ANÁLISE DO FILTRO DE KALMAN ESTENDIDO PARA DETERMINAÇÃO DE ÓRBITA A BORDO CONSIDERANDO ARCOS CURTOS

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1 ANÁLISE DO FILRO DE KALMAN ESENDIDO PARA DEERMINAÇÃO DE ÓRBIA A BORDO CONSIDERANDO ARCOS CUROS ANA PAULA M. CHIARADIA, HÉLIO. K. KUGA, BRUNA Y. P. L MASAGO. Grupo de Dnâmca Orbtal e Planetologa - UNESP Campus de Guaratnguetá Av. Arberto Perera da Cunha, 333 Pedregulho Guaratnguetá SP CEP: e-mals: anacharada@feg.unesp.br. Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas, Dvsão de Mecânca Espacal e Controle Av. dos Astronauta, 758 São José dos Campos SP CEP.3-00 E-mals: brunamasago@gmal.com; hkk@dem.npe.br Abstract hs work s concerned wth orbt determnaton usng GPS sgnals. An especal case of truncated arcs assumng that GPS recever data, whch s avalable only when the satellte carryng the recever fles over a ground trackng staton, s the man ssue. o analyse the behavour of an Extended Kalman flter (EKF) n real tme satellte orbt determnaton usng short arcs of data, the algorthm developed by Charada et.al. (03) s used. hs algorthm has been formerly qualfed usng the raw sngle frequency pseudorange GPS measurements of the opex/posedon (/P) satellte as observatons by the Kalman Flter, and for ths reason, s used as reference n ths work. However, these real data are truncated as f they had been collected by the trackng and control staton of INPE n Cuabá, Brazl. hat s, the data are obtaned only when the satellte /P s n the vewng area of the Cuaba Brazlan staton. he behavour of the Kalman flter s analysed under such premses. he results of research are presented showng the degradaton of performance when compared to the full arc orbt determnaton. Keywords Kalman flter, short arcs, GPS, orbtal dynamcs. Resumo Este trabalho trata-se de determnação de órbta usando snas GPS. Um caso especal de arcos truncados é a questão prncpal, sto é, será suposto que os dados do receptor GPS somente estarão dsponíves quando o satélte com um receptor GPS abordo estver sobrevoando uma estação terrestre de rastreamento. Para analsar o comportamento de um fltro de Kalman estenddo (EKF) na determnação de órbta de satéltes em tempo real usando arcos curtos de dados é usado o algortmo desenvolvdo por Charada et. al. (03). Este algortmo fo anterormente qualfcado usando as meddas GPS de pseudodstânca real em uma únca frequênca do satélte opex/posedon (/P) como dados de observações do fltro Kalman e, por esta razão, é usado como referênca neste trabalho. No entanto, estes dados reas são truncados, como se eles tnham sdo coletados pela estação do Centro de Controle e Rastreamento do INPE em Cuabá, Brasl. Ou seja, os dados são obtdos somente quando o satélte /P está na área de vsbldade da estação braslera de Cuabá. O comportamento do fltro de Kalman é analsado. Os resultados da pesqusa são apresentados mostrando a degradação do desempenho quando comparado com a determnação da órbta de arco completo. Palavras-chave Fltro de Kalman, arcos curtos, GPS, dnâmca Orbtal. Introdução Apesar do GPS fornece precsão em torno de centímetros e as estações terrestres de controle fornecem precsão padrão cerca de cem metros, o Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas (INPE) anda usa estações terrestres de controle para determnar e controlar a órbta de seus satéltes artfcas, como o SCD (Kuga e Kondapall, 993; Orlando et. al, 997), SCD (Kuga. Orlando e Lopes, 999; Orlando e Kuga, 007), do CBERS- (Kuga e Orlando, 00) e CBERS- (Orlando, Kuga e omnaga, 004). O sstema de rastreamento terrestre do INPE, desenvolvdo para controlar os satéltes e sua estrutura funconal, é chamado pelo Centro de Rastreo e Controle de satélte (CRC). Este centro é composto de Centro de Controle de Satéltes (CCS), localzado em São José dos Campos-Brasl e duas estações terrenas de rastreo de Cuabá (3 ' S, 45 5'W) e de Alcântara ( 0' S, 44 4'W) (Kuga e Orlando, 00). Com a fnaldade de testar a possbldade de utlzar o algortmo desenvolvdo por Charada et. al. (03) para determnar órbtas de satéltes artfcas pelo INPE, será smulado o rastreamento do satélte /P pela estação de rastreamento e controle localzada em Cuabá. O objetvo é analsar a efcênca deste algortmo para determnar a órbta com arcos curtos. Isto é, os dados do receptor GPS do /P somente estarão dsponíves quando o satélte estver vsível pela estação terrestre de rastreamento de Cuabá. Descrção do algortmo para determnação de órbta Neste trabalho, o algortmo desenvolvdo por Charada et. al. (03) é usado para determnar a órbta do satélte a bordo, em tempo real usando o sstema GPS. Este algortmo utlza como método de estmação o Fltro de Kalman Estenddo (EKF). Este estmador fo utlzado por ser robusto, fácl mple-

2 mentação, aplcação em tempo real, recursvo e sequencal, sto é, não é necessáro armazenamento de observações podendo estas serem processadas à medda que vão sendo coletadas e a convergênca é obtda à medda que uma certa quantdade de observações é processada. A segur são descrtas as equações do Fltro de Kalman de acordo com Gelb et al. (974). Seja a dnâmca, contínua no tempo, modelada como uma função não-lnear do estado na segunte forma: x &( = f ( t, ) + B( w( () em que x é o vetor de estado, que neste trabalho é dado por: ( r, v b) x =, () em que r = (x, y,z) e v = ( x &, y&, z& ) são os vetores posção e velocdade do veículo espacal; b = ( b 0, b, b ), onde b 0, b, b, são a tendênca (bas), derva (drf e taxa de derva (drft rate) do relógo do receptor GPS, respectvamente; t é o nstante de observação; f é uma função vetoral do estado e do tempo de dmensão n; B é uma matrz nxr contínua no tempo; e w é o processo gaussano branco de méda nula e covarânca Q, sto é: E[ w ( (3) [ ( w ( τ )] = Q( δ ( t τ ) E w (4) ou seja, w ( = N(0, Q( ), onde E[.] representa o operador esperança, Q é uma matrz nxn de densdade espectral do ruído da dnâmca sem-defnda postva e δ é a função Delta de Drac. Neste trabalho, as coordenadas de posção e de velocdade estão em metros e metros/segundos, respectvamente. odas as coordenadas estão referencadas no sstema nercal od (rue of Date). Sejam as observações, dscretas no tempo, modeladas como uma função não-lnear do estado, na segunte forma: y ( k) = h( k, k)) + v( k) (5) em que y é o vetor de m observações, h é uma função vetoral m-dmensonal do estado e do nstante k, v é uma seqüênca gaussana branca de méda nula e covarânca R, sto é: E[ v ( k) (6) [ ( k) v ( j) ] R( k) δkj E v = (7) ou seja, v k = N( 0, R k ), onde R é a matrz de covarânca mxm dos erros de observação defnda postva. O ruído branco w é não-correlaconado, tanto com o estado ncal x quanto com a seqüênca v e a seqüênca v é não-correlaconada com o estado ncal, portanto: [ ( tk ) v ( k) [ ( t ) v ( k) E w (8) E x (9) k [ ( t 0 ) w( E x (0) A equação da dnâmca é propagada a partr da condção ncal do estado x 0. Como este valor não pode ser conhecdo precsamente a pror, é modelado como um vetor aleatóro que é normalmente dstrbuído. A descrção de t 0 ) é completamente especfcada pela méda ˆx 0 e covarânca P 0. Então, as condções ncas são também gaussanas e nãotendencosas: E [ x ( t0 )] = ˆx 0 () E [( x ( t0 ) xˆ 0)( t0 ) xˆ 0) ] = P0 () em que t 0 é o nstante ncal, P é a matrz de covarânca do erro do estado e xˆ representa a melhor estmatva do estado no nstante consderado. A estmatva do estado e da matrz de covarânca de seu erro, no próxmo nstante de observação, são calculadas com auxílo do modelo da dnâmca do sstema. Elas são propagadas até os nstantes de observação, mas antes da medda ser ncorporada. As equações de propagação do estado x, da covarânca P e da matrz de transção do estado Φ são dadas por: x & ( = f ( t, ) (3) Φ & ( = F( t, ) Φ( (4) P ( k + ) = Φ ( k ) Pˆ ( k ) Φ ( k ) + k + k Φ ( k, τ ) B ( τ ) Q ( τ ) B ( τ ) Φ ( k, τ ) d τ (5) ( 0 t0 em que x t ) = xˆ( ), Φ(t 0 ) I, I é a matrz dentdade e F = f ( x, / x. Na prátca as Eqs. (3) e (4) devem ser ntegradas smultaneamente, no mesmo conjunto de equações dferencas para assegurar que as dervadas parcas estão sendo calculadas na trajetóra de referênca x. A matrz Φ descreve a evolução do erro entre o estado de referênca e o estado verdadero entre nstantes dferentes. A matrz P é a medda da exatdão do erro de estado. No fnal do processo, x e P são obtdos e são chamados de estado e covarânca atualzados, respectvamente. Porém, neste trabalho, o estado é propagado utlzando um ntegrador numérco. A matrz de transção para propagar a matrz de covarânca P é dada por: ( ) Φ t,t r r0 v r0 b r0 0 Φ = Φ Φ r v0 v v0 b v 0 3 Φ Φ Φ 3 r b0 v b0 b b 0 Φ3 Φ3 = Φ 33 (6) em que as submatrzes Φ, Φ, Φ, e Φ são calculadas de Charada et. (0); as submatrzes Φ 3, Φ 3, Φ 3, e Φ 3 são nulas; e a submatrz Φ 33 é a matrz de transção, correspondente à tendênca, derva e taxa de derva do relógo do receptor GPS, dada por:

3 0 0 Φ ( ) 33 t, t 0 = 0 0 (7) 0 0 As estmatvas do estado e da matrz de covarânca de seu erro, propagadas para o nstante da observação atual, são atualzadas com base no processamento das observações. As equações de atualzação do estado xˆ, da covarânca Pˆ e do ganho de Kalman K são dadas por: K ( k + ) = P( k + ) H ( k +, k + )) ( H( k +, k + )) P( k + ) H ( k +, k + )) + R( k + ) ) (8) P ˆ ( k + ) = ( I K( k + ) H( k +, k + ) ) P( k + ) (9) xˆ ( k + ) = k + ) + K( k + ) ( y( k + ) h( k +, k + ) ) (0) em que H é a matrz de sensbldade dada pelas dervadas parcas de h em relação a x avalada ao longo da trajetóra nomnal: h( k +, x) H [ k +, k + ) ] = () x x= k+ ) As Eqs. (8) a (0) podem ser usadas para processar a medda, sequencalmente, de modo que a nversão de matrz na Eq. (8) é transformada na nversão de um escalar. As meddas devem ser nãocorrelaconadas e, neste caso, a matrz R é dagonal. O resíduo da medda e a matrz de sensbldade são encontrados através da equação de medda calculada pela equação dada: ρc = ρ+ c[ t GPS( t u( ] + ION+ RO + ε = cτ () Usando a pseudo-dstânca, a matrz de sensbldade é dada por: ( ) ( ) ( ) H xgps x ygps y zgps z = ρ ρ ρ (3) em que é o tempo acumulado desde a prmera medda. O resíduo da medda é: ρ ( k) = y ( k) ρ ( (, (4) c x em que y é a medda observada e ρ c é a medda calculada pela Eq. (). A matrz R é, bascamente, uma matrz do peso da medda, que expressa a magntude dos erros de medda. O modelo smplfcado de força fo adotado consderando apenas as forças devdo ao campo gravta-conal terrestre. Os coefcentes harmôncos consderados foram na ordem e grau 0 do modelo JGM-, de acordo com estudos desenvolvdos em Charada et al. (003), sem sobrecarregar o tempo de processamento. A aceleração e as matrzes das dervadas parcas são calculadas através da relação de recorrênca, de acordo com Pnes (973), em coordenadas terrestres fxas. A transformação de coordenadas do sstema nercal od (rue of Date) para PEF leva em conta a rotação sderal da erra, porém o movmento polar é neglgencado. A ntegração da equação de movmento do satélte fo realzada usando o ntegrador numérco Runge-Kutta de passo fxo de quarta ordem (RK4). Fo mplementado sem qualquer mecansmo de ajuste de passo ou controle de erro. Não fo necessáro utlzar qualquer procedmento de ncalzação e o tamanho do passo é muto fácl de ser alterado. A matrz de covarânca dos erros do estado fo propagada através da matrz de transção calculada de manera otmzada. (Charada et al. 0). As meddas GPS de pseudodstânca em uma ú- nca frequênca foram utlzadas como meddas de observação dada pela Eq. (). Estas foram corrgdas com relação ao atraso dos relógos dos satéltes GPS e do receptor. O efeto onosférco fo consderado nas meddas através do modelo de dupla frequênca, somente para avalação do mpacto na precsão. Para analsar o algortmo desenvolvdo, Charada et. al. (03) utlzou os dados do /P, porque carregava um receptor de dupla frequênca GPS a bordo expermentalmente para testar a capacdade do GPS para fornecer a determnação da órbta precsa (POD). A órbta do satélte fo estmada usando o algortmo desenvolvdo com uma boa precsão e mínmo custo computaconal. A precsão de posção com SA ou sem fo estmada de 5 a 0 m com desvo padrão de 6 a 0 m. E a precsão da velocdade fo estmada de 0,04 a 0,08 m/s, com desvo padrão de 0,006 a 0,009 m/s. 3 Smulações dos arcos curtos Como o algortmo usado para determnar a órbta de um satélte artfcal fo qualfcado usando as medções GPS de pseudodstânca em únca frequênca do satélte /P como observações, os mesmos dados são utlzados como referênca neste trabalho. No entanto, estes dados reas são smulados como se eles tvessem sdo coletados pela estação de rastreamento e controle do INPE em Cuabá, Brasl. Ou seja, os dados são obtdos somente quando o satélte /P está na área de vsualzação da estação braslera de Cuabá. Assm, como o rao de rastreo da estação terrena de Cuabá é 4, 300km, o /P está vsível para Cuabá durante arcos curtos, como mostra a Fgura. O período orbtal do /P é de mn. Fgura. Smulação da órbta /P Os dados de observação do /P do da 8//993 foram montorados pela estação terrestre de Cuabá. Neste da, o SA estava desatvada. O período de vsbldade do /P é mostrado na abela 3

4 para o da 8//993. Neste, há quatro arcos curtos vsíves. Arcos Curtos abela. Período dos Arcos Curtos. Iníco (hh mm ss.s) Fm (hh mm ss.s) Análse dos dados No algortmo de Charada et. al (03) foram utlzados os seguntes arquvos que também são utlzados neste trabalho: os arquvos de observação de /P que transporta o as meddas de pseudodstânca e da fase da portadora em duas frequêncas em ntervalos de tempo GPS de 0 segundos de transmssão e são fornecdos pelo Jet Propulson Laboratory (JPL) no formato RINEX; os arquvos de efemérdes de órbta precsa /P (POE) que são gerados pelo JPL; e a mensagem de navegação do GPS transmtda em formato RINEX, fornecdo pelo Crystal Dynamcs Data Informaton System (CDDIS) do Goddard Space Flght Centre (GSFC). As coordenadas estmadas da posção e velocdade são comparadas com os arquvos de referênca POE do /P. O arquvo POE do satélte /P fornece as coordenadas da posção do /P com precsão menor do que 5 cm, e fornecem dados em um ntervalo de tempo de um mnuto UC no sstema od. Entretanto, no processo de determnação de órbta o estado é estmado em ntervalos de 30 segundos no tempo UC com correção do tempo de emssão e recepção. Logo, os nstantes dos dados para comparação não concdem. Então, fo necessáro nterpolar os dados de referênca. Para sto, fo utlzada a subrotna de nterpolação Polnt (Press et al., 987). Com este enfoque, o erro médo de nterpolação é de 0,068 m e,5 0-4 m/s para posção e velocdade, respectvamente. Para o da 8//993, fo usado um arquvo de observação completamente bruto; sto é, meddas negatvas. Os mesmos parâmetros de entradas do fltro e as condções ncas foram utlzados neste trabalho. Em Charada et. al (03), a precsão de posção com o SA para o da 8//993 é de 5,5 m, com desvo padrão de 6,8 m. A precsão de velocdade é de 0,04, com desvo padrão de 0,006 m/s, conforme mostrado na abela. Os erros real em posção é dado por: 3 ( ˆ ) = x x r () em que x e xˆ, =,,3, são as componentes de referênca (ou real) e estmadas da posção do vetor de estado, respectvamente. O erro estmado em posção é dado por: 3 rˆ = P = (3) em que P, =,,3, representam os valores dos e- lementos da dagonal da matrz de covarânca dos erros na estmatva do vetor estado, correspondente aos elementos de posção. O erro real em velocdade é dado por: em que x e 6 v = 4 ( x ) xˆ (4) xˆ, = 4,5,6, são as componentes de referênca (ou real) e estmadas da velocdade do vetor de estado, respectvamente. O erro estmado em velocdade é dado por: 6 vˆ = P = 4 (5) em que P, = 4,5,6, representam os valores dos e- lementos da dagonal da matrz de covarânca dos erros na estmatva do vetor estado, correspondente aos elementos de velocdade. E o resíduo é dado por: ρ = y ρ c (6) em que y e ρ c são as meddas da pseudodstânca observadas e calculadas, respectvamente. Smulando os quatro arcos curtos utlzando o algortmo nas mesmas condções, obtendo os seguntes dados. Na Fgura 3 são apresentados os erros em posção real, estmado ao longo do da ntero com os quatros arcos curtos. Nas Fguras 4 a 7 são apresentados os erros em posção para cada arco curto. Na Fgura 8 são apresentados os erros em velocdade real, estmado ao longo do da ntero com os quatros arcos curtos. Nas Fguras 9 a são apresentados os erros em velocdade para cada arco curto. Na abela são apresentados os resultados obtdos em Charada et. al. (03) na prmera lnha e os resultados para os quatros arcos curtos. Para todos os casos, são apresentados os erros em posção e velocdade e o resíduo com os seus respectvos desvos padrões, calculados de acordo com as equações () a (6). 5 Conclusões Analsando os resultados obtdos, observou-se que somente o º arco curto não obteve bom resultados tanto em posção quanto em velocdade. Os outros arcos os resultados foram obtdos dentro do valor 4

5 esperado comparados com os valores obtdos para um da completo, como em Charada et. al. (03). abela. Resultados obtdos r (m) v (m) Resíduo (m) Ao longo do da 5,5 ± 6,8 0,04 ± 0,006 0,07 ± 3, º Arco 3, ±,4 0,05 ± 0,0 -, ± 9,59 º Arco 3, 6 ±,3 0,4 ± 0, -,640 ± 87,6 3º Arco 0, ± 5,7 0,049 ± 0,03, ± 0,9 4º Arco 34,5 ± 6,3 0,06 ± 0,03,564 ± 6,4 Fgura 5. Erro em posção para o segundo arco curto Agradecmentos Os autores agradecem o apoo recebdo pela UNESP, INPE, FAPESP, CNPq e CAPES. Fgura 6. Erro em posção para o tercero arco curto Fgura 3. Erro em posção ao longo do da. Fgura 7. Erro em posção para o quarto arco curto Fgura 4. Erro em posção para o prmero arco curto Fgura 8. Erro em velocdade ao longo do da 5

6 Referêncas Bblográfcas Fgura 9. Erro em velocdade para o prmero arco curto Fgura 0. Erro em velocdade para o segundo arco curto Fgura. Erro em velocdade para o tercero arco curto Fgura. Erro em velocdade para o quarto arco curto Charada, A. P. M. Kuga, H. K; Prado, A. F. B. A. Sngle Frequency GPS measurements n realtme artfcal satellte orbt determnaton. ACA ASRONAUICA. Vol. 53 Issue: Pages: 3-33 Publshed: JUL, 003. Charada, A. P. M. Kuga, H. K; Prado, A. F. B. A. Comparson between wo Methods to Calculate the ranston Matrx of Orbt Moton. Mathematcal Problems n Engneerng (Prn. v. 0, p., -, 0. Charada, A. P. M. Kuga, H. K; Prado, A. F. B. A. Onboard and real-tme artfcal satellte orbt determnaton usng GPS Mathematcal Problems n Engneerng. Volume 03, Artcle ID 53056, 8 págnas. atcal Problems n Engneerng (Prn, 03 Gelb, A.; Kasper Jr., J.F.; Nash Jr., R. A.; Prce, C. F.; Sutherland Jr., A. A. Appled optmal estmaton. Inglaterra: he M.I.. Press, p. INPE, Acesso onlne no da 03 de junho de 03. Kuga, H. K.; Kondapall, R. R. Satellte Orbt Determnaton: A Frst-Hand Experence wth the Frst Brazlan Satellte SCD, 44th. Congress of the IAF, Graz, Austra, October 993. Kuga, H. K.; Orlando, V. Orbt Control of CBERS- Satellte at INPE, 6th Internatonal Symposum on Spaceflght Dynamcs, JPL/NASA, Pasadena, USA, 00. Kuga, H. K.; Orlando, V.; Lopes, R. V. F. Flght Dynamcs Operatons Durng Leop for the INPE s Second Envronmental Data Collectng Satellte SCD, Revsta Braslera de Cêncas Mecâncas, Vol. XXI, Specal Issue, ISSN , 999, pp Orlando, V.; Kuga, H. K. Os Satéltes SCD e SCD da Mssão Espacal Completa Braslera MECB, Capítulo 5 do lvro A Conqusta do Espaço - Do Sputnk à Mssão Centenáro, a edção, São Paulo, SO, Edtora Lvrara da Físca, v., p. 5-76, outubro de 007. Orlando, V.; Kuga, H. K.; omnaga, J. CBERS- LEOP Orbt Analyss,8th Internatonal Symposum on Spaceflght Dynamcs, Munque, Alemanha, outubro de 004, ISBN X, pp. -5. Orlando, V.; Lopes, R. V. F.; Kuga, H. K. INPE s Flght Dynamcs eam Experence throughout Four Years of SCD In-Orbt Operatons: Man Issues, Improvements and rends, ESA Internatonal Symposum on Spaceflght Dynamcs, ESA, Darmstadt, Alemanha, junho,

7 Pnes, S. Unform representaton of the gravtatonal potental and ts dervatves. AIAA Journal, 973, v., n.. Press, H. W.; Flannery, B. P.; eukolsky, S. A.; Vetterlng, W.. Numercal Recpes. Cambrdge: Unversty Press, 3. ed., p. 7