ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1
DEFINIÇÃO LOGARITMOS = os(rzão) + rithmos(números) Sejm e números reis positivos diferentes de zero e 1. Chm-se ritmo de n se o expoente x tl que x = : = x x = N sentenç = x temos: ) é o ritmndo; ) é se do ritmo; c) x é o ritmo de n se. Exemplos: ) 5 25 é o expoente x tl que 5 x = 25. Temos: 5 x = 25 5 x = 5 2 \ x = 2. Assim, 5 25 = 2. ) 9 1 é o expoente x tl que 9 x = 1. Temos: 9 x = 1 9 x = 9 0 \ x = 0. Assim, 9 1= 0. CAMPO DE EXISTÊNCIA OU DOMÍNIO ) A se tem de ser um número rel positivo e diferente de 1.(>0 e 1) ) O ritmndo tem de ser um número rel positivo. ( >0) Oservção : ) Qundo se não vier express, fic suentendido que est vle 10. São os chmdos ritmos decimis ou de Brigs. Exemplos: 2 = 10 2 3 = 10 3 ) Temos tmém os chmdos ritmos neperinos (John Npier), se desses ritmos é o número irrcinonl e = 2,71828... Exemplos: e 2 = ln 2 e 3 = ln 3 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sendo >0,>0 e 1 e m um número rel qulquer, temos seguir lgums consequêncis d definição de ritmo: =1 1 = 0 m = m = c = c = 2
Exemplos: ) 8 8 = 1 ) 9 1 = 0 c) 3 3 4 = 4 x = 3 e) 7 7 13 = 13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Clcule o vlor expressão S = 3. 0,001 + 2. 1/3 9 5 625. 2) Encontre o domínio ( cmpo de existênci ) ds funções: ) y = 3 ( 2x 8 ) ) y = x 4 10 c) f(x) = x (x+1) 3) Sendo que 2 = 10 0,301 e 7 = 10 0,845, clcule 1,4. 4) Ddos 2 = 0,301 e 5 = 0,699, resolv equção 2 x = 5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS ) Logritmo de um produto: (m. n) = m + n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < 1. Exemplo: 2 (4. 3) = 2 4 + 2 3 ) Logritmo de um quociente: = m n, sendo m > 0, n > 0 e 0 < 1. Exemplo: 3 = 3 8 3 7 c) Logritmo de um potênci m n = n. m, sendo m > 0, n e 0 < 1. Cso prticulr: n m = = Exemplo: m n m. n 3
d) Coritmo Chmmos de coritmo de um número positivo num se (>0, 1) e indicmos co o ritmo inverso desse número n se. co = 1 (>0, 1 e >0) Como 1 = 1 = 0 =, podemos tmém escrever : co EXEMPLO: = co 2 4 = - 2 4 = -2 e) Mudnç de se Em lgums situções podemos encontrr no cálculo vários ritmos em ses diferentes. Como s proprieddes rítmics só vlem pr ritmos num mesm se, é necessário fzer, ntes, conversão dos ritmos de ses diferentes pr um únic se conveniente. Ess conversão chm-se mudnç de se. Pr fzer mudnç de um se pr um outr se c us-se: = c c EXEMPLO Pssndo pr se 5, 2 7, temos: 2 7 = 5 5 7 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Ddos 2 = 0,301 e 3 = 0,477. Clcule: ) 6 ) 5 c) 2,5 d) 7,2 e) 2) Sendo = 4, = 6 e c = -1, clcule. 3) Encontre o vlor de m,sendo que m = 3. 2 + 5 4. 4) Sendo = 0,3 e 3 = 0,4, clcule 2 6 4
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS São s equções que presentm incógnit envolvid com ritmos. Pr resolver equções rítmics, devemos plicr s proprieddes e, em seguid, verificr se os vlores otidos pr incógnit estão de cordo com s condições de existênci estelecids. Exemplo: Resolver equção 2 x + 2 2x = 3. Solução: Condições de existênci: Aplicndo propriedde do ritmo do produto, e definição de ritmo, temos: 2 x + 2 2x = 3 2 (x. 2x) = 3 2 2x 2 = 3 2 3 = 2x 2 8 = 2x 2 x 2 = 4 x = 2 ou x = -2 Testndo os vlores otidos ns condições de existênci estelecids, verificmos que 2 não stisfz o cmpo de existênci. Logo: V = {2} FUNÇÃO LOGARÍTMICA É tod função f: *+ que ssoci cd x o ritmo, n se, de x: f(x) = x Exemplos: ) f(x) = 3 x ) g(x) = 1/3 x Gráficos d função rítmic ) Função crescente ( > 1) 5
) Função decrescente (0 < < 1) Oservções: ) O gráfico d função rítmic pss sempre pelo ponto (1,0). ) O gráfico nunc toc o eixo y e não ocup pontos dos qudrntes II e III. c) Qundo > 1, função rítmic é crescente, pois: x 1 > x 2 x 1 > x 2 d) Qundo 0 < <1, função rítmic é decrescente, pois: x 1 > x 2 x 1 < x 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Constru o gráfico e clssifique s funções em crescente e decrescente: ) f(x) = x ) y = x 2) Oserve o gráfico seguir. Nesse gráfico está representdo o gráfico de f(x)= x. Clcule o vlor de f(1/27). EXERCICIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Clcule: ) 3 27 resp: 3 ) 5 125 resp: 3 c) 10000 resp: 4 d) ½ 32 resp: -5 d) 0,01 resp: -2 e) 2 0,5 resp: -1 f) 4 32 resp: 5/4 g) 0,5 16 resp: -4 6
2) Clcule o vlor de : ) 81= 4 resp: 3 ) 4= -2 resp: -2 c) 1/3=-1 resp: 3 d) 8=3 resp: 2 3) Clcule o vlor de S: ) S = 2 1024 + 1/5 625 resp: 6 ) S = 4. 2 2-6. 0,001+2. 1/3 1/27 resp: 14 4) Determine o domínio ds funções: ) y = (-x 2 +5x-4) resp: D={x R/ 1<x<4} ) y = x-5 10 resp: D={x R/ x>5 e x 6} c) y = x-2 (x 2-4x-5) resp: D={ x R/ x >5} d) y = 2 (x 2-4) resp: D={x R/x<-2 ou x>2} e) y = 3x-5 2 resp: D = { x R/ x>5/2 e x 2 f) y = x (x 2-4) resp: D = { x R/ x > 2} 5) Sendo que equção pr otenção d mgnitude de um terremoto é dd por M s = (Af )+3,30, em que A é mplitude d ond e f freqüênci. Clcule: ) mgnitude de um terremoto com mplitude de 1000 mícrons e 0,1 Hz de freqüênci. resp: 5,3 n escl Richter ) mplitude registrd no sismógrfo pr um terremoto de 6,3 n escl Richter com freqüênci de 1 Hz. resp: 1000 mícrons 6) Resolv s equções: Use 2 = 0,3, 5 = 0,7 e 7 = 0,8 ) 4 x = 25 resp: 2,83 ) 5 x = 343 resp: 3,43 c) 10 x = 70 resp: 1,8 7) Ddos 2 = 0,30, 3 = 0,48 e 5 = 0,70, clcule: ) 15 resp: 1,18 ) 20 resp: 1,3 c) 0,0002 resp: -3,7 d) 30000 resp: 4,48 d) 500 resp: 2,7 f) 18 resp: 1,26 g) 72 resp: 1,86 h) 14,4 resp: 1,16 8) Clcule o vlor d expressão A = 2. 5 + 20 5. resp: 2 9) Sendo que 2 = 0,3, 3 = 0,5 e 5 = 0,7. Clcule: ) Log 215 resp: 4 ) Log 630 resp: 15/8 10) Resolv s equções: ) 2 (2x+5) = 2 7 resp: 1 ) 2 (3x 1 ) = 4 resp: 17/3 c) ( 4 x) 2-3. 4 x 4 = 0 resp: ¼ e 256 d) 3 (x + 1) + 3 (x 1) = 1 resp: 2 e) 2 ( 3x + 5) 2 (2x 1) = 3 resp: 1 f) ( 2x + 3 ) + ( x + 2 ) = 2 x resp: g) 3 x + x 3 = -2 resp: 1/3 h) x = 25 + colg 5 + 2 resp: 10 7
11) (UNESP) Num fáric, o lucro origindo pel produção de x peçs é ddo, em milhres de reis, pel função L(x) = ( 100 + x ) + k, com k constnte rel. ) Sendo-se que não hvendo produção não há lucro, determine k. resp: - 2 ) Determine o número de peçs que é necessário produzir pr que o lucro sej igul mil reis. resp: 900 12) Constru o gráfico ds funções e clssifique-s em crescente ou decrescente. ) y = x 1 3 ) f(x) = 5 x Biliogrfi: Curso de Mtemátic Volume Único Autores: Binchini&Pccol Ed. Modern Mtemátic Fundmentl - Volume Único Autores: Giovnni/Bonjorno&Givnni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicções Volume Único 8