TÓPICO 4 TEORIA BÁSICA DAS SÉRIES DE FOURIER

TÓPICO 4 TEORIA BÁSICA DAS SÉRIES DE FOURIER EMANUEL CARNEIRO 1. Séries de Fourier: Teori básic L 1 -L 2 Estudremos neste tópico representção de funções periódics em R n como limite de polinômios trigonométricos (séries de Fourier). Diremos que um função f : R n C { } é periódic (módulo o reticuldo Λ = Z n ) se f(x + m) = f(x), pr x R n e m Z n. Funções periódics em R n podem ser identificds então com funções definids no espço métrico compcto = R n /Z n (toro n- dimensionl). Um conjunto D R n é dito ser um domínio fundmentl (ou período fundmentl) se cd ponto de R n tem extmente um trnslddo (com respeito Z n ) em D. Clrmente, um função periódic em R n é totlmente determind por su restrição um domínio fundmentl. N mior prte dos csos será conveniente utilizrmos o cubo Q n = {x R n ; 1/2 x < 1/2} como nosso domínio fundmentl, e ssim identificmos mensurbilidde e integrção no toro, com mensurbilidde e integrção no cubo Q n com respeito à medid de Lebesgue, pondo f(x) dx := f(x) dx. Q n Dest form ficm bem definidos os espços L p ( ) e C j ( ) (funções em Q n cuj extensão periódic R n é de clsse C j ). Se f L 1 ( ) definimos o seu k-ésimo coeficiente de Fourier (k Z n ) por f(k) = f(x) e 2πik x dx. Um notção lterntiv pode ser Ff(k) = f(k). Nosso objetivo neste tópico é entender qundo podemos expressr um função periódic f como superposição de onds básics e 2πim x, i.e. f(x) = n m e 2πim x. (1.1) Formlmente, se multiplicrmos (1.1) por e 2πik x e integrrmos em um período Q n (utilizndo ortonormlidde do sistem {e 2πik x ; k Z n }), teremos k = f(k), e Dte: 1 de bril de 2015. 2000 Mthemtics Subject Clssifiction. XX-XXX. Key words nd phrses. XXX-XXX. 1

2 EMANUEL CARNEIRO portnto gostrímos de sber qundo (e como) vle iguldde f(x) = k Z n f(k) e 2πik x. (1.2) A priori, nd sbemos sobre convergênci do ldo direito de (1.2). Portnto, neste primeiro momento, limitmo-nos definir (pens formlmente) série de Fourier S[f] de um função f L 1 ( ) por S[f] = k Z n f(k) e 2πik x. Assim como no cso R n, definimos convolução de dus funções periódics f e g como sendo um nov função periódic f g dd por f g(x) = f(x y) g(y) dy. Note que convolução de dus funções periódics stisfz s mesms proprieddes básics d convolução em R n (simetri, ssocitividde, efeito suviznte, desiguldde de Young). Noss primeir proposição colecion um série de proprieddes básics d trnsformd de Fourier no contexto periódico. Proposição 1. Abixo considermos k Z n, e f, g funções periódics. (i) F : L 1 ( ) l (Z n ) é liner e limitdo, com f l (Z n ) f L 1 ( ). (ii) f L 1 ( 2πik y ) temos (τ y f) (k)e f(k). (iii) Se f C j ( ) temos α f(k) = (2πik) α f(k), onde α = (α 1, α 2,..., α n ) com α = i α i j. (iv) Se f, g L 1 ( ) temos f g(k) = f(k) ĝ(k). (v) (Lem de Riemnn-Lebesgue) Se f L 1 ( ) então Prov. Exercício. lim f(k) = 0. k Pssemos gor investigr o problem d inversão de Fourier qundo f l 1 (Z n ). neste cso série de Fourier S[f] definirá um função contínu, que espermos ser igul f q.t.p. A próxim proposição colecion os ftos importntes reltivos este contexto. Um função periódic f é dit ser um polinômio trigonométrico se f(x) = n m e 2πim x, onde som é finit (i.e. pens um quntidde finit de m 0). Proposição 2.. (i) O espço dos polinômios trigonométricos é denso em C( ) e em L p ( ), pr 1 p <.

SÉRIES DE FOURIER 3 (ii) Se f L 1 ( ) é tl que f(k) = 0 pr k Z n, então f = 0 q.t.p. em. (iii) Se f L 1 ( ) e f l 1 (Z n ) então f(x) = k Z n f(k) e 2πik x (1.3) pr quse todo ponto x. Em prticulr f pode ser modificd em um conjunto de medid nul de modo que f C( ) e (1.3) vlh em todo ponto. Prov. (i) O espço dos polinômios trigonométricos é um álgebr em C( ) (subespço vetoril munido d operção de multiplicção de funções), que sepr pontos (i.e. ddos x, y existe um polinômio trigonométrico P tl que P (x) P (y)), que contém s funções constntes e é fechdo com relção à conjugção complex. Pelo Teorem de Stone-Weierstrss (vide por exemplo [2, Seção 4.7]) concluímos que os polinômios trigonométricos são densos em C( ). Como s funções contínus são denss em L p ( ), pr 1 p < (verifique!), os polinômios trigonométricos tmbém são densos em L p ( ), pr 1 p <. (ii) Se f L 1 ( ) é tl que f(k) = f(x) e 2πik x dx = 0 pr todo k Z n, então temos f(x) P (x) dx = 0 pr qulquer polinômio trigonométrico P (x). Pel densidde provd no item (i), concluímos que f(x) g(x) dx = 0 pr qulquer g C( ), e dí pr qulquer g d form g(x) = 1 m(b χ r) B r (x y) (verifique!). Pelo Teorem d Diferencição de Lebesgue temos f = 0 q.t.p. (iii) Note que se f l 1 (Z n ) função g(x) = f(k) k Z e 2πik x é um função n contínu (como limite uniforme de funções contínus), e tl que ĝ(k) = f(k). Portnto (f g) L 1 ( ) com (f g) (k) = 0 pr k Z n. Pelo item (ii) concluímos que f = g em quse todo ponto x. Assim como fizemos no cso R n pssemos gor investigr o que ocorre se f L 2 ( ). No cso do toro, observe que L 1 ( ) L 2 ( ) L ( ). Teorem 3 (Plncherel). Sej f L 2 ( ). Então f l 2 (Z n ) e vle f L2 ( ) = f l2 (Z n ). De fto, o mp F : L 2 ( ) l 2 (Z n ) é unitário (isométrico e sobrejetivo). Prov. Ddo f L 2 ( ), pr N > 0 definimos S N f(x) = f(k) e 2πik x. k N

4 EMANUEL CARNEIRO Usndo o fto que sistem {e 2πik x ; k Z n } é ortonorml, vemos que S N é projeção de f sobre o subespço vetoril de dimensão finit formdo pelos polinômios trigonométricos de gru menor ou igul N (nesse contexto indicndo que k N, onde k é norm do vetor k Z n ). Pel Proposição 2 (i), já sbemos que f pode ser proximd em L 2 ( ) por polinômios trigonométricos, e portnto devemos ter Dí lim f S N L N 2 ( ) = 0. (1.4) f L2 ( ) = lim N S N L2 ( ) = f l 2 (Z n ), donde concluímos que F : L 2 ( ) l 2 (Z n ) é um isometri. sobrejetividde, tome { k } l 2 (Z n ) e defin s N : C por s N = k e 2πik x. k N É fácil ver que {s N } é um sequenci de Cuchy em L 2 ( ), um vez que s N s M L 2 ( ) = 1/2 k 2, N< k M Pr provr pr N < M. Dí s N g em L 2 ( ) qundo N. Observe gor que ŝ N (k) = s N (x) e 2πik x dx = k pr k N, donde segue portnto que ĝ(k) = g(x) e 2πik x dx = k. O resultdo seguinte nos dá um condição suficiente (em termos de f) pr que f l 1 (Z n ), vlendo portnto inversão de Fourier pontulmente q.t.p. Proposição 4. Suponh que f C j ( ) pr j > n/2. Então f l 1 (Z n ) e vle inversão de Fourier como em (1.3). Prov. A idéi qui é explorr o fto que diferencibilidde em f implic em decimento em f como presentdo n Proposição 1 (iii). Sbemos então que se α = (α 1,..., α n ) é um multi-índice com i α i = j então α f(k) = (2πik) α f(k), onde k = (k 1,..., k n ) e k α = k α1 1 kα2 2... kαn n (com convenção 0 0 = 1). Denotmos qui por k norm do vetor k Z n (não confundir com notção usul pr α = i α i = j, que estmos evitndo momentnemente qui). Como α f C( ) podemos plicr o Teorem de Plncherel pr cd α, e depois somr obtendo { α k Z n f(k) 2 (2πk) α 2 } <. (1.5)

SÉRIES DE FOURIER 5 onde som extern percorre todos os multi-índices α = (α 1,..., α n ) com i α i = j. Agor observe que existe um constnte C = C(n, j) tl que (2πk) α 2 C k 2j. α Portnto, pel desiguldde de Cuchy-Schwrz temos f(k) [ f(k) ] 1/2 (2πk) α 2 C 1/2 k j k >0 k >0 α f(k) 2 α <, k >0 por (1.5) e pelo fto que j > n/2. 1/2 (2πk) α 2 k >0 2. A fórmul d som de Poisson k 2j 1/2 C 1/2 Nest seção presentmos o mecnismo que relcion teori d trnsformd de Fourier no cso R n com su versão periódic: chmd fórmul d som de Poisson. Deixndo de ldo por um momento questões de convergênci, dd um função f : R n C, considermos su periodizção dd por F (x) = n f(x + m). (2.1) Pr que o ldo direito de (2.1) fç sentido pontulmente (ou pelo menos q.t.p.) precismos ter lgum decimento em f. De fto, se f L 1 (R n ), temos que F (x) dx = f(x + m) Q n dx f(x + m) dx n Q n n = f(x + m) dx = f(y) dy (2.2) n Q n n Q n+m = f(y) dy. R n Portnto, se f L 1 (R n ) o cálculo cim mostr que F L 1 ( ), e então som (2.1) é bsolutmente convergente em quse todo ponto x. Podemos então clculr os coeficientes de Fourier d função periódic F, sber ( ) F (k) = F (x) e 2πik x dx = f(x + m) e 2πik x dx Q n n = f(x + m) e 2πik x dx = f(y) e 2πik y dy n Q n n Q n+m = f(y) e 2πik y dy = f(k), R n onde troc entre integrl e som é justificd por (2.2). Temos portnto que S[F ](x) = f(k) e 2πik x. k Z n

6 EMANUEL CARNEIRO Cso f e f tenhm um decimento bem controldo (não pens no sentido integrl L 1, ms digmos em um sentido pontul) poderemos estbelecer convergênci em todo ponto. Teorem 5 (Fórmul d som de Poisson). Suponh que f e f stisfçm s estimtivs pontuis f(x) C (1 + x ) n+ε e f(ξ) C, (2.3) (1 + ξ ) n+ε pr lgum C > 0 e lgum ε > 0 (portnto podemos ssumir f e f contínus pel inversão de Fourier). Então identidde f(x + m) = f(k) e 2πik x n k Z n é válid pr qulquer ponto x. Em prticulr f(m) = f(k). n Prov. Por (2.3) s soms prciis S N = m N k Z n f(x + m) convergem uniformemente pr x Q n e portnto F (x) = n f(x + m) define um função contínu em. Aind por (2.3) temos que { F (k)} = { f(k)} k Z n l 1 (Z n ), e o resultdo segue portnto d Proposição 2 (iii). 3. Convergênci de séries de Fourier Nest seção investigremos mis fundo questão d convergênci d série de Fourier S[f](x) = k Z n f(k) e 2πik x, onde f L 1 ( ). Já vimos que se f l 1 (Z n ), temos S[f](x) = f(x) q.t.p. Nos csos onde f / l 1 (Z n ), deveremos introduzir um certo núcleo pr forçr o decimento, e prtir dí continur nálise d convergênci nesse novo contexto. Em outrs plvrs, estudremos qui o limite lim Φ(εk) f(k) e 2πik x, (3.1) ε 0 k Z n onde Φ é um cert função contínu (com bom decimento) tl que Φ(0) = 1. Um procedimento similr já foi dotdo no cso R n, onde vimos conexão deste método com teori de proximções d identidde. Motivdos tmbém pel descrição d Fórmul d som de Poisson n seção nterior, considerremos qui um função Φ tl que Φ(y) = ϕ(y) com ϕ(x) dx = 1, (3.2) R n

SÉRIES DE FOURIER 7 e lém disso vmos supor que mbs s funções possuem bom decimento ϕ(x) pr lgum C > 0 e lgum δ > 0. C C (1 + x ) n+δ e Φ(y), (3.3) (1 + y ) n+δ Teorem 6. Suponh que Φ stisfç s condições (3.2) e (3.3) cim. Sej f L p ( ) e S[f](x) = k Z n f(k) e 2πik x. Então temos (i) Se 1 p <, o limite (3.1) converge pr f n norm L p ( ). (ii) Se f C( ), o limite (3.1) converge pr f uniformemente. (iii) Se f L 1 ( ), o limite (3.1) converge pontulmente pr f em cd ponto de Lebesgue de f. Prov. Assim como n teori de proximções d identidde, escreveremos ϕ ε (x) := ε n ϕ(x/ε), e denotremos Φ ε (y) := Φ(εy). Observe que ϕ ε = Φ ε. Além disso, fixdo ε > 0, por (3.3), s funções ϕ ε e Φ ε stisfzem s condições do Teorem 5 pr que vlh Fórmul d som de Poisson pontulmente: ϕ ε (x + m) = Φ(εk) e 2πik x. n k Z n Denotndo periodizção de ϕ ε por K ε (x) = n ϕ ε (x + m), vemos que K ε é um função contínu em. Dí f K ε C( ) e vle inversão de Fourier pontulmente f K ε (x) = k Z n Φ(εk) f(k) e 2πik x. Note ind que K ε (x) dx e lém disso Q n ϕ ε (x + m) = n ϕ ε (x) dx = R n ϕ(x) dx, R n (3.4) K ε (x) dx = ϕ(x) dx = 1. R n (3.5) Podemos concluir os itens (i) e (ii) por dois rgumentos diferentes. Primeiro, podemos explorr (3.5) e o fto que ddo η > 0, se denotmos B η bol de centro n origem e rio η, temos lim K ε (x) dx = 0. ε 0 Q n B η pr reproduzir o rgumento utilizdo n teori L p ds proximções d identidde. Alterntivmente, por (3.4) e pel desiguldde de Young temos e com isso vemos que o operdor T ε : f f K ε Lp ( ) f Lp ( ) K ε L1 ( ), (3.6) k Z n Φ(εk) f(k) e 2πik x

8 EMANUEL CARNEIRO é uniformemente limitdo de L p ( ) de L p ( ). Por (3.2) sbemos ind que, pr k Z n, vle lim Φ(εk) = 1. ε 0 Portnto, se f for um polinômio trigonométrico, temos que T ε f f uniformemente qundo ε 0. Cso f C( ) ou f L p ( ), podemos proximr f por polinômios trigonométricos e, utilizndo limitção uniforme (em ε) dd por (3.6), concluímos s prtes (i) e (ii). Pr prte (iii), pens trnsldndo f podemos supor que o ponto de Lebesgue considerdo é o ponto x = 0 Q n. Provemos então que f K ε (0) f(0) qundo ε 0. Pr isso observe que ( ) f K ε (0) = f( x) K ε (x) dx = f( x) ϕ ε (x + m) dx Q n Q n n = f( x) ϕ ε (x) dx + f( x) ϕ ε (x + m) dx Q n Q n := A ε + B ε. Note que por (3.3) temos ϕ ε (x + m) 1 ε n pr x Q n e m Z n /{0}. Dí m >0 ϕ ε (x + m) Cε δ m >0 C ( 1 + x+m ε ) n+δ m >0 1 Cεδ x + m n+δ m >0 Cε δ x + m n+δ, 1 ( m 1 2 ) n+δ = C 1 ε δ, e com isso concluímos que B ε 0 qundo ε 0. Pr bordr A ε definimos Note então que A ε = R n f(x) = { f(x), se x Qn ; 0, se x / Q n. f( x) ϕε (x) dx = f ϕ ε (0) f(0) = f(0), qundo ε 0, pelo teorem d convergênci pontul pr proximções d identidde. Isso conclui prov. Dois exemplos que podemos considerr qui são: (i) Φ(y) = e 2π y que dá origem sombilidde no sentido de Poisson (ou Abel-Poisson); (ii) Φ(y) = e π y 2 que nos dá sombilidde no sentido de Guss-Weierstrss.

SÉRIES DE FOURIER 9 4. Convergênci no cso n = 1 Nest seção presentmos um refinmento do resultdo de convergênci pontul no cso de dimensão n = 1. Pels Proposições 1 e 4 sbemos que se f C 1 (T), então s soms prciis de su série de Fourier convergem pr f em todo ponto. Vmos enfrquecer ess hipótese pr f de vrição limitd. Apens recordndo notção, pr f L 1 (T), definimos N-ésim som prcil de su série de Fourier como N N 1 S N f(x) = f(k) e 2πikx = f(y) e 2πik(x y) dy = N 1 0 f(y) N 0 N e 2πik(x y) dy = f D N (x), N onde D N é o núcleo de Dirichlet ddo por D N (x) = N e 2πikx = N sin (2N + 1)πx. sin πx Teorem 7. Sej f um função de vrição limitd em T (i.e. periódic em R, com vrição limitd em [ 1/2, 1/2]), então lim S Nf(x) = 1 ( f(x + ) + f(x ) ), N 2 um função pr todo x T. Em prticulr convergênci se dá em todo ponto de continuidde de f. Fremos o uso de dois lems pr prov deste resultdo. Lem 8. Sejm Φ e ψ dus funções reis no intervlo finito [, b]. Suponh que Φ é monóton e limitd em [, b] e ψ é contínu em [, b]. Então existe y [, b] tl que b y b Φ(x) ψ(x) dx = Φ() ψ(x) dx + Φ(b) ψ(x) dx. y Prov. Note que se dicionmos um constnte C à função Φ o resultdo fic inlterdo, e portnto podemos supor que Φ() = 0. Assum tmbém que Φ é não-decrescente (cso contrário considere Φ). Defin Ψ(x) = b x ψ(t) dt. Deste modo temos Ψ (x) = ψ(x) e usndo integrção por prtes temos b Φ(x) ψ(x) dx = [ Φ(x)Ψ(x) ] b b + Ψ(x) dφ(x). Como Φ é não-decrescente e b dφ(x) = Φ(b) Φ() = Φ(b), se m e M são o mínimo e o máximo, respectivmente, de Ψ em [, b] temos m Φ(b) b Ψ(x) dφ(x) M Φ(b).

10 EMANUEL CARNEIRO Como Ψ é contínu, pelo teorem d vlor intermediário, existe y [, b] tl que e isso conclui prov. b Ψ(x) dφ(x) = Ψ(y)Φ(b), Lem 9. Existe um constnte C > 0 tl que pr cd N 0 e qulquer [, b] [ 1/2, 1/2] temos b D N (x) dx C. Além disso temos Prov. Note que b D N (x) dx = b 0 1/2 D N (x) dx = sin (2N + 1)πx πx dx + 1/2 0 b D N (x) dx = 1 2. sin ( (2N + 1)πx ) { 1 sin πx 1 } dx πx Como { 1 sin πx πx} 1 é limitdo em [ 1/2, 1/2] segund integrl cim é bsolutmente limitd. Por outro ldo, com mudnç de vriável y = (2N + 1)πx temos b sin (2N + 1)πx πx dx = (2N+1)πb (2N+1)π sin y πy dy = 1 π { Si (2N + 1)πb Si (2N + 1)π }, onde x sin y Si(x) = dy. 0 y Sbemos que Si(x) é um função contínu que tende ±π/2 qundo x ±, e portnto Si(x) é limitd. Isso conclui prov d primeir firmção. Pr segund firmção note que 1/2 N 1/2 D N (x) dx = e 2πikx dx = 1, 1/2 e que D N é um função pr. N Prov do Teorem 7. Começmos por fzer lgums reduções: (i) Assum x = 0 (trnslção); (ii) Assum f tomndo vlores reis (considere prte rel e prte imginári seprdmente); (iii) Assum f contínu pel direit (i.e. f(x) = f(x + )). Sendo ssim, no intervlo [ 1/2, 1/2) podemos escrever f = g h onde g e h são funções não-decrescentes e contínus pel direit. Pr isso tome g(x) = 1 { V f[ 1/2,x] + f(x) } 2 e 1/2 h(x) = 1 2 { V f[ 1/2,x] f(x) }.

SÉRIES DE FOURIER 11 Podemos estender esss funções R por periodicidde. É suficiente provrmos o resultdo pr g (pois o mesmo rgumento se plic h). Devemos então verificr que S N g(0) 1 2 { g(0 + ) + g(0 ) }, qundo N. Pelo Lem 9, como D N é pr temos S N g(0) 1 { g(0 + ) + g(0 ) } = g D N (0) 1 { g(0 + ) + g(0 ) } 2 2 1/2 [ = g(x) g(0 + ) ] 0 [ D N (x) dx + g(x) g(0 ) ] D N (x) dx. 0 := I 1 + I 2. 1/2 Mostrremos que integrl I 1 tende zero qundo N. Um rgumento similr mostr o mesmo pr I 2 e o resultdo fic provdo. De fto, ddo ε > 0, escolh δ > 0 suficientemente pequeno tl que g(δ) g(0 + ) < ε C, onde C é dd pelo Lem 9. Agor, pelo Lem 8 existe η [0, δ] tl que δ [ g(x) g(0 + ) ] D N (x) dx = [ g(δ) g(0 + ) ] δ D N (x) dx < ε. 0 Por outro ldo 1/2 δ [ g(x) g(0 + ) ] D N (x) dx = ĝ + ( N) ĝ (N), onde g ± são s funções periódics dds por η [ g(x) g(0 + ) ] e ±πix g ± (x) = 2i sin πx pr x [ 1/2, 1/2). Isso segue do fto que χ [δ,1/2) (x), D N (x) = eπix(2n+1) e πix(2n+1) e πix e πix. Observe que g ± L 1 (T), logo pelo Lem de Riemnn-Lebesgue temos ĝ ± (±N) 0 qundo N e portnto 1/2 [ lim sup g(x) g(0 + ) ] D N (x) dx N < ε. 0 Como ε > 0 é rbitrário, concluímos prov. Diremos que um função de vrição limitd é normlizd se f(x) = 1 { f(x + ) + f(x ) } 2 pr todo x R.

12 EMANUEL CARNEIRO Teorem 10 (Fórmul d som de Poisson cso n = 1). Sej f L 1 (R) um função normlizd de vrição limitd. Então vle f(k) e 2πikx pr todo ponto x R. f(x + m) = k Z Prov. Sej F (x) = f(x + m). Sbemos que F L1 (T), pois f L 1 (R). Sej x 0 [ 1/2, 1/2) um ponto onde som é bsolutmente convergente (em prticulr F (x 0 ) < ). Pr qulquer outro ponto x [ 1/2, 1/2), digmos x > x 0, diferenç f(x + m) f(x 0 + m) é menor ou igul à vrição de f no intervlo [x 0 + m, x + m], e som destes incrementos é portnto menor ou igul à vrição totl de f. Portnto f(x + m) f(x 0 + m) + f(x + m) f(x 0 + m) f(x 0 + m) + V f <, donde concluímos que som é bsolutmente convergente pr todo x T. Note gor que, pr qulquer prtição 1/2 = 0 < 1 <... < k = 1/2, temos k k { F ( i ) F ( i 1 ) = f(i + m) f( i 1 + m) } i=1 i=1 i=1 k f(i + m) f( i 1 + m) V f, e portnto F tem vrição limitd. Finlmente, como f é normlizd, temos pr cd ponto x [ 1/2, 1/2) 1 { } 1 { } lim F (x + ε) + F (x ε) = lim f(x + ε + m) f(x ε + m) ε 0 2 ε 0 2 = 1 2 lim { } f(x + ε + m) f(x ε + m) ε 0 = f(x + m) = F (x), onde usmos o teorem d convergênci domind pr pssr o limite dentro visto que, se ε < 1/2, temos f(x + ε + m) f(x + m) + V f [x+m,x+m+1/2] e f(x ε + m) f(x + m) + V f [x+m 1/2,x+m]. Portnto F é normlizd e o resultdo segue do Teorem 7. Referêncis [1] W. Beckner, Inequlities in Fourier Anlysis, Ann. Mth. 102 (1975), 159 182. [2] G. B. Follnd, Rel Anlysis: Modern Techniques nd their Applictions, John Wiley nd Sons Inc., 1999. [3] L. Grfkos, Clssicl nd Modern Fourier Anlysis, Person Eduction Inc., 2004.

SÉRIES DE FOURIER 13 [4] E. H. Lieb nd M. Loss, Anlysis, Grdute Studies in Mthemtics, Volume 14, 2nd edition, Americn Mthemticl Society, 2001. [5] E. M. Stein, Singulr Integrls nd Differentibility Properties of Functions, Princeton University Press, 1970. [6] E. M. Stein, Hrmonic Anlysis, Princeton University Press, 1993. [7] E. M. Stein nd G. Weiss Introduction to Fourier Anlysis on Eucliden spces, Princeton University Press, 1973. [8] E. M. Stein nd R. Shkrchi, Rel Anlysis: Mesure theory, Integrtion nd Hilbert Spces, Princeton Lecture Series in Anlysis III, Princeton University Press, 2005. [9] R. L. Wheeden nd A. Zygmund, Mesure nd Integrl, Monogrphs nd textbooks in pure nd pplied mthemtics, Mrcel Dekker, Inc., New York, 1977. [10] A. Zygmund, Trigonometric Series, Vol II, Cmbridge University Press, 1959. IMPA - Estrd Don Cstorin, 110, Rio de Jneiro, RJ, Brzil 22460-320 E-mil ddress: crneiro@imp.br