Aplicções d integrl Volumes Sumário. Método ds seções trnsversis........... 5. Método ds cscs cilíndrics............. 6.3 Exercícios........................ 9.4 Mis plicções d integrl Áres e comprimentos.5 Comprimento de curv................ 5.6 Um not sobre os métodos numéricos....... 7.7 Exercícios........................ 9
Sólidos de revolução Os sólidos de revolução são queles obtidos girndo um região pln R em torno de um eixo, chmdo eixo de rotção. Exemplo Sej R região limitd pelo gráco de y = x e pelo eixo Ox. Se usrmos o eixo Ox como eixo de rotção, obteremos esfer sólid como um objeto de revolução. Em contrprtid, se usrmos ret x = como o eixo de rotção, obteremos um sólido de revolução diferente. Vej s gurs seguintes. Nest unidde, usremos s integris denids pr estbelecer e clculr volumes de sólidos de revolução. Volumes de sólidos de revolução Sej f : [, b] R um função contínu tl que f(x) 0, pr todo x [, b]. Considerremos o sólido de revolução obtido pel rotção d região limitd pelo eixo Ox e pelo gráco de f, em torno do eixo Ox. 3.5.5 0.5.5 0.5 0 0.5 x.5
Aplicções d integrl Volumes Considere = x 0 < x < x < < x n < x n = b, um prtição do intervlo [, b] e, pr cd subintervlo d prtição, escolh um ponto ξ i [x i, x i ]. O volume do cilindro de rio f(ξ i ) e ltur x i = x i x i é V i = π [ f(ξ i ) ] xi. A som desses volumes, V i = i= π [ f(ξ i ) ] xi, i= é um som de Riemnn e, n medid em que tommos prtições mis e mis ns, os cilindros empilhdos formm um sólido que se prece cd vez mis com o sólido de revolução originl. 3.5.5 0.5.5 0.5 0 0.5 x.5 Como função f é contínu, função g(x) = π [ f(x) ] tmbém é contínu. Podemos então estbelecer denição seguir. O volume V do sólido obtido pel revolução d região sob o gráco d função contínu, positiv, f : [, b] R em torno do eixo Ox é Definição V = lim P 0 π [ f(ξ i ) ] xi = i= π [ f(x) ] dx. Pr obter o volume d esfer, bst considerr f(x) = r x 0, denid no intervlo [ r, r]. Exemplo 3
Nesse cso, V = r = π r π ( r x ) dx = π (r x ) dx (r x x3 3 ) r r ) = π (r 3 r3 3 + r3 r3 3 = 4πr3 3. Exemplo 3 Vmos clculr o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo Ox do conjunto Antes, um esboço do sólido. R = { (x, y) R x + (y ), }. Ao girrmos esse disco de rio e centro em (0, ) em torno do eixo Ox obteremos um sólido cuj superfície é chmd de toro e que lembr um câmr de r de um pneu. Pr clculrmos o volume desse sólido usremos seguinte bordgem. Dividiremos curv x + (y ) = em dus funções, mbs sobre o mesmo intervlo, [, ]. A função f (x) = + x tem por gráco o semicírculo superior, enqunto função f (x) = x tem por gráco o semicírculo inferior. 4
Aplicções d integrl Volumes A integrl V = π [ f (x) ] dx determin o volume do toro cheio, incluído o burco. Já integrl V = π [ f (x) ] dx determin, precismente, o volume do burco. Portnto, o volume que queremos clculr é ddo pel diferenç V V : V = π = 8π ( + x ) dx π x dx = 8π π = 4π. ( x ) dx =. Método ds seções trnsversis Ao observr fórmul V = π [ f(x) ] dx, você não pode deixr de notr que o integrndo π [ f(x) ] é, precismente, áre do disco de rio f(x), seção trnsversl obtid do corte do sólido de revolução ddo pelo plno perpendiculr o eixo n ltur x. Isso nos lev estender denição de volume outros sólidos, não necessrimente sólidos de revolução. Suponh que B sej um sólido limitdo por dois plnos perpendiculres o eixo Ox, em x = e x = b, e que pr cd x [, b], áre d seção trnsversl do sólido com o plno perpendiculr o eixo sej dd por A(x). Se A(x) for um função contínu, usmos s soms de Riemnn, de mneir nálog à que foi usd no cso de sólidos de revolução, pr chegrmos à denição seguir. Ns condições que cbmos de descrever, o volume do sólido B é V = A(x) dx. 5
Método ds cscs cilíndrics Exemplo 4 Vmos clculr o volume d interseção de dois cilindros de mesmo rio, cujos eixos de simetri são perpendiculres. Suponhmos que um dos cilindros tem Ox como seu eixo de simetri, e o outro cilindro, o eixo Oz. Devido à simetri, este volume é 8 vezes o volume d prte que se encontr no primeiro octnte, representd n gur seguir, à esquerd. A gur d direit mostr o sólido com um corte perpendiculr o eixo Ox. Ess seção, n ltur x, é um qudrdo de ldo x. Assim, áre desse qudrdo é A(x) = ( x ). O volume do oitvo do sólido, representdo n gur, é 0 ( x ) dx = x x3 3 0 = 3 3 3 = 3 3. Portnto, interseção dos dois cilindros tem volume volume. 6 3 3 uniddes de. Método ds cscs cilíndrics Este método é proprido pr clculr volumes de sólidos de revolução cujo eixo de simetri é o eixo Oy. Vmos considerr um retângulo de ltur h, sobre o intervlo [x i, x i ], com 0 < x i < x i, como mostr gur seguir. Vmos clculr o volume d csc cilíndric obtid pel rotção desse retângulo em torno do eixo Oy. 6
Aplicções d integrl Volumes Or, isso é o volume do cilindro mior menos o volume do cilindro menor: V i = π x i h π x i h = πh(x i x i ) = = πh(x i + x i )(x i x i ). Agor, sej f : [, b] R um função contínu, positiv, com 0 e sej R região sob o gráco de f. Queremos clculr o volume do sólido de revolução d região R em torno do eixo Oy..5 0.5 0..4.6.8..4.6.8 3 t O método que permite fzer isso é chmdo de método ds cscs cilíndrics, pois usmos proximções do sólido por cscs cilíndrics obtids d revolução em torno do eixo Oy de retângulos que proximm áre R, num processo similr o que usmos pr obter fórmul de volume de sólidos de revolução em torno do eixo Ox. Vej como funcion: sej = x 0 < x < x < < x n = b um prtição do intervlo [, b] e, como ntes, pr cd intervlo d prtição, escolhemos um ponto ξ i [x i, x i ]. O volume d csc cilíndric obtid d revolução em torno do eixo Oy do retângulo de bse [x i, x i ] e ltur f(ξ i ) é V i = π f(ξ i ) (x i + x i ) x i. 7
Método ds cscs cilíndrics A som dos volumes ds cscs cilíndrics é um som de Riemnn: V i = i= π f(ξ i ) (x i + x i ) x i = i= π f(ξ i ) x i x i. i= O limite desss soms de Riemnn result n fórmul com qul denimos o volume do sólido: V = π x f(x) dx. Exemplo 5 Vmos clculr o volume do cone de ltur h, com o rio d bse r. Pr isso, vmos considerá-lo como o sólido de revolução do triângulo de vértices (0, 0), (r, 0) e (0, h), em torno do eixo Oy. Primeiro, devemos chr ( equção ) d ret que contém os pontos (r, 0) e (0, h). Isso é fácil: y = h x. Agor, usremos fórmul do método ds r ( ) cscs cilíndrics, com f(x) = h x, denid no intervlo [0, r]: r V = r ( π x h x ) r dx = π 0 r 0 ( hx = π ) r hx3 3r 0 ( hr = π (hx hx r ) hr 3 ) dx = = πhr 3. Ou sej, o volume do cone de ltur h e rio d bse r é um terço d áre d bse vezes ltur. 8
Aplicções d integrl Volumes.3 Exercícios. Fç um esboço do sólido de revolução obtido pel revolução do semicírculo do exemplo nterior em torno dos seguintes eixos: () x = ; (b) y =.. Sej R região limitd pel curv y = x, pelo eixo Ox, com x [0, 4]. Fç um esboço do sólido obtido pel revolução de R em torno do eixo Ox e clcule o seu volume. 3. Clcule o volume do sólido de revolução d região R em torno do eixo indicdo: () R = { (x, y) R 0 x, 0 y x/ }; Ox. (b) R = { (x, y) R 0 x π, 0 y cos x/ }; Oy. (c) R = { (x, y) R y x 4x + 4 }; (d) R = { (x, y) R 0 x, 0 y e x }; (e) R = { (x, y) R 0 x, /x y e x }; Ox. Ox. Ox. 4. Esboce o gráco d região R sob o gráco d função y = + cos x sobre o intervlo [0, π]. Clcule o volume do sólido de revolução de R em torno do eixo Oy e fç um esboço desse sólido. 5. Clcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo Ox d região sob o gráco d função f(x) = x cos x, no intervlo [0, π/]. 6. Clcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo Ox d região sob o gráco d função f(x) = sec x, no intervlo [π/4, π/3]. 7. Em um esfer de rio foi cvdo um burco cilíndrico, cujo eixo de simetri é um diâmetro máximo d esfer. Clcule o volume obtido d esfer menos o cilindro, sbendo que o rio do cilindro é /. 8. Clcule o volume do sólido cuj bse é o disco x + y 4 tl que cd um de sus seções trnsversis perpendiculres o eixo Ox é um qudrdo. 9
Exercícios 9. Um sólido é construído sobre o triângulo de vértices (0, ), (0, ) e (4, 0), de tl form que cd seção perpendiculr o eixo Ox é um semicírculo. 0. Um cunh é cortd do cilindro x + y pelos plnos z = 0 e z = y. Clcule o seu volume. 0
Aplicções d integrl Volumes.4 Mis plicções d integrl Áres e comprimentos Áre de um superfície de revolução Vmos gor obter áres ds superfícies que recobrem os sólidos de revolução. O ponto de prtid será o tronco de cone. A áre de um tronco de cone reto, de gertriz g, com rio d bse mior R e rio d bse menor r é igul à áre de um trpézio de ltur g, com bse mior πr e bse menor πr. Isto é, A = π (R + r) g. Sej S superfície obtid d rotção do gráco d função contínu f : [, b] R cuj restrição o intervlo berto (, b) é de clsse C (dizemos que um função é de clsse C qundo, lém de ser diferenciável, função derivd f é contínu). Queremos tribuir um áre S. Usremos o seguinte processo de proximção: pr cd prtição = x 0 < x < x < < x n = b do intervlo [, b], considerremos os troncos de cone obtidos pel revolução dos segmentos de ret que unem os pontos sucessivos (x i, f(x i )) e (x i, f(x i )). Vej n gur seguir. A união desses troncos de cone proximm superfície de revolução, n medid em que tommos prtições mis ns.
Mis plicções d integrl Áres e comprimentos cones: A áre d superfície obtid pel união dos cones é som ds áres dos onde l i = A i = i= π ( f(x i ) + f(x i ) ) l i, i= (x i x i ) + ( f(x i ) f(x i ) ) é o comprimento do segmento de ret unindo os pontos (x i, f(x i )) e (x i, f(x i )), gertriz do tronco que tem como rios ds bses f(x i ) e f(x i ). Usremos gor o fto de f ser um função diferenciável. Pelo Teorem do Vlor Médio, existe um número ξ i [x i, x i ] tl que pr cd i =,, 3,..., n. f (ξ i ) = f(x i) f(x i ) x i x i, Assim, podemos trocr f(x i ) f(x i ) por f(ξ i ) (x i x i ) n fórmul que determin l i, obtendo: l i = (x i x i ) + ( f (ξ i ) (x i x i ) ) = = x i + ( f (ξ i ) ) x i = + ( f (ξ i ) ) xi. Além disso, como f é contínu, sbemos que o intervlo limitdo pelos números f(x i ) e f(x i ) está contido n imgem de f. Isto é, equção f(x) = M tem solução no intervlo [x i, x i ], pr todos os vlores de M entre os números f(x i ) e f(x i ). Em prticulr, existe ζ i [x i, x i ], tl que f(ζ i ) = f(x i ) + f(x i ), pr cd i =,,..., n. Isso signic que ζ i é solução d equção f(x) = M, onde M é o ponto médio entre f(x i ) e f(x i ). Ou sej, f(ζ i ) = f(x i ) + f(x i ). Com mis ess lterção, noss fórmul pr i= A i = π i= A i cou ssim: i= f(ζ i ) + ( f (ξ i ) ) xi. Tomndo o limite desss soms de Riemnn, obtemos denição.
Aplicções d integrl Volumes Sej f : [, b] R um função contínu e positiv, cuj restrição o intervlo (, b) é de clsse C. A áre d superfície gerd pel rotção do gráco de f em torno do eixo Ox é denid pel integrl A = π f(x) + ( f (x) ) dx. Definição Note que usmos o fto de f ser um função contínu, pois então função y = f(x) + ( f (x) ) é contínu, grntindo que s soms de Riemnn convergem. A esfer de rio r pode ser gerd pel revolução do gráco d função f(x) = r x em torno do eixo Ox. Pr plicrmos fórmul d áre, precismos d derivd de f : Exemplo 6 f (x) = (r x ) / ( x) = x r x. Então, + ( f (x) ) = + x = r x r x + x = = r x = r r x. Assim, f(x) + ( f (x) ) dx = r r x r x dx = r dx. Portnto, áre d superfície d esfer de rio r é r r A = π r dx = π r x = 4π r. r r O exemplo que você verá seguir é bem conhecido devido o seu resultdo surpreendente. 3
Mis plicções d integrl Áres e comprimentos Exemplo 7 Considere superfície obtid pel rotção do gráco d função f(x) = x, com x [, ), em torno do eixo Ox. O objeto lembr um trombet, porém de comprimento innito. Vmos clculr o volume d região limitd pel trombet. Pr isso, usremos fórmul do volume, ms com integrl imprópri, pr incluir tod trombet: ( ) V = π f(x) dx = π x dx = r = π lim dx = π lim r x r = r x = π lim r r = π. Como integrl imprópri converge, dizemos que trombet, pesr de comprimento innito, tem π uniddes cúbics de volume. Agor, usndo mesm bordgem, vmos clculr áre d superfície que recobre. ( ) x4 + A = π + dx = π dx. x x x 3 Ms, x4 + lim x x 3 x = lim x x6 + x x 3 =. Como dx diverge, pelo teste do limite do quociente, sbemos que x4 + integrl imprópri dx diverge. x 3 Ou sej, áre que recobre trombet é innit. incongruênci do exemplo: Aqui reside tod trombet pode ser preenchid com um pouco 4
Aplicções d integrl Volumes mis do que 3 uniddes cúbics de tint, ms, mesmo que use tod tint do universo, não pode ser pintd. Bem, o lidrmos com trombets de comprimento innito devemos esperr coiss surpreendentes..5 Comprimento de curv Vmos proveitr os rgumentos desenvolvidos n dedução d fórmul d áre pr denir o comprimento de um curv que é o gráco de um função f, de clsse C. Sej f : [, b] R um função contínu e positiv, diferenciável em (, b), cuj derivd é um função contínu. Como ntes, sej = x 0 < x < x < < x n = b um prtição do intervlo [, b]. Associd ess prtição, temos um linh poligonl formd pel união dos segmentos de ret que unem os pontos (x i, f(x i )) e (x i, f(x i )), sucessivmente. Ess linh é um proximção pr o gráco d função f. O comprimento dess linh poligonl é l i = (x i x i ) + ( f(x i ) f(x i ) ). i= i= Como ntes, temos ξ i [x i, x i ], tl que f(x i ) f(x i ) = f (ξ i ) x i e, portnto, l i = i= i= + ( f (ξ i ) ) xi. 5
Comprimento de curv Assim podemos denir o comprimento do gráco d função f, sobre o intervlo [, b], pelo limite desss soms de Riemnn: L = + ( f (x) ) dx. Exemplo 8 Cálculo do comprimento de um rco de setor de circunferênci. Vmos clculr o comprimento de um rco de circunferênci de rio r, correspondente um ângulo α < π. Vmos posicionr tl setor de tl form que ele estej n prte superior de x + y = r, e sejm x e x os pontos correspondentes à projeção do setor no eixo Ox. x x Então, o comprimento desse rco é x x + ( f (x) ) dx = x x r r x dx. Pr resolver ess integrl, fzemos substituição trigonométric x = r sen θ, onde θ e θ são os ângulos que correspondem os vlores x e x, respectivmente: x = r sen θ e x = r sen θ. Temos dx = r cos θ dθ e r x = r cos θ. Assim, x x r r x dx = θ = θ θ r cos θ r cos θ dθ = θ r dθ = r (θ θ ) = r α. 6
Aplicções d integrl Volumes.6 Um not sobre os métodos numéricos As integris d fórmul d áre de um superfície de rotção e do comprimento do gráco de um função envolvem o rdicl + ( f(x) ). Esse tipo de fórmul costum gerr integris difíceis de serem bordds pels técnics de integrção. Isto é, s primitivs dests funções gerlmente não se expressm como combinções de funções fmilires, tis como polinomiis, trigonométrics, exponenciis e logritmos. Só pr citr um exemplo, pr clculr o comprimento d curv y =, digmos de x = té x =, precismos x x4 + integrr dx, que não é muito migável. x N prátic podemos lnçr mão dos chmdos métodos numéricos de integrção ou, se dispusermos de um computdor com lgum progrm mtemático, que frá tref de vlir o resultdo. Por exemplo, x4 + dx, 3090394. x Resumo ds fórmuls Sej R região sob o gráco d função contínu e positiv f denid em [, b]. O volume do sólido obtido d revolução de R em torno do eixo Ox é ddo por: V = π [ f(x) ] dx. Se > 0, volume do sólido obtido d revolução de R em torno do eixo Oy é ddo por: V = π x f(x) dx. Se A : [, b] R é um função contínu e positiv que descreve s áres ds seções trnsversis perpendiculres o eixo Ox de um ddo sólido, então seu volume é ddo por: 7
Um not sobre os métodos numéricos V = A(x) dx. Fórmul d áre d superfície de revolução do gráco d função de clsse C sobre o intervlo [, b]: A = π Fórmul do comprimento do gráco de f : L = f(x) + ( f (x) ) dx. + ( f (x) ) dx. 8
Aplicções d integrl Volumes.7 Exercícios. Clcule áre do cone de rio d bse r e de ltur h.. Clcule o comprimento do segmento de prábol y = f(x) = x sobre o intervlo [0, ]. 3. Em cd um dos csos seguir, clcule áre d superfície obtid pel revolução do gráco d função dd, sobre o intervlo indicdo. () f(x) = x, [0, ]; (b) f(x) = e x, [0, ]; (c) f(x) = x, [, 4]; (d) f(x) = sen x, [0, π/]. 4. Ao girrmos circunferênci x + (y ) = em torno do eixo Ox, obtemos um toro. Clcule áre dess superfície. Vej o exemplo 3.3. 5. Determine o comprimento d curv f(x) = x 3/ sobre o intervlo [0, 7]. 6. Determine o comprimento do gráco de f(x) = x3 6 + x [, 4]. sobre o intervlo 7. Clcule o volume limitdo pel superfície gerd pelo gráco d função f(x) = x /3, pr x, e áre que recobre, se possível. 9