5 Algoritmo para integração da relação tensão deformação

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1 5 Algortmo ara tegração da relação tesão deformação A aálse de materas com comortameto elastolástco or elemetos ftos é feta de forma cremetal e teratva. A cada estágo do rocesso de solução, cremetos de força são alcados e os resectvos cremetos de deslocameto calculados ela solução de equações de equlíbro. As deformações e tesões são comutadas os otos de tegração de cada elemeto usado as relações deformação deslocameto e or uma le elastolástca de tesão deformação. Caso ocorra a lastfcação o materal e um modelo de edurecmeto sotróco esteja sedo utlzado, a solução destas les elastolástcas é obtda resolvedo-se um sstema de equações da forma: ode = ( ) e, ε (5.) _ = ε ou = (5.) deederá do arâmetro utlzado ara reresetar o edurecmeto. Nestas exressões rereseta o vetor de tesão, ε o vetor de deformação, o arâmetro de edurecmeto e e a matrz elastolástca, o sal de oto acma das varáves rereseta a dervada em relação ao temo o qual a carga é alcada. A obteção da matrz elastolástca é mostrada o tóco 5... Exstem dos tos de algortmos ara o cálculo das tesões e do arâmetro de edurecmeto. Para a comreesão do rocesso de tegração mostra-se de forma stetzada uma exressão geral destes algortmos. Cosderado a deformação total costtuída elas arcelas elástca e lástca, a tesão a suerfíce de escoameto em um oto qualquer de um materal que tea se lastfcado ode ser escrta como: ( ε ) (5.) = ε ode o ídce se refere ao cremeto, ara a deformação:

2 75 ε (5.4) = ε dε = ε dε troduzdo as exressões (5.4) e (5.5) em (5.), o que ermte escrever: ε (5.5) ( ε ε dε d ) (5.6) = ε = ε dε d (5.7) fazedo dε gual a, tem-se a arcela deomada de tesão * tetatva elástca, como mostrado a exressão (5.8): (5.8) * = dε A seguda arcela do lado dreto da exressão (5.8) rereseta o comortameto lástco. Esta arcela é que ermte coduzr o estado de tesão localzado fora da suerfíce de escoameto ara a suerfíce de escoameto. urate o fluxo lástco o gradete da fução otecal lástco vara ao logo da trajetóra de deformação cremetal de modo ão coecdo. Etão, alguma ótese deverá ser adotada ara ossbltar a tegração da relação costtutva (5.8) (Noguera, 998). Uma forma de tegração é a regra do oto médo, que adota a ótese da varação lear das tesões e do arâmetro de edurecmeto ao logo do cremeto de deformação, ortato: ( α' ) α' α (5.9) ' = ( α' ) α' ' = α (5.) sedo e os valores descoecdos da tesão e do arâmetro de edurecmeto o fm do cremeto, α ' é uma costate com valor etre e. Assm, quado a deformação lástca a exressão (5.8) é substtuída ela le de fluxo, as tesões utlzadas serão as dadas ela exressão (5.9). Quado α ' é gual a tem se o algortmo de backard Euler, classfcado como do to mlícto, os trabala somete com as tesões do fm do cremeto. A vatagem deste to de algortmo é que tesão resultate automatcamete satsfaz o crtéro de escoameto e ão exge, caso ocorra uma mudaça do estado elástco ara um lástco, o cálculo da terseção da trajetóra de tesão com a suerfíce de lastfcação.

3 76 Aesar de ser um método oderoso, é um algortmo de dfícl mlemetação ara modelos comlexos, os exge o cálculo da dervada de seguda ordem da fução otecal e de escoameto. Além dsto, o algortmo ode aresetar dvergêcas ara suerfíces de escoameto com vértces ou rádas mudaças a curvatura (Sloa, ). Para α = tem se o algortmo do to exlícto, que trabala somete com as tesões e arâmetro de edurecmeto do íco do cremeto. O esquema de forard Euler é um dos mas utlzados este to de algortmo. A recsão deste to de algortmo deede do tamao do cremeto, sedo usual dvdr o cremeto em subcremetos de gual tamao ara melorar a recsão da tegração. A vatagem deste método é a fácl mlemetação, os trabala aeas com dervadas de rmera ordem. A mlemetação de um destes algortmos será dscutda o róxmo tóco. 5. Algortmo do to exlícto A desvatagem do método forard Euler ctado aterormete é que ão exste uma regra ara se estabelecer o úmero de subcremetos e também ão se ode garatr que as tesões resultates satsfaçam o crtéro de escoameto o fm do cremeto. Outra desvatagem é a ecessdade de se coecer a terseção do vetor tesão com a suerfíce de lastfcação, quado o estado de tesão muda do elástco ara o lástco. Sloa (987) roôs um algortmo do to exlícto, cuja característca cave é o cotrole de erro o rocesso de tegração ela seleção automátca do tamao do subcremeto à medda que a tegração rocede. Este trabalo está fudametado este algortmo. O método de Ruge Kutta ormad-prce é utlzado este trabalo ara resolver as exressões (5.) e (5.) em alteratva ao método de Euler. A dedução das exressões do método de Ruge Kutta ormad Prce ão será mostrada este trabalo, mas ode ser ecotrada em ormad ad Prce (98). Todava, ara eteder o seu mecasmo, será mostrado de forma resumda o método de Euler, os ambos tem a mesma coceção.

4 77 As exressões (5.) e (5.) defem um sstema de equações dferecas que regem o comortameto mecâco de um coro, ode a rcío é coecdo o estado de tesão e deformação atuates em um coro, as roredades do materal e a matrz costtutva ao ível do elemeto. Portato este roblema ode ser estudado como um roblema de valor cal. Euler roôs que a solução deste to roblema odera ser obtda aroxmado a solução exata através do cálculo de uma sére de otos detro de um determado tervalo. A fgura (5.) lustra a solução exata (la cea) e a aroxmada (otos) ara uma equação dferecal em fução de uma varável. A solução das exressões 5. e 5. será feta or esta aroxmação. v v v v Fgura 5. terretação gráfca da solução roosta or Euler (Boyce e rma, 998) Segudo Euler, cada valor da varável deedete () a curva (fgura 5.) ode ser obtdo ela soma do seu valor ateror com um cremeto relacoado a ela. Este cremeto é o roduto do cremeto da varável deedete (v) com a dervada da tagete ( ) o oto de valor cal. A segute exressão fo roosta: = v ' ( v, ) (5.) Nota se uma semelaça com a exressão (5.8) ode sera, v sera o cremeto ( d ε e ' v, ) reresetara a matrz costtutva. Etretato, a covergêca deste método é muto sesível ao cremeto da varável deedete. A covergêca é obtda, etão, or dos modos. O

5 78 rmero é o uso de cremetos cada vez meores e o segudo ela obteção de um método mas efcete. A obteção de um método mas efcete é feta ormalmete modfcado-se o valor dado or v ' ( v, ). Na lteratura um método ctado é o de Euler armorado (Boyce e Prma, 998) ou também coecdo or Euler Modfcado. Este método determa.através de dos estágos, o rmero estágo utlza o método de Euler ara determar, o segudo estágo usa o valor de calculado aterormete o lugar de a exressão (5.). Assm o valor de ão deedera somete do valor o íco do cremeto mas também de algum oto stuado detro dele, etão, ode se dzer que a dervada ' ) é avalada duas ( v, vezes ara cada cremeto. A exressão desevolvda tem a segute forma: ( ' ( v, ) ( v v, v) ) = v ' (5.) O erro de trucameto local or este método, ou seja, o erro devdo somete ao método é roorcoal a v. O erro de trucameto global que reflete o erro do trucameto local acrescdo do erro dos arâmetros de etrada é roorcoal a v. O método é classfcado de acordo com o erro de trucameto global, ortato o método de Euler Modfcado é deomado de seguda ordem. O método de Ruge Kutta-ormad-Prce utlzado este trabalo tem o mesmo rcío de Euler Modfcado, etretato a arcela v ' ( v, ) é avalada ses vezes, o que coduz a um erro de trucameto global de 5ª ordem. O erro local ara este método, exresso agora em termos de tesão é obtdo a artr das segutes exressões: ode: = (5.) = (5.4) ^ ^ = (5.5) ^ ^ = (5.6)

6 79 = e, ε (5.7) = λ, Q, ε (5.8) ε = T ε (5.9) ara varado de a 6, têm-se etão: = = (5.) (5.): 5 = = = 5 = ^ ^ 9 = = = = = = (5.) (5.) (5.) (5.4) (5.5) A exressão ara o erro local é obtda subtrado as exressões (5.5) e ^ 55 7 E = (5.6)

7 8 A mesma exressão é válda ara o arâmetro de edurecmeto O rocesso de tegração ca assumdo que o subcremeto de deformação é gual ao róro cremeto de deformação. A tesão é calculada somado a tesão do cremeto ateror com o cremeto de tesão dada ela exressão (5.7). Em seguda é determado o erro local e o erro relatvo R', como mostrado a exressão (5.7): ^ E ( ) R'= (5.7) ^ Se o erro relatvo for meor do que a tolerâca esecfcada, a tesão é atualzada e terma o rocesso de tegração. Caso o erro seja maor do que a tolerâca é feta a subdvsão do cremeto. O cremeto de deformação assa a ser um somatóro de subcremetos de deformação. Para facltar a oeração de tegração é assocado ao subcremeto de deformação um subcremeto de temo admesoal (T), tal que o cremeto de deformação seja reresetado elo valor utáro de T. O subcremeto de deformação é dado or: ε = ε (5.8) k T k ode ε k é o subcremeto de deformação e Tk é o subcremeto de temo. O valor de T k é calculado baseado em uma extraolação: _ T = q T (5.9) k k _ q é um valor real ostvo, o valor deste úmero deederá se o subcremeto de deformação fo tegrado com sucesso ou ão. Sucessvos subcremetos são calculados até que a soma deles se guale ao cremeto de deformação ou T seja gual a. Cabe ada, defr a terseção do vetor tesão com a suerfíce de escoameto, quado o estado de tesão muda do estado elástco ara o lástco. Suodo um estado de tesão elástco ( cremeto de tesão ), tal que F(, ) < a que resulte a fução de escoameto: (, ) > a, etão, ara um F a (5.)

8 8 deve-se ecotrar a arcela de Cosderado uma costate ξ tal que: resosável elo carregameto elástco. ode: (, ) = F (5.) = a ξ (5.) O valor de ξ vara etre e. Para o valor ão á deformação elástca e ara a deformação é totalmete elástca. Vsto que as equações (5.) e (5.) defem uma equação ão-lear da forma F ( ξ ) =, métodos teratvos odem ser utlzados a obteção de ξ,como a técca de Neto Raso, regula-fals, secate e o Pegasus. Este últmo fo o selecoado ara determar a terseção. A segur mostra-se o esquema do algortmo de tegração da relação tesãodeformação. etrar com a tesão e o arâmetro de edurecmeto cal, o cremeto de deformação e a tolerâca ara o erro relatvo durate a atualzação das tesões; * calcular a tesão tetatva elástca ( ) a artr da soma da tesão cal ( ) e o cremeto de tesão elástco ( e ) e = e ε (5.) = (5.4) t e verfcar o crtéro de escoameto, caso F( ) < Ftol ( F( )) Ftol * ou abs t < etão o estado de tesão é elástco e as tesões odem ser atualzadas, termado o algortmo; 4 Caso a codção ão seja verfcada, determa-se se á a assagem do estado elástco ara o lástco ela codção ( ) < F e F( ) >, se a codção é verfcada determa-se a costate ξ e a arcela elástca do cremeto de tesão. o cotráro ξ = ; tesão Atualza-se a tesão cal com a arcela de cremeto elástco de t

9 8 através de: = ξ e (5.5) 5 - eterma-se à quatdade de cremeto de tesão que será corrgdo e ( ξ ) e = (5.6) 6 Adotar T = e T = (tamao do subcremeto); 7 etermar o cremeto de tesão e arâmetro de edurecmeto elas exressões (5.) e (5.) ara varado de a 6. ode: = T λ b (5.7) e t = λ b (5.8) F e T λ = max, (5.9) F Q F t Q é a tesão dada elas exressões de (5.) a (5.5); 8 Estmar o erro local de acordo com a exressão (5.6). Atualzar a tesão e o arâmetro de edurecmeto de acordo com as exressões (5.5) e (5.6). Calcular o erro relatvo de acordo com a exressão (5.7) e comará-lo com a tolerâca esecfcada; 9 Se o erro relatvo é maor do que a tolerâca; o cremeto de temo T deverá ser reduzdo. Esta redução é obtda multlcado-se o cremeto _ elo fator q : _ {.9 tol / R',.} q = max (5.4) e retorar com este cremeto ara o asso 6. Caso o erro relatvo seja meor que a tolerâca, o cremeto de temo é aumetado elo mesmo fator q, mas com o segute valor _ {.9 tol / R',.} q = m (5.4) O eríodo de temo T, as tesões bem como o arâmetro de edurecmeto é atualzado or:

10 8 T T T = (5.4) ^ = T t (5.4) ^ T t = (5.44) verfcar se o eríodo de temo T é maor do que, se for a tegração ara o cremeto terma, seão ela retora ara o asso 6 e rossegue até T se gualar a. 5. Relações usadas o rocesso de tegração Para mlemetar o modelo de Lade-Km o algortmo exlícto é ecessáro deduzr a dervada da fução de escoameto e obter o arâmetro lástco a fm de se coecer a matrz elastolástca do elemeto. A dervada da fução otecal lástca fo dada a exressão (4.9). A segur são colocadas as exressões da dervada da fução de escoameto e do arâmetro lástco. - ervada da fução de escoameto em termos de tesão: a dervada da fução de escoameto, exressão (4.7), é obtda através da regra da cadea: j j j j f f f f = (5.45) A dervada da fução de escoameto em relação aos varates é dada elas exressões: q e a f q f = (5.46) q e a f = (5.47) q e a q f f = ψ (5.48) _ q é uma varável em fução do crtéro de rutura, ortato: ( ) ( ) = m a ms S q * * η α η α (5.49)

11 84 α ( ( ) S ) * α q = η a m (5.5) - ervada da fução de escoameto em relação ao trabalo lástco: em relação às exressões (4.6) e (4.8): - Edurecmeto - Amolecmeto f ' = ρ ( a) ρ ρ (5.5) f ' = AB a e B a (5.5) - ervada dos varates em relação às tesões: as dervadas serão colocadas em caves obedecedo a segute seqüêca de tesões:,,,, e = = ( ) ( ) ( ) (5.5) (5.54) = ( ) ( ) ( ) (5.55) O arâmetro lástco é obtdo a artr da cosderação do crtéro de escoameto, ou seja, ara qualquer estado de tesão localzado sobre a suerfíce

12 85 de escoameto um carregameto ocasoará um cremeto ulo a fução de escoameto, tem-se: df = (5.56) colocado a exressão (5.56) em termos do trabalo lástco e das tesões: df F F d = d o cremeto de trabalo lástco é dado or: = (5.57) d t = dε (5.58) O cremeto de tesão ode ser obtdo da relação do cremeto de deformação total com as arcelas elástca e lástca. O cremeto de deformação elástca está relacoado à le de Hooke: como: ε = d (5.59) d e e = dε dε (5.6) dε sto ermte colocar o cremeto de tesão em fução do cremeto de deformação total e lástco, multlcado a exressão (5.59) or substtudo (5.6) e (5.58) em (5.57) F d ( ε dε ) d = d (5.6) F t ( ε dε ) dε = (5.6) usado a le de fluxo e smlfcado a exressão (5.6), obtém-se o arâmetro lástco dλ = F dε F Q F Q (5.6) A matrz elastolástca é deduzda a artr da exressão (5.6). Usado ovamete a le de fluxo, tem-se: Q d = dε dλ (5.64)

13 86 troduzdo a exressão (5.6) em (5.64) e multlcado or ambas as arcelas detro do arêtese, tem-se: ε ε d Q F Q F F Q d d = (5.65) fatorado a exressão (5.65): ε d Q F Q F F Q d = (5.66) Comarado-se a exressão (5.66) com a (5.), a matrz elastolástca é dada or: e = Q F Q F F Q e (5.67) Esta matrz é valda ara qualquer modelo costtutvo que obedeça a uma le de edurecmeto sotróco. A matrz costtutva elástca é dada or: = ( ) ( )( ) υ υ E ) ( ) ( ) ( (5.68) e a matrz versa or:

14 87 = υ υ E υ υ υ υ ( υ) ( υ) ( υ) (5.69) 5. etales da mlemetação umérca A mlemetação do algortmo do to exlícto com modelo Lade Km o rograma de elemetos ftos ABAQUS fo feta utlzado a oção que o rograma oferece de clur les costtutvas através de uma subrota Fortra. Esta subrota é deomada or UMAT (subrota do usuáro ara defr o comortameto mecâco de um materal). O rograma ABAQUS ermte ao usuáro aeas escrever o códgo. O comlameto e a lkagem do códgo são executados elo róro ABAQUS. A subrota é acoada com o forecmeto das varáves utlzadas o modelo costtutvo elo ABAQUS,. As varáves são rocessadas ela subrota em cada oto de tegração do elemeto. Uma vez atualzadas, as varáves são retrasmtdas ao ABAQUS. Esta oeração é feta a cada cremeto. As varáves ou arâmetros utlzados foram à tesão, a deformação, a matrz costtutva do elemeto, o vetor PROPS (cujos valores são os arâmetros do materal e defdos o arquvo ) e o vetor statev. O vetor statev ermte que qualquer varável crada o códgo seja armazeada. Forecdas estas varáves, o algortmo exlícto ode corrgr as tesões e calcular a matrz costtutva do elemeto. Aesar da clusão de subrotas oferecer certa flexbldade a aálse de materas, deve-se observar que o rograma ão dsoblza a debugagem da subrota mlemetada, ou seja, o usuáro or recaução deve testá-la fora do ABAQUS ates de utlzar o rograma.

15 Comaração etre esaos de laboratóro e smulação umérca A mlemetação fo verfcada com três materas. Um deles é descrto o trabalo de Lade Km (988). Os outros são aretos cujas característcas geomecâcas e arâmetros assocados ao modelo de Lade-Km foram determados or Barroso (). Nestes exemlos a la cea rereseta a solução dada elo ABAQUS e os otos os resultados do esao. Para o areto de Vla Vela é colocada além da aálse com o ABAQUS, a resosta obtda também smlesmete usado a mlemetação que é reresetada or uma la. O materal selecoado do trabalo de Lade Km (988) é a fe slca sad, os ele ermte verfcar tato a curva tesão versus deformação como a deformação volumétrca versus deformação axal. Os arâmetros do modelo Lade-Km ara esses materas são: Kur m η c P ψ µ α a υ 7,5, 4,7,4e-,5 -,69,6,55,55, Tabela 5. Parâmetros do modelo Lade Km ara a fe sílca sad Kur m η c P ψ µ α a υ 8,6,56, ,54e-, -,795,7,696,,8 Tabela 5. Parâmetros do modelo Lade Km ara o areto Vla Vela Kur m η c P ψ µ α a υ 4,8,5848,556 75,9e-4,7 -,,94 4,6696, 5,7, Tabela 5. Parâmetros do modelo Lade Km ara o areto Ro Boto Os três exemlos lustrados reroduzem um esao traxal covecoal. Na fase de amolecmeto, algus estados de tesão aresetaram dfculdade ara serem smulados. Esta dfculdade ode ser assocada ao aarecmeto de autovalores egatvos a matrz de rgdez, o que dcara movmeto de coro rígdo. O rograma areseta como alteratvas ara mmzar esta stabldade a utlzação do método de comrmeto de arco, a trodução de forças vscosas ara reduzr os deslocametos e o cotrole or deslocameto. O cotrole de deslocameto cosste reduzr o cremeto de força alcado. estes mecasmos

16 89 o que obteve melor êxto fo o cotrole de deslocameto. Os resultados da smulação são mostrados as fguras 5. a 5.7. Adotou-se como coveção de sas a do rograma ABAQUS, ou seja, esforços de comressão egatvos e de tração ostvos ,65 KPa -. - (Ma) ,65 KPa lade - km abaqus -.,5 KPa ε (%) Fgura 5. Curva tesão versus deformação axal ara a fe sílca sad. -. Lade - Km ,65 KPa abaqus ε (%) εvol(%).5,65 KPa..5,5 KPa. Fgura 5. - Curva deformação volumétrca versus deformação axal ara a fe sílca sad.

17 MPa - (MPa) MPa esao abaqus -. MPa -. uaxal ε (%) Fgura Curva tesão versus deformação axal ara o areto Ro Boto Ma 5 MPa ε (%) MPa ε vol (%). uaxal esao abaqus.5..5 Fgura Curva deformação volumétrca versus deformação axal ara o areto Ro Boto.

18 MPa (MPa) -6. esao algortmo abaqus MPa -. MPa uaxal ε (%) Fgura Curva tesão versus deformação axal ara o areto Vla Vela MPa ε (%) esao algortmo abaqus -.5 εvol(%).5. 5 MPa MPa.5. uaxal.5 Fgura 5.7 Curva deformação volumétrca versus deformação axal ara o areto Vla Vela.

19 9 A mlemetação do modelo Lade Km detro do rograma obteve bos resultados quado comarados ao fe sílca sad (fguras 5. e 5.) estudado or Lade Km, reroduzdo com boa acuráca o comortameto das curvas tesão versus deformação e deformação volumétrca versus deformação axal. Uma boa cocordâca fo obtda ara o areto de Vla Vela (fguras 5.6 e 5.7) estudado or Barroso (). Etretato ara o areto Ro Boto a mesma cocordâca ão se verfcou (fguras 5.4 e 5.5), uma ossível razão ara sso estara a reresetatvdade do comortameto do materal elos arâmetros obtdos, já que ara os outros dos materas a cocordâca fo satsfatóra. Outro fato observado é o comortameto dlatate da deformação róxmo à rutura ara boa arte das tesões alcadas as amostra.