Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curiti Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Not de ul_ - FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil é quel cuj formulção mtemátic é epress por um polinômio.. - Função polinomil do o gru A função polinomil do o gru é que tem su representção mtemátic por um polinômio de gru. Representção d função polinomil do o gru: independente. Resolv: f ( ), com, R ( 0). e são os coeficientes e vriável Em um função polinomil do o gru, y f ( ), se-se que f () e f ()0. Escrev função f e clcule f... - Função liner Sej função polinomil do o gru f ( ). No cso de 0, temos f ( ), e el recee o nome especil de função liner. Os.: Se, em um função liner tivermos, teremos f ( ) ou y, que se dá o nome de função identidde... Gráfico de um função polinomil do o gru Pr construir o gráfico de um função polinomil do o gru, triuímos vlores do domínio à vriável e clculmos s respectivs imgens. Construir o gráfico d função rel f dd por y. Definição 9: O gráfico d função liner y ( 0) é sempre um ret que pss pel origem do sistem crtesino. Definição 0: O gráfico d função polinomil do o gru y ( 0) intercept o eio ds ordends no ponto (0, ).
.. Determinção de um função prtir do gráfico Nos eercícios io, determine lei de formção d função f ( ). Eemplo: ) Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: y - - - 0 - - - - ) Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: y - - - 0 - - - -.. - Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Sej f função polinomil do o gru definid por f ( ). Podemos determinr que: i) A função f é crescente se o coeficiente 0; ii) A função f é decrescente se o coeficiente 0. Construir os gráficos ds funções f e g do o gru seguir: i) f ( ) ii) g ( ).. - Estudo do sinl d função polinomil do o gru
Definição : Estudr o sinl de um função f signific determinr pr que vlores de temos f ( )0, f ( )0 ou f ( )0.... - Zero de um função polinomil do o gru Definição : Denomin-se zero ou riz d função f ( ) o vlor de que nul função, isto é, torn f ( )0. Definição : Geometricmente, o zero d função polinomil do o gru f ( ), 0, é sciss do ponto em que ret cort o eio. Eemplo: Dd lei de formção d função y, construir o gráfico e determinr os vlores reis de pr os quis: ) y 0; ) y 0 e c) y 0. - - - y - - - 0 - Podemos notr que função é decrescente, pois 0. O zero d função é: 0. Logo, ret intercept o eio no ponto de sciss. A solução do prolem é: - - - ) f ( )0 { R ; }; ) f ( )0 { R ; }; c) f ( )0 { R ; }.
... Qudro de sinis d função polinomil do o gru f ( ), 0 Zero d função: 0 0 0 f( )<0 f( )>0 f( )>0 f( )<0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0. Inequções do o gru Definição : Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: 0; 0; 0; 0. com, R e 0. Eemplo: Verificr se ( ) ( ) é um inequção do o gru. ( ) ( ) 0 0 Logo, é um polinômio do o gru, então ( ) ( ) é um inequção do o gru... - de inequções do o gru Definição : Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S).
Eemplos: ) Resolver inequção seguinte: ( ) ( ). Represente solução n ret rel. ( ) ( ) 0 S{ R ; } ) Resolver inequção seguinte: ( ) 6 ( ) Reduzindo os dois memros o menor denomindor comum: Simplificndo: 0 0 0 0 6 Multiplicndo por (): 6 6. Represente solução n ret rel. 6 6 S{ R ; } 6.. - Sistems de inequções do o gru Definição 6: O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eemplo: Resolver inequção. Apresente o conjunto solução S e represente n ret rel. N verdde, resolver ess inequção simultâne é equivlente resolver o sistem: (i) (i) (ii) (ii) (i) (ii) S{ R ; } (i) (ii)
.. - Inequção-produto e inequção-quociente Um inequção do o gru do tipo inequções do o gru, ftorndo o o memro d desiguldde: 80 ( )( )0. 80 pode ser epress por um produto de Definição 7: RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequção-quociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis do o gru envolvids. A seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lemrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eemplos: ) Resolver inequção ( )( )0. ( )( )0 ( )( )( )0 f() f() 0 0 g() g() 0 0 h() h() 0 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou } ) Resolver inequção 0. f() f() 0 / < 0 g() g() 0 < 0 f ( ) g( ) f ( ) g( ) S{ R ; } 6
) Resolver inequção f() g() h() 9 0 9 ( ) ( ) f() g() h() 0. 0 0 0 0 0 0 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou } ) Determine o domínio d função y. f() g() h() 0 ( ) ( ) f() g() h() 0 0 0 0 0 0 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h( ) - D{ R ; ou } 7
EXERCÍCIOS ) Dd função f() =, determine: ) f() ) o vlor de pr que f() = 0 ) Em um função polinomil do o gru, y = f(), se-se que f() = e f(-) = 0. Escrev função f e clcule f ) Um vendedor recee menslmente um slário composto de dus prtes: um prte fi, no vlor de R$900,00 e um vriável, que corresponde um comissão de 8% do totl de vends que ele fez durnte o mês. ) Epressr lei d função que represent seu slário mensl ) Clculr o slário do vendedor que durnte um mês ele vendeu R$ 0.000,00 em produtos ) Num determindo pís, o gsto governmentl com educção, por luno em escol púlic, foi de.000 dólres no no de 98, e de.600 dólres em 99. Admitindo que o gráfico do gsto por luno em função do tempo sej constituído de pontos de um ret: ) Otenh lei que descreve o gsto por luno (y) em função do tempo (), considerndo = 0 pr o no de 98, = pr o no de 986, = pr o no de 987 e ssim por dinte. ) Em que no o gsto por luno será o doro do que er em 98? ) Considere s funções f e g definids em R por f() = 8 e g() = ) Ache s rízes ds funções f e g ) Sendo que os gráficos de f e g são rets concorrentes, clcule s coordends do ponto de intersecção. 6) Resolver inequção + ( ) 0 7) Determinr o conjunto verdde d inequção: 8) Resolver o sistem ( ) 6 0 9) João possui um terreno de 000m, no qul pretende construir um cs. Ao engenheiro responsável pel plnt, ele impõe s seguintes condições: áre destind o lzer (piscin, churrsqueir, etc) deve ter 00m, e áre intern d cs mis áre de lzer devem ultrpssr 0% d áre totl do terreno; lém disso, o custo pr construir cs deverá ser de, no máimo, R$ 00.000,00. Sendo que o metro qudrdo construído ness região cust R$ 00,00, qul é áre intern d cs que o engenheiro poderá projetr? 0) Determinr o domínio d função y Resposts: ) ) 8 ) / ) f() = - + 6 e f(-/) = 7 ) ) y = 900 + 0,08 ) R$ 900,00 ) ) y = 7 + 000 ) 0 ) ) 8 e 0 ) (, 6) 6) 7) S R 6 S R S R 8) 9) entre 00m e 00m 0) D R 8
. - Função polinomil do o gru Definição 8: A função f : R R dd por f ( ) c, com, e c reis e 0, denomin-se função polinomil do o gru ou função qudrátic. Os números representdos por, e c são os coeficientes d função. Note que se 0 temos um função do o gru ou um função constnte. Eemplo: Considere função f do o formção dess função e clcule f (). Tome f ( ) c, com 0. gru, em que f (0), f () e f (). Escrev lei de f (0) (0) (0) c c c f () f () () () c c () () i) ii) Resolvendo o sistem formdo por (i) e (ii): (i) (ii) (i)(ii) 6 A lei de formção d função será f ( ) f ()() () f ()6... - Gráfico de um função qudrátic O gráfico de um função polinomil do o gru ou qudrátic é um curv ert chmd práol. Pr evitr determinção de um número muito grnde de pontos e oter um o representção gráfic, vmos destcr três importntes crcterístics do gráfico d função qudrátic: (i) Concvidde (ii) Zeros ou rízes (iii) Vértice.. - Concvidde A concvidde de um práol que represent um função qudrátic f ( ) c do o gru depende do sinl do coeficiente : 9
0: concvidde pr CIMA 0: concvidde pr BAIXO [Fig.]: Concvidde de um função qudrátic... - Zeros de um função qudrátic Definição 9: Os zeros ou rízes d função qudrátic f ( ) c são s rízes d equção do o gru c 0, ou sej: Rízes: Considerndo c. c, pode-se ocorrer três situções: i) 0 s dus rízes são reis e diferentes: e ii) 0 s dus rízes são reis e iguis (riz dupl):. iii) 0 não há rízes reis. Os.: Em um equção do o gru c 0, som ds rízes é S e o produto é P tl que: c S e P.. Definição 0: Geometricmente, os zeros ou rízes de um função polinomil do o gru são s sciss dos pontos em que práol intercept o eio... - Vértice d práol Considere s práols io e oserve o vértice V ( V, y V ) em cd um: y Eio de simetri y V(, ) V y V V(, ) [Fig.]: Vértice de práols (0 pr s dus). V y V 0
Um form de se oter o vértice V ( V, y V ) é: V, já que o vértice encontr-se no eio de simetri d práol; y V V V c, já que o V foi otido cim. Outr form de se oter o vértice V ( V, V e y V. y V ) é plicndo s fórmuls:.. - Gráfico de um práol Com o conhecimento ds principis crcterístics de um práol, podemos esoçr com mis fcilidde o gráfico de um função qudrátic. Eemplos: ) Construir o gráfico d função y, determinndo su imgem. 0 concvidde voltd pr cim. Zeros d função: Ponto onde práol cort o eio y : 0 ( )0 0 e. 0 y 0 (0,0) y Vértice d práol: V yv V (,) - - - - - - 0 V - - - - Imgem: y pr todo Rel Im { y R ; y } ) Construir o gráfico d função y, determinndo su imgem. 0 concvidde voltd pr io. Zeros d função: 0. zeros reis. Ponto onde práol cort o eio y : 0 y (0,) y Vértice d práol: V yv V (,) - - - - - - 0 - V - - - Imgem: y pr todo Rel Im { y R ; y }
..6 - Estudo do sinl d função qudrátic Os vlores reis de que tornm função qudrátic positiv, negtiv ou nul, podem ser ddos considerndo-se os csos, relciondos n tel io. f ( ) c com (, e c R e 0) 0 0 f ( )0 pr ou f ( )0 pr ou f ( )0 pr f ( )0 pr f ( )0 pr ou f ( )0 pr ou f ( )0 pr f ( )0 pr f ( )0 rel f ( )0 rel f ( )0 pr f ( )0 pr f ( )0 rel f ( )0 rel f ( )0 rel f ( )0 rel f ( )0 rel f ( )0 rel. - Inequções do o gru Definição : Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: c 0; c 0; c 0; c 0. com,, c R e 0.
.. - de inequções do o gru Definição : Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eemplo: ) Resolver inequção 0. Estudr vrição do sinl d função f ( ). 0 Concvidde pr cim. 0 0 Dus rízes reis diferentes. S{ R ; ou }. Os: somente vlores positivos. ) Resolver inequção 0 0. Estudr vrição do sinl d função f ( ) 0. 0 Concvidde pr cim. 0 0 0 0 Riz dupl (únic). S R. Os: Todos os vlores são positivos ou iguis zero. ) Resolver inequção 60. Estudr vrição do sinl d função f ( ) 6. 0 60 0 Concvidde pr io. Não possui zeros reis. rel S. Os: Nunc se tem vlores positivos ou iguis zero... - Sistems de inequções do o gru Definição : O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eemplo:
) Resolver o sistem de inequções (i) 8 (ii) 0. 6 8 8 0 6 0 6. 6 80. de (i): Estudr vrição do sinl d função f ( ) 6 8. 0 6 80 0 Concvidde pr cim. Dus rízes reis diferentes. 6 S(i){ R ; ou }. Ret rel: - - - - de (ii): 0. S(ii){ R ; }. Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii): (i) - - - (ii) - (i) (ii) - S{ R ; }. ) Resolver inequção. (i) (ii) 0 () 0 0. 60. de (i): Estudr vrição do sinl d função f ( ). 0 Concvidde pr cim. 0 ( )0 Zeros{0,}. 0 Dus rízes reis diferentes. 0 0 S(i){ R ; 0 ou }. Ret rel: 0
de (ii): Estudr vrição do sinl d função g ( ) 6. 0 60 0 Concvidde pr cim. Dus rízes reis diferentes. - S(ii){ R ; }. Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii): (i) 0 - (ii) - (i) (ii) - 0 S{ R ; 0 ou }... - Inequção-produto e inequção-quociente Definição : RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequção-quociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis envolvids. A seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lemrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eemplos: ) Resolver inequção ( )( )0. f() 0 6 0 - e g() 0 0 e f() g() - - - -
f ( ) g( ) f ( ) g( ) - - S{ R ; ou }. ) Resolver inequção 6 6 0. f() 6 0 0 e g() 6 0 6 0 e f() g() - - f ( ) g( ) f ( ) g( ) - S{ R ; ou ou }. ) Determine o domínio d função f ( ) 0 6. f só represent um número rel se 0 6 0. f() 0 0 9 0 e g() 6 0 g() = 0 6 f() g() - 6-6 6
f ( ) g( ) f ( ) g( ) - 6 D { R ; ou 6}. EXERCÍCIOS ) Considere função f do 0 gru, onde f(0) =, f() = e f(-) =. Escrev lei de formção dess função e clcule f(). ) Determine o vlor de m pr que práol que represent grficmente função y = + m psse pelo ponto (, 6) ) Determinr os zeros d função y = ) Sej função f() = + k. Sendo que ess função possui dois zeros reis iguis, determine o vlor rel de k. ) A função f() = + k + 6 possui dus rízes reis, m e n, de modo que m n. Determine o vlor de f(-) ness função 6) Determinr s coordends do vértice V d práol que represent função f() = - +. 7) Determinr e de modo que o gráfico d função definid por y = + 9 tenh o vértice no ponto (, - ) 8) Determinr o conjunto imgem d função f() = + 9) A função f() = 6 dmite vlor máimo ou vlor mínimo? Qul é esse vlor? 0) Considerr todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igul 80 cm. Dentre esses retângulos, determinr quele que terá áre máim. Qul será ess áre? ) Determinr p de modo que função f()= p + (p ) + p ssum vlores positivos pr todo rel. ) Resolver inequção + 0 ) Determinr o conjunto solução d inequção 0 + 0 ) Resolver inequção < + ) Resolver inequção Resposts ) f() = - + + f() = - 6 ) ) e - ) / ) 6) V, 0 0 7) = e = - 8 8) Im y R / y 9) O vlor mínimo d função é y = - / 0) O retângulo que terá mior áre será o de ldos 0 cm e 0cm, e áre máim será de 00 cm. ) p R / p S R, ou, ) ) S = R ) S R 0 ou } ) S = { R < - ou -< <} 7
n ( n n. ) FUNÇÃO EXPONENCIAL. Revisão de Potencição n n n ( 0)... - Potêncis com epoente nturl Sendo um número rel e n um número nturl, com n, definimos: (Eq.) (Eq.) (Eq.) n. n ftores Pr n e n 0 são definidos:. 0 ( 0)... - Potêncis com epoente inteiro Se é um número rel não-nulo ( 0) e n um número inteiro e positivo, definimos: (Eq.) n n... - Potêncis com epoente rcionl Se é um número rel positivo e n m um número rcionl, com n inteiro positivo, definimos: (Eq.) m n n m... -Potêncis com epoente rel Podemos considerr que s potêncis com epoente rel têm significdo no conjunto dos números reis. Temos, por eemplo: 0,99700809779888798.... - Proprieddes Pr s potêncis com epoente rel são válids s seguintes proprieddes opertóris: m n m n. m n m n m n m n ( ). ( 0). 8
Eemplos ) Dê o resultdo mis simples de ( 6 ) 0. Usndo s proprieddes, temos: ( 6 0 6 ) ( 0 ) 9 0 9 0. ) Clcule o vlor d epressão 6 0. 8 8 8 6 0. 8 9 8 0 ) ( ( 0 0 0, ) 0 (0 ) ( ) 7 0 0000000.. - Equções eponenciis 0 Definição : Chm-se equção eponencil tod equção que contém incógnit no epoente. Eemplo: 6. 9. ) Simplifique ( ). 8. ) Clcule 8. Primeir resolução: 8 8 096 6. Segund resolução: 8 ( ) 6. ) Determine o vlor de 0 7 0 8, 8, 8 0, 70, 0 7 0 8, 8,. 0 8, 0, ( ) 9. 0) Qul o vlor de ( 0 ) ( 0, )? 9
7. 0 0... - de equções eponenciis Pr resolver um equção eponencil, devemos trnsformá-l de modo oter potêncis de mesm se no primeiro e no segundo memros d equção utilizndo s definições e proprieddes d potencição. Além disso, usremos o seguinte fto: Definição 6: Se 0, e é incógnit, solução d equção p. Eemplos: ) Resolver equção. p é Usndo s proprieddes ds potêncis, vmos trnsformr o o e o memros d equção em potêncis de mesm se: ( ) 9 9 9 9. S 9. ) Um empres produziu, num certo no, 8000 uniddes de determindo produto. Projetndo um umento nul de produção de 0%, pergunt-se: ) Qul produção P dess empres t nos depois? ) Após quntos nos produção nul d empres será de 000 uniddes? 0 ) Os: 0% 0, 00 Um no depois: 80000,80008000(0,)8000, Dois nos depois: (8000,),8000 (, ) Três nos depois: (8000(, ) ),8000 (, ) Produção P, t nos depois: P8000 t (, ) Resolvendo equção: t 0008000 (, ) t 000 (, ). Os:,. 8000 t 8 6 t t t. Desse modo, produção nul d empres será de 000 uniddes pós nos.. - Função eponencil Definição 7: A função f : R R dd por f ( ) (com 0 e ) é denomind função eponencil de se... - Gráfico d função eponencil no plno crtesino ) Dd função f : R R, definid por f ( (com 0 e ), temos dois csos pr trçr seu gráfico: (i) e (ii) 0. (i). ) Trçr o gráfico de f ( ). ( ) f 8 7 6 - - - - 0 y ) Fzendo P000, n fórmul nterior, otemos equção: t 0008000 (, ) 0
OBS.: Qunto mior o epoente, mior é potênci ) é crescente. (ii) 0., ou sej, se função f ( Os.: Qunto mior o epoente, menor é potênci, ou sej, se 0 função f ( ) é decrescente. Com se no gráfico, podem-se tirr lgums considerções:.. - Crcterístics d função eponencil Sej f : R R, definid por f ( ) (com 0 e ). Domínio d função f são todos os números reis D R. Imgem d função f são os números reis positivos Im R. A curv d função pss pelo ponto (0,). A função é crescente pr se. ) Trçr o gráfico de f ( ) ( ) f - - - -. 8 7 6 0 y A função é decrescente pr se 0.. - Inequções eponenciis Definição 8: São inequções eponenciis quels que precem incógnits no epoente. AULA 0 EXERCÍCIOS ) Um cultur inicil de 00 ctéris, reproduz-se em condições ideis. Supondo que, por divisão celulr, cd ctéri dess cultur dê origem dus outrs ctéris idêntics por hor. ) Qul populção dess cultur pós hors do instnte inicil? ) Depois de qunts hors populção dess cultur será de.00 ctéris? ) Cd golpe de um om etri 0% de óleo de um tnque. A cpcidde do tnque é de m e, inicilmente, est cheio. ) Após o o golpe, qul o vlor mis próimo pr o volume de óleo que permnece no tnque? ) Qul é lei d função que represent o volume de óleo que permnece no tnque pós n golpes?
) Determine o domínio d função y Resposts: FUNÇÃO LOGARÍTMICA. Definição de Logritmo Definição 9: Ddos dois números reis positivos, e, com, eiste um único número rel de modo que. Este número é chmdo de logritmo de n se e indic-se log. (Eq.6) Podemos então, escrever: log ( 0 e 0). N iguldde log, temos: ) ) 800 ctéris ) 9 hors ) ) 0,9m ) f(n) =. (0,9) n ) { R / } OBS. : log signific log. 0 Qundo não se indic se, fic suentendido que se é 0.. - Conseqüêncis d definição Tome 0, 0 e m um número rel qulquer. D definição de logritmos, pode-se verificr que: é se do logritmo; é o logritmndo ou ntilogritmo; é o logritmo. Eemplos: Clculr o vlor de nos eercícios seguintes: ) log. ) log6.. 6 ) log8.. 8 8. ) log 8. 8 ) log.. 0 0.
) O logritmo de em qulquer se é igul zero. 0 log 0, pois. ) O logritmo d própri se é igul. log, pois. ) O logritmo de um potênci d se é igul o epoente. log m m, pois m m. ) O logritmo de n se é o epoente o qul devemos elevr pr oter. log, pois log.. - Proprieddes dos logritmos ) Logritmo de produto 0 e y 0). log ( y) log log y ( 0, ) Logritmo de quociente e y 0). log log log y ( 0, 0 y ) Logritmo de potênci log m m R ).. - Cologritmo log ( 0, 0 e m Cologritmo de um número positivo num se ( 0) é o logritmo do inverso desse número n se. (Eq.7) colog log colog log ( 0 e 0).
.6 - Função logrítmic A função eponencil g : R R definid por g ( ) (com 0) é ijetor. Nesse cso, podemos determinr su função invers. É função logrítmic definid io. Definição 0: A função f : R R definid por f ( ) log (com 0) é chmd função logrítmic de se. y= - - 8 7 6 y - - 0 y=.6. - Gráfico d função logrítmic no plno crtesino Como os gráficos de funções inverss são simétricos em relção à issetriz dos qudrntes ímpres, o gráfico d função logrítmic é de imedit construção, um vez que já vimos o gráfico d função eponencil. Sej f : R R, tl que y log e f : R R, tl que y. Os gráficos de f e f serão plotdos no mesmo plno crtesino ortogonl. (i). y y= log Gráfico d função logrítmic e eponencil (0 ). 8 7 6 y= - - - - 0 (ii) 0. Gráfico d função logrítmic e eponencil ( ).