Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Estatística

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1 Unversdade Federal de São Carlos Centro de Cêncas Exatas e de Tecnologa Departamento de Estatístca Introdução ao Controle Estatístco de Processo on-lne Paulo Henrque Ferrera da Slva Orentador: Prof. Dr. Francsco Louzada Neto Dssertação apresentada ao Departamento de Estatístca da Unversdade Federal de São Carlos DEs/UFSCar, como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Estatístca. São Carlos Março de 0

2 Fcha catalográfca elaborada pelo DePT da Bbloteca Comuntára da UFSCar S586c Slva, Paulo Henrque Ferrera da. Introdução ao controle estatístco de processo on-lne / Paulo Henrque Ferrera da Slva. -- São Carlos : UFSCar, f. Dssertação (Mestrado) -- Unversdade Federal de São Carlos, 0.. Estatístca.. Controle Estatístco do Processo (CEP). 3. Controle de qualdade. 4. Controle de qualdade - gráfcos, tabelas, etc. 5. Capabldade. I. Título. CDD: 59.5 (0 a )

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4 Dedco esta dssertação, com muto amor e carnho, aos meus pas Paulo Sérgo Ferrera da Slva e Alzra Venturn Ferrera da Slva, que sempre me ncentvaram e me ajudaram a lutar pelas cosas em que eu acredto, e ao meu to Itamar dos Santos Cunha, que sempre acredtou que eu fosse capaz. "Ah, but a man's reach should exceed hs grasp, or what's a heaven for?" (Robert Brownng - Men and Women and Other Poems)

5 Agradecmentos Agradeço... Prmeramente a Deus, que sempre me lumnou e me guou para mas esta realzação em mnha vda. Aos meus famlares, Paulo Sérgo, Alzra, Gustavo, Márco e Itamar, que sempre estveram do meu lado. Ao meu orentador Prof. Dr. Francsco Louzada Neto, por ter acredtado em mnha capacdade e ter me dado a oportundade de ncar este trabalho. Ao Prof. Dr. Benedto Galvão Benze e ao Prof. Dr. Francsco Antono Rojas Rojas, pelas sugestões e comentáros dados quando da realzação do meu exame de qualfcação. A todos os professores e funconáros do Departamento de Estatístca da UFSCar - DEs - pelo apoo às mnhas dfculdades e pelo companhersmo. A todos os amgos que, de alguma manera, contrbuíram para a realzação deste trabalho. Em especal, aos amgos, Anderson e Carolne, pela amzade e carnho e pela ajuda no decorrer do trabalho.

6 Resumo Neste trabalho são apresentadas algumas ferramentas do Controle Estatístco de Processos (CEP), que podem ser usadas no montoramento de sstemas produtvos ao longo do tempo, bem como a sua aplcação em conjuntos de dados artfcas, que fazem parte de contextos reas. O estudo sobre essas ferramentas estatístcas está dstrbuído de tal manera que são abordados durante o trabalho: a teora das ferramentas estudadas, os dferentes contextos em que podem ser aplcadas e a sua mplementação on-lne, utlzando recursos computaconas de softwares lvres. A aplcação no sstema on-lne é realzada de tal modo que vablza a pratcdade e efcáca na geração de gráfcos para o CEP e de índces que refletem a capacdade do processo. É apresentada também uma sequênca de passos para o uso do sstema de CEP on-lne aqu proposto, tanto para stuações em que se observa apenas uma medda da qualdade do processo (caso unvarado), quanto para stuações em que são observadas váras meddas (caso multvarado). Palavras-chave: Qualdade, Controle Estatístco de Processos (CEP), Ferramentas CEP, Polítca de Controle 6-sgma, Gráfcos de Controle, Capacdade do Processo, Sstema on-lne.

7 Sumáro Introdução 5. Motvação e objetvo Os dados A polítca de controle 6-sgma Organzação do trabalho... 6 Metodologa CEP para varáves 8. Gráfco S..... Gráfco S para amostras de mesmo tamanho Gráfco S com especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco S sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco S para amostras de tamanhos varáves Gráfco S com especfcação (amostras de tamanhos varáves) Gráfco S sem especfcação (amostras de tamanhos varáves) Gráfco R Gráfco R com especfcação Gráfco R sem especfcação Gráfco X Gráfco X para amostras de mesmo tamanho Gráfco X com especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco X sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco X para amostras de tamanhos varáves Gráfco X com especfcação (amostras de tamanhos varáves) Gráfco X sem especfcação (amostras de tamanhos varáves)... 0

8 .4 Exemplo....5 Exemplo Exemplo Exemplo Consderações fnas Metodologa CEP para atrbutos Gráfcos de controle da proporção ou frequênca de tens defetuosos Gráfco p Gráfco p para amostras de mesmo tamanho Gráfco p com especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco p sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco p para amostras de tamanhos varáves Gráfco p com especfcação (amostras de tamanhos varáves) Gráfco p sem especfcação (amostras de tamanhos varáves) Gráfco np Gráfco np com especfcação Gráfco np sem especfcação Exemplo Exemplo Exemplo Consderações fnas Metodologa CEP para atrbutos Gráfcos de controle do número de defetos por tem produzdo Gráfco c Gráfco u Gráfco u para amostras de mesmo tamanho... 56

9 4... Gráfco u com especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco u sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) Gráfco u para amostras de tamanhos varáves Gráfco u com especfcação (amostras de tamanhos varáves) Gráfco u sem especfcação (amostras de tamanhos varáves) Exemplo Exemplo Exemplo Consderações fnas Capacdade do processo Índces para um processo centrado Índces para um processo não-centrado Exemplo Consderações fnas Controle estatístco de múltplas varáves Controle da varabldade do processo Gráfco T de Hotellng Análse com dados agrupados Análse com dados ndvduas Exemplo Exemplo Consderações fnas Capacdade do processo multvarado 0 7. Análse de Componentes Prncpas Dados normas multvarados

10 7.. ICPM-I ICPM-II Método alternatvo Exemplo Consderações fnas Controle do processo on-lne 6 8. Procedmentos on-lne de CEP unvarado Entrada de dados Confrmação das nformações nserdas Seleção das característcas para a geração dos relatóros nstantâneos Relatóro nstantâneo para gráfcos de controle Relatóro nstantâneo para a capacdade Procedmentos on-lne de CEP multvarado Entrada de dados Confrmação das nformações nserdas Seleção das característcas para a geração dos relatóros nstantâneos Relatóro nstantâneo para gráfcos de controle Relatóro nstantâneo para a capacdade Conclusões e propostas futuras 3 Referêncas bblográfcas 34 Apêndce A 37 Apêndce B 39 Apêndce C 7 4

11 Capítulo Introdução A crescente compettvdade empresaral e o aumento das exgêncas do consumdor, junto à globalzação e à nformatzação mundal, têm provocado mudanças sgnfcatvas na produção de ambentes manufatureros e não-manufatureros em todo o mundo. As empresas, em partcular as ndústras, vêem, cada vez mas, a necessdade do aperfeçoamento de seus produtos. Como consequênca, o controle da qualdade de seus produtos passou a ser de extrema mportânca para a satsfação dos usuáros dos produtos ou servços oferecdos e para a geração de lucro. O conceto de qualdade, de acordo com Montgomery (004, P.6 []), tem seus prmeros regstros antes de 900, com Frederck W. Taylor, consderado o Pa da Admnstração Centífca. Entretanto, somente em 9, segundo Toledo (987 [9]), o método centífco de organzação denomnado Taylorsmo fo mplementado na ntrodução da padronzação e dvsão dos trabalhos, fazendo com que a montagem de produtos fosse realzada mas faclmente. Algumas característcas desse procedmento ncal de controle de processos são: economa de mão-de-obra, aumento da produtvdade, cortes de desperdícos e segmentação das tarefas. Desde então, város estudosos têm aplcado seus conhecmentos na pesqusa sobre controle da produção, vsando o lucro da empresa e a qualdade de seus produtos. Exstem váras formas de se defnr a palavra qualdade. Para Montgomery (004, P. []), qualdade sgnfca a aptdão para o uso de um produto ou servço oferecdo por uma empresa. Bartmann (986 P. []), por sua vez, reconhece: Qualdade é um índce de satsfação que o uso do produto rá proporconar ao consumdor. Entretanto, a palavra qualdade tem sua prmera defnção centífca encontrada no Dconáro Aurélo Básco da Língua Portuguesa (988), como: Propredade, atrbuto ou condção das cosas ou das pessoas capaz de dstnguí-las das outras e lhes determnar a natureza. ; ou seja, a qualdade é resumda por dmensões que, juntas, determnam característcas acetas nos dversos campos. Apesar da dversdade de percepções, a qualdade é um conceto de suma mportânca para qualquer empresa, pos é medante a sua consderação, seu aprmoramento e sua aplcação contínua, que se pode atngr o nível de excelênca em quasquer dos objetvos fxados e atvdades executadas. Um fato mportante a se destacar é que, geralmente, o 5

12 conceto de qualdade é nterpretado erroneamente, pos é comum as pessoas, ou até mesmo os projetstas, acredtarem que a qualdade está lgada apenas ao atendmento das especfcações exgdas, quando na verdade está lgada também ao desenvolvmento do projeto do produto. A junção da Estatístca com os Procedmentos de Controle para a fscalzação da qualdade dos produtos, tendo em vsta a satsfação do clente e o lucro da empresa, fo desenvolvda em 94 por Walter Andrew Shewhart. O papel de Shewhart fo de extrema mportânca nos campos da engenhara e da estatístca, pos, a partr de seus estudos, foram cradas as ferramentas estatístcas mas empregadas hoje em da para o Controle Estatístco de Processos (CEP). A metodologa padrão para o aprmoramento da qualdade é o CEP que, segundo Montgomery (004, P.95 []), consste em um poderoso conjunto de ferramentas utlzado na obtenção da establdade do processo e na melhora da capacdade através da redução da varabldade. O CEP pode ser aplcado em qualquer tpo de processo que envolva uma sequênca de passos repettvos, sto é, pode ser aplcado em processos manufatureros e também em processos não-manufatureros. Hoje em da, exstem város programas estatístcos que podem ser usados para gerar análses sobre CEP. Contudo, a maora desses softwares só pode ser usada se for adqurda sua lcença, que é de custo relatvamente alto para certos tamanhos e tpos de empresas. Neste trabalho é proposto um procedmento on-lne de aplcação de algumas ferramentas estatístcas utlzadas na detecção de falhas que ocorrem em ambentes manufatureros e não-manufatureros. Este procedmento fo desenvolvdo com base nos recursos computaconas estatístcos de um software lvre, o R versão.5., e tem por objetvo vablzar o acesso às prncpas ferramentas de CEP (ferramentas unvaradas e multvaradas) por parte de empresas de pequeno e médo porte, prncpalmente.. Motvação e objetvo Em qualquer processo, seja ele de produção de bens ou de prestação de servços, está sempre presente a varabldade, ndependente do processo ser constantemente fscalzado ou não. Segundo Werkema (995, P.3 [6]), essa varabldade pode ser ocasonada devdo a dferenças entre matéras-prmas, às condções dos equpamentos, aos métodos de trabalho, às condções ambentas e aos operadores envolvdos no 6

13 processo. Na Estatístca, o melhoramento do nível de qualdade danfcado por essa varabldade é realzado através do chamado Controle Estatístco de Processos (CEP), que consste em um conjunto de métodos utlzados para planejar, montorar e aprmorar um processo produtvo, através da coleta de dados de uma sére de varáves que refletem a qualdade desse processo. Quando as varáves mensuradas no CEP são numércas, referentes a cada produto ou servço especfcamente, dz-se que se realza o controle de varáves do processo; por outro lado, quando se observa a frequênca de uma determnada característca (um determnado defeto de fabrcação em um conjunto de produtos, por exemplo), dz-se que é realzado o controle de atrbutos. Em geral, o nteresse ncal do CEP está lgado ao montoramento da varabldade. A partr do momento em que se verfca que essa varabldade é constante ao longo do tempo, realza-se então o controle da méda do processo. Em ambos os casos, o controle pode ser feto para observações ndvduas ou para observações agrupadas de acordo com alguma característca, como por exemplo, o período em que foram produzdas, a máquna ou o funconáro responsável pela produção. Posterormente, a partr de amostras que possuem a méda e a varabldade constantes ao longo do tempo, quantfca-se a capacdade do processo de atender às especfcações do clente ou exgêncas mpostas pelo projeto do produto. Dversas ferramentas de CEP encontram-se dsponíves, tornando vável a realzação ágl e adequada do planejamento e montoramento do processo. Entretanto, na maora das ocasões em que se utlzam tas ferramentas, um fator de enorme relevânca é desconsderado: a natureza multvarada dos estudos realzados. De fato, em contextos reas, é natural que a qualdade de um processo seja refletda através de um conjunto de varáves que normalmente exbem assocação entre s. Nestes casos, a abordagem unvarada da maora das técncas usualmente empregadas corresponde a uma lmtação destas mesmas, o que resulta em conclusões menos precsas e coerentes. Em consequênca dsso, pode haver dmnução na satsfação e confança do clente, aumento nas defcêncas e nos custos do processo e quedas nas recetas. Dversos procedmentos estatístcos multvarados têm sdo desenvolvdos, vsando suprr a carênca de técncas que permtam a análse conjunta das varáves de nteresse. Em mutos casos, nclusve, é essencal que se dsponha de metodologas que levem em consderação a estrutura de assocação exstente entre tas varáves, prncpal 7

14 defcênca das metodologas unvaradas de CEP. Evdentemente, devdo ao fato de que tas metodologas são relatvamente desconhecdas e recentes, exge-se que o analsta dsponha de amplo conhecmento técnco (estatístco) e habldade no uso de softwares, dspondo de condções para, sempre que necessáro, elaborar programas com as ferramentas de que necessta, trar conclusões adequadas dos resultados observados e explcar, de modo smples, concso e claro, para pessoas que anda não conhecem a metodologa empregada, os detalhes que estão envolvdos na análse realzada. Apesar da mportânca do CEP, sua utlzação pelas ndústras de países em desenvolvmento está muto aquém do deal, vsto que os sstemas atuas exgem das companhas nvestmento em software e hardware para que o processo seja mplantado e consoldado. Neste contexto, é evdente a vantagem de um sstema de baxo custo, que apenas necesste de um computador lgado à Internet. Este é o objetvo deste trabalho: a construção de um sstema de CEP on-lne, de fácl utlzação, que não exja nvestmento em softwares específcos, oferecendo aos possíves usuáros uma forma rápda, efcente e precsa de utlzação de procedmentos de CEP. A déa básca consste em prover o acesso à geração de gráfcos de controle e de índces que refletem a capacdade de processos unvarados e multvarados, bem como outras nformações necessáras a um estudo de CEP. De uma busca mnucosa de sstemas de CEP on-lne já dsponíves, não fo encontrado na lteratura nenhum com as mesmas característcas do aqu desenvolvdo. Assm, o sstema de CEP on-lne proposto passa a ser, então, um recurso mportante para aqueles que não têm acesso a softwares geralmente pagos e de alto valor. A utlzação do sstema está dsponível a quasquer usuáros ou analstas, ou seja, é de lvre acesso.. Os dados O uso do sstema computaconal desenvolvdo é exemplfcado nos capítulos seguntes, a partr de dados artfcas gerados pelo software R versão.5.. Os respectvos códgos para a geração, bem como os conjuntos de dados gerados a partr de tas códgos, estão expostos nos Apêndces A e B, respectvamente. Os exemplos de controle da qualdade são relaconados a característcas da qualdade de aparelhos celulares fabrcados por uma suposta empresa de telecomuncações. No capítulo são 8

15 expostos quatro exemplos relaconados a essa empresa fctíca, sendo que os dos prmeros estão relaconados à geração de gráfcos de controle do desvo-padrão e da méda (Gráfcos S e X, respectvamente), quando as amostras são de mesmo tamanho (Exemplo ) ou de tamanhos varáves (Exemplo ). Os outros dos exemplos referemse à geração de gráfcos de controle da ampltude e da méda (Gráfcos R e X ), para dados agrupados (Exemplo 3) ou ndvduas (Exemplo 4). No capítulo 3 são analsados três exemplos, referentes à geração de gráfcos de controle da proporção de tens defetuosos (Gráfco p), para amostras de tamanhos guas (Exemplo 5) ou varáves (Exemplo 6), ou da frequênca de tens defetuosos produzdos (Gráfco np), quando as amostras possuem o mesmo tamanho (Exemplo 7). Três exemplos são analsados no capítulo 4, e referem-se à geração de gráfcos de controle da freqüênca de defetos por tem produzdo (Gráfco c), quando as amostras são de tamanhos guas (Exemplo 8), ou do número médo de defetos por tem produzdo (Gráfco u), quando as amostras possuem o mesmo tamanho (Exemplo 9) ou não (Exemplo 0). No capítulo 5 é exposto um únco exemplo (Exemplo ), que está relaconado à geração dos índces de capacdade do processo. O capítulo 6 expõe a análse de dos conjuntos de dados multvarados, que exemplfcam a geração de gráfcos de controle da varabldade (segundo dos procedmentos estudados) e das médas (Gráfco T de Hotellng), para dados agrupados (Exemplo ) ou ndvduas (Exemplo 3). Por fm, no capítulo 7 é analsado um únco exemplo (Exemplo 4), referente à geração de índces de capacdade do processo multvarado..3 A polítca de controle 6-sgma A polítca de controle 6-sgma é amplamente utlzada ao longo dos próxmos capítulos. Vsto que uma das prncpas atrbuções do CEP é dentfcar mudanças que ocorrem em determnados períodos nos parâmetros do processo, são calculados dos valores de referênca para cada um destes parâmetros, sendo tas valores denomnados lmtes de controle. Para cada amostra dsponível deve-se calcular uma estmatva para tas parâmetros e, a segur, verfcar se tas estatístcas se encontram entre os lmtes de controle. A polítca de controle 6-sgma determna que, dada uma especfcação (ou estmatva pontual), µ, referente a determnado parâmetro (como a méda, por 9

16 exemplo), e sendo conhecdo (ou estmado) o desvo-padrão, σ, da estatístca que estma o parâmetro em questão, os lmtes de controle para µ sejam dados por µ ± 3σ. Essa abordagem, motvada por testes de hpóteses e nsprada na dstrbução Normal, conduz a uma baxa proporção de amostras em que ocorre o erro conhecdo como erro tpo I. Ou seja, é baxa a frequênca de amostras que, mesmo possundo parâmetro dêntco ao das demas amostras, são consderadas como amostras que possuem um valor dscrepante para esse parâmetro. De fato, caso a dstrbução da estmatva desse parâmetro seja Normal com méda gual à especfcação pontual, µ, e com um desvo-padrão, σ, gual ao utlzado na construção dos lmtes de controle, então a cada amostras que possuem exatamente os mesmos parâmetros, 7 são consderadas como possundo um parâmetro dferente das demas, o que corresponde a uma conclusão errônea. Dessa forma, ao se observar uma ou mas estatístcas fora dos lmtes de controle, é razoável verfcar se houve alguma alteração nas condções de ocorrênca do processo que justfque uma mudança em seus parâmetros ou se smplesmente ocorreu um alarme falso, sto é, um tem fo produzdo com baxo rendmento de qualdade apenas em razão da natureza aleatóra da medda de qualdade mensurada. É mportante observar anda que as metodologas a serem apresentadas são embasadas na suposção de normaldade das varáves observadas. Portanto, é de suma mportânca que essa suposção seja valdada antes de se trar qualquer conclusão referente aos resultados destas metodologas. Nesse contexto, por dversas vezes é necessára a aplcação de transformações nas varáves, de modo a obter varáves que sgam uma dstrbução Normal. Nos próxmos capítulos são dscutdas algumas das ferramentas nas quas se emprega a polítca de controle 6-sgma. Tas ferramentas vsam o montoramento da méda (ou das médas, no caso multvarado) e da varabldade de um processo..4 Organzação do trabalho Este trabalho está dvddo em nove capítulos. Nos capítulos, 3, 4 e 5, é descrta toda a teora de CEP utlzada no sstema on-lne, quando apenas uma característca da qualdade do processo é observada: gráfcos de controle para varáves 0

17 (capítulo ); gráfcos de controle para atrbutos, separados por gráfcos de controle da frequênca de defetos por tem produzdo (capítulo 3) e gráfcos de controle do número médo de defetos por tem (capítulo 4); e teora de capacdade (capítulo 5). Nos capítulos 6 e 7, é descrta toda a teora de CEP utlzada no sstema on-lne, quando duas ou mas característcas da qualdade do processo são observadas: gráfcos de controle para a varabldade, construídos segundo dos procedmentos dstntos encontrados na lteratura, e Gráfco T de Hotellng (capítulo 6); e teora de capacdade para processos multvarados (capítulo 7). No capítulo 8 é detalhado o procedmento para nserção e análse de dados de processos unvarados e multvarados no sstema on-lne desenvolvdo. No captulo 9 são apresentadas as conclusões e propostas futuras do estudo. No fnal do trabalho são apresentadas as referêncas bblográfcas estudadas e os apêndces contendo os códgos de geração dos exemplos analsados (apêndce A), os conjuntos de dados gerados a partr de tas códgos (apêndce B) e os algortmos para construção e análse dos gráfcos de controle dscutdos neste trabalho (apêndce C).

18 Capítulo Metodologa CEP para varáves Neste capítulo são dscutdas as ferramentas estatístcas denomnadas Gráfcos de Controle para Varáves, cujo objetvo é o montoramento das varáves que refletem a qualdade de um determnado processo, a fm de garantr que os tens resultantes desse processo apresentem um padrão de qualdade constante ao longo do tempo. O foco deste capítulo está em estudos unvarados, ou seja, estudos de uma únca varável ou característca da qualdade. Segundo Duncan (986 [7]), o Dr. Walter A. Shewhart, que desenvolveu os gráfcos de controle para varáves, mas conhecdos como gráfcos de Shewhart, sugeru que os gráfcos de controle devam servr, num prmero momento, para defnr a meta ou a padronzação de um processo que a gestão pretenda atngr; depos, como um nstrumento para alcançar essa meta; e fnalmente, eles podem servr como meddas para julgar se a meta fo atngda. Esse mesmo racocíno pode ser aplcado para os Gráfcos de Controle para Atrbutos, que são dscutdos no capítulo 3. O nteresse prncpal deste tpo de procedmento de controle é garantr que os parâmetros da dstrbução da varável observada (como a méda ou o desvo-padrão, por exemplo) não sofram efeto das varações dos dversos fatores nerentes ao processo, tas como a regulagem das máqunas, o nível de trenamento dos funconáros, a qualdade dos nsumos utlzados, a organzação de turnos, entre outros. Entre as dversas ferramentas dsponíves no CEP para controle de varáves, os gráfcos de controle de Shewhart são, possvelmente, os que possuem maor destaque. Neste capítulo são dscutdos os prncpas gráfcos de Shewhart para controle de varáves: o Gráfco S (gráfco de controle para o desvo-padrão), o Gráfco R (gráfco de controle para a ampltude) e o Gráfco X (gráfco de controle para a méda). Um dos tpos de montoramento da qualdade de processos é baseado na análse de desempenho de varáves (ou característcas da qualdade) de natureza quanttatva, sto é, numércas. Nesses casos, a característca em estudo pode ser representada pela varável aleatóra X, com méda µ e desvo-padrão σ. Exemplos desse tpo de varáves podem ser o peso (em gramas) dos pães de alguma padara, a quantdade (em mlltros) de suco em garrafas, o dâmetro (em metros) de parafusos de aço, a espessura

19 (em mlímetros) de barras de chocolate produzdas por certa empresa almentíca, entre tantos outros exemplos de aplcação de gráfcos de controle para varáves. Ao ldar com característcas da qualdade de natureza quanttatva, é usualmente necessáro montorar o valor médo e a varabldade dessas característcas. Geralmente, o montoramento da méda é realzado por meo do Gráfco X e o montoramento da varabldade é feto através do Gráfco S ou pelo Gráfco R. Tas gráfcos são gerados de forma que se tenha uma lnha central, correspondente ao valor de referênca (ou esperado) da característca da qualdade em estudo; um lmte nferor e um lmte superor de controle. Os passos para a construção desses gráfcos são apresentados nas próxmas seções. É fundamental realzar uma análse detalhada e conjunta, sto é, tanto para a varabldade quanto para a méda, pos pode acontecer, por exemplo, de um Gráfco X ndcar desvo na méda de uma ou mas das amostras coletadas, em relação aos lmtes estabelecdos pela empresa ou ndústra em questão, mas ao mesmo tempo apresentar a varabldade sob controle; ou os Gráfcos R ou S podem ndcar que a varabldade está fora de controle em relação aos lmtes de especfcação ou controle, enquanto o gráfco da méda apresenta establdade no processo. Uma característca forte dos gráfcos de controle de Shewhart é que estes são mas aproprados para detectar grandes mudanças na méda ou na varabldade de um processo. O estudo desses gráfcos é realzado a partr de m amostras de tamanhos guas ou varáves, das quas são coletados os valores da característca X em questão (varável aleatóra observada). O ntuto é verfcar se um determnado parâmetro, (que pode representar, por exemplo, a méda da varável X), é constante ao longo de um período de tempo ou se é dependente de outros fatores ntrínsecos ao processo. Para 0 tanto, se X é a varável aleatóra observada para a undade amostral dsponível e se µ X é o valor de referênca ou estmatva do parâmetro µ X, analsa-se o comportamento de X em relação a 0 µ X e em relação aos lmtes de controle para µ X, denotados por LIC (lmte nferor de controle) e LSC (lmte superor de controle). Essa análse é feta através de alguma estatístca que represente um bom estmador do parâmetro estatístca essa capaz de agregar em um únco valor toda a nformação relevante dsponível em cada amostra. Um processo é dto sob controle em relação ao parâmetro µ X µ X, µ X se os todos os valores da estatístca observada se dstrbuírem aleatoramente em 3

20 torno do valor de referênca (lnha central), 0 µ X, e entre os lmtes de controle do gráfco, LIC e LSC. Valores da estatístca observada que excedam os lmtes de controle, sto é, que estejam acma do LSC ou abaxo do LIC, exstênca de tendêncas ou sazonaldades (padrões de repetção) no gráfco construído, são snas de falta de controle do processo. Segundo Montgomery (004, P.30 []), os gráfcos de controle para a varável X podem ser usados quando a característca avalada, X, tem dstrbução Normal com méda µ e desvo-padrão σ. Seja x, x,..., x n uma amostra aleatóra de tamanho n da varável X. A méda dessa amostra pode ser descrta como: Como X ~ N( µ ; σ ), então: x x + x + + x n... n =. (.a) σ X ~ N µ ; n e os valores para os lmtes de controle são tas que atendem às exgêncas dadas por: (.b) 0 0 P [ LIC X µ ] = α / e P[ µ X X LSC] = α /. (.c) X No caso de uma polítca de controle 6-sgma, descrta na seção.3, α é gual a 0,9973. Isso se deve ao fato de que, tomando esse valor para α, valores de X que se localzem fora dos lmtes de controle podem ser consderados muto sgnfcatvos, pos, dado que α é alto, a probabldade de erro tpo I é muto pequena. Ou seja, a probabldade de acetar que o processo esteja fora de controle (o parâmetro vara, muda ao longo de um período de tempo), quando na verdade está sob controle (o parâmetro é constante ao longo de todo o período de tempo consderado), é muto pequena. Além dsso, caso a dstrbução de X possa ser aproxmada por uma Normal com méda 0 µ X e desvopadrão σ X na forma:, ao se assumr α gual a 0,9973, os lmtes de controle podem ser rescrtos Mutas vezes é necessáro estabelecer µ 0 X ± 3σ X. (.d) 0 µ X e σ X de acordo com crtéros técncos ou especfcações do clente. Quando sso não ocorre, tas parâmetros devem ser estmados a partr das amostras dsponíves. 4

21 Os gráfcos de controle são usualmente analsados da segunte forma: Gráfco S e Gráfco X ou Gráfco R e Gráfco X. A segur são detalhados os gráfcos de controle de Shewhart, além de sua aplcação no sstema on-lne.. Gráfco S O Gráfco S é usado para montorar a varabldade de um processo. Segundo Montgomery (004, P.48 []), a varabldade do processo pode ser montorada adequadamente medante a vsualzação do comportamento do desvo-padrão amostral, S, caso as amostras possuam pelo menos 0 ou observações (sto é, quando o tamanho amostral, n, é moderadamente grande) ou caso não apresentem o mesmo tamanho (ou seja, quando n vara). Isso se deve ao fato de que, quando se dspõe de mutas observações por amostra (n moderado ou grande), o desvo-padrão amostral é mas efcente (apresenta maor efcênca estatístca) do que a ampltude amostral ao estmar a varabldade do processo. A segur é descrta passo-a-passo a montagem do Gráfco S e suas possíves maneras de geração: quando n é constante ou vara e há ou não um valor de referênca para a varabldade do processo, representada pelo desvo-padrão σ... Gráfco S para amostras de mesmo tamanho É possível que a ndústra ou empresa em questão tenha um valor de referênca para a representação da varabldade, σ. Quando sso não ocorre, tal parâmetro deve ser estmado a partr das amostras dsponíves. Nos próxmos tópcos são abordadas essas duas stuações no cálculo do Gráfco S, quando são coletadas amostras de mesmo tamanho: Gráfco S com especfcação (seção...) e Gráfco S sem especfcação (seção...). 5

22 ... Gráfco S com especfcação (amostras de mesmo tamanho) Para esse tpo de Gráfco S, a lnha central é dada pelo valor de referênca do desvo-padrão, σ, multplcado por uma constante c 4 que é apresentada logo abaxo. Os lmtes de controle de Shewhart para o Gráfco S, obtdos a partr da expressão (.d), são dados por: 0 µ S ± 3σ S = c4σ ± 3 σ ( c4 ). (...a) Isso se deve ao fato de que: e E( S) = c σ (...b) 4 com Γ( n / ) c 4 = e (.) Γ[ ( n ) / ] n σ S = σ ( c 4 ), (...c) Γ representa a função gama. Desta forma, o valor de referênca nesse gráfco deve ser gual a c4σ (Burr, 976 [4]). Valores de c 4 para dversos tamanhos de amostra, além de outras constantes usadas na construção de gráfcos de controle, são apresentadas na Tabela...a. Alguns lvros apresentam os lmtes de controle para amostras de mesmo tamanho com especfcação, tal como constantes. Por exemplo, no lvro do Montgomery (004, P.49 []), LIC = B 5 σ e LSC = B 6 σ, com: = 3 ( ) e B6 c4 3 ( c4 ) B c c = +. (...d) Essas constantes são tabuladas para város tamanhos amostras na Tabela...a. Tabela...a: Constantes usadas na construção de gráfcos de controle para varáves. n c 4 d d 3 B 3 B 4 B 5 B 6 0,7979,8 0, ,67 0, ,886,693 0,888 0,568 0,76 4 0,93,059 0,880 0,66 0, ,9400,36 0,864 0,089 0, ,955,534 0,848 0,030,970 0,09, ,9594,704 0,833 0,8,88 0,3, ,9650,847 0,80 0,85,85 0,79,75 9 0,9693,970 0,808 0,39,76 0,3, ,977 3,078 0,797 0,84,76 0,76,669 0,9754 3,73 0,787 0,3,679 0,33,637 0,9776 3,58 0,778 0,354,646 0,346,60 6

23 3 0,9794 3,336 0,770 0,38,68 0,374, ,980 3,407 0,763 0,406,594 0,399, ,983 3,47 0,756 0,48,57 0,4, ,9835 3,53 0,750 0,448,55 0,440,56 7 0,9845 3,588 0,744 0,466,534 0,458,5 8 0,9854 3,640 0,739 0,48,58 0,475, ,986 3,689 0,734 0,497,503 0,490, ,9869 3,735 0,79 0,50,490 0,504,470 0,9876 3,778 0,74 0,53,477 0,56,459 0,988 3,89 0,70 0,534,466 0,58, ,9887 3,858 0,76 0,545,455 0,539, ,989 3,895 0,7 0,555,445 0,549,49 5 0,9896 3,93 0,708 0,565,435 0,559,40... Gráfco S sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) O procedmento de construção do Gráfco S sem especfcação é semelhante ao descrto na seção... Contudo, quando nos refermos à não especfcação, sso sgnfca que σ, assm como a méda µ, devem ser estmados a partr das amostras dsponíves. Suponha que m amostras estejam dsponíves, cada uma de tamanho n, e que S seja o desvo-padrão da -ésma amostra. A méda dos m desvos-padrão é: com S = m m S =, (...a) S = n j= ( x x) j (...b) n e x j é o valor da varável de nteresse, X, para a observação j, j=,,...,n, da amostra, =,,...,m. Um estmador não-vesado de σ, segundo Montgomery (004, P.49 []), é S E E S E ( S ) / c 4 m m S = = = σ c4 mc4 = mc 4 =. Assm, a partr de (.d), pode-se defnr que os lmtes de controle para o Gráfco S sem especfcação e consderando amostras de mesmo tamanho, são dados por: S ˆ µ ± 3 ˆ σ = S ± 3. (...c) ( c4 ) 0 S S c4 7

24 Montgomery (004, P.49 []) apresenta esses lmtes através de constantes tabeladas que varam de acordo com o tamanho da amostra, como LIC = B3S e LSC = B4S, com: B 3 = ( c ) e B4 ( c4 ) 3 4 c4 3 = +. (...d) c Valores de B 3 e B 4 para dversos tamanhos de amostra são apresentados na Tabela...a. 4.. Gráfco S para amostras de tamanhos varáves O procedmento de construção do Gráfco S para amostras de tamanhos varáves segue o mesmo esquema do apresentado anterormente na seção... No entanto, vsto que os lmtes de controle deste gráfco são funções do tamanho amostral n, então tas lmtes varam de uma amostra para outra. A segur são abordadas duas stuações que podem ocorrer no controle da qualdade utlzando o Gráfco S para amostras de tamanhos varáves: Gráfco S com especfcação (seção...) e Gráfco S sem especfcação (seção...).... Gráfco S com especfcação (amostras de tamanhos varáves) Em determnados casos, é possível que a ndústra ou estabelecmento comercal possua valores de referênca para a varabldade do processo e que as amostras coletadas sejam de tamanhos varáves. A dferença deste caso e do apresentado na seção... está no cálculo da constante c 4, que é dada por: c 4 Γ( n / ) =, (...a) Γ [( n ) / ] n =,,...,m. Ou seja, é calculada uma constante c 4 para cada amostra e, consequentemente, um lmte superor e um nferor para cada amostra, fazendo então com que os lmtes de controle, bem como a lnha central do gráfco, não sejam mas retas. Os lmtes de controle são dados então por: 8

25 µ ± 3σ = c σ ± 3 σ ( c ). (...b) 0 S S Gráfco S sem especfcação (amostras de tamanhos varáves) Nesse tpo de Gráfco S, é precso fazer uma ponderação em relação ao tamanho da amostra. Suponha que m amostras estejam dsponíves, cada uma de tamanho n, e que S seja a méda ponderada dos m desvos-padrão. Então, segundo Montgomery (004, P.5 []), tem-se que S é dado por: S / m ( n ) S = = m = n m, (...a) em que S = n j= ( x x) j n é o desvo-padrão da -ésma amostra. Assm, através de (...c), pode-se calcular os lmtes de controle para o Gráfco S sem especfcação e para amostras de tamanhos varáves. Tas lmtes são dados por: S ˆ µ ± 3 ˆ σ = S ± 3, (...b) ( c4 ) 0 S S c4 sendo que c 4 é calculada para cada amostra através de (...a). Uma alternatva para os lmtes de controle varáves, segundo Montgomery (004, P.54 []), consste em basear o cálculo dos lmtes de controle em um tamanho amostral médo n, o que parece uma abordagem satsfatóra caso os n não sejam muto dferentes, ou então no tamanho de amostra modal (mas frequente), vsto que n pode não ser um número ntero.. Gráfco R O Gráfco R, ou Gráfco da Ampltude Amostral, é comumente usado por engenheros que trabalham com o CEP, por causa da sua facldade nos cálculos para 9

26 cada amostra. Contudo, a aplcação deste tpo de gráfco é mas aconselhada nas stuações em que se dspõe de amostras de mesmo tamanho e com menos de 0 ou observações, em vrtude de apresentar um estmador mas efcente (que é a ampltude amostral) do que o desvo-padrão amostral para a varabldade do processo, pos quando o valor de n é sufcentemente grande exste uma perda de nformação da amostra contda entre os dos valores extremos. No entanto, vsto que as referêncas para a varabldade do processo são, em geral, dadas em termos do desvo-padrão do processo, faz-se necessáro determnar qual a relação entre o valor esperado para a ampltude amostral de cada amostra e o desvo-padrão do processo. Então, seja a varável R = max ( x ) mn ( x ) correspondente à ampltude j j j j amostral da -ésma amostra, sto é, a dferença entre o maor e o menor valor observados da amostra. A relação entre a ampltude, R, de uma amostra de dstrbução Normal e o desvo-padrão de tal dstrbução é dada pela ampltude relatva, W = R / σ. A dstrbução de W fo bem estudada, conforme Montgomery (004, P.3 []), e tem como méda a constante d tabelada ( E( W ) d ) =, cujo valor depende do tamanho da amostra. Valores da constante d para város tamanhos amostras podem ser vstos na Tabela...a. Portanto, um estmador não-vesado de σ é: com R m R m = = E E R E ( R ) R ˆ σ =, (..a) d m m R = = = σ d md = md =. Neste trabalho é abordado somente o uso do Gráfco R para tamanhos guas de amostra, vsto que o uso deste gráfco para amostras de tamanhos varáves não é ndcado devdo à sua complexdade (pos tanto os lmtes de controle quanto a lnha de referênca do Gráfco R varam quando n é não-constante). Nos tópcos seguntes são abordadas a construção do Gráfco R quando se dspõe (seção..) ou não (seção..) de uma especfcação (ou referênca) para o desvo-padrão σ da varável observada. 0

27 .. Gráfco R com especfcação Consderando W, como já fo vsto na seção., tem-se que ( ) ( / σ ) E W = E R = d. Portanto, consderando que σ é uma constante, tem-se que E( R) = d σ, que deve ser usado como valor de referênca do Gráfco R. Para o cálculo dos lmtes de controle deste gráfco, é necessáro, prmero, obter o desvo-padrão da ampltude amostral, σ R. E, para sso, é precso estabelecer o valor da constante d3 = Var( R / σ ), pos o que se quer é σ R = Var( R) = d3σ. Assm, tem-se que os lmtes de controle, a partr da equação de lmtes base em (.d), são dados por: ± 3σ = d σ 3d σ. (...a) 0 µ R R ± 3 Os valores de d e d 3 varam de acordo com o tamanho da amostra e estão expostos na Tabela...a... Gráfco R sem especfcação Quando a construção do Gráfco R não contém referêncas (ou especfcações), deve-se estmar o parâmetro em questão, σ. Nesse caso, deve-se estmar o valor de referênca do Gráfco R por: R = m m R =, (...a) vsto que esse é o estmador da méda das ampltudes amostras, com R = max ( x ) mn ( x ). j j j j Assm como quando exste especfcação, tem-se neste caso, que a partr de (..a) e de σ = Var( R ) = d3σ, o estmador para o desvo-padrão da ampltude R d3r amostral é dado por ˆ σ R =. Portanto, os lmtes de controle do Gráfco R são dados d por: d R ˆ µ ± 3 ˆ σ = R ± 3. (...b) 0 3 R R d

28 O Gráfco R com ou sem especfcação pode ser aplcado também quando se observam amostras de tamanho untáro (n=). Nesse caso, substtuem-se as ampltudes amostras, R, pelas ampltudes móves, dadas por R x x =, =,,...,m..3 Gráfco X O controle da méda do processo é usualmente feto através do Gráfco X. Tal gráfco pode ser construído segundo dversas condções que são detalhadas nesta seção. As maneras dferentes de se construr este gráfco são: com especfcação, sem especfcação, com mesmo tamanho de amostra e com amostras de tamanhos varáves..3. Gráfco X para amostras de mesmo tamanho A construção do Gráfco X para amostras de mesmo tamanho basea-se na montagem de três retas, sendo o valor especfcado ou estmado da méda como a reta central (lnha central ou de referênca), e as demas retas representando os lmtes superor (LSC) e nferor de controle (LIC) do gráfco. É possível que a ndústra ou o estabelecmento comercal em questão possua um valor de referênca (ou especfcação) para a méda do processo. Devdo a sso, são dscutdas a segur as duas maneras de construção do Gráfco X para amostras de mesmo tamanho: com especfcação (seção.3..) e sem especfcação (seção.3..)..3.. Gráfco X com especfcação (amostras de mesmo tamanho) A palavra especfcação ndca, neste caso, que o valor do parâmetro em questão, sto é, a méda, fo defnda pela polítca do local ou por órgãos governamentas, como o INMETRO, por exemplo. Assm, neste gráfco pode-se verfcar a constânca do parâmetro (a méda do processo) ao longo do tempo. O Gráfco X apresenta três lnhas ou retas: uma central, correspondente à especfcação 0 µ, no caso, e as demas representando os lmtes de controle dados em (.d) que, para serem calculados, é

29 precso obter o valor do desvo-padrão da méda amostral, que sob a suposção de ndependênca entre as observações, é dado por σ = σ / n (veja a equação (.b)) e que, por sua vez, necessta do valor de σ, que pode ter sdo especfcado ou não. Assm, obtêm-se os lmtes de controle para a méda do processo, dados por: 0 0 σ x 0 σ µ x ± 3σ x = µ x ± 3 = µ ± 3. (.3...a) n n x.3.. Gráfco X sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) No contexto em que se deseja montorar um processo, mas não se dspõe de referêncas (ou especfcações) para os parâmetros da dstrbução da varável observada, faz-se necessáro estmá-los a partr das amostras dsponíves. Portanto, é 0 precso encontrar um estmador para µ que represente a méda da varável observada. Sendo x a méda para a varável em questão, consderando a -ésma amostra, 0 dentre as m amostras dsponíves, então um possível estmador para µ representando a méda, é a méda das médas ou méda geral, dada por: m x = m x + x x m m. (.3...a) 0 Isso é fato, pos E ( x ) = E x = ( ) = E x E xj = E( xj ) = µ = n n j=, desde que o processo se encontre sob controle, o que justfca seu uso como valor de referênca (ou lnha central) do Gráfco X. Um estmador não-vesado do desvo-padrão da méda de um processo sob controle, que consdera todas as amostras dsponíves, é dado por: S ˆ σ x =. (.3...b) c n Esse resultado é váldo, pos partndo da equação referente ao desvo-padrão de X 4 ( ( S ) c ) E = 4σ, tem-se que controle. E = E S = σ, desde que o processo esteja sob m S c4 mc4 = 3

30 Assm, pode-se calcular os lmtes de controle do Gráfco X sem especfcação e para amostras de mesmo tamanho, através de: 0 S ˆ µ 3 ˆ x ± σ x = x ± 3. (.3...c) c n 4.3. Gráfco X para amostras de tamanhos varáves Em determnados processos, ndustras e não-ndustras, eventualmente não se têm tamanhos guas de amostra, o que pode provocar algumas mudanças nos cálculos do Gráfco X. A segur são apresentados esses cálculos quando coletadas m amostras de tamanhos varáves..3.. Gráfco X com especfcação (amostras de tamanhos varáves) Quando a ndústra ou empresa em que está sendo realzado o CEP fornece uma referênca (ou especfcação) para a méda do processo, então não é necessáro estmar 0 0 µ. Neste caso, a lnha central do Gráfco X é dada pela especfcação µ e os lmtes de controle podem ser calculados consderando-se a equação (.d), com a dferença de que agora os lmtes devem ser calculados para cada amostra dferentemente, pos os n s varam. Assm, o cálculo dos lmtes de controle é dado por: σ µ 0 ± 3. (.3...a) n.3.. Gráfco X sem especfcação (amostras de tamanhos varáves) Em determnadas stuações não é possível obter especfcações para montorar a qualdade de um processo. Nesses casos, como não há exgêncas em relação ao parâmetro, no caso a méda do processo, é necessáro então estmá-la a partr das amostras dsponíves. 4

31 O valor de referênca do Gráfco X é dado pela estmatva do parâmetro, uma méda ponderada das médas x, que é dada por: m n x = x = = m n m n = j= m = = n x j. (.3...a) Essa alteração (a ponderação no cálculo da méda) vsa garantr que todas as observações tenham o mesmo peso sobre a estmatva da méda do processo. Observe 0 anda que, devdo a essa alteração, x contnua sendo um estmador não-vesado de µ, m m n m n m n x x E ( xj ) n E ( x ) E x = E = E = = = E x = n n n n = = = = pos ( ) j j = = j= = j= 0 = m m m m ( j ) µ Da equação (.3...b), tem-se que o valor do desvo-padrão da méda, quando. os parâmetros não são especfcados e o tamanho das amostras vara, é c 4 S n, com c 4 Γ( n / ) =, =,,...,m. Γ [( n ) / ] n Assm, os lmtes de controle são dados por: S x ± 3. (.3...b) c n Para os gráfcos dscutdos neste capítulo, vale ressaltar que apenas as amostras que não sofreram nfluênca de causas (ou desajustes) eventualmente observadas devem ser utlzadas na estmação dos lmtes de controle dos gráfcos e dos parâmetros do processo, caso exsta nteresse no uso, em análses posterores com outras amostras, dos lmtes de controle estmados. Todas as amostras que sofreram nfluênca de tas causas, ndependentemente de estarem sob controle ou não, devem ser desconsderadas na estmação do lmtes de controle. Algortmos para construção e análse dos gráfcos de controle para varáves são apresentado nos Quadros..a e..a do Apêndce C. 4 5

32 .4 Exemplo O prmero conjunto de dados analsado neste capítulo, cujos valores estão na Tabela.4 do Apêndce B, contém 5 amostras com 5 observações cada, representando a capacdade de armazenamento (em megabytes, MB) de cartões de memóra para aparelhos celulares de uma marca qualquer (dados artfcas). Suponha que o nteresse da empresa é manter o processo sob controle, com especfcações (valores de referênca) de 00 MB para a méda e desvo-padrão gual a 0 MB. A segur, nas Fguras.4.a,.4.b,.4.c e.4.d é apresentada uma sequênca de passos para a análse desse conjunto de dados no sstema de CEP on-lne desenvolvdo, desde a nserção dos dados (Fgura.4.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para os gráfcos de controle S e X (Fgura.4.d). Fgura.4.a: Inserndo os dados. 6

33 Fgura.4.b: Confrmando os dados nserdos. Fgura.4.c: Defnndo as característcas e condções do processo. 7

34 Fgura.4.d: Relatóro nstantâneo gerado para os Gráfcos S e X. O Gráfco S apresentado na Fgura.5.d não detectou qualquer snal de falta de controle do processo em questão, com respeto à varabldade. No entanto, o Gráfco X, apresentado nessa mesma fgura, dentfcou um snal de falta de controle pontual do processo, referente à amostra de número 0, cuja causa deve ser nvestgada. Contnuando com a análse (que não é feta aqu), esta amostra de número 0 deve ser retrada e os gráfcos de controle refetos, para saber se há mas amostras fora de controle ou se realmente ocorreu uma falta de controle pontual do processo. Para o caso em que os parâmetros do processo, sto é, a méda e o desvo-padrão, são estmados, o comportamento dos gráfcos (que também não são exbdos aqu) é equvalente ao observado naqueles presentes na Fgura.5.d. 8

35 .5 Exemplo No segundo conjunto de dados analsado, cujos valores estão na Tabela.5 do Apêndce B, também é observada a capacdade de armazenamento (em megabytes, MB) de cartões de memóra para aparelhos celulares. Contudo, as 5 amostras coletadas são de tamanhos desguas que varam entre 4 e 6 cartões. As especfcações (valores de referênca) para esse processo anda se mantêm em uma méda de 00 MB e um desvopadrão de 0 MB. A segur, nas Fguras.5.a,.5.b,.5.c e.5.d são apresentados os passos necessáros para a análse desse conjunto de dados no sstema de CEP on-lne, desde a nserção dos dados (Fgura.5.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para os gráfcos de controle S e X (Fgura.5.d). Assm como no exemplo anteror, o Gráfco S apresentado na Fgura.5.d não detectou pontos fora dos lmtes de controle. Note, no entanto, que as 5 últmas amostras se encontram acma da lnha central do gráfco, o que pode ser um eventual snal de falta de controle do processo com relação à varabldade. O Gráfco X, por sua vez, dentfcou um snal de falta de controle pontual do processo, referente à amostra de número 0, que se encontra acma do lmte superor deste gráfco. Identfcada uma causa como responsável pela falta de controle do processo, a análse (que não é realzada aqu) prossegue, retrando esta amostra de número 0 do banco de dados e reconstrundo os gráfcos de controle a partr das demas amostras, para saber se há mas pontos fora de controle ou se realmente ocorreu uma falta de controle pontual do processo. Para o caso em que os parâmetros do processo (méda e desvo-padrão) são estmados, o comportamento dos gráfcos (que também não são exbdos aqu) é equvalente ao observado naqueles presentes na Fgura.5.d. 9

36 Fgura.5.a: Inserndo os dados. Fgura.5.b: Confrmando os dados nserdos. 30

37 Fgura.5.c: Defnndo as característcas e condções do processo. Fgura.5.d: Relatóro nstantâneo gerado para os Gráfcos S e X. 3

38 .6 Exemplo 3 O tercero conjunto de dados analsado, cujos valores estão na Tabela.6 do Apêndce B, refere-se às amostras obtdas da mesma lnha de produção (de cartões de memóra) que os dos prmeros (Exemplos e ), em que são observadas as capacdades de armazenamento (em megabytes, MB) de cartões de memóra para aparelhos celulares. Tal conjunto é consttuído de 5 amostras de tamanhos guas a 4. Suponha que o nteresse da empresa de telecomuncações seja manter o processo sob controle, mas esta não tem especfcações (referêncas) em relação aos parâmetros (méda e desvo-padrão). Fgura.6.a: Inserndo os dados. 3

39 Nas Fguras.6.a,.6.b,.6.c e.6.d é apresentada uma sequênca de passos para a análse desse conjunto de dados no sstema de CEP on-lne proposto, desde a nserção dos dados (Fgura.6.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para os gráfcos de controle R e X (Fgura.6.d). Fgura.6.b: Confrmando os dados nserdos. Fgura.6.c: Defnndo as característcas e condções do processo. O Gráfco R apresentado na Fgura.6.d não detectou qualquer snal de falta de controle do processo, com respeto à varabldade. No entanto, o Gráfco X, apresentado nessa mesma fgura, dentfcou um snal de falta de controle pontual do processo, referente à amostra de número 0, cuja causa deve ser nvestgada. 33

40 Contnuando com a análse (que não é realzada aqu), esta amostra de número 0 deve ser retrada e os gráfcos de controle refetos, para saber se há mas amostras fora de controle ou se realmente ocorreu uma falta de controle pontual do processo. Fgura.6.d: Relatóro nstantâneo gerado para os Gráfcos R e X..7 Exemplo 4 O últmo conjunto de dados analsado neste capítulo, cujos valores estão na Tabela.7 do Apêndce B, contém 5 amostras de tamanhos guas a um, coletadas da mesma lnha de produção de cartões de memóra dos exemplos anterores. A característca de qualdade observada anda é a capacdade de armazenamento (em megabytes, MB) dos cartões fabrcados. Suponha que o nteresse da empresa é manter o 34

41 processo sob controle, consderando as especfcações (valores de referênca) de 00 MB para a méda e de 0 MB para o desvo-padrão. A segur, nas Fguras.7.a,.7.b,.7.c e.7.d é apresentada uma sequênca de passos para a análse do quarto conjunto de dados no sstema de CEP on-lne, desde a nserção dos dados (Fgura.7.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para os gráfcos de controle R e X (Fgura.7.d). Fgura.7.a: Inserndo os dados. 35

42 Fgura.7.b: Confrmando os dados nserdos. Fgura.7.c: Defnndo as característcas e condções do processo. 36

43 Fgura.7.d: Relatóro nstantâneo gerado para os Gráfcos R e X. Como pode ser vsto na Fgura.7.d, não há pontos fora dos lmtes de controle nem no Gráfco R nem no Gráfco X. No entanto, são observados alguns pontos consecutvos acma da lnha central em ambos os gráfcos. O comportamento de tas gráfcos para o caso em que não são consderadas as especfcações dos parâmetros (tas gráfcos não são mostrados aqu) é equvalente ao observado na Fgura.7.d..8 Consderações fnas Foram dscutdos neste capítulo os métodos báscos do controle estatístco de processos (CEP), como os gráfcos de controle de Shewhart, bem como exemplos de sua aplcação no sstema de CEP on-lne. Ou seja, dscutu-se a aplcação do CEP no 37

44 montoramento de processos nos quas o nível de qualdade dos tens produzdos é refletdo por uma varável quanttatva. Contudo, em mutas empresas, a qualdade dos tens produzdos está relaconada a crtéros não quanttatvos. Pode ser que o tem seja smplesmente classfcado como adequado ou nadequado para comercalzação (ou como em bom estado ou defetuoso). Em outros casos, pode ser que seja observado se exstem um ou mas tpos de defetos presentes no tem produzdo. Nestes casos, o montoramento realzado é denomnado Controle de Atrbutos e a sua abordagem é dferencada da realzada até então. Detalhes a respeto da análse de controle de atrbutos são apresentados nos capítulos 3 e 4, junto com exemplos de sua aplcação no sstema de CEP on-lne desenvolvdo. \ 38

45 Capítulo 3 Metodologa CEP para atrbutos Gráfcos de controle da proporção ou frequênca de tens defetuosos O CEP é bastante empregado para o controle de varáves com característcas mensuráves, sto é, quanttatvas. Entretanto, exstem stuações nas quas as característcas da qualdade de um processo são representadas de manera não-numérca, ou seja, através de dados qualtatvos. Geralmente, as observações dessas varáves qualtatvas são expressas por defetuoso e não-defetuoso (em bom estado), ou por conforme e não-conforme. Um exemplo de uso desse tpo de varável pode ser aplcado em uma empresa que produz canetas e deseja verfcar se estas são capazes de desempenhar sua função logo que retradas da embalagem, sto é, o nteresse resde em saber se as canetas emtem tnta medante a tentatva de escrta. Contudo, embora as varáves observadas ncalmente sejam qualtatvas, estas não são as montoradas na prátca pelo CEP. De fato, quando se observa se as característcas para um determnado tem se enquadram em seu projeto, também se observam automatcamente duas varáves quanttatvas que também refletem a qualdade do processo: a frequênca com que se produzem tens defetuosos e o número de defetos observados em uma determnada quantdade de tens produzdos. O controle destas varáves é usualmente denomnado Controle de Atrbutos. A motvação dos gráfcos de controle para atrbutos é a mesma dos gráfcos de controle de Shewhart, dscutda no capítulo. Em resumo, deve-se construr o gráfco temporal da estatístca de nteresse. Essa estatístca corresponde a um estmador de um determnado parâmetro, µ, que pode corresponder, por exemplo, ao número esperado de defetos em uma amostra com n undades. São então representados no gráfco os lmtes do ntervalo de confança para µ (denomnados lmtes de controle), bem como uma estmatva pontual ou o valor deal (especfcado) para µ. Caso a sére temporal não se dstrbua aleatoramente em torno da estmatva pontual (lnha central do gráfco), apresente alguma tendênca ou sazonaldade (padrão de repetção), ou não esteja restrta ao ntervalo estabelecdo pelos lmtes de controle, pode-se conclur que provavelmente houve, por um determnado período de tempo, alguma alteração nas condções do processo que levou à mudança no valor do parâmetro µ, sto é, à falta de 39

46 controle do processo. Dessa forma, faz-se necessáro, prmaramente, nvestgar quas as alterações que possvelmente levaram a essa mudança. Em seguda, deve-se estabelecer meddas estratégcas que evtem ou mnmzem tas mudanças ou polítcas gerencas que neutralzem os efetos negatvos dessa mudança para a empresa. Os gráfcos de controle da proporção ou frequênca de tens defetuosos são útes especalmente quando um tem pode ser classfcado como adequado ou nadequado, em bom estado ou defetuoso. Neste caso, há nteresse em garantr que a frequênca com que se produzem tens ncapazes de cumprr adequadamente com suas atrbuções seja baxa e com um valor esperado constante ao longo de um período de tempo. Os prncpas gráfcos de controle desse tpo são: o gráfco de controle da proporção de tens defetuosos, ou Gráfco p, e o gráfco de controle da frequênca de tens defetuosos, ou Gráfco np, dscutdos em detalhes nas seções que se seguem. 3. Gráfco p O gráfco de controle da proporção de tens defetuosos, denomnado Gráfco p, representa, na forma de uma sére temporal, as proporções de tens defetuosos observados nas amostras coletadas. Esse gráfco é útl quando se deseja montorar a probabldade de um tem qualquer não satsfazer às especfcações. Naturalmente, quando essa probabldade for elevada, haverá um destacado número médo de tens defetuosos produzdos. Por outro lado, se essa probabldade for demasadamente baxa, é possível que os custos decorrentes dos esforços em se melhorar o nível de precsão na lnha de produção sejam altos demas. Os gráfcos para atrbutos, assm como os gráfcos para varáves vstos no capítulo, também podem ser gerados com ou sem especfcações. Nos próxmos tópcos são abordadas estas duas stuações na construção do Gráfco p quando há amostras de mesmo tamanho ou amostras de tamanhos varáves. 3.. Gráfco p para amostras de mesmo tamanho Nesta seção são abordados os usos do Gráfco p em amostras de mesmo tamanho. Os dos tópcos estudados a segur são: a construção do Gráfco p com 40

47 especfcação (seção 3...) e a construção do Gráfco p sem especfcação (seção 3...) Gráfco p com especfcação (amostras de mesmo tamanho) Em determnadas ndústras ou locas em que se deseja saber sobre a qualdade de seus produtos ou servços oferecdos, mutas vezes são estabelecdas especfcações que determnam qual deve ser a probabldade p de que um tem qualquer produzdo seja defetuoso, para vablzar fnanceramente o processo e evtar a produção de um número alto de tens defetuosos. O Gráfco p com especfcação é construído da mesma manera que os gráfcos de controle apresentados no capítulo : exste uma lnha central representando o valor de referênca (especfcação para a probabldade p) e duas lnhas representando os lmtes de controle (LIC e LSC). Para a construção desses lmtes, é precso determnar, a partr de nformações conhecdas, qual o valor esperado e o desvo-padrão da estatístca ˆp (proporção amostral). Montgomery (004, P.78 []) afrma que o Gráfco p se basea na dstrbução bnomal, pos supondo um processo com undades produzdas ndependentemente e que p seja a probabldade de que alguma undade seja defetuosa, então se houver n undades do produto e D for o número de defetuosas, tem-se que D ~ Bnomal( n, p ). Assm, supondo que sejam coletadas m amostras com n observações cada, a proporção de undades defetuosas para a -ésma amostra, é dada por: tal que x j assume os valores: x j com P ( xj = ) = p e ( j ) pˆ n D = xj =, (3...a) n n j=, se o j-ésmo tem da -ésma amostra for defetuoso =, (3...b) 0, c.c. P x = 0 = p = q. O valor esperado para a proporção amostral de defetos p ˆ, é gual à probabldade p de que cada undade pertencente a essa amostra seja defetuosa. Para demonstrar sso, note que: 4

48 E p E x E x E x n j= n j= n n ( ˆ ) = j = ( j ) = ( j ). (3...c) Como x j, defndo em (3...b), é uma varável com dstrbução de Bernoull com parâmetro p, então a equação (3...c) resulta em: O desvo-padrão de p ˆ é dado por: E ( pˆ ) = p. (3...d) pos, ( ) DP p ˆ ( p) p =, (3...e) n n n DP( pˆ ) ( ˆ = Var p ) = Var xj = Var x j n j= n j=. (3...f) Devdo à suposção de ndependênca entre as observações pertencentes à mesma amostra e ao fato de que x j segue uma dstrbução de Bernoull com parâmetro p, conclu-se, a partr da equação (3...f) que a equação (3...e) é verdadera, pos, neste caso, DP p n ( ˆ ) Var ( xj ) j= ( ) ( ) np p p p = = =. (3...g) n n n Quando o processo está sob controle, a probabldade de ocorrênca de um defeto é constante para todos os tens produzdos, ndependentemente da amostra à qual estes pertencem. Dessa forma, se essa probabldade for especfcada como sendo gual a p, o valor de referênca (lnha central) do gráfco de controle da proporção de tens defetuosos deve ser dado por p, vsto que esse é o valor esperado para essa proporção em cada amostra. Com base nas equações (3...d) e (3...e), são construídos os lmtes de controle 6-sgma desse gráfco, defndos por: p( p) p ± 3. (3...h) n 3... Gráfco p sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) Quando não exste especfcação para o parâmetro p, é precso estmá-lo a partr de nformações de dados exstentes, sto é, a partr das amostras dsponíves. Se forem 4

49 consderadas m amostras de tamanho n cada, calcula-se pˆ D n = para cada amostra, =,...,m, e a lnha de referênca (ou lnha central) do Gráfco p é a estmação da probabldade de que um tem qualquer produzdo seja defetuoso, dada por: m D ɶ. (3...a) m = p = p = = pˆ mn m = Note que p é um estmador não-vesado para p, pos m m E( p) = E pˆ ( ˆ ) ( ˆ E p E p ) p m = = = = m =. Assm, de acordo com as equações (3...h) e (3...a), tem-se que os lmtes de controle são dados por: p( p) p ± 3. (3...b) n Um ponto a se destacar é que um processo pode estar fora de controle em relação às especfcações estabelecdas para o processo, sem estar fora de controle em relação aos parâmetros estmados a partr das amostras dsponíves. Isso sgnfca que, embora o processo não esteja apto a atender às exgêncas preestabelecdas, não há efeto de causas especas que conduzam a um comportamento atípco para o processo. O que ocorre, na verdade, é que se faz necessáro rever o planejamento desse processo, de tal forma a melhorar sua capacdade de produzr tens dentro dos padrões de qualdade desejados. No contexto em que não há especfcações para o processo, além de verfcar se o processo se encontra ou não fora de controle, é também necessáro bom senso ao analsar qual a estmatva pontual (valor de referênca) para a proporção de tens defetuosos. Pos, um processo sob controle que apresente uma alta proporção de tens defetuosos pode gerar mutos custos e prejuízos para a empresa, sendo mutas vezes um problema tão séro quanto a falta de controle do processo. 3.. Gráfco p para amostras de tamanhos varáves Devdo a fatores operaconas ou análses de custos referentes à coleta de dados, em determnadas stuações faz-se necessáro utlzar tamanhos varáves de amostra. 43

50 Suponha, por exemplo, que sejam produzdas tampas de canetas de dferentes cores. Quando a quantdade de tampas de uma determnada cor sufcente para atender à demanda é produzda, passa-se então a produzr as tampas de outra cor. Dessa forma, as amostras são estabelecdas de acordo com a cor dos tens produzdos e o montoramento da proporção de tampas com um formato nadequado pode ser feto em um contexto em que são coletadas amostras de tamanhos varáves. Nesta seção são abordados os usos do Gráfco p em amostras de tamanhos varáves. Os dos tópcos a segur referem-se à construção do Gráfco p com especfcação (seção 3...) e do Gráfco p sem especfcação (seção 3...) Gráfco p com especfcação (amostras de tamanhos varáves) A construção do gráfco temporal, que contém os valores de p ˆ na ordenada e os ndcadores das amostras na abscssa, é feta de manera análoga à que fo apresentada nas seções (3...) e (3...). A únca dferença está no cálculo de p ˆ, pos o tamanho das amostras vara. Assm, o cálculo dos lmtes de controle para cada amostra, é dado por: p( p) p ± 3, (3...a) n em que p é o valor de referênca (especfcado) da proporção de tens defetuosos. Como o desvo-padrão de p ˆ, neste caso, depende do tamanho das amostras, o Gráfco p para amostras de tamanhos varáves pode não ser tão adequado. A grande dfculdade assocada ao gráfco com lmtes de controle que varam de uma amostra para outra é que, conforme dscussão realzada por Montgomery (004, P.88 []), os testes para dentfcar sequêncas ou padrões aparentemente anormas nos gráfcos não são ndcados. Dessa forma, uma alta proporção amostral de tens defetuosos pode não ser tão sgnfcatva quanto uma proporção amostral um pouco menor calculada a partr de mas undades amostras. Uma saída para verfcar a exstênca de padrões de repetção, consste em utlzar uma varável padronzada z, dada por: 44

51 z = pˆ p p ( p) n. (3...b) A varável z permte que se observe qual o desvo entre a proporção amostral de tens defetuosos e o valor de referênca para essa proporção, em termos de desvospadrão dessa estatístca. Portanto, todos os valores z se encontram na mesma escala de medda, o que justfca que possam ser aplcados testes para verfcar se exstem sequêncas ou padrões de repetção (sazonaldades) no comportamento dessa varável aleatóra. Caso o processo se encontre sob controle, o valor esperado para a estatístca z é gual a 0 e o seu desvo-padrão é gual a. Os lmtes de controle do gráfco da varável z (também conhecdo como Gráfco p padronzado) são, portanto, guas a ± 3 e a lnha central é gual a Gráfco p sem especfcação (amostras de tamanhos varáves) Nas stuações em que não é possível obter o valor de referênca de p através da empresa que deseja controlar a qualdade, é precso estmá-lo consderando os tamanhos varáves de amostra, através de: p m = = m = D n, (3...a) em que D é o número de tens defetuosos na amostra. Os lmtes de controle para cada amostra, são então dados por: p( p) p ± 3. (3...b) n Caso haja nteresse em verfcar a exstênca de sequêncas ou padrões de repetção, deve-se construr o gráfco temporal da varável padronzada z, dada por: z = pˆ p 45 p ( p) n, (3...c)

52 cujo valor esperado é gual a 0 e o desvo-padrão é gual a, caso o processo esteja sob controle. Portanto, a lnha central do gráfco da varável padronzada z (ou Gráfco p padronzado) é gual a 0 e os lmtes de controle são guas a ± 3. Um algortmo para construção e análse do Gráfco p, consderando amostras de tamanhos guas ou varáves, é apresentado no Quadro 3..a do Apêndce C. 3. Gráfco np O Gráfco np tem o objetvo de montorar o número de tens defetuosos em cada amostra produzda em um determnado período de tempo. A grande vantagem desse gráfco é que, mutas vezes, ele é mas faclmente nterpretado por pessoas que possuem pouco trenamento em Estatístca, o que pode ser o caso, por exemplo, dos profssonas da lnha de produção. Observe, contudo, que a fundamentação dos gráfcos que montoram a proporção amostral de defetos ou o número de tens com defetos é equvalente. No caso do Gráfco np, a estatístca apresentada, sto é, aquela cujos valores estão na ordenada, é dada por: n npˆ = x = D, (3..a) j j= que representa o número de tens defetuosos na amostra. O valor esperado para essa estatístca é dado por: E np E x E x np j= j= n n ( ˆ ) = j = ( j ) =. (3..b) Smlarmente, o desvo-padrão dessa estatístca, devdo à suposção de ndependênca entre as observações presentes na mesma amostra, é dado por: DP np Var np Var x Var x np p j= j= n n ( ˆ ) ( ˆ = ) = j = ( j ) = ( ). (3..c) Contudo, observe que tanto o valor esperado quanto o desvo-padrão de 46 np ˆ são funções de n. Dessa forma, caso fosse construído um gráfco em que cada amostra tvesse um tamanho dferente, a lnha central e os lmtes de controle do gráfco ram varar de uma amostra para outra, tornando, assm, complexa a sua nterpretação. Por esta razão é que as metodologas de análse do Gráfco p são mas ndcadas quando o tamanho das amostras coletadas é varável.

53 A segur estão separados por, com especfcação (seção 3..) e sem especfcação (seção 3..), o detalhamento da construção desse gráfco. 3.. Gráfco np com especfcação Quando está dsponível uma especfcação (valor de referênca) para a proporção de defetos de cada amostra, tem-se que a lnha central do gráfco, de acordo com as equações (3..b) e (3..c), é dada por np e os lmtes de controle são dados por: ( p) np ± 3 np. (3...a) 3.. Gráfco np sem especfcação Quando não é dada uma especfcação (valor de referênca) para a proporção de tens defetuosos em cada amostra, essa proporção é estmada a partr da equação (3...a), de tal forma que a lnha central do gráfco seja dada por np e os lmtes de controle sejam dados por: np ( p) ± 3 np. (3...a) Um algortmo para construção e análse do Gráfco np, consderando amostras de mesmo tamanho, é apresentado no Quadro 3..a do Apêndce C. 3.3 Exemplo 5 O prmero conjunto de dados a ser analsado neste capítulo está exposto na Tabela 3.3 do Apêndce B e é consttuído por 5 amostras de aparelhos celulares fabrcados por uma empresa de telecomuncações qualquer (fctíca). Essas amostras representam o total, dentre 00 observações, de aparelhos com defeto (víco) de fabrcação. Suponha que o nteresse da empresa seja manter o processo sob controle, consderando uma especfcação de 0, para a proporção de aparelhos defetuosos. A análse desse conjunto de dados é realzada, a segur, através do Gráfco p. 47

54 Nas Fguras 3.3.a, 3.3.b, 3.3.c e 3.3.d é apresentada uma sequênca de passos para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne desenvolvdo, desde a nserção dos dados (Fgura 3.3.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para o Gráfco p (Fgura 3.3.d). O Gráfco p apresentado na Fgura 3.3.d detectou a últma amostra como fora de controle, pos a proporção de aparelhos defetuosos nesta amostra é maor do que o lmte superor de controle do gráfco. Outro fato mportante é que as 6 últmas amostras estão acma da lnha central do gráfco. Assm, o próxmo passo sera tentar dentfcar quas são as causas responsáves pela falta de controle do processo, vsando garantr que a qualdade seja preservada no futuro. Para o caso em que não se consdera a especfcação do parâmetro, o comportamento do gráfco construído (que não é exbdo aqu) é equvalente ao observado naquele presente na Fgura 3.3.d. Fgura 3.3.a: Inserndo os dados. 48

55 Fgura 3.3.b: Confrmando os dados nserdos. Fgura 3.3.c: Defnndo as característcas e condções do processo. 49

56 Fgura 3.3.d: Relatóro nstantâneo gerado para o Gráfco p. 3.4 Exemplo 6 O segundo conjunto de dados analsado está exposto na Tabela 3.4 do Apêndce B e apresenta o total de aparelhos celulares defetuosos em cada uma das 5 amostras coletadas, bem como o total de aparelhos observados em cada uma dessas amostras. Neste exemplo, os tamanhos amostras varam entre 90 e 40. Suponha que o nteresse da empresa seja manter o processo sob controle, mas esta não tem especfcações para a probabldade p de que um aparelho qualquer produzdo seja defetuoso. A análse é realzada, a segur, através dos Gráfcos p e p padronzado, vsto que as amostras são de tamanhos varáves. Nas Fguras 3.4.a, 3.4.b, 3.4.c e 3.4.d são apresentados os passos necessáros para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne proposto, desde a nserção dos dados (Fgura 3.4.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para os Gráfcos p e p padronzado (Fgura 3.4.d). 50

57 Fgura 3.4.a: Inserndo os dados. Fgura 3.4.b: Confrmando os dados nserdos. 5

58 Fgura 3.4.c: Defnndo as característcas e condções do processo. Fgura 3.4.d: Relatóro nstantâneo gerado para os Gráfcos p e p padronzado. 5

59 Como pode ser vsto na Fgura 3.4.d, não há pontos fora dos lmtes de controle em nenhum dos dos gráfcos de controle da proporção de tens defetuosos. No entanto, observe que as 5 últmas amostras se encontram acma da lnha central do gráfco e que as demas amostras estão localzadas, em sua maora, abaxo dessa lnha. Uma possível explcação para sto está no fato de que as 5 últmas amostras possuem os maores valores observados para a proporção amostral de tens defetuosos e, por sso, acabam deslocando a lnha central para cma (lembre-se que o estmador de p, neste caso, é uma méda amostral, que é sensível a valores dscrepantes). A análse (que não é realzada aqu) prossegue com a retrada das 5 últmas amostras do banco de dados e a reconstrução dos gráfcos de controle a partr das demas, para saber se há mas amostras fora de controle. 3.5 Exemplo 7 Consdere novamente o conjunto de dados analsado no Exemplo 5. No presente exemplo, a análse deste conjunto é realzada através do Gráfco np, utlzando anda a especfcação de 0, para a proporção de aparelhos defetuosos. As Fguras 3.5.a, 3.5.b, 3.5.c e 3.5.d apresentam os passos necessáros para a construção do Gráfco np para esse conjunto de dados no sstema de CEP on-lne. O Gráfco np apresentado na Fgura 3.5.d é equvalente ao Gráfco p da Fgura 3.3.d. Ou seja, as 5 últmas amostras se apresentam novamente como canddatas a fora de controle, por estarem todas bem acma da lnha central do gráfco, nclusve com a últma amostra excedendo o lmte superor de controle. Para o Gráfco np construído sem consderar a especfcação (este gráfco não é exbdo aqu), o comportamento é equvalente ao observado naquele presente na Fgura 3.5.d. Portanto, o próxmo passo da análse consste na dentfcação das causas responsáves pela falta de controle do processo. Se tas causas forem dentfcadas, deve-se anda retrar as 5 últmas amostras do banco de dados e reconstrur o Gráfco np a partr das observações restantes, para saber se há mas amostras fora de controle. 53

60 Fgura 3.5.a: Inserndo os dados. Fgura 3.5.b: Confrmando os dados nserdos. 54

61 Fgura 3.5.c: Defnndo as característcas e condções do processo. Fgura 3.5.d: Relatóro nstantâneo gerado para o Gráfco np. 55

62 3.6 Consderações fnas Dscutu-se ao longo deste capítulo os gráfcos de controle da proporção ou da frequênca de tens defetuosos produzdos, sto é, os Gráfcos p e np, que são utlzados quando se obtém varáves qualtatvas e deseja-se trabalhar com proporções de tens defetuosos, p. No entanto, em determnados casos, ao se produzr um equpamento, não é possível detectar defetos em peças nternas, pos esses defetos não causam a falha total do produto. Por exemplo, na montagem de um computador em uma ndústra ou comérco, é possível que uma memóra de alto nível esteja funconando com apenas metade de sua capacdade, porém este defeto não é detectado durante uma nspeção, uma vez que não prejudca o bom funconamento do aparelho. Neste caso, os Gráfcos p e np não podem ser usados. Uma saída para esse problema é a análse da qualdade através do controle do número de defetos por undade de nspeção. No próxmo capítulo são apresentados dos gráfcos, o Gráfco c e o Gráfco u, que podem ser utlzados nessas stuações. 56

63 Capítulo 4 Metodologa CEP para atrbutos Gráfcos de controle do número de defetos por tem produzdo Embora um produto possa apresentar dversos defetos, seu projeto pode garantr que ele mantenha um funconamento adequado, como é o caso, por exemplo, de aparelhos eletrôncos. Muto embora dversos de seus componentes apresentem defetos, a redundânca presente no sstema é capaz de contornar tas defetos e garantr o bom funconamento do aparelho. Sendo assm, os Gráfcos p e np não seram capazes de dentfcar as varações no nível de qualdade do processo quando tas aparelhos fossem nspeconados. Nestes casos são necessáros gráfcos de controle para atrbutos útes no montoramento da frequênca de defetos por tem. Entre tas gráfcos, encontram-se o Gráfco c e o Gráfco u, os quas são dscutdos em detalhes nas próxmas seções. 4. Gráfco c O Gráfco c é empregado no controle do número de defetos por tem produzdo. É útl quando cada tem produzdo pode apresentar mas de um tpo de defeto ou repetções do mesmo defeto. A undade nspeconada mutas vezes consste de um tem caro e tal nspeção demanda o nvestmento de tempo e dnhero, fazendo com que cada uma dessas undades (é possível também defnr a undade de nspeção como sendo um conjunto de n tens) seja consderada uma amostra. Naturalmente, todas as amostras devem ser consttuídas de tens dêntcos, para garantr que o número esperado de defetos em uma determnada amostra não seja maor do que nas demas. A construção do Gráfco c supõe que o número de defetos por undade nspeconada tenha dstrbução Posson com parâmetro c (c é a taxa de defetos). Dessa forma, o número de defetos possíves, que pode ser observado em cada tem, pode ser qualquer valor presente no conjunto nfnto, dado por ω = { 0,,,... }. Além dsso, a probabldade de que um defeto seja observado em um determnado ponto qualquer do produto, deve ser constante para todos os possíves pontos desse produto. Montgomery (004, P.93 []) dscute que, em contextos reas, essa suposção não costuma ser plenamente atendda, mas que anda assm é possível que o modelo Posson represente 57

64 uma boa aproxmação do modelo responsável pelo número de defetos por undade nspeconada. Seja X defnda como o número de defetos por undade nspeconada. A suposção de que essa varável tenha dstrbução Posson com parâmetro c mplca em que seu valor esperado seja gual a c e seu desvo-padrão seja gual a c. É comum a polítca de qualdade da empresa, as exgêncas técncas referentes à undade produzda e as necessdades do clente determnarem qual deve ser o valor esperado para o número de defetos por undade produzda. Nesse caso, o valor de referênca (lnha central) do gráfco é gual à própra especfcação, c, e os lmtes de controle são guas a: c ± 3 c. (4..a) Caso o lmte nferor apresentado na equação (4..a) seja negatvo, deve-se assumr este valor como nulo. Por outro lado, se não for dada a especfcação do processo, é necessáro estmar o valor do parâmetro c, dado pelo número médo de defetos observados, m x m = c =, (4..b) em que m é o número de amostras e x é o total de defetos na -ésma amostra. Note que c é um estmador não-vesado de c, pos m m E( c ) = E x E( x ) E( x ) c m = = = = m =. Dessa forma, os lmtes de controle do Gráfco c sem especfcação, são dados por: c ± 3 c. (4..c) Um algortmo para construção e análse do Gráfco c, consderando amostras de mesmo tamanho, é apresentado no Quadro 4..a do Apêndce C. 4. Gráfco u O Gráfco u é utlzado quando se deseja montorar o número médo de defetos por undade produzda. Uma de suas prncpas aplcações ocorre quando o planejamento amostral é alterado de tal forma que o tamanho das amostras passa então a ser multplcado por uma constante κ, ou seja, uma amostra que ncalmente era de tamanho n, passa então a ser substtuída por uma amostra de tamanho nκ. Observe que n e κ devem ser valores postvos e κ não necessaramente precsa ser ntero. 58

65 Para construr os lmtes de controle do Gráfco u, faz-se necessáro defnr prmeramente algumas varáves. Seja x o número de defetos observados na -ésma amostra após a alteração no planejamento amostral, m o número de amostras e n o tamanho de cada amostra. Suponha que x sga uma dstrbução Posson com parâmetro µ. Então, E x ) = µ = Var( x ) e, sabendo que uˆ = x / n é o número médo ( de defetos na amostra, tem-se que: ( ) E uˆ = u = µ / n. (4..a) Note que u ˆ segue dstrbução Posson com parâmetro u = µ / n. Portanto, um estmador não-vesado para u é dado por: m uɶ = u = uˆ, (4..b) m = pos m m m x E( x ) µ E( u ) = E uˆ E E( x ) u m = = = = = = m = n mn = n n. O estmador do desvo-padrão da varável u ˆ, é dado por: DP( uˆ ) = u / n. (4..c) Isso ocorre pos, caso o processo esteja sob controle, e utlzando a suposção de ndependênca entre as n undades pertencentes à mesma amostra, tem-se que x µ DP( uˆ ) ( ˆ = Var u ) = Var Var ( x ) n = =. Contudo, de acordo com a n n equação (4..a), µ = un. Logo, DP( uˆ ) = un u n = n. Caso u seja desconhecdo, o desvo-padrão de u ˆ pode ser estmado através de: Var ˆ ( uˆ ) = u / n. (4..d) A segur são abordadas duas stuações do gráfco estudado: Gráfco u para amostras de mesmo tamanho (seção 4...) e Gráfco u para amostras de tamanhos varáves (seção 4...). 59

66 4.. Gráfco u para amostras de mesmo tamanho Nesta seção é dscutda a construção do Gráfco u para amostras de mesmo tamanho, quando é dada uma especfcação para o parâmetro da dstrbução da varável observada (seção 4...), e também quando tal especfcação não é dada (seção 4...) Gráfco u com especfcação (amostras de mesmo tamanho) Quando o local no qual está sendo avalada a qualdade de um processo fornece uma especfcação para o parâmetro, a construção do gráfco em questão segue o mesmo padrão das demas vstas até então. Assm, de acordo com as equações (4..a) e (4..c), a lnha de referênca (lnha central) do gráfco deve ser dada pela especfcação, sto é, por u e os lmtes de controle são dados por: u u ± 3, (4...a) n em que u é o desvo-padrão de u ˆ, defndo em (4..c). n 4... Gráfco u sem especfcação (amostras de mesmo tamanho) Quando não é dada uma especfcação que determne o valor deal de u (ou para o número deal de defetos por undade produzda), é precso estmá-la. Assm, de acordo com as equações (4..b) e (4..d), a lnha central do gráfco deve ser dada por u (estmador do valor esperado para o número médo de defetos por undade produzda) e os lmtes de controle, por: u u ± 3, (4...a) n 60

67 4.. Gráfco u para amostras de tamanhos varáves O Gráfco c não é ndcado para a realzação do controle do número de defetos por amostra quando estas dferem de tamanho. A razão para a não ndcação é que a sua nterpretação é demasadamente complexa, pos a lnha central do gráfco vara de uma amostra para outra. O Gráfco u é mas ndcado nestes casos, uma vez que montora o número médo de defetos por undade da amostra. Além dsso, o Gráfco u possu uma lnha central constante para todas as amostras, embora os lmtes de controle varem de acordo com o tamanho da amostra. Nesta seção é dscutda a construção do Gráfco u para amostras de tamanhos varáves, quando se dspõe de uma especfcação para o parâmetro da varável observada (seção 4...) e também quando nenhuma especfcação está dsponível (seção 4...) Gráfco u com especfcação (amostras de tamanhos varáves) Este caso é equvalente ao apresentado na seção 4..., exceto por se dferencar no cálculo do número médo de defetos por amostra, que é uˆ = x / n. Os lmtes de controle são dados por: 6 u u ± 3. (4...a) n O Gráfco u, cujos lmtes de controle são apresentados na equação (4...a), assm como o Gráfco p para amostras de tamanhos varáves, possu a vantagem de ser de fácl construção e compreensão. Contudo, os testes para verfcação da presença de sequêncas e padrões de repetção no comportamento da varável aleatóra u ˆ não são ndcados, vsto que as escalas de varabldade de u ˆ e u ˆ j dferem sempre que n n. Dessa forma, caso haja nteresse na realzação de tas testes, o gráfco da varável padronzada varável é defnda como: z (também conhecdo como Gráfco u padronzado) é mas ndcado. Essa uˆ u z =. (4...b) u / n j

68 Caso o processo se encontre sob controle, a méda e o desvo-padrão da varável z devem ser guas a 0 e, respectvamente. Portanto, os lmtes de controle do gráfco da varável padronzada z são dados por ± 3 e a lnha central, pelo valor Gráfco u sem especfcação (amostras de tamanhos varáves) Um estmador não-vesado do valor esperado para o número médo de defetos por undade produzda, quando o tamanho das amostras vara, é dado por: u m = = m = x n, (4...a) m m m x ˆ ( ˆ nu n E u ) = = = E u = E = E = = E ( uˆ m m m ) = u. n n n = = = pos ( ) Fnalmente, os lmtes de controle são dados por: u u ± 3. (4...b) n Caso haja nteresse em verfcar a exstênca de sequêncas e padrões de repetção (sazonaldades), deve-se construr o gráfco temporal da varável padronzada z, dada por: uˆ u z =, (4...c) u / n cuja méda (ou valor esperado) é gual a 0 e o desvo-padrão é gual a. Portanto, a lnha central do gráfco da varável padronzada z (também conhecdo como Gráfco u padronzado) é gual a 0 e os lmtes de controle são guas a ± 3. Um algortmo para construção e análse do Gráfco u, consderando amostras de tamanhos guas ou varáves, é apresentado no Quadro 4..a do Apêndce C. 6

69 4.3 Exemplo 8 O prmero conjunto de dados a ser analsado neste capítulo, está exposto na Tabela 4.3 do Apêndce B e é consttuído por 5 amostras de 00 aparelhos celulares fabrcados por certa empresa de telecomuncações (fctíca). Isso se deve ao fato de que tas aparelhos são comercalzados em amostras com 00 undades cada. A varável observada neste exemplo é o número de defetos presentes em cada amostra (defetos na carcaça e nas peças nternas dos aparelhos, prncpalmente). O montoramento da qualdade dos aparelhos produzdos pode ser realzado, neste caso, através do Gráfco c, pos pode haver nteresse em verfcar se a taxa com que ocorrem os defetos nas amostras comercalzadas é constante ao longo de um período de tempo, ou se sofre nfluênca de determnadas varações do processo. Suponha anda que o nteresse da empresa seja manter o processo sob controle, mas esta não tem especfcações em relação ao parâmetro. Nas Fguras 4.3.a, 4.3.b, 4.3.c e 4.3.d é apresentada uma sequênca de passos para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne, desde a nserção dos dados (Fgura 4.3.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para o Gráfco c (Fgura 4.3.d). O Gráfco c apresentado na Fgura 4.3.d dentfcou a penúltma amostra como fora de controle, pos o número total de defetos nessa amostra é maor do que o lmte superor de controle. Outro fato mportante é que as 5 últmas amostras estão muto acma da lnha central do gráfco. Assm, tas amostras acabam por nfluencar no cálculo desta lnha de referênca, que é deslocada para cma, o que justfcara os valores muto baxos para o número total de defetos observados na 5 a à 8 a amostra. A análse prossegue, buscando dentfcar as causas responsáves pela falta de controle do processo e, em seguda, retram-se as 5 últmas amostras do banco de dados e reconstró-se o Gráfco c a partr das demas (tal gráfco não é exbdo aqu), para saber se há mas amostras fora de controle. 63

70 Fgura 4.3.a: Inserndo os dados. Fgura 4.3.b: Confrmando os dados nserdos. 64

71 Fgura 4.3.c: Defnndo as característcas e condções do processo. Fgura 4.3.d: Relatóro nstantâneo gerado para o Gráfco c. 65

72 4.4 Exemplo 9 O segundo conjunto de dados analsado está exposto na Tabela 4.4 do Apêndce B. Neste conjunto é observado o número de defetos (na carcaça, nas peças nternas, etc.) nos aparelhos celulares fabrcados pela empresa estudada nos exemplos anterores. Vsto que tas aparelhos são transportados em amostras de 00 undades e que são reundas 5 amostras destes aparelhos em uma caxa para a realzação do transporte, há nteresse em verfcar se as caxas transportadas apresentam um padrão de qualdade acetável. Uma forma de garantr a qualdade dos aparelhos apresentados neste conjunto de dados é através do controle do número médo de defetos por amostra, realzado por meo do Gráfco u. Nas Fguras 4.4.a, 4.4.b, 4.4.c e 4.4.d são apresentados os passos necessáros para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne, desde a nserção dos dados (Fgura 4.4.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para o Gráfco u (Fgura 4.4.d). O Gráfco u é apresentado na Fgura 4.4.d para o caso em que é dada uma especfcação para o valor esperado deal de defetos por amostra (u=0). Tal gráfco dentfcou a falta de controle das 5 últmas amostras, vsto que tas amostras estão localzadas muto acma da lnha de referênca (ou lnha central) do gráfco, sendo que duas delas (as amostras de números e 3) excedem o lmte superor de controle. Portanto, é mportante nvestgar quas foram os fatores que conduzram ao resultado observado na Fgura 4.4.d, vsando dentfcar se exstram causas que possam ser controladas. O comportamento do Gráfco u para o caso em que não é consderada a especfcação do parâmetro (tal gráfco não é mostrado aqu) é equvalente ao observado na Fgura 4.4.d. 66

73 Fgura 4.4.a: Inserndo os dados. Fgura 4.4.b: Confrmando os dados nserdos. 67

74 Fgura 4.4.c: Defnndo as característcas e condções do processo. Fgura 4.4.d: Relatóro nstantâneo gerado para o Gráfco u. 68

75 4.5 Exemplo 0 Suponha que, devdo a uma alteração proposta pelo setor de logístca da empresa estudada nos exemplos anterores, o transporte dos aparelhos celulares não é mas realzado em caxas com 5 amostras cada. São, a partr de então, utlzadas caxas que contêm entre 4 e 7 amostras (cada amostra contém 00 aparelhos). O conjunto de dados que está exposto na Tabela 4.5 do Apêndce B é formado por amostras destas caxas. Dessa forma, observa-se o total de defetos presentes em cada amostra formada por uma dessas caxas de tamanho varável. Vsando promover um padrão de qualdade constante nos aparelhos presentes nas caxas de transporte utlzadas pela empresa, duas alternatvas útes são o Gráfco u e o Gráfco u padronzado. Esta escolha se deve ao fato de que as caxas de transporte possuem tamanho varável. Nas Fguras 4.5.a, 4.5.b, 4.5.c e 4.5.d é apresentada uma sequênca de passos para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne desenvolvdo, desde a nserção dos dados (Fgura 4.5.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para os Gráfcos u e u padronzado (Fgura 4.5.d). A Fgura 4.5.d apresenta os Gráfcos u e u padronzado para o caso em que é consderada a especfcação para o número deal de defetos por amostra transportada (u=0). Ambos os gráfcos dentfcaram as 5 últmas amostras como fora de controle, uma vez que seus números médos de defetos são muto superores à lnha de referênca (ou lnha central) e 4 destes (referentes às quatro últmas amostras) excedem o lmte superor de controle. Para o caso em que não é consderada a especfcação estabelecda para o processo, o comportamento dos gráfcos (que não são mostrados aqu) é equvalente ao observado naqueles apresentados na Fgura 4.5.d. No entanto, a amostra de número 6 passa a ser consderada também como fora de controle, pos o número médo de defetos nessa amostra é menor do que o lmte nferor de controle dos gráfcos construídos sem consderar a especfcação. 69

76 Fgura 4.5.a: Inserndo os dados. Fgura 4.5.b: Confrmando os dados nserdos. 70

77 Fgura 4.5.c: Defnndo as característcas e condções do processo. Fgura 4.5.d: Relatóro nstantâneo gerado para os Gráfcos u e u padronzado. 7

78 Vsto que há ndícos de que as 5 últmas amostras se encontram fora de controle, estas devem ser retradas do banco de dados, para que os gráfcos de controle possam ser reconstruídos (tas gráfcos não são exbdos aqu) sem sua nfluênca e seja possível verfcar se a 6 a amostra se encontra, de fato, fora de controle. Tal escolha se deve ao fato de que há, de um lado, 5 amostras canddatas a fora de controle e, do outro, apenas. Dessa forma, é mas sugestvo que as 5 últmas amostras afetem o resultado da 6 a, em vez do contráro. 4.6 Consderações fnas Foram dscutdos nos capítulos 3 e 4 os gráfcos de controle para atrbutos, que são capazes de dentfcar se os valores esperados para a frequênca ou probabldade com que se produzem tens defetuosos e para a frequênca com que se observam defetos em uma determnada quantdade de tens, são constantes ao longo do tempo ou se sofrem nfluênca de varações dentfcáves do processo. É possível também comparar os parâmetros observados no processo com seus respectvos valores deas através de gráfcos construídos a partr de uma especfcação. Tal comparação também fo feta no capítulo, em que se consderou o caso em que uma varável quanttatva é observada nos tens resultantes do processo. Observou-se que os gráfcos dscutdos até agora foram capazes de fornecer relevantes nformações referentes ao processo observado, conferndo ao analsta condções de dentfcar quas foram os períodos em que ocorreram deslzes sgnfcatvos no nível de qualdade. A partr destas nformações, é possível promover futuramente um padrão de qualdade mas homogêneo ao longo do tempo, dmnundo assm custos e aumentando a satsfação do clente. Contudo, embora seja possível ter ndcatvos em relação à capacdade (ou capabldade) do processo de atender às especfcações, necessdades e exgêncas do consumdor, os gráfcos dscutdos não são capazes de mensurar essa capacdade. Dessa forma, os índces de capacdade, que são dscutdos no próxmo capítulo, exercem um papel de grande relevânca, pos conferem uma medda numérca à capacdade do processo de satsfazer tas necessdades e exgêncas do consumdor, no caso em que as varáves observadas em cada undade produzda são quanttatvas. 7

79 Capítulo 5 Capacdade do processo Nos capítulos anterores foram dscutdas algumas das prncpas ferramentas de prevenção e manutenção do controle estatístco de processos: os gráfcos de controle para varáves e atrbutos, que objetvam atender contnuamente às condções ou necessdades exgdas pelo clente ou aos lmtes de varação calculados, sempre com o ntuto de montorar o processo. Os gráfcos de controle também podem ndcar quão capaz é um processo para atender às especfcações ou aos lmtes de varação calculados, embora exstam técncas mas objetvas para medr esta capabldade do processo. Dentre tas técncas, destacam-se os índces de capacdade, devdo à relevânca de sua nterpretação e à sua facldade de utlzação. Tas índces permtem que se estme, a partr de uma amostra aleatóra representatva, qual é o nível de capacdade que o processo dspõe para atender às especfcações estabelecdas para os tens produzdos. Além da smplcdade dos cálculos necessáros à sua construção, tas índces possuem a vantagem de resumr em um únco valor a condção do processo, conferndo condções de se tomar rapdamente decsões embasadas em resultados estatístcos, muto embora também sejam ponderados durante a tomada de decsões os mas dversos fatores, como polítcas de marketng e crtéros fnanceros. Contudo, antes de se apresentar os prncpas índces de capacdade, é mportante ressaltar que tas índces são construídos a partr de algumas suposções que necessaramente devem ser verfcadas e respetadas, a fm de garantr a confabldade da nterpretação dos resultados observados. Em prmero lugar, os índces devem ser calculados a partr de amostras que estejam sob controle, sto é, amostras que tenham seus parâmetros constantes ao longo do tempo. Caso algumas amostras apresentem uma varânca menor do que a usual durante certo período, a capacdade do processo pode ser superestmada, aumentando a devolução de tens fora de especfcação e levando ao comprometmento da fdeldade e satsfação dos clentes. Por outro lado, se algumas amostras apresentarem varabldade maor do que a verdadera, pode-se conclur que os tens produzdos não são capazes de atender às especfcações do clente, gerando assm desnecessáro aumento nos custos decorrentes das polítcas de qualdade, na tentatva de produzr tens mas homogêneos. 73

80 Outra relevante suposção referente aos índces de capacdade é de que a varável observada segue uma dstrbução Normal. Caso essa suposção não seja atendda, podem ocorrer erros substancas na estmação dos índces, fazendo com que sua nterpretação fque comprometda. Esses erros, de acordo com dscussão realzada por Montgomery (004, P.6 []), podem ocorrer mesmo nos casos em que a dstrbução da varável é smétrca. Uma alternatva que pode contornar a volação dessa suposção e conduzr à utlzação adequada dos índces de capacdade consste em transformar os dados de forma a obter uma varável cuja dstrbução possa ser bem aproxmada pela Normal. As duas suposções ncas apresentadas mplcam que, para se calcular a capacdade de um processo, prmero é necessáro realzar o CEP, com os gráfcos de controle do processo, mesmo porque para a construção desses gráfcos também é necessára a suposção de normaldade. Fnalmente, a tercera suposção de grande relevânca é de que, no caso de especfcações blateras, se a méda do processo não corresponder ao centro dos lmtes de especfcação, esta deve ao menos estar entre estes lmtes, para que os cálculos da capabldade sejam váldos. As Fguras 5.a e 5.b lustram os dos possíves casos nos quas essa suposção é volada. No gráfco apresentado na Fgura 5.a, observa-se uma varável cuja méda é nferor ao LIE (lmte nferor de especfcação) e no gráfco apresentado na Fgura 5.b, uma varável cuja méda é superor ao LSE (lmte superor de especfcação). Em ambos os casos, os índces de capacdade não devem ser utlzados. Assm, lstadas as suposções fundamentas para o bom desempenho dos índces a serem apresentados, resta dscutr quas são suas prncpas aplcações, os métodos de estmação e a respectva nterpretação de cada um deles. Tudo sso é feto nas seções seguntes. 74

81 Fgura 5.a: Processo com méda abaxo do LIE. Fgura 5.b: Processo com méda acma do LSE. 5. Índces para um processo centrado O índce de capacdade mas smples a ser apresentado neste capítulo consste no C p, que é utlzado quando é adequado supor que a méda da varável mensurada concde com o centro do ntervalo de especfcação (quando sso ocorre, dz-se que o 75

82 processo é centrado). A dea deste índce é comparar a varabldade natural do processo (gual a 6 σ, em uma polítca de qualdade 6-sgma) com a varabldade acetável para o mesmo (gual à ampltude do ntervalo de especfcação, LSE-LIE). Este índce é, portanto, dado por: C p LSE LIE =. (5..a) 6σ Quanto menor (nferor a ) for o valor desse índce menor é a capacdade do processo, pos a varabldade natural do processo deve ser menor que a varabldade acetável. Segundo Montgomery (004, P.7 []), quando o valor de C p =, sgnfca que exste uma taxa de falhas de 7 partes por 0000, ou 700 ppm (partes por mlhão), consderando que os dados representam uma dstrbução Normal e que os lmtes tenham 99,73% de confança. Contudo, mutas vezes é precso estmar o valor de σ, de forma que o valor utlzado de fato na tomada de uma decsão, em geral, consste de uma estmatva do valor de C p. Esta estmatva é dada por: Cˆ p LSE LIE =, (5..b) 6S em que S representa o desvo-padrão amostral da varável observada X, dado por S = n = ( x x ) n. Em função do fato de se dspor de uma estmatva para o valor do índce de capacdade do processo, a estmação por meo de um ntervalo é um procedmento que permte fazer nferêncas tendo em vsta um determnado nível de confança. Em Montgomery (004, P.3 []), o ntervalo de confança, ao nível de 00(α ) %, para o índce C p é dado por: Cˆ p χ χ n ;( α )/ ˆ n ;( + α )/ ; C p n n (5..c) (Kane, 986 [9]), em que χn ; ( α ) e χn ; ( + α ) representam, respectvamente, o 00( α ) -ésmo e o ( α ) ésmo quantl de uma dstrbução Ququadrado com n- graus de lberdade. 76

83 Caso se assuma um valor de α = 0, 95, por exemplo, a nterpretação do resultado da equação (5..c) é de que se fossem coletadas 00 dferentes amostras e para cada uma delas fosse construído o ntervalo utlzando essa equação, aproxmadamente 95 ntervalos calculados ram conter o verdadero valor de chances de que esse ntervalo contenha o verdadero A partr do índce de grande relevânca. Este índce é dado por: C p. Portanto, tem-se que as C p são de 95 em 00 (ou 95%). C p é possível anda construr outro índce cuja nterpretação é P = 00, (5..d) C p que é smplesmente a porcentagem da faxa de especfcação (ou de tolerânca) que é ocupada pelo processo. Assm, um valor de C p > sgnfca que o processo ocupa menos de 00% da faxa de especfcação. Consequentemente, relatvamente poucos tens defetuosos são produzdos por esse processo. Se C p =, então o processo ocupa toda a faxa de tolerânca, o que mplca em aproxmadamente 0,7% (ou 700 ppm) de tens defetuosos. Fnalmente, C p < sgnfca que o processo ocupa mas de 00% da faxa de tolerânca. Neste caso, um grande número de tens defetuosos é produzdo por esse processo. Nas stuações em que se dspõe de uma estmatva para uma estmatva para P, dada por: C p, obtém-se também ˆ P = 00. (5..e) C ˆ p Assm, um ntervalo de confança, ao nível de 00(α ) %, para o índce P pode ser obtdo dretamente a partr do ntervalo para C p, defndo em (5..c), smplesmente tomando o nverso dos lmtantes nferor e superor desse ntervalo e, em seguda, multplcando por

84 5. Índces para um processo não-centrado Nas stuações em que não é plausível supor que a méda do processo concda com o centro do ntervalo de especfcação (quando sso ocorre, dz-se que o processo é não-centrado), torna-se necessáro utlzar um índce de capacdade mas sofstcado do que o C p. Uma alternatva útl é o índce dado por: LSE µ µ LIE C pk = mn ;, (5..a) 3σ 3σ em que µ é a méda do processo e mn representa a função de mínmo. A dea para a construção desse índce consste em consderar o menor desvo entre o valor central do processo, µ, e os lmtes de tolerânca para o posconamento da varável, comparando este valor obtdo à varabldade acetável para o processo. Novamente, caso este índce assuma valores pequenos (nferores a ), tem-se que o processo dspõe de poucas condções para atender às especfcações estabelecdas, sendo necessáro promover a dmnução na varabldade do processo ou a alteração em seu posconamento central. Contudo, nem sempre os valores de µ e σ são dados. Então, nesses casos, é x = necessáro usar as suas estmatvas, dadas por ˆ µ = x = n n e ˆ n = σ = S = ( x x ) n respectvamente. Assm, o cálculo da capacdade para processos não-centrados, a partr de valores estmados, é dado por: ˆ LSE x x LIE C pk = mn ; 3S 3S. (5..b) Assm como para os processos centrados, pode-se calcular o ntervalo de confança para C, que utlza os valores Z( + α )/ (percentl de ordem 00( + α) / % pk da dstrbução Normal Padrão) e, segundo Montgomery (004, P.3 []), é dado por: Cˆ ˆ pk Z( + α ) / + ; C pk + Z( + α )/ +. (5..c) ˆ ˆ 9nC ( n ) 9 ( n ) pk nc pk Para maores detalhes a respeto da construção desse ntervalo, veja Kushler e Hurley (99 [])., 78

85 Contudo, embora a dea para o desenvolvmento do índce C pk esteja relaconada ao fato de que determnados processos apresentam uma méda que dfere do centro do ntervalo de especfcação, este índce não representa adequadamente a descentralzação destes. A Fgura 5..a apresenta dos processos cujas médas, assm como também as varâncas, dferem entre s, porém cujos valores de C pk são os mesmos. Um dos processos apresenta méda gual a,5 e desvo-padrão gual a /3 e o outro apresenta méda gual a 0,5 e desvo-padrão untáro. Os lmtes do ntervalo de especfcação são - e. Ambos os processos apresentam um C pk gual a 0,5, embora tenham uma medda de posção central bem dferente. Frequênca LIE LSE Varável Fgura 5..a: Dos processos dstntos com mesmo C pk. Dessa forma, a utlzação de um índce mas sofstcado, capaz de dentfcar melhor o posconamento do processo, mostra-se convenente caso se deseje uma compreensão clara das característcas do processo observado. O índce C pm consttu uma alternatva que atende ao objetvo de fornecer um quadro mas claro em relação ao posconamento do processo. Esse índce é dado por: C pm LSE LIE =, (5..d) 6η 79

86 em que η é a raz quadrada do erro quadrátco médo da varável em estudo, X, em = +, sto é, relação ao valor-alvo do processo, T ( LSE LIE) ( ) ( ) ( ) ( ) η = E x T = E x µ + µ T = σ + µ T. (5..e) Portanto, a equação (5..d) pode ser reescrta como: C pm LSE LIE = = 6 σ + µ ( T ) + ξ C p, (5..f) µ T em que ξ =. σ através de: em que V dos índces Uma forma de estmar o x T =. S C pm, quando não são dados os valores de µ e σ, é Cˆ pm = Cˆ p + V, (5..g) De acordo com estudos e dscussão realzada por Boyles (99 [3]), os valores C pk e C pm concdem com o valor do C p quando µ = T (sto é, quando o processo é centrado), e dmnuem quando µ se afasta de T (sto é, quando o processo é não-centrado). Além dsso, Boyles (99 [3]) mostra também que o C pm de um processo com µ T = > 0 é estrtamente lmtado acma pelo valor C p de um processo com σ =, ou seja, C pm < LSE LIE. (5..h) 6 µ T A partr da equação (5..h), tem-se que uma condção necessára para que C pm k, k µ. Portanto, a partr do valor calculado para C pm, é 6k arbtráro, é T < ( LSE LIE) possível ter uma estmatva para a dferença máxma entre a méda do processo, µ, e o valor deal para essa méda, T. Caso esta dferença máxma seja alta, pode ser necessáro melhorar o posconamento do processo a fm de atender às exgêncas estabelecdas. 80

87 5.3 Exemplo O conjunto de dados analsado neste capítulo está exposto na Tabela 5.3 do Apêndce B e contém 5 amostras com 5 observações cada, representando a capacdade de armazenamento (em megabytes, MB) de cartões de memóra para aparelhos celulares. Suponha que o nteresse da empresa que produz esses cartões é manter o processo sob controle, mas esta não tem referêncas (especfcações) para os parâmetros (méda e desvo-padrão). Caso o processo esteja sob controle, há nteresse também em avalar o nível de capacdade que o mesmo dspõe para atender às exgêncas mpostas pelo projeto do produto, cujos lmtes de especfcação, que representam o ntervalo de varação deal para as capacdades de armazenamento observadas, foram dados entre 90 MB e 50 MB. Nas Fguras 5.3.a, 5.3.b, 5.3.c, 5.3.d, 5.3.e e 5.3.f é apresentada uma sequênca de passos para a análse desse conjunto de dados no sstema de CEP on-lne desenvolvdo, desde a nserção dos dados (Fgura 5.3.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para a capacdade (Fgura 5.3.f). Na Fgura 5.3.d observa-se que o processo se encontra sob controle, tanto em relação ao gráfco da varabldade (Gráfco S) quanto ao gráfco para a méda (Gráfco X ), vsto que não são observados, em nenhum dos dos gráfcos, pontos fora dos lmtes de controle e nem tendêncas ou sazonaldades. Portanto, pode-se realzar o estudo da capacdade desse processo. O hstograma das observações sob controle, os índces de capacdade calculados e seus respectvos ntervalos de 95% de confança, são apresentados na Fgura 5.3.f. Quanto ao hstograma apresentado, observa-se que as capacdades dos cartões produzdos se dstrbuem em torno de 00 MB. De fato, a méda amostral desse conjunto de dados é gual a 99,9 MB e o desvo-padrão amostral é gual a 9,8 MB. Como a méda amostral dfere do centro do ntervalo de especfcação (0 MB), o processo em questão é não-centrado. Logo, os índces C pk e C pm são os mas aproprados para a análse da capacdade. Tas índces assumem valores pequenos (nferores a ), que são ndcatvos de que o processo não é capaz de atender às especfcações estabelecdas. Neste caso, deve-se não apenas dmnur a varabldade do processo em questão, como também melhorar o posconamento central do mesmo, uma vez que a 8

88 dferença máxma entre a méda amostral e o valor deal dessa méda (que corresponde ao centro do ntervalo de especfcação) é alta (desvo =,37). Se os lmtes de especfcação da varável observada (capacdade de armazenamento) fossem dados entre 70 MB e 30 MB, os resultados da capacdade seram aqueles apresentados na Fgura 5.3.g. Note que, neste caso, a méda amostral do conjunto de dados em questão (99,9 MB) concde com o centro do ntervalo de especfcação (00 MB). Então, o processo é centrado (como pode ser vsto também no hstograma da Fgura 5.3.g) e os índces C p e P são os mas ndcados para a análse. No caso, o índce C p assume um valor próxmo de, que é smlar aos valores apresentados pelos índces C pk e C pm. Já o valor do índce P é próxmo de 00 %, o que sgnfca que o processo em questão ocupa pratcamente toda a faxa de especfcação (ou de tolerânca). Portanto, é necessáro que se promova uma dmnução na varabldade desse processo, pos o mesmo encontra-se muto próxmo de não ser capaz de atender às especfcações estabelecdas. Fgura 5.3.a: Inserndo os dados. 8

89 Fgura 5.3.b: Confrmando os dados nserdos. Fgura 5.3.c: Defnndo as característcas e condções do processo. 83

90 Fgura 5.3.d: Relatóro nstantâneo gerado para os Gráfcos S e X. Fgura 5.3.e: Defnndo as condções para o estudo da capacdade do processo. 84

91 Fgura 5.3.f: Relatóro nstantâneo para a capacdade (LIE=90 e LSE=50). 85

92 Fgura 5.3.g: Relatóro nstantâneo para a capacdade (LIE=70 e LSE=30). 5.4 Consderações fnas Os procedmentos até aqu apresentados, embora sejam bastante relevantes e possam fornecer nformações valosas a respeto de um processo, foram todos aplcados à stuação em que a qualdade do processo é refletda por uma únca varável. Em geral, contudo, dversas varáves quanttatvas são mensuradas em um processo e há nteresse em montorar os parâmetros de suas respectvas dstrbuções. A 86

93 mera aplcação dos procedmentos unvarados apresentados pode conduzr a erros sgnfcatvos, especalmente na medda em que o número de varáves observadas é muto grande. O capítulo 6 apresenta alguns dos prncpas procedmentos de CEP multvarado, cuja aplcação é mas adequada na grande maora dos processos ndustras montorados. 87

94 Capítulo 6 Controle estatístco de múltplas varáves É natural que a qualdade da maora dos processos exstentes seja refletda por mas do que uma varável. Em geral, o nteresse está em vsualzar se o comportamento de uma sére de meddas em um produto apresenta um padrão homogêneo ou se por determnados períodos de tempo essa qualdade pode fcar comprometda em função de varações nas condções em que o processo ocorre. Um exemplo que lustra a necessdade do montoramento smultâneo de dversas varáves resultantes de um processo, ocorre quando se deseja montorar as meddas de uma determnada peça de certa máquna. Em geral, devdo à rqueza de detalhes assocada ao projeto de um produto como este, é necessáro verfcar se as dversas meddas (comprmento, rao, área e volume, por exemplo) se encontram dentro de lmtes de varação acetáves, de tal forma que tal peça possa executar adequadamente suas funções. Equvalentemente, quando se deseja montorar o padrão de qualdade de substâncas químcas ou de determnados almentos, pode haver nteresse em se montorar as quantdades de cada componente, ngredente ou substânca presente em cada porção de tens produzdos. Embora exsta um grande potencal de aplcação para metodologas multvaradas de CEP, as metodologas unvaradas são as mas conhecdas e, em dversas stuações, são aplcadas de forma a substtur as metodologas multvaradas. O que ocorre é que, mutas vezes, são realzadas dversas análses unvaradas do processo através de procedmentos como os descrtos nos capítulo. De fato, os procedmentos unvarados são mas fáces de nterpretar, além de possuírem a grande vantagem de já estarem dsponíves na grande maora dos softwares de CEP. Contudo, a utlzação de procedmentos unvarados, em detrmento dos multvarados, não se mostra uma solução adequada, uma vez que gnora a possível correlação exstente entre as váras varáves em estudo. Além dsso, é possível que determnadas amostras apresentem estatístcas dentro dos lmtes de controle nos gráfcos unvarados e fora dos lmtes em gráfcos multvarados, conduzndo assm à conclusão de que o processo se encontra sob controle, embora na verdade se encontre fora de controle. Esse tpo de conclusão ncorreta é conhecdo como erro tpo II. As lmtações no uso de técncas multvaradas também dmnuíram sensvelmente nas 88

95 últmas décadas, vsto que atualmente os computadores dspõem de elevada capacdade de processamento e tas técncas tveram amplo desenvolvmento e dvulgação, estando acessíves à grande maora dos profssonas responsáves pelo controle de qualdade dos processos. 6. Controle da varabldade do processo Em geral, o nteresse ncal ao se empregar procedmentos de controle da qualdade focados no montoramento do processo, é o de verfcar se a varabldade de um conjunto de meddas assocadas a esse processo está sob controle, sto é, se a varabldade destas meddas é constante ao longo de todo o período de tempo observado. Apenas quando se confrma que a varabldade está sob controle é que faz sentdo verfcar se a méda do processo também está sob controle. Sendo assm, as prmeras metodologas de controle multvarado da qualdade (CEP multvarado), apresentadas neste capítulo, são focadas no controle da varabldade do processo (para amostras com mas de uma observação). O prmero procedmento dscutdo por Montgomery (004, P.338 []) consste em uma extensão dreta do gráfco de controle unvarado S (detalhes a respeto da construção do Gráfco S podem ser encontrados em Montgomery (004, P.54 [])). A estatístca a ser apresentada no gráfco, para a -ésma amostra, é dada por W A = pn + pnln( n) n ln + tr( Σ A ), em que n é o tamanho das amostras Σ coletadas, p é o número de varáves observadas, tr representa o operador traço de uma matrz, Σ é a matrz de covarâncas conhecda, da -ésma amostra e ( ) A n S 89 S é a matrz de covarâncas amostral =. O processo é consderado fora de controle se W estver acma do lmte superor de controle, dado por χ p( p+ )/ ; α, que corresponde ao α -ésmo quantl de uma dstrbução Qu-quadrado com p( p +) graus de lberdade. É possível que a matrz de covarâncas, Σ, seja conhecda, com as verdaderas varânca e covarânca de cada varável observada e de cada par de varáves, respectvamente. Pode acontecer anda que exsta uma especfcação que determne quas são os valores deas para tas varâncas e covarâncas. Contudo, caso sso não

96 ocorra, tas valores devem ser estmados. Desta forma, a matrz de covarâncas amostral, S, pode ser utlzada como estmador de Σ, sendo tal matrz calculada a partr de amostras coletadas em análses anterores ou mesmo através das amostras dsponíves para a análse corrente. Um segundo procedmento de controle da varabldade consste em se construr o gráfco da sére temporal correspondente à varânca amostral generalzada de cada amostra. Dessa forma, a estatístca a ser apresentada no gráfco corresponde ao determnante da matrz de covarâncas da -ésma amostra, ou seja, lmtes de controle são dados por: com 0.5 ( b 3b ) p p p b = n n j + n j p ( n ) = j= j= S. Neste caso, os Σ ±, (6.a) ( ) ( ) ( ) e p b = n ( ) p n = ( ). Isso se deve ao fato que, conforme Montgomery (004, P.338 []), são váldas as relações = dadas por E ( S ) b Σ e ( S ) = b Σ V. A lnha central do gráfco é dada por b Σ e o lmte nferor de controle deve ser substtuído por zero caso a equação deste lmte, apresentada acma na equação (6.a), resulte em um número negatvo. No caso em que a matrz Σ é estmada a partr da matrz de covarâncas amostral S, deve-se substtur Σ por S / b na equação (6.a) e no valor de referênca do gráfco para se obter um estmador não-vesado do parâmetro Σ, sto é, um estmador que em méda seja gual ao seu parâmetro. É mportante ressaltar também que a lteratura sugere que se utlze, em complemento a este segundo método, os gráfcos ndvduas de controle da varabldade (Gráfcos R e S, dscutdos no capítulo ), para obter uma melhor vsualzação das característcas do processo. Isso se deve ao fato que, embora S seja uma medda de dspersão multvarada amplamente utlzada, anda se trata de uma representação escalar bastante smplsta de um problema multvarado complexo. Pos pode acontecer, como mostra Montgomery (004, P.339 []) por meo de um exemplo, que dferentes matrzes de covarâncas amostras apresentem valores guas para a varânca amostral generalzada, embora transmtam nformação consderavelmente dferente sobre a varabldade do processo e sobre a correlação (ou covarânca) entre as varáves. 90

97 Seja qual for o método empregado, contudo, há uma dstnção entre os gráfcos obtdos medante o estabelecmento de uma especfcação para o processo e aqueles provenentes da estmação dos parâmetros. Quando uma especfcação é dada e o processo se encontra fora de controle, conclu-se que o processo não possu as característcas desejadas ou que se supõe que possua. Pode ser que se magnava ou se desejava que uma varável tvesse uma varânca menor do que a que realmente tem. É possível, ou não, que exsta uma mudança ao longo do tempo nos parâmetros da dstrbução das varáves observadas. Por outro lado, só se pode confrmar se tal mudança ocorreu, de fato, através dos gráfcos de controle obtdos por meo da estmação de tas parâmetros (pos esta é a atrbução de tas gráfcos). Um algortmo para construção e análse de gráfcos de controle da varabldade para processos multvarados, é apresentado no Quadro 6..a do Apêndce C. 6. Gráfco T de Hotellng O Gráfco T de Hotellng é a extensão multvarada do Gráfco X, dscutdo em detalhes no capítulo, e consste no procedmento mas utlzado para montorar o vetor de médas do processo. É um gráfco útl especalmente quando há necessdade de se dentfcar grandes mudanças na méda do processo. Sua grande vantagem é que permte que toda a nformação presente nas amostras dsponíves seja resumda em uma únca estatístca que segue uma dstrbução conhecda. Isso se mostra útl devdo ao número elevado de varáves observadas. Para demonstrar a utldade desse gráfco, pode-se ntroduzr uma stuação smples, em que são observadas apenas três varáves quanttatvas referentes a certo processo. Suponha, por exemplo, que são regstradas três meddas da qualdade em um determnado tpo de suco: a quantdade de açúcar, a acdez e a quantdade de água presentes em uma porção de 00 ml. Dessa forma, a representação das médas da - ésma amostra observada exge que se utlzem três dmensões. Contudo, para que seja preservada a nformação referente à ordem de coleta dos dados, faz-se necessáro o uso de uma quarta dmensão, o que já torna demasadamente complexa a tarefa de representar grafcamente os resultados observados nas amostras. A dfculdade aumenta anda mas à medda em que aumenta o número de varáves observadas. Contudo, 9

98 conforme é dscutdo nas seções 6.. e 6.., a utlzação do Gráfco T permte a representação, em apenas duas dmensões, dos resultados observados nas amostras, sem grandes perdas de nformação. 6.. Análse com dados agrupados Assm como dscutdo no capítulo, em dversas stuações há nteresse em verfcar se o processo é capaz de atender às especfcações estabelecdas a pror para a méda e para a varabldade de um conjunto de varáves. Tas especfcações são estabelecdas de acordo com as necessdades e desejos do consumdor, as exgêncas de órgãos de fscalzação do governo ou de acordo com crtéros referentes ao projeto do produto que garantam o bom funconamento do tem produzdo. j = Para se ntroduzr o Gráfco ( x j, xj,..., xpj ) T para dados agrupados, ncalmente defne-se x como sendo o vetor de varáves de nteresse referente à j-ésma observação da -ésma amostra, para =,,..,m e j=,,...,n. Para se construr esse gráfco, supõe-se que as p varáves observadas, sto é, x = ( x, x,..., xp ), sgam, aproxmadamente, uma dstrbução Normal p-varada com vetor de médas ( µ, µ,..., µ p ) µ = e matrz de covarâncas Σ, cuja função de densdade de probabldade multvarada é dada por: f ( x) = ( π ) p Σ e Σ ' ( x µ ) ( x µ ) µ µ, (6...a) em que < xk < +, k=,,...,p. Outra defnção mportante é dada por: n x j n j= x n x xj x = = n j=, (6...b) x p n xpj n j= 9

99 que corresponde ao vetor de médas da -ésma amostra. O Gráfco representação da sére temporal da estatístca como: T ( x µ ) ( x µ ) T de Hotellng é a T, defnda para a -ésma amostra, = n µ Σ µ, (6...c) em que µ é o vetor de médas estabelecdo como deal para o processo e Σ é a matrz de covarâncas das varáves observadas. O lmte superor de controle desse gráfco, em função de que os dados seguem uma dstrbução Normal Multvarada, é dado pelo α- ésmo quantl de uma dstrbução Qu-quadrado com p graus de lberdade, χ p; α. O Gráfco T não apresenta valor de referênca ou lnha central e o seu lmte nferor de controle é sempre gual a zero. Contudo, é comum também que não seja dada qualquer especfcação para o processo. Neste caso, os parâmetros da dstrbução multvarada das varáves observadas devem ser estmados a partr de todas as amostras dsponíves. Tas estmatvas, no caso do vetor de médas, podem ser dadas por: m x m = x m x x x = = m =. (6...d) x p m x p m = Observe que x é um estmador não-vesado de µ quando o processo se encontra sob m n m n controle, pos E ( xk ) = E xk = E xkj = E ( xkj ) = µ k, para k=,,...,p. = j= Caso o processo se encontre sob controle, um estmador não-vesado da matrz de covarâncas Σ é dado pela méda S de dmensão p p das matrzes de covarâncas amostras, escrta como: S S S = S p S S S p S S S p p p. (6...e) 93

100 Os elementos de S são dados por: S k = m m = S S k kg para k, g=,,...,p e Gráfco = m = m m = kj k ( n ) m( n ) = j= m k g. S kg n ( x = m n ( ) x ) = m n ( x xk )( xgj xg ) kj = j= m n = j= ( x kj x k ), (6...f) Assm, dspondo dessas estmatvas para µ e Σ, a estatístca a ser apresentada no T quando não são estabelecdas especfcações para o processo, é dada por: T = n x x S x x. (6...g) ( ) ( ) Alt (985 []) destaca que, ao realzar o cálculo do lmte superor de controle a partr das amostras dsponíves atualmente, para o montoramento futuro do processo por meo de novas amostras, exstem duas dferentes etapas as quas exgem dferentes lmtes de controle. Incalmente, deve-se determnar quas são as amostras que se encontram sob controle, a fm de seleconar uma amostra que represente adequadamente os parâmetros da dstrbução das p varáves observadas. Após a seleção de tas amostras, é possível obter estmatvas mas confáves para µ e Σ, conduzndo, com sso, a certa alteração no valor do lmte superor de controle que deve guar o montoramento futuro do processo. Na etapa ncal da análse (ou etapa ), o lmte superor de controle é dado por: LSC = ( )( n ) p m mn m p + F, ; p mn m p + α, (6...h) sendo que Fp, mn m p+ ; é o α-ésmo quantl de uma dstrbução F com p graus de α lberdade no numerador e mn-m-p+ graus de lberdade no denomnador. Na segunda etapa da análse (ou etapa ), este lmte é dado por: do Gráfco LSC = ( + )( n ) p m F mn m p + p, mn m p+ ; α, (6...) O Quadro 6..a do Apêndce C apresenta o algortmo para construção e análse T, no caso em que são coletadas amostras com mas de uma observação cada (dados agrupados). 94

101 6.. Análse com dados ndvduas Exstem stuações em que se dspõe de amostras de tamanho um, ao mesmo tempo em que dversas característcas devem ser montoradas no controle de qualdade do processo. O Gráfco T referente a esta stuação consste de um caso partcular daquela descrta na seção 6... Dessa forma, quando são estabelecdas especfcações para o processo, a estatístca apresentada no Gráfco T contnua sendo a apresentada na equação (6...c) e o lmte superor de controle anda é o α-ésmo quantl de uma dstrbução Qu-quadrado com p graus de lberdade. Contudo, quando não são estabelecdas especfcações, a smplfcação da notação mostra-se convenente. Portanto, a varável observada passa a ser defnda como x k, correspondente à -ésma observação (ou amostra) da k-ésma varável. O vetor de médas do processo passa então a ser estmado através de: A estatístca m x = m x m x x x = = = m. (6...a) x p m x = p m T de Hotellng a ser apresentada no gráfco, para o caso de observações ndvduas, torna-se então gual a: T ( )' S ( ) = x x x x. (6...b) Na etapa ncal (etapa ) de construção do lmte superor de controle, em que há nteresse apenas em dentfcar quas são as amostras que se encontram sob controle no conjunto de dados dsponível, o lmte superor de controle é dado por: ( m ) β p /,( m p ) / ; LSC = α (6...c) m (Tracy, Young e Mason, 99 []), em que β p/,( m p )/; α é o α-ésmo quantl de uma dstrbução Beta com parâmetros p / e ( m p ) /. O lmte superor de controle da segunda etapa da análse (etapa ), em que são estabelecdos os lmtes de controle a serem utlzados em análses futuras, é dado por: 95

102 LSC = ( + )( m ) p m m mp F p, m p; α. (6...d) Contudo, no caso em que se coletam observações ndvduas do vetor de varáves de nteresse, ou seja, amostras de tamanho, faz-se necessáro o uso de estmadores mas sofstcados da matrz de covarâncas Σ. Sullvan e Woodall (995 [7]) dscutem esse problema e comparam város estmadores que poderam ser empregados neste caso. Um desses estmadores é o usual obtdo pela smples combnação das m observações dsponíves e é dado por: m S ( )( ) ' = x x x x. (6...e) m = Um outro estmador, sugerdo orgnalmente por Holmes e Mergen (993 [8]), consdera a dferença entre pares consecutvos de observações, ou seja, v = x x, + para =,,...,m-. Tas elementos são arranjados em uma matrz, de forma que é consttuída a matrz dada por: Fnalmente, estma-se Σ através de: v' V = v'. (6...f)... v' m- S V ' V = ( m ) que é a metade da matrz de covarâncas amostral dessas dferenças. Um algortmo de construção e análse do Gráfco, (6...g) T para amostras com apenas uma observação (dados ndvduas), é apresentado no Quadro 6..b do Apêndce C. 6.3 Exemplo O prmero conjunto de dados analsado neste capítulo está exposto na Tabela 6.3 do Apêndce B e consste de 300 observações dvddas em 5 amostras de mesmo tamanho. São observadas 3 varáves em cada undade amostral, cada uma corresponde a uma medda quanttatva referente aos aparelhos celulares produzdos pela empresa fctíca responsável pelos exemplos dos capítulos anterores. Tas meddas poderam ser, 96

103 por exemplo, o comprmento, a largura e a altura, todas em mlímetros (mm), de determnada peça nterna desses aparelhos. Suponha que o nteresse da empresa é manter o processo sob controle, mas esta não tem especfcações em relação aos parâmetros (vetor de médas e matrz de covarâncas) da dstrbução multvarada das varáves observadas. A segur, nas Fguras 6.3.a, 6.3.b, 6.3.c e 6.3.d é apresentada uma sequênca de passos para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne proposto, desde a nserção dos dados (Fgura 6.3.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para os gráfcos de controle da varabldade e Gráfco T (Fgura 6.3.d). Observa-se na Fgura 6.3.c, que fo seleconada a opção Etapa, já que o nteresse ncal da análse resde em dentfcar as amostras que estão fora de controle. Na Fgura 6.3.d são apresentados, prmeramente, os gráfcos de controle da varabldade e, em seguda, o Gráfco T. Os gráfcos de controle da varabldade foram construídos segundo os dos procedmentos dscutdos na seção 6.. O gráfco à esquerda corresponde ao prmero procedmento de controle da varabldade dscutdo, e o da dreta, ao segundo. Ambos não detectaram snal de falta de controle do processo com respeto à varabldade, uma vez que não foram observados pontos que excedam o lmte superor de controle. No entanto, o Gráfco T dentfcou as 5 últmas amostras como fora de controle com relação à méda, vsto que tas amostras estão todas localzadas acma do lmte superor de controle. Portanto, a análse deve prossegur, na tentatva de dentfcar as causas responsáves pela falta de controle das 5 últmas amostras observadas. Se tas causas forem dentfcadas, deve-se anda retrar essas amostras fora de controle do banco de dados e reconstrur os gráfcos (tas gráfcos não são exbdos aqu) a partr das 0 amostras restantes. Caso não seja dentfcada mas nenhuma amostra fora de controle com relação à varabldade ou à méda, pode-se anda estmar o vetor de médas, a matrz de covarâncas e o lmte superor de controle (também não são exbdos aqu), a serem utlzados no montoramento posteror do processo. 97

104 Fgura 6.3.a: Inserndo os dados. Fgura 6.3.b: Confrmando os dados nserdos. 98

105 Fgura 6.3.c: Defnndo as característcas e condções do processo. 99

106 Fgura 6.3.d: Relatóro nstantâneo gerado para os gráfcos de controle da varabldade e Gráfco T (dados agrupados). 6.4 Exemplo 3 O segundo conjunto de dados a ser analsado neste capítulo está exposto na Tabela 6.4 do Apêndce B e novamente refere-se a observações das 3 meddas quanttatvas de determnada peça nterna dos aparelhos celulares produzdos por certa empresa de telecomuncações (fctíca). Tal conjunto é consttuído por 5 amostras com apenas uma observação cada. Suponha que o nteresse da empresa é manter o processo sob controle, consderando as seguntes especfcações para o vetor de médas e para a matrz de covarâncas: µ 00 µ = µ = 00 e µ ,5 0,5 Σ = 0,5 0,5. 0,5 0,5 A segur, nas Fguras 6.4.a, 6.4.b, 6.4.c e 6.4.d são apresentados os passos necessáros para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne 00

107 desenvolvdo, desde a nserção dos dados (Fgura 6.4.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para o Gráfco T (Fgura 6.4.d). Fgura 6.4.a: Inserndo os dados. Fgura 6.4.b: Confrmando os dados nserdos. 0

108 Fgura 6.4.c: Defnndo as condções do processo. Fgura 6.4.d: Relatóro nstantâneo gerado para o Gráfco T (dados ndvduas). 0

109 O Gráfco T apresentado na Fgura 6.4.d detectou a falta de controle das 5 últmas amostras, pos tas amostras, com exceção da amostra de número 4, estão localzadas acma do lmte superor de controle. Para o caso em que não se consderam as especfcações dos parâmetros (Fgura 6.4.e), o comportamento do Gráfco T é equvalente ao daquele apresentado na Fgura 6.4.d apenas quando se consdera o segundo estmador da matrz de covarâncas dscutdo na seção 6.. (equação (6...g)). Em contrapartda, o Gráfco T provenente do prmero estmador da matrz de covarâncas dscutdo (equação (6...e)), apresentado na Fgura 6.4.e (gráfco à esquerda), não fo capaz de dentfcar a falta de controle no processo para este conjunto de dados especfcamente. Fgura 6.4.e: Relatóro nstantâneo gerado para o Gráfco T ndvduas). sem especfcação (dados Como a falta de controle do processo é dagnostcada através de dos dos três gráfcos construídos, é mportante nvestgar se houve alguma alteração nas condções de ocorrênca do processo durante o período em que as 5 últmas amostras foram produzdas, vsando determnar se alguma dessas alterações pode ser consderada como 03

110 responsável pelo comportamento atípco em pelo menos uma das 3 meddas das peças nternas dos aparelhos produzdos, o que caracterzara a condção do processo como fora de controle. 6.5 Consderações fnas As metodologas abordadas neste capítulo permtem o montoramento das médas e da varabldade de um processo em que se observam váras varáves quanttatvas capazes de refletr o nível de qualdade do processo. Tas metodologas permtem que esse montoramento seja realzado de uma forma na qual a estrutura de assocação entre as varáves não é gnorada, o que por sua vez conduz a resultados mas precsos e coerentes com a realdade do fenômeno em estudo. Dversas outras metodologas têm sdo desenvolvdas e ncorporadas ao conjunto de ferramentas dsponíves nos prncpas softwares de CEP. Entre tas, encontram-se extensões multvaradas do Gráfco de Somas Acumuladas (ou Cusum) e do Gráfco de Médas Móves Exponencalmente Ponderadas (ou MMEP), que podem ser utlzados para dentfcar mudanças mas suts nos parâmetros do processo. Os métodos baseados em regressão podem ser utlzados para montorar um processo no qual exstem varáves referentes às condções do processo e dos nsumos utlzados (ndependentes ou explcatvas) e varáves referentes à qualdade do tem produzdo (respostas). Neste caso, as varáves ndependentes são utlzadas (controladas) de forma a dmnur a varabldade no resultado das respostas, promovendo assm resultados mas precsos. Além dsso, os métodos baseados em análse dscrmnante consstem em outra possbldade para o montoramento do processo. Em relação à avalação da capacdade de processos multvarados, encontram-se na lteratura propostas que vão desde índces calculados separadamente para cada característca de qualdade, até índces mas elaborados que tentam, de alguma forma, compôr a nformação geral de todas as varáves (Taan, Subbaah et. al, 993 [8]; Zhang, 998 [8]). No próxmo capítulo são dscutdos alguns índces de capacdade para dados de processos normas multvarados, que podem ser obtdos usando a técnca de Análse de Componentes Prncpas. 04

111 Capítulo 7 Capacdade do processo multvarado Ultmamente tem-se dscutdo muto sobre como devera ser realzado o estudo da capabldade de um processo com múltplas característcas da qualdade. Uma estratéga, a prncípo, sera analsar a capacdade do processo em cada varável em questão, por meo dos índces descrtos no capítulo 5. Contudo, este procedmento não é o mas recomendável, vsto que não ncorpora a possível correlação exstente entre as váras característcas de qualdade. Város autores têm proposto defnções alternatvas de Índces de Capacdade de Processos Multvarados (ICPMs), baseando-se em dferentes aproxmações. Em geral, ICPMs podem ser obtdos (construídos) usando:. A razão entre uma regão de especfcação (ou de tolerânca) e uma regão de processo. Esta aproxmação é semelhante à dos índces de capacdade C = LSE LIE σ. Uma dscussão unvarados convenconas, tal como o ( ) 6 detalhada a respeto dos índces obtdos a partr deste tpo de aproxmação pode ser encontrada em Pearn, Kotz e Johnson (99 [3]), Kotz e Johnson (993 [0]), Chan, Cheng e Sprng (99 [5]).. A probabldade do tem defetuoso. Neste caso, a função de dstrbução de probabldade multvarada é usada para calcular a probabldade de um tem qualquer produzdo ser defetuoso (Werda, 993 [7]; Chen, 994 [6]). 3. A Análse de Componentes Prncpas (Wang e Chen, 998 [4]; Wang e Du, 000 [5]; Veevers, 999 []; Shnde e Khadse, 008 [5]). 4. Outras aproxmações baseadas em funções de perda (Pearn, Kotz e Johnson, 99 [3]) ou representação de vetor (Shahrar, Hubele e Lawrence, 995 [4]). p Neste capítulo são abordados somente os ICPMs que podem ser obtdos usando a técnca estatístca multvarada denomnada Análse de Componentes Prncpas (descrta em detalhes na seção 7.), quando é plausível supor que os dados coletados sejam orundos de processos normas multvarados. Esta condção fundamental para o uso dos ICPMs dscutdos pode ser verfcada usando uma generalzação do teste de 05

112 Shapro-Wlk para normaldade multvarada, proposta por Vllasenor-Alva e Gonzalez- Estrada (009 [3]). 7. Análse de Componentes Prncpas Um componente prncpal (CP) é uma combnação lnear das varáves orgnalmente observadas, X, X,..., X p, que explca o máxmo possível da varabldade dos dados, varabldade esta que não tenha sdo explcada pelos demas componentes. Ou seja, os dversos componentes prncpas são ndependentes entre s e cada um deles contrbu de uma forma partcular ao explcar as varáves (ou dados) observadas. Em termos matemátcos, tem-se que: em que observada e j Z = a X + a X a X p Z = a X + a X a X p Z = a X + a X a X, p p p pp p Z é o -ésmo componente prncpal, p p (7..a) X é a -ésma varável orgnalmente ' a é uma constante a ser determnada. Seja = ( X, X,..., X p ) X um vetor aleatóro com matrz de covarâncas Σ, e sejam λ λ... λ p 0 os autovalores de Σ. A constante a j corresponde ao j-ésmo elemento do autovetor assocado ao -ésmo autovalor λ. A nterpretação de cada componente é condconada ao valor das constantes a j, também denomnadas cargas. Se um componente possu algumas dessas constantes bem próxmas de zero, outras consderavelmente maores que zero e anda outras consderavelmente menores que zero, a nterpretação desse componente é então no sentdo de contraste entre um melhor desempenho nas varáves cujas constantes são maores que zero e um melhor desempenho naquelas que apresentam constantes menores que zero, sendo que as varáves com coefcentes próxmos de zero não são bem explcadas por esse componente. Por exemplo, ao se constatar que uma observação possu um escore negatvo de alta magntude em um determnado componente, pode-se conclur que esta observação apresenta valores relatvamente altos em uma ou mas das 06

113 varáves cujos coefcentes são consderavelmente menores do que zero neste componente. Mutas vezes os componentes prncpas são calculados a partr de varáves padronzadas, sto é, com méda gual a 0 e varânca gual a. Uma razão para esta prátca comum está no fato de que, em geral, as varáves orgnas do processo são expressas em grandezas dferentes, podendo, assm, apresentar resultados de magntudes bem dferentes. Dessa forma, uma varável pode parecer contrbur muto para a varabldade total do processo, apenas porque está em uma escala de medda de maor magntude que a das demas varáves. A padronzação das varáves resolve este tpo de problema. E nestes casos, a matrz de covarâncas Σ corresponde à matrz de correlações das varáves orgnalmente observadas. A varânca do -ésmo componente prncpal é o -ésmo autovalor λ. Como o conjunto completo dos p componentes prncpas apresenta a mesma nformação contda nas p varáves orgnalmente observadas, então a proporção da varabldade dos dados que é bem explcada pelo -ésmo componente, é dada por: λ, (7..b) λ + λ λ A partr dessa proporção e do número de varáves que são bem explcadas pelos prmeros componentes é que se determna o número deal, υ, de dmensões para a análse. Em geral, há nteresse em se utlzar o menor número possível de componentes prncpas, que permta que um número relatvamente grande das varáves observadas e uma proporção razoável (em torno de 0,9 ou 90%) da varabldade dos dados sejam bem explcados. Portanto, é possível reduzr a dmensonaldade do problema em estudo através do uso da técnca de Análse de Componentes Prncpas, pos tal técnca permte que as p varáves orgnalmente observadas sejam substtuídas, na análse, pelos υ ( υ < p) prmeros componentes prncpas, sem grandes perdas de nformação. p 7. Dados normas multvarados Se as característcas de qualdade observadas são provenentes de uma dstrbução normal multvarada, então a Análse de Componentes Prncpas (ACP) pode ser aplcada para o estudo da capacdade do processo. Consequentemente, as novas 07

114 varáves obtdas, sto é, os componentes prncpas (CPs) são mutuamente ndependentes e normalmente dstrbuídos (Tong, 990 [0]). Nas seções seguntes são dscutdos alguns dos prncpas índces de capacdade para processos normas multvarados (ICPMs) encontrados na lteratura, dentre os quas, os ICPMs defndos por Wang e Chen (998 [4]), que utlzam os índces unvarados C p, C pk e C pm calculados para os prmeros υ CPs; o ICPM proposto por Veevers (999 []), que se basea apenas no prmero CP; e por últmo, um método alternatvo, proposto por Shnde e Khadse (008 [5]), para estmar a capacdade de processos normas multvarados a partr da dstrbução de probabldade empírca dos CPs (que também seguem dstrbução normal multvarada). Tal método fo proposto como uma alternatva aos outros índces menconados, devdo a problemas observados quando da estmação da capacdade de processos multvarados por meo destes índces, bem como problemas exstentes em sua própra defnção. Tas problemas são comentados nas seções que seguem. 7.. ICPM-I O índce defndo por Wang e Chen (998 [4]) para estmar a capacdade de processos normas multvarados, é dado por: em que ( ) MC p; CP 6 CP CP CP p p; CP = υ υ = C, (7...a) C = LSE LIE σ representa a medda unvarada da capacdade do processo para o -ésmo CP e υ denota o número de CPs que, juntos, explcam aproxmadamente 90% da varabldade do processo. Os lmtes de especfcação dos CPs, bem como seus valores alvo, são dados por: ' ' ' LIE = u LIE, LSE = u LSE, T = u T, (7...b) CP CP CP sendo que u, u,..., u p são os autovetores da matrz de covarâncas Σ, p é o número de varáves do processo e os vetores LIE, LSE e T representam, respectvamente, os lmtes nferores de especfcação, os lmtes superores de especfcação e os valores- ' alvo das varáves orgnalmente observadas, = ( X, X,..., X p ) X. 08

115 A nterpretação do MC p é análoga à do C p, ou seja, valores maores do que são desejados e ndcam que o processo dspõe de condções para atender às especfcações estabelecdas. Contudo, mutas vezes é necessáro estmar o valor de estmatva de p; CP estmatva de C, ; ( ) MC p, σ CP, obtendo-se uma Cˆ = LSE LIE 6S, e consequentemente, uma p CP CP CP CP MCˆ p p; CP = υ υ Cˆ =. (7...c) Como os CPs são normalmente dstrbuídos, então um ntervalo de confança de nível aproxmado 00(α ) % para MC p, é dado por: υ υ υ ˆ χ υ n ;( α )/ ˆ χn ;( + α )/ C p, CP ; C p, CP = n = n (7...d) (Kushler e Hurley, 99 []), com χn ; ( α ) e χn ; ( + α ) representando, respectvamente, o 00( α ) -ésmo e o ( α ) ésmo quantl de uma dstrbução Qu-quadrado com n- graus de lberdade. De manera análoga, Wang e Chen (998 [4]) defnram os índces MC pk e MC pm, ao substtur p; CP C na equação (7...a) por C pk; CP e C pm; CP, respectvamente. LSE No caso, ˆ CP x CP x CP LIE CP C pk; CP = mn ; 3SCP 3S CP e Cˆ pm; CP = Cˆ p; CP + V CP, com V x T =. Um ntervalo de confança para MC pk, ao nível aproxmado de CP CP CP SCP 00(α ) %, é dado por: υ υ ˆ C pk; CP Z( )/ ; + α + ˆ = 9nC ; ( n pk CP ) υ ˆ C + Z + ˆ pk; CP ( + α )/ = 9nC pk; CP ( n ) υ (7...e) 09

116 (Kushler e Hurley, 99 []), com Z( + α )/ gual ao percentl de ordem 00( + α) / % da dstrbução Normal Padrão. Contudo, conforme dscussão realzada por Shnde e Khadse (008 [5]), os lmtes de especfcação defndos em (7...b) estão ncorretos, porque assumem que os lmtes de especfcação de CPs dstntos são ndependentes entre s. De fato, apenas as dstrbuções dos CPs são ndependentes, porém seus lmtes de especfcação são nterrelaconados. 7.. ICPM-II ampltudes Consdere uma stuação em que as especfcações margnas das varáves têm d,,,..., p ( Y, Y,..., Yp ) ' =. Supondo = ( X, X,..., X ) N (, Σ ) X µ e ' Y =, tal que os elementos de Y são guas a Y = X d, então tem-se que Y também segue dstrbução normal multvarada com matrz de covarâncas Σ Y. Partndo destas suposções ncas, Veevers (999 []) defnu um ICPM baseado em ACP, que é dado por: p p X X MP PC + =, (7...a) 6 λ em que λ denota o autovalor assocado ao prmero CP (ou autovetor) de Σ Y. Portanto, o desvo-padrão do prmero CP de Σ Y é λ. O índce defndo na equação (7...a) mede o potencal de capacdade do processo, sto é, compara a medda de dspersão do processo ( 6 λ ) com a quanta de dspersão permtda pelas especfcações ( + ), e é obtdo tomando-se a méda de outros dos índces defndos por Veevers (999 []), que são dados por: e ' MP PC '' MP PC = (7...b) 3 λ =. (7...c) 3 λ 0

117 O índce ' MP PC é construído a partr da escolha de uma hperesfera de rao para aproxmar a regão de especfcação do processo, que é um hpercubo. Já no índce '' MP PC, a hperesfera escolhda tem rao. No caso, 6 λ representa o comprmento do exo prncpal do elpsóde que representa a regão do processo. própro índce Em geral, é precso estmar Σ Y, obtendo-se, assm, estmatvas de λ e do MP PC. Apesar da smplcdade e da facldade em seu cálculo, Shnde e Khadse (008 [5]) mostram, por meo de um nteressante exemplo, que o ICPM defndo na equação (7...a) pode nduzr em erro os cálculos da capacdade do processo multvarado, de forma que o resultado de tal índce pode afrmar, por exemplo, que determnado processo é o mas capaz de um conjunto de processos estudados, quando na verdade é o menos capaz, ou vce-versa Método alternatvo Motvados pelas defcêncas apresentadas pelos índces dscutdos nas seções 7.. e 7.., Shnde e Khadse (008 [5]) sugerram um método alternatvo para estmar a capacdade de processos normas multvarados, método este que se basea na dstrbução de probabldade empírca dos CPs. Suponha que X ~ N (, Σ) p µ e consdere as defnções (notações) a segur: ' LIE X ' LSE X = = ' T X = ( T, T,..., Tp ) ( LIE, LIE,..., LIEp ) ( LSE, LSE,..., LSEp ) { } : vetor-alvo para X : vetor de especfcação nferor para X : vetor de especfcação superor para X S = x LIE x LSE : regão de especfcação hperretangular para X X X λ λ... λp : autovalores de Σ u, u,..., u p : autovetores de Σ Y = u ' X : -ésmo CP, =,,..., ' Y = U X : vetor de CPs, onde U = ( u, u,..., u p ) p

118 E ' ( ) = U Y µ e Cov( Y ) = Dag ( λ, λ,..., λp ) V T { U } Y ' = U T : vetor-alvo para Y X = y LIE y LSE : regão de especfcação para Y X X Note que V, ao contráro da regão de especfcação S, não é hperretangular, e além dsso, é complexa, já que se trata de um conjunto de p desgualdades lneares em p varáves. Observe também que: ' Y ~ N (, λ ) uµ, =,,..., p e Y, Y,..., Y p são ndependentes. Consdere os prmeros υ CPs, Y,..., Y υ, que, juntos, explcam cerca de 90% da varabldade do processo. A fm de estudar a capacdade de processos normas multvarados com base nos prmeros υ CPs apenas, ncalmente deve-se encontrar a regão de especfcação ' V para os prmeros υ CPs,..., Y Y, fxando ( ) υ Y E Y = para = υ +,..., p. Uma possível justfcatva para esta últma passagem é que os CPs Y,..., υ + Yp apresentam varação muto menor se comparados com os prmeros υ CPs. Então, tem-se que: ' V y y yυ ( p ) ' LIE U, onde y, y,..., y X y LSE X y = = (,,..., ) tal que yr = E ( Yr ), r = υ +,..., p (7..3.a) Os ICPMs baseados em probabldades, segundo Shnde e Khadse (008 [5]), são defndos como segue: { { ' ' Y (,,..., ) Y ~ N =, Σ = Dag ( λ,..., λ ) Mp = P = Y Y Y V k k ( µ Y Y Y k )} ( µ Y, Σ Y =,..., k )} T (7..3.b) ' ' Y (,,..., ) Y ~ N Dag ( λ λ ) Mp = P = Y Y Y V k k Note que o Mp é análogo ao MC p e o Mp é análogo ao MC pk. Se Mp 0,9973, o processo é dto potencalmente capaz (o potencal de capacdade refere-se à varação, mas não à locação). Logo, não há necessdade de promover a dmnução na varabldade do processo. Se Mp 0,9973, então o processo é atualmente capaz (a performance atual de capacdade leva em consderação o alvo do processo). Portanto, não é precso ajustar (adequar) o alvo para a méda do processo, ou seja, não é necessáro alterar o seu posconamento central.

119 Como a regão de especfcação ' V para ( ) Y,..., Y υ, defnda em (7..3.a), é complexa e é um conjunto de υ desgualdades, torna-se dfícl o cálculo dos índces Mp e Mp, devdo à dfculdade na avalação de ntegras múltplas em regões complcadas. Uma saída encontrada por Shnde e Khadse (008 [5]) para este problema consste em uma aproxmação empírca, que funcona por meo dos seguntes passos:. Gerar duas amostras aleatóras de tamanho grande N ( N 0000) da dstrbução dos prmeros k CPs, com vetor de médas como segue: ' Amostra I: Vetor de médas gual ao vetor-alvo, sto é, T = ( T, T,..., T ) ' Amostra II: Vetor de médas µ = ( µ, µ,..., µ ). Estmar Mp e Mp por: Y Y Y Y k Y Y Y Y k Mp ˆ Mp ˆ ' ( ) Número de observações y = y, y,..., yk da Amostra I y V = N ' ( ) Número de observações y = y, y,..., yk da Amostra II y V = N ' ' (7..3.c) Embora seja uma técnca antga e muto usada na prátca, a aproxmação empírca permte também que sejam consderadas outras regões de especfcação além da hperretangular. De fato, regões de especfcação não-hperretangulares não são consderadas em outros ICPMs exstentes, uma vez que tornam a mplementação computaconal de tas índces uma tarefa complcada. 7.3 Exemplo 4 Consdere novamente o conjunto de dados analsado no Exemplo (Tabela 6.3 do Apêndce B). Elmne as 5 últmas amostras, que estão fora de controle, e desconsdere as especfcações (referêncas) dos parâmetros do processo. Suponha que a empresa em questão deseja verfcar se o processo se encontra sob controle e, em caso postvo, estudar a sua capacdade, consderando os lmtes de especfcação dados por ' ' LIE = ( LIE, LIE, LIE ) = ( 85,85,85) e = ( LSE, LSE, LSE ) = ( 5,5,5 ) 3 LSE. 3 3

120 Nas Fguras 7.3.a, 7.3.b, 7.3.c, 7.3.d, 7.3.e e 7.3.f, é apresentada uma sequênca de passos para a análse do conjunto de dados em questão no sstema de CEP on-lne desenvolvdo, desde a nserção dos dados (Fgura 7.3.a) até a vsualzação do relatóro nstantâneo para a capacdade (Fgura 7.3.f). A Fgura 7.3.d apresenta os gráfcos de controle para a varabldade e o Gráfco T. Observa-se que o processo encontra-se sob controle, tanto em relação à varabldade quanto à méda, pos não há pontos que excedam o lmte superor de controle em nenhum dos gráfcos construídos. Portanto, pode-se estudar a capacdade desse processo. A Fgura 7.3.d apresenta anda alguns resultados da Análse de Componentes Prncpas que, por sua vez, auxlam na escolha do número deal de componentes para a análse. Tas resultados, no caso, sugerem a escolha dos dos prmeros componentes, vsto que os mesmos explcam aproxmadamente 8% da varabldade do processo, porcentagem esta condzente com os propóstos da análse realzada. Fgura 7.3.a: Inserndo os dados. 4

121 Fgura 7.3.b: Confrmando os dados nserdos. Fgura 7.3.c: Defnndo as característcas e condções do processo. 5

122 6

123 Fgura 7.3.d: Relatóro nstantâneo gerado para os gráfcos de controle da varabldade e Gráfco T (dados agrupados), junto com alguns resultados da Análse de Componentes Prncpas. Fgura 7.3.e: Defnndo as nformações necessáras para o estudo da capacdade do processo. 7

124 Fgura 7.3.f: Relatóro nstantâneo gerado para a capacdade. A Fgura 7.3.f apresenta os índces de capacdade calculados com base nos dos prmeros componentes prncpas (que explcam 8% da varabldade do processo). Observa-se que os índces MC p, MC pk, MC pm e MP pc assumem valores maores do que, o que é ndcatvo de que o processo dspõe de boa capacdade para atender às especfcações estabelecdas. Já os índces da aproxmação empírca, Mp e Mp, apresentaram valores são maores do que 0,9973. Portanto, o processo em questão é potencalmente e atualmente capaz. 7.4 Consderações Fnas Neste capítulo foram dscutdos alguns dos prncpas índces de capacdade para dados de processos normas multvarados, que podem ser obtdos usando os componentes prncpas. Não exste anda um consenso na lteratura sobre qual dos índces aqu apresentados sera o melhor ou mesmo sobre como a capacdade, em termos multvarados, devera ser quantfcada. No entanto, a Análse de Componentes Prncpas mostrou-se uma técnca altamente promssora para aplcações (estudos) envolvendo dados de processos multvarados, vsto que é de fácl mplementação e fornece meos relatvamente smples de se obter índces de capacdade para processos multvarados. 8

125 É mportante ressaltar que os índces aqu dscutdos são melhores usados em modo comparatvo, sto é, para fns de melhora de processo, e devem sempre ser nterpretados com cudado como valores ndvduas. No capítulo 8 é apresentado o sstema de CEP on-lne desenvolvdo ao longo deste projeto de mestrado. São apresentados, em detalhes, e separados por tpo de metodologa usada (CEP unvarado e CEP multvarado), todos os passos envolvdos no uso do sstema, desde a nserção dos dados até a vsualzação dos relatóros nstantâneos com os gráfcos de controle e os índces de capacdade do processo. 9

126 Capítulo 8 Controle do processo on-lne Como já fo ctado no níco, o ntuto deste trabalho de mestrado é estudar técncas estatístcas que possam ser usadas no controle de processos e aplcadas num sstema on-lne novador, que proporcona uma análse rápda, sucnta e objetva da stuação de processos unvarados e também multvarados. Este capítulo é voltado para o esclarecmento da utlzação do sstema de CEP on-lne desenvolvdo, descrevendo todas as etapas envolvdas no uso do mesmo, desde a nserção dos dados até a geração dos relatóros nstantâneos para os gráfcos de controle e para a capacdade. Para o caso em que se consdera apenas uma característca da qualdade do processo, tal sstema fo projetado tanto para a geração de gráfcos para o controle de varáves mensuráves (Gráfcos de Shewhart), quanto para gráfcos voltados para o controle de atrbutos, além da possbldade de se realzar também o estudo da capacdade do processo, caso o mesmo se encontre sob controle. Para o caso em que são observadas duas ou mas característcas da qualdade, o sstema proposto permte a geração de gráfcos voltados para o controle da varabldade do processo e também de gráfcos para o controle das médas das varáves observadas (Gráfco T de Hotellng), sendo possível também analsar a capacdade do processo multvarado, por meo de alguns índces encontrados na lteratura recente. Não fo encontrado na lteratura nenhum outro sstema que dsponblze ao usuáro ferramentas de CEP multvarado, o que as torna uma exclusvdade do sstema on-lne aqu proposto. Além dsso, os softwares utlzados para a realzação de estudos de CEP, geralmente são pagos, nbndo, mutas vezes, a utlzação das ferramentas estatístcas apresentadas neste relatóro, por parte de certos tpos e tamanhos de empresas. Assm, a proposta deste trabalho é desenvolver um sstema alternatvo, acessível à maora das empresas, consderando a aplcação das ferramentas de controle da qualdade no software lvre denomnado R que, junto a outros softwares (os quas são apresentados a segur), proporconam resultados altamente satsfatóros, em questões de nteração do usuáro com o programa, se apresentando como uma plataforma amgável, de fácl utlzação (prncpalmente por pessoas com pouco conhecmento estatístco, como é o caso de profssonas da lnha de produção) e baxo custo (somente necessta de um computador conectado à Internet para o seu uso). 0

127 Os demas softwares lvres utlzados, além do R, são o servdor Apache versão..3 e o manpulador de banco de dados, denomnado phpmyadmn versão.7.0-pl. Também foram consderadas web lnguagens, tas como o PHP versão 5.. e HTML, usadas como base para a montagem das págnas e conexões com o banco; o MySQL versão , usado para manpular o banco de dados; e o sstema operaconal Lnux com dstrbução Ubuntu 7.04 Festy Fawn. Essas ferramentas são essencas para a conexão entre a nserção de dados, análse dos mesmos e geração de relatóro, sendo que a metodologa computaconal aqu consderada é balzada pelo sstema desenvolvdo por Souza & Louzada-Neto (008 [6]). Uma lustração do procedmento de nserção de dados até a vsualzação do relatóro nstantâneo é dada na Fgura 8.a, logo abaxo. Envando os dados para o servdor Processando no R os dados e montando o relatóro nstantâneo Com o relatóro pronto é possível mprmr os resultados Fgura 8.a: Esquema da geração do relatóro nstantâneo. O sstema aqu sugerdo é de lvre acesso e está dsposto em um endereço na Internet, mas podera ser mplantado, alternatvamente, em um servdor nterno de uma ndústra ou estabelecmento comercal. A segur, é descrto o funconamento do sstema de CEP on-lne, separado por tpo de metodologa usada: CEP unvarado (seção 8.) ou CEP multvarado (seção 8.).

128 8. Procedmentos on-lne de CEP unvarado Para os casos em que deve ser utlzada a metodologa de CEP unvarado, o sstema de CEP on-lne funcona com os seguntes passos: - Inserção no banco de dados e de característcas necessáras para a cração da tabela no banco do servdor, tas como: número de varáves, número de lnhas dos dados e nome da tabela a ser nserda; - Confrmação das nformações dadas na págna anteror; 3- Seleção do tpo de dados que fo nserdo: quanttatvo (varáves) ou qualtatvo (atrbutos); escolha dos tpos de gráfcos a serem gerados, de acordo com o tpo de dado nserdo e defnção se exstem ou não especfcações da ndústra ou empresa em questão; 4- Vsualzação dos resultados para gráfcos de controle e possível mpressão; 5- Vsualzação dos resultados para a capacdade e possível mpressão. No tópco a segur são detalhados os procedmentos de nserção dos dados quanttatvos no sstema. 8.. Entrada de dados O procedmento de nserção dos dados tem uma sequênca de partculardades a serem segudas, de tal sorte que os dados sejam nserdos corretamente no banco e os relatóros nstantâneos possam ser gerados. Prmeramente, é precso ter total conhecmento das amostras coletadas, sto é, ter conhecmento do número de amostras e do tamanho de cada amostra. Ao entrar na págna de nserção dos dados, representada na Fgura 8...a, observam-se cnco campos de preenchmento lvres que são detalhados a segur:. Este campo pede o número de amostras coletadas no processo;

129 . Pede o tamanho de cada amostra, caso os tamanhos das amostras sejam guas; 3. Pede o vetor de tamanhos das amostras, caso os tamanhos das amostras sejam varáves; 4. Neste campo é peddo o nome da tabela a ser crada no banco do servdor, tal que o nome dado não pode ser gual a nenhum que já esteja no banco de dados (caso o usuáro entre com um nome exstente, na págna segunte será alertado pelo sstema); 5. Espaço para dgtar ou colar os dados a serem avalados Fgura 8...a: Págna de nserção dos dados. Os tens e 3 não podem ser preenchdos ao mesmo tempo, sto é, quando se tem o mesmo tamanho de amostra é precso preencher o tem e quando se tem tamanhos varáves de amostra é precso preencher o tem 3. Quando o tamanho das amostras é varável, um vetor com o tamanho de cada amostra deve ser dgtado ou 3

130 colado no tem 3 com apenas um espaço entre os números, como mostra a Fgura 8...b. Fgura 8...b: Exemplo de nserção do vetor de tamanhos das amostras. Caso o nome da tabela já exsta no banco de dados do servdor, a saída é voltar à págna anteror (págna de nserção dos dados) e modfcar o nome até que algum seja aceto. Para dgtar ou colar os dados de tal forma que estes sejam nserdos corretamente, deve-se organzá-los de manera que fque apenas uma coluna, a qual contém os valores coletados de manera que estejam dspostos por amostra e por subamostra, nessa sequênca, ou seja, os valores são dspostos por cada amostra, sendo repetdos caso n seja maor que e de acordo com a numeração das sub-amostras, que va de a n dentro de cada amostra. É mportante ressaltar que, ao entrar com os dados na págna de nserção (tem 5), a prmera lnha deve conter o nome da varável, sendo que este não pode conter espaços. Depos de preenchdos todos os campos, basta clcar em Avançar para r à próxma págna. 8.. Confrmação das nformações nserdas O objetvo desta págna é apresentar as nformações referentes ao conjunto de dados nserdo anterormente, de tal sorte que se verfque se os dados foram nserdos corretamente. As nformações que aparecem são tas como as apresentadas na Fgura 8...a. Caso as nformações apresentadas estejam corretas, basta clcar em Avançar para r ao próxmo passo. Caso contráro, deve-se clcar no lnk clque aqu para nserr novamente os dados. 4

131 Fgura 8...a: Exemplo de confrmação de nformações Seleção das característcas para a geração dos relatóros nstantâneos Nesta págna, o usuáro deve seleconar prmeramente o tpo de conjunto de nformações montoradas, sto é, se os dados nserdos são de natureza quanttatva (Varáves), segundo para a realzação de gráfcos de controle para varáves, ou de natureza qualtatva (Atrbutos), segundo então para a realzação dos gráfcos de controle para atrbutos, tal como na Fgura 8..3.a. Após essa seleção, o usuáro deve nformar, de acordo com o tpo de dados nserdos, os gráfcos que devem ser gerados. Caso os dados sejam quanttatvos (Varáves), os gráfcos que podem ser fetos são o S com o X (Gráfcos S e Xbarra) ou o R com o X (Gráfcos R e Xbarra). Caso os dados sejam qualtatvos (Atrbutos), os gráfcos podem ser o p (Gráfco p), o np (Gráfco np), o c (Gráfco c) ou o u (Gráfco u). O passo segunte para a seleção de característcas é a defnção das condções para os gráfcos, sto é, defnr se exstem (Com especfcação) ou não (Sem especfcação) especfcações com relação aos parâmetros. Caso exstam especfcações, é necessáro preencher os campos em branco que aparecem (Méda e Desvo-Padrão, caso os dados nserdos sejam do tpo Varáves; Proporção, caso o gráfco a ser construído seja o Gráfco p ou o Gráfco np; Número de Defetos, se for seleconado o Gráfco c; e Número Médo de Defetos, se for escolhdo o Gráfco u). 5

132 Fnalmente, basta clcar em Avançar, para então gerar o relatóro nstantâneo da stuação do processo. Fgura 8..3.a: Exemplo de seleção de característcas Relatóro nstantâneo para gráfcos de controle O relatóro nstantâneo gerado contém as fguras dos gráfcos de controle construídos para os dados nserdos e algumas nformações adconas, como por exemplo, a data e o horáro da geração deste relatóro. Uma lustração desse relatóro nstantâneo é dada na Fgura 8..4.a Relatóro nstantâneo para a capacdade Para o caso em que os dados nserdos são do tpo Varáves e o processo em questão se encontra sob controle, há anda outro relatóro que pode ser gerado. Trata-se do relatóro nstantâneo da capacdade do processo. Para a sua geração, é necessáro que na págna que contém o relatóro nstantâneo para gráfcos de controle, sejam nserdos no formuláro à esquerda (como mostra a Fgura 8..4.a) os valores dos lmtes nferor (LIE) e superor (LSE) de especfcação, bem como o valor do nível de confança (Alpha), em número decmal e com. para separação das casas, dos ntervalos a serem construídos. O relatóro gerado mostra um gráfco hstograma para a verfcação de centraldade dos dados e, abaxo dele, as estmatvas pontuas dos índces C p, C pk, C pm, P e Desvo (que é a dferença máxma entre a méda e o valor-alvo do processo), bem 6

133 como os ntervalos ao nível de 00(Alpha) % de confança para os índces C p, C pk e P. Uma lustração desse relatóro nstantâneo é dada na Fgura 8..5.a. Fgura 8..4.a: Ilustração do relatóro nstantâneo para gráfcos de controle. 8. Procedmentos on-lne de CEP multvarado Para os casos em que deve ser utlzada a metodologa de CEP multvarado, o sstema de CEP on-lne funcona com os seguntes passos: - Inserção no banco de dados e de característcas necessáras para a cração da tabela no banco do servdor, tas como: número de varáves, número de lnhas dos dados e nome da tabela a ser nserda; - Confrmação das nformações dadas anterormente; 7

134 3- Defnção se exstem ou não especfcações da ndústra ou empresa em questão e defnção também do objetvo (etapa) da análse, caso tas especfcações não exstam; 4- Vsualzação dos resultados para gráfcos de controle e possível mpressão; 5- Vsualzação dos resultados para a capacdade e possível mpressão. No tópco a segur são detalhados os procedmentos de nserção dos dados quanttatvos no sstema. Fgura 8..5.a: Ilustração do relatóro nstantâneo para a capacdade. 8

135 8.. Entrada de dados Assm como para o caso unvarado (seção 8..), o procedmento de nserção dos dados multvarados tem uma sequênca de partculardades a serem segudas, de modo que os dados sejam nserdos corretamente no banco e os relatóros nstantâneos possam ser gerados Prmeramente, é precso ter total conhecmento das amostras coletadas, sto é, ter conhecmento do número de amostras e do tamanho de cada amostra. Ao entrar na págna de nserção dos dados, representada na Fgura 8...a, observam-se quatro campos de preenchmento lvres, que são detalhados a segur:. Este campo pede o número de amostras coletadas no processo;. Pede o tamanho de cada amostra, tal que os tamanhos das amostras devem ser guas; 3. Neste campo é peddo o nome da tabela a ser crada no banco do servdor, tal que o nome dado não pode ser gual a nenhum que já esteja no banco de dados (caso o usuáro entre com um nome exstente, na págna segunte será alertado pelo sstema); 4. Este campo pede o número de varáves do processo. Ao preencher o campo referente ao tem 4, surgem, logo em seguda, novos campos abaxo dele, como mostra a Fgura 8...b, nos quas devem ser dgtados ou colados os valores de cada varável, de forma que tas valores formem uma únca coluna dentro de cada um desses campos, e a prmera lnha de cada campo contenha o nome da varável em questão, o qual não pode conter espaços. Caso o nome da tabela já exsta no banco de dados do servdor, a saída é voltar à págna ncal de nserção dos dados (que é aquela em que os campos para nserção dos valores das varáves em estudo anda não aparecem), e modfcar o nome até que algum seja aceto. Assm, preenchdos os quatro campos ncas e nserdos os valores de cada uma das varáves do processo, basta clcar em Avançar para r ao próxmo passo. 9

136 Fgura 8...a: Págna de nserção dos dados, antes de seleconar o número de varáves do processo. Fgura 8...b: Exemplo de págna de nserção dos dados quando o número de varáves do processo é gual a 3. 30

137 8.. Confrmação das nformações nserdas Nesta págna são apresentadas as nformações referentes ao conjunto de dados nserdo anterormente, de modo que se verfque se os dados foram nserdos corretamente. As nformações que aparecem são tas como as mostradas na Fgura 8...a. Caso as nformações apresentadas estejam corretas, basta clcar em Avançar para r ao próxmo passo. Caso contráro, deve-se clcar no lnk clque aqu para nserr novamente os dados. Fgura 8...a: Exemplo de confrmação das nformações nserdas Seleção das característcas para a geração dos relatóros nstantâneos Nesta págna, como lustra a Fgura 8..3, o usuáro deve defnr as condções para os gráfcos a serem construídos, sto é, defnr se exstem (Com especfcação) ou não (Sem especfcação) especfcações com relação aos parâmetros do processo. Caso exstam especfcações, é necessáro preencher os campos em branco que surgem, referentes à méda de cada uma das varáves observadas e às varâncas e covarâncas entre elas. Caso não exstam especfcações, o usuáro deve defnr a etapa atual da análse, de acordo com os seus nteresses: Etapa, se o objetvo for dentfcar as amostras que estão sob controle, ou Etapa, caso o processo esteja sob controle e haja 3

138 nteresse em usar tas amostras para estmar o vetor de médas, a matrz de covarâncas e o lmte superor de controle a serem usados no montoramento futuro do processo. Em seguda, basta clcar em Avançar, para então gerar o relatóro nstantâneo da stuação do processo. Fgura 8..3.a: Exemplo de seleção das característcas Relatóro nstantâneo para gráfcos de controle O relatóro nstantâneo gerado contém as fguras dos gráfcos de controle para a varabldade, construídos segundo os dos procedmentos de controle da varabldade dscutdos na seção 6., mas o Gráfco T. Para o caso em que as amostras coletadas são de tamanhos guas a um, os gráfcos para a varabldade não são exbdos e são mostrados apenas os Gráfcos T construídos a partr de dos estmadores dstntos da matrz de covarâncas dscutdos na seção 6... Logo abaxo dos gráfcos, é apresentada uma tabela contendo alguns resultados da Análse de Componentes Prncpas, como a varânca (lambda) de cada componente, as proporções e as proporções acumuladas da varabldade total (ou orgnal) do processo que são explcadas por cada um deles. Tas resultados auxlam na escolha do número deal de componentes a serem usados na análse da capacdade do processo. Caso no passo (págna) anteror fosse seleconada a opção Etapa, seram aqu exbdos, adconalmente, os valores das estmatvas dos parâmetros e também do lmte superor de controle a ser usado no montoramento futuro do processo. 3

139 Uma lustração desse relatóro nstantâneo é dada na Fgura 8..4.a Relatóro nstantâneo para a capacdade Caso o processo em questão esteja sob controle estatístco, há anda outro relatóro mportante que pode ser gerado. Trata-se do relatóro nstantâneo da capacdade do processo. Para a sua geração, é necessáro que na págna anteror (aquela que contém o relatóro nstantâneo para gráfcos de controle) sejam nserdos no formuláro à esquerda (como mostra a Fgura 8..4.a) os vetores de lmtes nferores (LIE) e superores (LSE) de especfcação, tal que os valores para cada um deles estejam separados por espaços smples. Devem ser nserdos também, neste formuláro, o nível de confança (Alpha) dos ntervalos a serem construídos (em número decmal e com. para a separação das casas) e o número deal de componentes prncpas (v) a serem usados na análse da capacdade do processo. O relatóro gerado mostra as estmatvas pontuas dos índces MC p, MC pk, MC pm, MP pc, Mp e Mp, bem como os ntervalos ao nível de 00(Alpha) % de confança para os índces MC p e MC pk. Uma lustração desse relatóro nstantâneo é dada na Fgura 8..5.a. 33

140 Fgura 8..4.a: Ilustração do relatóro nstantâneo para gráfcos de controle. 34

141 Fgura 8..5.a: Ilustração do relatóro nstantâneo para a capacdade. 35