Desempenho de um Algoritmo Multigrid Paralelo Aplicado às Equações de Navier-Stokes

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1 Desempeno de um Algorimo Muligrid Paralelo Aplicado às Equações de Navier-Sokes Réveron Luis Anunes Neundorf PPGMNE Universidade Federal do Paraná Curiiba-PR, Brasil Marcio Auguso Villela Pino, Luciano Kiyosi Araki Deparameno de Engenaria Mecânica Universidade Federal do Paraná Curiiba-PR, Brasil Leonardo Calvei Faculdade de Meeorologia (FMe) Universidade Federal de Peloas Peloas-RS, Brasil Resumo O escoameno laminar bidimensional de um fluido incompressível, governado pelas equações de Navier-Sokes em coordenadas caresianas, é o foco dese rabalo. Para ano, uilizou-se o méodo de volumes finios (MVF) com esquema de aproximação de segunda ordem (CDS), malas quadrangulares, além de um méodo de proeção com correção incremenal na pressão e convergência emporal de segunda ordem. O solver uilizado foi o méodo de Gauss-Seidel red-black. Para a obenção da solução, foi empregado o méodo muligrid geomérico, com esquema de correção CS, resrição por ponderação complea, prolongação uilizando inerpolação bilinear e número máximo de níveis para os casos esudados. A paralelização do muligrid foi realizada aplicando-se uma meodologia de paricionameno do domínio a cada uma de suas componenes algorímicas: solver, resrição, prolongação e cálculo do resíduo. Foi possível esar a superioridade do muligrid em relação à uilização do méodo de mala única (singlegrid). Finalmene, com a paralelização do méodo muligrid foi possível reduzir em aé 8 vezes, uilizando 4 processadores, o empo de CPU necessário para se ober as soluções das equações de Navier-Sokes. Palavras-cave Navier-Sokes; muligrid; méodos ieraivos; méodos de proeção; méodo de volumes finios; paralelização. I. INTRODUÇÃO Nese rabalo foi resolvido numericamene o problema do escoameno laminar bidimensional de um fluido incompressível governado pelas equações de Navier-Sokes, em coordenadas caresianas, com condições de conorno de Diricle para as velocidades e malas quadrangulares. Uilizou-se um méodo de proeção com correção incremenal na pressão e convergência emporal de segunda ordem. O primeiro, e mais simples, méodo considerado de proeção foi proposo por [8] e [7]. Uilizando o méodo de Euler na discreização emporal o algorimo consise em criar uma velocidade auxiliar com a qual se esima as velocidadades no passo de empo aual a parir do valor das velocidades no passo anerior ignorando a pressão. A parir da velocidade auxiliar é calculada a pressão, são aplicadas as condições de incompressibilidade e realizada a correção da velocidade no empo aual. O aspeco mais araivo do méodo é a solução de equações elípicas em cada uma das eapas do algorimo, no enano, a acurácia do méodo é preudicada devido à imposição de condições de conorno de Neumann arificiais. Em [] foi observado que adicionando o valor do gradiene de pressão de uma ieração anerior à primeira eapa do algorimo de [8], a qual ignora a pressão compleamene na primeira eapa, a acurácia do algorimo aumena. Esa observação foi uilizada por [3] na formulação de um méodo de correção na pressão de segunda ordem. O méodo em quesão é conecido como esquema de correção incremenal na pressão na forma padrão. Em [] enconra-se um méodo de proeção basane conecido, similar ao de [3], ou sea, consise em um esquema de correção incremenal na pressão na forma padrão. Na enaiva de superar o problema de se er a acurácia afeada devido a condições de conorno imposas à pressão, [9] propuseram adicionar o divergene das velocidades auxiliares na segunda eapa do algorimo de [3]. Esa pequena modificação conduz a melorias na axa de convergência da pressão. Em [8] enconra-se um méodo de proeção que, como o méodo de [8], ignora a pressão na primeira eapa do algorimo e não realiza a correção da pressão na segunda eapa, no enano apresena axas de convergência similares às obidas pelo esquema de correção incremenal da pressão na forma roacional de [9]. Pelo fao de ignorar a pressão na primeira eapa e não realizar a correção da mesma na segunda eapa [4] referem-se ao esquema de [8] como um méodo de proeção independene da pressão. O méodo numérico uilizado para a discreização do modelo maemáico foi o méodo dos volumes finios [9].

2 Foram uilizadas malas desenconradas e condições de conorno imposas com o auxílio de volumes ficícios. Para o sisema de equações algébricas uilizou-se o méodo muligrid, [3], [30], que perence à família dos méodos ieraivos uilizados para resolver com eficiência sisemas de equações oriundos da discreização de equações diferenciais parciais e êm como principal obeivo acelerar a convergência do esquema ieraivo em que são aplicados [6]. O ineresse em aplicar o méodo muligrid em problemas de larga escala, manendo o cuso compuacional aceiável, conduz à necessidade de paralelização do mesmo. Vários auores [5], [6], [5], [6], [8] e [0] esudaram a paralelização dos méodos muligrid. Conudo, segundo [30], o muligrid padrão não é compleamene paralelizável, pois as malas são processadas sequencialmene e o grau de paralelismo é diferene para cada mala considerada (menor para malas mais grossas). Nese rabalo a paralelização do méodo muligrid foi realizada adoando-se a esraégia da decomposição de dados aravés do paricionameno do domínio em subdomínios, ou sea, considera-se que exise apenas um único sisema de equações para odos os subdomínios, e porano, cada subdomínio pode ser resolvido com o mesmo algorimo. II. MODELO MATEMÁTICO O modelo maemáico considerado refere-se ao escoameno laminar bidimensional de um fluido incompressível governado pelas equações de Navier-Sokes [8]: u 0 u p u u u x Re v p u v v y Re Em () x e y são as coordenadas espaciais (variáveis independenes), é a coordenada emporal (variável independene), u e v são as componenes do veor velocidade u nas direções x e y, respecivamene, p é a pressão do fluido e Re é o número de Reynolds. Cada ermo de () foi discreizado uilizando o méodo dos volumes finios empregando malas desenconradas (saggered grid). Para esar a meodologia numérica foram resolvidos dois problemas: Problema : Vórices de Taylor-Green [3] Domínio dado por solução analíica x, y R : 0 x e 0 y e Em () Ti é o empo inicial; nese rabalo foi uilizado Ti 0, e k onde k é o passo de empo que se esá resolvendo e é o refinameno emporal. As condições iniciais e de conorno são obidas direamene da solução analíica. Problema : Cavidade com ampa deslizane [0] Domínio dado por x, y R : 0 x e 0 y cuas condições de conorno são: u 0, 0,,,0 0 u y u y u x v 0, y v, y v x,0 v x, 0 O Problema não possui solução analíica, no enano as soluções numéricas apresenadas por [0] são amplamene uilizadas na lieraura como referência na comparação dos resulados numéricos. III. METODOLOGIA A. Méodos de Proeção Referência [3] fazem uma ampla revisão dos méodos de proeção disponíveis na lieraura. Discuem os principais méodos de proeção, as axas de convergência e a relação deses com ouros méodos de proeção. Apresenam uma generalização dos méodos de proeção com correção na pressão que para cera combinação de parâmeros ( q, r e ), resula no esquema descrio a seguir:. Primeiro passo: 3u 4u u n n g u g u u P P n n n n 0 0 u n b n onde u é o campo de velocidades auxiliar, u o campo de velocidades no passo de empo n, é o refinameno emporal, n n P é pressão no passo de empo n e b as condições de conorno no passo de empo n, g com consane represena os ermos convecivos uu. A escola das consanes e 0 vai depender de como se quer raar (expliciamene ou impliciamene) os ermos convecivos. Para ese rabalo, foi uilizado 3 e 0.. Segundo passo: u cos x sen y e v sen x cos y e ( Ti) ( Ti) p cos x sen ye 4 4( Ti) 3 n n+ n u = u - 3 n n n n P P P u u

3 Na seção de resulados serão apresenadas evidências numéricas que o esquema resulane da combinação q, r e é de segunda ordem em relação às normas L, L e L. B. Tipo de Mala Uilizada Nese rabalo foram uilizadas malas desenconradas (saggered grid) do ipo [4], ambém uilizadas por [9], onde as velocidades são posicionadas nas faces e a pressão no cenro dos volumes. A razão disso é para eviar insabilidades numéricas na solução da pressão [4]. A Fig. ilusra uma mala de 6 por 6 volumes, nela é apresenada a ordenação adoada ao longo do rabalo. Na Fig. os volumes com lina raceada são camados de volumes ficícios e não perencem ao domínio físico do problema. Além disso, pode-se observar que as condições de conorno para a variável u são auomaicamene prescrias nos conornos oese e lese. Nos conornos nore e sul uilizou-se exrapolação linear para que os volumes ficícios levem em consideração a informação dos conornos. De forma similar ao caso da variável u, noa-se, na Fig., que as condições de conorno na variável v são auomaicamene prescrias nos conornos sul e nore mas nos conornos oese e lese foi uilizada exrapolação linear. D. Condição de Inegrabilidade Uma caracerísica comum dos méodos de proeção é que eses impõem condições de conorno de Neumann omogêneas sobre a pressão nos conornos. Devido a esas condições de conorno, a seguine condição de inegrabilidade precisa ser saisfeia para garanir a exisência e unicidade da solução [3]: u 0 n 3 Para deales de como (7) é saisfeia a cada passo de empo, ver o procedimeno proposo por [33]. E. Méodo Muligrid O méodo muligrid consise, basicamene, em aplicar algum méodo ieraivo básico, por exemplo os méodos de Jacobi e Gauss-Seidel [3], [30], em uma dada mala aé que as componenes do erro ornem-se suaves. Na sequência, deve-se ransferir o problema para uma mala mais grossa (onde os erros suavizados se ornam mais oscilaórios) e ransferir o problema da mala mais grossa para a mala mais fina melorando a solução da mala fina com o erro suavizado da mala grossa. Ese procedimeno para duas malas pode ser facilmene esendido para diversas malas e ele pode ser repeido aé que a mala mais grossa (ou conveniene) sea aingida. Considerando malas uniformes, a razão de engrossameno é definida como r H, onde represena o amano dos elemenos da mala fina e H o amano dos elemenos da H mala grossa. Nese rabalo será uilizado r. O número de malas que podem ser visiadas durane o processo de engrossameno depende do problema considerado e da razão de engrossameno uilizada. A Fig. mosra o processo de engrossameno de uma mala de 3 3 volumes de amano (em cada direção coordenada) e razão de engrossameno r, ou sea, H. Nese caso, LLmax 5 níveis de mala Fig.. Mala e ordenação lexicográfica das variáveis pressão e velocidade. C. Resrição no Passo de Tempo Se o passo de empo,, for muio grande em relação ao refinameno espacial ( x e y ) as simulações podem se ornar insáveis. O criério uilizado nese rabalo para eviar insabilidades é dado por [9]: Re x y x y Fig.. Processo de engrossameno de uma mala uniforme.

4 A ordem na qual as malas são visiadas é camada de ciclo muligrid. Exisem vários ipos de ciclos muligrid ais como o ciclo V, o ciclo W, o ciclo dene-de-serra, enre ouros. Nese rabalo foi uilizado o ciclo V. F. Processo de Resrição Os operadores que ransferem informações da mala fina para a mala grossa são camados de operadores de resrição. Eses operadores converem veores da mala fina v em veores da mala grossa v. Um operador muio conecido e uilizado nese rabalo é o operador de resrição por ponderação complea [33], que para o caso da pressão é dado por i, i, i, i, i, 4 onde é o valor da pressão na posição i, da mala grossa i,. De forma similar i, da mala fina. é o valor da pressão na posição i, Para o caso das velocidades u e v foi uilizado o procedimeno apresenado por [3] u ui, ui, vi, vi,, v i, i, G. Processo de Prolongação Os operadores que ransferem informações da mala grossa para a mala fina são camados de operadores de prolongação, ambém conecidos como inerpolação. Eses operadores converem veores da mala grossa v em veores da mala fina v. Um dos operadores de prolongação mais uilizados é o operador de inerpolação bilinear. Para o caso da pressão foi uilizado o procedimeno apresenado em [33] i, i, i, i, 6 i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, Para o caso da variável u as equações de inerpolação uilizadas seguem os procedimenos uilizados por [33] 3ui, u i, ui, 4 3u 3u u u ui, 8 3u 3u u u ui, 8 3u i, ui, ui, 4 3u 3u u u ui, 8 3u 3u u u ui, 8 i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, para o caso da variável v procedimenos similares podem ser enconrados em [33]. H. Paralelização do Méodo Muligrid A paralelização do méodo muligrid foi realizada adoando-se a esraégia da decomposição de dados aravés do paricionameno do domínio em subdomínios, ou sea, considera-se que exise apenas um único sisema de equações para odos os subdomínios, e porano, cada subdomínio pode ser resolvido com o mesmo algorimo. O modelo de paralelização que aplica o mesmo programa em cada um dos subdomínios é conecido como SPMD (Single Program Muliple Daa)[7]. O paricionameno do domínio consise em dividir o domínio em subdomínios de forma que cada read (processador físico ou lógico) resolva uma parcela do sisema de equações que define o problema em um menor inervalo de empo. O méodo de paricionameno do domínio dese rabalo esá direamene relacionado com a ordenação lexicográfica dos volumes do domínio. Como são considerados apenas modelos com condições de conorno de Diricle, ou sea, modelos com solução conecida nos conornos, o número de volumes de cada subdomínio pode ser calculado como N sub Nx Ny T onde T é o número oal de reads disponíveis na máquina. O símbolo refere-se à função piso. Equação () disribui o número de volumes no inerior do domínio enre os reads disponíveis de forma que o número máximo de volumes que podem sobrar na divisão é T, e eses, podem ser redisribuídos enre os reads de forma que a diferença enre o número de volumes enre os subdomínios não sea maior que um. A escola de quais reads receberão os

5 volumes que sobram é arbirária, desde que cada read receba apenas volume exra (balanceameno da carga). Nese rabalo opou-se por redisribuir os nós enre os reads c, onde c T Nx Ny TN sub Os índices que paricionam o domínio em subdomínios, em relação à ordenação lexicográfica, são dados por i N C sub c f N C sub c onde i represena o início e f represena o fim de cada subdomínio. O ermo C é calculado com se c C 0 se c Desa forma cada read a parir de c (ese read incluso) receberá volume dos que sobraram na divisão do domínio com (). A Fig. 3 ilusra um domínio com 49 volumes disribuídos, uilizando (4), enre: (a) 4 reads e (b) 8 reads. As formas geoméricas represenam os subdomínios. Pode-se observar nas duas siuações, (a) e (b), que a diferença no número de volumes enre os subdomínios não passa de um. a) 4 reads b) 8 reads Fig. 3. Domínio com 49 volumes paricionado em (a) 4 subdomínios e (b) 8 subdomínios. Na avaliação da paralelização do méodo muligrid foram uilizados os parâmeros empo de CPU CPU, medido com a função OMP_GET_WTIME(), e o faor speed-up S P, inerpreado como uma medida do aumeno na velocidade, ou aceleração, do programa, definido como [7] SP P onde é o empo de CPU uilizando apenas processador e P é o empo de CPU uilizando P processadores (empo de execução em paralelo do programa). Na lieraura [5] é comum enconrar o speed-up eórico máximo, conecido como lei de Amdal [], em sua forma mais genérica como S Amdal f f m onde f represena a parcela do processameno que pode ser melorada por um faor m e o resane f, a parcela que não pode ser melorada. No conexo do paralelismo, f represena a parcela do rabalo que pode ser paralelizada e m, o número e processadores uilizados. IV. RESULTADOS A. Dados de Implemenação Nesa seção são apresenados os parâmeros empregados no méodo muligrid padrão uilizado nese rabalo. O ipo de ciclo uilizado é o V. O processo de resrição é feio empregando-se (8) e (9). O processo de prolongação é realizado empregando-se (0) e (). A razão de engrossameno das malas r é a razão de engrossameno padrão, ou sea, r [3]. O suavizador (solver) uilizado foi o méodo de Gauss- Seidel red-black. Nese rabalo, o número de ierações inernas empregadas na pré-suavização,, é igual ao número de ierações inernas uilizadas na pós-suavização,. Nese rabalo uilizou-se 3 []. A cada passo de empo são resolvidas numericamene, com muligrid ou singlegrid (solução obida pelo suavizador uilizando-se apenas uma mala), as velocidades e a pressão. O criério de parada usado para inerromper o processo ieraivo de cada uma das variáveis (velocidades e pressão) é a norma euclidiana do resíduo adimensionalizada pela norma euclidiana do resíduo na esimaiva inicial [3], [30], ou sea, i 0 i r r, onde o ermo r é o resíduo na ieração i e 0 r, o resíduo na esimaiva inicial. Enre os rabalos que usam essa norma pode-se ciar: [3]; [] e [30]. O processo ieraivo é inerrompido quando a norma é menor ou igual à olerância, iso é 9 uilizado 0. i 0 r r. Nese rabalo foi

6 Em odas as simulações, o méodo muligrid pariu da mala mais fina, nível, e foi aé a mala mais grossa possível, nível L max. Para avaliar o faor speed-up devido à paralelização é necessário medir o empo de CPU. Ese empo é medido em segundos (s) com o uso da função OMP_GET_WTIME(). Enende-se por empo de CPU o empo gaso para realizar a geração de malas, aribuir a esimaiva inicial, calcular os coeficienes e resolver o sisema linear aé aingir a olerância esabelecida para o primeiro passo de empo na comparação muligrid versus singlegrid. Como os empos de CPU enre dois passos de empo são muio próximos e assumindo o princípio da proporcionalidade, pode-se avaliar o empo de CPU considerando-se apenas o empo medido no primeiro passo de empo. Na avaliação do paralelismo, aé aingir a olerância esabelecida para 0 passos de empo. Não se considera o empo de CPU no úlimo passo de empo porque o número de passos de empo é variável e depende do refinameno emporal uilizado ( ). deve ser menor que 6 0 n n 6, ou sea, max 0, onde represena a pressão ou velocidades u e v. O processo só foi inerrompido quando odas as variáveis aingiram a olerância esabelecida. Na Fig. 4 são apresenadas as simulações para o Problema, [0]. O refinameno de mala considerado foi de 8 8 e Reynolds variando de 00 aé 300. Pode-se observar boa concordância enre os resulados. Pode-se observar ambém que á uma fore dependência dos perfis das velocidades em relação ao número de Reynolds. Além disso, foi observado que o empo necessário para aingir a olerância aumena com o número de Reynolds, sendo necessários muios passos de empo para Reynolds maiores que 000. Viso que o empo de processameno cresce significaivamene, para números de Reynolds maiores que 000, foi uilizada a versão paralelizada do muligrid. Os algorimos foram implemenados na linguagem Forran 003 uilizando o compilador GNU Forran (GForran), versão 4.6.3, com a opção OpenMP e precisão dupla. Os eses foram realizados em um servidor disponibilizados pelo Sisema Meeorológico do Paraná-SIMEPAR. O servidor uilizado esá equipado com processadores Inel Xeon E5-690 de,9 GHz e oalizando 3 processadores, dos quais 4 esiveram disponíveis para eses; 3 GB de memória RAM e sisema operacional Linux 64 bis. B. Avaliação das Ordens de Convergência Para avaliação do erro numérico foi uilizado o Problema que possui solução analíica conecida e porano o erro numérico pode ser deerminado. Da Tabela I pode-se observar que o méodo esudado é de segunda ordem, para odas as variáveis esudadas, em relação a odas as normas empregadas. Da Tabela I conclui-se que os erros inroduzidos pela imposição de condições de Neumann arificiais (não necessariamene obedecidas pelo fluido real) pelo méodo de proeção sobre a pressão é menor, ou de mesma ordem, que os erros de discreização obidos. TABELA I. TAXAS DE CONVERGÊNCIA OBSERVADAS L L L P,995,993,944 u,978,980,977 v,979,983,984 C. Avaliação dos Resulados para o Problema Apesar dese problema não er solução analíica para comparações direas, em [0] podem ser enconrados resulados numéricos para comparação amplamene uilizados na lieraura. Como não é conecido o momeno a parir do qual o problema da cavidade com ampa deslizane (problema ) ainge o regime permanene, não é possível definir um empo final (Tf) para ese problema, logo, para inerromper o processo ieraivo foi considerado que a maior diferença em módulo enre uma variável no passo de empo aual e anerior Fig. 4. Perfis das velocidades u e v 8x8 volumes. em x=0,5 e y=0,5 para malas de D. Muligrid versus Singlegrid Nesa seção são apresenados os resulados do muligrid versus singlegrid. Basicamene foi uilizado o méodo ieraivo Gauss-Seidel red-black para o singlegrid e como suavizador para o méodo muligrid. Para gerar o empo de CPU foi resolvido o Problema para Reynolds igual a com ambos os méodos e considerado apenas o primeiro passo de empo (lembrando que depende do refinameno espacial uilizado de acordo com as resrições ao passo de empo). A solução numérica depende do empo e diferenes refinamenos de empo podem gerar diferenes números de passos de empo, logo, para que a comparação ena senido foi realizado apenas um passo de empo para vários amanos de mala. Foram realizadas pelo menos 5 simulações (repeições) de cada experimeno numérico com as respecivas coleas de empo de CPU para cada amano de mala. O empo apresenado na Fig. 5 é uma média deses empos (esa figura esá na escala log log). Além disso, foi uilizado o mesmo criério de parada para ambos os méodos: norma L do resíduo da ieração aual dividida pela norma L do resíduo na primeira ieração deve ser menor ou igual a uma olerância, iso é 9 uilizado 0. i 0 r r. Nese rabalo foi

7 Na Tabela II são apresenados os empos de CPU do muligrid (serial), do singlegrid e o faor speed-up (aceleração do muligrid em relação ao singlegrid). Pode-se observar um faor speed-up significaivo do muligrid em relação ao singlegrid. Pode-se observar ainda que o faor speed-up aumena com o refinameno da mala, uma propriedade deseável. porano, acima da precisão da função OMP_GET_WTIME() do módulo OMP da linguagem FORTRAN. Além disso, foram feias pelo menos 5 simulações (repeições) de cada experimeno numérico com as respecivas coleas de empo de CPU para cada amano de problema e read uilizada. O empo de CPU foi considerado como a média deses empos. A Fig. 6 mosra o faor speed-up para várias malas. Nela são apresenados o número de processadores no eixo x e o faor speed-up (aceleração da versão paralela em relação à versão serial do muligrid) no eixo y. Além disso, são apresenadas as curvas de speed-up eórico máximo previso por (7), para programas que êm, ipoeicamene, frações paralelas de 90%, 95% e 99%. Fig. 5. Tempo de CPU para muligrid versus singlegrid para Reynolds igual a. a) Mala 8x8 volumes b) Mala 56x56 volumes TABELA II. TEMPO DE CPU MULTIGRID (MG) VERSUS SINGLEGRID (SG) PARA REYNOLDS IGUAL Mala Muligrid Singlegrid Speed-up 3 3 0,0 0, ,08, ,3 38, , 57, , Para calcular o esforço compuacional (ordem de complexidade) foi realizado o ause geomérico dos dados da Tabela II considerando a função p T N cn CPU onde p represena a ordem do solver uilizado (muligrid ou singlegrid) ou a inclinação das curvas apresenadas na Fig. 5. No caso do muligrid, quano mais próximo p esiver de melor o desempeno do algorimo esado. Para os dados da Tabela II os valores de p calculados uilizando (8) foram p,96 para o algorimo muligrid e p,978 para o algorimo singlegrid. E. Avaliação do Desempeno Paralelo Nesa seção são apresenados os resulados da paralelização do méodo muligrid. Para a geração dos empos compuacionais foram simulados 0 passos de empo de forma que os empos oais de CPU medidos ficaram acima de s e, c) Mala 5x5 volumes d) Mala 04x04 volumes Fig. 6. Faor speed-up para várias malas. Uma análise das Figs. 6 a), b), c) e d) mosra que o faor speed-up enconra-se abaixo do pico máximo eórico de 4. As principais usificaivas para eses resulados podem ser resumidas nas seguines consaações: ) Na versão do méodo muligrid uilizada, muios processadores ficam ociosos durane o processameno da mala mais grossa. Para os experimenos realizados, na mala mais grossa, (de 3) processadores ficam ociosos enquano esperam que processador ermine suas arefas. ) No méodo Gauss-Seidel red-black apenas meade do domínio pode ser processado em paralelo. 3) O méodo de paricionameno do domínio, apesar do óimo balanceameno de carga não é ideal, pois produz subdomínios com perímeros consideráveis elevando os cusos de comunicação enre os processadores.

8 V. CONCLUSÃO Nese rabalo foi apresenado um méodo de proeção com correção incremenal na pressão e convergência emporal de segunda ordem para a resolução das equações de Navier-Sokes na variáveis primárias. Foi uilizado o méodo dos volumes finios em malas caresianas e com variáveis desenconradas para a discreização das variáveis. Os sisemas lineares gerados foram resolvidos com o méodo muligrid geomérico com esquema CS e ciclo V. O méodo muligrid foi usado em conuno com écnicas de paralelização. Foram realizados eses numéricos com resulados saisfaórios para um problema com solução analíica conecida e o problema da cavidade com ampa móvel [0]. Foi possível esar a superioridade do muligrid em relação à uilização do méodo de mala única (singlegrid). Finalmene, com a paralelização do méodo muligrid foi possível reduzir em aé 8 vezes, uilizando 4 processadores, o empo de CPU necessário para se ober as soluções das equações de Navier-Sokes. Os resulados podem ser considerados posiivos, pois verificou-se que, além do empo de processameno er sido reduzido significaivamene empregando o muligrid paralelizado, ese diminuiu à medida que aumenou-se o número processadores uilizados. AGRADECIMENTOS Os auores agradecem o apoio do Sisema Meeorológico do Paraná SIMEPAR, do PPGMNE (Programa de Pós- Graduação em Méodos Numéricos em Engenaria) e do Conselo Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico CNPq. O primeiro auor é bolsisa do Sisema Meeorológico do Paraná SIMEPAR. REFERÊNCIAS [] G. M. Amdal, Validiy of e single processor approac o acieving large scale. AFIPS spring oin compuer conference. IBM Sunnyvale, California: [s.n.], pp , 967. [] J. Bell, P. Colella and H. Glaz, "A second-order proecion meod for e incompressible navier-sokes equaions", Journal of Compuaional Pysics, vol. 85, no., pp , 989. [3] W. Briggs, V. Henson and S. McCormick, A muligrid uorial. Second Ediion, SIAM, Piladelpia, 000. [4] D. Brown, R. 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