PREFÁCIO BOM TRABALHO!

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2 PREFÁCIO Este volume corresponde o primeiro livro virtul lnçdo pelo Sistem de Ensino Intertivo SEI. O livro trt de lógic, teori dos conjuntos, relção, produto crtesino, funções reis, função do gru e gru, modulr, eponencil e logrítmic o longo de cpítulos. Cd um dos doze cpítulos inici-se com um breve introdução do ssunto, seguido de questões dos últimos concursos d AFA, EFOMM, Escol Nvl, IME e ITA. Há ind um último cpítulo onde se encontr o gbrito ds questões, bem como solução dquels que nos cpítulos nteriores possuem su numerção inicid com letr R, totlizndo 63 soluções. Com isto o utor e diretor do Sistem de Ensino Intertivo SEI esper estender sl de ul do SEI à residênci dos que usrem este livro, principlmente dqueles que não podem frequentr um curso preprtório, contribuindo pr su preprção e provção. O utor esper que o uso deste livro ocorr de form intertiv, ou sej, será um przer receber comentários, correções e pedidos, este contto pode ser feito diretmente com o utor pelo emil lucino@sistemsei.com.br. BOM TRABALHO! Págin

3 SOBRE O AUTOR Nturl do Rio de Jneiro, Lucino, qundo luno foi medlhist de prt n Olimpíd de Mtemátic do Estdo do Rio de Jneiro - OMERJ (993) e n Olimpíd Brsileir de Mtemátic - OBM (994), lém disso, foi provdo nos concursos d Escol Nvl, IME e ITA e cbou optndo pelo último. Após lgum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou engenhri pel mtemátic, retornndo o Rio de Jneiro, fez vestibulr pr UFRJ, onde concluiu Grdução em Mtemátic. Prlelmente à grdução foi professor nos principis cursos preprtórios do Rio de Jneiro, tendo contribuído n provção de centens de lunos nos concursos d EFOMM, AFA, Escol Nvl, IME e ITA. Dois nos pós ter termindo Grdução em Mtemátic iniciou o Mestrdo em Geometri Diferencil e em seguid o Doutordo em Sistems Dinâmicos, tendo prticipdo de congressos ncionis e interncionis. Funddor do Sistem de Ensino Intertivo SEI, Lucino é um dos utores dos rtigos de mtemátic do SEI Ensin. Atulmente Lucino é professor djunto d UFRJ. Lucino Nunes Prudente Págin 3

4 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME ÍNDICE. Lógic.... Teori dos Conjuntos Produto Crtesino Relção Conjuntos Numéricos Função Função Constnte Função do Gru Função do Gru Função Modulr.... Função Eponencil.... Função Logritmo Gbrito/Soluções Págin 4

5 CAPÍTULO - LÓGICA CONSTRUÇÃO AXIOMÁTICA DA CIÊNCIA A lingugem d Ciênci é construíd prtir de Termos primitivos e Definições. Termo primitivo é um vocábulo cujo significdo não é descrito por outros vocábulos. Definir é ção de descrever o significdo de um vocábulo prtir de outros vocábulos previmente definidos ou de termos primitivos. A introdução de novos vocábulos n Ciênci será sempre feit prtir de termos primitivos ou de definições. Proposição ou sentenç mtemátic é um firmtiv qul se ssoci um único vlor: verddeiro ou flso, que representremos respectivmente por ou 0. Aiom é um proposição cuj vercidde é ssumid por definição e um Teorem é um proposição cuj vercidde deve ser verificd por meio de outros ioms ou teorems. A mtemátic é construíd por meio de Aioms e Teorems. DEFINIÇÃO: A negção de um proposição é um nov proposição cujo vlor é o oposto d originl. Então dd um proposição p, temos: p p 0 0 DEFINIÇÃO: Conectivo é o elemento utilizdo pr unir dus proposições. Os conectivos se dividem em primários e secundários. Sejm p e q dus proposições, então: CONECTIVOS PRIMÁRIOS ) CONECTIVO e ( ): p q p q ) CONECTIVO ou ( ): p q p q Págin 5

6 CONECTIVOS SECUNDÁRIOS ) CONDICIONAL se então ( ): p q p q ) CONDICIONAL se e somente se ( ): p q p q DEFINIÇÃO: Tutologi é um proposição que ssume pens o vlor verddeiro. Sejm p, q e r proposições, seguem s principis tutologis: NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO. p p COMUTATIVIDADE DO E DO. p q q p 3. p q q p ASSOCIATIVIDADE DO E DO 4. p q r p q r 5.p q r p q r DISTRIBUTIVIDADE 6. p q r p q p r 7. p q r p q p r NEGAÇÃO DO E DO 8. p q p q 9. p q p q Págin 6

7 IMPLICAÇÃO LÓGICA 0. p q p q. p q q p. pq p q EQUIVALÊNCIA LÓGICA 3. p q p q Págin 7

8 EXERCÍCIOS NÍVEL A R. (EN 998) Considere proposição: A proposição equivlente é (A) Se < 5 então y 6 (B) Se y 6 então < 5 (C) se y > 5 então = 5 (D) Se y 6 então 5 (E) Se 5 então y 6.. (EN 994) A negção d proposição: é: (A) " 3 e y " (B) " 3 e y " (C) " 3 ou y " (D) " e y 3" (E) " 3 ou y ". ESCOLA NAVAL Se > 5 então y = 6. " 3 e y ", 3. (EN 99) Sbe-se que se > 4 então y =. Podemos dí concluir que: (A) Se < 4 então y. (B) Se 4 então y. (C) Se y = então > 4. (D) Se y então 4. (E) Se y então < 4. NÍVEL B ESCOLA NAVAL R. (EN 989) Dd proposição p (q r) ( p q) (p r) podemos firmr que é: (A) logicmente fls (B) um tutologi (C) equivlente ( p q) r (D) equivlente ( p q)v r (E) equivlente p q NÍVEL C ITA R. (ITA 00) Considere s seguintes firmções sobre números reis positivos: I. Se > 4 e y <, então y >. II. Se > 4 ou y <, então y >. III. Se < e y >, então y < 0. Então, dests é (são) verddeir(s) (A) pens I. (B) pens I e II. (C) pens II e III. (D) pens I e III. (E) tods. Págin 8

9 CAPÍTULO - TEORIA DOS CONJUNTOS TERMOS PRIMITIVOS A Teori dos Conjuntos tem su estrutur bsed em três termos primitivos: Elemento, Conjunto e n Relção de Pertinênci. Embor termos primitivos intuitivmente sbe-se diferenç entre eles. Considere, por eemplo, s proposições: A é um Vogl B não é um vogl Primeirmente sbemos que ests proposições têm vlor verddeiro, ou sej, letr A é um elemento do conjunto ds vogis e letr B não é um elemento do conjunto ds vogis. Note que o elemento se lig o conjunto pel relção de pertinênci, nos eemplos cim est relção foi feit trvés do verbo SER, fim de evitr s limitções d língu, s mesms proposições podem ser escrits utilizndo um simbologi universl, que respectivmente introduzimos bio: A A,E,I,O,U B A,E,I,O,U. Um conjunto está bem definido qundo ddo um elemento podemos julgr se este pertence ou não o conjunto. Vriável é o símbolo utilizdo pr representr um elemento qulquer de um ddo conjunto, neste cso, este conjunto é denomindo Domínio d vriável. Função Proposicionl ou Proposição bert é tod proposição que possui um vriável. E.: A,E,I,O,U É um proposição bert, onde é vriável e o seu domínio é o conjunto A,E,I,O,U. Solução d Função Proposicionl é todo elemento pertencente o Domínio d vriável que dá vlor verddeiro à proposição bert. E.: A,E,I,O,U A A,E,I,O,U (V) E A,E,I,O, U (V) I A,E,I,O,U (V) O A,E,I,O, U (V) U A,E,I,O, U (V). Conjunto Solução d Função Proposicionl ou Conjunto Verdde d Função Proposicionl é o conjunto de tods s soluções de um Função Proposicionl. E.: A,E,I,O,U S A,E,I,O,U. DEFINIÇÃO: O Quntificdor Universl pr todo é utilizdo qundo todos os elementos do Domínio d vriável pertencem o Conjunto Solução d Função Proposicionl. E.: IR, 0. Págin 9

10 DEFINIÇÃO: O Quntificdor Eistencil eiste é utilizdo qundo eiste um elemento do Domínio d vriável pertencente o Conjunto Solução d Função Proposicionl. E.: IR : 0. DEFINIÇÃO: Sejm A e B dois conjuntos, define-se relção de inclusão por: A B, A B. Neste cso dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B. DEFINIÇÃO: Conjunto Universo é o conjunto miml definido pel relção de inclusão, ou sej, é o conjunto que contêm todos os outros. Assim, A, A U. DEFINIÇÃO: Conjunto Vzio é o conjunto miniml ddo pel relção de inclusão, ou sej, é o conjunto que está contido em todos os outros. Represent-se o conjunto vzio por. Assim,, A A. Em prticulr temos que:, U. E.: Ddo A,, 3 então A, A,,3 A e,,3 A. DEFINIÇÃO: Conjunto ds Prtes é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto, ou sej, ( A) : B : B E. A,, 3 (A),,, 3,,,,3, 3,,,,3 A Obs.: Sej n(c) é o número de elementos de um conjunto C, então n( (A)): n(a). Observe no eemplo cim que n(a) 3 e n( (A)) 8. DEFINIÇÃO: Sej A um conjunto o seu Complementr é definido por A C : A. DEFINIÇÃO: Sejm A e B dois conjuntos, então Ou equivlentemente A B, A B. A B B A A B. Págin 0

11 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS DEFINIÇÃO: Sejm A e B dois conjuntos, então União entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B : A B. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A B,, 3, 4,5 DEFINIÇÃO: Sejm A e B dois conjuntos, então Interseção entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B : A B. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A B, 3 TEOREMA: Sejm A e B conjuntos quisquer então n(a B) n(a) n(b) n(a B). DEFINIÇÃO: Sejm A e B dois conjuntos, então Diferenç entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A \ B : A B. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A \ B e B \ A 4,5 TEOREMA: Sejm A e B conjuntos quisquer então n(a B) n(a) n(b). DEFINIÇÃO: Sejm A e B dois conjuntos, então Diferenç simétric entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A B B A. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A B,4,5. Sejm A, B e C conjuntos quisquer, seguem s principis proprieddes ds operções entre conjuntos.. COMPLEMENTAR DO COMPLEMENTAR. COMUTATIVIDADE C A C A. A B B A. A B B A. 3. ASSOCIATIVIDADE B C (A B) C B C (A B) C A. A. Págin

12 4. DISTRIBUTIVIDADE 5. COMPLEMENTAR DA UNIÃO E DA INTERSEÇÃO B C A B A C B C A B A C A. A. C C C A B A B C C C A B A B.. 6. COMPLEMENTAR DE SOBCONJUNTOS 7. DIFERENÇA C C A B B A. C A B A B. Págin

13 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM. (EFOMM 0) Considere-se o conjunto universo U, formdo por um turm de cálculo d Escol de Formção de Oficiis d Mercnte (EFOMM) e compost por lunos e luns. São ddos os subconjuntos de U: A: conjunto formdo pelos lunos; e B: conjunto formdo por todos os lunos e luns provdos. B Pode-se concluir que C U (A B) é quntidde de (A) lunos provdos. (B) lunos reprovdos. (C) todos os lunos e luns provdos. (D) luns provds. (E) luns reprovds. R. (EFOMM 00) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(x) represent o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com s seguintes proprieddes: n(a B C) = 5, n(a C) = 3, n(b A) = 0, n(a C) = n(c (A B)). O mior vlor possível de n(c) é igul (A) 9 (B) 0 (C) (D) (E) 3 R3. (EFOMM 00) Anlise s firmtivs bio. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = { K / possui ldos opostos prlelos}; L = { K / possui 4 ldos congruentes}; R = { K / possui 4 ângulos retos}; e Q = { K / possui 4 ldos congruentes e ângulos com medids iguis}. Logo, L R = L Q. II - Sej o conjunto A = {,,3,4}, not-se que A possui somente 4 subconjuntos. III- Observndo s seguintes relções entre conjuntos: {, b, c,d} U Z = {, b, c, d, e}, {c,d} U Z = {, c, d, e} e {b, c, d} Z = {c}; pode-se concluir que Z = {, c, e}. Em relção às firmtivs cim, ssinle opção corret. (A) Apens firmtiv I é verddeir. (B) Apens s firmtivs I e III são verddeirs. (C) Apens s firmtivs I e II são verddeirs. (D) Apens firmtiv III é verddeir. (E) Apens firmtiv II é verddeir. 4. (EFOMM 007) Num compnhi de 496 lunos, 0 fzem ntção, 60 musculção e 94 estão impossibilitdos de fzer esportes. Neste cso, o número de lunos que fzem só ntção é (A) 6 (B) 4 (C) 66 (D) 76 (E) 94. Págin 3

14 5. (EFOMM 006) Sejm os conjuntos U = {,,3,4} e A = {,}. O conjunto B tl que BA = {} e BA = U é (A) 0 (B) {} (C) {,} (D) {,3,4} (E) U. AFA 6. (AFA 03) Irão prticipr do EPEMM, Encontro Pedgógico do Ensino Médio Militr, um Congresso de Professores ds Escols Militres, 87 professores ds disciplins de Mtemátic, Físic e Químic. Sbe-se que cd professor lecion pens um desss três disciplins e que o número de professores de Físic é o triplo do número de professores de Químic. Pode-se firmr que (A) Se o número de professores de Químic for 6, os professores de Mtemátic serão metde dos de Físic. (B) número de professores de Químic será mior do que o de Mtemátic, se o de Químic for em quntidde mior ou igul 7 (C) o menor número possível de professores de Químic é igul 3. (D) o número de professores de Químic será no máimo. 7. (AFA 998) Em um grupo de n cdetes d Aeronáutic, 7 ndm, 9 jogm bsquetebol, jogm voleibol, 5 ndm e jogm bsquetebol, ndm e jogm voleibol, 5 jogm bsquetebol e voleibol e fzem os três esportes. Qul o vlor de n, sbendo-se que todos os cdetes desse grupo prticm pelo menos um desses esportes? (A) 3 (B) 37 (C) 47 (D) 5. R8. (AFA 998) Entrevistndo 00 oficiis d AFA, descobriu-se que 0 deles pilotm eronve TUCANO, 40 pilotm o helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiis entrevistdos, quntos pilotm o TUCANO e o ESQUILO? (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) (AFA 995) Assinle firmção corret. (A) A intersecção de conjuntos infinitos pode ser finit. (B) A intersecção infinit de conjuntos não vzios é vzi. (C) A reunião infinit de conjuntos não vzios tem infinitos elementos. (D) A intersecção dos conjuntos A e B possui sempre menos elementos do que o A e do que o B. 0. (AFA 995) Anlisndo-se um mostr populcionl, com relção à ltur, determinou-se: - 95% tem ltur mior ou igul,6m; - 8% tem ltur menor ou igul,6m. Qul o percentul de indivíduos com, etmente,,6m? (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 3 ESCOLA NAVAL R. (EN 009) Os 36 melhores lunos do Colégio Nvl submeterm-se um prov de 3 questões pr estbelecer ntiguidde militr. Sbendo que dentre estes lunos, 5 só certrm primeir questão, 6 só certrm segund, 7 só certrm terceir, 9 certrm primeir e segund, 0 certrm primeir e terceir, 7 certrm segund e terceir e, 4 errrm tods s questões, podemos firmr que o número de lunos que não certrm tods s 3 questões é igul Págin 4

15 (A) 6 (B) 8 (C) 6 (D) 30 (E) 3.. (EN 989) Considere os conjuntos A={} e B={,{A}} e s proposições: I - {A} B II- {} A III- A B IV- B A V- {, A} B As proposições FALSAS são: (A) I, III e V (B) II, IV e V (C) II, III, IV e V (D) I, III, IV e V (E) I, III e IV 3. (EN 99) Sejm A, B e C conjuntos. A condição necessári e suficiente pr que A(B C) = (AB) C é: (A) A = B = C (B) A C = (C) A C = (D) A = (E) AC = B ITA R4. (ITA 009) Sejm A e B subconjuntos do conjunto universo U = {,b,c, d,e, f, g, h}. Sbendo que (B C A) C = {f, g, h}, B C A = {, b} e A C \B = {d, e}, então, n(p( A B)) é igul (A) 0. (B). (C). (D) 4. (E) (ITA 004) Considere s seguintes firmções sobre o conjunto U = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. U e n(u) = 0. II. U e n(u) = 0. III. 5 U e {5} U. IV. {0,,, 5} {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é (são) verddeir(s) (A) pens I e III. (B) pens II e IV. (C) pens II e III. (D) pens IV. (E) tods s firmções. NÍVEL B ITA Págin 5

16 R. (ITA 007) Se A, B, C forem conjuntos tis que: n(ab)= 3, n(b A)=, n(c A)=0, n(b C)= 6 e n(a B C)= 4, então n(a), n(a C), n(a B C), nest ordem, (A) formm um progressão ritmétic de rzão 6. (B) formm um progressão ritmétic de rzão. (C) formm um progressão ritmétic de rzão 8, cujo primeiro termo é. (D) formm um progressão ritmétic de rzão 0, cujo último termo é 3. (E) não formm um progressão ritmétic. R. (ITA 006) Sej U um conjunto não vzio com n elementos, n. Sej S um subconjunto de P(U) com seguinte propriedde: Se A, B S, então A B ou B A então, o número máimo de elementos que S pode ter é: (A) n- (B) n/, se n for pr, e (n + )/ se n for ímpr (C) n + (D) n (E) n (ITA 006) Sejm A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tis que n(b\a), n(a\b) e n(a B) formm, nest ordem, um progressão ritmétic de rzão r > 0. Sbendo que n(b\a) = 4 e n(a B) + r = 64, então, n(a\b) é igul : (A) (B) 7 (C) 0 (D) (E) (ITA 003) Sejm U um conjunto não-vzio e A U, B U. Usndo pens s definições de iguldde, reunião, intersecção e complementr, prove que: I. Se A B =, então B A C. II. B\A C = B A. R5. (ITA 00) Sejm A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tl que A U B contenh elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P() é igul (A) 8. (B) 6. (C) 0. (D) 7. (E) (ITA 000) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejm A, B e C conjuntos tis que n(a B)= 8,n(A C)= 9, n(b C)= 0, n(a B C) = e n (A B C) =. Então, n(a) + n(b) + n(c) é igul (A) (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 5. IME 7. (IME 009) Sejm dois conjuntos, X e Y, e operção, definid por X Y = (X Y) (Y X). Pode-se firmr que (A) (X Y) (X Y) = Ø (B) (X Y) (X Y) = Ø (C) (X Y) (Y X) = Ø (D) (X Y) (X Y) = X (E) (X Y) (Y X) = X Págin 6

17 NÍVEL C ESCOLA NAVAL R. (EN 988) Se 70% d populção gostm de smb, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quntos por cento d populção, no mínimo, gostm de smb, choro, bolero e rock? (A) 5% (B) 0% (C) 0% (D) 45% (E) 70%. ITA. (ITA 03) Sejm A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Ds firmções: I. A \ (B C) = (A \ B) (A \); II. (A C) \ B = A B C C; III. (A \ B) (B \ C) = (A \ B) \ C, é (são) verddeir(s) (A) pens I. (B) pens II. (C) pens I e II. (D) pens I e III. (E) tods. R3. (ITA 0) Anlise eistênci de conjuntos A e B, mbos não vzios, tis que (A\B) U (B\A) = A 4. (ITA 0) Sejm A e B conjuntos finitos e não vzios tis que A B e n ({C : C B \ A}) = 8. Então, ds firmções bio: I n(b) n(a) é único; II n(b) + n(a) 8; III dupl ordend (n(a), n(b)) é únic. É (são) verddeir(s) (A) pens I. (B) pens II. (C) pens III. (D) pens I e II. (E) nenhum. 5. (ITA 00) Considere s firmções bio reltivs conjuntos A, B e C quisquer: I. A negção de A B é: A ou B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Dests, é (são) fls(s) (A) Apens I (B) pens II (C) pens III (D) pens I e III (E) pens nenhum. 6. (ITA 00) Sejm A, B e C conjuntos tis que C B, n(b\c) = 3n(B C) = 6n(A B), n(a B) = e (n(c), n(a), n(b)) é um progressão geométric de rzão r > 0. ) Determine n(c) b) Determine n(p(b\c)). 7. (ITA 008) Sejm X, Y, Z, W subconjuntos de N tis que (X Y ) Z = {,, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z Y =, W (X Z) = {7, 8}, X W Z = {, 4}. Então o conjunto [X (Z W)] [W (Y Z)] é igul Págin 7

18 (A) {,, 3, 4, 5} (B) {,, 3, 4, 7} (C) {, 3, 7, 8} (D) {, 3} (E) {7, 8}. 8. (ITA 007) Sej A um conjunto com 4 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igul 6 e disjuntos de B é: (A) 8 9. (B) 8. (C) 8 6. (D) 4 8. (E) 8. R9. (ITA 006) Considere A um conjunto não vzio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A,...,A m } P(A) é um prtição de A se s seguintes condições são stisfeits: I. A i, i =,..., m II. A i A j =, se i j, pr i, j =,..., m III. A = A A A m Dizemos ind que F é um prtição de ordem k se n(a i ) = k, i =,..., m. Supondo que n(a) = 8, determine: ) As ordens possíveis pr um prtição de A b) O número de prtições de A que têm ordem 0. (ITA 004) Sej A um conjunto não-vzio. ) Se n(a) = m, clcule n(p(a)) em termos de m. b) Denotndo P (A)=P(A) e P k + (A) = = P(P k (A)), pr todo número nturl k, determine o menor k, tl que n(p k (A)) 65000, sbendo que n(a) =. NÍVEL C IME. (IME 03) Considere os conjuntos A, B, C e D, não vzios, contidos no mesmo conjunto universo U. A simbologi F represent o complemento de um conjunto F em relção o conjunto U. Assinle opção corret (A) Se A D C e B D C então A B C (B) A B C A B C A B C A B (C) A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C (D) A B B C A C (E) Se A C e B C então A B C R. (IME 00) Sejm os conjuntos P, P, S e S tis que (P S ) P, (P S ) P E (S S ) (P P ). Demonstre que (S S ) (P P ). 3. (IME 0) Em relção à teori dos conjuntos, considere s seguintes firmtivs relcionds os conjuntos A, B e C: I. Se A B e B C então A C. II. Se A B e B C então A C. III. Se A B e B C então A C. Estão correts: Págin 8

19 (A) nenhum ds lterntivs (B) somente lterntiv I (C) somente s lterntivs I e II (D) somente s lterntivs II e III (E) tods s lterntivs 4. (IME 000) Três jogdores, cd um com um ddo, fizerm lnçmentos simultâneos. Ess operção foi repetid cinqüent vezes. Os ddos contêm três fces brncs e três fces prets. Desss 50 vezes. ) em 8 siu um fce pret pr o jogdor I; b) em 5 siu um fce brnc pr o jogdor II; c) em 7 siu um fce brnc pr o jogdor III; d) em 8 sírm fces prets pr os jogdores I e III e brnc pr o jogdor II; e) em 7 sírm fces brncs pr os jogdores II e III e pret pr o jogdor I; f) em 4 sírm fces prets pr os três jogdores; g) em sírm fces prets pr os jogdores II e III. Determine qunts vezes siu um fce pret pr pelo menos um jogdor. R5. (IME 987) Ddos dois conjuntos A e B, define-se A B (A B) (B A). Prove que ddos três conjuntos rbitrários X, Y e Z X (Y Z) (X Y) (X Z). Págin 9

20 CAPÍTULO 3 - PRODUTO CARTESIANO DEFINIÇÃO: Sejm A,B IR, o produto crtesino entre A e B é definido por: A B,y : A B. O Plno Crtesino é obtido pelo produto crtesino d ret por el mesm, ou sej, IR IR IR, y : IR y IR. A representção gráfic do plno crtesino é dd por um pr de eios perpendicurles, chmdos eios coordendos, cujo ponto em comum é chmdo de origem do plno crtesino. O eio horizontl é chmdo eio ds bscisss e seus pontos são representdos por,0, IR Qundo 0 o ponto locliz-se à direit d origem, cso contrário à esquerd,.. O eio verticl é chmdo eio ds ordends e seus pontos são representdos por, y, y IR Qundo y 0 o ponto locliz-se cim d origem, cso contrário bio. Assim origem é o ponto de coordends 0,0. 0. Os pontos não pertencentes nenhum dos eios serão representdos por, y,, y IR \ 0, y, onde os vlores de e y são obtidos pels coordends dos pontos de interseção ds perpendiculres trçds pelo ponto os eios coordendos. Os eios coordendos dividem o plno crtesino em qutro regiões disjunts chmds qudrntes, dest form define-se: 0 e y 0 0 e y 0 0 e y 0 0 e y 0, y Qudrnte, y Qudrnte, y 3 Qudrnte, y 4 Qudrnte Págin 0

21 As rets y e y são chmds respectivmente de bissetrizes dos qudrntes ímpres e pres. Págin

22 EXERCÍCIOS NÍVEL C ITA R. (ITA 999) Sejm E, F, G e H subconjuntos não vzios de R. Considere s firmções: I- Se (E G) (F H), então E F e G H. II- Se (E G) (F H), então (E G) (F H) = F H. III- Se (E G) (F H) = F H, então (E G) (F H) Então: (A) Apens firmção (I) é verddeir (B) Apens firmções (II) é verddeir (C) Apens s firmções (II) e (III) são verddeirs (D) Apens s firmções (I) e (II) são verddeirs (E) Tods s firmções são verddeirs.. (ITA 989) Sejm A, B e C subconjuntos de IR, não vzios, e A B = {p IR; p A e p B}. Dds s igulddes: -(A B)C = (AC) (BC) -(A B)C = (AB) (BC) 3-(A B) A (A B) B 4-A (BC) = (A B) (A C) 5-(A B)(B C) = (A B)(A B) Podemos grntir que: (A) e 4 são verddeirs. (B) e 5 são verddeirs. (C) 3 e 4 são verddeirs. (D) e 4 são verddeirs. (E) e 3 são verddeirs. Págin

23 CAPÍTULO 4 - RELAÇÃO DEFINIÇÃO: Sejm A,B IR, um Relção R de A em B é um subconjunto qulquer de A B. Em prticulr, um Relção R de IR em IR é um subconjunto qulquer de IR. Assim, região bio é um eemplo de um gráfico de um relção de IR em IR. DEFINIÇÃO: O Domínio e Imgem de um relção R de A em B são definidos por: D R :, y R. Im R y :,y R. DEFINIÇÃO: Sej R um Relção de A em B, Relção Invers R de B em A é definid por: R y, :, y R. Em prticulr, o gráfico de um relção e d su relção invers são simétricos em relção bissetriz dos qudrntes ímpres. DEFINIÇÃO: Um Relção de A em B é dit Refleiv se e somente, se:, R A,. Págin 3

24 DEFINIÇÃO: Um Relção de A em B é dit Simétric se e somente, se:,y R y, R. DEFINIÇÃO: Um Relção de A em B é dit Antissimétric se e somente, se:,y R y, R, y y,. DEFINIÇÃO: Um Relção de A em B é dit Trnsitiv se e somente, se:, y y,z R R, z R. DEFINIÇÃO: Um Relção de A em B é dit de Equivlênci se e somente, se é um Relção Refleiv, Simétric e Trnsitiv. DEFINIÇÃO: Um Relção de A em B é dit um Relção de Ordem se e somente, se é um Relção Refleiv, Antissimétric e Trnsitiv. Págin 4

25 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R. (EFOMM 006) Ddos A = {,3,4} e B = {,6,8,}, relção R = {(,y) A B y = + 4} de A em B é dd por: (A) {(3,6), (4,8)} (B) {(,6), (4,8)} (C) {(6,), (8,4)} (D) {(,6), (3,), (4,8)} (E) {(,), (3,6), (4,8)} NÍVEL C IME R. (IME 986) Sej N * o conjunto dos números nturis não nulos e n N*. Mostre que relção R n = {((, b), b N* e b é múltiplo de n } é um relção de equivlênci. R. (IME 984) Dd mtriz M = (m ij ) M = e o conjunto A = { ; ; 3 ; 4 }, define-se em A um relção R por: i R j m i j = Verifique se R é um relção de equivlênci. 3. (IME 983) Sej m um inteiro positivo. Define-se um relção m por R m = {(i; j) i = j + km; k inteiro}. Mostre que m é um relção de equivlênci. Págin 5

26 CAPÍTULO 5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS OPERAÇÃO Um operção definid em um conjunto é um relção que ssoci dois elementos de um conjunto um terceiro elemento, ou sej, *: A A B, *, : * Qundo o resultdo d operção for um elemento de A, operção é dit fechd, ssim, É um operção fechd. *: A A A, *, : * -NÚMEROS NATURAIS: IN 0,,,3,.... IN *,,3,.... CONJUNTOS NUMÉRICOS A som e multiplicção de dois números nturis são eemplos de operções fechds neste conjunto, logo: e : IN IN IN, b, b : b : IN IN IN, b, b : b Em prticulr, som e multiplicção gozm ds seguintes proprieddes:, b e c IN, temos:.-associatividade (ADIÇÃO): b c b c..- COMUTATIVIDADE (ADIÇÃO): b b..3- EXISTÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO (ADIÇÃO): e IN : e e, IN. Em relção os números nturis o elemento neutro d dição é o número zero..4- ASSOCIATIVIDADE (MULTIPLICAÇÃO): s s b c bc s. Págin 6

27 .5- COMUTATIVIDADE (MULTIPLICAÇÃO): b b..6 - EXISTÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO (MULTIPLICAÇÃO): e IN: e e, IN. p Em relção os números nturis, o elemento neutro d multiplicção é o número um..7- DISTRIBUTIVIDADE DA MULTIPLICAÇÃO EM RELAÇÃO À ADIÇÃO:.8- NÃO EXISTEM DIVISORES DE ZEROS: -NÚMEROS INTEIROS: Z...,,, 0,,,.... p p b c b c. 0, b IN : b 0 ou. b 0 Z *...,,,,,.... Repre que IN Z, porém eistem números inteiros que não são números nturis, cuj necessidde se percebe qundo se tent resolver, por eemplo, seguinte sentenç: De fto, suponh que hj solução nturl, então, 0. IN 0 0 IN. Definindo som e multiplicção de mneir nturl, defini-se operção de subtrção por: : Z Z Z, b, b : b ( b). As operções de dição, subtrção e multiplicção são fechds em relção o conjunto dos números inteiros, lém disso, ests operções gozm ds mesms proprieddes dos números nturis e d seguinte:.- INVERSO ADITIVO: 3-NÚMEROS RACIONAIS: p * Q : p Z q Z. q * p * * Q : p Z q Z. q Z, b Z : b b 0, b. Págin 7

28 Repre que IN Z Q, porém eistem números rcionis que não são números inteiros, cuj necessidde é percebid qundo se tent resolver seguinte sentenç: 0. De fto, suponh por bsurdo que hj solução inteir, então, Z impr Z. Definindo som, multiplicção e subtrção de mneir nturl, define-se operção de divisão por: : Q Q * Q b b, b, b : b. O conjunto dos números rcionis é fechdo em relção à dição, à subtrção, à multiplicção e à divisão, sempre que definid, e goz ds mesms proprieddes dos números inteiros e d seguinte: 3.- INVERSO MULTIPLICATIVO: * Q, b Q : b b, b. 4-NÚMEROS REAIS: A est ltur o leitor pode se perguntr se todo número pode ser escrito sob form de frção, respost pr est pergunt é não. Eiste necessidde de outros tipos de números, isto é percebido, por eemplo, qundo se tent resolver equção:. De fto, suponh que solução dest equção sej um número rcionl, dito isto, sbemos que pode ser escrito como rzão de dois números inteiros, sejm p e q inteiros com q não nulo e tis que: p *, p Z e q Z, mdc (p,q) q Então Logo, O que implic p p q p p p0 Z : p p0. q p0 q q p0 q q q0 Z : q q0 mdc(p,q). O que é um bsurdo um vez que por hipótese p e q são primos entre si. Logo há necessidde que eistm números que não podem ser escritos como rzão de dois números inteiros. Estes números serão chmdos de números Irrcionis. Define-se o conjunto dos números reis como união do conjunto dos números rcionis e dos números irrcionis. Geometricmente os números reis IR podem ser representdos pel ret, o que define um bijeção entre estes conjuntos, ou sej, cd ponto d ret corresponde um único número rel d mesm form que cd número rel corresponde um único ponto d ret. Est bijeção está definid menos de um ponto fio chmdo origem que represent o número zero e de um escl que define o sistem de unidde, em prticulr, est escl tmbém define os números nturis e os números inteiros. Págin 8

29 Os números rcionis podem ser obtidos construindo-se primeirmente os rcionis positivos menores que um, prtir de construções geométrics, depois estes são levdos tod ret prtir de trnslções. Dinte do que foi dito cim temos que IN Z Q IR. O conjunto dos números reis é fechdo em relção às qutros operções fundmentis: dição, subtrção, multiplicção e divisão, est últim estndo definid. Além disso, o conjunto dos números reis goz ds mesms proprieddes reltivs dição e multiplicção que os números rcionis. O conjunto dos números reis munido ds operções som e produto é chmdo de corpo dos números reis. 4.-INTERVALOS: Definem-se tmbém os seguintes conjuntos: INTEIROS POSITIVOS: Z *,, 3,.... INTEIROS NÃO NEGATIVOS: Z 0,,, 3,.... INTEIROS NEGATIVOS: Z *..., 3,,. INTEIROS NÃO POSITIVOS: Z..., 3,,, 0. RACIONAIS POSITIVOS: p p Q * Q : 0. q q RACIONAIS NÃO NEGATIVOS: Q p p Q : q q 0, b IR : b, b IR : b, b IR : b,b IR : b, IR :, IR :, IR :, IR : Págin 9

30 RACIONAIS NEGATIVOS: p p Q * Q : 0. q q RACIONAIS NÃO POSITIVOS: p p Q Q : 0. q q REAIS POSITIVOS: IR * IR : 0. REAIS NÃO NEGATIVOS: IR IR : 0. REAIS NEGATIVOS: IR * IR : 0. REAIS NÃO POSITIVOS: IR IR : 0. Págin 30

31 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA. (AFA 03) Considere os seguintes conjuntos numéricos IN, Z, Q, IR, II = IR Q e considere tmbém os seguintes conjuntos: A = (IN II) (IR Z) B = Q (Z IN) D = (IN II) (Q IN) Ds lterntivs bio, que present elementos que pertencem os conjuntos A, B e D, nest ordem, é (A) 3 ;3 e,3 (B) 0; 0 e 5 (C) 0; 5 e (D) 5 3;0,5 e R. (AFA 0) Se α =..., então (A) α (IR IN) (B) α pode ser escrito n form α = k, k Z (C) α [(Q Z) (IR Q)] (D) [(Z Q) (IR IN)] α 3. (AFA 008) Anlise s lterntivs bio e mrque corret. (A) Se = B {m N m² < 40}, então o número de elementos do conjunto B é 6. (B) Se α =, então α [(IR Q) (IR Z)] (C) Se c = + b e b é divisor de, então c é múltiplo de, necessrimente. (D) Se A =], 5[ e B =] 3,3[, então B A=] 3,[. R4. (AFA 005) Considere um subconjunto A contido em 3 são múltiplos de 4 7 são múltiplos de 0 5 são múltiplos de 0 e 9 são números ímpres. É correto dizer que y é um número: (A) pr menor que 9. (B) múltiplo de. (C) ímpr entre 0 e 0. (D) primo mior que. * N e constituído por y elementos dos quis: ESCOLA NAVAL R5. (EN 993) Sejm A = [0,], B = (,] e C = (,3). O complemento de A(B C) em relção o conjunto B é igul : (A) (,0) [,] (B) (,) (C) (,0] [,] (D) (,] (E) (,0) (,] Págin 3

32 NÍVEL B ITA R. (ITA 004) Sej o conjunto S = {r Q : r 0 e r }, sobre o qul são feits s seguintes firmções: 5 7 I. S e S 4 5 II. { IR : 0 } S = III. S. Pode-se dizer, então, que é (são) verddeir(s) pens (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) I (E) II NÍVEL C ITA. (ITA 0) Sejm r, r e r 3 números reis tis que r r e r +r +r 3 são rcionis. Ds firmções: I. Se r é rcionl ou r é rcionl, então r 3 é rcionl; II. Se r 3 é rcionl, então r + r é rcionl; III. Se r 3 é rcionl, então r e r são rcionis, é (são) sempre verddeir(s) (A) pens I. (B) pens II. (C) pens III. (D) pens I e II. (E) I, II e III. IME. (IME 993) Indique se é verddeiro (V) ou flso (F) o que se segue e justifique su respost. ) O conjunto dos números reis não tem pontos etremos reis; b) Eiste um número em Q (rcionis) cujo qudrdo é ; c) O ponto correspondente n escl dos números reis R está situdo entre os pontos e Págin 3

33 CAPÍTULO 6 - FUNÇÃO DEFINIÇÃO: Sejm A,B IR, um Função de A em B é um Relção de A em B tl que cd elemento de A é ssocido um único elemento de B. Represent-se um Função de A em B por: f O gráfico de um Função de A em B é representção dos pontos d função no plno crtesino, em prticulr: G f f : A Em seguid o gráfico de um função e o gráfico de um relção. B,f : A A B De fto, eistem pontos no domínio d circunferênci tis que ret perpendiculr o eio ds bscisss intercept o seu gráfico em mis de um ponto. O Domínio e o Contrdomínio e Imgem de um Função de A em B, são definidos por: D f CD Im f A f B f A y B : A, f y. Págin 33

34 CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES: FUNÇÃO INJETORA: Um função é injetor se e somente, se quisquer dois elementos distintos do seu domínio possuírem imgens distints, ou sej, O gráfico bio é um eemplo de gráfico de função injetor., A : f f. f é injetor Já o próimo não é um eemplo de gráfico de função injetor, um vez que eiste ponto n imgem tl que ret perpendiculr o eio ds ordends intercept o gráfico d função em mis de um ponto. FUNÇÃO SOBREJETORA: Diremos que um função é sobrejetor se e somente, se o conjunto imgem for igul o conjunto contrdomínio, ou sej, f é sobrejetor Im f CD f Págin 34

35 Sej, b c, d f : dependendo do conjunto imgem f pode ser um função sobrejetor, Ou não: No segundo cso eistem pontos no contrdomínio tis que ret perpendiculr o eio ds ordends por estes pontos não intercept o gráfico d função. FUNÇÃO BIJETORA: Diremos que um função é bijetor se e somente se for injetor e sobrejetor, ou sej, f é Bijetor f é Injetor e Sobrejetor Em seguid o gráfico de um função bijetor. Págin 35

36 CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES QUANTO AO CRESCIMENTO: FUNÇÃO CRESCENTE: Sej f : A B f é crescente f, A, f FUNÇÃO DECRESCENTE: Sej f : A B f é decrescent e f, A, f Obs.: Ests funções tmbém podem ser chmds de funções estritmente crescentes ou estritmente decrescentes. Obs.: Tod função crescente ou decrescente é injetor. FUNÇÃO NÃO CRESCENTE: f é não crescente f, A, f FUNÇÃO NÃO DECRESCENTE: f é não decrescent e f, A, f Págin 36

37 FUNÇÃO MONÓTONA: f é monóton f é crescente ou f é de crescente ou f é não crescente ou f é não de crescente CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES QUANTO À PARIDADE: FUNÇÃO PAR: Sej f : A B f é pr A, f f Obs.: O gráfico de um função pr é simétrico em relção os eios ds ordends. FUNÇÃO ÍMPAR: Sej f : A B f é ímpr A, f f Obs.: O gráfico de um função ímpr é simétrico em relção origem do sistem de coordends. Págin 37

38 FUNÇÃO PERIÓDICA: Sej f : A B f é periódic T 0 : A, f T f O Período de um função periódic é definido por: P mín T : TIR *, f T f, A Em seguid o gráfico de um função periódic: Obs.: Eistem funções periódics que não possuem período, por eemplo, s funções constntes, f :A B f () b FUNÇÃO COMPOSTA Sejm f : A B, g: C D funções, e os conjuntos B e C tis que, B C, define-se A Função Compost de f por g por: g f : A D y : g f () g ( f ( )) Págin 38

39 FUNÇÃO INVERSA Um vez que um função f : A B é um relção, sempre eiste su relção invers R f : B A. O Teorem seguinte dá condições pr que relção invers de um função tmbém sej um função. TEOREMA: Sej f : A B um função, então: f é bijetor R f : B A é função Se f : A B é um Função Bijetor, então Relção Invers de B em A é um função e é chmd de Função Invers de B em A f : B A. Em prticulr, f f f f y y, y B, A f f f id B f id A Onde id A é função identidde restrit o conjunto A. Obs.: Cso Ou sej, f : IR IR então f f f f () f f f id f (), IR TEOREMA: O gráfico de um função bijetor e o gráfico d su função invers são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres, ou sej, ret y. Págin 39

40 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA. (AFA 009) Um estudo sobre concentrção de um cndidto em provs de memorizção indicou que, com o tempo decorrido, su cpcidde de reção diminui. t A cpcidde de reção (E), E > 0, e o tempo decorrido (t), medido em hors, podem ser epressos pel relção E =. t 3 Sendo ssim, é INCORRETO firmr que (A) concentrção tende ser máim por volt de 0 minutos do início d prov. (B) cd intervlo de h de prov há um qued de 33, 3 % n cpcidde de reção. (C) cpcidde de reção nunc é menor que (D) se cpcidde de reção é 4, então o tempo t decorrido é mior que 4 minutos. R. (AFA 005) Observe os gráficos bio, ds funções f e g, definids no intervlo [ 0,] Págin 40

41 Com bse nos gráficos, ssinle lterntiv FALSA. (A) g(f (0,4)) g(f()), [ 0,]. (B) g(f (0,6)) g(f ()). (C) g(f (0,05)) g(f (0, )). (D) g(g()), [ 0,3;0,8 ]. R3. (AFA 00) Se f e g são funções de IR em IR definids por f(3+) = 4 (A) 5 (B) 5 9 (C) (D) 5. 3 e g( 3) = 5, então f(g()) ;e: 4. (AFA 00) Os números inteiros do domínio d função rel f () (5 ) ( 3) são s rízes d equção g() 0. Um epressão nlític d função g () é: 3 (A) 3 (B) 3 (C) 3 3 (D) 3. R5. (AFA 999) Sej D =,,3,4,5 e f: D R, função definid por f() = ( )( 4). Então, pode-se firmr que f (A) é bijetor. (B) é somente injetor. (C) é somente sobrejetor. (D) possui conjunto imgem com 3 elementos. ESCOLA NAVAL R6. (EN 0) Considere f um função definid no conjunto dos números nturis tl que f(n + ) = 3 + f(n), n N, f(0) = 0 e f() = 5. Qul o vlor de f (8) f (70)? (A) (B) 0 (C) 3 (D) 5 (E) 3 R7. (EN 993) Sejm h() = 3, t() = (A) (B) (C) (D) (E) 3, e, f() = t(h()). O vlor de f- (/9) é: Págin 4

42 8. (EN 990) Se, pr todo rel, f( + 3) = 3 + então f [f()] é igul : (A) 3 (B) 3 5 (C) 9 5 (D) 4 (E) (EN 989) Sbendo que f, g e h são funções reis de vriável rel e que f e g não se nulm, considere s firmções bio : I - fo (g + h) = fog + foh II - (g + h) of = gof + hof III - og fog f IV - fo fog g Podemos firmr que: (A) tods s firmtivs cim são verddeirs. (B) somente I II são verddeirs (C) somente IV é fls (D) somente II e III são verddeirs. (E) somente I é fls. R0. (EN 988) Sej {-, 0, }. Se f () = 3 (A) (B) 3 (C) 3 (D) 3 (E). 3 e f n+ () = f f () pr todo n nturl, então f 988 () igul : NÍVEL B EFOMM. (EFOMM 03) O gráfico d função contínu y = f(), no plno y, é um curv situd cim do eio pr > 0 e possui seguinte propriedde: A áre d região entre curv y = f() e o eio no intervlo b( > 0) é igul à áre entre curv e o eio no intervlo k kb (k > 0). Se áre d região entre curv y = f() e o eio pr no intervlo 3é o número A então áre entre curv y = f() e o eio no intervlo 9 43 vle: (A) A (B) 3A (C) 4A (D) 5A (E) 6A n Págin 4

43 AFA. (AFA 04) Considere os gráficos bio ds funções reis f : A IR e g :B IR. Sbe-se que A = [, ] ; B = ], t]; g( ) < f ( ) ; g(0) > f (0); g() < f () e g() = n pr todo. Anlise s firmtivs bio e mrque FALSA. (A) A função f é pr. (B) Se ] d,m [, então f (). g() < 0 (C) Im(g) = [n, r [ { s } (D) A função h :E IR dd por h() = está definid se E = { IR < d ou d < } f () g() 3. (AFA 03) O gráfico bio descreve um função f:a B Anlise s proposições que seguem. I. A = IR * II. f é sobrejetor se B = IR [ e, e] III. Pr infinitos vlores de A, tem-se f() = b IV. f( c) f(c) + f( b) + f(b) = b V. f é função pr. VI. IR f () f São verddeirs pens s proposições (A) I, III e IV (B) III, IV e V (C) I, II e VI (D) I, II e IV. 4. (AFA 04) Sej f um função qudrátic tl que: f () > 0 IR tem gráfico interceptndo o gráfico d função g, dd por g() =, num único ponto cuj bsciss é seu gráfico possui o ponto Q, simétrico do ponto R (0, 3) em relção à origem do sistem crtesino. Sej h um função fim cujo gráfico intercept o gráfico de f no eio Oy e no ponto de menor ordend de f. Assim sendo, o conjunto solução d inequção 3 0 f (). g() h() 5 0 contém o conjunto Págin 43

44 (A) [0, 8] (B) [, 7] (C) [, 6] (D) [3, 5] ITA R5. (ITA 005) Considere os conjuntos S = {0,, 4, 6}, T = {, 3, 5} e U = {0, } e s firmções: I. {0} S e S U II. {} S\ U e S T U = {0, } III. Eiste um função f : S Tinjetiv. IV. Nenhum função g : T Sé sobrejetiv. Então, é(são) verddeir(s) (A) pens I. (B) pens IV. (C) pens I e IV. (D) pens II e III. (E) pens III e IV. IME R6. (IME 007) Sej f : IR IR, onde IR é o conjunto dos números reis, tl que: f (4) 5 f ( 4) f (). f (4) O vlor de f( 4) é: 4 (A) 5 (B) 4 (C) 5 (D) 5 (E) 5 4. R7. (IME ) Considere os conjuntos A={(,),(,3),(,3)} e B={,,3,4,5}, e sej função f : A B tl que: f(,y) = + y É possível firmr que f é um função: (A) injetor (B) sobrejetor (C) bijetor (D) pr (E) ímpr. NÍVEL C EFOMM Págin 44

45 R. (EFOMM 00) Sej f: R R um função estritmente decrescente, quisquer l e reis, com l < tem-se f( l ) > f( ) Nesss condições, nlise s firmtivs bio. I - f é injetor. II - f pode ser um função pr. III- Se f possui invers, então su invers é estritmente decrescente. Assinle opção corret. (A) Apens s firmtivs I é verddeir. (B) Apens s firmtivs I e III são verddeirs. (C) Apens s firmtivs II e III são verddeirs. (D) As firmtivs I, II e III são verddeirs. (E) Apens firmtiv II é verddeir. ITA. (ITA 0) Considere funções f, g, f + g : IR IR. Ds firmções: I. Se f e g são injetors, f + g é injetor; II. Se f e g são sobrejetors, f + g é sobrejetor; III. Se f e g não são injetors, f + g não é injetor; IV. Se f e g não são sobrejetors, f + g não é sobrejetor, é (são) verddeir(s) (A) nenhum. (C) pens I e III. (E) tods. (B) pens I e II. (D) pens III e IV. R3. (ITA 005) Sej D = R \ {} e f : D D um função dd por f() = I. f é injetiv e sobrejetiv II. f é injetiv, ms não sobrejetiv III. f() + f = 0,pr todo D, 0 IV. f(). f( ), pr todo D Então, são verddeirs. Considere s firmções: (A) pens I e III. (B) pens I e IV. (C) pens II e III. (D) pens I, III e IV. (E) pens II, III e IV. R4. (ITA 003) Considere um função f : IR IR não- constnte e tl que f( + y) = f()f(y),, y IR. Ds firmções: I. f() > 0, IR. II. f(n) = [f()] n, IR, n IN*. III. f é pr. é (são) verddeir(s): (A) pens I e II. (B) pens II e III. (C) pens I e III. (D) tods. Págin 45

46 (E) nenhum. 5. (ITA 003) Mostre que tod função f : IR \ {0} IR, stisfzendo f(y) = f() + f(y) em todo seu domínio, é pr. 6. (ITA 00) Sejm, b, c reis não nulos e distintos, c > 0. Sendo pr função dd por: b f() =, c < < c. c Então f(), pr c < < c, é constnte e igul (A) + b. (B) + c. (C) c. (D) b. (E). R7. (ITA 00) Sej f : IR IR bijetor e ímpr. Mostre que função invers f : IR IR tmbém é ímpr. 8. (ITA 00) Sejm f, g : R R tis que f é pr e g é ímpr. Ds seguintes firmções I. f. g é ímpr, II. f g é pr, III. g f é ímpr, é (são) verddeir(s) (A) pens I (B) pens II (C) pens III (D) pens I e II (E) tods. 9. (ITA 009) Sej f: IR IR \ {0} um função stisfzendo às condições: f( + y) = f() f(y), pr todo, y IR e f(), pr todo IR \ {0}. Ds firmções: I. f pode ser ímpr. II. f (0) =. III. f é injetiv. IV. f não é sobrejetiv, pois f () > 0 pr todo IR. é(são) fls(s) pens (A) I e III. (B) II e III. (C) I e IV. (D) IV. (E) I (ITA 009) Sej f : IR \ { } IR definid por f() = ) Mostre que f é injetor. b) Determine D= {f(), IR \ { }} e f : D IR\ { }. R. (ITA 00) Se f : ] 0, [ IR é tl que, ] 0, [, f () e f() = f f 4 então desiguldde válid pr qulquer n =,, 3,... e 0 < < é: (A) f () n (B) f () n (C) f () n Págin 46

47 (D) f () n (E) f (). n. (ITA 999) Sejm f, g, h: R R funções tis que função compost h o g o f : R R é função identidde. Considere s firmções: I A função h é sobrejetor. II Se o R é tl que f( 0 ) = 0, então f() 0 pr todo R com 0. III A equção h() = 0 tem solução em R. Então: (A) Apens firmção (I) é verddeir. (B) Apens firmção (II) é verddeir. (C) Apens firmção (III) é verddeir. (D) Tods s firmções são verddeirs. (E) Tods s firmções são flss. 3. (ITA 997) Se Q e I representm, respectivmente, o conjunto dos números rcionis e o conjunto dos números irrcionis, considere s funções f, g : R R definids por: 0, se Q f (), se I, se Q g() 0, se I Sej J imgem d função compost f o g: R R. Podemos firmr que: (A) J = R (B) J = Q (C) J = {0} (D) J = {} (E) J = {0, }. R4. (ITA 997) Sej f, g : R R funções tis que g() = e f() + f( ) = ( ) 3, pr todo R. Então f[g()] é igul (A) ( ) 3 (B) ( ) 3 (C) 3 (D) (E). 5. (ITA 996) Sej f : * R R um função injetor tl que f () = 0 e f (. y) = f () + f (y) pr todo > 0 e y > 0. Se,, 5 3, 4 e 5 formm ness ordem um progressão geométric, onde i > 0 pr i =,, 3, 4, 5 e sbendo que f ( i ) = 3 f () i 4 i + f ( ) e f( ) = f ( ), então, o vlor de é: i i (A) (B) (C) 3 (D) 4 (E). 6. (ITA 993) Sej f: IR IR um função não nul, ímpr e periódic de período p. Considere s seguintes informções: I. f(p) 0 II. f( ) = f( p), IR III. f( ) = f( p), IR IV. f() = f( ), IR Podemos concluir que: Págin 47

48 (A) I e II são flss (B) I e III são flss (C) II e III são flss (D) I e IV são flss (E) II e IV são flss R7. (ITA 99) Dds s funções f:ir IR e g: IR IR, mbs estritmente decrescentes e sobrejetors, considere h = fog. Então podemos firmr que: (A) h é estritmente crescente, inversível e su invers é estritmente crescente. (B) h é estritmente decrescente, inversível e su invers é estritmente crescente. (C) h é estritmente crescente, ms não necessrimente inversível. (D) h é estritmente crescente, inversível e su invers é estritmente decrescente. (E) n.d. 8. (ITA 99) Considere s firmções: I- Se f: IR IR é um função pr e g: IR IR um função qulquer, então composição gof é um função pr. II- Se f: IR IR é um função pr e g: IR IR um função ímpr, então composição fog é um função pr. III- Se f: IR IR é um função ímpr e inversível então f - : IR IR é um função ímpr. Então: (A) Apens firmção I é fls; (B) Apens s firmções I e II são flss; (C) Apens firmção III é verddeir; (D) Tods s firmções são flss; (E) n.d (ITA 990) Sej função f: IR {} IR {3} definid por f() =. Sobre su invers podemos grntir que: (A) não está definid pois f é não injetor. (B) não está definid pois f não é sobrejetor. y (C) está definid por f - (y) =, y 3. y 3 y 5 (D) está definid por f - (y) =, y 3. y 3 y 5 (E) está definid por f - (y) =, y 3. y 3 IME 0.(IME 0_0) Sej, b e c números reis e distintos. Ao simplificr função rel, de vriável rel, ( b) ( c) ( c) ( ) ( ) ( b) f () b c, obtém se f() igul : ( b) ( c) (b c)(c ) (c )(c b) (A) ( + b + c) + bc (B) + bc (C) (D) (E) + bc. (IME 009) Sejm f um função bijetor de um vriável rel, definid pr todo conjunto dos números reis e s relções h e g, definids por: h : IR IR e 3, y h, y, f y Págin 48

49 g : IR IR 3, y g, y, f y Pode-se firmr que (A) h e g são sobrejetors. (B) h é injetor e g sobrejetor. (C) h e g não são bijetors. (D) h e g não são sobrejetors. (E) h não é injetor e g é bijetor. R. (IME 004) Sej um função f : IR {0} IR, onde IR represent o conjunto dos números reis, tl que f( / b) = f() f(b) pr e b pertencentes o domínio de f. Demonstre que f é um função pr. n (n ) R3. (IME 007) Sej f : IN IR um função tl que f (k) 008, onde N e IR são, respectivmente, o conjunto (n ) k0 dos números nturis e o dos números reis. Determine o vlor numérico de. f (006) R4. (IME 996) Sej f um função rel tl que, IR : f( + ) = + f () [f ()], f é periódic? Justifique. 5. (IME ). Considere um função que stisfz: L:IR. L é crescente, isto é, pr quisquer 0 y L Ly. Ly L L,, y IR. Mostre que: L 0 ; ) L L, IR b) L L L y, e y IR y c) L nl, IR e n IN ; n d) L L, IR e nin, n ; n 0 yl 0 L y L. e) n f) ; ;. IR R6. (IME 987) Sej f um função bijetor de um vriável rel e relção h, definid por h :IR IR Verifique se h é bijetor e clcule um relção g, tl que g h, y, y,, y IR h g, y, y,, y IR 3, y h, y, f y Págin 49

50 CAPÍTULO 7 - FUNÇÃO CONSTANTE DEFINIÇÃO: Sej b IR, relção: é um função, chmd função constnte. Definid função temos D f CD Im f f IR IR b. f : IR IR f ( ) GRÁFICO b, Págin 50

51 CAPÍTULO 8 - FUNÇÃO DO GRAU DEFINIÇÃO: Sejm IR e * b IR, relção: f : IR IR f ( ) b, é um função, chmd Função do Gru ou Função Afim, denomin-se o prâmetro por coeficiente ngulr e o prâmetro b por coeficiente liner. Definid ssim temos: D f CD Im f f IR IR IR. GRÁFICO O gráfico de um função do gru é um ret. Pr fzer um esboço do seu gráfico é fundmentl que se determine su riz, bem como seu comportmento. A riz de um função é o vlor de tl que f ( ) 0, em prticulr, riz de um função do gru é obtid resolvendo-se equção do gru ssocid. Ou sej, b f ( ) 0 b 0, 0 b.. O próimo psso é determinr o comportmento d função do Gru, que é ddo pelo coeficiente ngulr. Se 0 então função do Gru é crescente. De fto f ( ) f ( b Anlogmente se 0 Função do Gru é decrescente. b RESUMINDO:O gráfico de um função do gru tem em comum com o eio ds bscisss o ponto de coordends (,0) e com o eio ds ordends o ponto de coordends ( 0,b ) e o seu comportmento é ddo pelo sinl do coeficiente ngulr, cso este sej positivo função será crescente, cso contrário, será decrescente.. ) b Em prticulr função do gru é sobrejetor, pois, CD Im e é injetor, pois, f f f ( ) f ( b ), 0. A seguir seguem os esboços do gráfico de um função do gru, nos diferentes csos. CASO: < 0 e b > 0 b Págin 5

52 CASO: < 0 e b < 0 3 CASO: > 0 e b < 0 4 CASO: > 0 e b > 0 Págin 5

53 Anlisndo os gráficos cim concluímos que o sinl d função do gru é obtido de cordo com o sinl do coeficiente ngulr, ou sej, com o sinl de. RESUMINDO: À direit d riz função do gru tem o mesmo sinl do coeficiente ngulr. Obs.: Se b 0 função do gru pode ser chmd de função liner, neste cso o gráfico contém origem do plno crtesino. Obs.: Nem tod relção cujo gráfico é um ret é um função do gru, em prticulr podemos ter um função constnte f : IR IR f ( ) b Ou simplesmente um relção Págin 53

54 R : ( c, y) : y IR DEFINIÇÃO: Sejm EQUAÇÃO DO GRAU * IR, b IR, equção do gru de coeficientes e b é um sentenç bert equivlente à: DISCUSSÃO DE EQUAÇÕES DO TIPO b 0 : Sej b 0 onde,b IR, então: b 0. Se 0 equção b 0 é um equção do gru, neste cso equção é clssificd como possível e determind e b S. 0 A equção b 0 se reduz à: Assim temos dois csos nlisr b 0 e b 0. 0 b 0 Se 0 e b 0 equção se reduz Assim S IR já que todo número rel é solução, neste cso equção é clssificd como possível e indetermind. Se 0 e b 0 equção se reduz 0 b 0 é clssificd como impossível. RESUMINDO: e neste cso 0 0 e b 0 0 e b 0 Equção Im possível S já que nenhum número rel é solução, neste cso equção Equção Possível e det er mind Equção Possível e indet er mind Págin 54

55 DEFINIÇÃO: Sejm INEQUAÇÃO DO GRAU * IR, b IR, um inequção do gru de coeficientes e b é um sentenç bert equivlente b 0 ou b 0 ou b 0 ou b 0 A solução de um inequção do gru pode ser obtid pel nlise do gráfico d função do gru correspondente. Págin 55

56 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA. (AFA 03) Dois corredores prtem de um ponto o mesmo tempo e se deslocm d seguinte form: o primeiro é tl, que su velocidde y é dd em função d distânci por ele percorrid trvés de 4, se 00 y n n n 8, se 00n 00(n ) 00 em que n vri no conjunto dos números nturis não nulos. O segundo é tl que su velocidde y é dd em função d distânci por ele percorrid trvés de y = 4 00 Tis velociddes são mrcds em km/h, e s distâncis em metros. Assim sendo, mbos estrão à mesm velocidde pós terem percorrido (A) 00 m (B) 900 m (C) 000 m (D) 800 m R. (AFA 0) Pr ngrir fundos de formtur, os cdetes do º no d AFA vendem cmiss de mlh com o emblem d turm. Se o preço de vend de cd cmis é de 0 reis, eles vendem por mês 30 cmiss. Fizerm um pesquis e verificrm que, pr cd reis de desconto no preço de cd cmis, são vendids 6 cmiss mis por mês. Dess form é correto firmr que (A) é possível fzer mis de 0 descontos de reis. (B) tnto fz vender s cmiss reis cd um ou 8 reis cd um que o fturmento é o mesmo. (C) o máimo fturmento ocorre se são vendids menos de 40 cmiss por mês. (D) se o preço de vend de cd cmis é de 4 reis, então o fturmento é mior que 680 reis. R3. (AFA 00) N figur bio, tem-se representdo s funções f, g e h que indicm os vlores pgos, respectivmente, às locdors de utomóveis α, β e γ pr quilômetros roddos por di. Um pesso pretende lugr um crro e nlis s três opções. Após nálise, ess pesso conclui que optr pel locdor α o invés ds outrs dus locdors, é mis vntjoso qundo ]m, + [, m IR. O menor vlor possível pr m é (A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) 90 Págin 56

57 4. (AFA 009) Considere s funções reis f : IR IR dd por f() = +, g : IR IR dd por g() =, h : IR IR dd por h() = Sbendo-se que < 0, é INCORRETO firmr que (A) h() f() < g() (B) IR g() f() (C) se <, então f() < g() < h() (D) se < <, então f() < h() < g(). R5. (AFA 008) " A Arrecdção d CPMF, devido à mplição de su brngênci, e o umento d líquot, cresceu mis de 40% nos últimos nos (em bilhões de reis por no)". Supondo que o crescimento d rrecdção representdo no gráfico cim é liner do no 005 o no de 007 e que y% represent o umento d rrecdção do no de 005 o no de 006, é correto firmr que y é um número do intervlo: (A) [8, 9[ (B) [9, 0[ (C) [0, [ (D) [, [ 6. (AFA 008) Considere tbel pr cálculo do imposto de rend ser pgo à Receit federl no no de 007 no bse 006 (vlores rredonddos pr fcilitr os cálculos). Rendimento pr bse de cálculos (R$) Alíquot (%) Prcel deduzir (R$) té 4.999,99 Isento de 5.000, , ,00 cim de ,00 7, ,00 Pr se conhecer o rendimento pr bse de cálculo, deve-se subtrir do rendimento bruto tods s deduções que se tem direito. Esse rendimento pr bse de cálculo é multiplicdo pel líquot correspondente. Em seguid, subtri-se prcel deduzir correspondente, de cordo com tbel cim, obtendo-se ssim o vlor do imposto de rend ser pgo. Um trblhdor, cujo rendimento bruto foi de R$ ,00 teve direito às seguintes deduções: R$ 4.400,00 com o totl de gstos em educção, R$ 5.000,00 com o totl pgo à Previdênci, e R$.500,00 por dependente. Nesss condições, sbendo-se que o vlor do imposto pgo por este trblhdor, no no de 007, foi de R$ 3.55,00, o número de dependentes considerdo foi: (A) (B) 3 (C) 4 (D) 6 R7. (AFA 005) Sej: * 4 A N n e Sej: n N Págin 57

58 3 4 B Z 0 9 É incorreto firmr que: (A) A B tem 8 elementos. (B) A B. (C) B A 0. (D) A B B. 8. (AFA 005) Sej f função rel cujo gráfico se present seguir: Anlisndo o gráfico, é INCORRETO firmr que: (A) f (f ()) f (0,5). (B) f (0) f (), R. 5 (C) se g() f (), então g ( ) f. (D) f () 0, R. 9. (AFA 003) Anlise o gráfico bio ds funções f e g e mrque opção corret. (A) O gráfico d função h() = g() f() é um ret scendente. (B) O conjunto imgem d função s() = f(g()) é IR (C) f(). g() 0 t (D) g(f()) = g() IR. R0. (AFA 003) Considere função f: IRIR tl que (A) f é sobrejetor. (B) f é pr. (C) f não é pr nem ímpr. (D) Se f é definid de IR em IR +, f é bijetor., se f () e ssinle lterntiv verddeir., se Págin 58

59 . (AFA 003) N figur bio, tem-se o gráfico d função rel f em que f() represent o preço, pgo em reis, de quilogrms de um determindo produto. (Considere f() IR) De cordo com o gráfico, é INCORRETO firmr que (A) o preço pgo por 30 quilogrms do produto foi R$ 8,00. (B) com R$ 0,00, foi possível comprr 55 quilogrms do produto. (C) com R$ 36,00, foi possível comprr 7 quilogrms do produto. (D) com R$ 3,00, compr-se tnto 53, quilogrms, qunto 64 quilogrms do produto. R. (AFA 00) Um veículo de trnsporte de pssgeiro tem seu vlor comercil deprecido linermente, isto é, seu vlor comercil sofre desvlorizção constnte por no. Vej figur seguinte. Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, pós 5 nos de uso, por R$ 4.000,00. Sbendo-se que o vlor comercil do veículo tinge seu vlor mínimo pós 0 nos de uso, e que esse vlor mínimo corresponde 0% do vlor que tinh qundo er novo, então esse vlor mínimo é, em reis, (A) menor que 4500 (B) mior que 4500 e menor que 7000 (C) múltiplo de 7500 (D) um número que NÃO divide 000. R3. (AFA 999) Sej f um função rel do primeiro gru com f(0) = + f() e f( ) = f(0). Então, o vlor de f(3) é (A) 3. (B),5. (C). (D),5. R4. (AFA 994) O vlor de um máquin decresce linermente com o tempo, devido o desgste. Sbendo-se que hoje el vle dólres e dqui 5 nos.000 dólres, o seu vlor em dólres, dqui 3 nos, será: (A) 3600 (B) 400 (C) 4600 (D) 5000 R5. (EN 993) Temos < se e somente se: (A) > / (B) < / (C) 0 < < / (D) < 0 ou > / (E) < 0 ESCOLA NAVAL Págin 59

60 NÍVEL B EFOMM R. (EFOMM 00) O gráfico ds três funções polinomiis do gru, b e c definids, respectivmente, por (), b() e c () estão representds bio. Nesss condições, o conjunto solução d inequção (A) ( 4; ) U [3;+) (B) [ 4; ] U [3;+ ) (C) ( ; 4) U [ ;+ ) (D) [4;+ ) (E) R {4} (()).(b()) 3 (c()) (EFOMM 007) Um empres mercnte A pg R$ 000,00 fios mis R$ 600,00 por di de vigem e um empres B R$ 400,00 fios mis R$ 800,00 por di de vigem. Sbe-se que Mrcos trblh n empres A e Cláudio n B e obtiverm o mesmo vlor slril. Quntos dis eles ficrm embrcdos? (A) (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9. AFA 3. (AFA 0) Luiz possui um pequen confecção rtesnl de bolss. No gráfico bio, ret c represent o custo totl mensl com confecção de bolss e ret f represent o fturmento mensl de Luiz com confecção de bolss. Págin 60

61 Com bse nos ddos cim, é correto firmr que Luiz obtém lucro se, e somente se, vender (A) no mínimo bolss. (B) pelo menos bols. (C) etmente 3 bolss. (D) no mínimo 4 bolss. 4. (AFA 00) O Brsil tem um encontro mrcdo com o cos. No di o de junho começ o plno de rcionmento de energi. O modelo energético brsileiro é bsedo quse que eclusivmente em hidrelétrics, que produzem 97% d energi consumid no pís. Sem chuv, entr em colpso. Revist Vej 6/05/0 No gráfico bio, tem-se o nível d águ rmzend em um brrgem o longo dos últimos nos, que foi construíd pr represr águ fim de mover s turbins de um usin hidrelétric. Anlise s lterntivs e mrque opção corret. (A) O nível d águ permneceu constnte num período de 8 nos. (B) O nível de 80 metros foi tingido etmente dus vezes té o no 000. (C) Após o no de 000, o nível d águ d brrgem foi insuficiente pr gerr energi. (D) No período de , o nível d águ só diminuiu. 5. (AFA 995) A função liner f, dd por f() = + b, stisfz condição f(5 + ) = 5f() +. Então (A) = b (B) = b + (C) = b + (D) = (b + ) ESCOLA NAVAL R6. (EN 99) Representemos por min (, b) o menor dos números e b, isto é,, se b min (, b) = b, se b A solução d inequção min ( + 3, 3 5) < 4 é: (A) < / (B) < 3 Págin 6

62 (C) /< < 3 (D) > / (E) > 3 NÍVEL C AFA. (AFA 007) No gráfico bio estão representds s funções reis f e g sendo A = f g É FALSO firmr sobre s mesms funções que (A) (fog)() 0 g() (B) se s() = [f ()] 00.[g()], então o domínio de s é ddo por IR * 0 { } f () (C) o gráfico d função j definid por j() = possui pontos no 4º qudrnte g () (D) se h: IR B tl que h() = f(). g(), então h será bijetor se B = [, +[ ESCOLA NAVAL. (EN 99) Determine o conjunto-imgem d função (fog) pr: 0 se 0 se 0 f () se 0 e g() / se 0 0 se se (A) [0, ] {} (B) (, + ) (C) [0, ] (D) [0, + ) (E) {} ITA, 0 / R3. (ITA 006) Sej f : [0, ) IR definid por f() =., / Págin 6

63 f ( / ), / 0 Sej g : (-/, /) IR dd por g(), f ( / ), 0 / com f definid cim. Justificndo respost, determine se g é pr, ímpr ou nem pr nem ímpr. 4. (ITA 994) Dds s funções reis de vriável rel f() = m + e g() = + m, onde m é um constnte rel com 0 < m <, considere s firmções: I.(f o g)() = (g o f)(), pr lgum R. II. f(m) = g(m). III.Eiste R tl que (f o g)() = f(). IV.Eiste b R tl que (g o f)(b) = mb. V.0 < (g o f)(m) < 3. Podemos concluir que: (A)tods são verddeirs (B)pens três são verddeirs (C)pens um é verddeir (D)pens qutro são verddeirs (E)pens dus são verddeirs. Págin 63

64 DEFINIÇÃO: Sejm CAPÍTULO 9 - FUNÇÃO DO GRAU * IR, b, c IR, relção: é um função, chmd função do gru. Definid ssim tem-se f : IR IR f ( ) b c, D f CD IR f IR GRÁFICO O gráfico de um função do gru é um curv chmd prábol. Pr fzer um esboço do seu gráfico é fundmentl que nlisemos s rízes d equção do gru ssocid à função, bem como su concvidde. Primeirmente vmos estudr eistênci de rízes reis. As rízes de um função do gru são obtids resolvendo-se equção do gru ssocid. Então b c 0, 0 b c 0 b b b 4 c 0 b 4c 0 4 Chmndo b 4c temos b 4 0 b 4 Discussão d equção: 0 A equção não possui rízes reis S b 0 A equção possui dus rízes reis e iguis, pois 0 b 0 A equção possui dus rízes reis e desiguis, pois 4 b b S b b b b S, b O próimo psso é determinção do vértice d prábol, proveitndo ftorção cim temos que: f : IR IR b f ( ), 4 Págin 64

65 Como Temos que De qulquer mneir Em prticulr, obtemos que b 0 b b 0f () f ( ) 4 4 b b 0f () f ( ) 4 4 b V,. 4 0 Im, 4 e 0 Im f, 4 f Qunto à concvidde, se > 0 prábol tem concvidde voltd pr cim e cso contrário voltd pr bio. A seguir seguem os esboços do gráfico de um função do gru, nos diferentes csos. CASO: 0 0 CASO: 0 0 Págin 65

66 3 CASO: CASO: CASO: CASO: 0 0 Págin 66

67 Dos gráficos cim podemos concluir que: Se 0 função do gru tem o sinl oposto o sinl do prâmetro no intervlo compreendido pels rízes e o mesmo sinl do prâmetro no complemento do intervlo ds rízes. Se 0 função do gru tem o mesmo sinl do prâmetro pr todo número rel diferente ds rízes. Se 0 função do gru tem o mesmo sinl do prâmetro pr todo número rel. DEFINIÇÃO: Sejm Apens lembrndo, temos que: SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES: EQUAÇÃO DO GRAU * IR, b, c IR, equção do gru de coeficientes, b e c é um sentenç bert equivlente à: Sejm e s rízes d equção do gru Logo, b c 0 b b 0 S, b 0 S 0 S b c 0, podemos escrever b c ( ) ( ) b c ( )( ) b c ( ) b b c b ( ) S e P. c c Em prticulr temos s seguintes identiddes: S S, P c 0 P S P, c 0 P 3 S 3SP 3 S 3SP, c 0 3 P Págin 67

68 DISCUSSÃO DE EQUAÇÕES DO TIPO b c 0 : Sej b c 0 onde, b e c IR, então: 0 A equção b c 0 é um equção do gru e bst resolver conforme feito nteriormente. 0 A equção b c 0 se reduz b c 0 e discussão é feit conforme discussão de um equção do tipo b 0, vej o cpítulo 8. INEQUAÇÃO DO GRAU * DEFINIÇÃO: Sejm IR, be c IR., um inequção do gru de coeficientes, b e c é um sentenç bert equivlente à: b c 0 ou b c 0 ou b c 0 ou b c 0 A solução de um inequção do gru pode ser obtid pel nlise do gráfico d função do gru correspondente. Págin 68

69 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R. (EFOMM 006) Se M e N são s rízes de = 0, então (A) 6 (B) (C) (D) 3/5 (E) /6. vle: M N R. (EFOMM 005) O intervlo onde função f () = (A), (B),0 (C), (D), (E),0. com * IR, present sinl positivo é AFA 3 (AFA 03). O gráfico de um função polinomil do segundo gru y = f(), que tem como coordends do vértice (5, ) e pss pelo ponto (4, 3), tmbém pssrá pelo ponto de coordends (A) (, 36) (B) (0, 6) (C) (6, 4) (D) (, 8) 4. (AFA 00) Considere o esboço dos gráficos ds funções reis f, g e h, tis que f é do º gru e g e h são do º gru. Sbe-se que V é o vértice d prábol. O conjunto de todos os vlores de pr os quis h() > g() > f() é (A) IR ], 5[ Págin 69

70 (B) IR [, 5] (C) IR [, 3] (D) IR ], 3[ 5. (AFA 009) Considere que g : IR B, definid por g() = b + c é função pr e possui como gráfico o esboço bio. Mrque lterntiv INCORRETA. (A) Se B = [, + [, então função g é sobrejetor. (B) A função t : IR IR dd por t() = g() + é positiv IR (C) b < c < (D) A função h: IR IR dd por h() = g() possui um zero rel duplo. R6. (AFA 004) Sej f () b c ( 0) um função rel definid pr todo número rel. Sbendo-se que eistem dois números e, distintos, tis que f ().f ( ) 0, pode-se firmr que: (A) f pss necessrimente por um máimo. (B) f pss necessrimente por um mínimo. (C). é necessrimente negtivo. (D) b 4c 0. R7. (AFA 994) O polinômio do º gru y = b ( + ) +, com coeficientes reis, não possui riz rel se, e somente se: (A) b < 0 (B) b < 0 (C) b 4 > 0 (D) b b < 0 R8. (AFA 994) A solução d inequção > intervlo: (A) < < 5 (B) < < 3 (C) < < 3 (D) < < IME 5 0, no conjunto dos números reis, é dd pelo R9. (IME 999) Sejm s funções g() e h() ssim definids: g() = 3 4 ; h() = f (g()) = Determine função f() e fç seu gráfico. R0. (IME 994) Sej f : IR IR um função qudrátic tl que f()= +b+c, 0, IR. Sbendo que = e = 5 são s rízes e que f () = 8. Pede-se: )Determinr, b, c; b)clculr f (0); Págin 70

71 c)verificr se f () present máimo ou mínimo, justificndo respost; d)as coordends do ponto etremo; e)o esboço do gráfico. NÍVEL B AFA R. (AFA 0) Clssifique em (V) verddeiro ou (F) flso cd item bio, onde IR I) IR II)se e > 0, então { IR < 0 ou > } III)se > 0 e <, então < 0 Tem-se sequênci corret em (A) F V F (B) F F V (C) V F V (D) F V V R. (AFA 0) Considere função qudrátic f: A B de rízes = ou = 3, cujs coordends do vértice são iguis. Se f() 0 A e f é função crescente [p, q], então (q p) é igul (A) (B) (C) 3 (D) 4 3. (AFA 008) As funções f: IR IR do º gru e g: IR [b, + [ do º gru estão representds no gráfico bio. Com bse ns informções cim é correto firmr que: (A) o menor vlor de b que torn função g sobrejetor é um número inteiro (B) (gogof 5 ) > 0 Págin 7

72 f () (C) 0 { IR ou 4} g() (D) f() g() 0 { IR 0 ou 6} 4 7, se 4. (AFA 007) A função f definid por f() =, se 4 se (A) não dmite invers porque não é injetor. (B) não dmite invers porque eistem vlores de com váris imgens. (C) dmite invers e um ds sentençs que define mesm é y = 3 se 3 (D) dmite invers f tl que f (5) = 5. (AFA 005) Dd função rel f definid por f(), considere função rel g definid por g() f( m) k, sendo m, k R. É INCORRETO firmr que: (A) o gráfico d função g em relção o gráfico d função f é deslocdo k uniddes pr cim, se k 0, e m uniddes pr direit, se m 0. (B) se m 0 e k, então o conjunto imgem de g é ddo por Im yr y. (C) se m e k 3, então s coordends do vértice d prábol que represent g são ( m, k). (D) equção do eio de simetri d prábol que represent g é dd por m. 6. (AFA 007) Anlise s lterntivs bio e mrque FALSA. (A) Se função f: IR IR é tl que f() = + b, f(3) = 0 e f() > 0, então f é crescente em todo o seu domínio. (B) Se o gráfico d função qudrátic f definid por f() = + k + m é o d figur bio, então k m = (C) Sej f: IR IR tl que f() = 3 + e A um subconjunto do domínio de f. Se f é crescente em A e f() 0 em A, então A = [, ](D) Se n função f: IR IR tl que f() = + b + c, ( o tngente o eio ds bscisss. b, então, necessrimente, o gráfico d função f é 4 R7. (AFA 003) Observe o gráfico d função f bio. Págin 7

73 Sbendo que f é definid por (A) c < 0 (B) pk 0 (C) p = (D) b > 0. b c, se f () nlise s lterntivs e mrque opção corret. p k, se R8. (AFA 00) Um mlhri fmilir fbric cmisets um custo de R$,00 cd um e tem um despes fi semnl de R$ 50,00. Se são vendids cmisets por semn, o preço de reis unidde, então, o número de cmisets que 3 30 deve ser vendido por semn pr se obter o mior lucro possível é (A) 60 (B) 65 (C) 80 (D) 90. R9. (AFA 998) Sej f: [, ) [ 3, ) função definid por f() = 3 6. Se g: [ 3, ) [, ) é função invers de f, então [g(6) g(3)] é (A) 5 (B) 6 (C) 5 6 (D) (AFA 998) Cort-se um pedço de rme de comprimento 98 cm em dus prtes. Com um, fz-se um qudrdo, com outr, um retângulo com bse e ltur n rzão de 3 pr. Se som ds áres compreendids pels dus figurs for mínim, o comprimento, em cm, do rme destindo à construção do qudrdo será (A) 36 (B) 48 (C) 50 (D) 54. ITA. (ITA 004) Sej s funções f e g definids em IR por f() = + e g() = ( + ), em que e são números reis. Considere que ests funções são tis que Vlor mínimo f Ponto de mínimo < 0 g Vlor Ponto de máimo máimo 9 > 0 4 Então, som de todos os vlores de pr os quis (f o g) () = 0 é igul (A) 0 (B) (C) 4 (D) 6 (E) 8. Págin 73

74 R. (ITA 00) O conjunto de todos os vlores de m pr os quis função está definid e é não-negtiv pr todo rel é: 7 (A), 4 4 (B), 4 7 (C) 0, 4 (D), 4 7 (E),. 4 4 f() = (m 3) (m (m ) (m 3) ) 3. (ITA 999) Considere s funções f e g definids por f() =, pr 0 e g() = (A) [, +[ (B) ], [ (C) [, [ (D) ], [ (E) ], [ ], + [., pr. O conjunto de tods s soluções d inequção (g o f) () < g() é NÍVEL C AFA. (AFA 003) O conjunto { IR f() < 0}, onde f: IR IR é definid por f() = + + 3, com IR, é (A) ] ; [ (B) ] ; [ ] ; + [ (C) ] ; [ ]; + [ (D) ] ; + [.. (AFA 00) O retângulo, com bse no eio ds bscisss, está inscrito num prábol, conforme figur bio. O vlor de que fz esse retângulo ter perímetro máimo é (A) (B) 0,5 (C) 0,5 (D) 0,5. * Págin 74

75 3. (AFA 000) N figur bio, AC = BC, h = AB = 0 e SP é perpendiculr AB. O ponto S percorre AB e AS =. Nesss condições, áre d figur sombred pode ser epress por: (A) 5 se [0, 5] e se [5, 0] (B) se [0, 5] e se [5, 0] (C) 5 se [0, 5] e se [5, 0] (D) se [0, 5] e se [5, 0]. ESCOLA NAVAL 3 4. (EN 998) Considere os conjuntos A = R 0 e B = { R < 0}. O conjunto solução A B é 5 3 (A),4 3 (B),4 3 (C), (D) ], 4] (E), ]4, [ (EN 994) O conjunto solução d inequção: 0, é: (A) ], ] ], [ (B) ], ] ], [ (C) ], [ ]0,[ (D) ], [ ], [ (E) ], ] ],0 [. 6. (EN 993) O conjunto imgem d função f() = 6 6 é: (A) [ 4; 4] (B) (, 4] [4; ) (C) {0} (D) {-4; 4} (E) [0; ) 7. (EN 990) + > k pr todo rel se, e só se: (A) k < 0 (B) k > 0 (C) < k < (D) < k < (E) k > 3 4 Págin 75

76 8. (EN 988) Pr todo rel, -3 < (A) 3 < < (B) < < (C) 6 < <7 (D) < < 7 (E) 6 < < se e só se: ITA 9. (ITA 00) Determine todos os vlores de m IR tis que equção ( m) + m + m + = 0 tenh dus rízes reis distints e miores que zero. 0. (ITA 998) Sejm s funções f : R R e g : A R R, tis que f () 9 e ( f g)() 6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio A d função g é: (A) 3,. (B) R. (C) 5,. (D), 3,. (E), 6.. (ITA 996) Considere s funções reis f e g definids por f () =, R {, } e g () =, /}. O mior subconjunto de R onde pode ser definid compost f o g, tl que (f o g) () < 0, é: (A)], / [ ] /3, /4 [ (B)], [ ] /3, /4 [ (C)], [ ] /, [ (D)], [ (E)] /, /3 [. R {. (ITA 996) Sej f : R R definid por 3 3, 0 f () = 4 3, 0 Então: (A)f é bijetor e (f o f) ( /3) = f () (B)f é bijetor e (f o f) ( /3) = f (99) (C)f é sobrejetor ms não é injetor (D)f é injetor ms não é sobrejetor (E)f é bijetor e (f o f) ( /3) = f (3). 3. (ITA 995) Os ddos eperimentis d tbel bio correspondem às concentrções de um substânci químic medid em intervlos de segundo. Assumindo que linh que pss pelos três pontos eperimentis é um prábol, tem-se que concentrção ( em moles ) pós,5 segundos é: (A) 3,60 (B) 3,65 (C) 3,70 (D) 3,75 (E) 3,80. Tempo Concentrção s 3 moles 3,00 5,00,00 Págin 76

77 4. (ITA 990) Sej f: IR IR função definid por, se f() =, se 4, se Lembrndo que se A IR então f (A) = { IR: f() A} considere s firmções: I- f não é injetor e f - ([3, 5]) = {4} II- f não é sobrejetor e f - ([3, 5]) = f - ([, 6]) III- f é injetor e f - ([0, 4]) = [, +[ Então podemos grntir que: (A) Apens s firmções II e III são flss; (B) As firmções I e III são verddeirs; (C) Apens firmção II é verddeir; (D) Apens firmção III é verddeir; (E) Tods s firmções são flss. 5. (ITA 989) Os vlores de, 0 < < e π, pr os quis função f: IR IR dd por f() = 4 4 tg, ssume seu vlor mínimo igul 4, são: π 3π (A) e 4 4 π π (B) e 5 5 π π (C) e 3 3 π π (D) e 7 7 π 3π (E) e 5 5 IME 6. (IME 007) Sejm e s rízes d equção + (m 5) + m = 0. Sbendo que e são números inteiros, determine o conjunto de vlores possíveis pr m. 7. (IME 000) Considere, b e c números reis tis que < b < c. Prove que equção bio possui etmente dus rízes e, que stisfzem condição: < < b < < c. 0 b c R8. (IME 989) Resolv o sistem 7 3 y 3 y 4 y 0 9. (IME ) Dd equção m 3m = 0, onde m IR: ) Determine m tl que um riz sej nul; clcule outr riz. b) Mostre que equção dd tem sempre dus rízes distints. c) Determine m pr que um riz sej inferior e outr sej superior. 0. (IME 98) ) Sej função y = m ( + 8m) + 4(4m + ), onde m é um número ddo, ms vriável. Mostre que tods s curvs representtivs d função pssm por um ponto A fio e que são tods tngentes entre si, neste ponto. Clcule s coordends do ponto A e dê equção d tngente comum. Págin 77

78 b) Determine os dois vlores de m pr os quis rzão entre s rízes d equção m ( + 8m) + 4(4m+ ) = 0, é igul ( ). 4. (IME 98) Determine os vlores de h, de modo que desiguldde h 3 < < 3 sej válid pr qulquer rel. Págin 78

79 CAPÍTULO 0 - FUNÇÃO MODULAR DEFINIÇÃO: A relção f :IR IR, 0 f () :, 0 É um função, chmd função modulr. Definid ssim temos D f CD Im f IR f IR IR GRÁFICO O gráfico de um função modulr é obtido de mneir imedit d su definição EQUAÇÃO MODULAR DEFINIÇÃO: Sej IR, um equção modulr é um sentenç bert equivlente à: Assim,. 0 S 0 S 0 S 0 INEQUAÇÃO MODULAR DEFINIÇÃO: Sej IR, um inequção modulr é um sentenç bert equivlente à: ou ou ou A solução de um inequção modulr é obtid pel definição do módulo. Págin 79

80 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R. (AFA 999) O conjunto solução d inequção 9 9 (A) R (B) R (C) R (D) R ou < 5 é. (AFA 0) Considere função rel g : A IR tl que NÍVEL B AFA g() Sbendo-se que o conjunto A é o mis mplo possível, é verdde que (A) A tl que g()=- (B)se h g (C)se 0, então tl que (D) ], [, então h possui riz rel. g 0 g 3. (AFA 007) Sobre função rel definid por f() = 3, se ou ( ),se, pode-se dizer que (A) tem o vlor máimo igul (B) f() 7 ou (C) f() > 0, IR (D) se < <, então 0 < y 3. (AFA 005) Considere função (A), se 0 f(). A função g() f () terá o seguinte gráfico:, se 0 (B) Págin 80

81 (C) (D) 4. (AFA 003) Anlise s proposições bio clssificndo-s em V (verddeiro) ou F (flso), considerndo funções reis. ( ) O domínio e imgem d função g definid por g() 9 ( ) Se f() = e g() = f( + m) f() então g() é igul m(4 + m) ( ) Se h(), então h () = h() A seqüênci corret é (A) F V V (B) F V F (C) V F V (D) V V F. são, respectivmente, 3,3 e 0, ESCOLA NAVAL 3 R5. (EN 005) O conjunto dos números reis que stisfz desiguldde 4 é: 5 (A) ], [ ], [. (B) ], [,. 6 (C) (E) 5 3 5,,. (D) 6,, ,, (EN 990) A equção + 3 = + : (A) não possui solução pr < ; (B) possui dus soluções pr > ; (C) possui solução únic pr < /3; (D) possui solução únic pr < < /3; (E) possui dus soluções pr < < /3. Págin 8

82 7. (EN 989) O conjunto solução d inequção 3 + > é (A) (/3, ) (B) (, ) (C) (/3,) (D) (E) (,) 8. (EN 987) Sejm A = { R 4 } e B = { R < 0}. A diferenç A B é igul : (A){ R < 4} (B){ R 4} (C){ R 4 < 6} (D){ R 6 < < 0} (E){ R 6 < 0}. NÍVEL C ESCOLA NAVAL. (EN 006) O conjunto de todos os números reis que stisfzem desiguldde é: (A),, 5, (B),, 5, 3,., 5 5,. (C) 5, (D) (E) 5,,. 3. (EN 997) O máimo bsoluto e o mínimo bsoluto d função rel f() = 0 se 6 ou 3 se 6 se se são, respectivmente: (A) e (B) e (C) e 0 (D) e 0 (E) 3 e. 3. (EN 994) O conjunto solução de 3 3 (A) ] 8 5,3[ ]3, [ (B) ] 3,0[ ]0, [ (C) ],8 5[ ]3,0[ é: Págin 8

83 (D) ] 8 5,3[ ]3,0[ (E) ] 8 5,3[ ]0, [. ITA 4. (ITA 00) O produto ds rízes reis d equção 3 + = 3 é igul : (A) 5 (B) (C) (D) (E) (ITA 00) Os vlores de R, pr os quis função rel dd por f() = 5 6. Está definid, formm o conjunto (A) [0, ] (B) [ 5, 6] (C) [ 5, 0] [, ) (D)(, 0] [, 6] (E) [ 5, 0] [, 6]. 6. (ITA 99) Se A = { IR : }, então temos: (A) A = [, ] [4, + [ (B) A = [, 4] (C) A = [ 3, ] (A) A = ], 3] [, + [ (E) n.d.. Págin 83

84 CAPÍTULO - FUNÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO: Sej IR, 0 e. A relção f : IR IR f É um função, chmd função eponencil de bse, em prticulr, tem-se D f CD IR f IR Im f IR. GRÁFICO O gráfico de um função eponencil é um curv que possui lgums prticulriddes, por eemplo, pr todo IR, 0 e, temos f (0), ou sej, o gráfico de tod função eponencil contem o ponto ( 0, ).O próimo psso é determinr o comportmento d função eponencil qunto o crescimento. Se > então logo função eponencil é crescente. Se 0 < < então, logo é função eponencil é decrescente. Assim ddo IR, 0 e, função eponencil de bse é um função injetor. Em seguid um esboço pr o gráfico de um função eponencil nos dois csos: Págin 84

85 EQUAÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO: Sej IR, 0 e, um equção eponencil de bse é um sentenç bert equivlente b. Discussão de equções do tipo b : Se b 0 equção eponencil é possível e determind. Se b 0 equção eponencil é impossível. INEQUAÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO: Sej IR, 0 e, um inequção eponencil de bse é um sentenç bert equivlente b ou b ou b ou b A solução de um inequção eponencil é obtid prtir do comportmento d função. Págin 85

86 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA. (AFA 00) Todo número rel positivo pode ser descrito n form 0. Tendo em vist que = 0 0,30, então o epoente, tl que 5 = 0 vle, proimdmente, (A) 0,5 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0,70.. (AFA 00) Se IR e 7 5 = 43, então 7-3 é igul : (A) /3 (B) /9 (C) /7 (D) /8. 3. (AFA 00) No intervlo [ -, 00], o número de soluções inteirs d inequção 3 8 > 3 - é: (A) 97 (B) 98 (C) 99 (D) (AFA 000) A som ds rízes d equção (A) (B) (C) 3 (D) = 8 é: 5. (AFA 998) O conjunto solução d inequção (0,5) ( ) < (0,5),5 é (A) { R l < }. (B) { R l > 3}. (C) { R l < < 3}. (D) { R l < ou > 3}. 6. (AFA 995) O conjunto solução d inequção + (0,75) + < é: (A) (B){ IR / > 0} (C) { IR / < 0) (D) { IR / ¼ < < } 7. (AFA 994) A solução d inequção eponencil 5 5 (A) ( R 0 ) (B) ( R ) (C) ( R 0 ) (D) ( R ou ) é: Págin 86

87 4 8. (AFA 990) O conjunto solução d desiguldde: 8 + é: (A) { IR } (B) { IR } (C) { IR ou } (D) { IR ou } (E) nr 9. (AFA 989) O triplo d solução d equção (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) (AFA 989) A solução d equção = 0 é : (A) 0/3 (B) 0 (C) (D) é igul : ESCOLA NAVAL. (EN 986) A inequção / < /4 se verific pr todo pertencente : (A) (, ) (B) (, ) (C) (, 0) (D) (, 0) (E) (0, ). ITA. (ITA 006) Considere equção ( )/( + ) = m, n vriável rel, com 0 <. O conjunto de todos os vlores de m pr os quis est equção dmite solução rel é: (A) (, 0) (0,) (B) (, ) (, + ) (C) (, ) (D) (0, ) (E) (, + ). 3. (ITA 000) A som ds rízes reis e positivs d equção vle: (A) (B) 5 (C) (D) (E) 3. Págin 87

88 4. (ITA 000) Sej S = [, ] e considere s firmções: (I) 6, pr todo S. 4 (II), pr todo S. 3 3 (III) 0, pr todo S. Então, podemos dizer que: (A) pens (I) é verddeir; (B) pens (III) é verddeir; (C) somente (I) e (II) são verddeirs; (D) pens (II) é fls; (E) tods s firmções são flss 5. (ITA 999) Sejm f, g: R R funções definids por f() = (3/) e g() = (/3). Considere s firmções: I.Os gráficos de f e g não se interceptm. II.As funções f e g são crescentes. III.f( ) g( ) = f( ) g( ). Então: (A)pens firmção I é fls; (B)pens firmção III é fls; (C)pens s firmções I e II são flss; (D)pens s firmções II e III são flss; (E)tods s firmções são flss. 6. (ITA 999) Sej R com >. O conjunto de tods s soluções reis d inequção é: (A) ], [ (B) ], + [ (C) ] /, [ (D) ], [ (E) vzio. ( ) IME 7. (IME ) Dd função f() = (56 56 ), demonstre que: f( + y) + f( y) = f() f(y) NÍVEL B EFOMM. (EFOMM 008) Em um cert região, ocorreu um infecção virl que se comportou de cordo com função: N(t)=. b.t, em que N(t) são pessos infectds em t dis pós relizção do estudo; e b constntes reis. Sbe-se que, o inicir o estudo, hvi 3000 pessos infectds e que, pós dis, esse número chegv 4000 pessos. Assinle lterntiv que represent o número de pessos infectds pós 6 hors. (A) (B) (C) (D) (E) Págin 88

89 AFA. (AFA 009_00) Sejm s funções f : IN IR e g : IN IR definids por f() = e g() = Considere os números A e B, tis que A = f() + f() f(50) e B = + g() + g() g(n) +... Se o produto de A por B tende pr o número α, então, α é (A) ímpr múltiplo de 9 (B) pr divisor de (C) pr múltiplo de 5 (D) ímpr múltiplo de 5 3. (AFA 008) Sbendo-se que b é um número rel tl que b > e que função rel f: IR B é tl que f() = b lterntivs bio e mrque FALSA. (A) A função f dmite vlor mínimo. (B) b f() < (C) A função f é pr. (D) Se B = [0, [ então f é sobrejetor., nlise s 4. (AFA 006) Sej f : R B função definid por f () ( R e ). Anlise s firmtivs bio, clssificndos em (V) verddeirs(s) ou (F) fls(s). ( ) f (p q) f (p) f (q), p,q R. ( ) f é crescente R. ( ) Se ],0[, então 3 y,. ( ) Se B ], [, então f é bijetor. A seqüênci corret é: (A) F F V V. (B) F V F V. (C) V F F F. (D) F V V V. 5. (AFA 006) Assinle lterntiv INCORRETA: (A) O conjunto solução d inequção ( 3) e R. (B) O número rel que stisfz sentenç 3 5 -e divisor de 04. (C) A função eponencil definid por f () ( 4) é decrescente se 4 5. (D) Se y 0 é um número entre e , então está entre 4 e (AFA 003) Anlise os itens bio clssificndo-os em V (verddeiro) ou F (flso). ( ) Em, o conjunto solução d inequção 8. (0,5) 0 é ddo por [4, + [ e ( ) A função rel y = é crescente IR (considere e bse dos logritmos neperinos) ( ) Se f() =, então f(). f(b) é sempre igul f( + b), onde e b são reis quisquer A seqüênci corret é (A) F F V (B) V V F (C) F V V (D) V F F. Págin 89

90 7. (AFA 997) O produto ds rízes d equção pertence o conjunto dos números: (A) nturis e é primo (B) inteiros e é múltiplo de qutro (C) compleos e é imginário puro (D) rcionis positivos e é um frção imprópri. 8. (AFA 996) A solução d equção =,9 é: (A) {0} (B) {} (C) { } (D) {,}. 9. (EN 005) Dds s funções reis (A) 0. (B) 3. (C). (D) 3. ESCOLA NAVAL 00 f () e () g, pode-se firmr que (g f )(90) é igul : (E) (EN 004) O vlor de é: (A) 8. (B) 3. (C). (D) 4. (E) 4. y onde e y são números inteiros que stisfzem equção 6 y 3 3 y. (EN 988) A solução d equção bio = pertence o intervlo: (A) (, ) (B) (, 0) (C) (0, ) (D) (, ) (E) (, ). 94. (EN 007) No universo U IR, o conjunto solução d inequção., 4,., 0., ,,4. (A) 0,, 4 (B) (C) (D) (E) é: Págin 90

91 4 3. (EN 005) O conjunto solução d inequção ( ) 3, onde é um vriável rel, é: () 3 (A) ], 3[ ], [. (B) ], 3[ ], [. (C) ], [ ],3[. (D) ],[ ] 3, [. (E) ] 3,[ ], [. 4. (EN 994) O domínio d função (A) ], 5[ (B) ],5[ (C) ] 5, [ (D) ] 5, [ (E) ] 5,5[. 3 y é: ( 3) 43 ITA 5. (ITA 03) A som de todos os números reis que stisfzem equção é igul (A) 8. (B). (C) 6. (D) 8. (E) (ITA 004) Sej um número rel, com 0 < <. Assinle lterntiv que represent o conjunto de todos os vlores de tis que <. (A) ], 0] [, +[ (B) ], 0[ ], +[ (C) ]0, [ (D) ], 0[ (E) ], +[. 7. (ITA 00) Sejm f e g dus funções definids por 3sen f() = e g() = R 3sen, A som do vlor mínimo de f com o vlor mínimo de g é igul (A) 0 (B) 4 (C) 4 (D) (E). Págin 9

92 IME 8. (IME 008) Assinle opção correspondente os vlores de K pr os quis o sistem de equções ddo por: y y e e e, dmite solução rel. y K (A) 0 K (B) 0 K ln (C) K e - (D) K > ln4 (E) 0 K. e e 9. (IME 008) Sejm f() = e e definidos por h(0,5) e h(0,75) respectivmente, áre desse triângulo é igul : e (A) (B) (C) 7 (D) 0 (E) e., g() = e e h() = g(f ()). Se os vlores d bse e d ltur de um triângulo são 0. (IME 97) Dizemos que f : R R é um função eponencil se f() =, R, onde é um constnte rel estritmente positiv. Determine s funções eponenciis que stisfzem equção: 6f(+5)+f(+4) 43f(+3) 43f(+)+f(+ )+6f() = 0 NÍVEL C EFOMM. (EFOMM 009) A equção + cos(π ) = 0 tem qunts rízes no intervlo [0, π]? (A) Zero. (B) Um. (C) Dus. (D) Três. (E) Qutro. ITA. (ITA 00) A epressão 4e + 9e y 6e 54e y + 6 = 0, com e y reis, represent: (A) o conjunto vzio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(,y) IR (e ) + 3(e y 3) = }. 3. (ITA 998) Sej f: R R função definid por f() = 3, onde é um número rel 0 < <. Sobre s firmções: (I) f( + y) = f() f(y), pr todo, y R; (II) f é bijetor; (III)f é crescente e f( ]0, + [ ) = ] 3, 0[. Podemos concluir que: (A) Tods s firmções são flss; (B) Tods s firmções são verddeirs; Págin 9

93 (C) Apens s firmções (I) e (III) são verddeirs; (D) Apens firmção (II) é verddeir; (E) Apens firmção (III) é verddeir. 4. (ITA 993) Um cidente de crro foi presencido por /65 d populção de Votuporng (SP). O número de pessos que B soube do contecimento t hors pós é ddo por: f (t) = onde B é populção d cidde. Sbendo-se que /9 d kt Ce populção soube do cidente 3 hors pós, então o tempo pssou té que /5 d populção soubesse d notíci foi de: (A) 4 hors. (B) 5 hors. (C) 6 hors. (D) 5 hors e 4 min. (E) 5 hors e 30 min. 5. (ITA 99) Considere s funções f: IR* IR g: IR IR, e h: IR* IR definids por: f() 3, g() =, h() = 8/. O conjunto dos vlores de em IR* tis que (fog)() = (hof)(), é subconjunto de: (A) [0, 3] (B) [3, 7] (C) [ 6, ] (D) [, ] (E) n.d.. e 6. (ITA 990) Dds s funções f() = e (A) mbs são pres. (B) f é pr e g é ímpr. (C) f é ímpr e g é pr. (D) f não é pr e nem ímpr e g é pr. (E) mbs são ímpres., X {0} g() = sen, IR, podemos firmr que: IME 4 7. (IME 998) Determine os vlores de que stisfçm à inequção, > 0, e represente, grficmente, 9 função, y = (IME 997) Resolv o sistem bio: y y y onde e 0 Págin 93

94 CAPÍTULO - FUNÇÃO LOGARITMO DEFINIÇÃO: O logritmo de um número rel positivo, n bse IR, 0 e, é o número rel y tl que y, ssim, escrevesse y log RESUMINDO:, em prticulr é chmdo de logritmndo. Se IR, 0 e 0 então: E.: log log 8 7. y y log. DEFINIÇÃO: Sej IR, 0 e, relção: f : IR IR f log. é um função chmd função logritmo de bse, em prticulr, tem-se: D f IR CD f IR Im f R.. GRÁFICO Decorre d definição que função logritmo n bse é função invers d função eponencil n bse, logo seu gráfico é o simétrico do gráfico d função eponencil em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres. Assim pr IR, tem-se E pr IR, 0 temos: Págin 94

95 SISTEMA DE LOGARITMOS: Sistem de logritmos n bse é o conjunto dos logritmos de todos os números reis positivos n bse. Os sistems mis usdos são o sistem deciml e o sistem neperino. Sistem deciml (bse 0): Neste cso 0, os logritmos podem ser representdos simplesmente por log em vez de log 0. Sistem neperino: A bse do logritmo é o número irrcionl e definido por: lim e n n Os logritmos são representdos simplesmente por ln. log Obs.: Um consequênci d definição de logritmo é que. n,7. LOGARITMO Definido o logritmo, seguir enumermos sus principis proprieddes: Sejm,b e c IR, 0, b 0 e c0 e então:. LOGARITMO DO PRODUTO: Demonstrção: Sejm log log log b m b c n n c bc log b log m bc. LOGARITMO DO QUOCIENTE: c. m n m n log bc log bc log b log c. mn log bc m n b log b log c. c Págin 95

96 Demonstrção: Sejm log log log b m b c n n c b c log m b log b c c. m n mn b c mn log b c m n 3. LOGARITMO DA POTÊNCIA Demonstrção: Sej log b y, então : b y b y b y log b log log b log y log b, IR. b y log b log b. 4. POTÊNCIA DA BASE Demonstrção: Sej log b y, então : b y b 5. MUDANÇA DE BASE log b log b, IR y y b log b y log b y log b log b.. Demonstrção: logc b m b c logc n c m n log b log c n c m m n logc b log b. log log c c m n c log b logc b log c. DEFINIÇÃO: O Anti-logritmo n bse é definido por: log y nti log y. E.: log 5 3 nti log DEFINIÇÃO: O Cologritmo n bse é definido por: E.3: log 8 4 co log co log log. EQUAÇÃO LOGARÍTMICA DEFINIÇÃO: Sej IR, 0 e, um equção logrítmic de bse é um sentenç bert equivlente à: log b. Págin 96

97 DISCUSSÃO DE EQUAÇÕES DO TIPO log b. : A equção logrítmic é sempre possível e determind. INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA DEFINIÇÃO: Sej IR, 0 e, um inequção logrítmic de bse é um sentenç bert equivlente à: log b ou log b ou log b ou log b A solução de um inequção logrítmic é obtid prtir do comportmento d função. Págin 97

98 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM. (EFOMM 03) O número de bctéris B, num cultur, pós t hors, é B = B 0 e kt, onde K é um constnte rel. Sbendo-se que o número inicil de bctéris é 00 e que ess quntidde duplic em t = ln hors, então o número N de bctéris, pós hors, stisfz: (A) 800 < N < 600 (B) 600 < N < 800 (C) 800 < N < 8000 (D) 8000 < N < (E) < N < (EFOMM 00) Sbendo que o log 3o 3 = e log 30 5 = b, que opção represent log l0? (A) b (B) b (C) b (D) b (E) b 3. (EFOMM 009) Os domínios ds funções reis f() = log e g() =.log são D e D, respectivmente. Sendo ssim, podese firmr que (A) D = D (B) D D, ms D D (C) D D, ms D D (D) D D, e D D = (E) D D, D D e D. 4. (EFOMM 006) Se Log = 0,477 e Log b = 0,300, então Log b é (A) 0,76 (B) 0,76 (C) 0,778 (D) 0,839 (E) 0, (EFOMM 005) Determine o domínio d função rel y = log Págin 98

99 (A) D = { IR / 0 < 4} (B) D = { IR / 0 > 4} (C) D = { IR / 0 < } (D) D = { IR / 0 > } (E) D = { IR / < 4}. AFA 6. (AFA 04) Pesquiss relizds verificrm que, no plnet Terr, no início do no de 03, populção de pássros d espécie A er vezes populção de pássros d espécie B. Sbe-se que populção de pássros d espécie A cresce um t de 5% o no, enqunto que populção de pássros d espécie B cresce um t de 0% o no. Com bse nesses ddos, é correto firmr que, esss dus populções de pássros serão iguis (Considere: log 7= 0,85; log 6= 0,78; log =0,3 ) (A) no º semestre do no de 034. (B) no º semestre do no de 034. (C) no º semestre do no de 035. (D) no º semestre do no de (AFA 03) No plno crtesino, sej P(, b) o ponto de interseção entre s curvs dds pels funções reis f e g definids por f () e g() log (A) log log (B) log log (C) log log (D) log log É correto firmr que 8. (AFA 0) Considere um plicção finnceir denomind UNI que rende juros mensis de M log7 96 e outr plicção finnceir denomind DUNI que rende juros mensis de N log4 9 A rzão entre os juros mensis de M e N, ness ordem, é (A) 70% (B) / 3 (C) 4 / 3 (D) 80% 9. (AFA 009) Se função rel f é definid por f() = log 3 (3 + 4) log 3 ( ), então o conjunto de vlores de pr os quis f() < é 7 (A) IR 3 (B) IR (C) IR 7 ou 3 Págin 99

100 (D) 7 IR 3 0. (AFA 007) De cordo com Richter (935), energi E (medid em joules) liberd por um terremoto de mgnitude M, obedece à equção M = 0,67. log E 3,5 Bsendo-se nisso, é FALSO firmr que (dotr log = 0,3) ) se energi de,0. 0 joules equivle à de um bomb tômic como lnçd sobre Hiroshim, então, o vlor d mgnitude de um terremoto cuj energi liberd equivle 000 bombs tômics como lnçd sobre Hiroshim, é um número do intervlo ] 7; 7,3 ] (B) o créscimo de 0,67 uniddes n mgnitude de um terremoto n escl Richter corresponde um terremoto cerc de 0 vezes mis intenso em termos de energi liberd. (C) o crescimento n mgnitude de terremotos n escl Richter, crret um umento eponencil d energi liberd. (D) energi de,0. 0 joules (equivlente à de um bomb tômic como lnçd sobre Hiroshim) corresponde à ocorrênci de um terremoto de mgnitude superior 5 pontos n escl Richter.. (AFA 007) Dd função rel f tl que f() = correto firmr que o conjunto D, domínio de f é igul (A) { IR e } (B) { IR* < < } (C) { IR < ou > } (D { IR * } log (e ) 4, onde e =,7... é bse de logritmos neperinos, é. (AFA 007) As funções que melhor descrevem s curvs bio são (A) y = log e su invers, sendo 0 < < (B) y = log () e su invers, sendo > (C) y = e su invers, sendo > 0 (D) y = log ( + ) e su invers, sendo > 3. (AFA 004) O gráfico epress vrição de log y em função de log, onde log é p logritmo n bse deciml. Págin 00

101 A relção corret entre e y é igul (A) y = + (B) y = 3 + (C) y = 00 (D) y = 5 +. é 4. (AFA 003) O conjunto solução d equção log ( ) (A) (B) { IR > 3} (C) { IR < < 3} (D) { IR > e 3}. 5. (AFA 00) Todo número rel positivo pode ser descrito n form 0. Tendo em vist que = 0 0,30, então o epoente, tl que 5 = 0 vle, proimdmente, (A) 0,5 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0, (AFA 00) Se IR e 7 5 = 43, então 7-3 é igul : (A) /3 (B) /9 (C) /7 (D) /8. 7. (AFA 000) O domínio d função rel f() = log ( ) + log( 6 + 8) é: (A) {XR ou 4 < 8} (B) {XR < < ou 4 < < 8} (C) {XR < ou < < 4 ou > 8} (D) {XR < ou < < 4 ou > 4}. 8. (AFA999)A som ds rízes d equção log ( 6) = 4 é (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) (AFA 999) O vlor de é (A). (B). (C) 3. (D) 4. - log log Págin 0

102 0. (AFA 996) Um ds soluções d equção: ( ) log ( + ) = log ( ) 3 + log (A) (B) (C) 3 (D) 4.. (AFA 994) Se é vriável rel, então o cmpo de definição d função f() = (A) { R < < } (B) { R 0 < < } (C) { R < } (D) { R 0 } é: log é o conjunto:. (AFA 994) A solução d equção log (+3) + log / = é: (A) 3 (B) (C) 3 (D) 3. (AFA 994) Sendo log 3, ( 7 ) = K, o vlor de log 3 ( 7 + ) é: (A) k (B) + k (C) k (D) + k 4. (AFA 990) Se > é solução d equção: então vle: (A) (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) nr log 5 +log 5 log 5 3, 5. (AFA 990) O domínio d função log [log /4 ( + )] é: (A) ]0,/[ ] 3/, [ (B) ], 0[ ] 3/, [ (C) ], 0[ ]3/, + [ (D) ], ½ [ ]3/, + [ (E) nr 6. (AFA 990) O domínio d função f() = log[log(+3)] é o intervlo: (A) ], 3[ (B) ] 3, + [ (C) ], [ (D) ], +[ (E) nr Págin 0

103 7. (AFA 989) O logritmo de um número num cert bse é 3, e o logritmo, desse mesmo número, num bse igul o dobro d nterior, é. Então, o número vle: (A) 64 (B) 65 (C) 75 (D) (AFA 989) A riz d equção log ( ) (A) 9 (B) 3 (C) 3 (D) 9 log( 7) = log é: ITA 9. (ITA 999) Sej S o conjunto de tods s soluções reis d equção log /4 ( + ) = log 4 ( ). Então: (A) S é um conjunto unitário e S ], + [; (B) S é um conjunto unitário e S ], [; (C) S possui dois elementos distintos e S ], [; (D) S possui dois elementos distintos e S ], + [; (E) S é o conjunto vzio. 30. (IME 0) Se o log 0 = e log 0 3 = y, então log 5 8 vle: (A) y (B) y (C) y (D) y (E) 3 y IME 3. (IME 007) Sbendo que log = 0,300, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,6989, o menor número entre s lterntivs bio é: (A) 4 30 (B) 9 4 (C) 5 40 (D) 8 0 (E) (IME 986) Determine log 0, , , (IME 009) Sej log 5 = m, log = p e N = 5 3. O vlor de log 5 5 N, em função de m e p, é Págin 03

104 75m 6p (A) 5m 70m 6p (B) 5m 75m 6p (C) 5m 70m 6p (D) 5m 70m 6p (E) 5p 34. (IME 996) Considerndo log = e log 3 = b, encontre, em função de e b, o logritmo do número 5, 5 no sistem de bse (IME 984) Sej log o logritmo deciml de e log 3 o logritmo de n bse 3. São ddos: log = e log 3 =. Clcule em função de e os vlores de log N e log 3 N onde onde e β são números reis positivos. 364,5 N = NÍVEL B EFOMM. (EFOMM 009) Num embrcção é comum ouvirem-se determindos tipos de sons. Suponh que o nível sonoro β e intensidde I de um desses sons estej relciondo com equção logrítmic β = + log 0 I, em que β é medido em decibéis e I I em wtts por metro qudrdo. Qul é rzão, sbendo-se que I corresponde o ruído sonoro de 8 decibéis de um I proimção de dois nvios e que I corresponde 6 decibéis no interior d embrcção? (A) 0, (B) (C) 0 (D) 00 (E) (EFOMM 007) Lei e ssinle lterntiv corret. Os Terremotos Abndonndo-se um pequeno ddo sobre superfície terrestre, ocorrerá um liberção de energi que frá vibrr levemente. Se, no lugr do ddo, for bndondo um tijolo, energi liberd frá vibrr mis intensmente ess superfície. Imgine um cubo de grnito com Km de rest bndondo de um ltur de 80Km; energi liberd será equivlente 0 trilhões de Kwh. Ess foi medid d energi liberd pelo terremoto ocorrido em Sn Frncisco, Clifórni, em 906. Mis violento ind foi o terremoto que rrsou Lisbo, em 755, liberndo energi equivlente 350 trilhões de kwh. Os logritmos são plicdos n medid d intensidde de um terremoto. N escl Richer, intensidde de um terremoto é definid por: I = /3. log E/E 0, em que E é energi liberd pelo terremoto em kwh e E 0 = 0-3 kwh. O terremoto ocorrido em 906 n cidde de Sn Frncisco (EUA) registrou 9 pontos n escl Richter. Qul foi, então, intensidde do terremoto que rrsou Lisbo em 755? (ddo log 7 = 0,845 e log 5 = 0,698) (A) 5,609 (B) 6,695 Págin 04

105 (C) 7,06 (D) 7,609 (E) 7,695. AFA 3. (AFA 0) Um médico, precidor de logritmos, prescreveu um medicmento um de seus pcientes, tmbém precidor de logritmo, conforme seguir. Tomr gots do medicmento α de 8 em 8 hors. A quntidde de gots y diári deverá ser 3 clculd pel fórmul log8 y = log 6. Considerndo log = 0 e log 3 = 0,48, é correto firmr que log é um número do intervlo (A) [3,4[ (B) [4,5[ (C) [5,6[ (D) [6,7[ 4. (AFA 00) Sejm s funções reis dds por f() = + e g()=3 +. Se b IR tl que f = g(b) e p = log 3 b, então sobre p é correto firmr que (A) não está definido. (B) é positivo e menor que. (C) é negtivo e menor que. (D) é positivo e mior que. 5. (AFA 00) Sobre função rel f : D IR dd por f() = + log ( ), é INCORRETO firmr que é ) pr b) sobrejetor D c) crescente se [, + [ d) injetor D 4 6. (AFA 008) Considere todo IR que torne possível e verddeir iguldde log[f(² )] = log, onde f é função rel de A em B e mrque lterntiv corret. (A) O conjunto imgem de f é Im = IR + {} (B) f é um função injetor. (C) Se B = IR + {}, então eiste invers de f. (D) f tem domínio A = { IR > } 7. (AFA 008) Considere s funções reis f: IR * IR tl que f() = g: IR IR * tl que g() = h: IR * IR tl que h() = log e mrque lterntiv corret. (A) O domínio d função k definid por k() = g() h() é o conjunto dos números reis positivos. f ().h () (B) A função j definid por j() = se nul em dois pontos distintos. (gof )() (C) A função m definid por m() = + (gof)() não possui riz. (D) Se g(h()) = 8 e h(g(b)) = log 3 9, então ( b) é um número primo. 8. (AFA 007) Sbe-se que o isótopo do crbono, C 4, tem um mei vid de 5760 nos, isto é, o número N de átomos de C 4 n substânci é reduzido N pós um espço de tempo de 5760 nos. Ess substânci rdiotiv se degrd segundo seqüênci N Págin 05

106 = N 0. t, t {0,,,...} em que N 0 represent o número de átomos de C 4 n substânci no instnte t = 0 e t é o tempo medido em uniddes de 5760 nos. Com bse ns informções cim, pode-se dizer que (A) o número de átomos qundo t = er 5760 (B) o número de átomos será igul um terço de N 0 qundo decorridos 90 nos. (C) pós 50 nos hverá qurt prte do número inicil de átomos. (D) qundo t = 5760 hverá metde do número inicil de átomos. 9. (AFA 006) Assinle lterntiv CORRETA. (A) log 3 log. 9 4 (B) Se log3 4. log 3.log4, então. 5 5 m (C) Se m, então, um possível vlor rel de tl que.log3 é log log 3 (D) Se 3 (0 ), então, um possível vlor de é. log (AFA 003) "N semn pssd, Secretri Municipl de Súde do Rio de Jneiro nunciou que 5000 bombeiros prticiprão d cmpnh de combte à epidemi de dengue n cidde. É mis um tenttiv de deter o ritmo lucinnte de crescimento d doenç." Vej. 3 de mrço de 00 Suponh um cidde com hbitntes e que, em determind ocsião, fosse consttdo que 8000 hbitntes estvm com dengue. Num estudo relizdo, consttou-se que t de umento de pessos contminds er de 50% o mês. Com bse nisso, pode-se firmr que, cso não tomsse nenhum providênci, Ddos: log = 0,3 e log 3 = 0,48 (A) tod populção seri contmind em dois meses. (B) em três meses, pens pessos serim contminds. (C) pessos serim contminds em qutro meses. (D) dez mil pessos serim contminds etmente n metde de um mês.. (AFA 00) Sejm f e g funções definids por f() 4 3 e g() log. O domínio de (gof)() é o conjunto dos números reis, tis que (A) 0 < < ou > 3 (B) < ou > 3 (C) < < 3 e 0 (D) > 3.. (AFA 995) No conjunto dos números reis, o cmpo de definição d função f() = log ( + ) ( 5 + ) é ddo por: (A) { IR / ou = } (B) { IR / ½ < < e ½} (C) { IR / ½ < < 0 ou 0} (D) { IR / < < 0 ou 0 < < ½ ou > } ESCOLA NAVAL 3. (EN 00) Um progressão geométric infinit tem o 4º termo igul 5. O logritmo n bse 5 do produto de seus 0 primeiros termos vle 0 5 log 5. Se S é som dest progressão, então o vlor de log S é (A) + 3 log 5 (B) + log 5 (C) 4 + log 5 (D) + log 5 (E) 4 + log 5 Págin 06

107 4. (EN 009) Sejm n IN tl que n = 876 e m o menor m IN tl que verddeir. O produto m.n vle. (A) 0 (B) 4 (C) 30 (D) 3 (E) 43. m! (m) log sej 5. (EN 009) Consideremos, * IR, e. Denotemos por log e log, os logritmos ns bses 0 e respectivmente. O produto ds rízes reis d equção log (0) (A) 0 0 (B) 0 (C) (D) 00 (E) 00. ( ) log( ) é 6. (EN 009) Sej n o menor inteiro pertencente o domínio d função rel de vriável rel () = ln Podemos firmr que log n é riz d equção (A) 3 9 = 0 (B) 3 + = 0 (C) = 0 (D) = 0 (E) = 0. 3 e (). 7. (EN 008) No sistem crtesino bio está esboçdo um porção do gráfico de um função y() log ( ) restrit o intervlo [,8 ], * R. Se y(), então o vlor d áre hchurd é: 3 (A) 6 log4 3. (B) log 3. Págin 07

108 (C) 8 log 3. (D) 6 log 3. (E) log (EN 008) Considere os conjuntos e Pode-se firmr que A B é: 3 6 (A),,. 7 0 (B),,. 9 0 (C), 3,. 9 0 (D), 3,. 9 6 (E), 3,. 7 A R / B IR / log ( 5 7) (EN 006) Sej A o menor inteiro pertencente o domínio d função rel, de vriável rel, f() ( ). Pode-se firmr que log A pertence o intervlo: (A),. (B) 0,. 3 (C), 3. 3 (D),. (E) 3,. 0. (EN 005) Se, b, m e n são números reis tis que b 34b, 0, b 0, log 3 m e log 3 7 n então o vlor d epressão [ b] 7 log3 log3 [log 9 ] log 4 64b 3 é: 3 (A) m 6n. m (B) 7m. Págin 08

109 n (C) 3 3m 6n. n (D) 6n. (E) n 6m.. (EN 999) Sendo M o menor inteiro pertence o domínio d função f () podemos firmr que log M é: (A) 4 7 ( ) ; (B) 8 7 (C) 4 3 (D) 8 3 (E). 4. (EN 99) Se f() = (A) ln( ) (B) ln / (C) ln (D) ln (E) + e e, determine f () 3. (EN 990) O vlor de é: (A) 5/6 (B) 5/9 (C) 5/7 (D) 63/65 (E) log log 9 : log 43 4 : log 0,5 3 0,04 0,5 0, (EN 989) Dd função (A) f( + y) = f() + f(y) (B) f (y) = f () + f (y) f () f (y) (C) f( + y) = y y (D) f( + y) = f y y (E) f() + f(y) = f y f () ln podemos firmr que : Págin 09

110 5. (EN 988) O conjunto solução d inequção é: (A) R (B) (0, ) (C) (0, ) (, ) (D) (, ) (E) (0, ) (, ). log < log 6. (EN 988) Se f() = log 3 ( ) então f - () = (A) log ( ) (B) (C) (D) log 3 (E) (ITA 009) Sej S o conjunto solução d inequção Determine o conjunto S C. ITA 3 4. ( 9) log ( 6) 0 8. (ITA 007) Sejm, y e z números reis positivos tis que seus logritmos num dd bse k são números primos stisfzendo log k (y) = 49, log k (/z) = 44. Então, log k (yz) é igul : (A) 5. (B) 6. (C) 67. (D) 80. (E) (ITA 007) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reis tis que A B C = { IR : + }, A B = { IR: > 0}, A C = { IR: log( + 4) 0}, B C = { IR: < }. 30. (ITA 007) Sendo, y, z e w números reis, encontre o conjunto solução do sistem log [( + y) (w 3z) - ] = 0, +3z 8. y-3z+w = 0, 3 y 6z w (ITA 006) Considere s seguintes firmções sobre epressão S = k log 8 (4 ) : k 0 I. S é som dos termos de um progressão geométric finit II. S é som dos termos de um progressão ritmétic finit de rzão /3 III. S = 345 Págin 0

111 IV. S log 8 Então, pode-se firmr que é (são) verddeir (s) pens: (A) I e III (B) II e III (C) II e IV (D) II (E) III. 3. (ITA 005) Considere equção em + = b / onde e b são números reis positivos, tis que ln b = ln > 0. A som ds soluções d equção é (A) 0. (B). (C). (D) ln. (E). 33. (ITA 004) Sej IR e mtriz, ( ) A =. log 5 Assinle opção corret. (A) IR, A possui invers. (B) Apens pr > 0, A possui invers. (C) São pens dois os vlores de pr os quis A possui invers. (D) Não eiste vlor de pr o qul A possui invers. (E) Pr = log 5, A não possui invers. 34. (IME 03. Considere equção no intervlo 3 log (log ) IME 3 3. A som dos qudrdos ds soluções reis dess equção está contid (A) [0,5) (B) [5,0) (C) [0,5) (D) [5,0) (E) [0,) 35. (IME 00) Sej f ( ) 3log( ), X. Sendo n um número inteiro positivo, desiguldde n-3 f() f() 4f() f() 9... n somente é possível se: (A) (B) (C) (D) (E) (IME 008) Sej i um dos termos d progressão geométric com oito elementos,,,,..., e 4 S = log + log log. 8 Se b = S 5 e f() = + b + bo vlor de f() será: Págin

112 (A) 7 (B) 7 (C) (D) (E). 37. (IME 007) Considere o sistem de equções ddo por 3log3 log9 0 log9 log3 0 Determine o vlor de P 38. (IME 003) Determine todos os vlores reis de que stisfzem equção: log ( ) = log( ), onde log(y) e y representm, respectivmente, o logritmo n bse 0 e o módulo de y. 39. (IME 00) Sbe-se que log b = X, log q b = Y e n > 0, onde n é um número nturl. Sendo c o produto dos n termos de um progressão geométric de primeiro termo e rzão q, clcule o vlor de log c b em função de X, Y e n. 40. (IME 985) Determine o vlor de b tl que n lim n t0 log 5 t+ = 4 p onde p = b (t+) t. NÍVEL C AFA. (AFA 006) Considere s funções reis f e g definids por f () log3 e g() f ( ). Sbendo-se que eistem é correto firmr que o conjunto solução d equção g () f () é: (A). (B). (C) log 3. (D) log3. f e g,. (AFA 006) Num certo di, tempertur mbiente er de 40 C. A águ que fervi em um pnel, cinco minutos depois de pgdo o fogo tinh tempertur de 70 C. Pel lei de resfrimento de Newton, diferenç de tempertur D entre um objeto e o meio que o contém é dd por t D(t) D0. e, em que D 0 é diferenç de tempertur no instnte t 0 e D(t) diferenç num instnte t qulquer. Sbendo-se que tempertur de ebulição d águ é de 00 C, n 0,7 e n5,6, pode-se dizer que águ tingirá tempertur de 46 C: (A) 0 minutos pós o fogo ter sido pgdo. (B) entre 8 e 0 minutos pós o fogo ter sido pgdo. (C) etmente 30 minutos pós o fogo ter sido pgdo. (D) proimdmente 6 minutos pós pgdo o fogo. 3. (AFA 003) Considere um P.G. onde o o termo é, >, rzão é q, q >, e o produto dos seus termos é c. Se log b = 4, log q b = e log c b = 0,0, então som dos termos d P.G. é 4 (A) 4 (C) Págin

113 (B) (D) log 4. (AFA 00) A som de todos os vlores reis que stisfzem equção 4 6, > 0, é 7 (A) 4 33 (B) 4 65 (C) 4 9 (D) (AFA 000) A epressão * com, b, c R, é verddeir qundo: (A) b = c ou = c (B) c = b ou = b (C) = bc ou b = c (D) c = b ou = b. (log)log b b (logc)log 0, c 6. (AFA 000) Se b = é: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7., então o número de soluções inteirs que stisfz inequção 5 3 logb logb (AFA 998) Sej y definid é (A) { R l 0}. (B) { R l }. (C) { R l < }. (D) { R l 0 < < }. y =, com R, > 0 e. Determinndo-se y em função de, o domínio d função ssim 8. (AFA 998) Se log 0 (log 4. log 4 6. log 6 8), então (A) 0 < 0 (B) 0 < 0 4 (C) 0 4 < 0 6 (D) 0 6 < (AFA 997) A som ds rízes d equção e ln (log 5) 5(log 5) - (log 3) = 5, onde e =,7 é (A) 3 (B) 4 Págin 3

114 (C) 5 (D) (AFA 996) A solução d equção: 3 (A) log (B) log7 log3 (C) log 4 7 (D) log. 3 = é:. (AFA 996) Sej 6 π π. Os vlores de k, pr que epressão cosse = logk sej verddeir, pertence o intervlo: (A) k (B) 0 k 0 (C) 0 k 00 (D) 0 k (AFA 996) Sejm = b = e c = 4 8 Se = min(,b,c) e y= m(,b,c) o vlor de log (. y - ) é: (A) 0 (B) 5 (C) 0 (D). 5 ESCOLA NAVAL 3. (EN 03) Sejm A e B conjuntos de números reis tis que seus elementos constituem, respectivmente, o domínio d função f() = ln ( ) e imgem d função g() = + (A) A = B (B) A B = (C) A B (D) A B = R + (E) A B = R. Pode-se firmr que 4. (EN 0) Considere, y, z e números reis positivos, tis que seus logritmos num dd bse, são números primos log (y) 50 stisfzendo s igulddes log. Podemos firmr que z log (yz) vle: (A) 8 (B) 56 (C) 58 (D) (E) Págin 4

115 5. (EN 0) Sendo e y números reis, som de todos os vlores de e de y, que stisfzem o sistem y y y, vle (A) 36 5 (B) 9 (C) 5 (D) 5 4 (E) 6. (EN 00) Sej S o subconjunto de IR cujos elementos são tods s soluções de Podemos firmr que S é um subconjunto de (A) ], 5[ ], +[ (B) ], 3[ ]3, +[ (C) ], 5[ ]3, +[ (D) ], 3[ ], +[ (E) ], [ ]4, +[ log 3 log ( 4) 3 5 ( 5) (EN 007) Sej b menor ds bscisss dos pontos de interseção ds curvs definids pels funções reis de vriável rel 5 5 f () n e g() n. O produto ds rízes d equção é: (A). (B). 5 5 log5 5 logb 5 (C) 5. (D) 5 3. (E). 8. (EN 993) O produto ds rízes positivs d equção, é: (A) 5 (B) 5 log5 5, 5 Págin 5

116 (C) 5 5 (D) 5 (E) (EN 0) Sejm e g funções cujo domínio é o conjunto D = { n IN / n 3} onde n represent o número de ldos de um polígono regulr. As funções e g ssocim respectivmente pr cd n D, s medids dos ângulos interno e eterno do mesmo polígono. É correto firmr que : (A) (n) < g(n) se e somente se (n )! = n! (n )!. (B) Se (n)=g(n) então o polígono considerdo é um triângulo equilátero. f (n) (C) log g(n) = log (n ) pr todo n ou g(0) = (0) (D) é injetor e sen((n) + g(n)) = 0 (E) (go)(n) está sempre definid. ITA 0. (ITA 03) Se os números reis e b stisfzem, simultnemente, s equções b e ln( + b) + ln8 = ln5, um possível vlor de b é (A) (B). (C). (D). (E) 3.. (ITA 03) Considere s funções f e g, d vriável rel, definids, respectivmente, por f () e b e g() ln 3b, em que e b são números reis. Se f( ) = = f( ), então pode-se firmr sobre função compost g f que (A) g f() = ln 3. (B) g f(0). (C) g f nunc se nul. (D) g f está definid pens em { R : > 0}. (E) g f dmite dois zeros reis distintos.. (ITA 0) Resolv inequção em IR: 4 log ( 9) (ITA 00) A epressão 4e + 9e y 6e 54e y + 6 = 0, com e y reis, represent: (A) o conjunto vzio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(,y) IR (e ) + 3(e y 3) = }. Págin 6

117 4. (ITA 00) Anlise se função f : IR IR, f() = Determine função invers f. 3 3 é bijetor e, em cso firmtivo. 5. (ITA 00) Considere conjuntos A, B IR e C (A B). Se A B, A C e B C são os domínios ds funções reis definids por ln( ), (A) C =,5 (B) C = [, ] (C) C = [, 5[ (D) C = [, 4] (E) C não é intervlo. 6 8 e 6. (ITA 009) Sej S o conjunto solução d inequção Determine o conjunto S C., respectivmente, pode-se firmr que ( 9) log ( 6) 0 7. (ITA 008) Um subconjunto D de IR tl que função f : D IR, definid por f() = ln( + ) é injetor, é ddo por (A) IR (B) (, ) (C) [0,/] (D) (0, ) (E) [/, ). 8. (ITA 008) Sej f() = ln ( + + ), IR. Determine s funções h, g : IR IR tis que f() = g() + h(), IR, sendo h um função pr e g um função ímpr. 9. (ITA 007) Sejm e y dois números reis tis que e, e y e o quociente (A) 0. (B). (C) log 5 3. (D) log 5. (E) 3 log e. e 5 y 4e 5 são todos rcionis. A som + y é igul : 30. (ITA 006) Determine pr quis vlores de (- /, /) vle desiguldde log cos (4sen -) - log cos (4 sec )>. log log 3. (ITA 004) Pr b > e > 0, resolv equção em : () b 3 (3) b = (ITA 00) Dd função qudrátic f() = In 3 + In6 4 In 3, temos que: (A) equção f() = 0 não possui rízes reis. (B) equção f() = 0 possui dus rízes reis distints e o gráfico de f possui concvidde pr cim. (C) equção f() = 0 possui dus rízes reis iguis e o gráfico de f possui concvidde pr bio. In In3 (D) o vlor máimo de f é. In3 In In In3 (E) o vlor máimo de f é. In3 In Págin 7

118 33. (ITA 00) Sej função f dd por: f() = (log 3 5). log log log 3 (3+). Determine todos os vlores de que tornm f não-negtiv. 34. (ITA 00) Sendo ddo e 4 n n n = n n 3 4 n n = b n então, n n3 n4 n nn n é igul : (A) n - b n (B) n - b n (C) n - b n (D) b n - n (E) n + b n. 35. (ITA 999) Sej R com >. Se b = log, então o vlor de é: (A) b 3 65 (B) b + 8 log log 4 + log + (log 8 ) log (C) (D) (E) b 3b b 63b 36 8 b 9b (ITA 998) O vlor de y R que stisfz iguldde log y 49 = log y 7 + log y7 é: (A) (B) 3 (C) 3 (D) 8 (E) 7. Págin 8

119 37. (ITA 998) A inequção 4 log 5 ( + 3) ( + 3) log /5 ( + 3) é stisfeit pr todo S. Então: (A) S = ] 3, ] [, + [; (B) S = ], 3 [ [, + [; (C) S = ] 3, ]; (D) S = ], + ]; (E) S = ], 3 [ ] 3, + [. 38. (ITA 997) O domínio D d função f() = ln ( ) 3 é o conjunto (A) D = { R : 0 < < 3 /} (B) D = { R : < / ou > } (C) D = { R : 0 < / ou } (D) D = { R : > 0} (E) D = { R : 0 < </ ou < < 3 /}. 39. (ITA 997) Ddo um número rel com >, sej S o conjunto solução d inequção 7 log / log log/ ( ). Então S é o intervlo: (A) [4, +[ (B) [4, 7[ (C) ], 5] (D) ], 4] (E) [, 4[. 40. (ITA 996) Sej R, >. Pr que o vlor de é: (A) (B) 3 (C) 5 (D) 9 (E) 0. * 4, 5 R ; log log 5 0, 4. (ITA 996) Se ( 0, y 0 ) é um solução rel do sistem log ( y) log3 ( y), 4y 4 então 0 + y 0 é igul : (A) 7/4 (B) 9/4 (C) /4 / Págin 9

120 (D) 3/4 (E) 7/4. 4. (ITA 995) Se é um número rel positivo, com e 3, stisfzendo Então pertence o intervlo I, onde (A) I = 0, 9 (B) I = 0, (C) I =, (D) I =, (E) I =,. log log 3 log log ( ) 3 = log ( + ) 43. (ITA 994) Sejm e y números reis, positivos e mbos diferentes de, stisfzendo o sistem: Então o conjunto (, y) está contido no intervlo: (A) [, 5] (B) ]0, 4[ (C) [, ] (D) [4, 8[ (E) [5, [. y y e log log y log( 44. (ITA 994) Sej (, b, c, d, e) um progressão geométric de rzão, com > 0 e. Se som de seus termos é igul 3 + e é um número rel positivo diferente de tl que: então é igul : (A) 3 3 (B) 3 (C) (5/) (D) (5/) 3/ (E) (/5). log log 45. (ITA 993) O conjunto solução d inequção b log c log d ) log e 5, é ddo por: (A) < < 3/ (B) 0 < < (C) 0 < < (D) 0 < < log [( )] < log [( + ) ] (E) 0 < <. Págin 0

121 46. (ITA 99) O domínio d função: f() = log (3 5 + ) 3 é: (A) (, 0) (0, /) (, 3/) (3/, + ) (B) (, /) (, 5/) (5/, + ) (C) (, /) (/, /3) (, 3/) (3/, + ) (D) (, 0) (, + ) (E) n.d (ITA 99) Num progressão geométric de rzão inteir q >. Sbe-se que n = 43, log q P n = 0 e log q n = 6, onde n é o enésimo termo d progressão geométric e P n é o produto dos n primeiros termos. Então som dos n primeiros termos é igul : 3 9 (A) 6 (B) (C) (D) 3 (E) n.d (ITA 99) Sejm, > e f: IR IR definid por f() = (A) log ( ), pr > (B) log ( + ), pr IR (C) log ( + ), pr IR (D) log ( + ), pr < (E) nd. 49. (ITA 99) Sej IR IR definid por: e, se 0 f (), se 0 ln, se Se D é um subconjunto não vzio de IR tl que f: D IR é injetor, então: (A) D = IR e f(d) = [, + [ (B) D = ], ] ]e, +[ e f(d) = ], +[ (C) D = [0, +[ e f(d) = ], +[ (D) D = [0, e] e f(d) = [, ] (E) n.d.. Notção: f(d) = {y IR : y = f(), D} e ln denot o logritmo neperino de.. A função invers de f é dd por: 50. (ITA 99) Num progressão geométric de rzão q, sbe-se que: I- O produto do logritmo nturl do primeiro termo pelo logritmo nturl d rzão é 4. II- A som do logritmo nturl do segundo termo com o III- O logritmo nturl do terceiro termo é 6. Se ln q é um número inteiro então o termo gerl vle: (A) e 6n (B) e 4 + 6n Págin

122 (C) e 4n (D) e 4+6n (E) nd 5. (ITA 99) O conjunto dos números reis que verificm inequção 3log + log ( + 3) 3 3 log, é ddo por: (A) { IR: > 0} (B) { IR : 3} (C) { IR : 0 < } (D) { IR : < } (E) n.d.. Notção: log denot o logrítimo de n bse 0 5. (ITA 990) O conjunto ds soluções reis d equção ln (sen ) = ln (sen ) é ddo por: (A){ IR : = π + k, k Z} (B){ IR : = + k π, k Z} (C){ IR : = k, k Z} (D){ IR : } (E){ IR : 0}. 53. (ITA 990) Sbendo-se que 3 é ftor de então s soluções reis d equção (3 3 ) 9(3 ) + 8(3 ) = 0 somm: (A) log 3 (B) (C) 3 log3 (E) (E) log (ITA 990) Num progressão geométric de três termos rzão é e -, som dos termos é 7 enqunto que diferenç do último termo com o primeiro é 3. Nests condições o vlor de é: (A) ln (B) ln 5 (C) ln 3 (D) ln (E) não eiste número rel nests condições. 55. (ITA 989) Sobre epressão: M = onde < < 3, qul ds firmções bio está corret? (A) M (B) < M < 4 (C) 4 M 5 (D) 5 < M < 7 (E) 7 M 0. log, log 5 Págin

123 IME 56. (IME 0) Sej f() = sen + b 3 + 4, onde e b são números reis diferentes de zero. Sbendo que f( log 0(log 30) ) = 5, o vlor de f( log 0(log 0 3) ) é: (A) 5 (B) 3 (C) 0 (D) 3 (E) 5 log 5 log (IME 0) O vlor de y rel positivo n equção (A) 70 (B) 35 (C) (D) 35 5y - 7y 0, onde é um número rel mior do que é: (E) (IME 005) (ANULADA) Sejm, b, c e d números reis positivos e diferentes de. Sbendo que log d, log b d e log c d são termos consecutivos de um progressão ritmétic, demonstre que: c = (c) log b 59. (IME 000) Sejm e b números reis positivos e diferentes de. Ddo o sistem bio:. b. log / y b log / b y. log b Determine os vlores de e y. 60. (IME 988) Pr que vlores de função Assume o vlor e 4? f() = ln 4. ln 6. (IME 970) Clcule os vlores de X e Y sbendo que: log5 +y log55 0 log3 y 5log5 y nti ln co log 5 y 5log3 9 0 log3 e y Obs: O símbolo ln signific logritmo neperino; e ébse dos logritmos neperinos. (A) X = 3 e Y = (B) X = 3 e Y = (C) X = 5 e Y = 0 (D) X = 4 e Y = (E) Solução impossível (F) Nenhum ds resposts cim. Págin 3

124 CAPÍTULO 3 - GABARITO E SOLUÇÕES CAPÍTULO - LÓGICA NÍVEL A. D Temos que p q p q ou p q q p Logo (( 5) (y 6)) (( 5) (y 6)) (( 5) (y 6)) ou (( 5) (y 6)) ((y 6) ( 5) ) ((y 6) ( 5)) (D). C 3. D NÍVEL B. B A proposição é um tutologi, pois, p q r (q r) p (q r) p q p r (p q ) ( p r ) p (q r) (p q ) ( p r ) D NÍVEL C Págin 4

125 I. 4 > 6 y -y > -4 II. e y > (V) ( (5 4 (V))ou (0 (F))) e (5 0=5 ) (F) III. 0 > 6 e y >6-- (V) y > y -y > - CAPÍTULO TEORIA DOS CONJUNTOS NÍVEL A. D. D É fácil notr que A C B A (A C) (C (A B)) A C B A (A C) (C (A B)) A B C logo n(a B C) n A C n B A n(a C) + n(c (A B)) 53 0 n(a C) + n(c (A B)) n(a C) + n(c (A B)). Um vez que (A C) (C (A B)) ((B C) (A B C)) (A C) (C (A B)) ((B C) (A B C)) C Temos n(c) n(a C) +n(c (A B)) n((bc) (A BC)) n(c) n((bc) (A BC)) Como ((BC) (ABC)) (B A) n((bc) (A BC)) n(ba) 0 Temos n(c) n((bc) (A BC)). 3. B I - (F) Um vez que L é o conjunto dos losngos, R é o conjunto dos retângulos e Q é um conjunto que contém L, temos que L Q L e como LR é o conjunto dos qudrdos, então LQ L L R. II (F) Um vez que n(a) 4 então n(p(a)) 6. III- (V) Temos que, b, c,d U Z, b, c, d, e Z, b, c, d, e e Z c,d U Z, c, d, e Z, c, d, e b Z Z e Z Z, c,e b, c, d Z c b Z d Z c Z Págin 5

126 4. B 5. D 6. D 7.C 8. B n(u) 00 n(t) 0 n(e) 40 n(t E) Como n(t E) n(t) n(e) n(t E) n(t E) n(t E) A 0. A. D n(u) 36 Como n( 3 ) 0 0 n( ) n( 3 ) n( 3 ) 0 0 n( ) 4 0 n( ) 0 n(3 ) n( 3 ) n( 3 ) n( ) n( ) n(3 ) n( ) n( 3 ) n( 3 ) n( 3 ) 3 (4 ) ( ) (4 ) C 3. C 4. C Págin 6

127 U {,b,c,d,e,f,g,h} C B A, b Como C C C (B A) f, g, h B A f, g, h C C C C C C A \ B d, e A B d, e A B (A B ) {,b,c,f,g,h} C C A B (A B) \ ((B A ) (B A)) {c} n(p(a B)). 5. C. D n(a B) 3 n B \ A n C \ A 0 n(b C) 6 n(a B C) 4 Como NÍVEL B A (A B) \ (B\ A) n(a) n(a B) n(b\ A) 3 e A C A C \ A n(a C) n(a) n C\ A 0 A C \ A e A B C (A B) C \(A B) (A B) C \(A B) C \(A B) (C \A) \ ((B C) \ (A B C)) n(a B C) n(a B) n C \(A B) 3 (0 (6 4)) 3. C C S n(c ) n(c ) C S De fto n(c ) n(c ) C C Logo o conjunto S só pode ter um elemento com um determind crdinlidde, ou sej, só pode ter um elemento que sej um conjunto com zero elemento, um elemento que sej um conjunto com um elemento, um elemento que sej um conjunto com dois elementos e ssim sucessivmente, como CS0 N(C) n n(s) n. m 3. B 4. Demonstrção 5. B É importnte notr que P( ) P(B\ A) P(B\ A) P( ) P(B\ A) Como 4 n(b\ A) n(a B) n(a) 8 4 n(p(b\ A)) D Págin 7

128 7. A. B C n(s) 70% n(s ) 30% C n(c) 75% n(c ) 5% C n(b) 80% n(b ) 0% C n(r) 85% n(r ) 5% C C C C n(s ) n(c ) n(b ) n(r ) 90% NÍVEL C C C C C C n(s C B R ) 90% n((s C B R) ) 90% n(s C B R) 0%.. C 3. Suponh que: Então Logo se Pois se Então Então A menos que O contrri hipótese. 4. A 5. E 6. ) 4 b) C 8. A 9. ),, 4 ou 8 A e B e (A\ B) ( B \ A) A (A\ B) ( B \ A) A. : (A\ B) ( B \ A) (A\ B) ( B \ A) (A\ B) ( B \ A) A. : (A\ B) ( B \ A) ( B \ A) B \ A B A. (A\ B) ( B \ A) (A\ B) A B b) 05 ) Devemos ter b) Queremos dividir oito objetos em qutro grupos cd um como dois elementos, logo 0. ) m b) 3. E. Demonstrção Um vez que (S S ) (P P ) : S S P P C C C C P 4 05 Págin 8

129 Suponh que S S P S P P S P P P Anlogmente se S S P S P P S P P P Logo : S S P P (S S ) (P P ). 3. B Demonstrção Temos que: (X Y) (X Z) ((X Y) (X Z)) ( (X Z) (X Y)) C C ((X Y) (X Z) ) ( (X Z) (X Y) ) C C C C ((X Y) (X Z )) ( (X Z) (X Y )) C C C C (((X Y) X ) ((X Y) Z ))) (((X Z) X ) ((X Z) Y ))) C C ( ((XY) Z ))) ( ((X Z) Y ))) C C C C ((X Y) Z ) ((X Z) Y ) X ( (Y Z ) (Z Y )) X ((Y Z) (Z Y)) X (Y Z).. E (I) CAPÍTULO 3 PRODUTO CARTESIANO NÍVEL C (, y) : (, y) E G (, y) F H Como (, y) : (, y) E G ( E) (y G) temos (, y) : (, y) E G ( E) (y G) ( F) (y H) E F E F e y G y H G H. Um vez que A B AB B (II) e (III) são verddeirs.. D CAPÍTULO 4 RELAÇÃO NÍVEL A. B AB (,), (,6),(,8),(,),(3,), (3,6),(3,8),(3,),(4,), (4,6),(4,8),(4,) R {(,6),(4,8) }. Págin 9

130 . Demonstrção * Sejm n IN,,b e c N (i) Refleiv \ : 0 (ii) Simétric : (,b) R n (iii) Trnsitiv: *, então : é múltiplo de n (,) R NÍVEL C b é múltiplo de n b é múltiplo de n (b,) R (,b) R n b é múltiplo de n c ( b) (b c) é múltiplo de n (,c) R (b,c) R n b c é múltiplo de n Logo R n é refleiv, simétric e trnsitiv, ou sej, é um relção de equivlênci.. Demonstrção: (i) Refleiv \ : m (ii) Simétric : M é simétric, logo, m Ou sej i (iii) Trnsitiv: Note que m ii i j R 4 ou sej, i m j, m,, 3,4 R,i,, 3,4. j 4 j i R i. e m 0 i i R 4, 4 R porém R. Logo R é refleiv, simétric e não é trnsitiv, ou sej, R não é um relção de equivlênci. 3. Demonstrção. A. B n. CAPÍTULO 5 CONJUNTOS NUMÉRICOS NÍVEL A.. 4 ( ).. 4. pr. 3. B 4. B Temos que: m.m.c.(4,0) 0 n(40) n( 0). Como n(4 0) n(4) n(0) n(40) n(4 0) N(A) E n. n.. D NÍVEL B Págin 30

131 (I) Um vez que : S e S (I) Verddeir Q Q 4 5 (II) IR : 0 S S (II) Fls. (III) 0 S (III) Fls. Q. E. Demonstrção. B. B Repre que: g(0,8) g(), 0, Um vez que f (0,4) f () 0,8 temos que g(f (0,4)) g(f ()) g(f ()), 0,. Logo opção (B) é fls. 3. B Temos que: y 3 y 3 y 4 3 y f (y) 3 e 3 y y 3 g(y) 5(y 3) 5y 3 Assim f (g()) f (5 3). 4. D 5. D Temos que f () f (5) 3 f () f (4) 0 f (3) logo f f Im, 0, 3 CD IR Logo f não é sobrejetor e nem injetor, porém NÍVEL C CAPÍTULO 6 FUNÇÃO n(im f ) 3. NÍVEL A Págin 3

132 6. B As sequêncis (f (),f (3),..., f (8)) e (f (0),f (),..., f (70)) São dus progressões ritmétics de rzão 3 com 4 e 35 termos respectivmente, logo, f (8) f () (4 ) e f (70) f (0) (36 ) log o f (8) f (70) C f ( ) f (). 9 9 Como f () t(h()) temos 8 Logo h() () 8 f () t(h()) t(8 ). 3 f ( ) D 9. D 0. C 3 f f =f f = f = = f3 =f f = f = = f 988() f (). 3 NÍVEL B. B. B 3. B 4. B 5. B Págin 3

133 (I) Fls 0 S S U 0 (II) Fls S \ U,4,6 S \ U ST U (III) Fls Pois n(s) 4 n(t) 3 (IV) Verddeir Pois n(s) 4 n(t) 3 6. D 7. A. B (I) Sejm, IR com l l NÍVEL C l > f l < f f l f l < f l f f l f f l f f injetor (I) Verddeir. (II) f () f ( ), IR f n decrescente (II) Flso. (III) Sejm y f ( ) f (y ) y f ( ) f (y ) f decrescente ( ( ) (f ( ) f ( ) ) ( (f (y ) f (y )) (y y ) ) f decrescente (III) Verddeiro.. A 3. A (I) D R \ f : D D f. () Sejm, D com se f f (Absurdo) f f f injetor (b) Sej y D y y f () y y yd, D :f () y f sobrejetor y y () e (b) (I) Verddeiro. (II) (I) (II) Flso Págin 33

134 (III) D R \ f : D D f. f () f ( ) 0, D \ 0 (III) Verddeiro. (IV) D R \ f : D D f. f ()f ( ), D \ (IV) Flso. 4. A (I) f : IR IR nãoconstnte f y f f y,, y IR f ()=f ( + )=(f ( )) 0, IR. Suponh que IR: f () 0 f () f ( 0) f ()f (0) 0 f () 0, IR (Absurdo) f () 0, IR (I) Verddeiro. (II) f : IR IR nãoconstnte f y f f y,, y IR Sej n S n IN : f (n) (f ()), IR P(k) verddeiro ks. (i) P() Verddeiro f () f () P() Verddeiro (ii) (Hipotese) k P(k) Verddeiro k S f (k) (f ()), IR k k f ((k )) f (k ) f (k)f () (f ()) f () (f ()), IR k S P(k ) Verddeiro (III) * PIF S IN (II) Verddeiro. f : IR IR nãoconstnte f y f f y,, y IR f pr f (0) f ( ( )) f ()f ( ) (f ()), IR f cons tn te (Absurdo) (III) Flso. 5. Demonstrção 6. E 7. Demonstrção Págin 34

135 Sej f : IR IR bijetor e ímpr e f :IR IR Sej y f ( ) f (y) f (y) f ( y) y f () 8. D 9. E 0. Demonstrção. E y f () f ( ) f () IR f ímpr. f : 0, IR 0, (i) f () (ii)f () f f 4 Sej S n IN : f (), n 0, e P(n) verddeiro ns () (i) S P() verddeiro (b)(hipotese) P(k) verddeiro ks f (), k 0, 0, f ( ) k Um vezque 0, 0, f ( ) k f () f f f f P(k ) verddeiro k S * PIFS IN. k k k. D 3. C 4. C 3 f f, IR 3 3 f f ( ) ( ), IR f f ( ), IR 3 3 f f () f f ( ) () 3 3 () () 3f 3, IR f, IR f (g()) f ( ) 3 3 ( ), IR. 5. B 6. B 7. A Págin 35

136 f : IR IR g : IR IR, decrescentes e sobrejetors h : IR IR, h fog. ()Sejm, IR, g( ) g( ) h(g( )) h g( ) h(g( )) h g( ) h : IR IR crescente. () h : IR IR crescente h : IR IR injetor (3)f : IR IR e g : IR IR sobrejetors h : IR IR sobrejetor () e (3) h : IR IR bijetor h : IR IR inversivel (4) h : IR IR crescente h : IR IR crescente. 8. E 9. E 0. C. B. Demonstrção f : IR \ 0 IR : f / b f f b () b f( ) f f, IR () e b f( ) f f f( ) f (3) b f( ) f f 0 (): f( ) 0 (): f( ) f, IR f pr n (n ) f : N IR : f (k) 008 (n ) k0 n n n n n n 008 f (n) f (k) f (k) k0 k0 n n n n (n )(n ) f (006) f (006) 4. Demonstrção f : IR IR : f ( ) f () [f ()] f ( ) f (( ) ) f ( ) [f ( )] f () [f ()] f () [f ()] f () [f ()] f () [f ()] f () [f ()] f () [f ()] 4 5. Demonstrção 6. Demonstrção f () f () f () f periodic. 4 Págin 36

137 () Injetor : h, y 3 3 Sejm, y e, y IR,, y, y h, y, f y, f y 3 3 f y f y f y f y y y () Sobrejetor Sej, y IR,, y IR : h, y, y? Vmos supor que sim h, y, y, f y, y f y0 y f y0 y y0 f ( y ) 3 h(, f ( 3 y )) (, y) h sobrejetor. Em prticulr h : IR IR 3 (, y) h, y (, f ( 3 y )), y, y h injetor. CAPÍTULO 7 FUNÇÃO CONSTANTE CAPÍTULO 8 FUNÇÃO DO GRAU NÍVEL A. A. B O vlor rrecddo pels vends em função do desconto concedido é ddo por: p : IR IR p() (0 )(30 6) Note que p(4) p() A Anlisndo os gráficos ds funções f, g e h, not-se que locdor α é mis vntjos prtir do quilômetro em que o gráfico de f encontr-se bio dos gráficos de g e h, em prticulr pel nálise gráfic, bio do gráfico de g. Assim f : IR IR f () 50 g : IR IR g() 0 f () g() m B Temos que Págin 37

138 A : IR IR e A() m h A(007) 34,8 007m h 34,8 () A(005) 9, 005m h 9, () () () m 5,6 m,8 h 5584,8 A : IR IR A(),8 5584,8 3 9, A(006) 3 Aumento 0,095 9,5% 9, 5. B 6. C 7. C Vmos determinr cd um dos conjuntos. A,,3,4,6,8,,4 3 4 B Z S,5 Assim B,,3,4 8. D 9. C 0. C Um vez que Imf IR Então f não é sobrejetor. Além disso, f não é pr, pois, f () 0 e f ( ), nem ímpr, pois, f (0).. B. B Págin 38

139 D semelhnç de triângulos temos V ,8V 0V V V ,V D Sej f : IR IR f () b f 0 f b ( b) 3 f f 0 b b b b b f : IR IR 3 3 f () f (3). 4. D f : IR IR f () b f b f b f : IR IR f () f (3) D 0 0 S (,0),. C NÍVEL B Págin 39

140 Um vez que 6 (b()) () (()).(b()) 0 0 (, 4), ) 0 c() 4 S (, 4) 3, ). (c()) c() B 3. B 4. C 5. C 6. B 3, min 3, , , 8 3 5, 8 Logo min 3, S ou S, 3 S S S,3 NÍVEL C. D. C 3. A g não é pr nem ímpr. f : 0, IR e f g : /, / IR 4. C, 0 /, / f ( / ), / 0 g() f ( / ), 0 /, / 0, 0 / CAPÍTULO 9 FUNÇÃO DO GRAU NÍVEL A Págin 40

141 . D M N MN 0 M N 6. M N MN 0. D 3. D 4. B 5. B 6. D Um vez que f ().f ( ) 0 então eiste r, tl que f (r ) 0, logo 0, como f ( ).f ( ) 0 podemos grntir que 0 cso contrário terímos f().f() B b b y b b 4 b 0 b C ( 3 8) ( )( 3 8) ( )( 6) ( )( )( 3) ( )( 3) 0 3 S (,3). 9. f : IR IR f () 6 9 Págin 4

142 0. f : IR IR f () ( )( 5) f () f : IR IR f () 4 5 ) b 4 c5 b) f (0) 5 c) 0 Vlor Mimo d) 4 V () ( 4) 4()( 5) yv 4() 9 V (, 9) e) NÍVEL B. D I) Flso, IR {} II) Verddeiro, < 0 ( > ) < 0 Págin 4

143 III) Verddeiro, < < ou > < 0 < ou >. A Se = ou = 3 são s rízes, então v = Como v = y v V(, ) Se f() 0 A e f é crescente [p, q], então pelo gráfico, tem-se p = e q = p q = ( ) = 3. B 4. C 5. D 6. C 7. D Se < temos que < 0 um vez que concvidde d prábol está voltd pr bio. Além disso, como 0 e 0 temos que, b b 0 0 b Logo b C L :IN IR L() L :IN IR 6 6 L() 50 3 v C Págin 43