// Aul : Revisão de Probbilidde e sttístic Prof. Leonrdo Menezes Tóicos em Telecomunicções Sumário O que é esttístic O que é robbilidde Vriáveis letóris Distribuição de Probbilidde Alicções Mementos O que é esttístic sttístic é o estudo de ddos Colet Orgnizção Análise Interretção Aresentção O que signific isso? sttístic tent fzer estbelecer râmetros rtir dos ddos que são coletdos
// O que é esttístic Colet Como devo coletr os ddos Qunts mostrs são necessáris Que informção eu osso etrir dest colet Qul é o erro que tenho o ssumir que informção etríd é informção verddeir. O que é esttístic emlo : ª Guerr Mundil os lidos recisvm determinr o número de tnques dos lemães. Ao cturr tnques lemães eles encontrrm um número de série em cd um deles A rtir destes números, eles estimrm quntos tnques lemães tinhm sido roduzidos. O que é esttístic Pergunt: Quntos tnques lemães form roduzidos em ddo no? este cso: A colet e quntidde de mostrs foi esecificd eternmente O que flt: A informção que osso etrir desses ddos O erro que tenho o ssumir que informção etríd é informção verddeir
// O que é esttístic? Ddos: tnques form cturdos úmeros de série dos tnques cturdos: 39, 3, 5, 9, 9, 5, 36, 8, 5, 3. Deois vmos voltr este roblem. O que é esttístic emlo : Queremos sber referênci de form de deslocmento r UnB. As oções são: Somente de crro Outros Pergunt: Qunts essos usm somente crro r vir UnB? Deois voltmos este roblem... O que é robbilidde Probbilidde é o estudo de fenômenos letórios Us informções do conjunto de totl ddos r obter estimtivs r mostrs (muito imortnte em esttístic) É fundção mtemátic d esttístic: Somente com robbilidde é que conseguimos resonder s ergunts formulds nos dois eemlos. 3
// O que é robbilidde ntão se queremos diferencir robbilidde de esttístic: Probbilidde us informções do conjunto comleto de ddos r estimr informções em mostrs sttístic us informções de mostrs r estimr informções do conjunto comleto de ddos. relidde, recismos ds dus n nálise de ddos. O que é robbilidde A robbilidde está mis ligd chnce. Ms com este râmetro ermite estimr outros emlo 3: Moed honest (cr ou coro). Qul é chnce de obter 3 crs e 3 coros em 6 jogds d moed? emlo : Moed desonest (6% cr e % coro). Qul é chnce de obter 3 crs e coros em 5 jogds d moed? Deois voltmos estes roblems O que é robbilidde Pr definirmos esttístic de um eerimento (ou teste), recismos definir ntes o conjunto de todos os resultdos ossíveis deste eerimento. ste conjunto é chmdo de esço mostrl {A} Qulquer subconjunto de {A} é chmdo de evento A robbilidde de ocorrênci do evento {B} ( que é um subconjunto de eventos letórios ertencente A) é um número rel que reresent chnce de ocorrênci de A
// O que é robbilidde o cso de um coleção de eventos: Temos que, se os mesmos forem disjuntos ntão B A A... Ai A j P {} A B P j A j O que é robbilidde Com ests informções odemos começr entender robbilidde rtir de um cso mis róimo noss relidde: um moed. sço mostrl de A : Cr {} e Coro {} Cr e Coro são eventos disjuntos e comõem todo o esço mostrl {} Portnto: P P P P O que é robbilidde Voltemos o emlo 3: Moed honest (cr ou coro). Qul é chnce de obter 3 crs e 3 coros em 6 jogds d moed? Como moed é honest, então chnce de obter cr é igul de obter coro, logo: P( cr) q q P( coro) q q 5
// O que é robbilidde O róimo sso é listr tods s chnces de contecimento Como jogr s moed não fet s robbiliddes (els não se lterm cd jogd), então 6 jogds equivlem : q q q q q q 6 q 6 5 6 q 5 q 6 3 q 6 5 5 6 3 5 q 5 6 q q 6 O que é robbilidde Portnto chnce de obter 3 crs e 3 coros em 6 jogds d moed é 3 q 3 6.35 Com bse neste resultdo odemos encontrr resost o eemlo : Moed desonest (6% cr e % coro). Qul é chnce de obter 3 crs e coros em 5 jogds d moed? O que é robbilidde este cso, como moed é não honest, então s chnces são fornecids: 6 P( cr) P( coro) q Listndo s ossibiliddes q q q q q 5 q 5 3 5 q q 65 q 5q q 36 6 8 3 3 5 6
// O que é robbilidde Portnto chnce de obter 3 crs e coros em 5 jogds d moed é 3 q 6.356 65 ote que chve é encontrr s robbiliddes dequdmente reresentds Vriáveis Aletóris Ms o invés de simlesmente nomer eventos (Cr ou Coro), odemos ssocir números estes eventos Por eemlo: Cr = & Coro = (ou vice-vers) Ao fzermos isto, estmos ssocindo vriáveis letóris eventos. Isto mlirá em muito reresentção de chnce. Vriáveis Aletóris Assim como odemos ssocir um número o evento () tmbém odemos reresentr robbilidde, no cso de Cr {=} ou Coro {=} como: P P P ( cr) P ( coro) P q q 7
// Vriáveis Aletóris As vriáveis letóris odem ser contínus (tmbém descontínus) ou discrets As discrets ssumem vlores bem definidos P Y As contínus tem su robbilidde definid or intervlos P Y P Vriáveis Aletóris o cso ds vriáveis letóris (VA) contínus, há um memento entre os números reis e s vriáveis de modo que: Se ntão P Y PY ste mesmo rciocínio é licdo r VA discret Distribuição de Probbilidde Dest form odemos definir função de distribuição de robbilidde cumuld F() (tnto r VA contínu qunto discret): F P F F F F lim lim 8
// Distribuição de Probbilidde Aesr do conceito de robbilidde oder ser usdo tnto r o cso de VA contínu qunto discret É mis simles entender robbilidde trvés de VA discret A robbilidde de um evento ocorrer em n tenttivs é lim n n n Distribuição de Probbilidde Isto quer dizer que robbilidde é dd el rzão do número de vezes que ocorreu sobre o número totl de tenttivs st bordgem é chmd de frequentist (em oosição bordgem besin). o cso contínuo odemos definir função densidde de robbilidde como df d Distribuição de Probbilidde Há váris densiddes de robbiliddes conhecids. o cso de um vriável letóri temos s mis conhecids: orml (ou Gussin) e Uniforme b b c. c 9
// Distribuição de Probbilidde Distribuição orml Distribuição de Probbilidde Distribuição Uniforme (contínu) Distribuição de Probbilidde Distribuição Uniforme (discret)
// Distribuição de Probbilidde Atrvés ds distribuições de robbilidde estimr regiões de mior robbilidde Bsicmente este é o conceito dos intervlos de confinç Isto é mis fácil de entender n distribuição de robbilidde uniforme contínu A Função distribuição é F b Distribuição de Probbilidde ote que odemos clculr robbilidde do onto estr em determindo intervlo (or eemlo de ) P P b b b Distribuição de Probbilidde Centrndo em torno d médi e fzendo ontos equidistntes d médi odemos encontrr os intervlos de confinç P b b P P P Podemos tmbém definir em função do desvio drão P P 3 P P
// A rtir do conhecimento d definição, odemos encontrr os momentos d distribuição Podem ser uros (não centrdos) ou centris (centrdos) Os momentos centris são medidos com relção médi. Os momentos tem lgums rorieddes úteis: b b O momento de ordem é ddo or o cso discreto temos vriáveis discrets n i lim n i i i n i i o cso contínuo temos vriáveis contínus d i i i
// O momento de ordem zero é semre i i i i i d d O rimeiro momento é médi d distribuição (mesm equção d médi onderd) i i i i i i d d Os momentos seguintes são definidos em termos dos momentos centris Temos Vriânci ordem Sewness (distorção) ordem 3 Kurtosis (curtose) ordem vr 3 3
// Vriânci: Sewness: Kurtosis:
// 5 A relção d vriânci com os momentos uros: vr A vriânci d som de dus vriáveis letóris cov vr vr vr turlmente, se Ou sej covriânci entre s vriáveis é nul. ntão Se covriânci é nul, ests vriáveis são dits não correlcionds vr vr vr cov
// Se dus vriáveis são não correlcionds então, emlo 5. Um divisor de tensão entre dois resistores, tem que um deles é um VA de distribuição uniforme entre e W. O outro, onde tensão é medid tmbém é um VA de distribuição uniforme entre e W. As dus VAs não tem correlção. Qul é médi e o desvio drão d tensão? Voltremos este eemlo deois Ms o que signific vriânci? Usndo nlogi de circuitos Consideremos jnel de temo de T como um distribuição uniforme t T t T c. c A noss vriável letóri será tensão nos terminis de um resistor R Portnto T T v t vt dt VDC t vt it v t V T RMS dt T T t v R V dt T R RMS 6
// Portnto O rimeiro momento uro equivle o vlor DC v t VDC O segundo momento uro é equivlente o qudrdo do vlor RMS. v t V RMS Com isso odemos ensr no segundo momento centrl como A energi do sinl for do vlor médio (DC), ou sej, um form de disersão do sinl. Se o segundo momento for zero energi está tod concentrd n médi A medid que o momento ument, mis energi estrá eslhd o redor d médi A riz qudrd d vriânci é chmd de desvio drão v t V v t v t V RMS V DC DC W médio W DC Primeiros momentos ds distribuições contínus resentds orml Uniforme b b b 7
// Ligndo robbilidde e esttístic Vmos considerr que form retirdos mostrs de um distribuição com médi e desvio. st distribuição ode ter um densidde de robbilidde riori desconhecid. Agor temos ddos o invés de ligções mtemátics bstrts. Como odemos sber quis os momentos d distribuição ds mostrs? Sbemos que O que temos é:,...,, stes form obtidos letorimente! Vmos considerr som de todos os ddos mostrdos s... Se reetirmos mostrgem infinits vezes, o vlor eserdo dest som é s 8
// Como: s Definindo médi mostrl ntão eecttiv d médi mostrl é: s Pergunt: De que isso dint? Afinl teremos que reetir infinits vezes... ão é o cso, ois odemos rovr que diferenç entre médi mostrl e converge r zero com umento do número de mostrs... Bst rovr que vriânci d diferenç d médi mostrl e tende zero qundo o número de mostrs tende o infinito Vmos encontrr vriânci d diferenç (que é vriânci d médi mostrl) O segundo momento centrl é: vr vr vr vr Portnto vriânci diminui linermente com o umento do número de mostrs ote que r que isto sej verdde covriânci entre s mostrs tem de ser zero cov 9
// Alterntivmente: Temos então um estimdor do rimeiro momento d distribuição (médi) o segundo momento (vriânci)? lim Vmos clculr o estimdor d vriânci d mostr considerndo médi. S
// Clculndo o vlor eserdo S Rerrnjndo Portnto, há um desvio no estimdor que ode ser corrigido fzendo S s s Alicções Muito bem, ms e como vmos licr isso? Voltmos o roblem do tnque (eemlo ): tnques form cturdos úmeros de série dos tnques cturdos: 39, 3, 5, 9, 9, 5, 36, 8, 5, 3. A distribuição em questão é uniforme (os números vão de té M) Sbemos qunto é médi de um distribuição uniforme e vriânci
// Alicções Médi M M Vriânci M M Alicções Pr clculr médi e vriânci usmos os estimdores ds mostrs s Além disto temos relção entre o desvio d médi mostrl e rel M Alicções Resultdos: Médi d mostr:. Vriânci d mostr: 5998.3 Desvio drão d mostr: 58. Resultdos do esço mostrl originl Médi: 5.5 Vriânci: 75. Desvio drão:. Vriânci d médi d mostr em relção médi rel: 75. Desvio drão: 5.6
// Alicções Resultdos: stimdor el médi: 87.8 stimdor el vriânci: 57.75 Médi dos dois: 57.753 Considerndo distribuição uniforme: M. 58. 58 Vlor rel de M: 5 3 Alicções Voltemos o eemlo : Qunts essos usm somente crro r vir UnB? Vmos dizer que você entrevistou essos letorimente e descorrelcionds e obteve s roorções e q M essos vinhm de crro () -M essos não vinhm de crro (q) O que odemos dizer reseito do seu resultdo? Alicções Primeiro ssocimos VA cd robbilidde r & r q M M q M mostrs escolherm e -M escolherm q ntão usndo relção d médi mostrl: M M M 3
// Alicções ntão usndo relção d vriânci d mostr: q M M M M M M s Alicções Pels relções de vriânci d médi sbemos que: Portnto, roorção de essos que vem de crro r UnB é roimdmente q ' Alicções Só r fzer um idéi: digmos que form entrevistds essos e que roorção foi de 3% Temos então.5.3 '
// Mementos m muits licções em engenhri temos um combinção de entrds (ou estímulos) letórios com determinísticos Por eemlo: Vrições n fbricção de comonentes Incertezs com relção osicionmento Incertezs devido vriáveis muito comles estes csos, temos um relção (equção ou rocedimento determinístico) ssocido efeitos letórios Mementos ests situções temos um memento definido de entrds letóris (combinds com determinístics) Desejmos sber qul é esttístic d síd Frequentemente médi e desvio drão Por vezes intervlos de confinç ou mesmo distribuição de robbilidde (ou su densidde) do resultdo A técnic mis comum é Monte Crlo Mementos Como funcion Monte-Crlo? Temos o memento definido Germos um quntidde de ontos letórios suficiente r noss finlidde Submetemos cd um desses ontos o memento Investigmos esttístic d síd Médi, desvio, distribuição, etc... 5
// Mementos emlo: memento f() Germos os ontos letórios ( distribuição tem de ser conhecid),,...,... Submetemos o memento e obtemos esttístic d síd f f s f f f Mementos m csos onde o roblem oss ser definido de form nlític, clculmos os momentos d síd f f d Mementos emlo 6. Um divisor de tensão entre dois resistores, tem que um deles é um VA de distribuição uniforme entre e W. O outro, onde tensão é medid é um resistor de W. Qul é médi e o desvio drão d tensão? V V 6
// Mementos Usndo definição V V V ln V d ln. 5658 V 3 ln d 3 6 3 ln ln3.67v Mementos O desvio drão é riz d vriânci, logo.7588993v Podemos que dizer (com o erro de desvio) V.5658.7588993V ote que o vlor considerndo tudo determinístico é.v Mementos Vmos clculr este resultdo or Monte Crlo Pr simlificr fzemos V = Clculmos tensão em mostrs letóris do vlor d resistênci (distribuição uniforme entre e ) Resultdos = V.6.558V = V.56.5V = V.38.83 V V.5658.7588993V 7
// Mementos Código MATLAB Monte Crlo r o Problem % Teste r Monte Crlo cler % úmero de mostrs =; % Amostrs de resistenci R=+rnd(,); % Clculo d tensão V=./(+R); % Médi d tensão Vm=men(V); % Desvio d tensão Vd=sqrt(vr(V)); % screve médi e o desvio [Vm Vd] Mementos ote que convergênci não é monotônic Monte Crlo tem convergênci lent Pr =.. V.53.75V V.5658.7588993V ste é o mior roblem de Monte Crlo demnd muits mostrs Mementos se fizermos el UT? De novo r simlificr fzemos V = Clculmos tensão em 3 mostrs do vlor d resistênci (distribuição uniforme entre e ) R=.5, R=.5, R=.8875 w=.78, w=., w3=.78 Resultdos V V.55.76V.5658.7588993V 8
// Mementos Código MATLAB UT r o Problem % Teste r UT cler % Pontos sigm sg=[-.775.775]'; % Pesos w=[.78..78]; % Vlores de Resistênci R=+/*(+sg); % Vlores de Tensão V=./(+R); % Médi Vm=w*V; % Vrinci V=w*((V-Vm).^); % Desvio Vd=sqrt(V); [Vm Vd] Mementos Finlmente, voltemos o eemlo 5. Um divisor de tensão entre dois resistores, tem que um deles é um VA de distribuição uniforme entre e W. O outro, onde tensão é medid tmbém é um VA de distribuição uniforme entre e W. As dus VAs não tem correlção. Qul é médi e o desvio drão d tensão? V V Usndo definição Mementos V V V dd. 5 V V 3 9ln dd 5ln3.7368V 9
// Mementos O desvio drão é riz d vriânci, logo.68855957v Podemos que dizer V.5.68855957V ote que o vlor considerndo tudo determinístico é.5v Mementos com relção distribuição? Cso contínuo: Utiliz-se o jcobino do memento =g(u) d função densidde de robbilidde (u) dg dg T g g dg d A função distribuição de robbilidde F T wdw g w dg w dw dw Mementos o cso de mementos olinomiis este cálculo é menos comlicdo A invers do olinômio ode ser clculd (ms nem semre é simles) Memento g u u u Função densidde de robbilidde u u e 3
// 3 Mementos Portnto g u d g d dg g d Mementos Portnto, nov função densidde de robbilidde Pr = =: e e e Conclusão Aresentdos os conceitos básicos de esttístic e robbilidde Revisdos os conceitos de momentos Revisdos os conceitos de distribuição de robbilidde e densidde de robbilidde Aresentdo o conceito de memento