Análise Mtemátic I - 6/7 Y rcsen y - A unção rcos tem como domínio [, ] e como A unção rcsen tem como domínio [, ] contrdomínio,. e como Y rccos y - A unção rccos tem como domínio [, ] contrdomínio [, ]. e como 3ª ul teóric Pá. 3
Análise Mtemátic I - 6/7 Y rct y A unção rct tem como domínior e como contrdomínio,. 3ª ul teóric Pá. 4
Análise Mtemátic I - 6/7.4- Limites e continuidde de unções. De. Deinição de Limite : D R um unção, R um ponto de cumulção D diz-se que tende pr b qundo tende pr ou b se : { } V > ε > Vε D \ b b b b ε ε De.. Dd um unção : A B e A, diz-se que tem ite ininito com sinl positivo ou com sinl netivo se ou De..3 Diz-se que é um ininitmente pequeno qundo ou qundo se ou Eemplos: 4 b 3ª ul teóric Pá. 5
Análise Mtemátic I - 6/7 Teorem.4 Se é ininitmente pequeno qundo então tende pr ininito qundo. Teorem.5 Suponmos um ininitmente pequeno e z itd qundo, então z é um ininitmente pequeno qundo. Eemplos: sen sen tenção! Teorem.6 Sejm,,..., n unções tis que k k, com k,,,n,então:... n... n Teorem.7 Sejm,,..., n unções tis que, com k,,,n, então: k k... n... n... n Eemplo: sen cos cot Teorem.8 Sejm u e v, se v, u u v v 3ª ul teóric Pá. 6
Análise Mtemátic I - 6/7 Eemplo: Solução:/e sen Teorem.9 Sejm u, v, z tis que u v z e u z b. Então: v b Teorem. Sejm u, v, unções tis que u v então u v. Not: ln ln c c De.. Sej : A R um unção e A. Diz-se que é continu no ponto se: Eemplo: Estude continuidde d unção seuinte: se se < De.. Se um unção é deinid em um intervlo ecdo [, b], então é contínu em [, b] se é continu em ], b[ e se, lém disso, e b b 3ª ul teóric Pá. 7
Análise Mtemátic I - 6/7 De..3 Sej : D R um unção e I A num intervlo berto. Diz-se que é continu em I se é continu em todo o I. De..4 Sej : D Rum unção. Diz-se que é descontinu em ou que é um ponto de descontinuidde se ou se D. Eemplos: sen b sol. : descont. de ª espécie b descont. de ª espécie Not: Alums indeterminções:,,,,,,,.5-teorem de Weierstrss. Teorem de Bolzno. Teorem.5 Teorem de Weierstrss Sej : I D, onde I é um intervlo ecdo I [, b] e um unção contínu em I. Então tine um vlor máimo e um vlor mínimo. Obs. I tem um vlor máimo isto é M I tl que y M, y I I tem um vlor mínimo isto é m I tl que y m, y I Teorem.6 Teorem de Bolzno Sej : I R um unção contínu, I [, b], < b tl que b então ddo c entre e b eiste I tl que c 3ª ul teóric Pá. 8
Análise Mtemátic I - 6/7 Corolário.7 Sej : I R um unção contínu, I [, b], < b, e m, M o vlor mínimo e máimo tinido pel unção. Então tom todos os vlores entre m e M. Not: Onde se procur o máimo e o mínimo de um unção num intervlo ecdo? Nos etremos locis e nos ites do intervlo..6. Derivção.3. Derivd de um unção. Interpretção Geométric. De..8 Sej : D R e intd, cm-se rzão incrementl d unção no ponto, à unção P. Se eistir P, esse ite desin-se derivd d unção. no ponto com ou Interpretção eométric de derivd num ponto Qundo, o declive d rect PQ vi proimndo-se do declive d rect tnente à curv no ponto P. P Q b 3ª ul teóric Pá. 9
Análise Mtemátic I - 6/7 é o declive d rect PQ Qundo, o declive vi-se proimndo do declive d rect tnente à curv no ponto P. A derivd de um unção num ponto P corresponde o declive d tnente o ráico nesse ponto. Note: Um unção tem derivd no ponto sse nesse ponto eistem mbs s derivds lteris e têm o mesmo vlor. Um unção pode ser contínu num ponto onde não ten derivd; continuidde nem sequer rnte eistênci de derivds lteris, como se pode ver no eemplo seuinte: sen se se Que é contínu em R e cuj derivd no ponto zero não eiste, pois sen este ite não eiste Rers de derivção Eemplos:. Sendo : D R, um unção constnte c clcule derivd de num ponto qulquer utilizndo deinição. c c. Clcule derivd de num ponto qulquer 3ª ul teóric Pá.
Análise Mtemátic I - 6/7 3. sen sen cos sen cos cos α β α β note: senα senβ sen cos Teorem.9 Se eiste e é init, é contínu em. Obs. Utilizmos com requênci " é dierenciável no ponto " com o mesmo siniicdo de " tem derivd init no ponto ". Se eiste e é init cm-se tnente o ráico no ponto P,, à rect que pss por este ponto e tem declive iul, isto é rect de equção y. De..3 Sendo : D R, deine-se pr todos os intd onde é dierenciável, um nov unção, que se desin requentemente D, d d ou cso se ten posto y por dy ou y. d 3ª ul teóric Pá.
Análise Mtemátic I - 6/7 3ª ul teóric Pá. Teorem.3 Se e são dierenciáveis no ponto, s unções, - e são tmbém dierenciáveis no ponto e : b c d [ ] dmitindo que Demonstrção: c