Parte III ESTÁTICA. Tópico 1

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1 ópico 1 Estátic os sólios 317 rte III ESÁI ópico 1 1 Um prtícul encontr-se em equilíbrio, submeti pens us forçs. que se poe concluir respeito els? Respost: Els têm intensies iguis, ireções iguis e sentios opostos. é suspenso o ponto méio M o f io e bio té posição e equilíbrio. Determine, em função e (ver f igur), qunto esceu o terceiro corpo. M m E.R. Um ponto mteril está em equilíbrio, submetio pens três forçs. Qul é conição que s intensies esss forçs evem stisfzer? 1 possibilie: s forçs têm ireções iferentes. Nesse cso, posicionno-s seguno regr o polígono, obtemos um triângulo: m m 1 r o triângulo eistir, é necessário que mei e c um os seus los sej menor que som s meis os outros ois. Então, intensie e c um s três forçs tem e ser menor que som s intensies s outrs us. or eemplo: 1 3 N, 4 N e 3 6 N. possibilie: s forçs têm ireções iguis. gor, temos um situção o seguinte tipo: 3 No triângulo estco: tg 60 º 10º 60º 3 M Respost: 3 3 Isso signif ic que intensie e um s três forçs tem e ser igul à som s intensies s outrs us. 5 E.R. N f igur, um corpo e peso 10 N encontr-se em equilíbrio, suspenso por um conjunto e três f ios ieis, e. lcule s intensies s trções, e, respectivmente nos f ios, e. 3 Um prtícul submeti pens três forçs, e intensies 3 N, 4 N e 0 N, poe estr em equilíbrio? Não, porque 0N > 3N + 4N. Respost: Não Nó 4 Em c um s etremies e um f io consiero iel, que pss por us pequens polis tmbém suposts ieis, está suspenso um corpo e mss igul m. Um terceiro corpo e mss m sen 0,60 cos 0,80

2 318 RE III ESÁI trção no f io tem mesm intensie o peso o corpo: y y 10 N Representemos s forçs e trção que os f ios eercem no nó e fçmos ecomposição esss forçs seguno verticl e orizontl: 30º 30º y y sen 30º 80 N N Do equilíbrio, vem: y sen 0, N Respost: 80 N 7 Um ci é mnti em equilíbrio por três cors, e, como represent f igur. oloque em orem crescente s intensies, e s trções nesss cors. cos 00 0, N Not: mbém poemos eterminr e lembrno que o polígono s forçs e trção eercis pelos f ios no nó é feco. ssim, temos: sen 0, N 60 cos 0, N 30 < < 6 Um ornmento e peso 80 N está suspenso por um corel, como inic f igur: orel Respost:,, 8 Um prtícul encontr-se em equilíbrio sob ção e um sistem constituío e pens três forçs, seno o peso um els. respeito s outrs us forçs, poemos f irmr que: ) els são necessrimente orizontis; b) els são necessrimente verticis; c) pens um poe ser verticl; ) els não poem ser mbs orizontis; e) els não poem ser mbs verticis; s outrs us forçs têm e equilibrr o peso, que é verticl. ortnto, els não poem ser mbs orizontis. No equilíbrio, clcule intensie trção no corel. Respost:

3 ópico 1 Estátic os sólios (UE) r corrigir o eslinmento o ente incisivo e um pciente, um entist fez pssr um elástico por esse ente e o mrrou ois entes posteriores, conforme f igur. Sbeno que tensão no elástico é e 10 N e que cos 0,85, etermine o vlor em newtons forç totl plic pelo elástico sobre o ente. Então, temos: 3 rg N 300N N 11 (Ufop-MG) sistem e rolns f igur está seno uso pr elevr, em equilíbrio, um objeto e peso. α y y y cos 10 0,85 17 N Respost: E.R. f igur represent um sistem constituío e f ios e três polis 1, e 3, toos consieros ieis. forç, plic n etremie e um os f ios, mntém o sistem em equilíbrio, sustentno um crg e 1 00 N. lcule intensie forç. 1 Então, o móulo forç vle: ) cos α ; c) 3 cos α; e) 3 cos α. b) 3 ; ) 3; emos e supor o sistem iel. De bio pr cim, s intensies s trções nos f ios que sustentm primeir, segun e terceir polis são, respectivmente, iguis, 4 e 8. ortnto: 8 3 epoente 3 é o número e polis móveis. ângulo α não influi n situção propost. Respost: 3 1 E.R. Dois omens segurm s etremies e um cor leve, fleível e inetensível. No ponto méio cor, um corpo e peso igul 800 N está suspenso em equilíbrio: rg r resolver esse tipo e eercício, é necessário lembrr que: Num mesmo f io iel, trção tem mesm intensie em toos os seus pontos. Em qulquer corpo em equilíbrio, forç resultnte é nul (ns polis, forç resultnte seri nul mesmo que não estivessem em equilíbrio, porque, seno consiers ieis, têm msss nuls). Nó Ret orizontl

4 30 RE III ESÁI nlise s f irmções: 01. Se o ângulo for igul 30, trção nos rmos cor vlerá 800 N. 0. Se o ângulo for uplico, intensie trção nos rmos cor se reuzirá à mete. 04. Se os omens forem suf icientemente fortes, conseguirão ispor cor em equilíbrio etmente n orizontl. 08. trção nos rmos cor terá intensie mínim quno eles estiverem n verticl. Dê como respost som os números ssocios às f irmções correts. Representemos s forçs que tum no nó e fçmos su ecomposição n orizontl e n verticl: y y sen 1 0,017 3,0 88 N Respost: 88 N 14 Um per e 664 N e peso encontr-se em repouso, suspens por três cors leves, e, como represent f igur. lcule s intensies s trções nesss cors (, e ). Use: sen 30 0,50; cos 30 0,87; sen 53 0,80; cos 53 0, y 1y 800 N emos, então: 1 1 cos cos 1 1y + y 800 sen + sen 800 sen (SI) sen 01. orret. omo sen 30 1, temos 400 (SI), ou sej, N. 0. Incorret. Quno é uplico, sen ument, ms não uplic ( e sen não são proporcionis). ssim, se reuz, ms não à mete. 04. Incorret. Quno se tent levr cor à orizontl, tene zero, sen tene zero e tene inf inito. Note in que não veri s componentes y pr equilibrr trção e 800 N se cor estivesse n orizontl. 08. orret. vlor mínimo e contece quno sen é máimo, ou sej, sen 1, o que implic 90 (rmos cor ispostos verticlmente). Respost: 09 c 664 N 53º y y y 30º 13 onsiere um f io suposto iel estico orizontlmente entre us estcs. Um pássro e peso igul 3,0 N pous no ponto méio o f io, í permneceno em equilíbrio. lcule trção em c um s metes o f io, sbeno que els formm um ângulo e 178. ote sen 1 0,017. y 1º 1º y 89º 0,60 0,87 1,45 (I) y + y 0,80 + 0, (II) De (I) e (II): 400 N e 580 N 664 N 3,0 N Resposts: 580 N; 400 N; 664 N

5 ópico 1 Estátic os sólios (Unicmp-S) Um s molies e ginástic olímpic é s rgols. Ness molie, os músculos mis solicitos são os os brços, que suportm s crgs orizontis, e os região orsl, que suportm os esforços verticis. onsierno um tlet cuj mss é e 60 kg e seno os comprimentos inicos n f igur H 3,0 m, L 1,5 m e 0,5 m, respon (g 10 m/s ): H L 1,5 0,5 y 300 3,0 L Resposts: ) 300 N; b) 50 N y H 50 N H 16 E.R. Ns situções e b ilustrs seguir, um mesmo bloco e mss m igul 10 kg encontr-se n iminênci e escorregr, trciono elsticmente por um mol e constnte elástic K igul 300 N/m. m Situção : bloco poio em um plno orizontl n iminênci e escorregr. L ) Qul tensão em c cor quno o tlet se encontr penuro no início o eercício com os brços n verticl? b) Quno o tlet bre os brços n orizontl, qul componente orizontl tensão em c cor? ) Somos forços supor que s cors tmbém estão n verticl. Situção b: bloco poio em um plno inclino e em relção à orizontl (sen 0,60 e cos 0,80) n iminênci e subir. m Do equilíbrio o tlet: m g N Sbeno que, ns us situções, o coef iciente e trito estático μ e entre o bloco e o plno é igul 0,45 e consierno g igul 10 m/s, clcule eformção mol: ) n situção ; b) n situção b. omo o bloco encontr-se n iminênci e escorregr, forç e trito tunte nele é forç e estque, por t μ e n, em que n é intensie forç norml com que o bloco e o plno se comprimem. ) Representno s forçs tuntes no bloco, temos: b) H y N verticl: y y 600 y 300 N D semelnç os ois triângulos retângulos, temos: t Do equilíbrio o bloco, vem: n m g n 100 N t μ e n 0, N n L Usno Lei e Hooke, clculmos eformção Δ: L K Δ Δ Δ 15 cm

6 3 RE III ESÁI b) Representno s forçs tuntes no bloco, temos: n n t t 18 N f igur seguir, (1) e () são us rmps plns perfeitmente liss que se interceptm em um ret orizontl, que pss por e é perpeniculr o plno o ppel. Ns rmps, poi-se um prism reto, egonl, regulr e omogêneo, cujo peso tem intensie e 100 N. () (1) Do equilíbrio o bloco, vem: n n cos m g cos ,80 n 80 N t + t sen + μ e n ,60 + 0, N Usno Lei e Hooke: K Δ Δ Δ 3 cm 17 Um esfer e ço (E) pesno 00 N encontr-se poi em um plno orizontl e mrr um pree verticl por meio e um f io iel: lno orizontl α Sbeno que sen α 3 5 e cos α 4, etermine s intensies s 5 forçs plics pelo prism sobre s rmps. β E 30 1 Um cilinro () e peso 100 N é ligo um f io iel, que pss por um poli tmbém iel e vi prener-se à esfer. lcule: ) intensie forç e reção norml o plno orizontl sobre esfer; b) intensie forç e trção no f io que lig esfer à pree verticl; c) intensie o peso que o cilinro everi ter pr que esfer f icsse n iminênci e sir o plno. 1 n y 50 N 00 N 30º 100 N 50 3 N cos α N sen α N Respost: 80 N n rmp (1) e 60 N n rmp (). 19 N situção e equilíbrio esquemtiz seguir, os f ios são ieis: sen 0,6 cos 0,8 ) n n 150 N b) N 10 kg c) erímos : n 0 e y 00 N sen 30º 400 N y 1 00 Resposts: ) 150 N; b) 50 3 N; c) 400 N Seno 0,4 o coef iciente e trito estático entre o bloco e o plno orizontl em que ele se poi, etermine mior mss que o bloco poe ter e moo que o equilíbrio se mnten, supono ess montgem feit: ) n superfície err; b) n superfície Lu.

7 ópico 1 Estátic os sólios 33 N iminênci e movimento, temos: n 10 g 1 4 g m g 1 4 g 4 g b) Em toos os csos, o trblo forç plic em Q é igul, pois correspone um mesmo fornecimento e energi potencil grvitcionl : 10 g 3 m g No triângulo estco: m tg g 4 g sen cos m g 4 g 0,6 0,8 m 4 m 3 kg bserve que o resulto não epene intensie g o cmpo grvitcionl. Resposts: ) 3 kg; b) 3 kg 0 Ns montgens esquemtizs seguir, consiere ieis os f ios, s polis e brr rígi. Em toos os csos, ci suspens tem peso e móulo. Q eto Q D D 6 D D 6 Resposts: ),,, D 6 ; b),,, D 6 1 (URN) lenário Mcuním, persongem crio por Mário e nre, costum esfrutr o concego e su rein. Ávio por um escnso, Mcuním, nosso nti-erói, está sempre improvisno um gnco pr rmr su ree. Ele soube que su segurnç o eitr-se n ree está relcion com o ângulo, e inclinção os punos ree com pree e que ess inclinção poe ser mu lterno-se o tmno os punos, por eemplo, com uílio e cors. f igur bio ilustr um esses momentos e escnso persongem. Ness f igur, forç, eerci pel cor ree sobre o gnco o rmor, preso n pree, prece ecompost em componentes, II (prlel à pree) e (perpeniculr à pree). () iso () eto II Q Q rr rígi D () iso ) Determine s intensies s forçs,, e D, que equilibrm os sistems,, e D, respectivmente. b) r que ci, o ser ergui em equilíbrio, sofr um eslocmento e móulo, quis everão ser os móulos,, e D os eslocmentos o ponto Q nos sistems,, e D, respectivmente? ) (D) No conjunto formo pel ci, pel brr e pels três polis inferiores: 6 D D 6 Representção esquemátic e Mcuním ormino em su ree. onsiere-se que: I. o peso,, e Mcuním está bem istribuío e o centro e grvie o conjunto está no meio ree; II. s msss ree e cor são esprezíveis; III. o rmor poe ser rrnco somente em ecorrênci e um mior vlor componente, forç. oemos f irmr que, pr um mior segurnç, Mcuním eve escoler um inclinção reltivmente: ) pequen, pois sen ; b) pequen, pois tg ; c) grne, pois cos ; ) grne, pois cotg.

8 34 RE III ESÁI Respost: b tg 1 1 tg f igur seguir represent um corrente e peso igul 40 N, cujs etremies estão em um mesmo nível orizontl, press em ois suportes. onsierno iguis 45 os ângulos inicos n f igur, etermine intensie forç: ) que corrente eerce em c suporte; b) e trção no ponto mis bio corrente. ) y y sen 40 0 N b) Num s metes corrente, temos, n orizontl: y Julgue correts ou incorrets s f irmções seguir. Em c um els, imgine eistênci e um eio e rotção perpeniculr o plno f igur pssno pelo ponto cito. 01. s brços e 1, e 3, em relção, meem, e respectivmente. 0. s brços e 1, e 3, em relção, meem sen, zero e respectivmente. 04. s brços e 1, e 3, em relção, meem zero, e respectivmente. 08. Em relção, o momento e 1 é orário, o e é nulo e o e 3 é nti-orário. 16. Em relção, o momento e 1 é orário, o e é nti-orário e o e 3 é nulo. 3. Em relção D, os momentos e 1 e e 3 são orários e o e é nti-orário. Dê como respost som os números ssocios às f irmções correts. s brços são istâncis o polo às lins e ção s forçs. 01. Incorrets. 0. orret. 04. orret. 08. orret. 16. orret. 3. orret. Respost: 6 4 E.R. forç, e móulo 0 N, e os pontos, e estão toos no plno o ppel. s pontos representm s intersecções entre o plno o ppel e três eios perpeniculres ele. m 3 m onvencionno positivos os momentos orários, clcule o momento esclr e em relção, e. cos 0 Resposts: ) 0 N; b) 0 N 0 N 3 onsiere s forçs 1, e 3 e os pontos,,, D e, toos no plno est págin. 3 Em relção, forç á tenênci e rotção no sentio orário. Seno 0 N e b 3 m, temos: M + b 0 3 M 60 N m Em relção, forç á tenênci e rotção no sentio nti- -orário. Seno 0 N e b m, temos: 1 orpo em que s forçs estão plics D M b 0 M 40 N m Em relção, forç não á tenênci e rotção, pois b 0: M b 0 0 M 0

9 ópico 1 Estátic os sólios 35 5 onsierno positivos os momentos orários, clcule os momentos s forçs prlels 1, e 3 em relção o ponto. Dos: 1 00 N; 50 N; 3 50 N. 7 Qul s forçs plics n etremie cve, tos e mesm intensie, é mis ef iciente pr girr o prfuso no sentio orário? m 8 m M 1 00 N m 400 N m M 0 3 M 3 50 N 8 m 400 N m 4 Respost: 400 N m, zero e 400 N m, respectivmente. 6 (uvest-s) rês omens tentm fzer girr, em torno o pino f io, um plc retngulr e lrgur e comprimento, que está inicilmente em repouso sobre um plno orizontl, e trito esprezível, coinciente com o plno o ppel. Eles plicm s forçs e nos pontos, e, como represents n f igur. b 3 b 4 0 brço máimo é igul (ipotenus o triângulo estco). brço b 3, por eemplo, é cteto o mesmo triângulo. ortnto, 4 é mis ef iciente pr girr o prfuso no sentio orário. Respost: 4 Designno, respectivmente, por M, M e M s intensies os momentos esss forçs em relção o ponto, é correto f irmr que: ) M M > M e plc gir no sentio orário; b) M < M M e plc gir no sentio orário; c) M M < M e plc gir no sentio nti-orário; ) M M M e plc não gir; e) M M M e plc não gir. Em relção 0: e prouzem momentos orários e, pr mbs, o brço é igul. Então, temos: M M, em que M e M são móulos. 8 (URJ) Um jovem e su nmor psseim e crro por um estr e são surpreenios por um furo num os pneus. jovem, que pes 75 kgf, pis etremie e um cve e ro, inclin em relção à orizontl, como mostr f igur 1, ms só consegue soltr o prfuso quno eerce sobre cve um forç igul seu peso. 75 kgf 30 cm não prouz momento, pois seu brço é nulo : M 0. Respost: igur 1 0 cm

10 36 RE III ESÁI nmor o jovem, que pes 51 kgf, enci mesm cve, ms n orizontl, em outro prfuso, e pis etremie cve, eerceno sobre el um forç igul seu peso, como mostr f igur. igur 51 kgf 30 cm Supono que este seguno prfuso estej tão perto qunto o primeiro e levno em cont s istâncis inics ns f igurs, verif ique se moç consegue soltr esse seguno prfuso. Justif ique su respost. igur 1: M 1 75 kgf 0,0 m 15 kgf m igur : M 51 kgf 0,30 m 15,3 kgf m omo M > M 1, moç consegue. Respost: onsegue porque o torque forç e 51 kgf é mis intenso que o forç e 75 kgf. 9 E.R. Um brr prismátic omogêne e comprimento igul 4,0 m e peso igul 100 N poi-se sobre cun, coloc 0,50 m e. brr f ic em equilíbrio, como represent f igur, quno um corpo X é suspenso em su etremie : X lcule: ) o peso o corpo X; b) reção cun sobre brr. Representemos s forçs que tum n brr: 0,50 m R 1,5 m G,0 m b é o peso brr, plico em seu centro e grvie G (ponto méio brr omogêne); é trção eerci em pelo f io; ess forç tem mesm intensie o peso e X ( X ); R é reção cun sobre brr. r o equilíbrio e trnslção brr, temos: R + b ou R X + b R X (I) r o equilíbrio e rotção brr, som lgébric os momentos esclres e tos s forçs nel plics eve ser nul em relção qulquer polo. Em relção, por eemplo, evemos ter: M + M R + M b 0 b onvencionno positivos os momentos no sentio orário, temos: + R 0 + b G 0 X 0, ,5 0 De (I), vem: X 300 N () R X R 400 N (b) Not: equilíbrio e rotção poe ser consiero em relção qulquer polo, inepenentemente e pssr ou não por ele um eio e rotção rel. Em relção, por eemplo, terímos: M + M R + M b 0 0 R 0, ,0 0 R 400 N 30 (UV-MG) Um menino e um menin estão brincno sobre um prnc omogêne, conforme ilustr f igur. posição s crinçs estbelece um conição e equilíbrio. Qul mss o menino? 0 kg,5 m,0 m Em relção E, temos, em móulo: m g,0 0g,5 m 5 kg Respost: 5 kg E E eio e rotção 31 Um pesso precisv seprr 400 g e çúcr pr fzer um oce, ms não tin um blnç. egou, então, um cbo e vssour e o poiou em um esc, e moo f icr em equilíbrio n orizontl (o ponto é o centro e grvie o cbo). bo e vssour Sl 0 cm Esc Sco plástico Usno um brbnte, suspeneu no cbo um sco feco e sl e cozin, e 1 kg (1 000 g), 0 cm o ponto e poio (). Usno outro brbnte, suspeneu um sco plástico vzio e foi espejno çúcr nele té o cbo f icr novmente em equilíbrio n orizontl. lcule istânci que etermin posição em que o sco plástico eve ser coloco pr que se consig quntie e çúcr esej.

11 ópico 1 Estátic os sólios 37 omno os momentos em relção, em vlor bsoluto, e operno com s msss pr evitr complicções esnecessáris, temos: 1000 g 0 cm 400 g 50 cm Respost: 50 cm 3 Um brr cilínric e omogêne, ivii em seis prtes iguis, c um els e comprimento, encontr-se em equilíbrio n orizontl, como n f igur. D E ) Suspeneno-se um corpo e peso igul 6 N no gnco, qul eve ser o peso e um outro corpo suspenso o gnco pr que brr se mnten em equilíbrio como n f igur? b) Se um corpo e peso igul 6 N for suspenso em, e outros ois corpos, c um pesno 3 N, forem suspensos em D e E, brr continurá em equilíbrio como n f igur? m L (m 3 + m 4 ) L m 60 g e m + m 3 + m 4 90g m 1 L (m + m 3 + m 4 ) L m g m 1 0,18 kg Respost: 34 E.R. Um brr cilínric omogêne, e peso 00 N e 10,0 m e comprimento, encontr-se em equilíbrio, poi nos suportes e, como represent f igur.,0 m ) lcule s intensies R e R s reções os poios e sobre brr. b) Usno-se um cor leve, um bloco metálico e peso 400 N é epenuro n brr em um ponto à ireit e. Determine máim istânci e e moo que brr não tombe. ) Representno s forçs que tum n brr, temos: 8,0 m R 5,0 m R + ) ΣM 0 em relção o ponto e suspensão brr: N b) Não. ΣM em relção o ponto e suspensão brr: ortnto, brr vi girr no sentio nti-orário. Resposts: ) 4 N; b) Não. brr vi girr no sentio nti-orário. 33 (I-S) Um brinqueo que s mmães utilizm pr enfeitr qurtos e crinçs é conecio como móbile. onsiere o móbile e lus esquemtizo n f igur. s lus estão press, por meio e f ios e msss esprezíveis, três brrs orizontis, tmbém e msss esprezíveis. conjunto too está em equilíbrio e suspenso e um único ponto. Se mss lu 4 é e 10 g, então mss lu 1, em kg, é igul : L 1 L L L L L 3 4 ) 180. b) 80. c) 0,36. ) 0,18. e) 9. m 4 10g omno os momentos em móulo e operno com msss, temos, e bio pr cim: m 3 L m 4 L m 3 0g e m 3 + m 4 30g Em relção : M R + M + M R 0 R ,0 R 8,0 0 R 15 N omo R + R : R R 75 N b) máim istânci pei correspone à situção em que brr está n iminênci e tombr. Ness situção, el se poi eclusivmente no suporte e, portnto, reção o suporte, R, é nul. Representno s forçs n brr, temos: Em relção : ( 00 N) 3,0 m R ( 400 N) M R + M + M 0 R , ,5 m

12 38 RE III ESÁI 35 Sobre us estcs e, istntes,0 m um outr, poi-se um vig prismátic e omogêne e comprimento 6,0 m e mss 7 kg. Um pereiro e mss 60 kg encontr-se em repouso n posição inic, 50 cm estc. 36 (esgrnrio-rj) Um brr omogêne e comprimento 1,0 m está em equilíbrio n posição orizontl, sustent por um únic cor f i no ponto, como mostr f igur. Em sus etremies e estão penentes us msss, m g e m 150 g.,0 m 50 cm ) lcule s intensies s forçs que vig recebe s estcs (g 10 m/s ). b) pereiro começ cminr lentmente pr ireit. Qul o máimo fstmento ele em relção o ponto e poio vig n estc sem que el tombe? ),0 m,0 m,0 m m 1 m onsierno mss brr 100 g e celerção grvie locl g 10 m/s, etermine: ) tensão n cor f i à brr no ponto ; b) istânci o ponto té o ponto. m 1 g 50 cm mg 100 cm m m 1 0,10 kg m 0,15 kg m g R 1,0 m 0,50 m 600 N 70 N Em relção (em móulo): 600 0, ,0 R,0 R 510 N R + R R R 810 N b) N iminênci vig tombr, R 0 : R ) m 1 g + m g + m g 1,0 + 1,0 + 1,5 3,5 N b) Em relção (em móulo): m g 50 cm + m g 100 cm 1, , ,5 57 cm Resposts: ) 3,5 N; b) 57 cm 37 f igur seguir represent us rolns e rios r 10 cm e R 40 cm press em um mesmo eio que poe rotr prticmente sem trito. Vist lterl Vist frontl r R R M M 1,0 m ors leves estão enrols nesss rolns. Em um els, está suspenso um bloco e mss M igul 50 kg e o sistem é mntio em equilíbrio pel forç verticl plic n outr cor. onsierno g 10 m/s, clcule intensie e. Em relção : ,0 1,m 70 N 600 N Em relção o eio o sistem, temos, em vlor bsoluto: R M g r 40 cm cm 15 N Resposts: ) R 810 N; R 510 N; b) 1, m Respost: 15 N

13 ópico 1 Estátic os sólios Um brr rígi e omogêne, e peso 0 N e,0 m e comprimento, rticul-se no eio lubrif ico. Nel, está suspens um crg, e peso 100 N, 1,5 m o eio. forç verticl mntém o sistem em equilíbrio. lcule intensie: ) forç ; b) forç que brr recebe o eio.,0 m ssim, concluímos que lin e ção e 3 tmbém pss por, pois, se isso não contecesse, som os três momentos em relção não seri nul e conição e equilíbrio e rotção não estri respeit. 40 f igur bio represent um quro retngulr e omogêneo epenuro em um pree e em equilíbrio. Qul s rets,, b, c ou, melor represent lin e ção forç que pree eerce no quro? ree rbnte Quro c E 0 1,5 m 1,0 m 0 N ) Em relção, temos, em móulo: H H 100 N H s três forçs concorrem em um mesmo ponto. b 0 1, ,5,0 85 N b) forç resultnte n brr é nul E E E 35 N Resposts: ) 85 N; b) 35 N 39 E.R. onsiere um corpo em equilíbrio submetio à ção e pens três forçs, 1, e 3, que precism ser coplnres. Do que els têm ireções iferentes, mostre que sus lins e ção são concorrentes, necessrimente, num mesmo ponto. Suponmos que s lins e ção e us esss forçs ( 1 e, por eemplo) sejm concorrentes num ponto e que isso não conteç com forç 3 : 1 Respost: 41 f igur seguir represent um esc omogêne, em equilíbrio, poi em um pree verticl muito lis. Reprouz f igur e trce nel o vetor que etermin ireção e o sentio forç que esc recebe o cão. b 3 ão Respost: No equilíbrio, som lgébric os momentos e tos s forçs tem e ser nul e isso tem e contecer em relção qulquer polo, inclusive. Em relção, os momentos e 1 e são nulos, ms o momento e 3, não.

14 330 RE III ESÁI 4 f igur represent um prlelepípeo omogêneo em repouso num plno inclino. M é o ponto méio o segmento Q. forç norml resultnte que o prlelepípeo recebe o plno está plic: ) R bserve que s três forçs tuntes n esfer concorrem num mesmo ponto. M Q b) Se não ouvesse trito, reção pree seri eclusivmente norml: ) no ponto M; b) no ponto Q; c) entre e M; ) entre M e Q; e) tlvez no ponto. n onsierno forç norml e forç e trito como seno us forçs e lembrno que, num corpo em equilíbrio submetio pens três forçs e ireções iferentes, els concorrem num mesmo ponto, temos situção represent cim. Resposts: ) ; b) R t n forç e contto totl c t + n que o prlelepípeo recebe o plno inclino tem e ser opost o peso e lin com ele. 44 N f igur, temos um brr omogêne e espessur e lrgur pequens e uniformes, em form e L, rticul sem trito em. prte verticl brr tem 1,0 m e comprimento, enqunto prte orizontl mee 3,0 m. Seno e 10 N o peso totl brr, clcule intensie forç orizontl, que mntém brr em equilíbrio. c n (componente norml e c ) ortnto, n está plic entre M e Q. Respost: 43 f igur seguir represent um esfer omogêne em equilíbrio, sustent por um f io e poi em um pree verticl ns conições geométrics ilustrs. Reprouzino f igur: 4 m 10 N 3 m 90 N 1,5 m 1,5 m 1,0 m Em relção : 1,5 1,0 135 N ) inique s forçs tuntes n esfer; b) esene situção e equilíbrio supono pree perfeitmente lis. Not : peso prte verticl brr tem momento nulo em relção porque está lino com esse ponto. Respost: 135 N

15 ópico 1 Estátic os sólios brr f igur está em equilíbrio n orizontl, suspens pelo seu ponto méio. 47 (U-RS) f igur represent um ble vzio epenuro em um brr rígi por meio e um cor. brr é rticul sem trito em e está lig o teto por outr cor. s trções que s cors, consiers ieis, eercem n brr são s forçs 1 e inics. É necessrimente vere que: ) brr é omogêne; b) s prtes e têm o mesmo peso; c) os momentos os pesos s prtes e, em relção, têm o mesmo vlor bsoluto; ) mss prte é mior que prte ; e) á mis e um lterntiv corret. É possível que brr sej omogêne, cso em que os pesos s prtes e são iguis. Entretnto, tmbém é possível que el não sej omogêne e ten um s metes mis pess que outr. Nesse cso, os brços os pesos s us metes em relção serão iferentes, ms, pr estr em equilíbrio, os vlores bsolutos os momentos esses pesos em relção o referio ponto serão necessrimente iguis. Respost: c 46 (U-E) N f igur seguir, um tábu e mss esprezível e comprimento L 3,0 m é rticul em um e sus etremies por meio e um obriç D. Su outr etremie está pres ( um ltur y 0,30 m cim obriç) um mol iel, e constnte elástic k 600 N/m (f igur ). Um menino, e peso 300 N, prtino obriç, cmin um istânci sobre tábu, té el quirir o equilíbrio, em posição orizontl (f igur b). Supon que mol, o se istener, ten se mntio verticl. Determine o vlor e. D 3 1 Introuzino-se no ble um quntie e rei e 60 N e peso, qul é o umento intensie forç 1? D Em relção o ponto, rei prouz um créscimo e momento orário e móulo igul 60 D. Então, o umento Δ 1 intensie e 1 eve prouzir um créscimo e momento nti-orário, e móulo Δ D 1, igul 60 D: 3 Δ D D Δ 180 N 1 Respost: 180 N 48 (esgrnrio-rj) M k k y D D Em relção D: e L k y L k y L 1,8 m Respost: 1,8 m 600 0,30 3,0 300 L D b e ky N f igur cim, um ste, omogêne e e seção ret uniforme, meino,4 m, é suspens pelo seu ponto méio M, por meio e um rme. N etremie, á um recipiente e mss esprezível conteno águ, enqunto, n etremie, á um cmunongo e mss 50 g. Ness situção, ste se mntém em repouso n posição orizontl. Em etermino instnte, o recipiente começ vzr águ n rzão e 75 g/s e, em conseqüênci isso, o cmunongo pss se mover no sentio e pr M, e moo mnter ste n su posição inicil. r isso, qul eve ser o móulo v velocie o cmunongo, em m/s? Sejm: m 1 : mss e águ que vz por seguno (m 1 75 g); m : mss o cmunongo (m 50 g); g: móulo celerção grvie; Δs: eslocmento o cmunongo em c seguno.

16 33 RE III ESÁI Em c seguno, em relção M e em vlor bsoluto, per e momento orário (m 1 g M) tem e ser igul à per e momento nti- -orário (m g Δs): m g Δs m 1 g M 50 Δs 75 1, Δs 0,36 m Então: v 0,36 m/s 50 E.R. N f igur, temos um ro, e peso igul kgf e rio r igul,0 m, que eve ser ergui o plno orizontl (1) pr o plno orizontl (). lcule intensie forç orizontl, plic no centro e grvie ro, cpz e erguê-l, sbeno que o centro e grvie ro coincie com seu centro geométrico. Respost: 0,36 m/s r Ro 49 Um vig prismátic e omogêne, e 5,0 m e comprimento e 10 kg e mss, encontr-se em equilíbrio pres em um cor e poi no cão, como mostr f igur 1. N f igur, um pesso e 50 kg se epenur n vig, mnteno- em equilíbrio n orizontl. (1) () 1,0 m ão,0 m or n verticl 3,0 m ão N f igur seguir, estão representos o peso ro e forç orizontl que vi erguê-l. forç que el recebe em não está represent porque vmos usr esse ponto pr o cálculo os momentos. Desse moo, o momento ess forç será nulo. bservemos que ro, ssim que começr subir, eirá e receber forç norml o plno (1). igur 1 igur lcule: ) o comprimento inico n f igur ; b) intensie forç que vig recebe o cão n f igur 1, consierno g 10 m/s. ) (1) b No triângulo estco, temos: r b () 1,0 m 1,0 m 0,5 m b 1,0 m r,0 m b 500 N 1 00 N Em relção, temos, em vlor bsoluto: 100 0, , m 0 b) r que resultnte s forçs sej nul, seno e verticis, necessrimente verticl. r b + b (eorem e itágors),0 1,0 + b b 3,0 m r ro ser ergui, em relção o ponto, o móulo o momento orário e tem e ser mior que o móulo o momento nti-orário e : b > b 1,0 > ,0 > 300 kgf 0 0,5 m,5 m cão 51 (uvest-s) Um pirâmie ret, e ltur H e bse qur e lo L, com mss m uniformemente istribuí, está poi sobre um plno orizontl. Um forç com ireção prlel o lo é plic no vértice V. Dois pequenos obstáculos, f ios no plno, impeem que pirâmie se esloque orizontlmente. forç cpz e fzer tombr pirâmie eve ser tl que: Em relção, temos, em vlor bsoluto: ,5 cos 3,0 cos H V g 00 N Resposts: ) 1, m; b) 00 N

17 ópico 1 Estátic os sólios 333 ) > m g L m g H ; ) > ; H + H L b) > m g; e) > c) > m g H ; L m g L L + H. Em relção, temos, em vlor bsoluto: 1 (60 ), com em cm. K 1 Δ K Δ (60 ) (60 ) 45 cm b) 1 + K 1 Δ + K Δ 10 00Δ + 600Δ Δ 0,15 m 15 cm Resposts: ) 45 cm; b) 15 cm 53 Um vig prismátic e omogêne, e 6,0 m e comprimento e 360 N e peso, é posicion poino-se em um pree e no solo, como represent f igur. ree H L Em relção, o móulo o momento orário e eve ser mior que o móulo o momento nti-orário e : H > m g Respost: m g L > H L 5 Um brr leve encontr-se em equilíbrio epenur em us mols M 1 e M, e constntes elástics iguis 00 N/m e 600 N/m respectivmente. Um forç, verticl pr bio, é plic n brr, tingino-se um nov situção e equilíbrio n qul brr permnece n orizontl. 60 cm 0 Solo 3,6 m 4,8 m Supono: ) que eist trito entre vig e pree, ms não entre vig e o solo, respon: é possível que el f ique em equilíbrio, como n f igur? b) que não eist trito entre vig e pree, clcule, no equilíbrio, s intensies s componentes forç e contto que vig recebe o solo (forç norml n e forç e trito t ). ) n n t Não é possível porque forç resultnte não será nul n orizontl: não eiste nenum forç pr equilibrr n. M 1 M rr lcule: ) istânci inic n f igur; b) o eslocmento brr primeir pr segun situção e equilíbrio supono intensie e igul 10 N. ) K 1 00 N/m e K 600 N/m Δ 1 60 b) n t b p 1,8 m n b n 4,8 m Resultnte nul n orizontl: t n t 135 N Resultnte nul verticl: n n 360 N Em relção, temos, em vlor bsoluto: b n b n 360 1,8 n 4,8 n 135 N Resposts: ) Não é possível porque forç resultnte não será nul n orizontl: não eiste nenum forç pr equilibrr n. b) n 360 N; t 135 N

18 334 RE III ESÁI 54 E.R. (EI-S) No esquem, represent um vig prismátic e omogêne e peso 30 kgf e D represent um cbo orizontl e peso esprezível: D 55 Um brr, prismátic e omogêne, e peso 00 N e comprimento,0 m, encontr-se em equilíbrio n orizontl. El está conect um pree por meio e um cor leve e sustent um cubo omogêneo e peso 300 N, como represent f igur: Q São os D 300 cm, D 100 cm e 45. vig é rticul sem trito em e suport em um corpo e peso Q 10 kgf. Determine o esforço no cbo e s componentes orizontl e verticl forç que vig recebe n rticulção em. Impono Σ M 0 em relção, poemos ignorr forç que vig recebe rticulção (momento nulo). Desse moo, s únics forçs e interesse nesse cálculo estão esquemtizs n f igur seguir: Q 10 kgf 30 kgf + b G cos 00 cm 100 cm b D cos 300 cm 150 cm c cos 400 cm 00 cm zeno Σ M 0 em relção, temos: + Q c b kgf N rticulção, vig recebe um forç cuj componente orizontl R equilibr e cuj componente verticl R Y equilibr e Q : R y R R G R y + Q c D Q R 180 kgf Q R y 150 kgf 80 cm Supono que brr se rticule prticmente sem trito em, etermine s componentes orizontl e verticl forç recebi por el ness rticulção. istânci é igul, m. orçs n brr: y 1,0 m 0,80 m 300 N 00 N Em relção : 300 0, ,0 y,0 y 0 N tg Y X Y, X,0 0 X forç resultnte n brr é nul: 00 N y + y y Respost: Horizontl: 00 N pr ireit; Verticl: 80 N pr cim. 00N y 80 N 56 E.R. Um biciclet equip com um câmbio e váris mrcs possui lgums ros ents (coros) ligs o pel e outrs ligs o eio ro trseir (ro motriz). Esss coros têm rios (R i ) iferentes. r c pr e coros copls pel corrente, temos um mrc. om relção à iversie os rios s coros, qul é melor escol (melor mrc): ) num subi muito centu, situção em que o funmentl é conseguir subir, e não esenvolver lts velocies? b) quno se pretene esenvolver lts velocies, num pist orizontl? y

19 ópico 1 Estátic os sólios 335 Em too o esenvolvimento est resolução, epressremos os torques em relção o centro s coros. lém isso, s coros serão consiers em equilíbrio e rotção, isto é, em movimento e rotção com velocie ngulr constnte. ssim, em móulo, os torques orário e nti-orário serão sempre iguis. Ns f igurs seguir, estão represents s forçs relevntes à nálise que vmos fzer. É bom lembrr que, com s coros em equilíbrio e rotção, intensie ( ) trção em toos os pontos corrente é mesm. el R orrente oro oro R 1 b 1 Ro trseir 1 Not: Vej que R 1 mior e R menor tornm 3 pequen. Isso, entretnto, não é importnte, porque não são necessáris forçs e grne intensie pr celerr biciclet num pist orizontl. 57 (Enem) om relção o funcionmento e um biciclet e mrcs, em que c mrc é um combinção e um s coros inteirs com um s coros trseirs, são formuls s seguintes f irmtivs: I. Num biciclet que ten us coros inteirs e cinco trseirs, temos um totl e ez mrcs possíveis, em que c mrc represent ssocição e um s coros inteirs com um s trseirs. II. Em lt velocie, convém cionr coro inteir e mior rio com coro trseir e mior rio tmbém. III. Em um subi íngreme, convém cionr coro inteir e menor rio e coro trseir e mior rio. Entre s f irmções cim, estão correts: ) I e III pens. c) I e II pens. e) III pens. b) I, II e III. ) II pens. Respost: R oro 58 E.R. Loclize o centro e grvie cp omogêne e e espessur uniforme, represent n f igur: R 3 y (cm) 48 Solo 3 3 No sistem constituío pelo pel e pel coro nele lig, temos: 1 b 1 R 1 b 1 1 R 1 No sistem constituío pel ro trseir e pel coro corresponente, temos: 3 R 3 R 3 R 3 b 1 1 R R 1 constnte { 3 1 R R 1 b 1 R 3 ) últim epressão obti permite concluir que, pr um etermino vlor e 1, qunto mior for R e menor for R 1, mior será 3, ou sej, mis intens será forç motriz que biciclet receberá o solo. Então, ess é melor combinção: Menor coro lig o pel e mior coro ro trseir. omo vimos no ópico 4 e inemátic, s frequêncis e rotção s coros combins são inversmente proporcionis os seus rios: v 1 v ω 1 R 1 ω R π ƒ 1 R 1 π ƒ R (cm) oemos iviir cp em us prtes: um tringulr, e mss m 1 e áre 1, cujo centro e grvie está no bricentro o triângulo (ponto e encontro s meins), e outr retngulr, e mss m e áre, cujo centro e grvie está no cruzmento s igonis. y (cm) 48 ƒ R 1 ƒ ƒ 1 R ƒ 1 R 1 R Note, então, que R 1 menor e R mior minimizm ƒ, que é frequênci ro trseir (ro motriz). or isso, lts velocies não são conseguis ness situção. b) Nesse cso, evemos mimizr ƒ. r tnto, interessm o mior vlor e R 1 e o menor vlor e R. Então, melor combinção é: Mior coro lig o pel e menor coro ro trseir. 0 1 e 48 cm 3 4 m 16 m e 30 cm 3 50 (cm)

20 336 RE III ESÁI cm 1 0 cm 40 cm cm y 1 16 cm y 4 cm omo cp é omogêne e tem espessur uniforme, rzão entre s msss e sus prtes e s respectivs áres é constnte: m 1 m m 1 1 m 1 (I) emos: G m + m 1 1 m 1 + m Substituino (I) em (II), obtemos: m m G m G (III) 1 + m 1 + nlogmente, temos: y G y + y 1 1 (IV) 1 + Substituino em (III) e (IV) os vlores e 1,, 1,, y 1 e y, obtemos: (II) áre prte qur é o obro áre tringulr. Então, se m é mss tringulr, qur é m: G y G m 3,0 + m 8,0 m + m m 3,0 + m,0 m + m Respost: G 14 3 cm y G 8 3 cm 60 (URN) Rfel gost e fzer pegins com seus colegs. Ele começou emonstrno um eercício físico e fleibilie, tocno os pés sem fleionr os joelos (f igur 1). bem-umoro Rfel, com r e gozção, isse que seus colegs não serim cpzes e fzer esse eercício sem perer o equilíbrio o corpo e, por isso, ri cnce e eles relizrem o eercício encostos n pree (f igur ). G y G G 31,4 cm y G 0,6 cm 59 (Mck-S) N f igur seguir, pr que plc omogêne e e espessur uniforme permneç em equilíbrio iniferente o ser suspens pelo ponto, s istâncis e y evem vler, respectivmente: 6,0 cm igur 1 Eercício feito por Rfel. igur oleg e Rfel encosto n pree, tentno repetir o eercício. 6,0 cm y 1,0 cm ) 3,0 cm e,0 cm. ) 14 3 cm e 8 3 cm. b),0 cm e 3,0 cm. e) 8 cm e cm. c) 6,0 cm e 3,0 cm. Not: ponto é o centro e grvie plc. y (cm) 6,0 Esse proceimento proposto por Rfel, em vez e uilir, if icult in mis o equilíbrio corporl pesso, pois pree fz com que: ) o centro e grvie pesso sej esloco pr um posição que impee o equilíbrio. b) forç norml eerci n pesso, pel pree, sej mior que forç que pesso fz n pree. c) o torque eercio n pesso, pel pree, sej mior que o torque que pesso fz n pree, mbos em relção os pés pesso. ) o centro e grvie pesso não coinci com o seu próprio centro e mss. r o corpo pesso se mnter em equilíbrio, verticl que pss pelo seu centro e grvie precis interceptr menor superfície conve etermin pelos pontos e poio os pés no cão: 1 3 e 6,0 cm 3,0,0 0 3,0 6,0 8,0 1,0 (cm) 1 3 e 6,0 cm Isso não contece quno pesso permnece encost n pree. Respost:

21 ópico 1 Estátic os sólios De que tipo é o equilíbrio os cones omogêneos, e representos n f igur: estável, instável ou iniferente? 64 Supon que, pr rrncr um mourão f inco no cão, um omem, puno-o iretmente com s mãos, tivesse e eercer nele um forç e intensie 1800 N, no mínimo. Mourão Vig Resposts: : estável; : instável; : iniferente. or 6 Ns f igurs bio, temos um isco, cujo centro e grvie é G, que poe girr prticmente sem trito em torno o pino e sustentção S. () r S G () S G () r é um ret verticl r G S S (D) r G,5 m 0,50 m Usno um vig mrr no mourão e poi em um tor, como sugere f igur, etermine mínim intensie forç que o omem precis eercer n vig pr rrncr o mourão. r simplif icr, esconsiere o peso vig e supon que forç totl eerci nel pelo omem estej plic no ponto méio entre sus mãos. orçs n vig: c f igur, ssocie um s lterntivs seguintes: ) osição e equilíbrio estável. b) osição e equilíbrio instável. c) osição e equilíbrio iniferente. ) osição em que o isco não está em equilíbrio. H,5 m 0,50 m 0 Resposts: ) ; b) ; c) ; ) D 63 Eiste um boneco que insiste em f icr em pé pós sofrer qulquer blo. Imginno su bse emisféric e rio R e centro, poemos f irmr que esse brinqueo eemplif ic bem o equilíbrio: E relção : H 3,0 M 0,50 H 3, ,50 H 300 N Respost: 300 N M R Hemisfério ) estável, e seu centro e grvie (G) está cim e. b) estável, e seu G está bio e. c) iniferente, e seu G está em. ) estável, e seu G está no contto com o cão. e) instável, e seu G está bio e. 65 (UMS) Um crrino e pereiro, e peso totl N, é mntio em equilíbrio estático n posição mostr n f igur. nlise s f irmções seguir e ê como respost som os números ssocios às f irmções correts. M H G n 0 Quno o boneco é tombo, o peso prouz um momento em relção o poto e poio e ele volt f icr e pé. Respost: b 40 cm 60 cm (01) móulo forç eerci pelo crregor é igul o o peso o crrino. (0) móulo forç eerci pelo crregor é 400 N. (04) forç resultnte sobre o crrino é nul. (08) móulo forç norml eerci pelo solo sobre o crrino é menor que 1000 N.

22 338 RE III ESÁI orçs no crrino: 6 cm 1 cm y má n 60 cm ssim, temos: 0 40 cm y má 18 cm Em relção : 40 cm c 100 cm N 40 cm c 100 cm c 400 N n + c n n 600 N ortnto, são correts s f irmções 0, 04 e 08. Respost: E.R. N f igur, temos três tijolos iênticos e 4 cm e comprimento empilos. Determine os máimos vlores e e e y pr que pil in se mnten em equilíbrio, como mostr f igur. 4 cm 67 (I-S) onsiere um bloco e bse e ltur em repouso sobre um plno inclino e ângulo α. Supon que o coef iciente e trito estático sej suf icientemente grne pr que o bloco não eslize pelo plno. vlor máimo ltur o bloco pr que bse permneç em contto com o plno é: ) /α. b) /sen α. c) /sen α. ) cotg α. e) cotg α/sen α. α G Iminênci e tombr r que pil se mnten em equilíbrio, evemos impor que o tijolo estej em equilíbrio sobre e que o conjunto estej em equilíbrio sobre. r o tijolo estr em equilíbrio sobre, é preciso que lin e ção o peso e intercepte região e poio e sobre. ssim, o máimo vlor e é 1 cm: y No triângulo estco: tg α 1 cotg α cotg α Respost: 68 (URJ) f igur 1 mostr o brço e um pesso (n orizontl) que sustent um bloco e 10 kg em su mão. Nel, estão inicos os ossos úmero e ráio (que se rticulm no cotovelo) e o músculo bíceps. sso úmero Músculo bíceps má sso ráio má 1 cm r o conjunto estr em equilíbrio sobre, é preciso que lin e ção o peso e intercepte região e poio e sobre. igur 1

23 ópico 1 Estátic os sólios 339 f igur mostr um moelo mecânico equivlente: um brr orizontl rticul em, em equilíbrio, sustentno um bloco e 10 kg. rticulção em é tl que brr poe girr livremente, sem trito, em torno e um eio perpeniculr o plno f igur em. N f igur, estão representos por segmentos orientos: forç eerci pelo bíceps sobre o osso ráio, que tu 4 cm rticulção ; forç f eerci pelo osso úmero sobre rticulção ; o peso p o sistem brço mão, e mss igul,3 kg e plico em seu centro e mss, 0 cm rticulção ; o peso o bloco, cujo centro e mss se encontr 35 cm rticulção. lcule o móulo forç eerci pelo bíceps sobre o osso ráio, consierno g 10 m/s. M 10 kg f 4 cm 0 cm m,3 kg p 3 N; 100 N;? Em relção : 4 cm p 0 cm + 35 cm N Respost: 990 N 35 cm p igur 69 f igur seguir represent us cis iêntics, e, pois em um mes orizontl rel. Entre els, á um brr que não toc mes: b brr empurr pr ireit, recebeno um reção pr esquer, e empurr pr esquer, recebeno um reção pr ireit. onsierno brr in em equilíbrio, temos, em relção e em vlor bsoluto: b b omo b b, concluímos que ci se move ntes. oemos cegr à mesm conclusão e um moo mis simples: estno brr em equilíbrio, temos: + Então, é mior que e ci move-se ntes. Respost: 70 N f igur, temos us prees verticis, um f io iel e 5 m e comprimento preso os pontos e s prees, um poli iel e um corpo, suspenso em equilíbrio o eio poli, e 400 N e peso: 3 m Respon: ) Qul intensie trção no f io? b) intensie trção no f io epene o esnível entre e? ) b sen sen cos cos Qul s us cis se move primeiro quno um forç orizontl e intensie crescente é plic n etremie superior brr? D 400 N E

24 340 RE III ESÁI sen 400 (I) sen triângulo ED é retângulo. omo DE 3 m e D 5 m, temos E 4 m ssim: sen E D 4 5 Em (I): N b) Não epene porque esse esnível não prticip o cálculo e. Resposts: ) 50 N; b) Não epene porque esse esnível não prticip o cálculo e. 7 (uvest-s) rês cilinros iguis,, e, c um com mss M e rio R, são mntios empilos com seus eios orizontis, por meio e murets lteris verticis, como mostr f igur. Desprezno qulquer efeito e trito, etermine, em função e M e g: ) o móulo forç que o cilinro eerce sobre o cilinro ; b) o móulo forç que o piso eerce sobre o cilinro ; c) o móulo forç M que muret eerce sobre o cilinro. Not: Supon que os cilinros e, o serem introuzios no sistem, f icrm pens justpostos, sem qulquer compressão entre eles. y 30 y (IME-RJ) rês mols,, b e c, têm comprimento nturl 0,5 m, b 0,6 m e c 0,7 m e constnte elástic k 10 N/m, k b 15 N/m e k c 18 N/m. Els são ligs entre si e estirs entre us prees istntes,0 metros um outr, one s etremies estão f is, conforme f igur seguir. Qul o comprimento e c um s mols estirs, em equilíbrio? Mg b c M M,0 m 30 omprimento nturl ssocição e mols: 0,5 m + 0,6 m + 0,7 m 1,8 m Seno, b e c s eformções s mols, evemos ter: + b + c,0 m 1,8 m 0, m (I) omo forç elástic tem mesm intensie ns três mols e, temos, em (I): k , ,9 N ssim, seno, b e c os comprimentos s mols eforms: 10 0, cm + 59 cm b 15 0,9 15 b 6 cm b b + b b 66 cm c 18 0,9 18 c 5 cm c c + c c 75 cm Resposts: 59 cm; b 66 cm; c 75 cm y Mg ) Equilíbrio e : y M g y M g M g 3 3 cos 30 M g b) Equilíbrio e nliso n verticl: M g + y M g + M g 3 M g c) Equilíbrio e nliso n orizontl: M M M + sen 30 M g M M M g 3 6 Resposts: ) M g 3 3 ; b) 3 M g ; c) M g 3 6 Mg 3 M g

25 ópico 1 Estátic os sólios Um bolin e ço, e peso, encontr-se em repouso pres em um f io suposto iel, e comprimento, e poi em um emisfério f io e rio R, prticmente sem trito. Seno istânci o polo o emisfério o ponto e suspensão o f io, etermine intensie forç e trção eerci pelo f io em função e,, e R. 74 f igur represent um esfer mciç e cumbo, e peso, suspens em repouso e um cbo cilínrico que está prestes se romper. rio seção trnsversl o cbo e o rio esfer são respectivmente iguis r e R. Qul eve ser o rio r seção trnsversl e um outro cbo, feito o mesmo mteril, pr suportr, tmbém n iminênci e ruptur, um outr esfer mciç e cumbo e rio igul R? R β β y ny n crg máim que o cbo poe suportr é proporcionl à áre e su seção trnsversl. Se outr esfer tem rio obro, seu peso é 3, ou sej, 8. Então: π r 8 π r r r α α n Respost: r R R 75 (p-s) Um vig e peso esprezível é poi por sus etremies e, seno que um omem e peso n sobre el: n n cos α sen β n sen β cos α (I) y + ny cos β + n sen α (II) (I) em (II): cos β + sen β cos α sen α (III) L intensie R reção o poio é pelo gráf ico seguir, em que é istânci e o omem: Nos triângulos estcos: cos β + R cos α, sen β e sen α R R R (N) 560 Em (III): ( + ) + ( + ) + R cos α (R ) R cos α (R ) ( + ) + (R ) + R Respost: + R 140 lcule, então: ) o peso o omem; b) o comprimento L vig. R 0 8 L (m) R

26 34 RE III ESÁI Quno m, R 560 N. Em relção, temos, em móulo: R L (L ) 560 L (L ) (I) 0 cm Quno 8 m, R 140 N. Em relção, temos: 140 L (L 8) (II) Resolveno o sistem e equções (I) e (II), obtemos: ) 700 N e b) L 10 m Resposts: ) 700 N; b) 10 m 45 cm 15 cm 70 cm 40 cm lcule o peso e e trção no cbo. 76 (Mck-S) Um tábu rígi é coloc sobre um cilinro f io, f icno em equilíbrio e n iminênci e escorregr, como mostr f igur. Determine o coef iciente e trito estático entre tábu e o cilinro. G cubo 60 prism 3 45 cm 15 cm 45 cm 30 cm 90 cm Em relção, temos: ( cubo ) 90 prism 45 (5,5 ) 90 6,0 45 n t,5 N e,5 N t Respost:,5 N;,5 N t t µ e n 30 n f igur represent um seção trnsversl e um semicilinro omogêneo e peso e bse e rio r, poio em um superfície pln e orizontl. centro e grvie o semicilinro (G) e o ponto S pertencem à referi seção. sólio cito se mntém em equilíbrio, como n f igur, quno um crg e peso Q está suspens o ponto S por meio e um cor leve. Seno istânci o ponto o centro e grvie G, etermine Q em função e,, r e o ângulo inico. n n tg 30 t n µ e n n r µ e tg 30 0,58 Respost: 0,58 G S 77 (EI-S) f igur inic, em corte, um prism e um cubo omogêneos, e pesos iguis 6,0 N e 5,5 N, respectivmente, sobre o trvessão orizontl e um blnç em equilíbrio. cubo é suspenso por um cbo e mss esprezível que, pssno por um poli iel, sustent um contrpeso. rg

27 ópico 1 Estátic os sólios 343 r r escor estr em equilíbrio e rotção, resultnte, e e, precis estr lin com o ponto. triângulo estco é isósceles. ortnto: À mei que crescer, e tmbém crescerão e má será tingi ntes e má. No triângulo estco: G b b Q S Então: má má 400 má 800 N b sen b Q r cos s momentos e e Q, em relção, tem móulos iguis: Qb b Q r cos sen Q tg r Respost: Q tg r 79 (mn-rj) Vej f igur seguinte. trção máim que cor superior poe suportr é e 400 N e compressão máim que escor poe guentr é e 600 N. cor verticl é suf icientemente resistente pr tolerr qulquer peso envolvio no problem. Q Respost: 80 (UI) Um rme omogêneo e 3 cm e comprimento é obro, como inic f igur, em que 5 cm. r que o rme poio se mnten em equilíbrio, o comprimento eve ser, proimmente, e: ) 6 cm. ) 14 cm. b) 9 cm. e) 15 cm. c) 11 cm. b 45 5 cm b + 3 b + 18 b 18 (I) Equilíbrio e rotção o rme em relção : mior peso e um corpo em repouso que poe ser sustento pel estrutur f igur, consierno esprezível o peso escor, é: ) 800 N. b) N. c) 00 N. ) 600 N. e) 400 N b + b (II) 3 omo o peso e um peço e rme é proporcionl o seu comprimento ( k ), temos, e (II): (k ) b + (k b) b (k ) b + b (III) Substituino (I) em (III), temos: (18 ) + (18 ) (18 ) (8 ) cm Respost: c 81 (UE) f igur mostr um brr omogêne, e comprimento L 1,0 m, pres o teto nos pontos e por mols ieis iguis, e constnte elástic k 1,0 10 N/m. que istânci o centro brr, em centímetros, eve ser penuro um jrro e mss m,0 kg, e moo que brr permneç n orizontl? ote g 10 m/s.

28 344 RE III ESÁI 0,10 m entro k 1 k k 1 k k + m r brr f icr em equilíbrio n orizontl, s eformções e 1 s mols e constntes elástics respectivmente k e k 1 evem stisfzer relção: 1 + orçs n brr: L k 1 1 k brr L m g Em relção : k 1 L 1 + m g k L k L ( ) m g 1 k L m g 1,0 10 0,50 0,10,0 10 0,5 m 5 cm Quno o bloco está n iminênci e tombr, forç norml que ele recebe o plno está plic em. N f igur, e y são s intensies os componentes o peso o bloco e c (tmbém igul ) é intensie forç que o cilinro eerce no bloco. Em relção, temos: ( c + ) y 0 m g sen α m g cos α cos α sen α cotg α Respost: e 83 (limpí rsileir e ísic) Um ste leve é poi nos pontos e ; o seu etremo ireito pene um ble com 50 e águ e, o seu etremo esquero, pene outro ble com 10 e águ, por meio e f ios e msss esprezíveis, conforme o eseno. s msss os bles poem tmbém ser esconsiers. y t c n α Respost: 5 cm 0,60 m 0,40 m 8 (I-S) onsiere o bloco cúbico omogêneo e lo e mss m em repouso sobre um plno inclino e ângulo α, que impee o movimento e um cilinro omogêneo e iâmetro e mss m iêntic à o bloco, como mostr f igur. Supon que o coef iciente e trito estático entre o bloco e o plno sej suf icientemente grne pr que o bloco não eslize pelo plno e que o coef iciente e trito estático entre o cilinro e o bloco sej esprezível.,00 m vlor máimo o ângulo α o plno inclino, pr que bse o bloco permneç em contto com o plno, é tl que: ) sen α 1. b) tn α 1. c) tn α. ) tn α 3. e) cotg α. α Quis s qunties mínim e máim e águ que evem ser trnsferis o ble ireit pr o esquer pr que o sistem f ique em equilíbrio? nlisno o sistem, ns conições f igur, consttmos que ele não se encontr em equilíbrio: brr vi tombr, girno no sentio orário. quntie mínim pei f ic etermin consierno-se o sistem em equilíbrio, poio pens no suporte :

29 ópico 1 Estátic os sólios 345 1,60 m 0,40 m 1 0,40 1 1, V 4 V 1, em que V 1 e V são volumes. V 4 V 1 V V + V e V 48 ortnto, e águ evem ser trnsferios ireit pr esquer. quntie máim pei f ic etermin consierno-se o sistem em equilíbrio, poio pens no suporte : 0,60 m 1,40 m N rgol : tmá µ e n µ e y 0,75 y No triângulo estco: tg 0,75 y y 3 y 4 Então: tg cm Respost: 7 cm cm e fio ,40 1 0,60 V 1,40 V 1 0,60 7V 3 V 1 7V 3 V 1 V V + V e V 1 4 ortnto, 3 e águ evem ser trnsferios ireit pr esquer. Respost: e 3, respectivmente. 84 N f igur bio, temos um cno metálico orizontl e us rgols leves, e, ns quis está mrro um f io consiero iel, e 1,0 m e comprimento. Desse f io, está suspenso, em equilíbrio, um corpo e mss 10 kg por meio e um pequen poli tmbém consier iel. 85 f igur represent um veículo visto e cim, em repouso num superfície pln e orizontl. veículo pes 1,0 m 1 00 kgf e o ponto G é seu centro e grvie. 1,0 m,0 m G Determine s intensies s forçs que s ros recebem 1,0 m superfície one se poim. rseir Dinteir or terem brços iguis em relção o eio, s forçs ns ros trseirs têm mesm intensie t, o mesmo ocorreno com s forçs ns ros inteirs, que têm intensie : Determine máim istânci permiti entre s rgols pr que o sistem permneç em equilíbrio, seno 0,75 o coef iciente e trito estático entre c rgol e o cno. s rgols evem estr n iminênci e escorregr. y y y n tmá t G 1,0 m 1,0 m t 100 kgf Eio Em relção o eio y, temos, em vlor bsoluto: t 1,0,0 t (I) omo forç resultnte no veículo é nul: t + t t (II) Substituino (I) em (II): kgf De (I): t 00 t 400 kgf 1,0 m,0 m Eio y 10 g Respost: 00 kgf em c ro inteir; 400 kgf em c ro trseir.

30 346 RE III ESÁI 86 (IME-RJ) Um esc e 4,0 m e comprimento está poi contr um pree verticl com su etremie inferior,4 m pree, como mostr f igur. esc pes 0 kgf e seu centro e grvie está loclizo no ponto méio. Sbeno que os coef icientes e trito estático entre esc e o solo e entre esc e pree são, respectivmente, 0,50 e 0,0, clcule: ) ltur máim, em relção o solo, que um omem e 90 kgf e peso poe subir sem provocr o escorregmento esc; b) istânci máim pree que se poe poir prte inferior esc vzi sem provocr escorregmento. b) Novmente, esc está n iminênci e escorregr. E 0 kgf ts 0,50 ns tp 0,0 np tp np E b 4,0 m + ts n s 3, m 4,0 m Equilíbrio e trnslção: np ts np 0,50 ns (I) tp + ns E 0,0 np + ns 0 (II),4 m De (I) e (II), vem: ns 1,1 0 kgf e 10 n p 1,1 kgf Então: ts 1,1 10 kgf e t p 1,1 kgf E 0 kgf H 90 kgf µ es 0,50 µ ep 0,0 3, m tp np H E,4 m omo esc está n iminênci e escorregr: ts µ es ns 0,50 ns + ts n s Equilíbrio e rotção (em relção ): tp b + np b E 0 1,1 b + 1, b 0 9b (III) 10 + b 16 (eorem e itágors) (IV) Substituino (III) em (IV): 81 b b 16 b 3,0 m Resposts: ),4 m; b) 3,0 m 87 Um brr cilínric e omogêne, e comprimento igul 300 cm, encontr-se em equilíbrio sustent por um cor e comprimento igul 400 cm e poi em um pree verticl prticmente sem trito, como represent f igur. tp µ ep np 0,0 np Equilíbrio e trnslção: tp + ns H + E 0,0 np + ns 110 (I) np ts np 0,50 ns (II) or De (I) e (II), vem: ns 100 kgf np 50 kgf Então: ts 50 kgf tp 10 kgf Equilíbrio e rotção (em relção ): np 3, + tp,4 H E 1, , + 10, , m 3, (semelnç e triângulos),4 3,,4 3,,4 16 9,4 m rr ree Determine istânci entre o ponto pree one cor está mrr e o ponto pree one brr se poi. N brr tum pens três forçs (peso, trção e norml), e ireções iferentes. omo sbemos, esss forçs são concorrentes num mesmo ponto. Se é o ponto méio brr, então é o ponto méio cor e D é o ponto méio e Q. No triângulo QD: D QD + Q 3 + Q Q 9

31 ópico 1 Estátic os sólios 347 No triângulo Q: b b m g n D n Q + Q 4 () + 9 1,53 m 153 cm Respost: 153 cm 88 Um bloco prismático e omogêneo, e ltur e bse qur e lo b, encontr-se em repouso em um piso plno e orizontl. Q m g b m g b (II) r tombr ntes e escorregr, conição (II) eve ser verif ic ntes (I), ou sej: m g b µ m g b µ e e Respost: b µ e 89 Um cp retngulr omogêne, e espessur uniforme, lrgur e comprimento, está em repouso poi em um superfície pln e orizontl, sob ção e um forç orizontl, como represent f igur. Ess forç e o centro e grvie cp estão em um mesmo plno verticl. t D Um forç, e intensie crescente prtir e zero, é plic no ponto méio rest, perpeniculrmente à fce D. Seno μ e o coef iciente e trito estático entre o bloco e o piso, etermine relção entre b e pr que o bloco tombe ntes e escorregr. b b Seno intensie o peso cp, etermine: ) intensie forç, em função e,, e o ângulo inico n f igur; b) o ângulo E ( um vlor e ), corresponente à posição e equilíbrio instável cp (forç usente), em função e e. ) Vmos eterminr, em relção, o móulo o momento e : n b 1 t t µ e n µ e m g bloco só escorreg se: t, ou sej, se µ e m g m g (I) b b N iminênci e tombr, o bloco se encontr totlmente poio em um região o plno one está su rest inferior ireit. r tombr, o móulo o momento orário e, em relção, eve superr o móulo o momento nti-orário o peso m g : M b (b 1 + b ) M ( cos + sen ) (orário)

32 348 RE III ESÁI Vmos eterminr, gor, em relção, o móulo o momento o peso cp: 90 (UMS) N f igur (I) bio, tem-se um isco omogêneo, e rio (R) e peso (W), f io em um plno y verticl e eios ortogonis. f igur (II) mostr que foi retiro, o primeiro isco f igur (I), um isco e iâmetro (R) cujo centro está orizontlmente lino com o centro o primeiro isco. D y y M b ( ) M ( cos D sen ) M cos sen (nti-orário) Do equilíbrio e rotção cp: M M ( cos + sen ) ( cos sen ) cos sen sen + cos b) N posição e equilíbrio (no cso, instável), verticl trç pelo centro e grvie cp eve pssr pelo ponto e poio : b (I) (II) É correto f irmr que: (01) s coorens o centro e mss peç f igur (II) são 7R 6 ; R. (0) f igur (I) pr f igur (II), o centro e mss se eslocou no sentio oposto o eio e um istânci 7R 6. (08) s coorens o centro e mss o isco f igur (I) são (R ; R). (16) o peso peç f igur (II) é W. (3) s coorens o centro o vzio e iâmetro (R) n f igur (II) são R 4 ; R. Dê como respost som os números ssocios às f irmções correts. y y R R G tg E E rc tg Resposts: ) M ( cos + sen ); M cos sen sen + cos ; β) rc tg E E cos sen ; (l) R Disco f igur (I): oorens o centro e mss: 1 R e y 1 R Áre: 1 π R Mss: M 1 Disco retiro, imginno-o posiciono no vzio peç f i- gur (II): oorens o centro e mss: R e y R Áre: π R π R Mss: M M 1, pois s msss e s áres são proporcionis. 4 R R (ll)

33 ópico 1 Estátic os sólios 349 eç f igur (II): oorens o centro e mss: 3? e y 3 R (por simetri) Áre: Mss: M 3 3 M 1 4 eso: 3 W 4 r eterminr 3, poemos imginr o isco f igur (I) como seno peç f igur (II), com seu vzio preencio pelo isco retiro: 1 M + M 3 3 M + M 3 R M 1 4 R + 3 M M 3 7 R 1 6 inlizno: (001) orret: 3 7 R 6 e y R 3 (00) ls: o centro e mss se eslocou e 1 R pr 3 7 R 6, no sentio o eio. (008) orret. (016) ls. (03) ls. Respost: 9 91 Um prlelepípeo omogêneo e mss m, bse qur e rest b e ltur encontr-se em movimento retilíneo uniformemente vrio, escorregno num superfície pln e orizontl. Em certo instnte, pss tur nele um forç constnte, n mesm ireção e no mesmo sentio o movimento. lin e ção ess forç e o centro e mss (M) o corpo são coplnres e el ist e M. Seno µ o coef iciente e trito cinético entre o prlelepípeo e superfície em que se poi e g intensie o cmpo grvitcionl: v má m g M b tc n Em relção o centro e mss, som os momentos é nul: má + tc n b má + µ m g m g b m g (b µ ) má m g (b µ ) ortnto: 0 b) onsieremos o corpo n iminênci e tombr em virtue, eclusivmente, forç e trito, ou sej, com 0. Em relção o centro e mss, temos: tc má n b µ má m g m g b µ má b ortnto: µ b c) Se for igul zero, não prouzirá momento em relção o centro e mss, qulquer que sej su intensie. Nesse cso, o tombmento só poeri ser cuso pel forç e trito. ortnto, stisfeit conição o item b, com 0 o corpo nunc tombrá. Note, n mesm resolução o primeiro item, que poerá tener inf inito ese que ten zero. 0 v M Resposts: ) 0 m g (b µ ) ; b) µ b ; 0 b ) etermine intensie e pr que o corpo não tombe; b) etermine o máimo vlor e µ comptível com o não-tombmento ( 0); c) supono stisfeit conição o item b, qul é o vlor e que grnte o não-tombmento, inepenentemente intensie e? ) Vmos consierr o corpo n iminênci e tombr, cso em que, pr um etermino vlor e, é máim. Ness situção, forç norml e forç e trito recebis pelo corpo estão plics n rest inteir e su bse, simboliz pelo ponto n f igur seguir. 9 (mn-rj) Um rmário e mss 0 kg é coloco sobre pequens ros e equiistntes s etremies. s ros permitem um movimento livre e tritos sobre o pvimento orizontl. centro e grvie (G) o rmário situ-se n posição mostr n f igur. onsiere 10 m/s celerção evi à grvie. Se um forç e móulo 150 N for plic orizontlmente em um ponto cim o centro e grvie, 0,3 m 0,3 m poemos f irmr que G o rmário f icrá n H iminênci e tombr pr frente quno 0,8 m istânci H meir: ) 1,0 m. b) 1,30 m. c) 1,45 m. ) 1,50 m. e) 1,80 m.

34 350 RE III ESÁI 0,3 m 0,3 m G Sentio o movimento 0,6 m t D H n 0,8 m,0 m 1,4 m Em relção o centro e grvie: n 0, ,3 0,4 m H + 0,8 0,4 + 0,8 Respost: 0,3 m H 1, m 93 (I-S) onsiere um utomóvel e peso, com trção ns ros inteirs, cujo centro e mss está em, movimentno-se num plno orizontl. onsierno g 10 m/s, clcule celerção máim que o utomóvel poe tingir, seno o coef iciente e trito entre os pneus e o piso igul 0,75. D + D (I) r não ocorrer rotção o veículo, em móulo e em relção o centro e mss, o momento orário totl tem e ser menor ou igul o momento nti-orário: t 0,6 + D 0,0 1,4 1,4 3,4 D De (I): 0,6 t +,0 D ( D) 1,4 t 0,6 1,4 3,4 D tmá (II) 0,6 Note que D menor implic tmá mior ( tmá não é forç e estque). 1,4 3,4 D De (II): µ D 1,4 3,4 D 0,6 0,75 D 0,6 D 1,4 3,85 D 1,4 (III) mín 3,85 tmá m má Sentio o movimento 0,6 m De (II) e (III): 1,4 3,4 1,4 3,85 0,6 má,7 m/s m má,0 m 1,4 m Respost:,7 m/s