MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS EM SUB BANDAS

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1 JAVIER ERNESTO KOLODZIEJ MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS EM SUB BANDAS FLORIANÓPOLIS 006

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS EM SUB BANDAS Dssertação submetda à Unversdade Federal de Santa Catarna como parte dos requstos para a obtenção do grau de Mestre em Engenhara Elétrca. JAVIER ERNESTO KOLODZIEJ Floranópols, Mao de 006

3 MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS EM SUB BANDAS Javer Ernesto Kolodzej Esta Dssertação fo julgada adequada para obtenção do Título de Mestre em Engenhara Elétrca, Área de Concentração Comuncações e Processamento de Snas, e aprovada em sua forma fnal pelo Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca da Unversdade Federal de Santa Catarna. Ru Seara, Dr. Orentador Prof. Nelson Sadowsk, Dr. Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca Banca Examnadora: Ru Seara, Dr. Presdente Orlando José Tobas, Dr. Hans Helmut Zürn, Ph.D. Carlos Aurélo Fara da Rocha, Dr. Walter Perera Carpes Jr., Dr.

4 Dedco este trabalho à mnha mulher, Nancy, pelo seu menso amor e pela dedcação e ncentvos constantes.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, por sempre me guar pelos camnhos certos. A meus pas, Carlos e Laura, mprescndíves para o alcance de mas esta conqusta. A mnha mulher, Nancy, pelas horas de maravlhoso convívo. A Orlando José Tobas pela amzade, dedcação, profssonalsmo, e por todo o que me ensnou. Ao Prof. Dr. Ru Seara, pela precosa orentação. Aos membros da banca na letura e crítca deste trabalho e pelas valosas sugestões. Mnha admração e gratdão. Aos meus colegas e amgos da Faculdad de Ingenería da Unversdad Naconal de Msones, pelo apoo e motvação. À Faculdad de Ingenería da Unversdad Naconal de Msones, pelo apoo fnancero, fundamental na realzação deste trabalho. A todos os amgos e companheros de pesqusa do LINSE, companhas que tornaram esta etapa mas felz, especalmente a Juan Rodrgo. Às amzades cujos nomes não foram menconados, mas com certeza muto contrbuíram em mnha trajetóra. v

6 Vvr no es sólo exstr, sno exstr y crear, saber gozar y sufrr y no dormr sn soñar. Descansar, es empezar a morr. (Gregoro Marañon) v

7 Resumo da Dssertação apresentada à UFSC como parte dos requstos necessáros para a obtenção do grau de Mestre em Engenhara Elétrca. MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS EM SUB BANDAS Javer Ernesto Kolodzej Mao/006 Orentador: Ru Seara, Dr. Co-orentador: Orlando J. Tobas, Dr. Área de Concentração: Comuncações e Processamento de Snas. Palavras-chave: Modelagem estatístca, algortmo NLMS, algortmo NSAF, estruturas sub-banda, decomposção em sub-bandas, adaptação lenta. Número de Págnas: 68. Neste trabalho, são apresentados modelos estatístcos que descrevem o comportamento de dos algortmos adaptatvos com estrutura em sub-bandas: o algortmo NLMS (normalzed least-mean-square) aplcado a uma estrutura em sub-bandas com decomposção generalzada (GSD-NLMS) e o algortmo de fltragem adaptatva em sub-bandas normalzado (normalzed subband adaptve flterng - NSAF). Para tas algortmos, são consderados snas de entrada Gaussanos e hpótese de adaptação lenta. Esses algortmos são utlzados como uma alternatva ao algortmo LMS convenconal, vsando melhorar a velocdade de convergênca para snas de entrada fortemente correlaconados. Os dos algortmos aqu consderados realzam um processamento paralelo do snal de entrada e utlzam um passo de adaptação varável no tempo. Tal processamento é baseado em uma decomposção em sub-bandas. Modelos analítcos para o momento de prmera ordem do vetor de coefcentes do fltro adaptatvo bem como para a curva de aprendzagem são obtdos. Para sso, são levadas em conta a natureza varante no tempo do passo de adaptação como também um parâmetro de regularzação, o qual é adconado à estmatva de potênca méda requerda pelo algortmo. Através de smulações numércas, a precsão dos modelos aqu obtdos é avalada. v

8 Abstract of Dssertaton presented to UFSC as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Master n Electrcal Engneerng. ESTATISTIC MODELING OF ADAPTIVE SUB BAND ALGORITHMS Javer Ernesto Kolodzej May/006 Advsor: Ru Seara, Dr. Co-advsor: Orlando J. Tobas, Dr. Area of Concentraton: Communcaton and Sgnal Processng. Keywords: Analytcal model, NLMS algorthm, NSAF algorthm, subband-flterng structure, subband decomposton, slow adaptaton. Number of Pages: 68. Ths work presents stochastc models for the normalzed least-mean-square algorthm usng a structure wth generalzed subband decomposton (GSD-NLMS) and for the normalzed subband adaptve flterng (NSAF) algorthm, consderng Gaussan nput sgnal and slow adaptaton. Such algorthms are used as an alternatve to the standard LMS to overcome the convergence problems under correlated nput sgnals. Both the studed algorthms make use of a parallel processng of the nput sgnal, based on a subband decomposton, as well as consder a tme-varyng step-sze parameter. Analytcal models for the frst moment of the flter weght vector and the learnng curve for the dscussed algorthms are presented. The used analyss takes nto account the tme-varyng nature of the step-sze parameter as well as a regularzaton parameter (added to the power estmate), whch prevents dvson by zero n the power normalzaton phase. Through smulaton results the accuracy of the model here derved s assessed. v

9 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ESTRUTURA ADAPTATIVA NA FORMA DIRETA ESTRUTURA ADAPTATIVA EM SUB-BANDAS ESTRUTURA GSD ADAPTATIVA ESTRUTURA NSAF ADAPTATIVA MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS: SUA IMPORTÂNCIA EM PROJETOS ESTADO DA ARTE NA MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS EM SUB BANDA MODELAGEM ESTATÍSTICA DO ALGORITMO GSD-εNLMS ESTRUTURA COM DECOMPOSIÇÃO EM SUB-BANDAS GENERALIZADA EQUACIONAMENTO DO ALGORITMO GSD-NLMS MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM DO VETOR DE COEFICIENTES VALORES ÓTIMOS E VALORES DE REGIME PERMANENTE DO VETOR DE COEFICIENTES CURVA DE APRENDIZAGEM E MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM DO VETOR DE ERRO RESULTADOS DE SIMULAÇÃO GRUPO DE EXEMPLOS 1: SINAL DE ENTRADA NÃO CORRELACIONADO GRUPO DE EXEMPLOS : SINAL DE ENTRADA CORRELACIONADO CONCLUSÕES MODELAGEM ESTATÍSTICA DO ALGORITMO NSAF ESTRUTURA DO ALGORITMO NSAF EQUACIONAMENTO DO ALGORITMO NSAF MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM DO VETOR DE COEFICIENTES VALORES DE REGIME PERMANENTE DO VETOR DE W(k) CURVA DE APRENDIZAGEM RESULTADOS DE SIMULAÇÃO COMPARAÇÃO NSAF VERSUS GSD-NLMS CONCLUSÕES CONCLUSÕES FINAIS... 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS v

10 LISTA DE FIGURAS Fgura 1.1. Dagrama em blocos de um fltro adaptatvo usando o algortmo LMS... Fgura 1.. Dagrama em blocos de uma estrutura SAF com erro global... 4 Fgura 1.3. Dagrama em blocos de uma estrutura SAF com erro local... 6 Fgura 1.4. Dagrama em blocos de uma estrutura SAF com erro local crtcamente amostrado... 7 Fgura 1.5. Estrutura do algortmo GSD-NLMS... 8 Fgura 1.6. Dagrama em blocos do algortmo NSAF... 9 Fgura 1.7. Separação do snal de entrada em sub-bandas antes de ser processado pelo fltro w ( k) Fgura.1. Estrutura de realzação da decomposção polfásca Fgura.. Decomposção em sub-bandas estrutural Fgura.3. Estrutura do algortmo GSD-NLMS... 0 Fgura.4. Interpretação gráfca para a expressão do momento de prmera ordem... 8 Fgura.5. Comportamento do algortmo GSD-εNLMS para um snal de entrada branco e µ= 0,1µ max Fgura.6. Comportamento do algortmo GSD-εNLMS para um snal de entrada branco e µ= 0,5µ max Fgura.7. Comportamento do algortmo GSD-εNLMS para um snal de entrada branco e µ= 0,8µ max Fgura.8. Comportamento médo dos coefcentes do fltro de banda completa equvalente ao algortmo GSD-εNLMS para um snal de entrada branco e µ= 0,8µ.. 39 Fgura.9. Comportamento do algortmo GSD-εNLMS consderando snal de entrada max correlaconado e µ = 0,05µ... 4 max Fgura.10. Comportamento do algortmo GSD-εNLMS consderando snal de entrada correlaconado e µ= 0,5µ max Fgura.11. Comportamento do algortmo GSD-εNLMS consderando snal de entrada correlaconado e µ = 0,7µ max Fgura 3.1. Dagrama em blocos da estrutura do algortmo NSAF Fgura 3.. Separação do snal de entrada em sub-bandas antes de ser processados pelo x

11 fltro w ( k) Fgura 3.3. Comportamento médo do vetor de coefcentes E[ w ( k)] Fgura 3.4. Comparação do comportamento do modelo para a curva de aprendzagem do algortmo NSAF e da smulação MC Fgura 3.5. Comparação das curvas de aprendzagem dos algortmos NSAF e GSD-NLMS para o mesmo erro em regme permanente Fgura 3.6. Comparação das curvas de aprendzagem dos algortmos NSAF e GSD-NLMS para gual velocdade de convergênca x

12 CAPÍTULO 1 1 INTRODUÇÃO As técncas de processamento dgtal de snas vêm sendo extensvamente aplcadas com sucesso há algumas décadas. Partcularmente, o fltro dgtal com coefcentes fxos já faz parte do nosso cotdano, sendo amplamente utlzado em dversas aplcações, tas como os populares sstemas de som dgtas, telefones celulares, equpamentos e nstrumentos médcos, só para ctar algumas aplcações da atualdade. No entanto, em algumas stuações prátcas, para se obter um melhor aprovetamento do fltro dgtal, seus coefcentes devem ser modfcados ao longo do tempo. Um desses casos é nas comuncações telefôncas, em que o canal de comuncação envolvdo muda suas característcas, na melhor das hpóteses, a cada lgação efetuada. Assm, para tas stuações, o uso de fltros adaptatvos faz-se necessáro. Um fltro adaptatvo é um sstema varante no tempo, provdo de um mecansmo de ajuste dos coefcentes de acordo com algum crtéro especfcado [1], []. Outros exemplos de aplcações usuas de técncas de fltragem adaptatva são: antenas adaptatvas, equalzação de canas, cancelamento de eco em telefona de longa dstânca, cancelamento de nterferêncas, estmação espectral e, dentre os mas recentes, podemos destacar cancelamento de eco acústco e de vbrações em estruturas, necessáros às mas dferentes áreas de aplcação. 1.1 ESTRUTURA ADAPTATIVA NA FORMA DIRETA A estrutura FIR (fnte mpulse response) com ajuste de seus coefcentes através de um algortmo baseado no erro quadrátco médo, como por exemplo o algortmo LMS (least-mean-square), é um dos sstemas adaptatvos mas usados desde sua ntrodução na década de 60 [1]. Tal estrutura é denomnada fltro LMS-AFIR (estrutura FIR adaptatva usando o algortmo LMS). A forma em que geralmente se mplementa tal fltro adaptatvo é a forma dreta I ou forma transversal, como lustrado na Fgura 1.1. Nessa fgura, x( n) representa o snal de entrada, dn ( ) é o snal desejado, yn ( ) caracterza o snal de saída, en ( ) é o snal erro de estmação e w( n ) são os coefcentes do fltro adaptatvo.

13 Capítulo 1: Introdução A prncpal vantagem de uma estrutura LMS-AFIR é a sua reduzda complexdade computaconal quando comparada com a de outros algortmos adaptatvos [algortmo dos mínmos quadrados recursvo (recursve least-squares - RLS) e projeções afns (afne projectons - AP), dentre outros], consderando estruturas de fltros com o mesmo número de coefcentes. Em geral, a complexdade computaconal dos fltros adaptatvos está dretamente relaconada com a quantdade de coefcentes. Por sua vez, esse número é condconado à aplcação específca de fltragem consderada [1]-[19]. Dessa forma, em aplcações que requerem um grande número de coefcentes, a complexdade computaconal dos fltros adaptatvos pode se tornar uma questão bastante crítca. A efcênca computaconal de uma estrutura adaptatva é um aspecto relevante quando da mplementação de algortmos adaptatvos vsando operação em tempo real, como é o caso em controle atvo de ruído acústco e vbrações. x(n) z -1 x(n-1) x(n-) x(n-n-1) z -1 z -1 Algortmo de Adaptação w 0 (n) w 1 (n) w (n) w N-1 (n) d(n) + e(n) Σ - y(n) Σ y(n) Fgura 1.1. Dagrama em blocos de um fltro adaptatvo usando o algortmo LMS. Um mportante problema de uma estrutura adaptatva FIR é que a convergênca do fltro adaptatvo (quando consderado o algortmo LMS convenconal) torna-se muto afetada (degradada) para snas de entrada correlaconados. Para mtgar tal problema, a lteratura da área apresenta duas opções: utlzar um outro tpo de algortmo de adaptação com melhor desempenho para essa classe de snas [por exemplo, o algortmo LMS

14 Capítulo 1: Introdução 3 normalzado (NLMS) ou o algortmo RLS]; ou uma outra estrutura de fltragem, em vez da usual forma transversal, que seja mas adequada para tratar com snas correlaconados. Entretanto, qualquer uma dessas alternatvas levará a um aumento de complexdade computaconal. 1. ESTRUTURA ADAPTATIVA EM SUB-BANDAS A mplementação de fltros adaptatvos utlzando estruturas em sub-bandas [0] é uma opção freqüentemente consderada para contornar o problema de velocdade de convergênca das estruturas LMS-AFIR, especalmente em aplcações tas como controle atvo de ruído acústco e vbrações [1]-[15], cancelamento de eco acústco [3]-[9] e equalzação de canas de comuncação [10], [11]. Dferentes estruturas consderando decomposção em sub-bandas têm sdo propostas vsando formas alternatvas de mplementar os fltros LMS-AFIR, orgnando a conhecda famíla de fltros adaptatvos em sub-bandas (subband adaptve flter - SAF). Todas as estruturas de fltragem em sub-bandas se caracterzam por apresentar uma decomposção do snal de entrada em sub-bandas, seguda de uma redução da taxa de amostragem. Tal procedmento vsa prncpalmente dos aspectos: o tratamento ndependente de snas pelas dferentes sub-bandas e a redução da carga computaconal exgda dos processadores. Uma estrutura em sub-bandas é geralmente caracterzada por três blocos: o bloco de análse (ou fltro dzmador), o bloco de subfltros e o bloco de síntese (ou fltro nterpolador) []. O bloco de análse é formado por dos sub-blocos: o banco de fltros de análse (que decompõe o snal de entrada em M sub-bandas), composto por M fltros, denotados por H ( z) na Fgura 1., e o dzmador (operador que subamostra o snal por um fator L, onde L é um valor ntero denomnado fator de dzmação). Esse últmo torna-se vável devdo à lmtação em freqüênca decorrente do processo de fltragem. O bloco de subfltros é encarregado de modfcar o conteúdo harmônco do snal de cada sub-banda e, geralmente, é a parte adaptatva do sstema. Cada subfltro é representado por W ( z ) (ver Fgura 1.). O bloco de síntese é também formado por dos sub-blocos: o nterpolador (que

15 Capítulo 1: Introdução 4 eleva a taxa de amostragem por um fator I, chamado fator de nterpolação) e, fnalmente, o banco de fltros de síntese G ( z ) (cujas funções são: fltrar as réplcas ndesejáves do espectro de freqüênca cradas no processo de dzmação e nterpolação, e reagrupar as subbandas para formar um snal únco de saída). Análse x(n) Banco de fltros de análse H 0 (z) H 1 (z) H M-1 (z) u 0 (n) u 1 (n) u M-1 (n) L L L u 0 (k) u 1 (k) u M-1 (k) Subfltros W 0 (z) W 1 (z) W M-1 (z) r 0 (k) r 1 (k) r M-1 (k) I I I r 0 (n) r 1 (n) r M-1 (n) Algortmo de Adaptação e(n) G 0 (z) G 1 (z) G M-1 (z) y 0 (n) y 1 (n) y M-1 (n) y(n) - Σ Σ Σ Σ d(n) Fgura 1.. Dagrama em blocos de uma estrutura SAF com erro global. As Fguras 1. e 1.3 lustram o dagrama em blocos de duas estruturas sub-bandas. Para cada sub-banda têm-se os seguntes snas: o snal de saída do fltro de análse u ( n), o snal de entrada dos subfltros u ( k), o snal de saída dos subfltros r ( k), o snal de entrada do fltro de síntese r ( n ) e o snal de saída do fltro de síntese y ( n ). O símbolo ndca a operação de dzmação. Outros snas envolvdos no sstema são: o snal de entrada x( n ), o snal desejado dn ( ), o erro de estmação en ( ) e o snal de saída yn ( ). O algortmo

16 Capítulo 1: Introdução 5 de atualzação dos coefcentes pode utlzar o erro de estmação global en ( ), como mostrado na Fgura 1. ou pode anda consderar os erros locas e ( n), como lustrado na Fgura 1.3. Essa últma estrutura é a mas utlzada vsto que ela é menos suscetível a problemas de establdade []. Nesse caso é precso separar o snal desejado em sub-bandas usando um outro bloco de análse, obtendo assm, os snas d ( k). Se o fator de dzmação L e o fator de nterpolação I fossem guas ao número de sub-bandas teríamos uma estrutura denomnada esquema crtcamente amostrado (crtcally-sampled scheme). Esse esquema apresenta um efeto ndesejável de recobrmento de espectro. Assm, é precso nclur fltros, conhecdos por fltros cruzados Wj ( z ) (com j ), que têm como entrada o snal de uma sub banda mas atuam em uma outra sub banda [1]-[3]. A Fgura 1.4 lustra o caso para M =. Um mportante resultado, menconado em [], é que o esquema crtcamente amostrado, consderando fltros cruzados, quando aplcado a um problema de dentfcação de sstemas apresenta um por comportamento de convergênca do que um fltro em banda completa. Se o fator de dzmação e o fator de nterpolação são menores do que o número de sub-bandas, a estrutura em sub-bandas resultante é denomnada esquema sobre-amostrado (oversampled scheme). Nesse caso, os snas das sub-bandas apresentam um menor conteúdo harmônco próxmo aos lmtes das sub-bandas, resultando em valores menores de autovalores da matrz de autocorrelação do snal de entrada de cada sub-banda, degradando sobremanera a taxa de convergênca global do sstema [3] [4]. Dos algortmos que não apresentam tas problemas estruturas e, portanto, exbem um melhor comportamento de convergênca, são: o algortmo NLMS, aplcado a uma estrutura em sub-bandas com decomposção generalzada (GSD-NLMS) [5], e o algortmo de fltragem adaptatva em sub-bandas normalzado (NSAF) [7], [8].

17 Capítulo 1: Introdução 6 x(n) Análse Banco de fltros de análse H 0 (z) H 1 (z) H M-1 (z) u 0 (n) u 1 (n) u M-1 (n) L L L u 0 (k) u 1 (k) u M-1 (k) Subfltros W 0 (z) W 1 (z) W M-1 (z) r 0 (k) r 1 (k) r M-1 (k) Algortmo de Adaptação e 0 (k) e 1 (k) e M-1 (k) Σ d 0 (k) Σ d 1 (k) Σ I I I r 0 (n) r 1 (n) r M-1 (n) d M-1 (k) G 0 (z) G 1 (z) G M-1 (z) y 0 (n) y 1 (n) y M-1 (n) Σ Σ Σ y(n) Fgura 1.3. Dagrama em blocos de uma estrutura SAF com erro local.

18 Capítulo 1: Introdução 7 W 00 (z) Σ G 0 (z) x(n) H 0 (z) H 1 (z) W 01 (z) W 10 (z) W 11 (z) e 0 (k) Σ Σ d 0 (k) G 1 (z) Σ y(n) e 1 (k) Σ d 1 (k) Fgura 1.4. Dagrama em blocos de uma estrutura SAF com erro local crtcamente amostrado 1.3 ESTRUTURA GSD ADAPTATIVA A estrutura básca do algortmo GSD-NLMS fo ntroduzda por Mtra et. al. em [5]. Tal procedmento consste em mplementar um fltro FIR com N coefcentes fxos através da conexão em paralelo de M ramos, com 1 M N ; cada ramo, por sua vez, é composto pela cascata de um fltro nterpolador e um fltro esparso. O fltro esparso tem pelo menos N / M coefcentes não-nulos. Note que essa estrutura mantém nalterada a taxa de amostragem dos snas. Internamente são utlzados fltros esparsos que reduzem a complexdade computaconal, sem causar problemas de recobrmento de espectro dos snas envolvdos. Na versão adaptatva da estrutura consderada, o bloco nterpolador é mantdo fxo [mplementado através de uma transformação ortogonal, como por exemplo, uma transformada do cosseno dscreta (DCT) ou uma transformada de Fourer dscreta (DFT)] e o fltro esparso, por sua vez, caracterza a parte adaptatva da estrutura [6]. Desse modo, a atuação de cada fltro esparso sobre uma determnada faxa de freqüêncas resultará, para a estrutura adaptatva global, em um aumento da velocdade de convergênca. Além do mas, em algumas aplcações, as sub-bandas que contrbuem pouco para a resposta em freqüênca total podem ser desconsderadas; assm, pode ser reduzdo o número de operações necessáras para mplementar o algortmo. Adconalmente, a convergênca de

19 Capítulo 1: Introdução 8 cada fltro esparso é melhorada através do uso do algortmo NLMS [6]. O algortmo resultante pode ser vsto como uma generalzação do algortmo NLMS no domíno transformado (TD-NLMS), apresentando anda uma vantagem adconal: uma transformação ortogonal de menor dmensão [6]. Na Fgura 1.5, é mostrado o dagrama em blocos da estrutura GSD-NLMS. Comparando a estrutura desse algortmo com a estrutura geral SAF, mostrada na Fgura 1., pode-se conclur que os fltros de análse da estrutura SAF correspondem à transformação ortogonal da estrutura GSD-NLMS, os fltros de síntese têm função de transferênca untára e o processo de dzmação/nterpolação é substtuído pelos sub-fltros esparsos. x(n) u 0 (n) w 0,0 +w 0,1 z -L +...+w 0,K-1 z -L(K-1) Z -1 Z -1 Transformada T u 1 (n) w 1,0 +w 1,1 z -L +...+w 1,K-1 z -L(K-1) Σ y(n) Z -1 u M-1 (n) w M-1,0 +w M-1,1 z -L +...+w M-1,K-1 z -L(K-1) Algortmo de Adaptação e(n) Σ d(n) Fgura 1.5. Estrutura do algortmo GSD-NLMS. 1.4 ESTRUTURA NSAF ADAPTATIVA O algortmo de fltragem adaptatva em sub-bandas normalzado (NSAF) fo proposto por Lee et. al. em [7] e [8]. Esse algortmo é uma varante dos algortmos adaptatvos em sub-bandas. Nesse caso, o snal de erro é decomposto em sub-bandas e os

20 Capítulo 1: Introdução 9 coefcentes da estrutura operam em banda completa. O dagrama em blocos desse algortmo é lustrado na Fgura 1.6. Assumndo que a adaptação seja sufcentemente lenta, o banco de fltros de análse pode ser deslocado de sua posção orgnal [7], [8], tal como lustrado pela Fgura 1.7; desse modo, a estrutura NSAF pode também ser enquadrada como uma estrutura SAF convenconal. w 0 dn ( ) Banco de Fltros H0 () d z H z 1 () ( n) 0 d1 ( n ) M M d 0 () k d k 1 ( ) x( n) Sstema desconhecdo w( k) yn ( ) HM-1 ( z ) H z 0 () H z 1 () HM-1 ( z ) dm-1 ( n ) y n 0 () y 1 () n ym-1 ( n ) M M M M d M-1 ( k ) y y 0 () k - 1 () k y M-1( k) + Σ - + Σ - + Σ en ( ) Σ G z 0 () G z 1 () e n 0 () e n 1 () M M e e 0 () k 1 ( k ) GM-1 ( z ) em-1 ( n ) M e M-1 ( k ) Fgura 1.6. Dagrama em blocos do algortmo NSAF. É nteressante notar que comutando o fltro w ( k) com o banco de fltros de análse na estrutura NSAF, a estrutura resultante anda apresenta uma dferença com respeto à estrutura SAF convenconal: os subfltros precedem ao dzmador. A maor vantagem da estrutura NSAF é a sua velocdade de convergênca. Entretanto, tal estrutura não permte o uso de estratégas de redução de complexdade computaconal como no caso da estrutura SAF convenconal.

21 Capítulo 1: Introdução 10 H z 0 () u ( n) 0 w( k) y n 0 () M y 0 ( k ) - x( n) H z 1 () u ( n) 1 w( k) y 1 () n M y 1 ( k ) HM-1 ( z ) u M-1( n) w( k) ym-1 ( n ) M y M-1 ( k ) Fgura 1.7. Separação do snal de entrada em sub-bandas antes de ser processado pelo fltro w ( k). 1.5 MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS: SUA IMPORTÂNCIA EM PROJETOS Ao começar o projeto de um sstema adaptatvo, o projetsta recebe um conjunto de característcas que o sstema deve cumprr. As especfcações de projeto podem estabelecer lmtes, tas como velocdade de convergênca, erro quadrátco médo em regme permanente, complexdade computaconal, dentre outros parâmetros do sstema. O sucesso do projeto dependerá se suas especfcações são efcazmente cumprdas. Uma forma de determnar se o sstema cumpre tas especfcações é mplementar o algortmo e executá-lo numerosas vezes para cada uma das condções de operação defndas. Uma outra forma de avalar seu desempenho é através do uso de modelos matemátcos dos algortmos. Essa últma proporcona uma consderável economa em tempo. Os modelos, almentados com nformações referentes às condções de operação, podem predzer com vantagem o comportamento do sstema em estudo. Também, podem ser determnados, qualtatva e quanttatvamente, os parâmetros que nfluencam o funconamento do sstema. Com tas nformações, o projetsta pode realzar ajustes ou anda comparar o desempenho de dferentes algortmos para julgar a adequação de cada um deles com a aplcação consderada. A modelagem de sstemas adaptatvos é uma tarefa dfícl e delcada, requerendo um amplo conhecmento de dversas ferramentas matemátcas e de análse de snas. Os algortmos adaptatvos são sstemas com comportamentos estocástcos e varantes no

22 Capítulo 1: Introdução 11 tempo. Modelar um sstema que apresente apenas um desses comportamentos já é trabalhoso; se um sstema apresenta a conjugação dos dos comportamentos, a complexdade da modelagem é anda maor. Em conseqüênca, o estabelecmento de consderações smplfcatvas é constantemente requerdo na modelagem de tas algortmos. Ressalta-se aqu que as consderações smplfcatvas tornam o tratamento matemátco e as expressões do modelo mas smples, mas ao mesmo tempo restrngem sua abrangênca. Então, no campo da modelagem, é sempre necessáro estabelecer um compromsso entre a precsão do modelo e sua complexdade. Dessa forma o projetsta não terá de ldar com expressões complexas, geralmente, dfíces de manusear. No entanto, vslumbra-se a possbldade de se dspor de aplcatvos (programas computaconas) de projeto de fltros adaptatvos nclundo as expressões dos modelos dos algortmos consderados. Esse últmo facltará o trabalho do projetsta e ncentvará os pesqusadores a aprmorar tanto os algortmos quanto os modelos dos sstemas adaptatvos. Sendo tas algortmos sstemas estocástcos, os modelos devem descrever o comportamento de alguns parâmetros de forma estatístca. Os mas utlzados são o valor quadrátco médo do erro de estmação, o valor médo da norma L do vetor de coefcentes do fltro adaptatvo e o valor médo desses coefcentes. Os modelos desses parâmetros permtem nferr os valores dos parâmetros do algortmo que garantam a establdade, determnar expressões para fguras de mérto, tas como o desajuste e a velocdade de convergênca, dentre outras nformações relevantes. Dspor de tas expressões matemátcas possblta otmzar algumas característcas do sstema adaptatvo. Em decorrênca dsso, novos algortmos com melhores característcas podem também ser desenvolvdos. 1.6 ESTADO DA ARTE DA MODELAGEM ESTATÍSTICA DE ALGORITMOS ADAPTATIVOS EM SUB-BANDA Apesar de exstr váras abordagens para a análse do comportamento dos fltros adaptatvos em sub-bandas [9]-[34], sua modelagem contnua sendo um tema aberto na lteratura técnca da área. Em partcular, para o algortmo GSD-NLMS se tem apenas um modelo para o momento de prmera ordem dos coefcentes do fltro adaptatvo,

23 Capítulo 1: Introdução 1 apresentado em [6]. Além dsso, tal análse é anda obtda sob algumas consderações restrtvas não reproduzndo com fdeldade as reas condções de operação do algortmo. Com respeto ao algortmo NSAF, recentemente fo analsado o comportamento de sua convergênca sob o ponto de vsta de desvo quadrátco médo. [7], [8]. No entanto, essa análse não descreve o comportamento do momento de prmera ordem do vetor de coefcentes do fltro adaptatvo nem de sua curva de aprendzagem. Neste trabalho apresentamos uma modelagem estatístca dos algortmos adaptatvos GSD-NLMS e NSAF, permtndo predzer o comportamento desses algortmos para dversas condções de operação. A análse dos algortmos GSD NLMS e NSAF apresentada nesta dssertação leva em consderação alguns mportantes aspectos, a saber, a natureza varante do passo de adaptação e um parâmetro de regularzação, o qual é adconado à estmatva de potênca méda requerda pelo algortmo adaptatvo, evtando, assm, um mau condconamento desse últmo. Isso representa não só um avanço na modelagem do algortmo, mas também um aprmoramento da estrutura do ponto de vsta prátco. Entretanto, os modelos obtdos estão restrtos à condção de adaptação lenta. Assm, são apresentados modelos estatístcos que descrevem os momentos de prmera e segunda ordens e da curva de aprendzagem dos algortmos em questão, sendo tas contrbuções, em nosso conhecmento, nédtas. Em suma, esta dssertação de mestrado objetva contrbur com o entendmento e a mplementação dos sstemas adaptatvos aplcados a estruturas em sub-bandas, drgndo nosso foco à modelagem estatístca destes dos mportantes algortmos: o NLMS aplcado a uma estrutura em sub-bandas com decomposção generalzada (NLMS-GSD) e o algortmo de fltragem adaptatva em sub-bandas normalzado (NSAF). Este trabalho de dssertação está organzado como segue. Nos Capítulos e 3, são abordadas, respectvamente, a modelagem estatístca do algortmo GSD-NLMS e a do algortmo NSAF. Em cada capítulo são ncluídas a determnação dos momentos de prmera e segunda ordens dos coefcentes do fltro, como também a correspondente curva de aprendzagem. Ao fm desses capítulos, são apresentados resultados de smulação que

24 Capítulo 1: Introdução 13 permtem avalar a precsão dos modelos propostos. Fnalmente, o Capítulo 4 apresenta os comentáros e conclusões fnas deste trabalho de dssertação.

25 CAPÍTULO MODELAGEM ESTATÍSTICA DO ALGORITMO GSD-εNLMS Este capítulo apresenta um modelo estatístco para o algortmo εnlms aplcado a uma estrutura em sub-bandas com decomposção generalzada (GSD-εNLMS). O algortmo GSD-εNLMS está baseado no procedmento de decomposção em sub-bandas ntroduzdo por Mtra et. al. em 1993 [5]. Tal procedmento consste em mplementar um fltro FIR, com N coefcentes fxos, através da conexão em paralelo de M ramos, com 1 M N, na qual cada ramo é composto pela cascata de um fltro nterpolador e um fltro esparso. Na versão adaptatva da estrutura consderada [6], o nterpolador é mantdo fxo e o fltro esparso, por sua vez, caracterza a parte adaptatva da estrutura. A prncpal vantagem do algortmo GSD-εNLMS é sua muto boa velocdade de convergênca para snas de entrada correlaconados. O modelo analítco aqu proposto descreve os momentos de prmera e segunda ordens do vetor de coefcentes e a curva de aprendzagem da estrutura adaptatva em questão. O modelo está restrto a snas de entrada Gaussanos e passo de adaptação pequeno, sendo que esse últmo pressupõe uma adaptação lenta. Além do mas, a análse usada leva em consderação a natureza varante do passo de adaptação, decorrente da normalzação de potênca do algortmo, como também um parâmetro de regularzação ε, o qual é adconado à estmatva de potênca méda, que mpede dvsão por zero na operação de normalzação, permtndo, assm, que o modelo seja mas próxmo das condções reas de mplementação do algortmo. No fnal deste capítulo, são apresentados resultados de smulação para dversos valores do passo de adaptação e snas de entrada (correlaconados e não-correlaconados) permtndo-se avalar dessa forma a qualdade de predção obtda pelo modelo aqu proposto.

26 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 15.1 ESTRUTURA COM DECOMPOSIÇÃO EM SUB-BANDAS GENERALIZADA Esta seção apresenta a estrutura do fltro com decomposção em sub-bandas generalzada, consderando-a como uma generalzação da decomposção polfásca de seqüêncas numércas. Qualquer seqüênca numérca { f ( n )}, seja de duração fnta ou nfnta, com transformada Z denotada pela função F( z ), pode ser expressa da segunte forma: onde M W0 ( z ) M 1 M n M k 1 ( M 1) W1 ( z ) F( z) = f( n) z = Wk ( z ) z = 1 z z, n= k= 0 M WM 1( z ) (.1) M nm Wk( z ) = wk( n) z, 0 k M 1. (.) n= M O lado dreto de (.1) é denomnado decomposção polfásca e as funções W ( z ) são chamadas componentes polfáscas de F( z ) [35]. Se w ( n ) denota a transformada Z M nversa de W ( z ), então pode-se escrever a segunte relação: k k k w ( n) = f( nm + k), 0 k M 1. (.3) k A expressão (.3) ndca que a seqüênca wk ( n ) é obtda subamostrando f ( n ) por um fator M; o fator k ndca a fase do processo de subamostragem. A Fgura.1 lustra o processo de decomposção polfásca de F( z ).

27 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 16 x(n) z -1 W 0 (z M ) W 1 (z M ) Σ y(n) z -1 W M-1 (z M ) Fgura.1. Estrutura de realzação da decomposção polfásca. A partr de uma prmera generalzação da decomposção polfásca é obtda a decomposção sub-banda estrutural (STD), dada por [36]: M = 1 0 M ( M 1) T W1 ( z ) T F( z) 1 z z W ( z ) W M 1, (.4) M ( z ) na qual se tem M 1 M lm W ( z ) = w z, (.5) k l= 0 k, l onde a matrz T é uma matrz não-sngular de dmensão M M. Sendo a relação entre os coefcentes f do fltro F( z ), consderado FIR, e w kl, dada pela expressão f f f 0 M ( K 1) M f f f w w w w w w w w w 0,0 0,1 0, K 1 1 M+ 1 ( K 1) M 1 T 1,0 1,1 1, K 1 = T f f f M 1 M 1 KM 1 M 1,0 M 1,1 M 1, K 1. (.6) A matrz T pode ser mplementada através de dferentes tpos de transformação ortogonas, como DFT, DCT, Hadamard, dentre outros. Como exemplo, consderemos uma decomposção em sub-bandas estrutural com M = e T sendo uma transformação de Hadamard. A transformação Hadamard é dada por: TL = T T... T u termos (.7)

28 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS onde T = 1 1 e denota o produto de Kronecker. A dmensão L deve ser uma potênca de, de forma tal que L = u. Assm, (.4) resulta na segunte expressão: W0 ( z ) 1 1 W1 ( z ) F( z) = 1 z. (.8) A partr de (.8), F( z ) pode ser rescrto como F( z) = (1 + z ) W ( z ) + (1 z ) W ( z ). (.9) Consderando que o comprmento do fltro N seja par, temos que, nesse caso, (.5) pode ser representada por e 1 W ( z ) f f z, N / 1 0 = + 1 = 0 { + } (.10) 1 W ( z ) f f z. N / 1 1 = 1 = 0 { + } (.11) A Fgura. lustra a realzação de F( z ) segundo a decomposção exemplfcada. Nessa fgura, evdenca-se a confguração em sub-bandas da estrutura em questão. As funções W ( z ) e 0 W ( ) 1 z são chamadas subfltros. Note-se que a resposta ao mpulso desses fltros é esparsa; as funções 1 (1 z ) + e 1 (1 z ) são chamadas nterpoladores, nome esse utlzado devdo ao fato de essas funções nterpolar a resposta ao mpulso dos sub-fltros esparsos. O nterpolador passa-baxas, enquanto o nterpolador 1 (1 z ) + tem uma resposta em freqüênca tpo 1 (1 z ) apresenta uma resposta tpo passa-altas. Cada um dos ramos contrbu à resposta total do sstema, essencalmente, dentro da sub-banda assocada com o seu correspondente nterpolador.

29 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 18 x(n) 1+z -1 W 0 (z ) Σ 1-z -1 W 1 (z ) y(n) Fgura.. Decomposção em sub-bandas estrutural. No caso geral de um fator de dzmação ou subamostragem M, a matrz T tem dmensão M expressão: M e o nterpolador, um comprmento M, sendo dado pela segunte G ( z) 1 z z, (.1) k 1 ( M 1) = tk onde t k é a k-ésma coluna de T T. A decomposção em sub-bandas estrutural anterormente descrta pode ser generalzada, observando que os subfltros possam ter um fator de esparsdade L dferente do valor M da transformação. A estrutura assm obtda é chamada decomposção em subbandas generalzada (GSD) [5]. onde Assm, pode-se escrever L = 1 0 L ( M 1) T W1 ( z ) T F( z) 1 z z W ( z ) W M 1, (.13) L ( z ) K 1 L ll W ( z ) = w z. (.14) k l= 0 A relação exstente entre o fator de esparsdade L, a dmensão da transformação M (equvalente ao número de ramos da decomposção), o número de coefcentes de cada fltro esparso K e o número de coefcentes da resposta ao mpulso N, é dada por k, l

30 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 19 N = ( K 1) L+ M. (.15) Através da análse de (.13), vemos que ela representa um sstema de N equações e K M ncógntas. Portanto, para L< M, o sstema é subdetermnado, o que sgnfca que os coefcentes da estrutura em sub-bandas não são úncos, podendo ser escolhdos a partr de um conjunto nfnto de soluções [6]. Na decomposção em sub-bandas generalzada, os coefcentes f do fltro F( z) estão relaconados com os coefcentes w kl, dos sub-fltros pela segunte expressão: f = f + f, (.16) +, /, / 1 L L L L L onde = módulo L, quer dzer, o resto da dvsão / L, e / L é a parte ntera do L cocente / L. Os coefcentes f,, para 0 l ( K 1), são determnados por kl f0,0 f0,1 f0, K 1 w0,0 w0,1 w0, K 1 f1,0 f1,1 f 1, K 1 w T 1,0 w1,1 w 1, K 1 = T, f f f w w w M 1,0 M 1,1 M 1, K 1 M 1,0 M 1,1 M 1, K 1 (.17) sendo f kl, = 0 para l < 0 ou l > ( K 1).. EQUACIONAMENTO DO ALGORITMO GSD-NLMS Aqu são apresentadas as expressões báscas utlzadas na mplementação do algortmo GSD-NLMS [6]. Essa estrutura de fltragem adaptatva fo mostrada na Seção 1. e é novamente apresentada aqu por convenênca. Na estrutura GSD (Fgura.3), o snal de entrada x( n ) é processado, prmeramente, pela transformação untára T de dmensão M, gerando os snas u ( n ),

31 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 0 com = 0,1,..., M 1. Esses snas são utlzados como entradas para o algortmo de adaptação, que em nosso caso é o algortmo NLMS. x(n) u 0 (n) w 0,0 +w 0,1 z -L +...+w 0,K-1 z -L(K-1) Z -1 Z -1 Transformada T u 1 (n) w 1,0 +w 1,1 z -L +...+w 1,K-1 z -L(K-1) Σ y(n) Z -1 u M-1 (n) w M-1,0 +w M-1,1 z -L +...+w M-1,K-1 z -L(K-1) Algortmo de Adaptação e(n) Σ d(n) Fgura.3. Estrutura do algortmo GSD-NLMS. A equação de atualzação dos coefcentes é escrta como [6] 1 * w ( n 1) ( n) + = w + µ D e( n) u ( n L), = 0,1,, K 1. (.18) Em (.18), µ representa o passo de adaptação e * denota a operação de complexo conjugado. O vetor M u( n) agrupa os snas transformados, descrto da segunte forma: [ ] T u( n) = u ( n) u ( n) u ( n), (.19) 0 1 M 1 onde u ( n) está relaconado com o snal de entrada através da expressão u( n) = Tx ( n), (.0)

32 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 1 sendo T x( n) = [ x( n) x( n 1) x( n M + 1)] o vetor de entrada. O vetor w ( n) M é o vetor de coefcentes que contém o -ésmo coefcente de cada subfltro esparso, denotado por T w ( n) = [ w0, ( n) w1, ( n) wm 1, ( n)], = 0,1,, K 1. (.1) Assm, a saída do fltro yn ( ) é determnada a partr dos K vetores w ( n) segundo a expressão K 1 T ( ) = u ( ) w ( ) = 0 yn n L n. (.) O snal en ( ) em (.18) representa o erro de estmação, obtdo como segue: en ( ) = dn ( ) yn ( ), (.3) onde dn ( ) representa o snal desejado. A operação de multplcar µ pela nversa da matrz dagonal D em (.18) resulta num passo de adaptação varável no tempo, e representa uma normalzação de potênca vsto que os elementos da matrz D são as varâncas dos snas uk ( n ), representadas por σ k. Assm, a estrutura de D é dada por σ0 0 D =. (.4) 0 σ M 1 varâncas Note que para mplementar o algortmo GSD-NLMS é necessáro conhecer as σ k [6]. Porém, em uma mplementação real pode-se obter apenas uma estmatva de tas varâncas. Esta estmatva é varante no tempo. Portanto, a matrz D é

33 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS substtuída por sua versão varante no tempo, denotada por D ( n). Essa últma matrz, também dagonal, tem como elementos expressão [37]: σ ˆ k ( n), os quas são obtdos a partr da segunte 1 M w 1 σ ˆ k( n) = uk( n ), (.5) M w = 0 onde uk ( n ), para k = 0,1,, M 1, representa a n-ésma amostra do k-ésmo snal transformado e M w é a dmensão da janela de observação. Para reduzr a quantdade de memóra necessára, pode-se manpular (.5) para mplementá-la de forma recursva. Assm, Mw 1 Mw 1 σ ˆ k( n) = uk( n ) = uk( n) + uk( n ). Mw = 0 Mw Mw = 1 (.6) Supondo que M w 1, tem-se a segunte aproxmação para (.6): 1 1 Mw Mw 1 σˆ k( n 1) = uk( n ) uk( n ) Mw = 1 Mw 1 = 1. (.7) Combnando então (.6) e (.7), obtém-se 1 σ ˆ ( n) =σˆ ( n 1) + u ( n) ˆ ( n 1) M σ, k = 0,1,, M 1. (.8) k k k k w Fnalmente, para prevenr uma possível dvsão por zero na determnação da nversa D 1 ( n), uma prátca comum é adconar uma constante postva ε, geralmente 0 <ε<< 1, em cada elemento da dagonal. Tal constante é denomnada parâmetro de regularzação, e com a sua nclusão em (.18) obtém-se o algortmo GSD-εNLMS. Neste trabalho, tal parâmetro é também consderado na dervação do modelo, resultando na segunte estrutura para a matrz de normalzação D ( n) :

34 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 3 σ ˆ 0( n) +ε 0 D( n) =. (.9) 0 σ ˆ M 1( n) +ε.3. MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM DO VETOR DE COEFICIENTES Nesta seção, determna-se o momento de prmera ordem do vetor de coefcentes K M da estrutura em sub-bandas. Para tal, defne-se o vetor w( n) de forma que ele contenha todos os coefcentes dos fltros esparsos. Assm, w( n) = [ w ( n) w ( n) w ( n)]. (.30) T T T T 0 1 K 1 É também defndo o vetor de entrada transformado amplado ( n ) K M ua como sendo u T T T T ( n ) = { u ( n ) u ( n L ) u [ n ( K 1) L ]}. (.31) a Desta forma, podemos reescrever a expressão do snal de saída, dado em (.), como yn ( ) = u ( n) w ( n). (.3) T a Consderando que os snas transformados u ( n ) estão vnculados ao snal de entrada através de (.0), o vetor defndo em (.31) e o vetor de entrada amplado k ( n ) = [ x ( n ) x ( n 1) x ( n N + 1)] x T (.33) a estão relaconados pela expressão onde u = A x (.34) T a( n) a( n), T A é uma matrz retangular de dmensão KM N, dada por

35 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 4 A T T 0 MxM Mx( N M ) 0T 0 = MxL Mx( N ( L+ M )). (.35) 0 T Mx(( K 1) L) KMx(( K 1) L+ M ) onde 0 representa matrzes de zeros com suas dmensões ndcadas em (.34). Assm, a equação de atualzação para o vetor w ( n) é dada por w( n+ 1) = w( n) + µ D ( n)[ d( n) y( n)] u ( n), (.36) -1 * a a onde D( n) Da( n) =. (.37) D( n) Substtundo (.3) em (.36) e determnando o valor esperado em ambos os lados da expressão resultante, tem-se E[ w( n+ 1)] = E[ w( n)] + µ E[ D ( n) u ( n) d( n)]- µ E[ D ( n) u ( n) u ( n) w ( n)]. (.38) 1 * 1 * T a a a a a Para se obter os valores esperados de (.38), são utlzadas as seguntes consderações de análse: () w ( n) e u a ( n) são estatstcamente ndependentes. Essa suposção é uma aproxmação, pos o vetor w ( n) depende das amostras passadas dos snas de entrada transformados uk ( n ) (.19), que compõem o vetor u ( n) a. Porém, quando o passo de adaptação µ é pequeno, pode-se assumr que u a ( n) e w ( n) são

36 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 5 fracamente dependentes [1]. Um valor pequeno de µ mplca uma velocdade de convergênca baxa, o que lmta para essa condção a abrangênca dos modelos obtdos usando tal consderação. () ( n) a D -1 e * T a a u ( n) u ( n) são processos conjuntamente estaconáros e ( n) a -1 D tem uma fraca correlação em relação a u * ( n) u T ( n). Dessa forma, consderando processos ergódcos, o Prncípo da Méda [38] pode ser nvocado. a a Então, para determnar E[ D ( n) u ( n) u ( n)], consdera-se o k-ésmo elemento da 1 * T a a a dagonal da matrz 1 D ( n) u ( n) u ( n), dado por [ u ( n)][ σ ( n) +ε ], onde 1 * T a a a k k σ ( n ) é obtdo a partr de (.8). Para fns de modelagem e para obter um modelo matemátco mas tratável, utlza-se a forma equvalente não recursva (.5) para determnar o σ ( n ). Assm, o k-ésmo elemento da dagonal é dado por k k [ u ( n) M ][ u ( n) + u ( n 1) + + u ( n M + 1) + M ε]. (.39) 1 k w k k k w w Em (.39), consdera-se que o segundo fator tem varação lenta quando comparado com u ( n ), permtndo assm a aplcação de (), resultando em k E[ D ( n) u ( n) u ( n)] E[ D ( n)] E[ u ( n) u ( n)]. (.40) 1 * T 1 * T a a a a a a Smlarmente, para o valor esperado do segundo termo do lado esquerdo de (.38) tem-se E[ D ( n) u ( n) d( n)] E[ D ( n)] E[ u ( n) d( n)]. (.41) 1 * 1 * a a a a Consderando que os processos envolvdos são estaconáros no sentdo amplo, * T pode-se escrever R = E[ u ( n) u ( n)], representando a matrz de autocorrelação do snal uu a a a a

37 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 6 * de entrada transformado, e pu d = E[ u a ( n) d( n)], o vetor de correlação cruzada entre o snal a de entrada transformado e o snal desejado. Substtundo (.40) e (.41) em (.38), obtém-se E[ w( n+ 1)] = { I µ E[ D ( n)] R } E[ w( n)] + µ E[ D ( n)] p. (.4) -1-1 a uu a a a uad A dervação do momento de prmera ordem de w ( n) é fnalmente concluído determnando-se o valor esperado E[ D ( n)]. Assm, assumndo que o processo -1 a { uk ( n)} tem uma dstrbução qu-quadrado com procurado é dado por [37],[40],[41] M w graus de lberdade [39], o valor esperado M M E[ D ( )] [dag( R )] [dag( R )]. (.43) -1 w 1 w 1 a n = uu ε a a uu a a ( Mw ) ( Mw )( Mw 4) O fato de consderar que o processo { k ( )} u n tem uma dstrbução qu-quadrado é também uma aproxmação. A dstrbução qu-quadrado supõe que o processo { uk ( n )} seja ndependente. Como os snas { uk ( n )} são obtdos a partr de transformações ortogonas, eles são correlaconados; entretanto, a utlzação dessa aproxmação apresenta resultados acetáves. Se a expressão (.4) é utlzada em conjunto com a (.16) e (.17) pode-se obter um modelo para descrever o comportamento dos coefcentes do fltro equvalente de banda completa..4 VALORES ÓTIMOS E VALORES DE REGIME PERMANENTE DO VETOR DE COEFICIENTES A segunte análse é realzada consderando snas { uk ( n )} reas. Posterormente, os resultados serão generalzados para o caso complexo. Os valores ótmos dos coefcentes dos fltros esparsos são aqueles que mnmzam o erro quadrátco médo (EQM). Então,

38 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 7 substtundo a expressão (.3) em (.3), elevando ao quadrado e calculando o valor esperado da expressão resultante, obtém-se Jn ( ) = Ee [ ( n)] = Ed [ ( n) u ( ndn ) ( ) w + w u ( n) u ( n) w ], (.44) T T T a a a ou Jn ( ) = Ed [ ( n)] p w + w R w. (.45) T T uad uaua Determnando o gradente de (.45) e fazendo seu valor gual a zero, tem-se: Jn ( ) = p + R w = 0, (.46) uad uaua e logo após alguns passos algébrcos, obtém-se R w = p (.47) uu a a ua d Para o caso L< M, não exste um únco valor ótmo para o vetor w na expressão (.47). Isto se deve ao fato que a matrz R é sngular, sgnfcando que exstem nfntos uu a a valores que satsfazem a relação (.47). Agora substtundo (.34) em (.47), obtém-se T T ARxxAw= Ap xd, (.48) onde T Rxx = E[ xa( n) x a ( n)] e x = a p d E[ x ( n) d( n)]. T Multplcando ambos os lados de (.48) por A e em seguda por ( ) 1 AA, tem-se Aw R p (.49) 1 =. xx x d Analsando (.49), observa-se que exste um número nfnto de vetores w para o caso L< M. Tas vetores estão em um hperplano paralelo ao espaço nulo da matrz A. A segur são determnados os valores de regme permanente dos coefcentes dos fltros esparsos. Para tal, reescreve-se a equação que representa o momento de prmera ordem dos coefcentes (.4) em termos de (.34). Assm,

39 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 8 E[ w( n+ 1)] = E[ w( n)] + µ E[ D ( n)] A { p R AE[ w ( n)]}. (.50) -1 T a xd xx De (.50), pode-se conclur que o segundo termo de (.50) está restrto sempre ao subespaço α, defndo pelas colunas de E[ D ( n)] A. Portanto, E[ w ( n+ 1)] está restrto a -1 T a um hperplano β paralelo ao subespaço α. O hperplano β é determnado pelo valor ncal dos coefcentes dos fltros esparsos. A Fgura.4 fornece uma nterpretação gráfca desse processo. α E[w 1 (n)] β E[w(n)] E[w(n)] E[w(n+1)] E[w(0)] E[w N (n)] E[w (n)] Fgura.4. Interpretação gráfca para a expressão do momento de prmera ordem. A nterpretação gráfca de (.50) é a segur demonstrada analtcamente. Para tal, consdere-se um novo vetor v ( n), relaconado com E[ w ( n)] pela segunte relação: B v B w w 1 ( n) = E[ ( n)] = E[ ( n)] B, (.51) onde a matrz B 1 é uma matrz de dmensão N KM e a suas lnhas são os N vetores que geram o espaço das colunas de E[ ( )] -1 T Da n A ; B é uma matrz de dmensão ( KM N) KM com suas lnhas correspondendo aos vetores que geram o espaço nulo da

40 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 9 matrz -1 AE[ D a ( n)]. Os vetores defndos pelas lnhas da matrz 1 B são perpendculares aos vetores das lnhas de B. A matrz B é uma matrz de dmensão KM KM que agrupa as matrzes B 1 e B. Além dsso, é consderado que B seja ortogonal. Assm, T T BB = B B = I. (.5) A expressão (.51) representa uma rotação dos exos da Fgura.4. Assm, os N prmeros elementos do vetor v ( n) correspondem aos componentes vetoras ncluídos no subespaço α e as outras KM N aos componentes perpendculares a esse espaço. Substtundo (.51) em (.50), obtém-se Bv( n+ 1)] = Bv( n) + µ E[ D( n)] A[ p R ABv ( n)]. (.53) T T -1 T T a xd xx Multplcando ambos os lados de (.53) por B, tem-se então v( n+ 1) = v( n) + µ BE[ D ( n)] A p µ BE[ D ( n)] A R AB v ( n). (.54) -1 T -1 T T a xd a xx estrutura: Em (.54), a matrz BE[ D ( n)] A, de dmensão KM N, tem a segunte -1 T a BE[ D ( n)] A -1 T a γ Λ γ N NxN = NxN =, (.55) ( KM N) xn (KM-N)xN onde γ é a projeção da coluna da matrz E[ D ( n)] A sobre a lnha de B. -1 T a Substtundo (.55) em (.54), obtém-se

41 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 30 Λp d T T ( n + 1) = ( n) + µ x ΛR µ xx v v AB1 AB v( n). (.56) 0 0 Assm, a expressão (.56) pode ser reescrta como segue: T T Λpxd ΛR xxab1 ΛRxxAB v( n+ 1) = v( n) + µ µ v( n). (.57) Agrupando os N prmeros elementos de v ( n) no vetor v // ( n) e os outros KM N no vetor v ( n), resulta em T T v// ( n+ 1) v// ( n) Λpxd ΛR 1 //( n) + ( n) xxab v ΛRxxAB v = + µ µ. ( n+ 1) ( n) v v 0 0 (.58) A partr de (.58) observa-se que apenas os componentes paralelos ao subespaço α são atualzados. Portanto, e v ( n+ 1) = v ( n) + µ Λp µ ΛR AB v ( n) µ ΛR AB v ( n), (.59) T T // // xd xx 1 // xx v ( n+ 1) = v ( n) v ( ) = v (0) = B E[ w (0)]. (.60) O valor de regme permanente de v ( n) // pode ser obtdo a partr de (.59), fazendo lm v ( n+ 1) = lm v ( n) = v ( ), que resulta em [41] n // // // n ( ) 1 v ( ) = AB [ R p AB v (0)]. (.61) T 1 T // 1 xx xd Fnalmente, o valor de regme permanente do vetor E[ w ( n)] pode ser calculado utlzando (.61), (.59) e (.51). Assm,

42 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 31 ( ) 1 ( ) T [ 1 T T // (0)] T 1 xx xd E[ w( )] = B v = ( ) B AB R p AB v. (.6) v v (0) Substtundo (.6) em (.49) resulta em ( ) 1 T 1 T T // ( ) T T 1 [ (0)] xx xd AE[ w( )] = AB v = 1, ( ) AB AB AB R p AB v v v (0) (.63) e [ R p AB v (0)] + AB v (0) = R p. (.64) 1 T T 1 xx xd xx xd Portanto, o vetor E[ w ( )] é um dos vetores que satsfazem (.47). pela operação No caso de snas complexos, a operação de transposção T (.) deve ser substtuída H (.), onde H representa a operação de transposção complexa conjugada. As lnhas de B devem ser seleconadas de forma a manter as gualdades (.5) e (.55)..5 CURVA DE APRENDIZAGEM E MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM DO VETOR DE ERRO O vetor de erro nos coefcentes é defndo pela expressão v ( n) ( n) e = w w, onde w é o valor em regme permanente do vetor de coefcentes da estrutura em sub-bandas. Assumndo que o algortmo converge, tal valor é obtdo a partr de (.6). Expressando agora o snal de erro em função do vetor de erro, tem-se en ( ) = dn ( ) u ( n) v ( n) u ( n) w + zn ( ) = e( n) u ( n) v ( n), (.65) T T T a e a o a e

43 Capítulo : Modelagem Estatístca do Algortmo GSD-εNLMS 3 onde zn ( ) representa o erro de medção, o qual é uma varável aleatóra..d 1 com méda zero e varânca σ e não correlaconada com qualquer outro snal no sstema; e e ( n ) é o z erro de estmação, dado por o e ( n) = d( n) u ( n) w + z( n). (.66) o T a Multplcando (.65) pelo seu complexo conjugado e calculando o valor esperado em ambos os lados da expressão resultante, tem-se E[ e( n) ] = E[ e ( n) ] E[ e ( n) u ( n) v ( n)] E[ e ( n) u ( n) v ( n)] H T o o a e o a e + E[ v ( n) u ( n) u ( n) v ( n)]. T H * e a a e (.67) Utlzando o Prncípo da Ortogonaldade que estabelece que Ee [ o( n) u a( n)] = 0, tem-se que o segundo e tercero termos do lado dreto de (.66) são nulos. Além dsso, lembrando que as varáves u ( n) e ( n) a w são consderadas estatstcamente ndependentes, a expressão da curva de aprendzagem pode ser escrta como segue: Ee [ ( n)] e +tr{ R E[ v ( n) v ( n)]}, (.68) * * T = mn uu a a e e onde e = E e n é o mínmo erro atngível em regme permanente. Note que (.68) mn [ o ( ) ] é completamente determnada se a matrz de covarânca do vetor de erro K( n) = E[ v ( n) v ( n)] é conhecda. Para tal, podemos subtrar w de ambos os lados de * T e e (.36), determnar o produto externo v ( n) v ( n) e tomar o valor esperado de ambos os * T e e lados da expressão resultante de acordo com as condções de análse. Assm, [40], [41] K( n+ 1) = K( n) µ K( n) R E[ D ( n)] µ E[ D ( n)] R K( n) * 1 1 * uu a a a a uu a a + 4 µ E[ D ( n)] { R K( n) R + R tr[ R K( n)]} E[ D ( n)] 1 * * * * 1 a uu a a uu a a uu a a uu a a a + 4 µ E[ D ( n)] R E[ D ( n)] e. 1 * 1 a uu a a a mn (.69) 1 Independent Identcally Dstrbuted