 (UV-MG) Um menino e um menin estão brincno sobre um prnc omogêne, conforme ilustr f igur. posição s crinçs estbelece um conição e equilíbrio. Qul mss o menino? 0 kg,5 m,0 m Em relção E, temos, em móulo: m g,0 0g,5 m 5 kg Respost: 5 kg E E eio e rotção 31 Um pesso precisv seprr 400 g e çúcr pr fzer um oce, ms não tin um blnç. egou, então, um cbo e vssour e o poiou em um esc, e moo f icr em equilíbrio n orizontl (o ponto é o centro e grvie o cbo). bo e vssour Sl 0 cm Esc Sco plástico Usno um brbnte, suspeneu no cbo um sco feco e sl e cozin, e 1 kg (1 000 g), 0 cm o ponto e poio (). Usno outro brbnte, suspeneu um sco plástico vzio e foi espejno çúcr nele té o cbo f icr novmente em equilíbrio n orizontl. lcule istânci que etermin posição em que o sco plástico eve ser coloco pr que se consig quntie e çúcr esej.

11 ópico 1 Estátic os sólios 37 omno os momentos em relção, em vlor bsoluto, e operno com s msss pr evitr complicções esnecessáris, temos: 1000 g 0 cm 400 g 50 cm Respost: 50 cm 3 Um brr cilínric e omogêne, ivii em seis prtes iguis, c um els e comprimento, encontr-se em equilíbrio n orizontl, como n f igur. D E ) Suspeneno-se um corpo e peso igul 6 N no gnco, qul eve ser o peso e um outro corpo suspenso o gnco pr que brr se mnten em equilíbrio como n f igur? b) Se um corpo e peso igul 6 N for suspenso em, e outros ois corpos, c um pesno 3 N, forem suspensos em D e E, brr continurá em equilíbrio como n f igur? m L (m 3 + m 4 ) L m 60 g e m + m 3 + m 4 90g m 1 L (m + m 3 + m 4 ) L m g m 1 0,18 kg Respost: 34 E.R. Um brr cilínric omogêne, e peso 00 N e 10,0 m e comprimento, encontr-se em equilíbrio, poi nos suportes e, como represent f igur.,0 m ) lcule s intensies R e R s reções os poios e sobre brr. b) Usno-se um cor leve, um bloco metálico e peso 400 N é epenuro n brr em um ponto à ireit e. Determine máim istânci e e moo que brr não tombe. ) Representno s forçs que tum n brr, temos: 8,0 m R 5,0 m R + ) ΣM 0 em relção o ponto e suspensão brr: N b) Não. ΣM em relção o ponto e suspensão brr: ortnto, brr vi girr no sentio nti-orário. Resposts: ) 4 N; b) Não. brr vi girr no sentio nti-orário. 33 (I-S) Um brinqueo que s mmães utilizm pr enfeitr qurtos e crinçs é conecio como móbile. onsiere o móbile e lus esquemtizo n f igur. s lus estão press, por meio e f ios e msss esprezíveis, três brrs orizontis, tmbém e msss esprezíveis. conjunto too está em equilíbrio e suspenso e um único ponto. Se mss lu 4 é e 10 g, então mss lu 1, em kg, é igul : L 1 L L L L L 3 4 ) 180. b) 80. c) 0,36. ) 0,18. e) 9. m 4 10g omno os momentos em móulo e operno com msss, temos, e bio pr cim: m 3 L m 4 L m 3 0g e m 3 + m 4 30g Em relção : M R + M + M R 0 R ,0 R 8,0 0 R 15 N omo R + R : R R 75 N b) máim istânci pei correspone à situção em que brr está n iminênci e tombr. Ness situção, el se poi eclusivmente no suporte e, portnto, reção o suporte, R, é nul. Representno s forçs n brr, temos: Em relção : ( 00 N) 3,0 m R ( 400 N) M R + M + M 0 R , ,5 m

12 38 RE III ESÁI 35 Sobre us estcs e, istntes,0 m um outr, poi-se um vig prismátic e omogêne e comprimento 6,0 m e mss 7 kg. Um pereiro e mss 60 kg encontr-se em repouso n posição inic, 50 cm estc. 36 (esgrnrio-rj) Um brr omogêne e comprimento 1,0 m está em equilíbrio n posição orizontl, sustent por um únic cor f i no ponto, como mostr f igur. Em sus etremies e estão penentes us msss, m g e m 150 g.,0 m 50 cm ) lcule s intensies s forçs que vig recebe s estcs (g 10 m/s ). b) pereiro começ cminr lentmente pr ireit. Qul o máimo fstmento ele em relção o ponto e poio vig n estc sem que el tombe? ),0 m,0 m,0 m m 1 m onsierno mss brr 100 g e celerção grvie locl g 10 m/s, etermine: ) tensão n cor f i à brr no ponto ; b) istânci o ponto té o ponto. m 1 g 50 cm mg 100 cm m m 1 0,10 kg m 0,15 kg m g R 1,0 m 0,50 m 600 N 70 N Em relção (em móulo): 600 0, ,0 R,0 R 510 N R + R R R 810 N b) N iminênci vig tombr, R 0 : R ) m 1 g + m g + m g 1,0 + 1,0 + 1,5 3,5 N b) Em relção (em móulo): m g 50 cm + m g 100 cm 1, , ,5 57 cm Resposts: ) 3,5 N; b) 57 cm 37 f igur seguir represent us rolns e rios r 10 cm e R 40 cm press em um mesmo eio que poe rotr prticmente sem trito. Vist lterl Vist frontl r R R M M 1,0 m ors leves estão enrols nesss rolns. Em um els, está suspenso um bloco e mss M igul 50 kg e o sistem é mntio em equilíbrio pel forç verticl plic n outr cor. onsierno g 10 m/s, clcule intensie e. Em relção : ,0 1,m 70 N 600 N Em relção o eio o sistem, temos, em vlor bsoluto: R M g r 40 cm cm 15 N Resposts: ) R 810 N; R 510 N; b) 1, m Respost: 15 N

13 ópico 1 Estátic os sólios Um brr rígi e omogêne, e peso 0 N e,0 m e comprimento, rticul-se no eio lubrif ico. Nel, está suspens um crg, e peso 100 N, 1,5 m o eio. forç verticl mntém o sistem em equilíbrio. lcule intensie: ) forç ; b) forç que brr recebe o eio.,0 m ssim, concluímos que lin e ção e 3 tmbém pss por, pois, se isso não contecesse, som os três momentos em relção não seri nul e conição e equilíbrio e rotção não estri respeit. 40 f igur bio represent um quro retngulr e omogêneo epenuro em um pree e em equilíbrio. Qul s rets,, b, c ou, melor represent lin e ção forç que pree eerce no quro? ree rbnte Quro c E 0 1,5 m 1,0 m 0 N ) Em relção, temos, em móulo: H H 100 N H s três forçs concorrem em um mesmo ponto. b 0 1, ,5,0 85 N b) forç resultnte n brr é nul E E E 35 N Resposts: ) 85 N; b) 35 N 39 E.R. onsiere um corpo em equilíbrio submetio à ção e pens três forçs, 1, e 3, que precism ser coplnres. Do que els têm ireções iferentes, mostre que sus lins e ção são concorrentes, necessrimente, num mesmo ponto. Suponmos que s lins e ção e us esss forçs ( 1 e, por eemplo) sejm concorrentes num ponto e que isso não conteç com forç 3 : 1 Respost: 41 f igur seguir represent um esc omogêne, em equilíbrio, poi em um pree verticl muito lis. Reprouz f igur e trce nel o vetor que etermin ireção e o sentio forç que esc recebe o cão. b 3 ão Respost: No equilíbrio, som lgébric os momentos e tos s forçs tem e ser nul e isso tem e contecer em relção qulquer polo, inclusive. Em relção, os momentos e 1 e são nulos, ms o momento e 3, não.

14 330 RE III ESÁI 4 f igur represent um prlelepípeo omogêneo em repouso num plno inclino. M é o ponto méio o segmento Q. forç norml resultnte que o prlelepípeo recebe o plno está plic: ) R bserve que s três forçs tuntes n esfer concorrem num mesmo ponto. M Q b) Se não ouvesse trito, reção pree seri eclusivmente norml: ) no ponto M; b) no ponto Q; c) entre e M; ) entre M e Q; e) tlvez no ponto. n onsierno forç norml e forç e trito como seno us forçs e lembrno que, num corpo em equilíbrio submetio pens três forçs e ireções iferentes, els concorrem num mesmo ponto, temos situção represent cim. Resposts: ) ; b) R t n forç e contto totl c t + n que o prlelepípeo recebe o plno inclino tem e ser opost o peso e lin com ele. 44 N f igur, temos um brr omogêne e espessur e lrgur pequens e uniformes, em form e L, rticul sem trito em. prte verticl brr tem 1,0 m e comprimento, enqunto prte orizontl mee 3,0 m. Seno e 10 N o peso totl brr, clcule intensie forç orizontl, que mntém brr em equilíbrio. c n (componente norml e c ) ortnto, n está plic entre M e Q. Respost: 43 f igur seguir represent um esfer omogêne em equilíbrio, sustent por um f io e poi em um pree verticl ns conições geométrics ilustrs. Reprouzino f igur: 4 m 10 N 3 m 90 N 1,5 m 1,5 m 1,0 m Em relção : 1,5 1,0 135 N ) inique s forçs tuntes n esfer; b) esene situção e equilíbrio supono pree perfeitmente lis. Not : peso prte verticl brr tem momento nulo em relção porque está lino com esse ponto. Respost: 135 N

15 ópico 1 Estátic os sólios brr f igur está em equilíbrio n orizontl, suspens pelo seu ponto méio. 47 (U-RS) f igur represent um ble vzio epenuro em um brr rígi por meio e um cor. brr é rticul sem trito em e está lig o teto por outr cor. s trções que s cors, consiers ieis, eercem n brr são s forçs 1 e inics. É necessrimente vere que: ) brr é omogêne; b) s prtes e têm o mesmo peso; c) os momentos os pesos s prtes e, em relção, têm o mesmo vlor bsoluto; ) mss prte é mior que prte ; e) á mis e um lterntiv corret. É possível que brr sej omogêne, cso em que os pesos s prtes e são iguis. Entretnto, tmbém é possível que el não sej omogêne e ten um s metes mis pess que outr. Nesse cso, os brços os pesos s us metes em relção serão iferentes, ms, pr estr em equilíbrio, os vlores bsolutos os momentos esses pesos em relção o referio ponto serão necessrimente iguis. Respost: c 46 (U-E) N f igur seguir, um tábu e mss esprezível e comprimento L 3,0 m é rticul em um e sus etremies por meio e um obriç D. Su outr etremie está pres ( um ltur y 0,30 m cim obriç) um mol iel, e constnte elástic k 600 N/m (f igur ). Um menino, e peso 300 N, prtino obriç, cmin um istânci sobre tábu, té el quirir o equilíbrio, em posição orizontl (f igur b). Supon que mol, o se istener, ten se mntio verticl. Determine o vlor e. D 3 1 Introuzino-se no ble um quntie e rei e 60 N e peso, qul é o umento intensie forç 1? D Em relção o ponto, rei prouz um créscimo e momento orário e móulo igul 60 D. Então, o umento Δ 1 intensie e 1 eve prouzir um créscimo e momento nti-orário, e móulo Δ D 1, igul 60 D: 3 Δ D D Δ 180 N 1 Respost: 180 N 48 (esgrnrio-rj) M k k y D D Em relção D: e L k y L k y L 1,8 m Respost: 1,8 m 600 0,30 3,0 300 L D b e ky N f igur cim, um ste, omogêne e e seção ret uniforme, meino,4 m, é suspens pelo seu ponto méio M, por meio e um rme. N etremie, á um recipiente e mss esprezível conteno águ, enqunto, n etremie, á um cmunongo e mss 50 g. Ness situção, ste se mntém em repouso n posição orizontl. Em etermino instnte, o recipiente começ vzr águ n rzão e 75 g/s e, em conseqüênci isso, o cmunongo pss se mover no sentio e pr M, e moo mnter ste n su posição inicil. r isso, qul eve ser o móulo v velocie o cmunongo, em m/s? Sejm: m 1 : mss e águ que vz por seguno (m 1 75 g); m : mss o cmunongo (m 50 g); g: móulo celerção grvie; Δs: eslocmento o cmunongo em c seguno.

16 33 RE III ESÁI Em c seguno, em relção M e em vlor bsoluto, per e momento orário (m 1 g M) tem e ser igul à per e momento nti- -orário (m g Δs): m g Δs m 1 g M 50 Δs 75 1, Δs 0,36 m Então: v 0,36 m/s 50 E.R. N f igur, temos um ro, e peso igul kgf e rio r igul,0 m, que eve ser ergui o plno orizontl (1) pr o plno orizontl (). lcule intensie forç orizontl, plic no centro e grvie ro, cpz e erguê-l, sbeno que o centro e grvie ro coincie com seu centro geométrico. Respost: 0,36 m/s r Ro 49 Um vig prismátic e omogêne, e 5,0 m e comprimento e 10 kg e mss, encontr-se em equilíbrio pres em um cor e poi no cão, como mostr f igur 1. N f igur, um pesso e 50 kg se epenur n vig, mnteno- em equilíbrio n orizontl. (1) () 1,0 m ão,0 m or n verticl 3,0 m ão N f igur seguir, estão representos o peso ro e forç orizontl que vi erguê-l. forç que el recebe em não está represent porque vmos usr esse ponto pr o cálculo os momentos. Desse moo, o momento ess forç será nulo. bservemos que ro, ssim que começr subir, eirá e receber forç norml o plno (1). igur 1 igur lcule: ) o comprimento inico n f igur ; b) intensie forç que vig recebe o cão n f igur 1, consierno g 10 m/s. ) (1) b No triângulo estco, temos: r b () 1,0 m 1,0 m 0,5 m b 1,0 m r,0 m b 500 N 1 00 N Em relção, temos, em vlor bsoluto: 100 0, , m 0 b) r que resultnte s forçs sej nul, seno e verticis, necessrimente verticl. r b + b (eorem e itágors),0 1,0 + b b 3,0 m r ro ser ergui, em relção o ponto, o móulo o momento orário e tem e ser mior que o móulo o momento nti-orário e : b > b 1,0 > ,0 > 300 kgf 0 0,5 m,5 m cão 51 (uvest-s) Um pirâmie ret, e ltur H e bse qur e lo L, com mss m uniformemente istribuí, está poi sobre um plno orizontl. Um forç com ireção prlel o lo é plic no vértice V. Dois pequenos obstáculos, f ios no plno, impeem que pirâmie se esloque orizontlmente. forç cpz e fzer tombr pirâmie eve ser tl que: Em relção, temos, em vlor bsoluto: ,5 cos 3,0 cos H V g 00 N Resposts: ) 1, m; b) 00 N

17 ópico 1 Estátic os sólios 333 ) > m g L m g H ; ) > ; H + H L b) > m g; e) > c) > m g H ; L m g L L + H. Em relção, temos, em vlor bsoluto: 1 (60 ), com em cm. K 1 Δ K Δ (60 ) (60 ) 45 cm b) 1 + K 1 Δ + K Δ 10 00Δ + 600Δ Δ 0,15 m 15 cm Resposts: ) 45 cm; b) 15 cm 53 Um vig prismátic e omogêne, e 6,0 m e comprimento e 360 N e peso, é posicion poino-se em um pree e no solo, como represent f igur. ree H L Em relção, o móulo o momento orário e eve ser mior que o móulo o momento nti-orário e : H > m g Respost: m g L > H L 5 Um brr leve encontr-se em equilíbrio epenur em us mols M 1 e M, e constntes elástics iguis 00 N/m e 600 N/m respectivmente. Um forç, verticl pr bio, é plic n brr, tingino-se um nov situção e equilíbrio n qul brr permnece n orizontl. 60 cm 0 Solo 3,6 m 4,8 m Supono: ) que eist trito entre vig e pree, ms não entre vig e o solo, respon: é possível que el f ique em equilíbrio, como n f igur? b) que não eist trito entre vig e pree, clcule, no equilíbrio, s intensies s componentes forç e contto que vig recebe o solo (forç norml n e forç e trito t ). ) n n t Não é possível porque forç resultnte não será nul n orizontl: não eiste nenum forç pr equilibrr n. M 1 M rr lcule: ) istânci inic n f igur; b) o eslocmento brr primeir pr segun situção e equilíbrio supono intensie e igul 10 N. ) K 1 00 N/m e K 600 N/m Δ 1 60 b) n t b p 1,8 m n b n 4,8 m Resultnte nul n orizontl: t n t 135 N Resultnte nul verticl: n n 360 N Em relção, temos, em vlor bsoluto: b n b n 360 1,8 n 4,8 n 135 N Resposts: ) Não é possível porque forç resultnte não será nul n orizontl: não eiste nenum forç pr equilibrr n. b) n 360 N; t 135 N

18 334 RE III ESÁI 54 E.R. (EI-S) No esquem, represent um vig prismátic e omogêne e peso 30 kgf e D represent um cbo orizontl e peso esprezível: D 55 Um brr, prismátic e omogêne, e peso 00 N e comprimento,0 m, encontr-se em equilíbrio n orizontl. El está conect um pree por meio e um cor leve e sustent um cubo omogêneo e peso 300 N, como represent f igur: Q São os D 300 cm, D 100 cm e 45. vig é rticul sem trito em e suport em um corpo e peso Q 10 kgf. Determine o esforço no cbo e s componentes orizontl e verticl forç que vig recebe n rticulção em. Impono Σ M 0 em relção, poemos ignorr forç que vig recebe rticulção (momento nulo). Desse moo, s únics forçs e interesse nesse cálculo estão esquemtizs n f igur seguir: Q 10 kgf 30 kgf + b G cos 00 cm 100 cm b D cos 300 cm 150 cm c cos 400 cm 00 cm zeno Σ M 0 em relção, temos: + Q c b kgf N rticulção, vig recebe um forç cuj componente orizontl R equilibr e cuj componente verticl R Y equilibr e Q : R y R R G R y + Q c D Q R 180 kgf Q R y 150 kgf 80 cm Supono que brr se rticule prticmente sem trito em, etermine s componentes orizontl e verticl forç recebi por el ness rticulção. istânci é igul, m. orçs n brr: y 1,0 m 0,80 m 300 N 00 N Em relção : 300 0, ,0 y,0 y 0 N tg Y X Y, X,0 0 X forç resultnte n brr é nul: 00 N y + y y Respost: Horizontl: 00 N pr ireit; Verticl: 80 N pr cim. 00N y 80 N 56 E.R. Um biciclet equip com um câmbio e váris mrcs possui lgums ros ents (coros) ligs o pel e outrs ligs o eio ro trseir (ro motriz). Esss coros têm rios (R i ) iferentes. r c pr e coros copls pel corrente, temos um mrc. om relção à iversie os rios s coros, qul é melor escol (melor mrc): ) num subi muito centu, situção em que o funmentl é conseguir subir, e não esenvolver lts velocies? b) quno se pretene esenvolver lts velocies, num pist orizontl? y

19 ópico 1 Estátic os sólios 335 Em too o esenvolvimento est resolução, epressremos os torques em relção o centro s coros. lém isso, s coros serão consiers em equilíbrio e rotção, isto é, em movimento e rotção com velocie ngulr constnte. ssim, em móulo, os torques orário e nti-orário serão sempre iguis. Ns f igurs seguir, estão represents s forçs relevntes à nálise que vmos fzer. É bom lembrr que, com s coros em equilíbrio e rotção, intensie ( ) trção em toos os pontos corrente é mesm. el R orrente oro oro R 1 b 1 Ro trseir 1 Not: Vej que R 1 mior e R menor tornm 3 pequen. Isso, entretnto, não é importnte, porque não são necessáris forçs e grne intensie pr celerr biciclet num pist orizontl. 57 (Enem) om relção o funcionmento e um biciclet e mrcs, em que c mrc é um combinção e um s coros inteirs com um s coros trseirs, são formuls s seguintes f irmtivs: I. Num biciclet que ten us coros inteirs e cinco trseirs, temos um totl e ez mrcs possíveis, em que c mrc represent ssocição e um s coros inteirs com um s trseirs. II. Em lt velocie, convém cionr coro inteir e mior rio com coro trseir e mior rio tmbém. III. Em um subi íngreme, convém cionr coro inteir e menor rio e coro trseir e mior rio. Entre s f irmções cim, estão correts: ) I e III pens. c) I e II pens. e) III pens. b) I, II e III. ) II pens. Respost: R oro 58 E.R. Loclize o centro e grvie cp omogêne e e espessur uniforme, represent n f igur: R 3 y (cm) 48 Solo 3 3 No sistem constituío pelo pel e pel coro nele lig, temos: 1 b 1 R 1 b 1 1 R 1 No sistem constituío pel ro trseir e pel coro corresponente, temos: 3 R 3 R 3 R 3 b 1 1 R R 1 constnte { 3 1 R R 1 b 1 R 3 ) últim epressão obti permite concluir que, pr um etermino vlor e 1, qunto mior for R e menor for R 1, mior será 3, ou sej, mis intens será forç motriz que biciclet receberá o solo. Então, ess é melor combinção: Menor coro lig o pel e mior coro ro trseir. omo vimos no ópico 4 e inemátic, s frequêncis e rotção s coros combins são inversmente proporcionis os seus rios: v 1 v ω 1 R 1 ω R π ƒ 1 R 1 π ƒ R (cm) oemos iviir cp em us prtes: um tringulr, e mss m 1 e áre 1, cujo centro e grvie está no bricentro o triângulo (ponto e encontro s meins), e outr retngulr, e mss m e áre, cujo centro e grvie está no cruzmento s igonis. y (cm) 48 ƒ R 1 ƒ ƒ 1 R ƒ 1 R 1 R Note, então, que R 1 menor e R mior minimizm ƒ, que é frequênci ro trseir (ro motriz). or isso, lts velocies não são conseguis ness situção. b) Nesse cso, evemos mimizr ƒ. r tnto, interessm o mior vlor e R 1 e o menor vlor e R. Então, melor combinção é: Mior coro lig o pel e menor coro ro trseir. 0 1 e 48 cm 3 4 m 16 m e 30 cm 3 50 (cm)

20 336 RE III ESÁI cm 1 0 cm 40 cm cm y 1 16 cm y 4 cm omo cp é omogêne e tem espessur uniforme, rzão entre s msss e sus prtes e s respectivs áres é constnte: m 1 m m 1 1 m 1 (I) emos: G m + m 1 1 m 1 + m Substituino (I) em (II), obtemos: m m G m G (III) 1 + m 1 + nlogmente, temos: y G y + y 1 1 (IV) 1 + Substituino em (III) e (IV) os vlores e 1,, 1,, y 1 e y, obtemos: (II) áre prte qur é o obro áre tringulr. Então, se m é mss tringulr, qur é m: G y G m 3,0 + m 8,0 m + m m 3,0 + m,0 m + m Respost: G 14 3 cm y G 8 3 cm 60 (URN) Rfel gost e fzer pegins com seus colegs. Ele começou emonstrno um eercício físico e fleibilie, tocno os pés sem fleionr os joelos (f igur 1). bem-umoro Rfel, com r e gozção, isse que seus colegs não serim cpzes e fzer esse eercício sem perer o equilíbrio o corpo e, por isso, ri cnce e eles relizrem o eercício encostos n pree (f igur ). G y G G 31,4 cm y G 0,6 cm 59 (Mck-S) N f igur seguir, pr que plc omogêne e e espessur uniforme permneç em equilíbrio iniferente o ser suspens pelo ponto, s istâncis e y evem vler, respectivmente: 6,0 cm igur 1 Eercício feito por Rfel. igur oleg e Rfel encosto n pree, tentno repetir o eercício. 6,0 cm y 1,0 cm ) 3,0 cm e,0 cm. ) 14 3 cm e 8 3 cm. b),0 cm e 3,0 cm. e) 8 cm e cm. c) 6,0 cm e 3,0 cm. Not: ponto é o centro e grvie plc. y (cm) 6,0 Esse proceimento proposto por Rfel, em vez e uilir, if icult in mis o equilíbrio corporl pesso, pois pree fz com que: ) o centro e grvie pesso sej esloco pr um posição que impee o equilíbrio. b) forç norml eerci n pesso, pel pree, sej mior que forç que pesso fz n pree. c) o torque eercio n pesso, pel pree, sej mior que o torque que pesso fz n pree, mbos em relção os pés pesso. ) o centro e grvie pesso não coinci com o seu próprio centro e mss. r o corpo pesso se mnter em equilíbrio, verticl que pss pelo seu centro e grvie precis interceptr menor superfície conve etermin pelos pontos e poio os pés no cão: 1 3 e 6,0 cm 3,0,0 0 3,0 6,0 8,0 1,0 (cm) 1 3 e 6,0 cm Isso não contece quno pesso permnece encost n pree. Respost: