Cinemática e Dinâmica de Engrenagens 2. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos

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1 Cinemátic e Dinâmic e Engrengens. Engrengens Cilínrics e Dentes Retos Pulo Flores José Gomes Universie o Minho Escol e Engenhri Guimrães 04

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3 ÍNDICE. Engrengens Cilínrics e Dentes Retos..... Introução..... Relções Geométrics Continuie o Engrenmento Relção e Conução Escorregmento Renimento Intererêncis Revisão e Conhecimentos Reerêncis Bibliográics... 44

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5 O homem só poe prener prtir o que já sbe.. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS Aristóteles.. INTRODUÇÃO No presente texto são presentos conceitos e unmentos reltivos à crterizção e o esempenho e engrengens cilínrics e entes retos, os quis servem tmbém e bse no estuo e engrengens e entes inclinos, engrengens cónics e engrengens o tipo pruso sem-im. N relie, est é borgem mis requentemente ot nos principis livros e texto sobre temátic s engrengens (Juvinll e Mrshek, 006; Brnco et l., 009; Buyns e Nisbett, 0). A igur. mostr us engrengens cilínrics e entes retos, qul serve unmentlmente pr eviencir orm os entes, bem como o moo e engrenmento entre c pr e ros. As engrengens cilínrics e entes retos poem ser exteriores ou interiores, como ilustr tmbém igur. (Wilson e Sler, 993). É inubitável que s engrengens cilínrics e ento reto são s mis requentemente utilizs em máquins e mecnismos quno se pretene trnsmitir movimento entre eixos prlelos. Algums s rzões que concorrem pr su populrie prenem-se com simplicie e cilie ssocis às tivies e projeto, brico, montgem e mnutenção (Flores e Gomes, 04). Este tipo e engrengem present renimentos elevos (té 99%), possibilit obtenção e relções e trnsmissão elevs (8:) e trnsmite potêncis elevs (Niemnn, 97). () Figur. () Engrengem cilínric exterior e entes retos; (b) Engrengem cilínric interior e entes retos. A expressão trnsmissão e potênci em engrengens está ssoci à lei conservção e energi os sistems mecânicos (Greenwoo, 965). Em teori, to potênci é trnsmiti ro motor pr ro movi, um vez que não há pers e energi. Este cto é vereiro se se mitir que o contcto entre os entes e um e outr ro contece com movimento e rolmento puro (Flores e Clro, 007). N prátic, o que se pretene é que s engrengens trnsmitm um etermino momento (ou binário), o qul está relciono com cpcie e relizr trblho. N relie, miori s engrengens uncion como sistem reutor, um vez que os sistems e cionmento germ grnes velocies e rotção, tl como contece, por exemplo, nos motores e combustão intern (Norton, 03). (b) Deve relembrr-se que um engrengem é um sistem e trnsmissão e movimento constituío por us ros ents (Henriot, 979).. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS

6 Um os principis prâmetros crterísticos o esempenho s engrengens é o ângulo e pressão (Flores, 009). Este prâmetro é normlizo e ssume, em gerl, o vlor e 0º. Quno ssim contece num engrengem, o ento é enomino e ento normlizo 3 (Brnco et l., 009). Dorvnte, quno se utilizr expressão ento normlizo está utomticmente reerir-se um ento em que o ângulo e pressão é igul 0º. Nos Estos Unios Améric é requente consierr-se um vlor e 5º pr o ângulo e pressão. No psso o vlor e 4,5º er bstnte utilizo, ms tem vino cir em esuso. A igur. mostr o eeito o vlor o ângulo e pressão no peril os entes (Juvinll e Mrshek, 006). () (b) (c) Figur. Eeito o ângulo e pressão no peril o ente: () 4,5º; (b) 0º; (c) 5º. Um outro speto unmentl ns engrengens prene-se com qulie os entes (Cunh, 008). Com eeito, einem-se s seguintes qulies em unção plicção: , engrengens e precisão pr plicção em lbortórios, - 05, engrengens pr máquins operors e instrumentos e mei, - 06 e 07, engrengens pr inústri utomóvel, - 08 e 09, engrengens pr utilizção corrente em mecânic, - 0, engrengens pr lis grícols. A velocie periéric conicion tmbém escolh qulie os entes, tl como se present n tbel.. Tbel. Qulie os entes em engrengens em unção velocie periéric. Velocie periéric (m/s) Qulie os entes Até Mis e Ângulo e pressão é o ângulo ormo pel linh e ção ou e engrenmento com ireção tngente às circunerêncis primitivs no ponto primitivo (Henriot, 979). Ao ento normlizo está sempre ssocio um ângulo e pressão igul 0º. Dento norml, por seu lo, iz respeito um ento que não oi corrigio (Brnco et l., 009). CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

7 .. RELAÇÕES GEOMÉTRICAS Nest secção são presents s principis relções geométrics e proporções os entes pr o cso e engrengens cilínrics e ento reto, lgums s quis estão represents n igur.3 (Flores e Gomes, 04). e h h s h Figur.3 Principis elementos geométricos e proporções os entes e um ro ent cilínric exterior e ento reto norml. É sbio que o móulo e o número e entes einem completmente um ro ent norml (Shigley e Mischke, 989). O prouto ests us qunties result no iâmetro primitivo ro, ou sej, mz (.) em que m represent o móulo e z é o número e entes. A sliênci e reentrânci e um ente relcionm-se com o móulo seguinte orm (Henriot, 979) h m (.) h, 5m (.3) Logo, ltur totl o ente é pel som sliênci com reentrânci, isto é, h h h, 5m (.4) Por seu lo, o iâmetro e coro ro é clculo o seguinte moo h m (.5) Ateneno gor à einição e móulo, utilizno equção (.), então o iâmetro e coro poe tmbém ser clculo recorreno à seguinte expressão m mz m m( z ) (.6) De moo nálogo, o iâmetro e riz ro é einio como (.7) h D substituição equção (.3) n equção (.7) result que, 5m (.8). ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 3

8 Consierno gor equção (.), então equção (.8) poe ser reescrit seguinte orm mz,5m m( z,5) (.9) Com eeito, os iâmetros e coro e e riz e um ro ent e ente reto norml poem ser relcionos entre si o seguinte moo h (.0) Se se consierr inexistênci e qulquer olg entre os entes, então o psso poe ser meio pel som espessur o ente com o intervlo o ente, ou sej, p s e (.) one, teneno à einição e psso, espessur e o intervlo o ente poem ser clculos o seguinte moo p πm s e (.) s e g s j Figur.4 Representção olg entre entes e olg riz. A igur.4 mostr s olgs que existem, n prátic, ns engrengens cilínrics. A olg entre os entes poe estr ssoci o stmento (proposito ou não) os centros e rotção s ros ou à iminuição espessur o ente em relção os vlores normlizos. Este tipo e olg poe ser não só necessário, como tmbém esejável, já que cilit lubriicção e possibilit iltção os entes evio eeitos térmicos (Drgo, 988). Cso ssim não osse, s engrengens tenerim bloquer ou, pelo menos, uncionr em conições pouco ceitáveis. As igurs.4 e.5 mostrm, respetivmente, existênci olg entre os entes evio à iminuição espessur os entes e o umento o entre-eixo. Deve reerir-se que olg entre os entes é mei n ireção linh e ção. N prátic, olg entre os entes epene o gru e precisão com que os entes s ros são prouzios. Assim, ierentes cenários poem ser istinguios, nomemente (Buyns e Nisbett, 0): g 0 (engrengens e muito elev precisão) (.3) 39 0 g p, s p (engrengens e precisão) (.4) CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

9 p g p, p s p (engrengens correntes) (.5) g p, s p (engrengens obtis por unição) (.6) 0 40 Com eeito, olg no entreente é express por (Henriot, 979) g p s (.7) g Figur.5 Representção olg existente entre ois entes origin pelo umento e entre-eixo. A olg n riz é necessári pr evitr que superície e coro e um ro e superície e riz ro que com el engren entrem em contcto. Pr o eeito, s recomenções pr olg n riz sugerem seguinte relção (Henriot, 979) j h h,5m m 0, 5m (.8) No que concerne o rio e concorânci riz os entes não existem recomenções relevntes. Tovi, é bo prátic que quele rio sej proporcionl o móulo seguinte orm (Juvinll e Mrshek, 006) m (.9) 3. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 5

10 É eviente que lrgur os entes é um s principis vriáveis e projeto e engrengens, que está iretmente relcion com própri resistênci os entes. Apesr e não existirem inicções s norms interncionis, lrgur os entes everá estr compreeni no seguinte intervlo (Juvinll e Mrshek, 006) 9m b 4m (.0) Consierno gor um engrengem cilínric exterior e ento reto norml, represent n igur.6 pels circunerêncis primitivs, então istânci entre os eixos s ros poe ser clcul como (.) em que os ínices e se reerem, respetivmente, o pinhão (ou crreto) e à ro (ou coro). Utilizno gor expressão (.), equção (.) poe ser reescrit o seguinte moo 4 mz mz z z m (.) C r I v v r C Figur.6 Engrengem cilínric exterior represent pels circunerêncis primitivs. Ain n igur.6 está represent velocie o ponto primitivo, o qul pertence quer o pinhão, quer à ro. Ateneno que este ponto é um centro instntâneo e rotção, então poe escrever-se seguinte igule v v r r (.3) em que e são s velocies ngulres o pinhão e ro, respetivmente. Assim, teneno à einição e relção e trnsmissão, poe escrever-se que r i r (.4) 4 Deve relembrr-se que o engrenmento entre us ros ents só é possível se ests tiverem o mesmo móulo (Flores e Gomes, 04). 6 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

11 Est equção poe ssumir seguinte orm, utilizno pr tl equção (.) i (.5) mz mz A equção (.5) mteriliz relção e trnsmissão e um engrengem, tmbém enomin e vntgem mecânic 5 (ou gnho mecânico), um vez que poe truzir iei e multiplicção e orç (Antunes, 0). À guis e conclusão genéric, eve reerir-se que tos s imensões s ros e proporções os entes poem ser expresss em unção, únic e exclusivmente, o móulo e o número e entes. A tbel. resume os principis prâmetros nteriormente presentos. Tbel. Principis relções geométrics e proporções os entes pr engrengens cilínrics exteriores e ento reto norml. Prâmetro Diâmetro primitivo Sliênci Reentrânci z z Expressão mz h m h, 5m Altur o ente h, 5m Diâmetro e coro m( z ) Diâmetro e riz m( z,5) Entre-eixo Relção e trnsmissão m z z z i z Exercício. Enuncio: Consiere um engrengem cilínric exterior e ento reto normlizo, em que o pinhão e coro têm, respetivmente, 9 e 76 entes. Ateneno que o móulo é igul 3 mm, clcule os seguintes prâmetros geométricos pr o pinhão: (i) sliênci, (ii) reentrânci, (iii) ltur o ente, (iv) iâmetro primitivo, (v) iâmetro e coro e (vi) iâmetro e riz. Represente gricmente os prâmetros nteriormente clculos (Wilson e Sler, 993). Prão e respost espero: h = m = 3 mm h =,5m = 3,75 mm h =,5m = 6,75 mm = mz = 57 mm = m(z +) = 63 mm = m(z,5) = 49,5 mm A igur.7 iz respeito à representção gráic os prâmetros geométricos previmente eterminos. 5 Vntgem mecânic poe ser eini como o quociente entre orç/ção esenvolvi num sistem mecânico e orç/ção que é plic no mesmo sistem. Ns engrengens vntgem mecânic está iretmente relcion com rzão entre os binários e sí e e entr (Beer e Johnston, 99).. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 7

12 3,75 3 6,75 49, Figur.7 Representção gráic os prâmetros geométricos clculos no âmbito o exercício e plicção.. N igur.8 encontr-se represent um engrengem prlel interior e entes retos, em que tnto o pinhão como ro têm o eixo e rotção o mesmo lo reltivmente à loclizção o ponto primitivo. Done se poe inerir que no cso ro, posição s circunerêncis e coro e e riz estão invertis quno comprs com um engrengem cilínric exterior. Assim, circunerênci e coro está situ interiormente em relção à circunerênci primitiv. O mesmo contece com circunerênci e bse (Hmrock et l., 005). Tl como sucee ns engrengens cilínrics exteriores, nos engrenmentos interiores lterção o entre-eixo não tem consequêncis nos iâmetros e bse o pinhão e ro. N vere, s circunerêncis e bse são o elemento ulcrl n gerção os peris os entes em evolvente (Henriot, 979). Com eeito, por exemplo, o umento o entre-eixo origin um umento o ângulo e pressão e um iminuição extensão linh e engrenmento. Acresce in o cto e que os peris os entes ssim engrenos continurem ser conjugos 6 (Juvinll e Mrshek, 006). Circunerênci primitiv Circunerênci e riz F E C C b O Circunerênci e bse Circunerênci e coro Figur.8 Engrengem cilínric interior e entes retos. 6 Os peris os entes enominm-se conjugos quno existe tngênci entre s superícies e ois entes e us ros engrens (Spotts e Shoup, 998). 8 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

13 A tbel.3 contém s principis relções geométrics e proporções os entes pr um engrengem cilínric interior e ento reto norml. Deve notr-se que toos os prâmetros qui presentos são expressos pens em unção o móulo engrengem e o número e entes s ros. Tbel.3 Principis relções geométrics e proporções os entes pr engrengens cilínrics interiores e ento reto norml. Prâmetro Diâmetro primitivo Sliênci Reentrânci Expressão mz h m h, 5m Altur o ente h, 5m Diâmetro e coro o pinhão m( z ) Diâmetro e coro ro m( z ) Diâmetro e riz o pinhão m z,5) ( Diâmetro e riz ro m z,5) Entre-eixo Relção e trnsmissão ( m z z z i z. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 9

14 .3. CONTINUIDADE DO ENGRENAMENTO A continuie o engrenmento iz respeito à quntie 7 e pres e entes que está engren em simultâneo urnte uncionmento e um engrengem. Assim, pr que o engrenmento e us ros conteç em bos conições, o ponto e vist continuie o engrenmento, é necessário que pelo menos um pr e entes estej engreno urnte trnsmissão o movimento (Spotts e Shoup, 998; Buyns e Nisbett, 0). Por outrs plvrs, poe izer-se que existe continuie o engrenmento quno um pr e entes termin o seu engrenmento só pós o pr e entes seguinte ter já inicio o contcto. A situção limite, em que há pens e só um pr e entes em contcto, está represent n igur.9 (Brnco et l., 009). Este ssunto será estuo mis etlhmente n secção subsequente. F I B A E Figur.9 Engrenmento em que pens há contcto num pr e entes, o qul grnte, teoricmente, continuie o engrenmento. É sbio que no cso e engrengens prlels e entes geros em evolvente e círculo, linh e ção 8 ou linh e engrenmento é um segmento e ret, tl como se ilustr n igur.0 (Shigley e Mischke, 989). No âmbito o presente texto mite-se que o pinhão ou crreto é ro motor, enqunto coro é ro movi. Deve in relembrr-se qui que linh e engrenmento é sempre tngente às circunerêncis e bse s us ros, pss pelo ponto primitivo e z um ângulo (ângulo e pressão) com linh tngente às circunerêncis primitivs (Henriot, 979; Brnco et l., 009; Norton, 03). 7 8 É eviente que c ente e um ro ent está engreno pens um vez em c rotção complet ro. Este speto é unmentl no estbelecimento o número mínimo e entes que um ro ent eve ter (Henriot, 979). A linh e ção ou linh e engrenmento é, por einição, linh que une s sucessivs posições o ponto e contcto e um engrengem (Flores e Gomes, 04). 0 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

15 O r b C C b C r F C A L C I D M B E C b C C r r b C Figur.0 Representção linh e ção ou linh e engrenmento e um engrengem cilínric exterior e ento reto norml. Observno igur.0, poe irmr-se que o engrenmento entre ois entes se inici quno circunerênci e coro ro movi interset linh e ção. Este ponto é represento pel letr C n igur.0. Neste mesmo instnte, o ponto em que o peril o ente o pinhão interset circunerênci primitiv é mterilizo pelo símbolo L. De moo nálogo, o engrenmento termin quno circunerênci e coro ro motor interset linh e ção. Este ponto é represento pel letr D n igur.0. Neste mesmo instnte, o ponto em que o peril o ente o pinhão interset circunerênci primitiv é mterilizo pelo símbolo M. À istânci entre os pontos e início e término o engrenmento (segmento CD), chm-se comprimento e conução ou comprimento e ção (Buyns e Nisbett, 0). Conclui-se, portnto, que o engrenmento entre um pr e entes está, em gerl, compreenio entre os pontos A e B que einem linh e engrenmento. Os ângulos e representos n igur. enominm-se e ângulos e conução ou ângulos e ção s ros motor e movi, respetivmente. Por seu lo, os ângulos e representm os ângulos e proximção s ros motor e movi, e izem respeito à mplitue e rotção e c um s ros ese o início o contcto, té o instnte em que o ponto e contcto ocorre no ponto primitivo. Do O. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS

16 mesmo moo, os ângulos e izem respeito os ângulos e stmento s ros motor e movi, respetivmente. Estes ângulos representm mplitue e rotção s ros ese o instnte corresponente o ponto primitivo té que o ponto e engrenmento entre os entes tinge o término o contcto (ponto D). É, pois, eviente, por einição e pel observção igur. que (.6) (.7) A igur. reere-se três posições sucessivs e um pr entes engrenos. D nálise est igur poe izer-se que o engrenmento se inici no ponto C, isto é, quno pont o ente ro movi contct com o lnco o ente ro motor. O engrenmento termin no ponto D, ou sej, quno pont o ente ro motor eix e estr em contcto com o lnco o ente ro movi. Durnte o engrenmento, poem ser istinguis us ses, sber (Henriot, 979): - Fse ou períoo e proximção, represent pelo segmento e ret CI ou pelo rco e circunerênci LI, - Fse ou períoo e stmento, represent pelo segmento e ret ID ou pelo rco e circunerênci IM. O r b C C b C r F C A L C I D M B C E C C b r r b C Figur. Representção e três posições sucessivs e um pr e entes engreno. O CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

17 Então, n se e proximção poe escrever-se que l CI (comprimento e proximção) (.8) l LI (rco e proximção) (.9) cos N obtenção o último membro equção (.9) utilizrm-se os conceitos e mplitue e um rco o centro, evolvente e um círculo e que o rio e bse se relcion com o rio primitivo seguinte orm (Flores e Gomes, 04) Por seu lo, n se e stmento tem-se que r b r cos (.30) l ID (comprimento e stmento) (.3) l IM (rco e stmento) (.3) cos Com eeito, urção o engrenmento poe ser eini como som s prcels corresponentes às ses e proximção e e stmento, ou sej l l l CD (comprimento e conução) (.33) l LM (rco e conução) (.34) cos Deste moo, pr que hj continuie o engrenmento é necessário que se veriique seguinte conição (Henriot, 979) l p n ou p (.35) em que p n represent o psso norml 9 e p é o psso primitivo 0. Deine-se relção e conução, ou rzão e conução, como seno o quociente entre o rco e conução e o psso, ou sej (Buyns e Nisbett, 0) l (.36) p πm cos A equção (.36) permite eterminr o número méio e pres e entes em contcto urnte o engrenmento. Pr situção e engrenmento represent n igur.9, relção e conução é igul à unie, signiicno que um ente e o entreente ocupm completmente o rco e conução LM. Por outrs plvrs, quno um pr e entes está inicir o contcto no ponto A, o pr e entes nterior está, no mesmo instnte, terminr o contcto no ponto B. Note-se que nest situção prticulr, os pontos A e C, bem como os pontos B e D, são coincientes. N prátic, 9 Psso norml é istânci que sepr ois lncos homólogos consecutivos. Trt-se, portnto, e um segmento e ret (Flores e Gomes, 04). 0 Psso primitivo ou psso é, por einição, o comprimento o rco circunerênci primitiv compreenio entre ois lncos homólogos e consecutivos (Henriot, 979). O rco e conução é, por vezes, enomino e rco e ção ou rco e engrenmento (Wilson e Sler, 993).. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 3

18 o projeto e esempenho e engrengens requer que o vlor relção e conução estej situo entre, e,6, e moo grntir continuie o engrenmento, evitr choques entre os entes e minimizr o ruío (Henriot, 979; Wilson e Sler, 993). Vlores muito elevos e são vntjosos em termos e continuie, ms poem cusr iicules o nível s inerêncis entre os entes. É, portnto, necessário estbelecer um compromisso entre continuie o engrenmento e s intererêncis e uncionmento (Brnco et l., 009). O esgste que sempre ocorre entre os componentes mecânicos que escrevem movimento reltivo, s tolerâncis e brico e e montgem, poem originr iminuição relção e conução, o que, por su vez, poerá levr o uncionmento eiciente s engrengens, truzio por choques, ruío e vris premturs (Drgo, 988). Por conseguinte, procur-se que relção e conução sej sempre superior,3, o que signiic que quno um pr e entes inici o contcto, o pr e entes nterior in não lcnçou o ponto D (c. igur.), hveno, portnto, um períoo o engrenmento em que ois pres e entes estão em contcto, um n vizinhnç o ponto C e outro n vizinhnç o ponto D. Finlmente, eve reerir-se que no cso mis gerl, relção e conução é constituí por us componentes, um ril e outr xil. A relção e conução totl é, pois, igul à som ests us prcels, ou sej (Juvinll e Mrshek, 006) ril xil (.37) É eviente que componente xil pens existe em engrengens com entes inclinos (ou helicoiis) e com entes em espirl. 4 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

19 .4. RELAÇÃO DE CONDUÇÃO Nest secção é esenvolvi um expressão gerl que permite eterminr o vlor relção e conução pr o cso e engrengens cilínrics e ento reto norml. Pr o eeito, consiere-se igur. one se represent um engrenmento este tipo e engrengem (Brnco et l., 009; Norton, 03). O C C C b F C A L C l I l D M B C E C C b C Figur. Representção os rcos e os comprimentos e proximção e e stmento num engrengem cilínric exterior e ento reto. Tl como oi presento n secção nterior, einição e relção e conução poe ser escrit o seguinte moo (Buyns e Nisbett, 0) O (.38) p em que represent o rco e conução e p é o psso engrengem. O rco e conução é igul à som o rco e proximção com o rco e stmento, ou sej, LI IM (.39). ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 5

20 Ateneno o conceito e mplitue e um rco o centro, então os rcos e proximção e e stmento poem ser einios seguinte orm LI r (.40) IM r (.4) one r represent o rio primitivo o pinhão, e e são, respetivmente, os ângulos e proximção e e stmento, tl como se ilustr n igur.. Teno presente o conceito e curv evolvente e um círculo, então nálise igur. os comprimentos e proximção e e stmento poem ser expressos o seguinte moo CI r b (.4) ID r b (.43) em que r b represent o rio e bse o pinhão. Sbeno que relção entre o rio e bse e o rio primitivo e um ro ent e entes retos é pel equção (.30), então s equções (.4) e (.43) poem ser reescrits seguinte orm CI (.44) r cos ID r cos (.45) Substituino gor s equções (.44) e (.45) ns equções (.40) e (.4), respetivmente, result que CI l LI (.46) cos cos ID l IM (.47) cos cos Ateneno à einição e psso, equção (.38) poe ser express como CI ID CD (.48) p πmcos πmcos em que o enominor poe ser esigno como psso e bse, ou sej, p b πmcos (.49) e que represent o psso meio n circunerênci e bse (Wilson e Sler, 993). O comprimento e conução, necessário pr eterminr relção e conução, poe ser expresso seguinte orm em que CD CI ID (.50) CI CB IB (.5) ID AD AI (.5) 6 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

21 Em relção o triângulo retângulo O BC poem ser eterminos os comprimentos os los O C e O B, isto é O C r h (.53) OB r cos (.54) Aplicno gor o teorem e Pitágors o triângulo O BC, result que O C O B r h r CB (.55) cos Por outro lo, in nálise igur., sbe-se que IB r sen (.56) Logo, o comprimento e proximção é o pel seguinte expressão l r h r sen CI CB IB cos r (.57) De moo nálogo, poe ser etermino o comprimento e stmento. Assim, o triângulo O AD, poem ser clculos os comprimentos os los O D e O A, O D r h (.58) O A r cos (.59) D plicção o teorem e Pitágors o triângulo retângulo O AD vem que O D O A r h r AD (.60) cos Agor, observção igur. conclui-se que AI r sen (.6) Logo, o comprimento e stmento é o pel seguinte expressão l r h r sen ID AD AI cos r (.6) Com eeito, o comprimento e conução poe ser clculo combinno s equções (.50), (.57) e (.6), resultno em r h r r sen r h r cos sen l CD cos r (.63) Finlmente, relção conução express pel equção (.48) poe ser reescrit seguinte orm r h r r sen r h cos cos sen r r (.64) πmcos Teno em cont s relções geométrics e proporções os entes, nteriormente estus, equção (.64) poe ser simpliic e express, únic e exclusivmente, em unção o número e entes e o ângulo e pressão, ou sej π cos z z sen z 4 z sen z 4 z sen (.65). ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 7

22 D nálise s equções (.64) e (.65) poe concluir-se que continuie o engrenmento melhor (i.e., ument) quno: - Aumentm s sliêncis os entes, - Aumentm os iâmetros primitivos s ros, - Diminui o ângulo e pressão. Deve in mencionr-se que s equções (.64) e (.65) são tmbém vális pr engrengens cilínrics interiores, seno que no último cso se consier o sinl ( ) pr z (Henriot, 979). Neste tipo e engrengem, continuie o engrenmento melhor (i.e., ument) quno: - Aumentm s sliêncis os entes, - Aument o iâmetro primitivo o pinhão, - Diminui o iâmetro primitivo ro, - Diminui o ângulo e pressão. F F/ C C b F/ D B F C Q C C P C E A C b Figur.3 Evolução s orçs e contcto nos entes urnte o engrenmento. Tl como oi menciono nteriormente, relções e conução mis elevs são benéics, não só em termos e continuie o engrenmento, ms tmbém em termos istribuição s orçs e contcto entre s superícies os entes (Brnco et l., 009). Assim, igur.3 iz respeito à evolução s orçs e contcto o longo e engrenmento, pr um pr e entes conjugos. Nest representção mite-se que existem ois pres e entes engrenos o mesmo tempo urnte os períoos corresponentes os comprimentos e conução CP e QD. Com eeito, urnte estes ois períoos, orç e contcto é istribuí pelos ois pres e entes, enqunto no períoo corresponente o comprimento e conução PQ, orç é pens suport por um pr e entes. Poe cilmente observ-se que o comprimento e conução PQ iminui com o umento relção e conução, o que é vntjoso em termos e istribuição s orçs esenvolvis urnte o engrenmento. A nálise sobre istribuição e orçs qui present é lgo simplist, n mei em que os eeitos ssocios à eormção os entes e os erros e brico/montgem são negligencios. 8 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

23 Exercício. Enuncio: Consiere um engrengem cilínric exterior e ento reto normlizo, em que o pinhão e coro têm, respetivmente, 9 e 76 entes. Ateneno que o móulo é igul 3 mm, clcule relção e conução engrengem. Comente o resulto obtio. Prão e respost espero: Utilizno equção (.65) e consierno os os mencionos no enuncio, isto é, z = 9, z = 76 e = 0º, result que relção e conução é =,68. Poe, pois, concluir-se que engrengem em estuo present bo continuie o engrenmento, um vez que, em méi, há cerc e,68 entes em contcto. Este vlor está clrmente cim s inicções e projeto, isto é, >,3. Deve in reerir-se que pelo cto o vlor relção e conução não ser emsio elevo, não é expectável existênci e intererêncis e uncionmento.. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 9

24 .5. ESCORREGAMENTO Num engrengem, o movimento reltivo entre s superícies os entes o pinhão e ro, que contece urnte o engrenmento, não é o tipo rolmento puro. N vere, à exceção o ponto primitivo, existe sempre um escorregmento ssocio à ção conjug entre os peris os entes. O engrenmento e ois peris conjugos é, portnto, composto por um misto e rolmento e e escorregmento (Henriot, 979). Pr melhor se compreener o que cb e ser irmo, consiere-se igur.4, one s velocies periérics e um ponto genérico, P, situo n linh e engrenmento, estão represents. N mesm igur incluem-se tmbém s projeções s velocies periérics ns ireções einis pel linh e engrenmento e perpeniculr est. Atente-se, ese já, que s projeções s velocies o ponto P n ireção linh e engrenmento são iguis, pois cso ssim não contecesse, existirim escontinuies no engrenmento, s quis se mterilizrim em choques (Juvinll e Mrshek, 006). D nálise igur.4 poe in inerir-se que s velocies o ponto P projets n ireção perpeniculr à linh e engrenmento são istints. Ests últims componentes s velocies periérics são responsáveis pelo escorregmento que existe no engrenmento e ois peris conjugos pr o cso e engrengens cilínrics exteriores. É eviente que existênci e escorregmento ns engrengens inluenci o seu esempenho. O ~ F C I P v r D B v t v t v v C v r A C E ~ O Figur.4 Representção s velocies periérics e um ponto genérico situo n linh e engrenmento. No engrenmento igur.4 consier-se que ro é ro motor e que ro é ro movi. A velocie e escorregmento totl é pel som, em vlor bsoluto, s velocies e rolmento v r e v r. Pr o cso s engrengens 0 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

25 prlels, velocie e escorregmento poe ser clcul com reerênci o ponto primitivo, o qul é, como se sbe, um centro instntâneo e rotção (Flores, 0). Assim, pr o ponto P velocie e escorregmento é express o seguinte moo v g IP (.66) em que IP é istânci o ponto P o ponto primitivo e represent o móulo velocie instntâne e rotção reltivmente o centro instntâneo e rotção (I), qul poe ser clcul o seguinte moo (pr engrengens exteriores) (.67) (pr engrengens interiores) (.68) D nálise s equções (.67) e (.68) poe observr-se que no cso e engrengens interiores, existe menos escorregmento um vez que s us ros rom no mesmo sentio e, consequentemente, é menor o vlor bsoluto e (Buyns e Nisbett, 0). O sentio velocie liner e escorregmento epene iretmente o sentio velocie instntâne e rotção,. Um vez einio o sentio e uncionmento e um engrengem exterior, veriic-se que mntém, quer o móulo, quer intensie, urnte o engrenmento. Com eeito, velocie e escorregmento, que vri linermente, é (Henriot, 979): - Tngente os peris conjugos no ponto e contcto, - Nul no ponto primitivo, - Máxim no início e no im o engrenmento, porém, com sentios opostos. O v g ~ F C I P v r D B v t v t v v C A C v r E ~ O Figur.5 Vrição velocie e escorregmento o longo o comprimento e conução num engrengem prlel exterior e entes retos.. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS

26 A igur.5 mostr vrição velocie e escorregmento o longo o comprimento e conução (Henriot, 979). É por emis eviente que vrição velocie e escorregmento tem consequêncis no esenvolvimento o esgste ns superícies os entes e no renimento s engrengens, tl como se esturá mis à rente no presente texto. O ~ F C C P Q R V U T S S S T R T Q V R U Q U V P E ~ P O Figur.6 Vrição o escorregmento entre ois peris conjugos e um engrengem cilínric exterior. N igur.6 represent-se o engrenmento entre o pinhão e coro e um engrengem cilínric exterior, em que o comprimento e conução está iviio em seis prtes iguis entre si. Ests seis ivisões estão elimits pelos pontos P, Q, R, S, T, U e V. Por su vez, s ivisões o comprimento e conução poem ser trnseris pr os lncos os entes o pinhão e coro esenhno rcos e circunerênci com centros em O e O, respetivmente. Deste moo, obtêm-se os pontos corresponentes P, Q, V, ou sej, P, Q, V e P, Q, V, como se ilustr n igur.6. Com eeito, teneno às propriees linh e engrenmento, os pontos P, Q, V corresponem os pontos e contcto entre os peris os entes o pinhão e coro nos pontos P, Q, V e P, Q, V. Atente-se gor que os rcos P Q e P Q têm comprimentos consiervelmente istintos. Este cto, signiic que no mesmo períoo e engrenmento, o movimento o ponto e contcto que escreve os rcos P Q e P Q, respetivmente nos lncos os entes o pinhão e coro, contece com escorregmento reltivo entre os peris os entes (Henriot, 979). A mesm nálise é váli e óbvi pr os emis rcos representos nos peris os entes o pinhão e ro. Em sum, observ-se, portnto, existênci e escorregmento urnte o engrenmento e ois peris conjugos (Brnco et l., 009). CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

27 A igur.7 iz respeito à representção gráic os rcos representos n igur.6, em que são evientes s ierençs nos comprimentos os respetivos segmentos e ret. Veriic-se, um vez mis, que o escorregmento é nulo no ponto primitivo e que quele ument à mei que o ponto e contcto se proxim s extremies os peris os entes. V U T S R Q P V U T S R Linh primitiv Q P Coro Pinhão Figur.7 Representção gráic evolução o escorregmento no pinhão e n coro corresponente à ilustrção igur.6. N igur.8 present-se gricmente o escorregmento pr o cso e um engrengem cilínric interior em que oi segui mesm metoologi cim escrit pr s engrengens exteriores. Em jeito e observção gerl, poe izer-se que s engrengens interiores presentm menos escorregmento que s engrengens exteriores e, por conseguinte, têm renimentos superiores, tl como hvi sio menciono nteriormente. O escorregmento bsoluto ou totl poe ser quntiico pels ierençs os rcos os peris conjugos os entes o pinhão e ro nos períoos e proximção e e stmento (Henriot, 979; Brnco et l., 009). Assim, com reerênci à igur.6 poe escrever-se que g IP IP (escorregmento e proximção) (.69) g IV IV (escorregmento e stmento) (.70) Então, tem-se que o escorregmento totl é o por g g g IP (.7) IP IV IV Consiere-se gor igur.9 em que um ponto genérico, P, está loclizo n linh e engrenmento EF, o qul está um istânci x o ponto primitivo. Assim, urnte um intervlo e tempo elementr t, o ponto P esloc-se um istânci elementr x, enqunto s circunerêncis primitivs, que rolm sem escorregr, escrevem um trjetóri ngulr elementr s, tl como se poe observr n igur.9. D nálise est igur e teneno que s ros rolm sem escorregr, poe escrever-se seguinte relção x s cos (.7). ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 3

28 F V V V C R S U S U T T R S T R U C Q Q Q P E P P ~ O O V V U T U T Linh primitiv S S R Q P R Q P Pinhão Coro Figur.8 Escorregmento entre ois peris conjugos e engrengem interior. Por seu lo, os rcos elementres escritos pels circunstâncis primitivs poem ser etermins consierno que quels escrevem um movimento uniorme s vt t (.73) s vt t (.74) Combinno gor s equções (.7), (.73) e (.74) obtêm-se s expressões t x cos (.75) t x cos (.76) 4 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

29 O ~ C F I x s P E C ~ O Figur.9 Ponto genérico P situo sobre linh e engrenmento pr o cso e um engrengem cilínric exterior que escreve um eslocmento elementr x. Por outro lo, consierno s equções (.66) e (.67), escorregmento elementr corresponente o intervlo e tempo t é o por g ( ) xt (.77) D substituição s equções (.75) e (.76) n equção (.77) result que x g x (.78) cos Logo, o escorregmento totl poe ser obtio integrno equção (.78) o longo e too o comprimento e conução, em que se sbe que nos pontos C e D o vlore e x é l e l, respetivmente. Com eeito, equção (.78) vem que l l l g g l (.79) cos one o sinl (+) iz respeito às engrengens exteriores e o sinl ( ) se reere às engrengens interiores. O cálculo o escorregmento totl é prticulrmente relevnte n eterminção o renimento s engrengens (Drgo, 988). Tovi, o conhecimento o escorregmento totl não é e per si muito útil n crterizção evolução o esgste que ocorre o longo os lncos os entes, um vez que o escorregmento é istribuío e moo bstnte istinto no pinhão e n coro. Aliás, como se poe testr pel nálise igur.7. Poe cilmente observr-se que o esgste é mis centuo no pinhão o que n ro, seno que ierenç nos esgstes será tnto mior qunto. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 5

30 mior or relção e trnsmissão, ou sej, qunto mior or o quociente entre o número e entes coro e o número e entes o pinhão (Buyns e Nisbett, 0). Os pontos críticos o esgste são os pontos corresponentes o início e o im o engrenmento (Brnco et l., 009). Este ssunto será objeto e estuo etlho nos próximos prágros. Com o intuito e mis cilmente se poerem relcionr os esgstes que ocorrem o longo os peris os entes o pinhão e coro, eine-se um grnez imensionl enomin e escorregmento especíico (Henriot, 979). O escorregmento especíico é, por einição, o quociente entre o escorregmento e o rolmento que se veriic nos peris conjugos. Assim, com reerênci à igur.7, urnte o períoo e engrenmento que vi ese o ponto P té o ponto Q, observ-se que PQ P Q g s (.80) PQ PQ P Q g s (.8) P Q em que g s e g s se reerem os escorregmentos especíicos o pinhão e coro, respetivmente. Deve ese já luir-se que é relevnte, o ponto e vist o projeto e engrengens, minimizr os escorregmentos especíicos (Brnco et l., 009). Com reerênci à igur.0 observ-se que s velocies e rolmento os peris os entes o pinhão e coro estão represents por v r e v r, respetivmente. Os vlores ests componentes s velocies periérics poem ser clculos o seguinte moo (Wilson e Sler, 993) v r AP (.8) v r BP (.83) em que P é um ponto genérico que se consier como pertencente, or o pinhão, or à coro. Assim, s velocies e escorregmento especíico entre os peris os entes o pinhão e coro poem ser etermins pel ierenç entre s velocies e rolmento. Então, tem-se que v v v v (.84) g r r v v (.85) g r r one v g é velocie e escorregmento o peril o ente o pinhão reltivmente o peril o ente coro e, por su vez, v g iz respeito à velocie e escorregmento o peril o ente coro em relção o peril o ente o pinhão. Com eeito, o escorregmento especíico poe tmbém ser estbelecio como seno o quociente entre velocie e escorregmento e velocie e rolmento, ou sej (Brnco et l., 009) g v v v r r r s (.86) vr vr vr vr vr g s (.87) v v r r 6 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

31 O F C I P v r B v v A E v r C O Figur.0 Representção s velocies e rolmento e um ponto genérico situo n linh e engrenmento. Combinno s equções (.86) e (.87) poe estbelecer-se seguinte relção entre os escorregmentos especíicos g s g (.88) s gs D nálise s expressões (.8), (.83), (.86) e (.87) observ-se, liás como seri expectável, que no ponto primitivo os escorregmentos especíicos são nulos. Por seu lo, no ponto A (ponto e início o engrenmento) é nul velocie e rolmento v r, pelo que, neste ponto o corresponente escorregmento especíico tene pr ininito. Do mesmo moo, no ponto B (ponto e término o engrenmento) o escorregmento especíico g s tene pr ininito. Observ-se tmbém que os escorregmentos especíicos g s e g s são iguis à unie nos pontos B e A, respetivmente. A igur. iz respeito à evolução os escorregmentos especíicos o longo linh e engrenmento (Brnco et l., 009). Finlmente, eve reerir-se que o esgste os peris os entes será tnto mior qunto mior or o escorregmento especíico, seno mis centuo no pinhão. Veriic-se in que os pontos críticos corresponentes o início e im o engrenmento (Drgo, 988; Buyns e Nisbett, 0; Norton, 03).. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 7

32 O ~ + B F D + I v gs v r v gs E -v r v gs A v r C v r v r v r v r g s g s O Figur. Evolução os escorregmentos especíicos o longo linh e ção. Tl como se reeriu nteriormente, o escorregmento está iretmente relciono com o esgste os peris os entes, pelo que o primeiro eve ser bem estuo e minimizo pr que o seguno sej equilibro no pinhão e n coro. Pr minimizr os escorregmentos especíicos ns engrengens, eve reuzir-se o comprimento o rco e conução ns proximies os pontos A e B, que, como se sbe, representm tngênci linh e engrenmento com s circunerêncis e bse. Est borgem é prticulrmente relevnte, pois, como oi estuo previmente, o escorregmento especíico tene pr ininito no início e im o engrenmento (Henriot, 979; Brnco et l., 009). Com o propósito e proporcionr urbilies equivlentes pr o pinhão e pr coro evem igulr-se os seus escorregmentos especíicos. Tovi, o ponto e vist prático, pens se torn relevnte e útil igulr os escorregmentos especíicos máximos, isto é ( s ) mx ( gs) mx g (.89) A eterminção o escorregmento especíico máximo poe ser eit utilizno ábcos que permitem, e orm simples e expeit, conhecer o vlor o escorregmento em unção os principis prâmetros s ros, nomemente, o número e entes s ros, sliênci e o ângulo e pressão (Brnco et l., 009). 8 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

33 O ~ B F C D C I E A C v r = BC v r = AD l l O Figur. Representção s velocies e rolmento o longo linh e engrenmento no pinhão e n ro. Os escorregmentos especíicos máximos poem tmbém ser eterminos nliticmente. Pr o eeito, consiere-se igur. one se represent um engrenmento entre o pinhão () e coro (), bem como s respetivs velocies e rolmento. Ateneno o que oi presento nteriormente, veriic-se que o escorregmento especíico máximo (g s ) mx ocorre no início o engrenmento, ou sej no ponto C. Assim, com reerênci à igur. poe escrever-se que v r AC (.90) em que v r BC (.9) sen l AC AI IC sen l (.9) sen l BC IB IC sen l (.93). ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 9

34 Com eeito, o vlor máximo o escorregmento especíico (g s ) mx poe ser clculo combinno s equções (.86), (.90), (.9), (.9) e (.93), resultno em g s mx v v r r sen l sen l sen l i sen l (.94) one l represent o comprimento e proximção, o qul poe ser etermino utilizno equção (.57). De moo nálogo, o vlor máximo o escorregmento especíico (g s ) mx, que ocorre no ponto D, é o por sen l g i s mx sen l (.95) em que l represent o comprimento e stmento, o qul poe ser clculo utilizno equção (.6). D nálise o que cb e ser exposto, poe observr-se que, o ponto e vist minimizção os escorregmentos especíicos, é vntjoso str zon e contcto os peris os entes o mis possível os pontos A e B (c. igur.). Porém, est situção tem como consequênci reução relção e conução. Um proceimento que costum ser consiero pr igulr os escorregmentos especíicos máximos é o que se bsei n correção o ento (Henriot, 979; Brnco et l., 009). Este ssunto não será objeto e estuo no âmbito o presente ocumento. Exercício.3 Enuncio: Consiere um engrengem cilínric exterior e ento reto normlizo, em que o pinhão e coro têm, respetivmente, 9 e 76 entes. Ateneno que o móulo é igul 3 mm, clcule os vlores os escorregmentos especíicos máximos. Comente o resulto obtio. Prão e respost espero: Pr o cálculo os escorregmentos especíicos máximos (g s ) mx e (g s ) mx utilizm-se s equções (.94) e (.95), respetivmente. Antes, porém, é necessário conhecer os vlores os comprimentos e proximção e e stmento, ou sej, l e l. Pr o eeito, são consiers s expressões (.57) e (.6), resultno em l = 8,05 mm l = 6,84 mm Então, os escorregmentos especíicos máximos resultntes são os seguintes (g s ) mx = 5,95 (g s ) mx =,06 Atente-se que os escorregmentos especíicos máximos que se veriicm no pinhão e n ro são bstnte esequilibros. N vere, pr entos não corrigios, o esequilíbrio poe ser iminuío umento o ângulo e pressão. Por exemplo, se se umentr ângulo e pressão pr 5º resultm vlores mis equilibros, isto é (g s ) mx =,58 (g s ) mx = 0,7 30 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

35 .6. RENDIMENTO O renimento e um engrengem poe ser estbelecio como o quociente entre o trblho útil e o trblho isponível (Henriot, 979) W W u (.96) em que W u iz respeito o trblho útil, ou sej, o trblho que é eetivmente trnsmitio pel engrengem, seno W o trblho motor isponível n engrengem, isto é, o trblho teórico ou totl que existe n engrengem. O trblho útil é o pel ierenç entre o trblho isponível (W ) e o trblho issipo por trito (W ) urnte o engrenmento, ou sej W u W W (.97) r F F r I N E F t r Figur.3 Forçs que tum num engrengem cilínric exterior e ento reto. Pr clculr o trblho isponível num engrengem cilínric exterior consiere-se igur.3, one se mite que orç trnsmiti entre os entes tu n ireção linh e engrenmento EF (Flores e Gomes, 04). Ver-se-á mis à rente no presente estuo que est premiss não correspone à relie evio à existênci e trito quno ois peris conjugos e entes engrenm um no outro (Niemnn, 97). Ain n igur.3 estão represents s componentes, ril e tngencil, orç que o pinhão exerce n coro. Como é eviente, pens componente tngencil orç e contcto é responsável pel trnsmissão o movimento o pinhão pr coro. Deste moo, o trblho 3 motor isponível, que poe ser ornecio à coro, urnte um volt complet o pinhão, é o por 3 O trblho é, por einição, um mei energi trnsmiti por um orç (F), quno est eetu um etermino eslocmento (s). O trblho é expresso o seguinte moo W=Fs.. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 3

36 W Ft s N cosα (.98) em que s represent o eslocmento eetuo pelo pinhão urnte um volt complet, ou sej, o perímetro. N equção (.98) N represent mgnitue orç norml e contcto que tu nos entes e é o ângulo e pressão engrengem, tl como é ilustro n igur.3. É sbio que n relie, presenç o trito entre os peris conjugos á origem um orç e trito que tu perpeniculrmente à linh e engrenmento. Por conseguinte, orç resultnte que tu ns superícies os entes não tem mesm ireção linh e engrenmento. A igur.4 mostr extmente est situção, em que R represent orç resultnte no contcto. Amite-se tmbém que o pinhão () é ro motor. O ~ B F C C A C I N R D E F ~ O Figur.4 Representção s orçs que tum nos peris conjugos quno se consier existênci e trito entre s superícies os entes. Ateneno à einição lei e trito seco e Coulomb, poe escrever-se seguinte expressão pr orç e trito (Greenwoo, 965) F N (.99) one represent o coeiciente e trito 4 e N é orç que tu n ireção norml os peris conjugos, isto é, n ireção linh e engrenmento, tl como se ilustr n igur.4. Com eeito, o trblho issipo por trito num pr e entes em contcto poe ser expresso o seguinte moo (Henriot, 979) 4 O coeiciente e trito é um prâmetro esttístico que poe ser obtio experimentlmente. Em termos geométricos, o coeiciente e trito poe ser einio como =tg, em que é o ângulo einio pels orçs resultnte e norml, como se poe observr n igur.4. 3 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

37 W ' F s Ng (.00) em que o eslocmento ssocio este trblho é o escorregmento totl que ocorre nos peris conjugo e um pr e entes. É, pois, oportuno relembrr que n secção nterior o presente texto se estuou o enómeno o escorregmento ns sus váris imensões, veriicno-se que o escorregmento totl poe ser expresso por l l g (.0) cos N equção (.0) os sinis (+) e ( ) reerem-se, respetivmente, engrenmentos exteriores e interiores. Por seu lo, os comprimentos e proximção e e stmento, l e l, orm tmbém estuos previmente n secção eic à nálise relção e conução. Assim, introuzino s equções (.0) n (.00) result que o trblho issipo por trito nos peris conjugos é expresso e seguinte moo W ' l l N (.0) cos Deve notr-se que equção (.0) pens represent o trblho issipo por trito pelos peris conjugos os pres e entes engrenos, que correspone o comprimento e conução (l=l +l ). A questão unmentl que se eve gor colocr prene-se com einição quntie e pres e entes que está em contcto urnte c volt complet o pinhão. Pr o eeito, consiere-se representção igur.5, em que o comprimento e conução se z corresponer um rco e circunerênci com um comprimento equivlente situo sobre circunerênci e bse (Henriot, 979). D nálise igur.5 observ-se que urnte o períoo e engrenmento, que vi ese o ponto C té o ponto D, o pinhão escreve um ângulo igul l l ( l l ) (.03) r cos b Então, o número totl e períoos e engrenmento é o por n T π π T π π ( l l ) l cos cos l (.04) em que, por einição, requênci () iz respeito o número e ocorrêncis e um evento num etermino intervlo e tempo. A requênci é tmbém eini como o inverso o períoo (T) (Beer e Johnston, 99). Poe, portnto, izer-se que equção (.04) represent quntie e pres e peris conjugos em contcto urnte um volt complet o pinhão. Logo, o trblho issipo por trito (escorregmento) urnte um volt complet o pinhão é igul ou sej W N l l cos π l cos l (.05). ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 33

38 34 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS π l l l l N W (.06) Combinno gor s equções (.97), (.98) e (.06) poe inerir-se que o trblho útil, que é trnsmitio eetivmente pel engrengem urnte um rotção complet o pinhão, é o por π π cos l l l l N N W u (.07) Então, o renimento e um engrengem cilínric e entes retos (exterior ou interior) poe ser einio o seguinte moo W W W (.08) Introuzino gor s respetivs expressões n equção (.08), pós breve trtmento mtemático, result que l l l l cos (.09) E F O I A C D r b r l l Figur.5 Representção o comprimento e conução e corresponente rco sobre circunerênci e bse.

39 Com o propósito e simpliicr equção (.09) consiere-se que i ( i ) mz ( i ) (.0) e que, equção (.36), reltiv o estuo continuie o engrenmento, se poe escrever seguinte relção l l πmcos (.) Com eeito, substituição s equções (.0) e (.) n equção (.09) result que l l ( i ) (.) π z m cos D nálise equção (.) conclui-se que s engrengens interiores presentm renimentos superiores quno comprs com s engrengens exteriores. Por outro lo, o renimento e um engrengem iminui com o umento o comprimento e conução, pelo que se eve ter um móulo o menor possível, sem, contuo, esprezr resistênci os entes. Finlmente, eve izer-se que os vlores que resultm expressão (.) não entrm em consierção com eormção elástic os entes, com o eeito lubriicção, bem como possíveis erros ssocios o brico e à montgem (Henriot, 979; Brnco et l., 009). Exercício.4 Enuncio: Consiere um engrengem cilínric exterior e ento reto normlizo, em que o pinhão e coro têm, respetivmente, 9 e 76 entes. Ateneno que o móulo é igul 3 mm e que o coeiciente e trito é e 0,05, etermine o renimento engrengem. Comente o resulto obtio. Prão e respost espero: Pr eterminção o renimento utiliz-se equção (.). Pr tl, é necessário conhecer os vlores os comprimentos e proximção e e stmento (l e l ), relção e trnsmissão (i) e relção e conução (). Pr estes cálculos prévios, são consiers s expressões (.57), (.6), (.5) e (.65), respetivmente, one result que l = 8,05 mm l = 6,84 mm i = 4 =,68 Logo, o renimento engrengem é = 99,3% Reir-se que, tl como seri expectável, s engrengens cilínrics e entes retos presentm vlores e renimento bstnte elevos.. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 35

40 .7. INTERFERÊNCIAS Quno se projet um engrengem com peril os entes em evolvente e círculo é expectável que os peris conjugos os pres e entes em contcto sejm, pel própri einição e peris conjugos, continumente tngentes (Shigley e Mischke, 989). N vere, veriic-se que em etermins situções, que têm ver com conigurção geométric s ros, os peris os entes eixm e ser conjugos por um e us rzões (Mbie e Reinholtz, 987): - Os peris os entes em contcto não são tngentes (ou não evolventes), - Os lncos os entes em contcto têm tenênci pr se interpenetrrem. Quno um ests situções ocorre iz-se que há intererêncis e uncionmento (Henriot, 979; Juvinll e Mrshek, 006; Norton, 03). Quno tis circunstâncis contecem urnte o tlhe os entes, então s intererêncis enominm-se e intererêncis e tlhe (Drgo, 988). É eviente que quno tl se veriic, os entes icm ml tlhos. No presente estuo, pens se borm s intererêncis e uncionmento. O C b C C F C B D I C A E P C C C C b O Figur.6 Representção intererênci em engrengens cilínrics exteriores. Pr melhor compreensão o conceito e s implicções s intererêncis e uncionmento, consiere-se igur.6, em que se represent o contcto entre um pr e entes e um engrengem cilínric exterior e entes retos (Mbie e Reinholtz, 987). Nest representção, o pinhão () é ro motor, cujo sentio e rotção está inico n igur.6. Ain nest igur estão representos os pontos e tngênci, pontos A e B, entre s circunerêncis e bse e linh e engrenmento. D nálise igur.6 observ-se que os pontos e início e término e engrenmento, pontos C e D, estão situos or os limites estbelecios pelos pon- 36 CINEMÁTICA E DINÂMICA DE ENGRENAGENS

41 tos e tngênci. Este cenário conigur, portnto, um situção e intererênci e uncionmento, um vez que pont coro contct com o lnco o ente o pinhão no ponto P, o qul está situo no interior circunerênci e bse C b. N relie, não é possível, por einição e evolvente e círculo, existênci e peril o ente evolvente no interior circunerênci e bse (Mbie e Reinholtz, 987; Brnco et l., 009). Dqui poe inerir-se que s prtes os peris os entes que se situm no interior circunerênci e bse não são conjugos (itos peris não evolventes). Por isso, veriic-se que pont e coro ro interere com prte o lnco os entes o pinhão próximo riz. As intererêncis e uncionmento ocorrem quno coro os entes ro (elemento com mior número e entes) contct com os lncos os entes o pinhão (elemento com menor número e entes). O problem s intererêncis e uncionmento grv-se com o umento o número e entes ro. Logo, poe consttr-se que o pior cenário, em termos e intererêncis e uncionmento, iz respeito à situção em que ro tem um número ininito e entes, ou sej, quno se tem um engrenmento o tipo pinhão-cremlheir (Henriot, 979; Mbie e Reinholtz, 987; Brnco et l., 009). Um s consequêncis ssocis às intererêncis e uncionmento prene-se com o bloqueio ou encrvmento s engrengens. Assim, no cso o engrenmento ilustro n igur.6, o seu uncionmento só poeri ocorrer se se stssem os centros s ros e, este moo, impusesse um olg signiictiv que permitisse, in que em conições eicientes 5, o movimento entre o pinhão e ro. Reirse, e novo, que os peris os entes serim conjugos pens urnte o períoo e uncionmento reltivo o comprimento e conução, isto é, ese o ponto A té o ponto B. A restnte prte o movimento r-se-i em peril não evolvente (Shigley e Mischke, 989; Buyns e Nisbett, 0). C C C Figur.7 Remoção porção os entes teno em vist eliminção s intererêncis e uncionmento em engrengens cilínrics exteriores. O 5 N relie, s engrengens que operm com olgs excessivs prouzem elevos níveis e ruío e choques, e originm um esgste celero ns zons em que os peris não são conjugos.. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 37

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